1. Tema 9Rectas no plano 2. Unha recta A lia que percorre a
menor distancia entredous puntosBA 3. Caracterizacin dunha rectaEn
que sediferencian estasrectas? B QNos puntosBpolos quepasan AB= A
BNas direccins queAseguen PQA P 4. A direccin dunha recta dase con
referencia a un sistema de eixes perpendiculares(sistema de
referencia) mediante un vector que recibe o nome de vector
directorB Recta con direccin u=AB que pasa polos puntos AE
distnguese de e Boutra paraleladando un puntopolo que pasa =u ABesa
recta.A Recta r;Bu r Unha recta queda definida dando:-O vector
directorP -Un punto polo que pasarRecta con direccin u queRecta
rpasa por P;Pu 5. Todos os puntos dunha recta poden obterse: dun
punto coecido da recta Por exemplo S=(x,y)yQ=(x,y)ymediante as e do
vectorP=(x,y) s seguintesy operacins directorqp av = 2 v p q a v =
3 A=(x1, y1) y1s pv = 4 a x1 x x x 6. Da mesma forma, multiplicando
o vector director v por diferentes nmerosobteremos as coordenadas
de mis puntos da rectaA expresinOu o que o mesmo: x , y= x 1 , y 1
t a , b = t x a vOnde t un n real ,esto : t a ecuacin vectorial da
rectaEcuacin vectorial da rectaPuntos da rectaX= A +t U Ttulo
principal (x, y) = (x, y)+ t (a, b)20 -1 -1 2 415 Parmetro TXYx y
+t a b10 -5 -11 -21 =-1 -1-5 .2 4 5 -4,5 -10 -19 =-1 -1 -4,5 2 4Se
lle damos -4-9 -17 =-1 -1-42 40Y -8 -15 =-1 -12 4-5a t mais
-3,5-3,5Y -3-7 -13 =-1 -1-32 4 -10valores-2,5 -2 -6 -5-11 -9== -1
-1 -1 -1 -2,5-22 42 4-15teremos mais -1,5-4-7 =-1 -1 -1,5 2
4-20-25puntos da-1 -0,5 -3 -2 -5 -3== -1 -1 -1 -1-1 -0,52 42 4-12,
-10 -7,55-5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10recta0 -1-1 =-1 -1 02 4 X0,5 0 1 =-1
-10,5 2 4 11 3 =-1 -1 12 41,5 2 5 =-1 -11,5 2 43 7 =-1 -12 4 22,5 4
9 =-1 -1 22,5 2 4 Na pxina seguinte imos ver Na pxina seguinte imos
ver 3511 =-1 -1 32 4 como: como:613 =-1 -12 4cambiando o vector
director ou3,5 3,5 4715 =-1 -1 42 4cambiando o vector director
ou4,5 817 =-1 -14,5 2 4 cambiando o punto 5919 =-1 -1 52 4cambiando
o puntocambia aarecta cambia recta 7. Para comprobar como cambian
as rectas faiclic embaixo Ecuacin v e ctorial da re cta Punto coec.
Vector dir.Puntos da recta X = A +t UTtulo principal (x, y) = (x,
y)+ t (a, b) 20 -1 -3 2 4 15Parmetro TX Yx y +t a b 10-5-11 -23 =-1
-3-5 .2 4 5 -4,5 -10 -21 =-1 -3 -4,5 2 4 0 Y-4 -9 -19 =-1 -3-42 4
-5Y -3,5-8 -17 =-1 -3 -3,5 2 4-10-3 -7 -15 =-1 -3-32 4-15 -2,5-6
-13 =-1 -3 -2,5 2 4-20-2 -5 -11 =-1 -3-22 4-25 -1,5-4-9 =-1 -3 -1,5
2 4-12, -10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10 5-1 -3-7 =-1 -3-12 4
-0,5-2-5 =-1 -3 -0,5 2 4X 0 -1-3 =-1 -3 02 40,5 0-1 =-1 -3 0,52 4
11 1 =-1 -3 12 41,5 2 3 =-1 -3 1,52 4 23 5 =-1 -3 22 42,5 4 7 =-1
-3 2,52 4 35 9 =-1 -3 32 43,5 611 =-1 -3 3,52 4 4713 =-1 -3 42 44,5
815 =-1 -3 4,52 4 5917 =-1 -3 52 4 Para sair fai clic aqu 8. Forma
paramtrica da ecuacin da rectaObtencin:A informacin na ecuacin
paramtricaA partir da ecuacin vectorial, igualando as compoentes:Na
ecuacin paramtrica: Coordendas do vector x , y= x 1 , y 1 t a , bX
= x1 + a t director da rectax= x1t a Y = y1 + b ty= y 1t
bCoordenadas dun punto coecido da recta Coordenadas de todos
osA=(x1,y1) puntos da recta que se obteen by1a =a , b vdando
valores ao parmetrotx1ExemploExemplo:Ecuacin paramtrica da recta
que pasa polo punto (1,2) condireccin v= (-3,2) x , y=2 , 3t 1,5X=
