1

5.- Probabilidad.

5.1 Definición de probabilidad

5.2 Asignación de probabilidades

5.3 Probabilidad condicionada

5.4 Sucesos dependientes e independientes

5.5 Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes

fenómenos determinísticos y aleatorios

ix in if

1 2 3 4 5 6

45 57 51 48 54 45

0,15 0,19 0,17 0,16 0,18 0,15

total n=300 1

0 1if .

2 4 6 2 4 6( ) 0,19 0,16 0,15 0,50f par f x x x f f f

6

1

1ii

f

5.1 Definición de probabilidad.

ix ip

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

2

suceso

A={obtener par}, B={obtener impar}, C={obtener un 3},

D={obtener un número mayor o igual que 4}, E={obtener un número menor que 4}…

suceso elemental, i

suceso seguro,

suceso imposible,

5.1 Definición de probabilidad.

ωi pi

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Operaciones y relaciones con sucesos:

A implica B, A B

unión de dos sucesos A y B, A B

A B B A A B C A B C A A A

intersección de dos sucesos A y B, A B ,

A B B A A B C A B C A A A

propiedades distributivas:

A B C A B A C A B C A B A C

propiedad de absorción:

A A B A A A B A

5.1 Definición de probabilidad.

, , B impar 4D mayor o igual que 1,3, 4,5,6B D

, , . B impar 4D mayor o igual que 5B D

5x(4+6)=(5x4)+(5x6)

3

5.1 Definición de probabilidad.

diferencia de dos sucesos,

suceso contrario (o complementario) de A, = A . Propiedades:

A B A B

A y B son incompatibles si

A B

A

A A

A B B A

A A A A

1 1... ...n nA A A A

1 1... ...n nA A A A

A B

, 4E menor que , 5B E , 2E B . B impar

, , A par A B impar

, 5A par B

Definición de probabilidad.

, PA

( )A A PA

Condiciones:

1.- ( ) 0A A P A

2.- Sean 1, ..., nA A sucesos incompatibles, 1 1

nn

i ii i

A A

P P

3.- 1 P

5.1 Definición de probabilidad.ix ip

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

.

0 1if

2 4 6 2 4 6( ) 0,19 0,16 0,15 0,50f par f x x x f f f 6

1

1ii

f

4

5.1 Definición de probabilidad.

Propiedades:

1.-

2.-

3.- Si ( ) ( ) ( )B A A B A B P P P

4.- Si ( ) ( )B A B A P P

5.- ( ) 1A A P

6.- Sucesos compatibles:

7.-

( ) 1 ( )A A P P

( ) 1 ( ) 1 1 0 P P

( )A B A B A B P P P P

1 1

nn

i ii i

A A

P P

3.-

P(A-B)=P(A)-P(B)

A B

5

P(A) +P(B) -P(A∩B)=P(AᴜB)

6.-

Problema de la asignación de probabilidades.

i

iA

A

P P

concepción clásica o de Laplace

1i in

P

regla de Laplace

1

i i

iA A

k casos favorablesA

n n casos posibles

P P

5.2 Asignación de probabilidades.

ix ip

1 2 3 4 5 6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6

Problema de la asignación de probabilidades.

i

iA

A

P P

concepción frecuentista

ix in if

1 2 3 4 5 6

45 57 51 48 54 45

0,15 0,19 0,17 0,16 0,18 0,15

total n=300 1

ix in if

1 2 3 4 5 6

456 561 516 483 534 450

0,152 0,187 0,172 0,161 0,178 0,150

total n=3000 1

concepción subjetiva

(la probabilidad de que la selección española gane el próximo mundial de fútbol es de 4/5)

5.2 Asignación de probabilidades.

►EJEMPLO 6.1

Calcule las probabilidades de los siguientes sucesos en el lanzamiento de un dado según la concepción

clásica de Laplace y según la concepción frecuentista (tomando para este último caso como valores

estables de las frecuencias los observados en los 3000 lanzamientos). Expréselo de distintas formas

donde se pueda.

A={obtener par}, B={obtener impar}, C={obtener un 3}, D={obtener un número mayor o igual que

4}, E={obtener un número menor que 4}.

