Tema 6: Sistemas de ecuaciones.eues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates3/tema6/tema6.pdf · Cuando tengamos el esquema, ... En ella indicamos el número de ecuaciones ... [RESOLUCIÓN

Ejercicio 1. Representar las rectas siguientes:

332 =− yx

1835 =+ yx

Figura 1.

Solución:

332332 −

=→=−xyyx

X -3 0 3 6 9 ... Y -3 -1 1 3 5 ...

35181835 xyyx −

=→=+

x 0 1 2 3 6 ... y 6 13/3 8/3 1 -4 ...

El punto donde se cortan las rectas, (3, 1), es la solución común de ambas ecuaciones: 3=x , 1=y .

Tema 6: Sistemas de ecuaciones.

3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]

2

- Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Para representar una función, debemos insertar primero su esquema. Para hacerlo, pinchamos en la

pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Representar’.

Figura 2.

2. Cuando tengamos el esquema, entre los paréntesis escribiremos dicha función, sabiendo que para los

signos de suma y resta utilizamos los correspondientes signos del teclado: + y -.

Figura 3.

3. El último paso para obtener la representación gráfica es pinchar en el icono ‘=’ que vemos a la derecha

de las operaciones que hemos escrito. El gráfico aparecerá en una ventana independiente.

Figura 4.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 6. Sistemas de ecuaciones.

3

Figura 5.

4. Comprobaremos la solución resolviendo el sistema. Insertamos un sistema pinchando en el icono

‘Resolver sistema’, que encontramos también en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento nos

aparecerá la ventana que vemos en la siguiente imagen. En ella indicamos el número de ecuaciones

que queremos que tenga nuestro sistema y pinchamos en ‘Aceptar’.

Figura 6.

5. Después del paso anterior nos aparecerá el siguiente esquema. En él, tendremos un hueco para cada

miembro de ambas ecuaciones.


4

Figura 7.

6. Rellenamos los huecos teniendo en cuenta lo que hemos visto en el paso anterior y pinchamos en el

icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 8.

Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:

Ejercicio 2.

Comprueba si cada uno de los pares de valores siguientes es solución de la ecuación 1234 =− yx : Solución:

a) 6=x , 4=y

Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:

12121212241243641234 =→=−→=⋅−⋅→=− yx Como podemos ver, al sustituir estos valores, la igualdad tiene sentido, por lo que ambos pertenecen a

una solución de la ecuación.


5

b) 6=x , 12=y

Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:

121212362412123641234 =−→=−→=⋅−⋅→=− yx Al operar hasta dejar la ecuación simplificada, vemos que el valor de un miembro no coincide con el

valor en el otro, por lo que los puntos no son solución.

c) 0=x , 4−=y Sustituimos los dos puntos en la ecuación y operamos:

( ) 12121243041234 =→=−⋅−⋅→=− yx Al igual que en el primer apartado, al sustituir en la ecuación, obtenemos el mismo resultado en ambas

partes de la ecuación, por lo que el par de coordenadas dado es una solución a la ecuación.


1. En primer lugar, escribiremos el nombre que vamos a darle a la ecuación. Este será una letra (F) y la

escribiremos seguida de unos paréntesis entre los que pondremos las variables de la ecuación (si

tuviera sólo una sería x, pero al tener dos, escribimos ambas separadas por una coma).

Figura 9.

2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después la función entre paréntesis. Los

paréntesis son muy importantes para no confundir a Wiris con los dos signos =.


6

Figura 10.

3. Ahora sustituiremos el punto en la función. Por eso le hemos dado nombre, ahora sólo tenemos que

escribir el nombre de la función y en el lugar de las variables, escribimos las coordenadas del punto.

Cuando esté planteado pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 11.

4. Repetimos el paso anterior con otros dos pares de coordenadas. Wiris sustituirá estos en la función

siempre que los escribamos dentro del mismo bloque y pinchemos en el icono ‘=’.

Figura 12.



7

Ejercicio 3.

Representa las rectas de ecuaciones:

a) 62 =− yx

b) 0=+ yx

¿Cual es la solución común a ambas ecuaciones? Solución:

6262 −=→=− xyyx

X -2 0 2 4 5 ... Y -10 -6 -2 2 4 ...

xyyx −=→=+ 0

X -2 0 2 4 5 ... Y 2 0 -2 -4 -5 ...

El punto donde se cortan las rectas, (2, -2), es la solución común de ambas ecuaciones: 2=x , 2−=y .

Figura 13.


1. Para representar una ecuación, pinchamos en el icono ‘Representar’, que encontramos en la pestaña

‘Operaciones’.


8

Figura 14.

2. Cuando tengamos el esquema, entre los paréntesis escribiremos dicha función, sabiendo que para los

signos de suma y resta utilizamos los correspondientes signos del teclado: + y -.

Figura 15.

3. El último paso para obtener la representación gráfica es pinchar en el icono ‘=’ que vemos a la derecha

de las operaciones que hemos escrito. El gráfico aparecerá en una ventana independiente.

Figura 16.


9

Figura 17.

4. Comprobaremos la solución resolviendo el sistema. Insertamos un sistema pinchando en el icono

‘Resolver sistema’, que encontramos también en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento nos

aparecerá la ventana que vemos en la siguiente imagen. En ella indicamos el número de ecuaciones

que queremos que tenga nuestro sistema y pinchamos en ‘Aceptar’.

Figura 18.

5. Después del paso anterior nos aparecerá el siguiente esquema. En él, tendremos un hueco para cada

miembro de ambas ecuaciones.

Figura 19.


10

6. Rellenamos los huecos teniendo en cuenta lo que hemos visto en el paso anterior y pinchamos en el

icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 20.


Ejercicio 4.

Estudiar si alguno de los pares 3−=x , 5=y y 2=x , 21

=y es solución de cada uno de los

siguientes sistemas:

a)

=+=+

8431565

yxyx

b)

=+−=−

23109143

yxyx

c)

=+=−

231094207

yxyx

Solución:

Recuerde que un par x e y es solución de un sistema cuando lo es de ambas ecuaciones.

a)

=+=+

==

=+−=+−

=−=

=+=+

SOLUCIÓNESNOSÍNO

yx

SOLUCIÓNESNONOSÍ

yx

yxyx

82613310

21,2

11209153015

5,3

8431565


11

b)

=+=−

==

=+−−=−−

=−=

=+−=−

SOLUCIÓNESNOSÍNO

yx

SOLUCIÓNESSÍNOSÍ

yx

yxyx

235182/112/16

21,2

2350271459

5,3

23109143

c)

=+=−

==

=+−−=−−

=−=

=+=−

SOLUCIÓNESSÍSÍSÍ

yx

SOLUCIÓNESNOSÍNO

yx

yxyx

2351841014

21,2

23502712110021

5,3

231094207





Figura 21.

2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después una lista vertical. Encontraremos

una, pinchando en el icono ‘Lista vertical’, que encontramos señalado en la siguiente imagen, dentro

de la pestaña ‘Operaciones’. Cuando nos aparezca una ventana en la que indicar el número de filas,

escribiremos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.

