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Tema III
Teorías de fallas estáticas
1) Teoría del “Esfuerzo normal” para materiales frágiles y la teoría del “Esfuerzo Normal Máximo” para materiales dúctiles propuestas por Rankine.
2) Teoría de la “Deformación Unitaria Máxima” para materiales dúctiles propuesta por Saint-Venant.
3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo” para materiales dúctiles propuesta por coulomb en 1773 y por Tresca en 1868.
Teorías fundamentales de fallaTeorías fundamentales de falla
Mecánica de materiales – Falla estática
4) Teoría de la “Fricción Interna” para materiales frágiles establecida por Mohr y Coulomb.
5) Teoría de la “Energía Máxima de Deformación” para materiales dúctiles propuesta por Beltrami.
6) Teoría de la “Energía Máxima de Distorsión” para materiales dúctiles, establecida por Huber, Von mises y Hencky.
7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico” para materiales dúctiles de Von Mises y Henky.
teorías fundamentales de fallateorías fundamentales de falla
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal Teoría del Esfuerzo Normal (materiales frágiles) y Normal Máximo (materiales frágiles) y Normal Máximo
(materiales dúctiles)(materiales dúctiles)
“La falla en una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el Esfuerzo Normal o Normal Máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de falla axial, determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Esta teoría afirma que la falla para materiales dúctiles ocurre siempre que:
ffcfft
ffcfft
ffcfft
33
22
11
Y para materiales frágiles:
ucut
ucut
ucut
33
22
11
teoría del esfuerzo normalteoría del esfuerzo normal
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos triaxiales (frágil)por esfuerzos triaxiales (frágil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Superficie de
Falla FS=1
Región de no
falla FS>1
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal para falla Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil)por esfuerzos biaxiales (frágil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
11
fcft FSFS
Si el criterio de falla es la fluencia se tiene:
Si el criterio de falla es la ruptura
11
ucut FSFS
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo normalteoría del esfuerzo normal
Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles)Máxima (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial es alcanzada cuando la deformación unitaria máxima en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual a la deformación unitaria de falla (σf/E), determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Deformación unitaria en el punto Deformación unitaria en el punto de fallade falla
Haciendo una prueba de esfuerzo axial, la deformación unitaria en el punto de falla sería
Ef
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Según esta teoría la falla se produce cuando:
ff
ff
ff
33
22
11
Expresando estas ecuaciones en función de los esfuerzos principales
ff
ff
ff
213323
312312
321321
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría deformación unitariateoría deformación unitaria
Deformación limitadora en la Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2)dirección de los ejes (1) y (2)
menterespectiva
dondede
EEEE
ff
ff
1313
132311
1
11
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por esfuerzos Máxima para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)triaxiales (dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Deformación Unitaria Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por Esfuerzos Máxima para falla por Esfuerzos
biaxiales (dúctil)biaxiales (dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
turnoporkjidonde
FSkji
f
3,2,1:
Según esta teoría existe seguridad siempre que:
El esfuerzo de corte límite viene dado por:
1
ff
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles)(materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial) es alcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo en un punto cualquiera de la muestra se hace mayor o igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f), determinado por una prueba de tensión o compresión del mismo material”
Mecánica de materiales – Falla estática
Para que la falla por fluencia ocurra según la Teoría del Esfuerzo de Corte Máxima debe ocurrir que:
222 321fff
De la misma forma, en función de los esfuerzos principales se tiene que:
fff 213132
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximoteoría del esfuerzo de corte máximo
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
σ3-σ1= σf
σ1=-σf
σ3=-σf
σ1=- σ3
σ1-σ3= σf
σ1= σf
σ3=σf
f
ff
f
ff
IVCuadrante
yIIICuadrante
IICuadrante
yICuadrante
31
31
13
31
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximoteoría del esfuerzo de corte máximo
