Tema 9 - Dinámica de Fluidos Perfectos

7/25/2019 Tema 9 - Dinmica de Fluidos Perfectos

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LECCIN 9. DINMICA DE FLUIDOS PERFECTOS

9.1 Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 1

9.2 Expresin en coordenadas intrnsecas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 1

9.3 Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 4

9.4 Potencial de aceleraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 5

9.5 Teorema de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 5

9.6 Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 - 6

9.7 Teorema de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 7

9.8 Lquidos en el campo gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 - 9

9.9 Frmula de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -10

9.10 Sifn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -11

9.11 Medida de presiones. Tubo piezomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -12

9.12 Medida de velocidades. Tubos de Pitot y Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -13

9.13 Medida de caudales. Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -14

9.14 Potencia de una corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -16

9.15 Generalizacin de Bernoulli a un lquido real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 -17


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9-1

LECCIN 9. DINMICA DE FLUIDOS PERFECTOS

9.1 Ecuaciones fundamentales

Vimos en la leccin 5 que las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos perfectos se

reducan a:

j

j,

j vp

F &=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

donde la aceleracin puede expresarse como suma de una derivada local ms un trmino

convectivo:

i,ji

jj,

j vvt

vpF +

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

ecuaciones que representan el comportamiento general de los fluidos perfectos.

9.2 Expresin en coordenadas intrnsecas

En la presente seccin obtendremos informacin simplemente proyectando las

ecuaciones sobre un triedro intrnseco del propio flujo.

Consideremos un instante determinado to, un punto O del espacio y la lnea de corriente

que pasa por O en el instante to. Tomamos el de Frenet como triedro de referencia. Los vectores

unitarios son t (tangente), n (normal) y b (binormal) y los elementos de longitud son

respectivamente s, n y b. (Fig. 9.1).

Fig.9.1 Triedro intrnseco de una lnea de corriente

Puesto que la velocidad debe tener la direccin de t , el producto contrado del trmino

convectivo, queda reducido a un nico sumando. As, la ecuacin (2) se expresa:

n t

b

O


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9-2

s

vv

t

vpdagrF

+

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

donde v es el mdulo de la velocidad [ ] 2/1vvv=

Calculemos s/v teniendo en cuenta que tvv= :

s

tvt

s

v

s

v

+

=

nR

vt

s

v+

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

donde R es el radio de curvatura de la lnea de corriente, con lo que (3) es:

nR

vt

s

vv

t

vpdagrF

2

+

+

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (5)

Las proyecciones de esta ecuacin sobre las tres direcciones del triedro de Frenet son:

s

vv

t

v

s

p1F

S

s

+

=

R

v

t

v

n

p1F

2

n

n +

=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (6)

b

bt

v

b

p1F

=

Estas ecuaciones se simplifican cuando el rgimen es permanente, esto es, 0t/v = . Aldesaparecer las derivadas locales, las ecuaciones (6) quedan como:

s

vv

s

p1Fs

=

R

v

n

p1F

2

n =

. . . . . . . . . . . . . . . . . (7)


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9-3

0b

p1Fb =

Consideremos algunos otros casos particulares de inters.

A) Si las fuerzas msicas en un lquido (= cte) se reducen a las gravitatorias:

)zg(dagrF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (8)

y si adems el rgimen es permanente, las ecuaciones (7) quedan para un fluido incompresible:

( )

s

v

2

1zgp

s

1 2

=+

( )R

vzgp

n

1 2=+

. . . . . . . . . . . . . . . . . (9)

( ) 0zgpb

1=+

Una consecuencia de lo anterior es que la distribucin de presiones en la direccin de la

binormal es hidrosttica.

B) Si las lneas de corriente son rectas (R = ) y el rgimen es permanente, la segundade las ecuaciones (7) queda:

n

pFn

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (10)

o, en el caso de que las fuerzas de masa sean las gravitatorias (ecs. 9):

( ) 0zgpn

=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (11)

El conjunto de esta ecuacin con la de la binormal indica que la presin vara

hidrostticamente en cualquier direccin contenida en planos normales a las lneas de corriente

(que adems coinciden con las trayectorias al ser el rgimen permanente).

