tema 6

IES PEDRO ÁLVAREZ SOTOMAYOR JANL

CAPÍTULO II: ANÁLISIS MATEMÁTICO TEMA 6.- P. GLOB. DE FUNCIONES 1

TEMA 6: PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES

1.- FUNCIONES REALES. DOMINIO E IMAGEN. 2.- MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS 3.- ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS. 4.- FUNCIONES SIMÉTRICAS. 5.- FUNCIONES PERIÓDICAS 6.- COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. PROPIEDADES. 7.- FUNCIÓN INVERSA. 8.- OPERACIONES CON FUNCIONES.

1. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. DOMINIO E IMAGEN

1.1. NOCIONES BÁSICAS

De manera general, en el propio lenguaje cotidiano, usamos el término “función” con

un significado parecido a la notación matemática del concepto. Una primera aproximación a la idea de función es la de una relación entre los elementos de dos conjuntos. De manera formal, se define una función entre dos conjuntos numéricos A y B, denominados conjunto inicial y conjunto final, respectivamente, como una correspondencia por la cual a cada elemento de un subconjunto de A (denominado dominio de la función, y denotado por Dom (f)) le corresponde un único elemento de un subconjunto de B (llamado imagen, recorrido o rango de f, y denotado por Im (f) o Rec(f)). Simbólicamente:

:

Los elementos del conjunto A constituyen la variable independiente de la función, y los de B, la variable dependiente.

Llamaremos gráfica de la función f a la representación cartesiana del subconjunto de

formado por todas las parejas (x, f(x)) de números reales relacionados por la función.

De manera general, toda función se puede clasificar en:

FUNCIONES INYECTIVAS Una función f es inyectiva si cada elemento de Im(f) es imagen de un único elemento de Dom (f).

FUNCIONES SOBREYECTIVAS Una función f es sobreyectiva si el conjunto Im(f) coincide con el conjunto final.

FUNCIONES BIYECTIVAS Una función es biyectiva si es, a la vez, inyectiva y sobreyectiva.

Según quiénes sean los conjuntos inicial y final, la función recibe distintas denominaciones. Si es : , se denomina función entera de variable natural; si es

: , la llamaremos función natural de variable racional; etc. Nos ocuparemos básicamente del estudio de las funciones cuyos conjuntos inicial y final son los números reales : ; esto es, funciones reales de variable real.



En la práctica, las funciones vendrán dadas por descripciones verbales, tablas, gráficas o expresiones matemáticas que permitan averiguar los pares de números reales relacionados por la misma. Según sea esta expresión, podemos clasificar las funciones así:

1.2. CÁLCULO DE DOMINIOS

Tal y como quedó definido anteriormente, el dominio de una función es el conjunto de

valores para los cuales está definida la función. Por ello, para determinar el dominio de una función es esencial determinar el tipo de función que se está considerando. Los cálculos más usuales de dominios se refieren a las siguientes funciones:

FUNCIONES POLINÓMICAS El dominio de estas funciones coincide con el conjunto de los números reales.

FUNCIONES RACIONALES El dominio de estas funciones es el conjunto de los números reales, excluidos los ceros o raíces del denominador.

FUNCIONES IRRACIONALES

o Del tipo , siendo n par: el dominio viene dado por los valores de x para los cuales es positiva o nula. Es decir:

/ 0

o Del tipo , siendo n impar: el dominio coincide con el dominio de .

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS El dominio de las funciones del tipo y cos será el dominio de . Las funciones del tipo tendrán por dominio:

/ 2 ,

FUNCIONES EXPONENCIALES El dominio de las funciones del tipo , con 0 y 1, es el dominio de

FUNCIONES LOGARÍTMICAS El dominio de las funciones del tipo f x log g x , con a 0 y a 1, viene dado por:

/ 0

FUNCIONES

TRASCENDENTES

ALGEBRAICAS RACIONALES IRRACIONALES EXPONENCIALES LOGARÍTMICAS TRIGONOMÉTRICAS

POLINÓMICAS FRACCIONARIAS



2. MONOTONÍA. EXTREMOS RELATIVOS

2.1. FUNCIONES ESTRICTAMENTE CRECIENTES

Una función f es monótona creciente en un intervalo , de su dominio si, para cualquier par de valores , de dicho intervalo tales que , se cumple que

. En caso de que la desigualdad anterior sea estricta, se dice que la función es

estrictamente creciente en tal intervalo.

