TEMA 7:

MATEMÁTICAS II1

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II2

Ante las limitaciones que presenta el sistema de números naturales (N) se hizo necesario crear un sistema de numeración más amplio que nos permita representar numéricamente muchas cosas como por ejemplo:

NÚMEROS ENTEROS

Una deuda Una temperatura bajo cero Un saldo en contra

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II3

Para solucionar este problema aparecen los números enteros (Z), que pueden ser positivos o negativos.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II4

Multiplicación

Números enteros

Recta Numérica

Valor Absoluto

Comparación y Orden

Adición y Sustracción

División

Salir

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II5

Jesús tiene un saldo en contra de $800.00 en una caja de ahorro. Cierto día hace un depósito de $1,200.00 y a la siguiente semana retira $200.00, ¿Cuál es su estado de cuenta?

¿ Qué significa “un saldo en contra” ?

NÚMEROS ENTEROS

Saldo en

ContraDepósito Retiro

Nuevo Saldo

- 800 + 1200 - 200

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II6

Los números con signo como –800, +1200, -200 se llaman números con signo (números enteros).

Los que llevan signo más son enteros positivos: +3, +10, +2.

Los que llevan signo menos son enteros negativos: -2, -5, -8.

El cero es un entero que no es positivo, ni negativo.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II7

Conjunto de los números enteros

- 4 - 3 - 2 - 1 + 1 + 2 + 3 + 40

Enteros Negativos

Enteros Positivos

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II8

Aplicaciones de números enteros en la vida diaria.

Bucear a una profundidad de 10 m.

10° bajo cero

10° sobre cero

Bajar 3 pisos

Subir 3 pisos

Volar a una altura de 8000 m sobre el nivel del mar.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II9

Bajo el nivel del mar

Sobre el nivel del mar

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II10

RECTA NUMÉRICA

Igual que los números naturales, decimales y fracciones los números con signo se pueden representar en una recta.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II11

El origen, 0 punto inicial, es el numero 0. Hacia la derecha del 0 se tienen los números positivos, y hacia la izquierda los números negativos.

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40

- 3.5- 3 7

1 2 2.5

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II12

ORDEN Y COMPARACIÓN

Un número negativo es menor que cero y

que cualquier número positivo.

Un número positivo es mayor que cero y

que cualquier número negativo.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II13

La recta numérica te permite observar que entre dos números es mayor el que esta a la derecha del otro.

- 2 > - 3 3 > 2

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II14

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número con signo es el valor de dicho número sin su signo.

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 40

3 unidades 3 unidades

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II15

Los números +3 y –3 se encuentran a la misma distancia del cero.

+ 3 = 3 -3 = 3

Al número 3 se le llama valor absoluto de +3 y –3, y se indica así:

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II16

ADICIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

En el siguiente cuadro se registran los depósitos y retiros que hizo el Sr. Pérez en su cuenta bancaria en 8 semanas.

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Depósito 2500 800 400 1200

Retiro - 500 - 400 - 700 - 900

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II17

¿Cuál es su saldo al término de la octava semana?

Finalmente estima su saldo (la cantidad que le quedó a favor o en contra).

Haz una estimación del total que depósito.

Luego una del total que retiro.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II18

Procedimiento para sumar números con signo

La adición de números con signo se realiza de la manera siguiente:

Si tienen igual signo.

Se suma el valor absoluto de los sumandos.

El signo de la suma es el de los sumandos.

(+ 6 ) + (+ 9 ) = + 15

signo igual

(- 3 ) + (- 7 ) = - 10signo igual

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II19

¿ Cómo podemos calcular el resultado de esta suma ?

( +8 ) + ( -3 ) + ( +5 ) + ( -6 ) + ( +3 ) = ( +16 ) + ( -9 ) = + 7

Para sumar varios números enteros de distinto signo:

Se suman varios números enteros de distinto signo por un lado, y los negativos, por otro.

Por último se suman el número positivo y el número negativo obtenidos.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II20

La temperatura hace 2 horas fue de – 1° C. Ahora es de + 4° C.

¿ Cuánto cambió la temperatura?

¿Con cuál de las siguientes restas se resuelve el problema?

SUSTRACCIÓN

¿Qué tanto cambió la temperatura?

4

- (- 1)

- 4

- (- 1)

4

- (+ 1)

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II21

Si tiene distinto signo:

signo distinto

Calculamos la diferencia de sus valores absolutos.

El signo de la diferencia es el del sumando de mayor valor absoluto.

(+ 9 ) + (- 3 ) = + 6 signo distinto

(- 8 ) + (+ 2 ) = - 6

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II22

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Cambiamos el signo del sustraendo.