Figura 22.


12

3. En la siguiente imagen vemos la apariencia que tiene la lista vertical después del nombre que hemos

dado al sistema.

Figura 23.

4. En cada hueco de la lista insertaremos una de las funciones, quedando planteado de la siguiente

manera.

Figura 24.




Figura 25.


13



Figura 26.

7. Siguiendo los pasos anteriores, resolveremos el apartado b. Hemos escogido la letra g para que

observemos que el nombre elegido para llamar al sistema es indiferente mientras que sea ese el que

conservemos para los puntos que hay que sustituir en el mismo bloque.

Figura 27.

8. De igual manera resolveremos el apartado c.


14

Figura 28.


Ejercicio 5.

Di si alguno de los pares 1−=x , 4=y y 7=x , 8=y es solución de cada uno de los siguientes sistemas:

a)

−=−=+−

922656

yxyx

b)

=−=+−

5231842

yxyx

c)

=+=+

13435

yxyx

d)

−=−=+

115

yxyx

Solución:

Recordaremos que un par de coordenadas solamente es solución de un sistema cuando lo es de

ambas ecuaciones.

a)

−=−−=+−

==

−=−−=+

=−=

−=−=+−

SOLUCIÓNESNOSÍNO

yx


yx

yxyx

916724042

8,7

98126206

4,1

922656


15

b)

=−=+−

==

−=−−=+

=−=

=−=+−


yx

SOLUCIÓNESNONOSÍ

yx

yxyx

51621183214

8,7

118318162

4,1

5231842

c)

=+=+

==

=+−−=+−

=−=

=+=+

SOLUCIÓNESNONONO

yx

SOLUCIÓNESNOSÍNO

yx

yxyx

2982143835

8,7

143145

4,1

13435

d)

−=−=+

==

−=−−=+−

=−=

=−=+

SOLUCIÓNESNONOSÍ

yx

SOLUCIÓNESNONONO

yx

yxyx

1871587

8,7

541341

4,1

115





Figura 29.

2. Después de escribir el nombre, insertamos un símbolo ‘=’ y después una lista vertical. Encontraremos

una, pinchando en el icono ‘Lista vertical’, que encontramos señalado en la siguiente imagen, dentro

de la pestaña ‘Operaciones’. Cuando nos aparezca una ventana en la que indicar el número de filas,

escribiremos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pincharemos en ‘Aceptar’.


16

Figura 30.

3. En la siguiente imagen vemos la apariencia que tiene la lista vertical después del nombre que hemos

dado al sistema.

Figura 31.

4. En cada hueco de la lista insertaremos una de las funciones, quedando planteado de la siguiente

manera.

Figura 32.





17

Figura 33.



Figura 34.

7. Siguiendo los pasos anteriores, resolveremos el apartado b.

Figura 35.

8. De igual manera resolveremos el apartado c.


18

Figura 36.

9. De nuevo, seguiremos los pasos para sustituir los puntos en las dos ecuaciones y ver si corresponde o

no a estas.

Figura 37.


Ejercicio 6.

Representa estos tres sistemas equivalentes que se obtienen para resolver el primero de ellos:

=−=+

39

yxyx

→

==+122

9x

yx →

==

36

yx

Solución:


19

- PRIMER SISTEMA:

=−=+

39

yxyx

xyyx −=→=+ 99

X 0 3 6 9 10 ... Y 9 6 3 0 -1 ...

33 −=→=− xyyx

X 0 3 6 9 10 ... Y -3 0 3 6 7 ...


Figura 38.

- SEGUNDO SISTEMA:

==+122

9x

yx

xyyx −=→=+ 99

X 0 3 6 9 10 ... Y 9 6 3 0 -1 ...

62

12122 ==→= xx

X 6 6 6 6 6 ... Y -3 0 3 6 7 ...


20


Figura 39.

- TERCER SISTEMA:

==

36

yx

6=x

X 6 6 6 6 6 ... Y 9 6 3 0 -1 ...

3=y

X 0 3 6 9 10 ... Y 3 3 3 3 3 ...


Figura 40.


21

- SOLUCIÓN DEL SISTEMA

=−=+

39

yxyx

1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la segunda).

yxyx +=→=− 33 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la primera) y

operamos:

( ) 326629239393 =→=→=→=+→=++→=++ yyyyyyyy

3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la

ecuación que hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.

6333 =→+=→+= xxyx

4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son

x=6 e y=3.


1. Para representar una función, pinchamos en el icono ‘Representar’ que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’.

Figura 41.

2. El siguiente paso es rellenar los paréntesis con nuestras ecuaciones. Debemos tener en cuenta que

para representar dos, tenemos dos opciones: en primer lugar, hacerlo por separado, para lo que

debemos usar la función “representar” en dos bloques distintos; y en segundo lugar, representar

ambas en la misma cuadrícula, para lo que las escribiremos en el mismo bloque, como en este

ejercicio.


22

Figura 42.

Figura 43.

3. Repetiremos el mismo procedimiento con el segundo sistema.

Figura 44.


23

Figura 45.

4. De nuevo, seguiremos los pasos 1 y 2 con el tercer sistema.

Figura 46.

Figura 47.


24

5. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña

‘Operaciones’. Entonces veremos una pequeña ventana en la que deberemos indicar cuántas

ecuaciones queremos que tenga nuestro sistema y pinchar en el icono ‘Aceptar’.

Figura 48.

6. Ahora nos aparecerá el esquema del sistema. En él, hay un hueco para cada miembro de cada una de

las dos ecuaciones que hemos indicado.

Figura 49.

7. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio y pinchamos en el icono ‘=’ para

conocer la solución del sistema.

Figura 50.


25


Ejercicio 7.

Representa los pares de rectas correspondientes a cada sistema y di si son equivalentes:

a)

=+−=−

82222

yxyx

b)

==−2

0y

xy

Solución:

- PRIMER SISTEMA:

=+−=−

82222

yxyx

22

222222 xyxyxyyx +

=→−−−

=→−−=−→−=−

X -2 0 2 4 6 ... Y 0 1 2 3 4 ...

xyxyxyyx −=→−

=→−=→=+ 4228282822

X -2 0 2 4 6 ... Y 6 4 2 0 -2 ...


Figura 51.


26

- SEGUNDO SISTEMA:

==−2

0y

xy

xyxy =→=− 0

X -2 0 2 4 6 ... Y -2 0 2 4 6 ...

2=y

X -2 0 2 4 6 ... Y 2 2 2 2 2 ...


Figura 52.

Como podemos observar, ambos sistemas sí son equivalentes, ya que aunque tengan distintas

ecuaciones, obtenemos el mismo resultado.


1. Para representar una función, pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono

‘Representar’.


27

Figura 53.

2. El siguiente paso es rellenar el hueco entre los paréntesis con la función. Si queremos que aparezcan

las dos funciones en la misma representación, como es en este caso, escribimos las dos funciones

“representar” dentro del mismo bloque. Después, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos la

solución.

Figura 54.

