TEMA 5: RENTAS CONSTANTES 5.1.Rentas …ocw.unileon.es/fundamentos-del-analisis-de-las-operaciones... · TEMA 5: RENTAS CONSTANTES 5.1.Rentas temporales. d) Rentas temporales, diferidas

TEMA 5: RENTAS CONSTANTES

5.1. Rentas temporales.5.1.1. Rentas inmediatas (pospagables y prepagables).5.1.2. Rentas diferidas (pospagables y prepagables).5.1.3. Rentas anticipadas (pospagables y prepagables).


5.2. Rentas perpetuas.5.2.1. Rentas inmediatas (pospagables y prepagables).5.2.2. Rentas diferidas (pospagables y prepagables).

5.3. Rentas fraccionadas.5.3.1. Rentas temporales.5.3.2. Rentas perpetuas.


5.1. Rentas temporales.a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables

a a a ............................... a

0 1 2 3 ............................... n

Valor actual =



2 nn i

2 n

n n 1

n

a a aa a ....1 i (1 i) (1 i)

1 1 1a ....1 i (1 i) (1 i)

1 1 1 1 11 i (1 i) 1 i 1 i (1 i)a a1 1 i 11

1 i 1 i

1 (1 i)ai

1 na a rS

1 r1r

1 i



0 1 2 3 ............................... n

a a a ............................... a

= Valor final

nn 1 n 2

n i

(1 i) 1Valor final a (1 i) a (1 i) ... a a a Si



0 1 2 3 ............................... n

a a a …........................... a

= Valor final

n nn n

n i n i

1 (1 i) (1 i) 1Valor final a a (1 i) a (1 i) a a Si i



Ejemplo 1:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,con una duración de 12 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

50.000

0 1 2 ................... 12

Valor actual =

50.000 …..... 50.000



n i 12 0,015Valor actual a a 50.000 a 545.375,26 €

Ejemplo 1:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,con una duración de 12 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.



Ejemplo 2:Calcular el valor final de una renta anual, constante,con una duración de 12 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

0 21 …................. 12

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final



nn i

1212 0,015

Valor final a a (1 i)

50.000 a (1 0,015) 652.060,57 €

n i 12 0,015Valor final a S 50.000 S 652.060,57 €

Ejemplo 2:Calcular el valor final de una renta anual, constante,con una duración de 12 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.


5.1. Rentas temporales.b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables

a a a ............................... a

0 1 2 ............................ n-1 n

Valor actual =



n i

..

2 n 1

2 n 1

n 1 n

n

n i

a a aa a a ....1 i (1 i) (1 i)

1 1 1a 1 ....1 i (1 i) (1 i)

1 1 11 1(1 i) 1 i (1 i)a a1 1 i 11

1 i 1 i

1 (1 i)a (1 i) a a (1 i)i

1 na a rS

1 r1r

1 i



n i

..n n 1Valor final a (1 i) a (1 i) ... a (1 i) a S

0 1 2 ............................. n-1 n

a a a …........................... a

= Valor final



n i

..

n iValor final a S (1 i) a S

0 1 2 ............................. n-1 n

a a a …........................... a

= Valor final



Ejemplo 3:Calcular el valor actual de una renta anual, constante yprepagable, con una duración de 12 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

50.000

0 1 …..…. 11 12

Valor actual =

50.000 …... 50.000



n i 12 0,015

.. ..Valor actual a a 50.000 a 553.555,89 €

n i

12 0,015

Valor actual a a (1 i)

a a (1 0,015) 553.555,89 €

Ejemplo 3:Calcular el valor actual de una renta anual, constante yprepagable, con una duración de 12 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.



