TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA · 2018-01-16 · GEOMETRÍA ANALÍTICA – TEMA 5. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS Unidad 5│Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato –

GEOMETRÍA ANALÍTICA – TEMA 5.

1.º BACHILLERATO - CIENCIAS

Unidad 5│Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato – Ciencias - 1

IES H

uarte D

e San Ju

an - Lin

ares

TEMA 5 – GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ecuación general de la recta.

Una recta queda determinada por un vector que tenga su dirección

(llamado vector director) y un punto que pertenezca a esa recta.

Tipos de ecuaciones de una recta:

Nombre Ecuación Necesitamos

Ecuación

Vectorial 1 2 1 2(x, y) = (a , a ) + λ (u ,u ), con λ

Un punto A 1 2(a , a )

Un vector u

= 1 2(u ,u )

Ecuación

Paramétrica

Por coordenadas, desde la ecuación anterior:

1 1

2 2

x = a + λu con λ

y = a + λu


Un vector u

= 1 2(u ,u )

Ecuación

Continua

Despejando λ e igualando en la ecuación

anterior:

11 1

1 1 2

2 1 22 2

2

x - ax = a + λu λ =

u x - a y - a

y - a u uy = a + λu λ =

u


Un vector u

= 1 2(u ,u )

Ecuación

General

Multiplicando en cruz y pasando todos los

términos a un miembro obtenemos:

0Ax By C

Obtenemos el vector

director: u = (-B,A)

.

Ecuación

Explícita

Despejando y en la ecuación continua:

y = m x +n

La pendiente m

Ordenada en el origen n: P(0, n)

Ecuación

Punto-Pendiente

2 1y - a = m (x - a ) Un punto A 1 2(a , a )

La pendiente m

2 22 1

1 1

b - ay - a = (x - a )

b - a

Dos puntos A 1 2(a , a ) y

B 1 2(b , b )




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Algunas consideraciones sobre la pendiente m.

La pendiente m mide la inclinación de la recta.

La dirección de una recta es dada por su vector director.

Podemos medir la inclinación a partir del argumento del vector.

Así pues m = tg α = 2

1

u

u

m = tg α = 2

1

u

u

EJEMPLO Dados los puntos A(1,1) y B(2,3), calcula la ecuación de la recta en todas sus formas.

El vector director de la recta es: u = (1, 2)

.

Ecuación vectorial: (x, y) = (1, 1) + λ (1, 2), con λ .

Ecuación paramétrica: x = 1+ λ

con λ y = 1+ 2λ

Ecuación continua: x -1 y -1

1 2 .

Ecuación general: 2x – y – 1 = 0.

Ecuación explícita: y = 2x – 1

Ecuación punto-pendiente: y – 1 = 2 (x – 1)

Ejercicio. Pág 125 (22,24)

Rectas paralelas a los ejes coordenados.

Cuando la recta es paralela a uno de los dos ejes coordenados, su

ecuaciones son:

Recta paralela al eje Y x = k , con m infinita Eje Y: x = 0

Recta paralela al eje X y = k, con m = 0 Eje X: y = 0

Ejercicio. Pág 123 (4,7,8)




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Paralelismo y perpendicularidad. Dos rectas r y s son paralelas si tienen la misma inclinación.

Por tanto, dos rectas r y s son paralelas cuando tienen la misma

pendiente y el mismo vector director.

Paralelas

ms = mr

Dos rectas r y s son perpendiculares cuando el ángulo comprendido

entre ambas es de 90º.

Dada la recta r: Ax + By + C = 0, su vector director: u = (-B, A)

.

El vector perpendicular, o normal, es n = (A, B)

Director: u = (-B, A)

Normal: n = (A, B)

JUSTIFICACIÓN.

u n = (A,B) (-B, A) = -AB + AB = 0

Ortogonales

Dada la recta r: Ax + By + C = 0 y su pendiente m, la pendiente

perpendicular a la recta r es: m’ = -1

m

JUSTIFICACIÓN.

Vector director: u = (-B, A) 2

1

u Am =

u -B

Vector normal: n = (A,B) 2

1

u Bm´=

u A

m’ = 1

-1 A -A

Bm -B BA

m’ = -1

m

EJEMPLO Halla una recta paralela y otra perpendicular (o normal) a la recta r: 2x – 3y + 2 = 0 y que pasen por

el punto A(-1, 3)

Tenemos que el vector director es u = (3,2)

y que el vector normal es n = (2,-3)

.