Combinación de las teorías del Combinación de las teorías del esfuerzo normal máximo y la del esfuerzo normal máximo y la del
esfuerzo de corte máximoesfuerzo de corte máximo
σf
σf
σf
σfσ1
σ3
σ1
σ3
Mecánica de materiales – Falla estática
31
31
13
31
f
ff
f
ff
FSIVCuadrante
FSyFSIIICuadrante
FSIICuadrante
FSyFSICuadrante
Combinación de teorías normal máximo y Combinación de teorías normal máximo y corte máximocorte máximo
Mecánica de materiales – Falla estática
En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas las combinaciones caen sobre la línea diagonal a 45º que pasa por el origen. El esfuerzo de corte límite ocurre en un punto sobre la superficie en el cuadrante II y IV
2f
f
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría del esfuerzo de corte máximoteoría del esfuerzo de corte máximo
Teoría de Falla de la Fricción Interna Teoría de Falla de la Fricción Interna (Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)(Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (biaxial o triaxial), es alcanzada cuando el mayor círculo de Mohr asociado con el estado de esfuerzos en un punto cualquiera de la muestra, se hace tangente o mayor al contorno de la envolvente de los círculos de prueba, determinado en un ensayo de tensión axial, compresión axial y torsión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Región de falla para la teoría de Mohr-Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil)Coulomb (frágil)
Mecánica de materiales – Falla estática
El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayo de tensión uniaxial; el círculo O – σuc, se obtiene del ensayo de compresión uniaxial y el círculo O – u se obtiene del ensayo de corte puro. Con estos círculos se origina una envolvente a partir de los tres círculos de prueba, una en la parte superior y otra en la parte inferior. De esta forma la región de falla esta ubicada en la parte exterior de la envolvente de los círculos sobre el plano σ - como se muestra en la figura siguiente
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción internateoría de la fricción interna
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción internateoría de la fricción interna
Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial, cuando σ1 es de tensión y σ3 es a compresión, el máximo esfuerzo de corte y el esfuerzo normal están dados por:
2
2
31
31max1
teoría de la fricción internateoría de la fricción interna
Mecánica de materiales – Falla estática
Si sustituimos la ecuación de la recta = aσ+b con las ecuaciones anteriores obtendríamos:
baa 211 31
0
0
13
31
cuando
cuando
uc
ut
Para evaluar las constantes a y b se deben tomar las siguientes condiciones de borde
teoría de la fricción internateoría de la fricción interna
Mecánica de materiales – Falla estática
Valores de las constantes a y bValores de las constantes a y b
Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones de borde anteriores obtendríamos:
ucut
ucut
ucut
ucut bya
Mecánica de materiales – Falla estática
Si estas constantes son sustituidas se puede determinar completamente la ecuación de la envolvente de falla por fractura
1
1
13
31
utut
utut
IICuadrante
IVCuadrante
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción internateoría de la fricción interna
Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se hallan directamente de la figura siguiente
Teoría de falla de Mohr-Coulomb con Teoría de falla de Mohr-Coulomb con teoría de falla del Esfuerzo Normal teoría de falla del Esfuerzo Normal
superpuestasuperpuesta
Mecánica de materiales – Falla estática
σ1 = σuc
σ3 = σuc
σ1 = -σ3
uc
ut
ut
ucuc
uc
ut
ut
utut
FSIVCuadrante
FSyFSIIICuadrante
FSIICuadrante
FSyFSICuadrante
31
31
13
31
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la fricción interna con teoría del teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normalesfuerzo normal
La resistencia última al corte se obtiene como sigue:
uc
ut
utu
1
teoría de la fricción interna con teoría del teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normalesfuerzo normal
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía Máxima Teoría de falla de la Energía Máxima de Deformación (materiales dúctiles)de Deformación (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alacanzada cuando la energía de deformación por unidad de volumen en un punto cualquiera de la muestra, se hace mayor o igual a la energía de deformación por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformaciónEnergía de deformación
Para expresar matemáticamente la teoría, es necesario desarrollar una expresión para la energía elástica total de deformación por unidad de volumen en un estado general de esfuerzos. Esta energía es igual al área situada debajo de la curva esfuerzo-deformación.