Ejemplo 4:Calcular el valor final de una renta anual, constante,prepagable, con una duración de 12 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

0 111…….…. ................... 12

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final



n i 12 0,015

.. ..Valor final a S 50.000 S 661.841,48 €

Ejemplo 4:Calcular el valor final de una renta anual, constante,prepagable, con una duración de 12 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

n i

12 0,015

Valor final a S (1 i)

50.000 S (1 0,015) 661.841,48 €


5.1. Rentas temporales.c) Rentas temporales, diferidas y pospagables

dn i n i

Valor actual d / a a a a (1 i)

............................ n-1 n

a a ............................... a

0 1 2

Valor actual =

a

d



n i n iValor final d / a S a S

0 1 2 3 ............................... n

a a a ............................... a

= Valorfinal

d



Ejemplo 5:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,cuyo primer término comienza a ser efectivo a los tresaños, si su duración es de 12 años, la cuantía de sustérminos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

50.000

0 3 4 ................... 12

Valor actual =

50.000 …… 50.000



dn i n i 10 0,015

210 0,015

Valor actual d / a a a a (1 i) 2 / 50.000 a

50.000 a (1 0,015) 447.581,09 €

Ejemplo 5:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,cuyo primer término comienza a ser efectivo a los tresaños, si su duración es de 12 años, la cuantía de sustérminos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.



0 23 ..................... n

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final

Ejemplo 6:Calcular el valor final de una renta anual, constante,cuyo primer término comienza a ser efectivo a los tresaños, si su duración es de 12 años, la cuantía de sustérminos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.



Ejemplo 6:Calcular el valor final de una renta anual, constante,cuyo primer término comienza a ser efectivo a los tresaños, si su duración es de 12 años, la cuantía de sustérminos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

n i 10 0,015

10 0,015

Valor final d / a S 2 / 50.000 S

50.000 S 535.136,08 €


5.1. Rentas temporales.d) Rentas temporales, diferidas y prepagables

n i n i

.. ..dValor actual d / a a a a (1 i)

....................................... n-1 n

a a ........................................

0 1

Valor actual =

a

d



0 1 2 3 ................... n-1 n

a a a ................... a

= Valorfinal

d

a

n i n i

.. ..Valor final d / a S a S



Ejemplo 7:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,prepagable, cuyo primer término comienza a ser efectivo alcomienzo del tercer año, si su duración es de 12 años, la cuantíade sus términos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

50.000

0 2 3 ................... 11 12

Valor actual =

50.000 50.000



Ejemplo 7:Calcular el valor actual de una renta anual, constante,prepagable, cuyo primer término comienza a ser efectivo alcomienzo del tercer año, si su duración es de 12 años, la cuantíade sus términos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

n i 10 0,015

10 0,015

.. ..

..2

Valor actual d / a a 2 / 50.000 a

50.000 a (1 0,015) 454.294,80 €



Ejemplo 8:Calcular el valor final de una renta anual, constante, prepagable,cuyo primer término comienza a ser efectivo al comienzo deltercer año, si su duración es de 12 años, la cuantía de sustérminos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

0 32 ..................... 11

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final

12



Ejemplo 8:Calcular el valor final de una renta anual, constante, prepagable, cuyo primer término comienza a ser efectivo al comienzo del tercer año, si su duración es de 12 años, la cuantía de sus términos 50.000 euros y el tipo de interés el 1,5%.

10 0,015 10 0,015

10 0,015

.. ..

..

Valor final d / a S 2 / 50.000 S

50.000 S 543.163,14 €


5.1. Rentas temporales.e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables

n i n iValor actual p / a a a a

....................................... n n+p

a a ........................................

1 2

Valor actual =

a

0



0 1 2 ……..................... n n+p

a a … ….......... ....... a

= Valorfinal

pn i n i

Valor final p / a S a S (1 i)



Ejemplo 9:Calcular el valor actual de una renta anual, constante, cuyoprimer término comienza a ser efectivo a los seis meses, sisu duración es de 12 años, la cuantía de sus términos 50.000euros y el tipo de interés el 1,5%.

50.000

0 0,5 1,5 ............... 11,5 12

Valor actual =

50.000 50.000



Ejemplo 9:Calcular el valor actual de una renta anual, constante, cuyoprimer término comienza a ser efectivo a los seis meses, sisu duración es de 12 años, la cuantía de sus términos 50.000euros y el tipo de interés el 1,5%.

12 0,015

0,512 0,015

Valor actual 0,5 / a a

50.000 a (1 0,015)

549.450,35 €



Ejemplo 10:Calcular el valor final de una renta anual, constante, cuyoprimer término comienza a ser efectivo a los seis meses, sisu duración es de 12 años, la cuantía de sus términos 50.000euros y el tipo de interés el 1,5%.