Paralela: x +1 y - 3

2x + 2 = 3y - 9 2x - 3y +11 = 03 2

Perpendicular: x +1 y - 3

-3x - 3 = 2y - 6 -3x -2y + 3 = 0 3x + 2y - 3 = 02 -3




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Ecuación normal de la recta.

Sea la recta r: Ax + By + C = 0, su vector normal n = (A, B)

y un punto

Q(q1, q2) de la misma recta. Dado cualquier punto P(x,y) de esa

misma recta se verifica que: n PQ = 0 .

La ecuación normal de la recta se calcula mediante la fórmula:

1 2n PQ = 0 (A,B) (x - q ,y - q ) = 0

EJEMPLO Halla la recta perpendicular (o normal) a la recta r: 2x – 3y + 2 = 0 que pasen por el punto A(-1, 3).

Nota, el vector director de la recta dada es normal a la que me están pidiendo. Usando la ecuación normal de a recta:

3 3 2 6 0

v = (3,2)

(3,2) (x +1,y - 3) = 0 3x + 2y - 3 = 0P = (-1, 3)

x y

Ejercicio. Pág 124 (16 , 19)

Posiciones relativas de dos rectas.

Dadas dos rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0, pueden

tener las siguientes posiciones relativas:

Coincidentes si verifican: 'C

C

'B

B

'A

A

Paralelas si verifican: ''' C

C

B

B

A

A

Secantes si verifican: 'A

A

'B

B

Nota. La comparación por

vectores o por pendientes no

puede distinguir entre paralelas

o coincidentes.

Nota. Para calcular el punto de

corte en el caso de las rectas

secantes, basta resolver el

sistema de ecuaciones.




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EJEMPLO

Calcula la posición relativa de las rectas r : 2x – y – 3 = 0 y s: 2

2

4

1

yx

Pasamos s a su forma general: x + 1 y + 2

s : = 2x + 2 = 4y + 8 2x - 4y - 6 = 0.4 2

Son secantes porque se verifica: 2 -1

2 -4

( 4)

1

y

2x - y - 3 = 0 -8x + 4y + 12 = 0 -6x + 6 = 0 x = 1

2x - 4y - 6 = 0 2x - 4y - 6 = 0

x = 1 2 - y - 3 = 0 - 1.

Haz de rectas secantes.

Se llama haz de rectas secantes de vértice P(a, b) al conjunto de

todas las rectas del plano que pasan por el punto P.

La ecuación del haz es: y -b =m (x -a)

El parámetro m puede tomar

cualquier valor real.

Haz de rectas paralelas.

Se llama haz de rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0 al

conjunto de todas las rectas del plano que son paralelas a r.

La ecuación del haz es: Ax + By + K = 0

El parámetro K puede tomar

cualquier valor real.

Ejercicio. Pág 127 (32,33)

Distancias.

La distancia entre dos puntos A 1 2(a , a ) y B 1 2(b , b )coincide con el

módulo del vector AB .

d(A,B) = 2 2

1 1 2 2b - a + b - a

La distancia entre un punto P 1 2(a , a ) y una recta r: Ax + By + C = 0

se halla con la fórmula: d(P, r) = 1 2

2 2

A p + B p + C

A + B.

Si un punto está en una recta la

distancia es 0.




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La distancia entre dos rectas paralelas: r: Ax + By + C = 0 y

s: Ax + By + C’ = 0 se halla con la fórmula: d(r, s) =2 2

C - C'

A + B.

Si dos rectas son secantes o

coincidentes, su distancia es 0.

Ángulos.

El ángulo entre dos rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 se

puede calcular como en el tema anterior a partir de sus vectores

directores. Como queremos el menor ángulo, cambiaremos

ligeramente la fórmula, poniendo un valor absoluto.

u vcos α =

u v

2 2 2 2

AA ' BB'

A B A ' B'

El ángulo entre dos rectas r: y = mx + n y s: y = m’x + n’ se puede

calcular por sus pendientes. Como queremos el menor ángulo

pondremos valor absoluto.

1

'

'

m mtg

m m

Lugares Geométricos.

Dados dos puntos A y B, se denomina mediatriz de dicho segmento

a la recta perpendicular al mismo por su punto medio M.

La mediatriz de un segmento de extremos A y B es el lugar

geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y B.

EJEMPLO Calcula la ecuación de la mediatriz de extremos A(1, -1) y B(2,4).

Sea P(x, y) un punto genérico de la mediatriz.