(+ 5) – (- 7) = (+ 5) + (+ 7) = 12

Inversos aditivos

(-6) – (+4) = (-6) + (-4) = -10

Cambiamos la operación de sustracción a adición.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II23

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Rocío ahorra cada día $ 50.

¿Cuánto ahorra en 8 días?

Cada día ahorra $50

(+ 50)

En 8 días ( + 8 )

( +50 ) ( +8 ) = + 400

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II24

Marcia gasta en su almuerzo $ 15 cada día. ¿Cuánto gasta en 5 días?

Cada día gasta $15En 5 días

Gasta

( -15 )

( + 5 )

( -75 )

( - 15 ) ( + 5 ) = - 75

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II25

Ana Luz se gasta $ 35 cada domingo en la entrada al cine. Deja de ir 4 domingos.

¿Cuánto ahorra en total?

Gasta $35

Deja ir 4 domingosAhorra

( -35 )

( -4 )

( +140 )

( - 35 ) ( - 4 ) = + 140

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II26

Multiplicación

La multiplicación de

números enteros o

números con signo se

indica encerrando dentro

de parentésis a cada

factor sin que exista signo

entre ellos.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II27

Para obtener el producto es necesario primero un manejo de signos y después multiplicar los valores absolutos de los números que estan como factores.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II28

Con dos factores

( - ) ( + ) = -

Con tres factores

( - ) ( - ) ( - ) = -

( + ) ( + ) = +

( - ) ( - ) = +

( + ) ( - ) = -

( + ) ( + ) ( + ) = +

( + ) ( + ) ( - ) = -

( + ) ( - ) ( - ) = +

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II29

( - 4 ) ( + 2 ) = - 8

El product

o de dos

números de igual

signo es positivo

El producto de dos

números de

distinto signo es negativo

( + 4 ) ( + 2 ) = + 8

( - 4 ) ( - 2 ) = + 8

( + 1 ) ( - 2 ) = - 8

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II30

Interpretación Geométrica de la Multiplicación de Números con Signo

En la siguiente ilustración aparece una recta inclinada que representa una rampa de pendiente constante y una recta horizontal que representa el nivel del suelo.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II31

Al desplazarnos una unidad en la dirección horizontal, el punto correspondiente sobre la rampa se encuentra a una altura de 0.3 unidades. ¿A qué altura nos encontraremos sobre la rampa al desplazarnos 2, 3, 4 o más unidades en la dirección horizontal?

0 1 2 3

0.3

4

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II32

La respuesta se obtiene multiplicando 2, 3, 4, ... Por 0.3 como puede verificarse en la siguiente figura.

0 1 2 3 4

0.3

11 x 0.3=0.3

2 x 0.3=0.6

3 x 0.3=0.9

4 x 0.3=1.2

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II33

Midiendo alturas y

distancias la rampa

anterior puede utilizarse

para multiplicar

cualquier número por

0.3.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II34

DIVISÓN DE NÚMEROS CON SIGNO

Sabemos que 24 6 = 4, porque 6 x 4 = 24

¿ Cómo puedes usar esta relación

entre la multiplicación y la división?

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II35

Cada una de las siguientes multiplicaciones da lugar a una división.

(+6) (+4 ) = + 24

(-6) (+4 ) = - 24

(+6) (-4 ) = - 24

(-6) (-4 ) = + 24

(+24) (+6 ) = + 4

(-24) (-6 ) = + 4

(-24) (+6 ) = - 4

(+24) (-6 ) = - 4

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II36

La división de números con signo se

indica colocando entre el dividendo

y el divisor en forma horizontal.

También se le puede indicar como una

fracción de números con signo.

a b ó bien a b

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II37

Como en la multiplicación, la división

se obtiene aplicando la regla de los

signos y dividiendo el valor absoluto de

los números del dividendo o divisor.

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II38

El cociente de dos números de igual signo es positivo, y el cociente de dos números de distinto signo es negativo.

( + ) ( + ) = +

( - ) ( - ) = +

( + ) ( - ) = -

( - ) ( + ) = -

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II39

El cociente de dos números de igual signo es positivo.

( -3.2 ) ( -2 ) = + 1.6

( - 3 ) ( - 2 ) = + 9 4 3 8

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II40

El cociente de dos números de distinto signo es negativo.

( -150 ) ( +30 ) = -5

( - 5 ) ( + 2 ) = - 15 8 3 16

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II41

TEMA 7:

MATEMÁTICAS II42

Diseñó: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.Diseñó: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.

Elaboró: Profra. Olivia Murillo Hernández.Elaboró: Profra. Olivia Murillo Hernández.