C) Si las fuerzas de masa son despreciables frente a las de inercia y el rgimen es

permanente, la segunda de las ecuaciones (7) expresa:


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9-4

R

v

n

p 2=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (12)

que indica que la presin decrece en la direccin de la normal. Esta ecuacin relaciona la

curvatura de la lnea con el gradiente transversal de la presin.

Fig. 9.2 Distribucin de presiones en el entorno de una lnea de corriente curva

9.3 Condiciones de contorno

Las ecuaciones (2) junto con las de continuidad, estado y complementaria (que permite

eliminar la temperatura en la ecuacin de estado) forman un sistema de 6 ecuaciones con 6

incgnitas: velocidades vi, presin p, densidad y temperatura T.

Para su resolucin el sistema requiere condiciones de contorno, que suelen ser de tres

tipos principales:

a) Pared fija.Si la pared est definida por la ecuacin f(x,y,

z) = 0, la condicin de que

el fluido no la atraviesa puede formularse simplemente:

vif, i = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . (13)

ecuacin que expresa el paralelismo del vector velocidad respecto a la pared en el contorno del

dominio.

b) Pared mvil.Si la pared est definida por la ecuacin f(x,y

,z

,t) = 0, la condicin de

que el fluido no la atraviesa se expresa fcilmente observando que las partculas en contacto con

la pared forman una superficie fluida (seccin 6.7). La condicin en el contorno ser:

0fvt

fi,i =+

. . . . . . . . . . . . . . . . . (14)

c) Superficie libre.En este caso la presin en la superficie es constante (normalmente, la

atmosfrica):

p(xi,

t) = cte . . . . . . . . . . . . . . . . . (15)

n

presiones

mayores

presiones

menores


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9-5

9.4 Potencial de aceleraciones

Supongamos que las fuerzas de masa derivan de un potencial:

i,iF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (16)

y, por el momento, que la densidad es constante. Si llamamos P al cociente:

=

pP . . . . . . . . . . . . . . . . . (17)

la ecuacin (1) puede escribirse:

ii,i, vP &= . . . . . . . . . . . . . . . . . (18)

o lo que es igual:

ii, v)P( &=+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (19)

es decir que la funcin P+constituye un potencial de aceleraciones: stas derivan como sugradiente.

Si la densidad no es constante pero depende slo de la presin, se puede hacer una

construccin similar a (17) donde P se define:

=

i,

i,

pP . . . . . . . . . . . . . . . . . (20)

o lo que es lo mismo:

=

dpdP . . . . . . . . . . . . . . . . . (21)

con idnticos resultados en lo que respecta al potencial de aceleraciones.

9.5 Teorema de Kelvin

El teorema de Kelvin puede enunciarse como sigue: si existe un potencial de

aceleraciones, la circulacin de la velocidad a lo largo de una curva fluida cerrada es constante

en el tiempo.

La circulacin a lo largo de una curva cerrada C es:


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9-6

=C

ii dxv . . . . . . . . . . . . . . . . . (22)

donde dxies el elemento tangente a la curva.

Veamos que su derivada material es nula y, por lo tanto, = cte.

+=

C C

i

ii

i

dt

dxdvdx

dt

dv

dt

d

+=C C

iii

i dvvdxdt

dv . . . . . . . . . . . . . . . . . (23)

La segunda integral es nula por ser el integrando una diferencial exacta y la curva Ccerrada. Para ver que la primera tambin es nula, basta usar las ecuaciones de Navier-Stokes en

la forma que toman cuando existe un potencial de aceleraciones (19):

i,

i)P(

dt

dv+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (24)

y, como la circulacin de un gradiente a lo largo de una curva cerrada es nula, queda

demostrado el teorema.

9.6 Teorema de Lagrange

El teorema de Lagrange dice lo siguiente: si existe un potencial de aceleraciones y en un

momento dado las velocidades admiten un potencial, seguirn admitindolo en cualquier

instante posterior.