Figura 55.


28

3. Solucionaremos un sistema de ecuaciones pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos

en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces indicamos las ecuaciones que queremos que tenga el sistema y

pinchamos en el icono ‘Aceptar’ para confirmarlo.

Figura 56.

4. Después, aparecerá el siguiente esquema. En él, escribiremos los datos de nuestro sistema.

Figura 57.

5. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.

Figura 58.


29

6. Ahora repetiremos los pasos 1 y 2 con el segundo sistema de ecuaciones (el apartado b).

Figura 59.

Figura 60.

7. Para obtener los puntos de corte del apartado b, seguiremos las instrucciones de los pasos 3, 4 y 5.

Figura 61.


30


Ejercicio 8.

Resolver por el método de sustitución el sistema siguiente:

=+=+

2236125

yxyx

Solución:

• Despejamos la y en la 2ª ecuación: 232 xy −

=

• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : 6232125 =

−

+xx

• Resolvemos la ecuación resultante:

( )136

261212261236241012321210 =

−−

=→−=−→=−+→=−+ xxxxxx

• Sustituimos el valor de x en 134

213632

232

=

⋅−

=→−

= yxy

• Se ha obtenido la solución: 136

=x , 134

=y

Comprueba que la solución es correcta sustituyendo en el sistema original x e y por los valores

obtenidos.






31

Figura 62.



Figura 63.

3. Rellenamos estos huecos con los datos que nos da el ejercicio teniendo en cuenta que insertaremos

los signos de suma y resta con sus correspondientes símbolos del teclado: + y -.

Figura 64.

4. Pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución del sistema.


32

Figura 65.


Ejercicio 9.

Resuelve, por el método de sustitución, los siguientes sistemas:

a)

=+=+

137553

yxyx

b)

=−=+

33036

yxyx

c)

=+=+

132493

yxyx

d)

=+=−

175114

yxyx

Solución:

a)

=+=+

137553

yxyx

1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la primera).

yxyx 3553 −=→=+ 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la segunda) y operamos:

( )23

812128138251371525137355 =→=→=→=−→=+−→=+−⋅ yyyyyyyy

3º Ya tenemos uno de los valores de las coordenadas. El siguiente paso es sustituir este valor en la ecuación que

hemos tenido de x, para conocer el valor numérico de esta variable.

21

233535 =→⋅−=→−= xxyx


33

4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=1/2 e

y=3/2.

b)

=−=+

33036

yxyx

1º Despejamos una variable, en este caso, y en la segunda ecuación.

3333 −=→=− xyyx 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “y” en la primera ecuación y operamos:

( )53

159915099603336 =→=→=→=−+→=−⋅+ xxxxxxx


hemos obtenido de y, para conocer el valor numérico de esta variable.

563

53333 −

=→−⋅=→−= yyxy

4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=3/5 e

y=-6/5.

c)

=+=+

132493

yxyx

1º Despejamos una variable, en este caso, x en la primera ecuación.

394943493 yxyxyx −

=→−=→=+

2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación y operamos:

95

95593918813

318813

3942 =→

−−

=→−=−→=+−→=+−

→=+

−⋅ yyyyyyyyy



31

354

39594

394 −

=→−

=→⋅−

=→−

= xxxyx


34

4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=-1/3 e

y=5/9.

d)

=+=−

175114

yxyx

1º Despejamos una variable, por ejemplo x en una ecuación (elegiremos la primera).

yxyx 411114 +=→=− 2º Ahora sustituimos el resultado del paso anterior donde veamos “x” en la otra ecuación (la segunda) y operamos:

( ) 22754542712755172055174115 −=→

−=→−=→=+→=++→=++⋅ yyyyyyyy



3811411 =→−=→+= xxyx

4º Por último, observamos que ya tenemos nuestra solución. Los valores que dan sentido al sistema son x=3 e

y=-2.


1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en

la pestaña ‘Operaciones’. Después aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones

tendrá el sistema y pincharemos en el icono ‘Aceptar’.

Figura 66.


35

2. El siguiente paso es rellenar los huecos con los datos de nuestro sistema y pinchar en el icono ‘=’ para

conocer la solución.

Figura 67.

3. Apartado a.

Figura 68.

4. Apartado b.

Figura 69.


36

5. Apartado c.

Figura 70.

6. Apartado d.

Figura 71.


Ejercicio 10.

Resolver por el método de igualación el siguiente sistema:

=+=+

2236125

yxyx

Solución:

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 5126 yx −

= , 322 yx −

=

• Igualamos ambas expresiones: 322

5126 yy −

=−


37


134

2688261810103610103618)22(5)126(3 =

−−

=→−=−→−=+−→−=−→−=− yyyyyyyy

• Sustituimos el valor de y en cualquiera de las expresiones del primer paso:

136

313422

=

⋅−

=x

• Hemos obtenido la solución: 136

=x , 134

=y





Figura 72.



Figura 73.


38



Figura 74.


Ejercicio 11.

Resuelve, por el método de igualación, los siguientes sistemas:

a)

=+=+

137553

yxyx

b)

=−=+

33036

yxyx

c)

=+=+

132493

yxyx

d)

=+=−

175114

yxyx

Solución:

a)

=+=+

137553

yxyx

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 35 −= , 5

713 yx −=


71335 yy −=−


23

81212825137157131525713)35(5 =−−

=→−=−→−=+−→−=−→−=− yyyyyyyy


39


21

233535 =⋅−=−= yx


=x , 23

=y

b)

=−=+

33036

yxyx

• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: xxy 236

−=−

= , 33 −= xy

• Igualamos ambas expresiones: 332 −=− xx


53

5335332 =→

−−

=→−=−→−=−− xxxxx

• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las expresiones del primer paso:

56

5322 −=⋅−=→−= yxy


=x , 56−

=y

c)

=+=+

132493

yxyx

• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: 934 xy −

= , 321 xy −

=


934 xx −

=−



40

( )31134336633421334 −

=→−=→−=−→−=−→−⋅=− xxxxxxxx


95

93134=

−⋅−

=x

• Hemos obtenido la solución: 31−

=x , 95

=y

d)

=+=−

175114

yxyx

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 411+= , 571 yx −

=

• Igualamos ambas expresiones: 571411 yy −

=+


22754542755172071205571)411(5 −=

−=→−=→−=+→−=+→−=+⋅ yyyyyyyy


( ) 32411 =−+=x

• Hemos obtenido la solución: 3=x , 2−=y - Ahora lo resolveremos con Wiris:

1. Resolveremos un sistema de ecuaciones pinchando en la pestaña ‘Operaciones’, y después en el icono

‘Resolver sistema’. Entonces aparecerá una ventana en la que indicaremos que queremos que tenga 2

ecuaciones y pinchamos en ‘Aceptar’ para confirmar la orden.


41

Figura 75.

2. Después aparecerá el siguiente esquema, en el que hay un hueco a cada lado del igual en los que irán

los miembros de cada ecuación. De esta forma, rellenamos con las ecuaciones del sistema que

queremos resolver y pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.

Figura 76.