2 2 2 2

2 2 2 2

d(A,P) = d(B,P) (x - 1) + (y + 1) = (x - 2) + (y - 4)

De donde : x - 2x + 1 + y + 2y + 1 = x - 4x + 4 + y - 8y + 16

Simplificando : 2x + 10y - 18 = 0 x + 5y - 9 = 0 es la mediatriz.

Ejercicio. Pág 133 (53 54)




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Dadas dos rectas r y s, las bisectrices de dichas rectas son otras dos

rectas que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos

partes iguales

Las bisectrices de dos rectas constituyen el lugar geométrico de los

puntos del plano que equidistan de r y s.

EJEMPLO Calcula la ecuación de las bisectrices de las rectas r: 6x + 8y -1 = 0 y s: 4x - 3y +3 = 0.

Sea P(x, y) un punto genérico de la bisectriz.

2 2 2 2

6x + 8y - 1 4x - 3y + 3

10 56x + 8y - 1 4x - 3y + 3 6x + 8y - 1 4x - 3y + 3

d(P,r) = d(P,s)100 256 + 8 4 + (-3)

6x + 8y - 1 4x - 3y + 3

10 5

30x + 40y - 5 40x - 30y + 30 10x - 70y + 35 = 0 2x - 14y + 7 = 0

30x + 40y - 5 40x + 30y - 30 70x + 10y + 25 = 0 14x - 2y + 5 = 0

Ejercicio. Pág 133 (55)

Simetrías

El punto simétrico de A respecto a otro punto P, es aquel punto A’

que verifica que P es el punto medio entre A y A’.

EJEMPLO Halla el punto simétrico de A(2, 1) respecto al punto P(3, 5)

Sea A’(x, y) el punto simétrico de A. Entonces:

2 1, (3,5)

2 2

23 2 6 4

2' 4, 9

15 1 10 9

2

x yM P

xx x

Ay

y y




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El punto simétrico de A respecto a una recta r (simetría axial) es

aquel punto A’ que verifica que d(A, r) = d(A’, r). Pasos:

Buscamos una recta perpendicular a la recta r por A.

Hallamos P, punto de corte de las dos rectas.

Calculamos el punto simétrico de A respecto al punto P.

EJEMPLO Halla el punto simétrico de A(2, 1) respecto de la recta r: x – 2y + 5 = 0.

Una recta perpendicular a r sería s: 2x + y + k = 0.

Cambiando A(2, 1), obtenemos que k = -5. Buscamos el punto de corte P de ambas rectas.

2

x - 2y + 5 = 0 x - 2y + 5 = 0

2x + y - 5 = 0 4x + 2y -10 = 0

5x - 5 = 0 x = 1 ; 2 + y - 5 = 0 y = 3

P es el punto medio entre A y su simétrico.

Sea A’(x, y) el punto simétrico de A respecto P(1,3). Entonces:

2 1, (1,3)

2 2

21 2 2 0

2' 0,5

13 1 6 5

2

x yM P

xx x

Ay

y y

REPASO. CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO. Según sus lados:

Equilátero: Tres lados iguales.

Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida.

Escaleno: Tres lados con distinta medida.

Según sus ángulos:

Rectángulo: Un ángulo recto.

Acutángulo: Tres ángulos agudos

Obtusángulo: Un ángulo obtuso




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Clasificación por sus ángulos de un triángulo, usando el teorema de Pitágoras. Sean a, b y c los tres lados de un triángulo, siendo a el lado de

mayor longitud. Entonces:

El triángulo es rectángulo si: a2 = b2 +c2

El triángulo es obtusángulo si: a2 > b2 +c2

El triángulo es acutángulo si: a2 < b2 + c2.

PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

ORTOCENTRO H: Punto de corte de tres las alturas (recta que

pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto).

BARICENTRO G: Punto de corte de las tres medianas (recta

que une un vértice y el punto medio del lado opuesto).

El baricentro es el centro de gravedad del triángulo. La

distancia de G al vértice correspondiente es 2/3 de la longitud

de la mediana.

1 1 1 2 2 2a +b + c a +b + cG = ,

3 3

INCENTRO I: Punto de corte de las tres bisectrices de los

ángulos del triángulo. El incentro es el centro de la

circunferencia inscrita al triángulo.

CIRCUNCENTRO O. Punto de corte de las tres mediatrices de

los lados del triángulo. El circuncentro es el centro de la

circunferencia circunscrita.