En el instante en que las velocidades admiten un potencial su rotacional es nulo en todos

los puntos. La circulacin en una curva fluida cerrada es:

=C

ii dxv

que, por el teorema de Stokes, puede escribirse:

=S

ij,kijk dSnv . . . . . . . . . . . . . . . . . (25)

donde S es cualquier superficie que se apoya en C

nies su normal


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9-7

La expresin (25) es nula en el momento en que el rotacional es nulo. Por tanto, la

circulacin = 0 en ese instante; pero adems, por el teorema de Kelvin, seguir siendo nulapermanentemente. Esto implica que el rotacional tambin seguir siendo nulo, es decir, que las

velocidades seguirn admitiendo un potencial.

Un corolario de gran utilidad del teorema de Lagrange es que, si un fluido perfecto partedel reposo, siempre existir un potencial de velocidades, en otras palabras, su movimiento ser

permanentemente irrotacional. De aqu es de donde nace la asociacin mental que mantenemos

entre fluidos perfectos y flujos irrotacionales.

9.7 Teorema de Bernoulli

El teorema de Bernoulli es simplemente la expresin de la conservacin de la energa

aplicada a la dinmica de fluidos. Ms especficamente, el teorema expresa que, si las fuerzas de

masa derivan de un potencial, la densidad slo depende de la presin y el rgimen esestacionario, la energa hidrulica por unidad de masa se conserva a lo largo de las lneas de

corriente.

Veamos cmo se demuestra. Una vez ms, las ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos

perfectos, son:

i

i,

i vp

F &=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (26)

Supongamos que las fuerzas derivan de un potencial:

i,iF = . . . . . . . . . . . . . . . . . (27)

Por otra parte, en la seccin 6.8 demostramos que la aceleracin vi puede expresarse:

l,mklmjijki,mm

i

i vv)vv(2

1

t

vv +

=& . . . . . . . . . . . . . . . (28)

o, en forma vectorial:

vtorvvdagr2

1

t

vv 2 +

=& . . . . . . . . . . . . . . . . . (29)

Usando notacin vectorial y reemplazando (27) y (29) en (26):

vtorvvdagr2

1

t

vpdagrdagr 2 +

=

. . . . . . . . . . . (30)


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9-8

Tomando como en 9.4 (en el supuesto de que la densidad slo depende de la presin) una

funcin P, del tipo:

=

dpP . . . . . . . . . . . . . . . . . (31)

podemos agrupar en (30) los trminos como sigue:

t

vvtorv)

2

vP(dagr

2

=++ . . . . . . . . . . . . . . . . (32)

Suponiendo el rgimen permanente y llamando E a la energa hidrulica por unidad de

masa, esto es:

2

vPE

2

++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (33)

la expresin (32) queda:

vtorvEdagr = . . . . . . . . . . . . . . . . . (34)

que es la ecuacin de la energa hidrulica E.

Si proyectamos la ecuacin (34) sobre una lnea de corriente, toma la forma:

0s

E=

. . . . . . . . . . . . . . . . . (35)

ya que vtorv debe ser perpendicular a v , con lo que su proyeccin es nula.

Por tanto, el teorema de Bernoulli expresa que en un fluido perfecto en rgimen

permanente la energa hidrulica es constante a lo largo de una lnea de corriente:

cte2

vdp 2p

0

=+

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (36)

Si adems el movimiento fuera irrotacional, E sera constante no slo a lo largo de una

lnea de corriente, sino en todos los puntos del fluido. Esto es evidente sin ms que observar

(34), ecuacin en la que vtor sera nulo en todos los puntos.

El teorema de Bernoulli es de gran aplicacin para resolucin de problemas.