2.2. FUNCIONES ESTRICTAMENTE DECRECIENTES Una función f es monótona decreciente en un intervalo , de su dominio si,

para cualquier par de valores , de dicho intervalo tales que , se cumple que .

En caso de que la desigualdad anterior sea estricta, se dice que la función es estrictamente decreciente en el intervalo.

2.3. ENTORNOS Y ENTORNOS REDUCIDOS

Dado un valor real y una cantidad positiva r, se llama entorno de centro y radio

r, y se denota por , , al conjunto de números reales que distan de menos que r. Formalmente:

, , Se define el entorno reducido de un punto como el entorno excluyendo dicho

punto; es decir: , ,

O X

O X



2.4. EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

Una función f tiene un máximo relativo o local en un punto de su dominio de definición si existe un entorno de , , , tal que para todo punto x perteneciente al entorno reducido , , se verifica que .

Una función f tiene un mínimo relativo o local en un punto de su dominio de

definición si existe un entorno de , , , tal que para todo punto x perteneciente al entorno reducido , , se verifica .

3. ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS 3.1.ACOTACIÓN

• Una función f está acotada superiormente por un número real K si todos los valores

que toma la función son menores o iguales que K. Es decir: á ,

A K se le llama cota superior de la función.

• Una función f está acotada inferiormente por un número real P si todos los valores que toma la función son mayores o iguales que K. Es decir:

á ,

A P se le llama cota inferior de la función.

• Una función f se dice que está acotada si lo está superior e inferiormente á ,

O X

O X



3.2. EXTREMOS ABSOLUTOS Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la

menor de sus cotas superiores. Se le llama máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo

superior o supremo cuando es alcanzado por la función. Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor

de sus cotas inferiores. Se le llama mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior

o ínfimo cuando es alcanzado por la función.

4. FUNCIONES SIMÉTRICAS

Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas si verifica: ,

A las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se les llama funciones pares.

Una función f es simétrica respecto del origen de coordenadas si verifica:

, A las funciones simétricas respecto del eje de ordenadas se les llama funciones impares.

| 4|

| 1| | 1|



5. FUNCIONES PERIÓDICAS Una función f es periódica, de periodo 0 , si verifica:

, ,

A T le llamamos periodo principal de la función, pues cualquier múltiplo de éste también es periodo.

*NOTA: Cuando hablamos de periodo de funciones periódicas nos referimos al periodo

principal.

6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. PROPIEDADES

Dadas dos funciones f y g, con , se llama función compuesta de la función f con la función g (ó f compuesta con g) a la función que cumple:

A partir de la definición de función compuesta, podemos afirmar que:

Las propiedades más importantes de la composición de funciones son:

1. Propiedad asociativa. Tres funciones f, g, h que se puedan componer, verifican:



2. Propiedad no conmutativa. La composición de funciones, en general, no es conmutativa:

7. FUNCIÓN RECÍPROCA La función recíproca (o inversa respecto a la composición) de una función inyectiva f

se representa por , y es la función que cumple:

Una función y su inversa verifican las siguientes propiedades: • • Las gráficas de y de , referidas al mismo sistema de coordenadas, son

simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante.

8. OPERACIONES CON FUNCIONES

Dada una función f con dominio Dom (f), se define: • La función producto de un número real t por la función f, tf, es de la forma:

, Dadas las funciones f y g con dominios respectivos Dom (f) y Dom (g), se define en el dominio común a ambos :

• La suma de las funciones f y g, que representaremos por , de la forma: ,

• El producto de las funciones f y g, que representaremos por , de la forma:

,

• El cociente de las funciones f y g, que representaremos por , de la forma:

,

y

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