TEMA:TEMA: VALORES , VECTORES PROPIOSVALORES , VECTORES PROPIOS

Y Y DIAGONALIZACIÓN DIAGONALIZACIÓN

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

TÓPICOS DE MÁTEMATICAM49 (EPE)

UPC

Competencias:Competencias: . Explica los conceptos de valores y vectores propios de una matriz cuadrada.

. Explica los conceptos de polinomio característico y ecuación característica de una matriz.

. Explica el concepto de base propia.

. Explica el concepto de matriz diagonalizable.

. Determina cuando una matriz es diagonalizable y hallar la matriz de transición necesaria para diagonalizarla.

INTRODUCCIÓN:En muchas aplicaciones se requiere el cálculo de potencias grandes de matrices (cadenas de markov , crecimiento poblacional , análisis de estructuras,etc) tales cálculos suelen ser tediosos. Con información adicional acerca de la matriz se puede facilitar el trabajo. Así tenemos por ejemplo:

Calcúlese A6 , donde : A =

¿ y si se sabe que A = P P -1

donde P = y P -1 = como sería A6 ?

3002

42

11

2111

1112

Definición:Definición:

VECTOR Y VALOR PROPIO

Dada la Matriz A nxn se llama valor propio de A al escalar y vector propio de A al vector no nulo v tal que: nx1

AV= V

valor propio

vector propio

POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

SEA A y SEA V NO NULO,

AV = V entonces :

P( ) = det ( A- I)

det ( A - I ) = 0

nxn nx1

polinomio característico

ecuacióncaracterística

Tal que

SEA UN VALOR PROPIO DE A EL CONJUNTO:

nxn

CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO

CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

E = { V (A- I)V = 0 }nx1

observe que los v son las soluciones del sistema homogéneo (A - I)V=0

PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZVALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ

1. Se halla los valores propios que son las raíces 1, 2 ,..., n de p( ) = det(A- I )= 0

2. Para determinar los vectores propios se resuelve el sistema homogéneo (A- I)v= 0, correspondiente a cada valor propio i

( son los vi )

EJEMPLO:

Hallar los valores y vectores propios de

A=

110421001

Se llama base propiabase propia de Rn respecto a la transformación lineal TT a una base de Rn

formada por los vectores propios de T.T.

BASE PROPIA DE RBASE PROPIA DE Rnn

Definición:

Teorema:Teorema: El conjunto de vectores propios correspondientes a valores propios distintos es linealmente independiente.

MATRIZ DIAGONALIZABLEMATRIZ DIAGONALIZABLE

Una matriz A de nxn es diagonalizable si existe una matriz C tal que A= CDC-1,donde D es una matriz diagonal.

Definición:Definición:

TEOREMA:TEOREMA:Una matriz A de nxn es diagonalizablediagonalizable si y sólo si tiene n vectores propios linealmente independientes.En tal caso la matriz diagonal D semejante a A está dada por:

D=

n

..000............0..000..000..00

3

2

1

Donde 1 , 2, 3,..., n son losvalores propios de A , y C es una matrizcuyas columnas son los vectores propios linealmente independientes de A,entonces:

D=C-1AC

Matriz de transición

Corolario:Corolario:

Si la matriz A de nxn tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.

Para que una matriz cuadrada A sea diagonalizable basta que esta posea una base propia.

Nota :Nota :

CONCLUSIONES :CONCLUSIONES :

•Para que A sea diagonalizable basta con que posea una base propia.

•Una matriz A es diagonalizable si existe C tal que C-1 A C = D , donde D es diagonal

•La matriz C que diagonaliza a A esta formada por vectores de una base propiade A en sus columnas.