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9-9

9.8 Lquidos en el campo gravitatorio

Si el potencial de fuerzas es el gravitatorio:

= gz . . . . . . . . . . . . . . . . . (37)

y, por ser lquido, lo suponemos incompresible: = cte, la ecuacin (36) se hace:

ctep

2

vzgE

2

=

++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (38)

y llamando H = E/

g

a la energa por unidad de peso:

cte

g2

vpzH

2

=+

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (39)

La energa por unidad de peso tiene dimensiones de longitud. Los sumandos de (39)

reciben los nombres de:

z : altura geomtrica o de posicin

p : altura de presin

g2

v 2 : altura de velocidad o cintica

La suma z + p/ es el nivel piezomtrico o cota piezomtrica. El significado de lostrminos y la conservacin de la suma puede verse en la Fig. 9.3.

Lnea de carga

Lnea piezomtrica

Lnea de corriente

Lnea de comparacin

Fig. 9.3 La suma de las tres energas se conserva

z

p/

v2/2galtura cintica

altura de presin

altura geomtrica


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9-10

Para una lnea de corriente determinada, la lnea de carga ser nica. Si tomamos otra

lnea de corriente, tambin tendr su lnea de carga pero, en general, ser distinta de la anterior.

Sin embargo, si el movimiento es irrotacional, todas las lneas de corriente tendrn la misma

lnea de carga.

Es evidente que, si hacemos v = 0 (caso de la esttica), recuperamos los resultadosvistos anteriormente en la leccin 8.

El resto de este captulo son aplicaciones o generalizaciones del teorema de Bernoulli.

9.9 Frmula de Torricelli

Supongamos que un lquido perfecto, inicialmente en reposo, llena un recipiente de

seccin grande. En un momento dado empieza a salir por un orificio delgado en la pared (Fig.

9.4). Con qu velocidad estacionaria saldr?

El teorema de Lagrange nos dice que el movimiento ser irrotacional. La energa por

unidad de peso H es pues constante en todos los puntos. Vamos a intentar aplicar la ecuacin

(39) entre los puntos 1 y 2.

1

2

Fig. 9.4 Descarga de un depsito mediante un chorro libre

Ntese que en 1 tanto la presin como la velocidad son nulas. Tomando 2 algo fuera del

orificio, las lneas de corriente son ya lneas rectas con radio de curvatura R = , con lo que laspresiones son hidrostticas en planos normales a las lneas de corriente. Si la seccin es

pequea, la presin en el centro no puede ser muy distinta de la presin externa, que es nula. En

resumen; la aplicacin del teorema de Bernoulli produce simplemente:

g2

vzz

2

2

21 += . . . . . . . . . . . . . . . . . (40)

es decir, la velocidad de salida v es:

gh2v= . . . . . . . . . . . . . . . . . (41)

donde h = z1z2es la altura de la superficie libre sobre el orificio.

.

.


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9-11

La ecuacin (41) es la frmula de Torricelli. El fluido sale del depsito con una

velocidad igual a la de cada libre desde la superficie libre hasta el orificio.

9.10 Sifn

Consideremos las mismas condiciones de la seccin anterior, pero con el lquidosaliendo por un sifn en lugar de un orificio. La conservacin de energa entre 1 y 4 vuelve a dar

la velocidad de salida:

gh2v 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (42)

Fig. 9.5 Sifn

Ntese que, si el sifn tiene seccin constante, la velocidad deber ser constante a lo

largo del mismo. Eso quiere decir que en 2 habr una presin positiva tal que:

g2

vzz

p2

4

21

2 =

. . . . . . . . . . . . . . . . . (43)

Puede observarse que todos los puntos que estn por encima del 4 tienen presinnegativa. La ms negativa de todas es la que ocurre en 3, en donde habr una presin negativa:

34

2

4

31

3 zzg2

vzz

p==

. . . . . . . . . . . . . . . . . (44)

El sifn funcionar mientras la presin negativa en 3 no alcance la tensin de vapor del lquido.

Si se llegara a la tensin de vapor, se producira cavitacin y se formara una burbuja en 3 que

interrumpira el flujo. Por otro lado, el punto 4 debe estar por debajo del 1 (la superficie libre)

para que el flujo sea posible, Ntese que la profundidad del punto 2 (entrada del sifn) es

irrelevante.

h

3

1

2

3p

2p

4

.