3. Apartado a.

Figura 77.


42

4. Apartado b.

Figura 78.

5. Apartado c.

Figura 79.

6. Apartado d.

Figura 80.



43

Ejercicio 12.

Resolver por el método de reducción estos sistemas: Solución:

a)

=−−=+3373

175yxyx

Sumando ambas ecuaciones desaparece la y :

328 =x → 4=x ; 1745 −=+⋅ y → 3−=y Solución: 4=x , 3−=y

b)

=+=+

201071052

yxyx

Multiplicando la primera por -2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:

=+−=−−20107

20104yxyx

Sumando: x3 0= → 0=x Sustituyendo: 10502 =+⋅ y → 2=y Solución: ,0=x 2=y






44

Figura 81.



Figura 82.

3. Apartado a.

Figura 83.


45

4. Apartado b.

Figura 84.


Ejercicio 13.

Resuelve, por el método de reducción, los siguientes sistemas:

a)

=−=+

38541153

yxyx

b)

=+=+

137553

yxyx

c)

=+=−

175114

yxyx

d)

=−=+

33036

yxyx

Solución:

a)

=−=+

38541153

yxyx


497 =x → 7=x ; 11573 =+⋅ y → 2−=y Solución: 7=x , 2−=y

b)

=+=+

137553

yxyx

Multiplicando la primera por -5, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:


46

=+−=−−

137525155

yxyx

Sumando: y8− 12−= → 23

=y

Sustituyendo: 21

2955

233 =→−=→=⋅+ xxx

Solución: ,21

=x 23

=y

c)

=+=−

175114

yxyx

Multiplicando la primera por -5, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:

=+−=+−175

55205yxyx

Sumando: y27 54−= → 2−=y

Sustituyendo: ( ) 1124 =−⋅−x → 3811 =−=x Solución: 3=x , 2−=y

d)

=−=+

33036

yxyx

Multiplicando la primera por 3, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:

=−=+

939036

yxyx

Sumando: x15 9= → 53

=x

Sustituyendo: 3533 =−⋅ y →

56−

=y


47

Solución: 53

=x , 56−

=y





Figura 85.




Figura 86.


48

3. Apartado a.

Figura 87.

4. Apartado b.

Figura 88.

5. Apartado c.

Figura 89.


49

6. Apartado d.

Figura 90.


Ejercicio 14.

Resolver este sistema:

( )

−−=+−+−

−+

=−

−−

731385

515

9235

1

yyx

yxyxx

Solución:

SUPRIMIMOS DENOMINADORES EN LA 1ª SUPRIMIMOS PARÉNTESIS

( ) ( )

( )

−−=+−+−⋅−+=−−−

73138551592513

yyxyxyxx

−−=++−−−+=+−−

7313405575925533

yyxyxyxx

AGRUPAMOS TÉRMINOS Y SIMPLIFICAMOS RESOLVEMOS POR CUALQUIER MÉTODO

=+=+

602518

yxyx

==

108

:yx

Solución


50





Figura 91.


los miembros de cada ecuación.

Figura 92.

3. Para insertar una fracción, pinchamos en el icono ‘Fracción’, que encontramos en la pestaña

‘Operaciones’ y entonces sólo nos quedará rellenar con nuestros datos.

Figura 93.


51

4. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver teniendo en cuenta que

para insertar un signo de multiplicar, debemos usar el asterisco del teclado (*).

Figura 94.

5. Pinchamos en el icono ‘=’ para conocer la solución.

Figura 95.


Ejercicio 15.

Resolver por reducción:

−=−=+

9851473

yxyx

Solución:

Para despejar la x :


52

( )( ) 7.ª2

8.ª1⋅⋅

−=−=+

6356351125624

yxyx

Sumamos: x59 49= Para despejar la y :

( )

( ) ( )3.ª25.ª1−⋅⋅

=+−=+

272415703515

yxyx

Sumamos: 9759 =y

La solución, ahora, es inmediata: ;5949

=x 5997

=y

- Ahora lo resolveremos con Wiris: 1. Insertaremos un sistema de ecuaciones, pinchando en el icono ‘Resolver sistema’, dentro de la pestaña



Figura 96.



Figura 97.




53

Figura 98.


Ejercicio 16.

Resuelve este sistema simplificando previamente:

=−+

−−=−−+

257

18)5(3)1(2)3(5

yxxyxyx

Solución:

SIMPLIFICACIÓN. 1ª ecuación:

- Simplificamos quitando los paréntesis y agrupando todos los términos lo máximo posible en un solo

miembro.

→−−=+−+→−−=−−+ xyxyxxyxyx 8315221558)5(3)1(2)3(5

01720215328155 =++−→=+++−+− yxyyxxx

- Despejamos la incógnita y porque tiene coeficiente 1 y es más sencillo.

1720172 −=→=++− xyyx

2ª ecuación:

- Simplificamos eliminando los denominadores. Para ello, buscamos el máximo común múltiplo y escribimos

la ecuación entera como una fracción, para después eliminar los denominadores. Por último, agrupamos

todos los términos lo máximo posible en un solo miembro.


54

( ) 0765570755

3570

357

35152

571

=−−→=−+→=−+⋅

→=−+ yxyxyxyx

- Despejamos la incógnita y ya que es la que despejamos en la anterior.

7655

7565565706575 −

=→−−

=→−=−→=−−xyxyxyyx

RESOLUCIÓN.

- Como ya hemos despejado la misma variable en las dos ecuaciones, lo resolveremos por el método de

igualación. De esta manera, crearemos una ecuación en la que en un término pondremos el valor de y de

la primera ecuación y en el otro el de la segunda y despejamos la otra variable (x).

65496511951465511914655)172(77

655172 =→=→−=−→−=−→−=−⋅→−

=− xxxxxxxxxx

- Ahora sustituiremos el valor de x en una de las ecuaciones de y que despejamos en el paso de

simplificación.

51762172 −=→−⋅=→−= yyxy

- De esta manera hemos obtenido que el par de coordenadas que tenemos como solución es (6,-5).





Figura 99.


55



Figura 100.

3. Rellenamos los huecos con las ecuaciones del sistema que queremos resolver y pinchamos en el icono

‘=’ para conocer la solución.

Figura 101.


Ejercicio 17.

Dos estaciones A y B distan 255 Km. Un tren sale de A hacia B a una velocidad constante de 60 Km./h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro tren a 110 Km./h. Calcular el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. Solución:

• Identificamos los elementos y nombramos las incógnitas. Un buen esquema nos servirá para

relacionar los datos y las incógnitas.


56

A → hkm /60 ENCUENTRO ← hkm /110 B x x−255

DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD 1er TREN x t 60 2.º TREN x−255 t 110

• Expresamos mediante ecuaciones las relaciones existentes.