0 1,50,5 ................... 11,5

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final

12



Ejemplo 10:Calcular el valor final de una renta anual, constante, cuyoprimer término comienza a ser efectivo a los seis meses, sisu duración es de 12 años, la cuantía de sus términos 50.000euros y el tipo de interés el 1,5%.

12 0,015

0,512 0,015

Valor final 0,5 / a S

50.000 S (1 0,015)

656.932,82 €


5.1. Rentas temporales.f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables

n i n i

.. ..Valor actual p / a a a a

.......................... n-1 n n+p

a a ............................... a

1 2

Valor actual =

0

a



0 1 2 ……..................... n n+p

a a … …................... a

= Valorfinal

n i n i

.. ..pValor final p / a S a S (1 i)

a



Ejemplo 11:Calcular el valor actual de una renta anual y prepagablede 10 términos de 50.000 euros, anticipada seis meses, si el tipo de interés el 1,5%.

10 0,015

10 0,015

..

..

Valor actual 0,5 / a a

50.000 a 468.025,87 €



Ejemplo 12:Calcular el valor final de una renta anual y prepagablede 10 términos de 50.000 euros, anticipada seis meses, si el tipo de interés el 1,5%.

10 0,015

10 0,015

..

..0,5

Valor actual 0,5 / a S

50.000 S (1 0,015)

547.221,68 €


5.2. Rentas perpetuas.a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables

a a a ............................... a

0 1 2 3 ............................... ∞

Valor actual =

n

i n in n

1 (1 i) 1Valor actual a a lima a lima ai i


5.2. Rentas perpetuas.a) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables

Ejemplo 13:Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua,cuyos términos son de 50.000 euros y el tipo de interésel 1,5%.

i 0,015Valor actual a a 50.000 a

150.000 3.333.333,33 €0,015


5.2. Rentas perpetuas.b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables

a a a ...............................

0 1 2 3 ............................... ∞

Valor actual =

i n i

n.. ..

n n

1 (1 i) 1Valor actual a a lima a lima (1 i) a (1 i)i i

a


5.2. Rentas perpetuas.b) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables

Ejemplo 14:Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua yprepagable, cuyos términos son de 50.000 euros y eltipo de interés el 1,5%.

i 0 ,015

.. ..Valor actual a a 50.000 a

150.000 (1 0,015) 3.383.333,33 €0,015


5.2. Rentas perpetuas.c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables

di i

Valor actual d / a a a a (1 i)

......................................... ∞

a a ..........................................

0 1 2

Valor actual =

a

d


5.2. Rentas perpetuas.c) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables

Ejemplo 15:Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua,cuyos términos son de 50.000 euros y comienzan a hacerse efectivos en el tercer año, si el tipo de interéses el 1,5%.

i i

2


150.000 (1 0,015) 3.235.539,16 €0,015


5.2. Rentas perpetuas.d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables

i i

.. ..dValor actual d / a a a a (1 i)

...................................... ∞

a a ............................... a

0 1 2

Valor actual =

a

d


5.2. Rentas perpetuas.d) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables

Ejemplo 16:Calcular el valor actual de una renta anual, perpetua,y prepagable, cuyos términos son de 50.000 euros ycomienzan a hacerse efectivos al comienzo del terceraño, si el tipo de interés es el 1,5%.

i i

.. ..

2

1


150.000 (1 0,015) (1 0,015)0,015

150.000 (1 0,015) 3.284.072,25 €0,015


5.3. Rentas fraccionadas.a) Rentas temporales, inmediatas y pospagables

a a a ............................... a

0 1 2 3 ............................. n· m

Valor actual =

m

n mm

2 n m n m im m m m

1 (1 i )a a aValor actual .... a a a1 i (1 i ) (1 i ) i



1/m 1/m 1/m .......................... 1/m

0 1/m 2/m 3/m ............................ n

Valor actual =

(m)1/m 2/m n (m/m) n i n i

(m)

1 / m 1 / m 1 / m i 1Valor actual .... m a a(1 i) (1 i) (1 i) J m



0 1 2 3 ............................. n· m

a a a ............................... a

= Valor final

m

n mn m 1 n m 2 m

m m n m im

(1 i ) 1Valor final a (1 i ) a (1 i ) ... a a a S

i



0 1/m 2/m 3/m ............................ n

1/m 1/m 1/m ........................... 1/m

= Valor final

n (1/m) n (2/m) (m)n i n i

(m)

1 1 1 i 1Valor final (1 i) (1 i) ... m S Sm m m J m



Ejemplo 17:Calcular el valor actual de una renta mensual, constante,con una duración de 30 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 2,5%.