.


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9-12

9.11 Medida de presiones. Tubo piezomtrico

Si en la corriente fluida se introduce un tubo delgado perpendicularmente a las lneas de

corriente de forma que no produzca perturbaciones importantes en el movimiento (Fig. 9.6), la

columna fluida en el tubo equilibrar la presin en el punto A. El lquido en el tubo alcanzar

una altura sobre el punto de aplicacin igual a p/en el punto.

Fig. 9.6 Tubo piezomtrico

Este tubo se denomina tubo piezomtrico o piezmetro. La altura z + p/total alcanzadasobre el plano de referencia se llama altura piezomtrica. Para la lnea de corriente considerada,

el lugar geomtrico de los puntos B es la lnea piezomtrica.

En general, la perturbacin creada por un tubo introducido en el fluido es importante; en

consecuencia, el uso de piezmetros suele reducirse a lecturas de presiones en los contornos queguan al fluido (Fig. 9.7).

Fig. 9.7 Piezmetro instalado en el contorno

Si tuviramos dos tubos piezomtricos en la misma lnea de corriente (Fig. 9.8), esto

permitira calcular la velocidad de un punto en funcin de la velocidad en el otro.

p

z

A

lnea de corriente

lnea de referencia

B

p


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9-13

Fig. 9.8 Uso de dos piezmetros para determinacin de velocidades

Aplicando Bernoulli entre las bases de los dos tubos es claro que la diferencia de niveles entrelos dos (H) deber corresponder a:

g2

v

g2

vH

2

1

2

2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . (45)

lo que, al menos tericamente, permite obtener v2 si se conoce v1.

9.12 Medida de velocidades. Tubo de Pitot y Prandtl

Si en el punto A se introduce un tubo delgado en el sentido de las lneas de corriente

(Fig. 9.9), el lquido en el tubo asciende hasta la posicin C, permaneciendo despus en

equilibrio. En el punto A, antes de introducir el tubo, exista una velocidad v y una presin p

que, respecto al plano horizontal que lo contiene (z = 0), sumaban una energa:

g2

vpH

2

+

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (46)

Fig. 9.9 Tubo de Pitot

H

p2z2+

p1z1+

..12

g2

vp 2+

C

Areferencia z = 0


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9-14

Cuando se introduce el tubo en A se produce all un punto de parada y reina una presin

p y una velocidad cero, es decir una energa:

=

p

H . . . . . . . . . . . . . . . . . (47)

De aqu p/= p/+ v2/2g. Pero p/est en equilibrio con la altura lquida en C, luegoesta altura representa la suma:

g2

vp 2+

El tubo descrito anteriormente es el tubo de Pitot; la altura que en l alcanza el lquido

nos da la altura de carga (energa total) existente en el punto.

Si en un tubo de Pitot se taladran tambin orificios piezomtricos A en su superficie,

separando los conductos que equilibran las presiones en A y A tal como se indica en la figura

9.10, el tubo AB dar la altura piezomtrica p/y el tubo AC dar la altura total p/+ v2/2g. Enconsecuencia, la diferencia de alturas entre C y B suministra la altura cintica v

2/2g y por tanto

la velocidad. Esta disposicin suele conocerse bajo el nombre de tubo de Prandtl.

Fig. 9.10 Tubo de Prandtl

9.13 Medida de caudales. Tubo de Venturi

Consideremos una tubera con un estrechamiento suave. Se instalan los extremos de un

tubo con la configuracin de la figura 9.11 de modo que acten como tubos piezomtricos.

Tomando 1 y 2 no muy cerca del estrechamiento, las lneas de corriente son rectas y la

distribucin de presiones es hidrosttica en la seccin.