FU2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en el cubo Energía de deformación en el cubo elementalelemental
En un cubo elemental que esté sometido sólo a esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, la energía de deformación viene dada por:
dAdxU xx2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
La ecuación anterior describe la energía elástica total absorbida por el elemento. Puesto que el volumen del elemento es (dAdx), la energía de deformación por unidad de volumen está dada por:
EdAdx
UU x
xxT
2
2
1
2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de deformaciónteoría de la energía de deformación
Energía de deformación para un Energía de deformación para un elemento sometido a corteelemento sometido a corte
De igual manera, la energía de deformación por unidad de volumen de un elemento sometido a corte puro está dada por:
GU xy
xyxyT
2
2
1
2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación para un Energía de deformación para un estado general de esfuerzosestado general de esfuerzos
Las relaciones de la deformación uniaxial pura y de corte puro se pueden combinar por el principio de superposición para dar la energía de deformación elástica en una distribución general de un estado de esfuerzo en tres dimensiones.
yzyzxzxzxyxyzzyyxxTU 2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de deformación en función de Energía de deformación en función de los esfuerzos principaleslos esfuerzos principales
13322123
22
21 2
2
1 E
UT
En función de los esfuerzos y deformaciones principales tendríamos:
3322112
1 TU
Mecánica de materiales – Falla estática
Para una prueba de tensión uniaxial, el único esfuerzo principal que no es cero, es aquel que se hace igual a la resistencia a la fluencia σf en el punto de fluencia, y la energía total de deformación por unidad de volumen que le corresponde es:
ff TTfT UUE
U 2
2
1
Mecánica de materiales – Falla estática
energía de deformaciónenergía de deformación
Teoría de la Energía Máxima de Teoría de la Energía Máxima de Deformación para falla por esfuerzos Deformación para falla por esfuerzos
triaxiales (dúctil)triaxiales (dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de Factor de seguridad para estado de esfuerzo triaxial según teoría de la esfuerzo triaxial según teoría de la
energía de deformaciónenergía de deformación
13322123
22
21 2
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía Máxima de Teoría de la Energía Máxima de Deformación para esfuerzos biaxiales Deformación para esfuerzos biaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para estado de Factor de seguridad para estado de esfuerzo biaxial según teoría de esfuerzo biaxial según teoría de
energía de deformaciónenergía de deformación
2331
21 2
fFS
La resistencia límite al corte sería:
12f
f
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla de la Energía de Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles)distorsión (materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando la energía de distorsión por unidad de volumeb en un punto cualquiera de la muestra, se hace igual o mayor a la energía de distorsión por unidad de volumen de falla, determinada por una prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
La teoría de la energía de distorsión se originó a partir de observación de que los materiales pueden soportar presiones hidrostáticas muy elevadas sin producir ningún efecto sobre la fluencia. Así se postuló que la fluencia no era de ninguna manera, un fenómeno de tensión o de compresión simple, sino, mas bien que estaba relacionada de algún modo con la distorsión del elemento esforzado. Debido a esto, en el desarrollo de esta teoría, la energía total de deformación elástica puede ser dividida en dos componentes:
Mecánica de materiales – Falla estática
teoría de la energía de distorsiónteoría de la energía de distorsión
La energía de distorsión o de cambio de forma.
La energía de variación de volumen.
UT=U’T+U’’T
teoría de la energía de deformaciónteoría de la energía de deformación
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía asociada con la variación de Energía asociada con la variación de volumenvolumen
216
1''
2
1''
2321
EU
VU
T
mT
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsiónEnergía de distorsión
213
232
221
'
6
1
EUT
216
12
2
1''
'''
2321313221
23
22
21
.