1 + (-3)tx=2t 1 Y= 2 + 2 ty=3t 5 Que de forma mis simple
queda:Vector directorx=2t Punto coecidoy=35t 9. Exemplo Ecuacin
paramtrica: X = x1 + atPunto coecido :x1 0Rango de valores de t: x
= 0+(1)tY = y 1 + bt y1 -3Valor inicial-10 y = -3+(2)t Vector
director : a1 Valor final10 b2Paso1 T X Y -10-10-23-9 -9-21Forma
paramtrica-8 -8-19 20-7 -7-17-6 -6-15 15-5 -5-13-4 -4-11 10-3 -3 -9
ecuacin paramtrica5-2 -2 -7-1 -1 -50 Y 00 -3 Y-5 11 -1 221 -10 333
445 -15 557 -20 669 77 11 -25 88 13 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
01 2 3 4 567 89 10 99 15X10 10 17 ecuacin paramtrica 10. Forma
contnuaDiremos que a ecuacin da recta est na forma
continuaExemplosse a escribimos como: Obter e representar a recta
de vector director (1,3) xx 1 y y 1 Onde: que pasa polo punto
(2,-1)= x,y son as coordenadas dosa b puntos da recta Punto
coecidox1 , y1 son as coordenadasdun punto coecido da rectax2 y1
A=(x1,y1)a,b son as coordenadas do=by1a =a , bv13vector director da
rectaVector director x1 simplificandoDeduccin da forma continuay1 A
partir da forma paramtrica:x2=3 Despexando t en ambas ecuacins: x=x
1t a y= y1t b xx 1 =ta 23 y y1-1 Igualando os termos =t1
esquerda:bxx 1 y y 1 Forma continua = a b da ecuacin da recta 11.
Exemplos:Ecuacin continua da recta Punto coecido :x1 1 x x 1 y y 1
x - 1/(2)= y -(3)/4 y1 3 =Vector director :a2ab b4XY XY-1-1 Punto
incial-1 -1 -0,85-0,7Punto final 25-0,7-0,4 -0,55-0,1-0,4 0,2 Forma
continua -0,25 0,5 5-0,1 0,8 4,50,05 1,1 4 3,5 0,2 1,4 30,35 1,7
2,5 0,5 2 y 20,65 2,3Y 1,5 0,8 2,6 10,95 2,9 0,5 1,1 3,2 01,25 3,5
-0,5 1,4 3,8 -11,55 4,1-1 -0,7 -0,5 -0,2 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5
1,75 2 1,7 4,4 5 51,85 4,7x 2 5Ir folla de clculo 12. Recta que
pasa por dous puntosA ecuacin da recta que pasa por dous puntos
podeExemplosconsiderarse un caso da forma continuaObter e
representar a recta que pasa polos puntos =a , b= x 2 x1 ; y 2 y 1
vA (1,3) e B (2,-1) Abonda considerar comoxx 1 y y1 x1 y 3B=(x2,y2)
= =y2 vector diretor aox 2 x 1 y 2 y 1 21 13 vector que une os
A=(x1,y1) dous puntosVese claramente que ao efectuar as
operacinsy1a bpolos quedo denominador teremos outra vez a forma
queremos que continua da ecuacin da recta pase a recta x1 x2A
partir da forma continuaSubstitundo a e b pola expresin en funcin
dascoordenadas dos puntos = a 2 p vForma da ecuacin da rectaque
pasa por dous puntosen funcin das coordenadasdestes 13.
ExemplosEcuacin da recta dados 2 puntos Puntos coecidos : XY x x 1
y y 1(x-(-1))/(3-(-1) = (y-(2)/(4-(2))A-1 2 = B34 x 2 x 1 y 2 y 1 X
YXY -12Punto incial-1 2Paso da X 0,2-0,82,1Punto final 3 4-0,62,2
Vector director : a 4-0,42,3 b-2-0,22,4 Forma continua 02,5 40,2
2,6 3,750,4 2,70,6 2,83,50,8 2,93,25 1 31,2 3,1 3y Y1,4 3,22,751,6
3,31,8 3,42,5 23,52,252,2 3,62,4 3,7 22,6 3,8-1 -0,5 00,5 11,5 2
2,5 3 3,52,8 3,9 x 3 4 14. Forma punto pendente Pendente dunha
recta Pendente e vector directorChmase pendente dunha Coecida a
pendenterecta tanxente do ngulo sempre posibleb v=(a,b)que forma o
vector diretor codeterminar o vector a , b=a 1, =a 1,mb eixe de
abscisas diretor, xa que oavector (1,m) ser un b vector diretor da
rectaam=tan = a ExemploDeterminar e representar a ecuacin da
rectaForma punto pendente da ecuacin da recta:de pendente m=2 que
pasa polo punto (1,1)A ecuacin da recta na forma punto pendente : y