Como

=−=

⋅=txtren

txtrentiempovelocidadespacio

er

110255:.º260:.1

:

• Resolvemos el sistema de ecuaciones:

=−=

txtx

11025560

Sumando: 5,117025525517011060255 ==→=→+= tttt

905,16060 =⋅== tx

• Solución: Los trenes se encuentran 1h 30 min. después de salir. El 1er tren recorre 90 Km., y el 2º, 16590255 =− Km. ¡ATENCIÓN! Este problema se puede resolver aritméticamente. Es decir, sin recurrir al álgebra: Los trenes se aproximan a hkm /17060110 =+

Por tanto, se cruzarán en horas5,1170255

=






57

Figura 102.



Figura 103.



Figura 104.



58

Ejercicio 18.

Dos poblaciones A y B distan 25 Km.. Un peatón sale de A hacia B a una velocidad de 4 Km./h. Simultáneamente, sale de B hacia A otro a 6 Km./h. Calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia que ha recorrido cada uno hasta ese instante. Solución:


relacionar los datos y las incógnitas. A → hkm /4 ENCUENTRO ← hkm /6 B x x−25

DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD 1er PEATÓN x t 4 2.º PEATÓN x−25 t 6


Como

=−=

⋅=txpeatón

txpeatóntiempovelocidadespacio

er

625:.º24:.1

:


=−=

txtx

6254

Sumando: 5,2102525104625 ==→=→+= tttt

105,244 =⋅== tx

• Solución: Los peatones se encuentran 2h 30 min. después de salir. El 1er peatón recorre 10 Km., y el 2º, 151025 =− Km.



59




Figura 105.



Figura 106.



Figura 107.



60

Ejercicio 19.

Dos poblaciones distan 120 Km.. entre sí. En el mismo instante salen un peatón de A hacia B a una velocidad de 6 Km../h y un ciclista de B hacia A a 24 Km../h. ¿Cuánto tardan en encontrarse? ¿Qué distancia recorre el peatón? Solución:


relacionar los datos y las incógnitas.

A → hkm /6 ENCUENTRO ← hkm /24 B x x−120

DISTANCIA TIEMPO VELOCIDAD PEATÓN x t 6 CICLISTA x−120 t 24


Como

=−=

⋅=txCiclista

txPeatóntiempovelocidadespacio

24120:6:

:


=−=

txtx

241206

Sumando: 430

12012030246120 ==→=→+= tttt

24466 =⋅== tx

• Solución: El peatón y el ciclista se encuentran 4 horas después de salir. El peatón recorre 24 Km.


61





Figura 108.



Figura 109.



Figura 110.


62


Ejercicio 20.

Resuelve por sustitución.

a)

−=+=+

5203

yxyx

b)

−=−−=−1752538

yxyx

c)

=+−=−

33467

yxyx

d)

=−=+

16322162

xyyx

Solución:

a)

−=+=+

5203

yxyx

• Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 3−= • Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : ( ) 532 −=+−⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:

( ) 15556532 =→−=−→−=+−→−=+−⋅ yyyyyy • Sustituimos el valor de y en 313 −=→⋅−= xx • Se ha obtenido la solución: 3−=x , 1=y

b)

−=−−=−1752538

yxyx

• Despejamos la x en la 2ª ecuación: 175 −= yx • Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : ( ) 2531758 −=−− yy • Resolvemos la ecuación resultante:

337111111372513634025313640 ==→=→−=−→−=−− yyyyyy

• Sustituimos el valor de y en 21735175 −=−⋅=→−= xyx • Se ha obtenido la solución: 2−=x , 3=y


63

c)

=+−=−

33467

yxyx

• Despejamos la y en la 1ª ecuación: 67 += xy • Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 36734 =+⋅+ xx • Resolvemos la ecuación resultante:

53

25151525183214318214 −

=−

=→−=→−=+→=++ xxxxxx

• Sustituimos el valor de x en 596

5216

537 =→+

−=→+

−⋅= yyy

• Se ha obtenido la solución: 53−

=x , 59

=y

d)

=−=+

16322162

xyyx

• Despejamos la y en la 1ª ecuación: 82

162+=

+= xxy

• Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 16823 =+⋅+− xx • Resolvemos la ecuación resultante:

00161623161623 =→=−→−=+−→=++− xxxxxx • Sustituimos el valor de x en 8808 =+=→+= yxy • Se ha obtenido la solución: 0=x , 8=y






64

Figura 111.




Figura 112.

3. Apartado a.

Figura 113.


65

4. Apartado b.

Figura 114.

5. Apartado c.

Figura 115.

6. Apartado d.

Figura 116.


Ejercicio 21.

Resuelve por igualación.


66

a)

=−=

60

yxx

b)

=−−=+6243

yxyx

c)

−==

5276yxxy

d)

−=+−=−12443

yxyx

Solución:

a)

=−=

60

yxx

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 0=x , yx += 6 • Igualamos ambas expresiones: 06 =+ y


606 −=→=+ yy


066 =−=x

• Hemos obtenido la solución: 0=x , 6−=y

b)

=−−=+6243

yxyx

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: yx 34 −−= , yx 26 += • Igualamos ambas expresiones: yy 2634 +=−−


2.10546232634 −=→−=→−−=+→+=−− yyyyyy


( ) 246226 =−=−⋅+=x


c)

−==

5276yxxy


67

• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: xy 6= , 2

57 +=

xy


576 +=

xx


1555712571257)6(2 =→=→=−→+=→+= xxxxxxxx


616 =→⋅= yy

• Hemos obtenido la solución: 1=x , 6=y

d)

−=+−=−12443

yxyx

• Despejamos y en cada una de las ecuaciones: 4

43 +=

xy , xy 21−−=

• Igualamos ambas expresiones: xx 214

43−−=

+


11881144838443)21(443 −

=→−=→−−=+→−−=+→−−⋅=+ xxxxxxxx


115

11161

11821 =→+−=→

−⋅−−= yyy


8−=x ,

115

=y


68





Figura 117.



Figura 118.

3. Apartado a.

Figura 119.


69

4. Apartado b.

Figura 120.

5. Apartado c.

Figura 121.

6. Apartado d.

Figura 122.



70

Ejercicio 22.

Resuelve por reducción.

a)

=−=+

20

yxyx

b)

−=+=−

6303

yxyx

c)

−=+=−

42234

yxyx

d)

=−=+

7312

yxyx

e)

=+=−

26313

yxyx

f)

=+=+

6/7323

yxyx

Solución:

a)

=−=+

20

yxyx


22 =x → 1=x ; 01 =+ y → 1−=y Solución: 1=x , 1−=y

b)

−=+=−

6303

yxyx


66 −=x → 1−=x ; ( ) 013 =−−⋅ y → 3−=y Solución: 1−=x , 3−=y

c)

−=+=−

42234

yxyx

Multiplicando la segunda por 3, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:

−=+=−

1236234

yxyx

Sumando: x10 10−= → 1−=x


71

Sustituyendo: ( ) 242412 −=→−=→−=+−⋅ yyy Solución: 1−=x 2−=y

d)

=−=+

7312

yxyx


=−=+

142612

yxyx


15=x

Sustituyendo 74

148

782

7151212

715 −

=→−

=→−

=→−=→=+ yyyyy

Solución: 7

15=x ,

74−

=y

e)

=+=−

26313

yxyx


=+=−

263262

yxyx


=x

Sustituyendo: 15

15131

54313

54 −

=→−

=→−=→=− yyyy

Solución: 54

=x , 15

1−=y

f)

=+=+

6/7323

yxyx

Multiplicando la segunda por -3, obtenemos los mismos coeficientes en la x pero con distintos signos:


72

−=−−=+

2/733323

yxyx

Sumando: y− 2/1−= → 21

=y

Sustituyendo: 321333

2123 =→−=→=⋅+ xxx

Solución: 32

=x , 21

=y





Figura 123.