EEU
UUU
T
TTT
Mecánica de materiales – Falla estática
Energía de distorsión para un estado Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxialde esfuerzo uniaxial
''
3
1' 2
f
f
TT
fT
UU
EU
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos triaxiales para falla por esfuerzos triaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría de de esfuerzo triaxial según teoría de
energía de distorsiónenergía de distorsión
213
232
2212
1
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de la Energía de Distorsión Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos biaxiales para falla por esfuerzos biaxiales
(dúctil)(dúctil)
Mecánica de materiales – Falla estática
σ1 = -σ3
Factor de seguridad para un estado de esfuerzo biaxial según teoría de
energía de distorsión
2331
21
fFS
El límite a la fluencia por corte puro viene dada por:
ff
f
577,03
Mecánica de materiales – Falla estática
Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Octaédrico de Von Mises y Hencky Octaédrico de Von Mises y Hencky
(materiales dúctiles)(materiales dúctiles)
“La falla de una muestra, sometida a cualquier combinación de cargas (triaxial o biaxial), es alcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédrico en un punto cualquiera de la mustra, se hace igual o mayor al esfuerzo octaédrico de falla, determinada por un prueba de tensión o compresión axial del mismo material”.
Mecánica de materiales – Falla estática
foct
oct
oct
3
2
3
1
3
213
232
221
321
Mecánica de materiales – Falla estática
Esfuerzos octaédricosEsfuerzos octaédricos
Planos de corte octaédricos guiados Planos de corte octaédricos guiados a la teoría de falla de Mises-Henckya la teoría de falla de Mises-Hencky
Mecánica de materiales – Falla estática
Factor de seguridad para un estado Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría del de esfuerzo triaxial según teoría del
esfuerzo octaédricoesfuerzo octaédrico
213
232
2212
1
fFS
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxialpara un estado de esfuerzo biaxial
Dos planteamientos pueden ser empleados para comparar las teorías de falla, uno de ellos es el siguiente:
Teoría de esfuerzo de corte máximo. f=1,00 σf
Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf
Teoría de la energía de deformación. f=0,608 σf
Teoría de la energía de distorsión f=0,577 σf
Teoría del esfuerzo cortante máximo f=0,50 σf
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías de falla gráficamente sobre un sistema
coordenado normalizado:
Mecánica de materiales – Falla estática
La evaluación de las teorías de falla, con clara evidencia experimental llevan a las observaciones siguientes:
Para materiales isotrópicos que fallan por fractura frágil, la mejor teoría a usar es la teoría del Esfuerzo Normal.
Para materiales que fallan por fractura frágil pero que presentan una resistencia última en compresión, la mejor teoría a usar es la de Mohr-Coulomb.
Mecánica de materiales – Falla estática
Observaciones acerca de las Observaciones acerca de las teorías de fallateorías de falla
Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoría de la Energía de Distorsión.
Para materiales isotrópicos que fallen por fluencia o ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de corte máximo es tan valida como la teoría de la energía de distorsión.
observaciones acerca de las teorías de observaciones acerca de las teorías de fallafalla
Mecánica de materiales – Falla estática
Como un método práctico, puede ser usada la teoría de Mohr-Coulomb en aquellos materiales isotrópicos que presenten una ductilidad menor al 5% de elongación sobre una longitud calibrada de 2 pulgadas.
Como un método práctico, puede ser usada la teoría de la energía de distorsión o la del esfuerzo de corte máximo en aquellos materiales isotrópicos que presenten un ductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de su longitud calibrada.
Donde sea posible debe ser llevado a cabo un análisis de mecánica de la fractura.
Mecánica de materiales – Falla estáticaobservaciones acerca de las teorías de observaciones acerca de las teorías de fallafalla
Comparación de las teorías para una Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctilesvariedad de materiales dúctiles
Mecánica de materiales – Falla estática
Comparación de las teorías para una Comparación de las teorías para una variedad de materiales frágilesvariedad de materiales frágiles
Mecánica de materiales – Falla estática