1TEORIA DE CIRCUITSTEMA 4. Rgimen Permanente Senoidal

Jos Luis RossellAbril 2011

Rgimen permanente senoidal Fuente senoidal Utilizacin de fasores Impedancias Circuito transformado Anlisis frecuencial Diagramas de Bode

2Caractersticas temporales Inicialmente las seales pasan por un

perodo transitorio Pasado este perodo la seal se

estabiliza y pasa a un estadoestacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

V v(c)

EstacionarioTransitorio

Estacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

0

2

4

6

8

10

V v(c)

EstacionarioTransitorio

Estacionario

time

voltage

XXX

0 10 20 30 40 50

ms

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

V v(c)

Transitorio Estacionario

3Rgimen permanente senoidal Fuentes de tensin o de corriente que

oscilan de forma uniforme (sealessenoidales)

Seales senoidales. Caractersticas:Acos(wt+) Perodo de oscilacin (T) Frecuencia (f=1/T) Frecuencia angular ( =2/T) si expresamos el coseno

en radianes, =360/T si expresamos el coseno engrados

Amplitud (A) Amplitud eficaz (Aeff=A/2) Valor de pico a pico (2A) Fase

Ejercicio propuesto 4.1 Determinar: perodo, valor eficaz, fase,

frecuencia y frecuencia angular de lasiguiente funcin temporal:

v(t)= 10 cos(5t-)

4Fuente oscilante

V(t)=Asin(t)FORMATO SPICE

VX A B sin ( )

Ejemplo: Corriente alterna

Veff=220V f=50Hz => Ao=311.12V T=20msFORMATO SPICE

VX A B sin (0 311.12 50)

5Caractersticas del RPS Cualquier suma de senos y cosenos de la

misma frecuencia puede expresarse dela forma Acos(t+)A1cos(t+1)+A2cos(t+2) + ..+ B1cos(t+1)

+B2cos(t+2)= Aocos(t+) La respuesta de un circuito lineal a una

estimulacin senoidal es otra funcinsenoidal

Representacin fasorial deseales senoidales

Seal senoidal definida por mduloy fase.

Creacin del FASOR

Utiliza valor mximo A el valoreficaz Aeff

Acos(t+)=>A Aeff

6Representacin fasorial deseales senoidales

Seal senoidal definida por mdulo yfase

Acos(t+)=>Representacin fasorial polar:ARepresentacin cartesiana:

a+jb=Acos+jAsenEj. representar 10cos(wt-/2)10-/4 10-45=52-j5 2

Ejercicio propuesto 4.2 Expresar y representar grficamente

el fasor de la siguiente seal:

i(t)= 10 cos(5t-)

7Reglas de transformacinA cos(t+) => A

A = Acos() + j Asin()c + jd= ( c2 + d2 )1/2arctan(d/c)

Suma de complejos

z=z1+z2=Re(z1)+Re(z2)+j[Im(z1)+Im(z2)

8Multiplicacin de complejos

Divisin de complejos

9Ejemplo:y1(t)=2cos(t+0.1) => z1=20.1y2(t)=cos(t+1) => z2= 11

y(t)= y1(t)+ y2(t) = B cos (t+) Buscar B i

z1+z2 =2cos(0.1)+cos(1)+j( 2sin(0.1)+sin(1) )z1+z2 =2.53+j1.04=2.730.39Per tant:2cos(t+0.1)+cos(t+1)=2.73cos(t+0.39)

Ejercicio propuesto 4.3 Realiza las siguientes operaciones de

fasores z1+z2 y z35 (ten en cuenta que lasfases de z1 y z2 estn expresadas enradianes) y obtn el fasor resultante

z1=20.1z2=40.5z3=4-3j

10

Ejemplo: Fasor de fuente detensin

v(t)=Asin(wt)=Acos(wt-90)si = grados/sec.

V=A-90

Ejemplo: Fasor de fuente detensin

v(t)=Asin(t)=Acos(t-/2)si = radianes / sec.