5.1

7

A={obtener par}, B={obtener impar}, C={obtener un 3},

D={obtener un número mayor o igual que 4}, E={obtener un número menor que 4}.

Concepción clásica:

1 1 1 1 3 10,5

6 6 6 6 6 2i i

iA A

casos favorablesA

casos posibles

P P

3 11 1 0,5 0,5

6 2

casos favorablesB A A

casos posibles P P P

10,16

6

casos favorablesC

casos posibles

P

3 10,5

6 2

casos favorablesD

casos posibles P

3 11 1 0,5 0,5

6 2

casos favorablesE D D

casos posibles P P P

A={obtener par}, B={obtener impar}, C={obtener un 3},

D={obtener un número mayor o igual que 4}, E={obtener un número menor que 4}.

Concepción frecuentista:

0,187 0,161 0,150 0, 498i

iA

A

P P

0,152 0,172 0,178 0,502 1 1 0, 498 0,502i

iB

B A A

P P P P

0,172C P

0,161 0,178 0,150 0, 489i

iD

D

P P

0,152 0,187 0,172 0,511 1 1 0,489 0,511i

iE

E D D

P P P P

8

►EJEMPLO 5.2

En una ciudad se publican tres periódicos (A, B y C). Se sabe que un 60% de la población está

suscrita al periódico A, un 40% a B, un 35% a C, un 20% a A y B, un 15% a A y C, un 25% a B y C,

y un 10% a los tres periódicos. Se le pregunta a un individuo elegido al azar ¿qué probabilidad hay

de que responda que está suscrito a algún periódico?

( ) ( ) ( )A B C A B C A B C A B C P P P P P

( ) ( ) ( ) ( )A B C B C A B C = P P P P P

( ) ( ) ( ) ( )A B C B C A B A C = P P P P P

( ) ( ) ( ) ( )A B C B C A B A C A B C = P P P P P P P

( ) ( ) ( ) ( )A B C B C A B A C A B C = P P P P P P P

60 40 35 25 20 15 10 850,85

100 100 100 100 100 100 100 100

P(suscrito a A o suscrito a B o suscrito a C)=P(AᴜBᴜC)

P(AᴜB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

P(AᴜBᴜCᴜD)=P(A)+P(B)+ P(C)+P(D)-P(A∩B)-P(A∩C )-P(A∩D )-P(B∩C)-P(B∩D )-P(C∩D)+P(A∩B∩C)+P(A∩B∩D)+P(A∩C∩D)+P(B∩C∩D)-P(A∩B∩C∩D)

9

Probabilidad condicionada.

0

B AB AA A

PP P

P

Verifica las condiciones de una medida de probabilidad:

1.- 0B BA P A

2.- Sean 1, ..., nB B sucesos incompatibles, 1

1

n

ni

i i

i

B BA

A

P P

3.- 1A P

5.3

Demostración:

1.-

0 0 0

B A B AB A y B AA A A

P PP P P

P P

2.-

1 1 11

1 1

nn nn

i ii n ni i i iii i

i i

B A B AB AB B A BAA A A AA

P PPP

P = PP P P P

3.-

1A A

A A A

P P

PP P

10

Enseñanza obligatoria Bachillerato Universitarios TOTAL hombres 250 160 40 450 mujeres 350 140 60 550 TOTAL 600 300 100 1000

Entre los hombres (H sería el suceso conocido o que ha ocurrido) la frecuencia relativa de los que

completaron los estudios universitarios, U, es:

4040 1000

4504501000

f U HUf H f H

Mientras que la frecuencia relativa de los que completaron los estudios universitarios (sin imponer

ninguna condición sobre el sexo) es:

100

1000f U

Por tanto, todas las propiedades de la probabilidad (no condicionada) también se cumplen:

1A AC C P P

B A A B A BC C C

P P P

. . .

A B A BA BC C C C P P +P P

5.3 Probabilidad condicionada.

11

0

B AB AA A

PP P

P

0A BA BB B

P

P PP

fórmula de la probabilidad compuesta o fórmula del producto de probabilidades:

B AA B A BA BP P P =P P

CBA B C A A A B P P P P

321 2 1

1 1 2 1 2 1... ... ...

nn

n

A AAA A A A A A A A A A

P P P P P

5.3 Probabilidad condicionada.

Sucesos dependientes e independientes.