73

Figura 124.

3. Apartado a.

Figura 125.

4. Apartado b.

Figura 126.

5. Apartado c.

Figura 127.


74

6. Apartado d.

Figura 128.

7. Apartado e.

Figura 129.

8. Apartado f.

Figura 130.



75

Ejercicio 23.

Resuelve estos sistemas por el método que consideres más adecuado:

a)

=−=−

8341

yxyx

b)

=++=

xyyx

102313

c)

−=−−=+234152

yxyx

d)

−=+=−

3/54223

yxyx

Solución:

a)

=−=−

8341

yxyx

• Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx += 1 • Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 8314 =−+ yy • Resolvemos la ecuación resultante:

448348344 =→−=−→=−+ yyyyy

• Sustituimos el valor de x en 5411 =→+=→+= xxyx • Se ha obtenido la solución: 5=x , 4=y

b)

=++=

xyyx

102313

→

=−=−

321013

yxyx

Multiplicando la primera por -2, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:

=−−=+−3210226

yxyx


=x

Sustituyendo: 411

431

413 −

=→−=→=−⋅ yyy

Solución: 41

=x , 41−

=y


76

c)

−=−−=+234152

yxyx

• Despejamos x en cada una de las ecuaciones: 2

15 −−=

yx , 4

23 −=

yx


232

15 −=

−− yy


( ) 02231023210231524

232

15=→−=+→−=−−→−=−−⋅→

−=

−− yyyyyyyyy


21

4203 −

=→−⋅

= xx

• Hemos obtenido la solución: 21−

=x , 0=y

d)

−=+=−

3/54223

yxyx

• Despejamos la x en la 2ª ecuación: 354 −−= yx

• Sustituimos esta expresión de la x en la 1ª : 223543 =−

−−⋅ yy


217142521222512 −

=→=−→+=−−→=−−− yyyyyy

• Sustituimos el valor de y en 31

352

35

214 =→−=→−

−⋅−= xxx

• Se ha obtenido la solución: 31

=x , 21−

=y


77





Figura 131.



Figura 132.

3. Apartado a.

Figura 133.


78

4. Apartado b.

Figura 134.

5. Apartado c.

Figura 135.

6. Apartado d.

Figura 136.



79

Ejercicio 24. Resuelve los sistemas siguientes:

a)

−=−=+

393502

yxyx

b)

=−++−=−

8)(2)(31)23(2

yxyxyx

c)

=+

=−

242

423yx

yx

d)

=−

=−

+

523

14

2

yx

yx

e)

=+

−−

=+

+−

29

2638

26

33

2

yx

yx

f)

=+

−−

=+

+−

16

122

12

14

12

1

yx

yx

Solución:

a)

−=−=+

393502

yxyx

→

=−=+

09502

yxyx


=−=+

0950918

yxyx

Sumando: x23 0= → 0=x Sustituyendo: 0002 =→=+⋅ yy Solución: 0=x , 0=y

b)

=−++−=−

8)(2)(31)23(2

yxyxyx

→

=−++−=−

82233146yxyx

yx→

=+=−

8536

yxyx

Sin necesidad de multiplicar ninguna ecuación, tenemos que los mismos coeficientes de y en ambas

son iguales pero con distintos signos:


80

=+=−

8536

yxyx

Sumando: x11 11= → 1=x Sustituyendo: 356815 =→−=→=+⋅ yyy Solución: 1=x , 3=y

c)

=+

=−

242

423yx

yx

→

=+

=−

48

42

624

632

yx

yx

→

=+=−

822432

yxyx


243 +=

yx , 2

8 yx −=


82

243 yy −=

+


4164248382432

82

243−=→−=→−=+→−=+→

−=

+ yyyyyyyy


62

482

8=→

+=→

−= xxyx


d)

=−

=−

+

523

14

2

yx

yx→

=−

=−+

210

232

44

424

yx

yx

→

=−=+

103264

yxyx


6 yx −= ,

2310 yx +

=


3104

6 yy +=

−


81


( ) 214720666206310262

3104

6−=→−=→−=+→+=−→+⋅=−→

+=

− yyyyyyyyyy


( ) 22

6102

23102

310=→

−=→

−⋅+=→

+= xxxyx


e)

=+

−−

=+

+−

29

2638

26

33

2

yx

yx

→

=−−−

=++−

1836

1824924

612

6324

yx

yx

→

=−−−=++−

362492412324

yxyx

→

=−−=+−

162952

yxyx

• Despejamos la y en la 1ª ecuación: xy 25 += • Sustituimos esta expresión de la y en la 2ª : ( ) 162529 =+⋅−− xx • Resolvemos la ecuación resultante:

( ) 213262613101649164109162529 −=

−=→=−→+=−−→=−−−→=+⋅−− xxxxxxxx

• Sustituimos el valor de x en ( ) 122525 =→−⋅+=→+= yyxy • Se ha obtenido la solución: 2−=x , 1=y

f)

=+

−−

=+

+−

16

122

12

14

12

1

yx

yx

→

=−−−

=++−

66

61236

44

4122

yx

yx

→

=−−−=++−

612364122

yxyx

→

=−=+

102652

yxyx

• Despejamos la y en la 2ª ecuación: xy 25 −=

• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : ( ) 102526 =−⋅− xx • Resolvemos la ecuación resultante:

( ) 210202010104106102526 =→=→=→=+−→=−⋅− xxxxxxx


82

• Sustituimos el valor de x en 14522525 =→−=→⋅−=→−= yyyxy • Se ha obtenido la solución: 2=x , 1=y





Figura 137.




Figura 138.


83

3. Apartado a.

Figura 139.

4. Apartado b.

Figura 140.

5. Apartado c.

Figura 141.


84

6. Apartado d.

Figura 142.

7. Apartado e.

Figura 143.

8. Apartado f.

Figura 144.


85


Ejercicio 25.

Observa las ecuaciones que forman los siguientes sistemas y di cuál de ellos tiene una única solución, cuál no tiene solución y cuál tiene infinitas soluciones. Compruébalo representando las rectas que los forman:

a)

=−=−

82412

yxyx

b)

=−=−

104252

yxyx

c)

=−−=+74

125yxyx

d)

−=−=−

34252

yxyx

Solución:

a)

=−=−

82412

yxyx

-SOLUCIÓN DEL SISTEMA:


1 yx += ,

428 yx +

=


21 yy +

=+


( ) 60282228222812428

21

=→−=−→+=+→+=+⋅→+

=+ yyyyyyyyy

• Como podemos ver, no hay solución al sistema, y esto es porque no hay punto de corte entre las

dos rectas. Por lo tanto, sabemos que ambas rectas son paralelas.