V=A-/2

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Anlisis de circuitos en RPS:Utilizacin de Impedancias

Son el resultado de substituir el parmetro s por j ysuponer condiciones iniciales nulas

Anlisis mediante fasores Se aplican los mismos mtodos

Ley Ohm V=IZ Leyes Kirchoff Transformacin fuentes Superposicin Thevenin y Norton

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Resolucin circuitos en RPS

Relacin corriente-voltajeSe cumple que:

v(t)=Vcos(t) => V (V/|Z|)

13

Corriente en una resistencia(Z=R

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Corriente en una capacidad

v(t)=Vcos(t)iC(t)=CVcos(t+90)

Diagrama fasorial

La Potencia media escero en la capacidad

La corriente estavanzada respectola tensin

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Corriente en una bobina

v(t)=Vcos(t)iL(t) = [ V/(L) ]cos(t-90)

Diagrama fasorial

La Potencia media escero

La corriente estretrasada respectola tensin

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Corriente en una impedancia

v(t)=Vcos(t)i(t)=(V/|Z|)cos(t-)

Diagrama fasorial

La corriente est retrasadaun tiempo t0=T/(2)respecto la tensin

La Potencia media esP=IeffVeffcos=(IV/2)cos

A cos se le llama factor depotencia

Si Z=R+jX entonces P=RIeff2

R es la parte resistiva de ZX es la parte reactiva de Z

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Ejemplo de circuito RLC

Calcular el fasor de Vo y la funcintemporal Vo(t)

Ejemplo de circuito RLC

Vo=V(ZC||ZL)/(ZC||ZL +R)ZC||ZL =-2j/3 V=102

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Ejemplo: Circuito RLC serieI=V/Z|I|=|V|/|Z|

Corriente mxima si!

I =V

R2

+ L" #1

C"

$

% &

'

( )

2

!

" =1

LC

Ejemplo: Circuito RLC serieEj. R=1 L=100

1/C=100V=100

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Ejemplo: Circuito RLC paraleloI=V/Z=V/(R||ZL||ZC)

Corriente mnima si

(antirresonancia)

!

I = V1

R2

+ C" #1

L"

$

% &

'

( )

2

!

" =1

LC

Ejemplo: Circuito RLC paraleloEj. R=1 1/(L)=100

C=100 V=100

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Tringulo de potenciasVeff=IeffZZ=R+jXZ=|Z| Potencia ReactivaS=> Potencia Aparente

p(t)=v(t)i(t)=VIcos(wt)cos(wt-)p(t)=VIcos()[1/2+cos(2wt)/2-cos(wt)sen(wt)tan()]P=VIcos()/2S=VI*/2=P+jQ=VI/2cos()+jVI/2sen()

Diagrama fasorialP=> Potencia ActivaP=|Veff||Ieff| cos=R|Ieff|2Watios

Q=> Potencia ReactivaQ=|Veff||Ieff|sen=X|Ieff|2VAr

S=> Potencia Aparente|S|=|Ieff|*|Veff|VA

cos => Factor potencia

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Ejemplo: transmisin tensin

Carga con gran componenteinductivo (fase positiva)

Ieff=250/10

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Correccin del factor de potencia

I 25 12,5

PL 1250 312,5

Vg 319 276

Factor de potenciaS=IeffVeff*=P+jQP=|Ieff||Veff|cosSi cos es bajo => Para

suministrar potencia auna determinada tensinnecesitaremos corrientems alta => ms tensin=> ms costos porprdidas en lneas ydesgaste en aislantes.Por tanto, hay quemantener el factor depotencia (cos) lo mscercano a 1 posible

23

Problema propuesto 4.5 Calcula el valor de

C que maximice elfactor de potencia(cos=1) de todo elsistema. Supn unafrecuencia deoscilacin de 50Hz.

Teorema de transferencia demxima potencia