En general B BA P P

Si B BA P P B es independiente de A

B AB B A B A BA A

P

P P P P PP

A B A BA AB B B

P P P

P PP P

A B A BP P P

5.4

12

►EJEMPLO 6.2

En un dado con igual probabilidad de aparición para todas sus caras comprobar que los siguientes

sucesos, de dos en dos, son dependientes.

A={obtener par}, B={obtener impar}, C={obtener un 3},

D={obtener un número mayor o igual que 4}, E={obtener un número menor que 4}.

1 1 10

2 2 4A B A B P P P

1 1 10

2 6 12A C A C P P P

2 1 1 1

6 2 2 4A D A D P P P

1 1 1 1

6 2 2 4A E A E P P P

1 1 1 1

6 2 6 12B C B C P P P

1 1 1 1

6 2 2 4B D B D P P P

2 1 1 1

6 2 2 4B E B E P P P

1 1 10

6 2 12C D C D P P P

1 1 1 1

6 6 2 12C E C E P P P

1 1 10

2 2 4D E D E P P P

◄

5.4 Sucesos dependientes e independientes.

5.3

►EJEMPLO 6.3

En el bar de la Facultad de CC. EE. y EE. el 90% de los clientes son estudiantes. Se sabe que el 45%

de los clientes toman café y que el 30% de los estudiantes toman café.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar sea estudiante y tome café?

b) Se elige al azar un cliente que toma café, ¿cuál es la probabilidad de que sea estudiante?

c) ¿Son independientes los sucesos tomar café y ser estudiante?

Definimos los sucesos: E={el cliente es estudiante}, C={el cliente toma café}

a) Utilizamos la fórmula de la probabilidad compuesta:

90 300, 27

100 100CC E E E P P P

b) Según la definición de probabilidad condicionada:

0, 270,6

0,45

C EEC C

P

P =P

0, 27 0, 45 0,90 0,405C E C E P P P , por lo tanto no son independientes

5.4 Sucesos dependientes e independientes.

c)

5.4

P E C

EP C

CEP P E P P CC E

P E C P E P C

0,90 0, 45 0,30CP E P C P E

13

Fórmula de la probabilidad total.

Sean los sucesos 1, ..., nA A una partición de

i jA A i j ; 1

n

ii

A

fórmula de la probabilidad total:

1

n

iii

BB AA

P = P P

5.5 Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.

Ω

A2

A1

A5A4

A3A6

A7

B

1

;n

i j ii

A A i j A

1

n

iii

BB AA

P = P P

i ii

BP B A P P AA

1

n

ii

P B P B A

14

Fórmula de Bayes.

kk k

k

A BA B B AB A

P P P P P

fórmula de Bayes:

1

kk kk

n

iii

BAA B AAB B B AA

P PPP

P P P

5.5 Fórmula de la probabilidad total. Fórmula de Bayes.

►EJEMPLO 6.5

La producción de una factoría se realiza en cuatro máquinas, 1 2 3 4, ,M M M y M . Diariamente la

producción de cada una de las máquinas es la siguiente:

1M 2M 3M 4M TOTAL

600 500 350 250 1700 Además sabemos que los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada una de las máquinas

son:

1M 2M 3M 4M

4% 3,5% 4,6% 2% a) Si las piezas se almacenan conjuntamente, ¿cuál es la probabilidad de que al seleccionar una

pieza al azar ésta sea defectuosa?

b) Se ha seleccionado una pieza defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producida

en la máquina 2M ?

5.5

15

b) Según la fórmula de Bayes

222

4

1

3,5 5001750100 1700 0,27955

6260 6260170000i

ii

D MMMD

D MM

P PP = = = =

P P

a) Según la fórmula de la probabilidad total

4

1

4 600 3,5 500 4, 6 350 2 250 6260

100 1700 100 1700 100 1700 100 1700 170000i

ii

DD MM

P = P P