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EJERCICIOS DEL TEMA Soluciones

1. Dados los puntos A(1,2) y B(2,-3), calcula la ecuación de la recta

que pasa por ellos en todas sus formas.

2. De una recta r se conoce un punto A(2,-3) y un vector director

u

= ( -1, 2). Calcula la ecuación de esta recta en todas las

formas.

3. Indica un vector director y un vector normal para la recta

r: 3x + 4y – 1 = 0

4. Dada la ecuación de la recta r:

x = -2 + 2λ

y = a + 3λ, IR, averigua el

valor de “a” sabiendo que un punto de la recta es (4, 5)

a = - 4

5. Dadas las rectas r : ax + (a - 1) y + 1 = 0 y s : 2ax + ay - 2 = 0 ,

determina el valor de “a” para que las rectas sean:

a) Paralelas.

b) Perpendiculares.

a) a=2

b) 1

a =3

6. Halla una recta paralela y otra perpendicular (o normal) a la

recta r: x – 2y + 3 = 0 y que pasen por el punto A(-2,3)

7. Halla el simétrico del punto A(2,3) respecto de P(5,4). A’(8,5)

8. Calcular el simétrico del punto P(1,1) respecto de la recta

r: y = 3x – 7. P’(4,0)

9. Dados los puntos A(1, 1) y B(3, 2) y la recta r: x y + 5 = 0. Halla:

a. El simétrico de A respecto B.

b. El simétrico de B respecto r.

a) A’(5, 3)

b) B’(3, 8)

10. Calcula los vértices del paralelogramo ABCD, sabiendo que la

ecuación del lado AB es x - 2y = 0, la ecuación del lado AD es

3x + y = 0 y las coordenadas del punto C (3,5).

11. Calcula la posición relativa de las rectas r: -3x + y + 1 = 0 y

s: x + 3y 7 = 0. Secantes en P(1,2)




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12. Comprueba si las rectas son secantes, paralelas o coincidentes:

a)

x + 2y - 3 = 0

x + 2y + 6 = 0

b)

5x + 3y - 4 = 0

5x + 6y - 15 = 0

c)

3x + 3y - 9 = 0

2x + 2y - 6 = 0

13. Halla la ecuación de la recta paralela a la recta r: 2 3 0x y y que pasa por el punto de intersección de las rectas

s: 3 2 10 0x y y t: 4 3 7 0x y .

34 17 29 0x y

14. Halla la ecuación de una recta que pasa por el punto P(-1,4) y es:

b) Paralela al eje OX.

c) Paralela al eje OY.

d) Paralela a la bisectriz del primer-tercer cuadrante.

e) Paralela a la bisectriz del segundo-cuarto cuadrante.

f) Perpendicular a la recta 2x + 4y – 1 = 0

15. Calcula las coordenadas de los vértices y el área del triángulo

cuyos lados están sobre las rectas:

: 2 4 0r x y , : 2 3 1 0s x y , : 4 5 0t x y

A(2, 1), B(2,3), C(-1, -1)

Área: 9 u2

16. Dadas las rectas r: 2x + 4y - 5 = 0 y s: x + y - 1 = 0:

a) Halla la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto de

intersección de las dos.

b) Averigua si hay alguna recta del haz que pase por el origen de

coordenadas.

17. Calcula la distancia entre las rectas r y s, siendo r: x + 3y +1 = 0 y

s: x + 3y 2 = 0.

3 10

10

18. Calcula k para que las rectas r: kx + y = 12 y s: 4x - 3y = k+1 sean

paralelas. Calcula la distancia entre ambas.

19. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x -4y + 1 = 0, halla el valor

de k para que la distancia de P a r sea 3. k = 6; k = -4

20. Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están sobre las

rectas: r: 2x 3y 4 0 y s: 2x 3y 1 0. Calcula su área. 9/13 u

2




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21. Calcula el ángulo formado por las rectas: y = 2x + 3, y = 4x + 1. 40 36 5

22. Calcula el ángulo formado por las rectas -3x + 2

r : y =2

y

s: 2x -3y + 4 = 0 .

90º

23. Halla el ángulo formado por las rectas de ecuaciones:

x = 2t x = 1- tr: y s:

y = 1+ t y = 2 + t

71 33 54

24. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son las rectas

AB: x + 2y – 4 = 0, AC: x – 2y = 0, BC: x + y = 0. Calcula los

vértices.

25. Dado el triángulo de vértice los puntos A(1, 1), B(3, 5) y

C(1, 2), calcula su área y la ecuación de :

a. La mediana que parte de B.

b. La altura que parte de C.