-REPRESENTACIÓN:

1212 −=→=− xyyx

x 0 1 2 3 6 ... y -1 1 3 5 11 ...


86

42824 −=→=− xyyx

x 0 1 2 3 6 ... y -4 -2 0 2 8 ...

Podemos ver que al simplificar, es evidente que las dos rectas tienen la misma pendiente pero con

distinta abscisa, por lo que son paralelas. Por lo tanto, decimos que no tiene solución.

Figura 145.

b)

=−=−

104252

yxyx

-SOLUCIÓN DEL SISTEMA: • Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 25 += • Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 104252 =−+⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:

( ) 00104410104252 =→=−+→=−+⋅ yyyyy

• Podemos ver por el resultado que las dos rectas no se cortan porque son sólo una. -REPRESENTACIÓN:

2552 −

=→=−xyyx

x -3 -1 1 3 5 ... y 4 3 -2 -1 0 ...


87

25

41021042 −

=−

=→=−xxyyx

x -3 -1 1 3 5 ... y 4 3 -2 -1 0 ...

No hay un único punto de corte porque las dos rectas son la misma. Se podría decir que tiene infinitos puntos de corte, porque cada uno que forma la recta pertenece a ambas (tiene infinitas soluciones).

Figura 146.

c)

=−−=+74

125yxyx

-SOLUCIÓN DEL SISTEMA:


=−−=+1428

125yxyx

Sumando: x13 13= → 1=x Sustituyendo: 3714 −=→=−⋅ yy Solución: 1=x , 3−=y


88

-REPRESENTACIÓN:

251125 xyyx −−

=→−=+

x -1 0 1 3 5 ... y 2 -1/2 -3 -8 -13 ...

741428 −=→=− xyyx

x -1 0 1 2 3 ... y -11 -7 -3 1 5 ...

El punto donde se cortan las rectas, (1, -3), es la solución común de ambas ecuaciones: 1=x , 3−=y . Tiene una única solución.

Figura 147.

d)

−=−=−

34252

yxyx

-SOLUCIÓN DEL SISTEMA: • Despejamos la x en la 1ª ecuación: yx 25 +=

• Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : ( ) 34252 −=−+⋅ yy • Resolvemos la ecuación resultante:

( ) 1303441034252 −=→−=−+→−=−+⋅ yyyyy

• Como podemos ver, no hay solución al sistema, y esto es porque no hay punto de corte entre las

dos rectas. Por lo tanto, sabemos que ambas rectas son paralelas.


89

-REPRESENTACIÓN:

2552 −

=→=−xyyx

x -3 -1 1 3 5 ... y -4 -3 -2 -1 0 ...

43

2432342 +=→

+=→−=−

xyxyyx

x -3 -1 1 3 5 ... y -4 -3 -2 -1 0 ...

Podemos ver al simplificar que las dos rectas tienen la misma pendiente pero con distinta abscisa, por

lo que son paralelas. Decimos que este sistema no tiene solución.

Figura 148.






90

Figura 149.




Figura 150.

3. Para representar una función, pinchamos en el icono ‘Representar’ que se encuentra en la pestaña

‘Operaciones’ y rellenamos el hueco entre los paréntesis con nuestra ecuación. Cuando pinchemos en

el icono ‘=’ obtendremos nuestra representación en una ventana independiente.

Figura 151.


91

4. Solución del sistema del apartado a.

Figura 152.

5. Representación del sistema del apartado a.

Figura 153.

Figura 154.


92

6. Solución del sistema del apartado b.

Figura 155.

7. Representación del sistema del apartado b.

Figura 156.

Figura 157.


93

8. Solución del sistema del apartado c.

Figura 158.

9. Representación del sistema del apartado c.

Figura 159.

Figura 160.


94

10. Solución del sistema del apartado d.

Figura 161.

11. Representación del sistema del apartado d.

Figura 162.

Figura 163.



95

Ejercicio 26.

Resuelve los siguientes sistemas. Indica si alguno de ellos es incompatible o indeterminado.

a)

=−−=−

85,225,3252

yxyx

→

=−−=−

85,225,3252

yxyx

• Despejamos la x en la 1ª ecuación: 2

25 −=

yx

• Sustituimos esta expresión de la x en la 2ª : 85,22

2525,3 =−

−⋅ yy


→+=−→=−−

→=−−

→=−

−⋅ 5,616525,16

216

255,625,1685,2

25,625,1685,2

22525,3 yyyyyyyy

225,115,225,2225,11 =→=→= yyy

• Sustituimos el valor de y en 42

2252

25=→

−⋅=→

−= xxyx

• Se ha obtenido la solución: 4=x , 2=y

• Es un sistema compatible determinado, ya que tiene solución y además, única.

b)

=+=−

75,38,023,11,67,12,0

yxyx

• Despejamos la y en la 2ª ecuación: 8,0

23,175,3 xy −=

• Sustituimos esta expresión de la y en la 1ª : 1,68,0

23,175,37,12,0 =

−⋅−

xx


→=+−

→=+−

+→=

−⋅−

8,088,4

8,0091,229,616,075,3

8,0091,229,62,01,6

8,023,175,37,12,0 xxxxxx

517,11251,288,4091,229,616,0 =→=→=+− xxxx


96

• Sustituimos el valor de x en 38,0

523,175,3−=→

⋅−= yy

• Se ha obtenido la solución: 5=x , 3−=y

• Es un sistema compatible determinado, ya que tiene solución y además, única.

c)

−=++=+−

5)1(30)1(3

yxyx

→

−=++=+−

533033

yxyx

→

−=+=+

8333

yxyx

Multiplicando la segunda por -1, obtenemos los mismos coeficientes en la y pero con distintos signos:

=−−=+

8333

yxyx

Sumando: x0 11= → 110 =x

No tiene solución, lo que significa que no hay un punto de corte entre ambas rectas porque son

paralelas. El sistema es incompatible.

d)

−=−−=+

yxyyx6753

4→

=+=+

126342

yxyx

→

=+=+

4242

yxyx

• Como podemos ver, simplificando, se muestra que ambas rectas son iguales, por lo que hay

infinitos puntos comunes. El sistema es compatible indeterminado.






97

Figura 164.




Figura 165.

3. Apartado a.

Figura 166.


98

4. Apartado b.

Figura 167.

5. Apartado c.

Figura 168.

Figura 169.


Ejercicio 27.

Halla dos números tales que su suma sea 160, y su diferencia, 34.


99

Solución: En primer lugar, daremos nombre a las variables:

- x será el primer número, el mayor. - x será el número menos, el segundo.