C

B

A

A p/

g2

vp 2+


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9-15

Fig. 9.11 Tubo de Venturi

Aplicando el teorema de Bernoulli:

g2

vpz

g2

vpz

2

22

2

2

11

1 +

+=+

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . (48)

y, si z1= z2= 0:

g2

vp

g2

vp2

22

2

11 +

=+

. . . . . . . . . . . . . . . . . (49)

Si la forma de la distribucin de velocidades es aproximadamente la misma en las

secciones por 1 y por 2, el caudal volumtrico Q es:

2211 vSvSQ == . . . . . . . . . . . . . . . . . (50)

donde S1, S2son las secciones respectivas

depende de la distribucin de velocidades en la seccin.

Las velocidades son:

1

1S

Qv

=

2

2S

Qv

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (51)

lo que, sustituido en (49), permite hallar el caudal:

p1p2

z = 0. .1 2


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9-16

= 21

2

1

2

2

pp

S/1S/1

g2Q . . . . . . . . . . . . . . . . . (52)

En la prctica, debido a prdidas de carga en la seccin e incertidumbres en , la

ecuacin (52) se expresa:

= 21

ppCQ . . . . . . . . . . . . . . . . . (53)

donde la constante C se determina empricamente.

9.14 Potencia de una corriente

Sabemos que el trinomio de Bernoulli representa energa por unidad de peso en lquidosen el campo gravitatorio. Si consideramos un filete fluido elemental de seccin dS, su potencia

ser el producto del trinomio de Bernoulli multiplicado por el peso de lquido que atraviesa dS

en la unidad de tiempo.

dSv2g

v

pzdW

2

++= . . . . . . . . . . . . . . . . . (54)

En un conducto con paredes slidas fijas (o un tubo de flujo) de seccin S, suponiendo

que es constante, la potencia ser:

dSvg2

vpzW

S

2

+

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (55)

Si las lneas de corriente son aproximadamente rectas y paralelas, ya vimos que z + p/permanece constante en una seccin S perpendicular a las lneas de corriente.

Si definimos adems un coeficiente , tal que:

= S

2

m

S

3

dSvg2

vdSg2

v . . . . . . . . . . . . . . . . . (56)

donde vmes la velocidad media, es decir:

S

dSv

v Sm

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (57)


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la potencia puede escribirse:

Q

g2

vpzW

2

m

+

+= . . . . . . . . . . . . . . . . . (58)

El caudal es:

=S

dSvQ . . . . . . . . . . . . . . . . . (59)

Veremos ms adelante que, cuando el movimiento es laminar en un tubo de seccin

circular, la ley de velocidades es parablica y la velocidad en el centro es el doble de la

velocidad media. Para movimientos turbulentos, dicho factor es menor y vara con el nmero de

Reynolds. En cualquier caso, conocida la distribucin de velocidades (y por tanto ), laexpresin (58) nos da la potencia de la corriente.

9.15 Generalizacin de Bernoulli a un lquido real

Veamos qu forma tomara el teorema de Bernoulli si la viscosidad no es nula. Las

ecuaciones de Navier-Stokes pueden escribirse:

vtorv2

vdagr

t

vv

pdagrF

2

+

=+

. . . . . . . . . . . (60)

Si las fuerzas derivan del potencial gravitatorio )zg(dagrF = ;teniendoencuenta

adems que= cte, la ecuacin (60) es:

vtorvt

vv

2

vpzgdagr

2

=+

+

+ . . . . . . . . . . . . (61)

Si el rgimen es estacionario )0t/v( = y proyectamos sobre una lnea de corriente:

0v

vv

2

vpzg

s

2

=

+

++

. . . . . . . . . . . . . . . . (62)

ya que v es perpendicular a vtorv . Si dividimos por g y llamamos al producto escalar

vv , la ecuacin (62) queda:

vg2

vpz

s

2

=

+

+

. . . . . . . . . . . . . . . . (63)

que manifiesta que el trinomino de Bernoulli H (energa por unidad de peso) no se conserva a lo

largo de una lnea de corriente, sino que la viscosidad implica una prdida de energa. La


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prdida de energa por unidad de longitud, I, se denomina pendiente motriz:

vs

HI

=

= . . . . . . . . . . . . . . . . . (64)

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Tema 9 - Dinámica de Fluidos Perfectos