y1 =m xx 1 Deduccin: y y1 =m xx 1 y1=2 x1 Da forma continua:xx 1 y
y 1b = x x1 = y y 1 m=2 a ba2 Reordenando 1 b xx 1 = y y 11 a m xx
1 = y y 1 1 y y 1 =m xx 1 15. Exemplos: Clculo de mis exemplos
Forma punto pendente da recta Punto coecido :x1 1Pendente :y y 1=m
x x 1 (y - (2) = -1(x - (1)) y1 2m=-1 Vector director : a 1 b-1XYX
Y-36 Punto incial-36-2,7 5,7 Punto final 30-2,4 5,4DOMINIO
IMAXE-2,1 5,1-1,8 4,8-1,5 4,5 Forma continua-1,2 4,26-0,9 3,9
5,5-0,6 3,65-0,3 3,3 4,5 03 4 0,3 2,7 3,5 0,6 2,43 y Y 0,9 2,1 2,5
1,2 1,82 1,5 1,5 1,5 1,8 1,21 2,1 0,9 0,5 2,4 0,60 2,7 0,3 -3 -2,5
-2 -1,5 -1-0,5 0 0,5 11,5 2 2,5 3 30 x 16. Forma explcita da
ecuacin da rectaA forma explcita da ecuacin da recta a
ecuacinOrdenada en orixe y=m xnOnde m a pendente da recta e Na
ecuacin:n recibe o nome de ordenada enorixe y=m xn m=1/2Cando x =0
(situmonos 1,5cmDeduccin:na orixe) n=3/2Da forma punto pendente da
ecuacin da recta: y=m 0n=n y y1 =m xx 1 Despexando y: No exemplo:y
=m xx 1 y 1 y=m xm x1 y1133y= x x=0 y= =1,5 2 2 2 y=m xm x 1 y 1
y=m xn m n=m x 1 y 1 n Exemplo: Representar a recta de pendente 2 e
ordenada en orixe -3m =2 n=-31 17. Exemplo Calcular mis rectas
Forma explicita da recta Punto coecido : x1 0 Pendente : y=m xny1-2
m=2 y =2x+(-2)Vector director : a1 Ordenada en orixe b2n= -2 X YX
Y-3-8 Punto incial -3 2Paso da X 0,3-2,7-7,4Punto
final3-4-2,4-6,8DOMINIO IMAXE-2,1-6,2-1,8-5,6Forma
continua-1,5-54-1,2-4,43-0,9-3,82-0,6-3,21-0,3-2,60 0-2-1
0,3-1,4-2yY 0,6-0,8-3 0,9-0,2-4 1,2 0,4-5 1,5 1-6 1,8 1,6-7 2,1
2,2-8 2,4 2,8 -3 -2,5-2 -1,5-1 -0,50 0,5 11,52 2,5 3 2,7 3,4x 3 4
18. Forma xeral ou implcita da ecuacin da recta: A forma xeral ou
implcita da ecuacin da recta :Exemplo:A xB y C=0 A, B e C son os
Determinar a ecuacin xeral da recta que pasa polo parmetros
quepunto (1,2) con vector director (-3,4)A=b ;conteen aB=a ;
informacin sobre a Solucin:a , b= v recta A=b ;a , b=3,4= v Relacin
entre os parmetros A,B e o vector director: B=a ; A=b=4 ; Partindo
da ecuacin continua: x xy yB=a=3 ; 1 = 1 C=a x1 b y 1 a b a , b= v
C=a x1b y 1Eliminamos os denominadores: b xx 1 =a y y 1 C=3 14 2=11
A ecuacin xeral ser:Pasamos todo esquerdab xx 1 a y y 1
=04x3y11=0Eliminamos parnteses eagrupamos termos semellantesb xa ya
x1 b y 1 =0 PARMETROS E PENDENTE DA RECTA: Definimos os
coeficientes:De A=b A B C bAB=a m= m=A ecuacin resultante a xeral
ou implcita:aBa , b= vA xB y C=0onde A=b ; B=a ; C=a x1 b y 1 a ,
b= v 19. Forma segmentaria da ecuacin da rectaChmase forma
segmentaria da ecuacin da recta Exemplo:forma de dar a ecuacin da
recta en funcin daslonxitudes dos segmentos definidos pola orixe
decoordenadas e os puntos de corte da recta cos eixes dev
=3,3/2coordenadasb=3/2x y3/ 2 1 =1 m= =1cmyp q Na figura da
a=332esquerda pdesever con claridade 2cmque os segmentosdefinidos
polas = p ,qv interseccins da xy x xrecta cos eixes =1 y=1 y= 12 12
2qdeterminan unvector director darecta. pxVector director e
segmentos das interseccins recta-eixes de coordendasPara obter a
forma segmentaria a partir doutra forma da ecuacin da rectacompre
determinar os puntos de interseccin da recta cos eixes.As ecuacins
dos eixes: OX : y=0Forma explcitaOY : x=0As interseccins, e polo
tanto p e q quedan determinadas polos sistemas bap:[ y=mxn ] x 0=
p= nq y=0 mx y xyp =1 =1p qn/ m n q: [y =mxnx=0] y 0=q=n