50.000

0 1 2 .................. 360 meses

Valor actual =

50.000 …..... 50.000




mn m i 360 0,002059836Valor actual a a 50.000 a

12.701.429,80 €

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836




n i 30 0,025(m) (12)

30 0,025

i 1 0,025Valor actual m a 50.000 12 aJ m J

0,025 50.000 12 a 12.701.429,84 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035



Ejemplo 18:Calcular el valor final de una renta mensual, constante,con una duración de 30 años, si sus términos son de50.000 euros y el tipo de interés el 2,5%.

0 21 …............... 360 meses

50.000 50.000 .......... 50.000

= Valor final




mn m i 360 0,002059836Valor final a S 50.000 S

26.642.107,26 €

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836




n i 30 0,025(m) (12)

30 0,025

i 1 0,025Valor final m S 50.000 12 SJ m J

0,025 50.000 12 S 26.642.107,44 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035


5.3. Rentas fraccionadas.b) Rentas temporales, inmediatas y prepagables

a a a ..................... a

0 1 2 3 ............... n· m-1 n· m

Valor actual =

n m im m

..

mn m iValor actual a a a a (1 i )

a



1/m 1/m 1/m ......................... 1/m

0 1/m 2/m 3/m ......... (n-1)+[(m-1)/m] n

Valor actual =

(m )

n i

..(m)

mn iValor actual a a (1 i )

1/m



0 1 2 3 ............ n· m-1 n· m

a a a ................... a

= Valor final

n m im m

..

mn m iValor final a S a S (1 i )

a



0 1/m 2/m 3/m ............ (n-1)+[(m-1)/m] n

1/m 1/m 1/m ........................... 1/m

= Valor final

(m )

n i

..(m)

mn iValor final S S (1 i )

1/m



Ejemplo 19:Calcular el valor actual de una renta mensual, constante,prepagable, con una duración de 30 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 2,5%.

50.000

0 1 2 .................. 359 360 meses

Valor actual =

50.000 …..... 50.00050.000




n m i 360 0,002059836m

.. ..

360 0,002059836

Valor actual a a 50.000 a

50.000 a (1 0,002059836) 12.727.592,66 €

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836




(12 )

30 0,025

..(12)30 0,025

30 0,025

Valor actual 50.000 12 a 50.000 12 a (1 0,002059836)

0,025 50.000 12 a (1 0,002059836) 12.727.592,70 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035



Ejemplo 20:Calcular el valor final de una renta mensual, constante,prepagable, con una duración de 30 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 2,5%.

n m i 360 0,002059836m

.. ..

360 0,002059836

Valor final a S 50.000 S

50.000 S (1 0,002059836) 26.696.985,64 €

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836



Ejemplo 20:Calcular el valor final de una renta mensual, constante,prepagable, con una duración de 30 años, si sus términosson de 50.000 euros y el tipo de interés el 2,5%.

(12 )

30 0,025

..(12)30 0,025

30 0,025

Valor final 50.000 12 S 50.000 12 S (1 0,002059836)

0,025 50.000 12 S (1 0,002059836) 26.696.985,82 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035


5.3. Rentas fraccionadas.c) Rentas temporales, diferidas y pospagables

m m

m m

dn m i n m i

(m) (m) dn i n i

n m i n m i

(m) (m)n i n i

d / a a (1 i)

d / a a (1 i)

d / S S

d / S S


5.3. Rentas fraccionadas.d) Rentas temporales, diferidas y prepagables

n m i n m im m m

(m )(m )n in i

n m i n m im m m

(m ) (m )

n i n i

.. ..d m d

m mn m i

.. ..d (m) d

mn i

.. ..

mn n i

.. ..(m)

mn i

d / a a (1 i ) a (1 i ) (1 i)

d / a a (1 i) a (1 i ) (1 i)

d / S S S (1 i )

d / S S S (1 i )