La primera ecuación viene dada de la información de que sumando ambos números obtenemos 160, por lo tanto:

160=+ yx La segunda ecuación la obtenemos que la diferencia entre el primer número y el segundo, nos da un resultado de 34:

34=− yx

Por lo tanto, planteamos nuestro sistema de ecuaciones y lo resolvemos:

=−=+

34160

yxyx

→63126234)160(

9763160160=→=→=−−

=→−=→−=yyyy

xxyx

Obtenemos como solución que x=97 e y=63. Por lo tanto, sabemos que el número mayor al que

llamamos x es 97 y el menor es 63.





Figura 170.




100

Figura 171.



Figura 172.


Ejercicio 28.

Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 €; por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos, pagué 13,20 €. ¿Cuál es el precio de un bolígrafo? ¿Y de un cuaderno? Solución: x= precio en € de un bolígrafo. y= precio en € de un cuaderno. -Sabemos que para averiguar lo que cuestan dos bolígrafos debemos multiplicar el precio de estos por

2. Como, aunque no sepamos cuánto valen, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el precio de

dos bolígrafos es 2x.

- De la misma manera que con los bolígrafos, el precio de tres cuadernos sería 3y (ya que le hemos dado

el nombre “y” al precio de un cuaderno).


101

- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del precio de dos bolígrafos y de tres cuadernos es

igual a 7,80 euros. Por lo tanto concluimos que:

80,732 =+ yx

-La segunda ecuación es muy similar a la primera. Solamente varían las cantidades compradas. En este

caso sustituiremos la cantidad de bolígrafos por 5 y la de cuadernos por 4. Igualmente, deberemos variar

la cantidad pagada.

20,1345 =+ yx


=+=+

20,134580,732

yxyx

→8,13,65,32,1345,75,1920,134

2380,75

2,12

8,1380,72

380,7

=→−=−→=+−→=+

−⋅

=→⋅−

=→−

=

yyyyyy

xxyx

Obtenemos como solución que x=1,2 e y=1,8. Por lo tanto, sabemos que el precio de un bolígrafo es

1,2€ y el de un cuaderno, 1,8€.





Figura 173.


102



Figura 174.



Figura 175.


Ejercicio 29.

Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 € y otros a 28 €. Obtuvo por la venta 1368 €. ¿Cuántos libros vendió de cada clase? Solución: x= nº de libros vendidos del tipo 1. y= nº de libros vendidos del tipo 2.


103

-Sabemos que el librero ha vendido en total 45 libros, por lo que sumando el número de libros vendidos

del tipo 1 y el número del tipo 2, obtendremos esta cantidad. Si bien no sabemos cuántos ha vendido de

cada tipo, usaremos los nombres x e y que ya les hemos dado.

45=+ yx

-Sabemos que para averiguar lo que hemos obtenido por la venta de los libros del tipo 1, debemos

multiplicar el precio de estos (que es 32) por el número que hemos vendido. Como, aunque no sepamos

cuántos son, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, los ingresos de los libros vendidos del tipo 1,

es 32x.

- De la misma manera que con los del tipo 1, los ingresos por los libros del tipo 2 serían 28y (ya que le

hemos dado el nombre “y” al nº de libros vendidos del tipo 2).

- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma de lo obtenido por la venta de los libros del tipo 1 (que

valen 32€) y de los del tipo 2 (cuestan 28€) es igual a 1368 euros. Por lo tanto concluimos que:

13682832 =+ yx


=+=+

1368283245yx

yx→ ( ) 187241368283214401368284532

27184545=→=→=+−→=+−⋅

=→−=→−=yyyyyy

xxyx

Obtenemos como solución que x=27 e y=18. Por lo tanto, sabemos que se han vendido 27 unidades de

los libros del tipo 1 y 18 de los del tipo 2.






104

Figura 176.



Figura 177.



Figura 178.



105

Ejercicio 30.

En un corral hay conejos y gallinas que hacen un total de 29 cabezas y 92 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? Solución: x= nº de conejos en el corral. y= nº de gallinas en el corral. -El enunciado nos dice que hay 29 cabezas en el corral, entre conejos y gallinas, y nosotros sabemos que

cada animal tiene 1 cabeza, por lo que decir que hay 29 cabezas es lo mismo que decir que hay 29

animales. De esta manera, podemos decir que sumando el número de conejos (x) y el número de gallinas

(y), obtenemos 29.

29=+ yx

-Sabemos que para averiguar lo cuántas patas de conejo hay en el corral, debemos multiplicar el número

de patas que tiene un conejo (que es 4) por el número de conejos que haya en el corral. Como, aunque

no sepamos cuántos son, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el número de patas de conejo, es

4x.

- De la misma manera que con las patas de conejo, las de gallinas serían 2y (ya que le hemos dado el

nombre “y” al nº de gallinas y estas tienen dos patas cada una).

- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del número de patas de conejo y de las de gallina es

igual a 92. Por lo tanto concluimos que:

9224 =+ yx


=+=+

922429

yxyx

→ ( ) 12242922411692229417122929

=→=→=+−→=+−⋅=→−=→−=

yyyyyyxxyx

Obtenemos como solución que x=17 e y=12. Por lo tanto, sabemos que hay 17 conejos y 12 gallinas.


106





Figura 179.



Figura 180.



Figura 181.


107


Ejercicio 31.

Una cooperativa ha envasado 2000 l de aceite en botellas de 1,5 l y 2 l. Si ha utilizado 1100 botellas, ¿cuántas se han necesitado de cada clase? Solución: x= nº de botellas de 1,5l utilizadas. y= nº de botellas de 2l utilizadas. -El enunciado nos dice que se han utilizado, entre las de 1,5 y las de 2 litros, 1100 botellas. De esta

manera, podemos decir que sumando el número de botellas de 1,5 litros (x) y el número de botellas de 2

litros (y), obtenemos 1100.

1100=+ yx

-Sabemos que para averiguar cuántos litros de aceite se han embotellado en las de 1,5 litros, debemos

multiplicar el número de botellas utilizadas por el volumen de cada botella (en este caso es 1,5). Como,

aunque no sepamos cuántas botellas se han utilizado, a esta cantidad le hemos dado el nombre “x”, el

número de litros embotellados en envases de 1,5l es: 1,5x

- De la misma manera que con los envases de litro y medio, los de 2 litros serían 2y (ya que le hemos

dado el nombre “y” al nº de botellas de 2l utilizadas y estas tienen dos litros de capacidad cada una).

- El enunciado del ejercicio nos dice que la suma del número de litros de aceite embotellado en ambos

tipos de envases es igual a 2000. Por lo tanto concluimos que:

200025,1 =+ yx


=+=+

200025,11100yx

yx→ ( ) 7003505,0200025,116502000211005,1

40070011001100=→=→=+−→=+−⋅

=→−=→−=yyyyyy

xxyx


108

Obtenemos como solución que x=400 e y=700. Por lo tanto, sabemos que se han necesitado 400

botellas de 1,5 litros y 700 de 2 litros .





Figura 182.



Figura 183.




109

Figura 184.


Documents

Tema 6: Sistemas de ecuaciones.eues.ugr.es/wiris/images/stories/file/mates3/tema6/tema6.pdf · Cuando tengamos el esquema, ... En ella indicamos el número de ecuaciones ... [RESOLUCIÓN