Área:

a) 11x + 6y + 3 = 0

b) x y 1 = 0

26. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de

extremos A(4,3) y B(-5,7). 18x – 8y + 49 = 0

27. Halla la ecuación de la recta mediatriz del segmento de

extremos A(-2,3) y B(6,-5). x – y – 3 = 0

28. La recta r: 2x + 3y – 6 = 0 determina, al cortar a los ejes de

coordenadas, un segmento AB. Calcula la ecuación de su

mediatriz.

6x – 4y – 5 = 0

29. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que tiene como

extremo los puntos de corte de la recta 3x + 4y - 12 = 0 con los

ejes de coordenadas

8 6 7 0x y

30. La recta r: 4x - 3y – 12 = 0 es la mediatriz del segmento AB. Halla

las coordenadas del punto B, sabiendo que las del punto A son

(1,0).

31. Las coordenadas de dos vértices consecutivos de un hexágono

regular son A(2, 4) y B(3, 4+ 3 ). Hallar las coordenadas del




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centro del hexágono, sabiendo que éste se encuentra en la

bisectriz del primer cuadrante.

32. Dado el triángulo de vértices A(2, 4) , B(6, 5) y C(4, 1), halla:

a) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b) El ortocentro.

a) 2 10 0x y

4 17 0x y

b) 24 23

7 7 ,

33. Dadas las rectas r: 3x + 4y 1 = 0 y s: 4x 3y + 2 = 0, calcular las

ecuaciones de las bisectrices.

x 7y + 3 = 0

7x + y + 1 = 0

34. Los puntos A(-1, 3) y B(3, -3), son vértices de un triángulo

isósceles ABC. El vértice C está en la recta r: 2 x - 4 y + 3 = 0.

Calcular las coordenadas del vértice C.

C(17/2, 5)

35. Determina el área del círculo circunscrito al triángulo que con los

ejes determina la recta 4x + 3y - 24 = 0 A = 25

36. Determina la ecuación de una recta r que pasa por el punto

P(-4,3), cuya dirección es perpendicular a la del vector

2)(3,n

y la distancia que la separa del origen de

coordenadas.

3x – 2y +18 = 0

18 13

13u

37. Los puntos B(-1,3) y C(3,-3) son los vértices del lado desigual de

un triángulo isósceles cuyo tercer vértice A está en la recta de

ecuación x + 2y - 15 = 0. Calcula las coordenadas de A, la

ecuación de la altura correspondiente a dicho vértice y el área

del triángulo.

FÓRMULAS GEOMETRÍA – TEMA 5.


Unidad 5│Geometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato – Ciencias - 14

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TEMA 5 - GEOMETRÍA

Vectorial Paramétrica Continua General Explícita Punto-pendiente

1 2 1 2(x, y)=(a , a )+ λ (u ,u ), con λ

1 1

2 2

x = a + λu con λ

y = a + λu

1 2

1 2

x - a y - a

u u

0 Ax By C

u = (-B,A)

y =m x +n 2 1y -a =m (x -a )

Normal Pendiente m Distancia entre dos puntos Distancia entre punto y recta Distancia entre dos rectas

1 2(A,B) (x - q ,y - q ) = 0 m = tg α = 2

1

u

u d(A,B) =

2 2

1 1 2 2b - a + b - a d(P, r) = 1 2

2 2

A p + B p + C

A + B. d(r, s) =

2 2

C - C'

A + B.

Ángulo entre dos rectas El triángulo es… Posiciones relativas de dos rectas

u vcos α =

u v

2 2 2 2

AA ' BB'

A B A ' B'

1

'

'

m mtg

m m

Rectángulo si: a2 = b2 +c2

Obtusángulo si: a2 > b2 +c2

Acutángulo si: a2 < b2 + c2

Haz rectas secantes Haz rectas paralelas Baricentro

y -b =m (x -a)

m real

Ax + By + K = 0

K real

1 1 1 2 2 2a +b + c a +b + cG = ,

3 3

Ortocentro Baricentro Incentro Cincuncentro Simetría respecto punto Simetría axial

Altura: A – m perp BC Mediana: A - MBC Bisectrices Mediatrices

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TEMA 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA · 2018-01-16 · GEOMETRÍA ANALÍTICA – TEMA 5. 1.º BACHILLERATO - CIENCIAS Unidad 5│Geometría Analítica Matemáticas I - 1.º Bachillerato –