5.3. Rentas fraccionadas.e) Rentas temporales, anticipadas y pospagables

m m

m m

n m i n m i

(m) (m)n i n i

pn m i n m i

(m) (m) pn i n i

p / a a

p / a a

p / S S (1 i)

p / S S (1 i)


5.3. Rentas fraccionadas.f) Rentas temporales, anticipadas y prepagables

n m i n m im m m

(m ) (m )

n i n i

n m i n m im m m

(m ) (m )

n i n i

.. ..

mn m i

.. ..(m)

mn i

.. ..p m p

m mn m i

.. ..p (m) p

mn i

p / a a a (1 i )

p / a a a (1 i )

p / S S (1 i ) S (1 i ) (1 i)

p / S S (1 i) S (1 i ) (1 i)


5.3. Rentas fraccionadas.g) Rentas perpetuas, inmediatas y pospagables

a a a ............................... a

0 1 2 3 ............................... ∞

Valor actual =

m m

n mm

i n m in nm m

1 (1 i ) 1Valor actual a a lima a lima ai i



1/m 1/m 1/m .......................... 1/m

0 1/m 2/m 3/m ........................... ∞

Valor actual =

(m) (m)i n i n in n

(m)

(m) (m)

i 1Valor actual a lima lim m aJ m

i 1 1 1 1m mJ m i J m



Ejemplo 21:Calcular el valor actual de una renta mensual, constantey perpetua, si sus términos son de 50.000 euros y el tipode interés el 2,5%.

50.000

0 1 2 .................. ∞ meses

Valor actual =

50.000 …..... 50.000




0,002059836

1Valor actual a a 50.0000,002059836

24.273.774,07 €

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836




(12)0,025

(12)

1Valor actual 50.000 12 a 50.000 12J

150.000 12 24.273.774,07 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035


5.3. Rentas fraccionadas.h) Rentas perpetuas, inmediatas y prepagables

a a a .................... a

0 1 2 3 ............................ ∞

Valor actual =

i n m im m

m

.. ..

n

n mm

m m minm m

Valor actual a a lima a

1 (1 i ) 1lima (1 i ) a (1 i ) a a (1 i )i i

a



1/m 1/m 1/m ............... 1/m

0 1/m 2/m 3/m ........................... ∞

Valor actual =

(m ) (m )

i i

.. ..

mn in n(m)

(m)m m mn i

(m) (m)

i 1Valor actual a lima lim m a (1 i )J m

i 1 1 1 1m (1 i ) m (1 i ) a (1 i )J m i J m

1/m



Ejemplo 22:Calcular el valor actual de una renta mensual, constante,perpetua y prepagable, si sus términos son de 50.000 eurosy el tipo de interés el 2,5%.

50.000

0 1 2 ........................................ ∞ meses

Valor actual =

50.000 …..... 50.00050.000




0,002059836 0,002059836

.. ..Valor actual a a a a

150.000 (1 0,002059836) 24.323.774,07 €0,002059836

1212

1/12 1/1212

1 i (1 i )

i (1 i) 1 (1 0,025) 1 0,002059836




(12 )

0 ,025

..(12)

0,025

(12)

Valor actual 50.000 12 a 50.000 12 a (1 0,002059836)

150.000 12 (1 0,002059836)J

150.000 12 (1 0,002059836) 24.323.774,07 €0,024718035

(12) 12J i 12 0,002059836 12 0,024718035


5.3. Rentas fraccionadas.i) Rentas perpetuas, diferidas y pospagables

m m

d di i

m

(m) (m) d di i

(m)

1d / a a (1 i) (1 i)i1 1d / a a (1 i) m (1 i)

J m


5.3. Rentas fraccionadas.j) Rentas perpetuas, diferidas y prepagables

i im m m

(m )(m )ii

.. ..d m d

m mi

dm

m

.. ..d (m) d

mi

dm

(m)

d / a a (1 i ) a (1 i ) (1 i)

1 (1 i ) (1 i)i

d / a a (1 i) a (1 i ) (1 i)

1 1 m (1 i ) (1 i)J m

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TEMA 5: RENTAS CONSTANTES 5.1.Rentas …ocw.unileon.es/fundamentos-del-analisis-de-las-operaciones... · TEMA 5: RENTAS CONSTANTES 5.1.Rentas temporales. d) Rentas temporales, diferidas