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Tema 5. Operaciones de amortizacin 45

TEMA 5. OPERACIONES DE AMORTIZACIN

1. Concepto de operacin de amortizacin.

2. Mtodos de amortizacin.

3. Operaciones de Prstamo en el Mercado, clculo de tantos efectivos.

4. Ejercicios tema 5.

5. Ejercicios de Repaso.

1. Concepto de Operacin de Amortizacin.

En una operacin de prstamo o amortizacin, el fin principal es hacer frente a la

devolucin de un capital prestado al comienzo de la operacin. El prestamista entrega

un capital al prestatario o deudor (C0;t0) que designamos por capital inicial, ste secompromete a su devolucin mediante uno o varios pagos que reciben la denominacin

de trminos amortizativos (ai;ti).

El prstamo es una operacin financiera a largo plazo, consistente en la amortizacin de

un capital (Prestacin) mediante la entrega de varios capitales (contraprestacin). La ley

de valoracin que se utiliza es la de capitalizacin compuesta.

Son generalmente operaciones compuestas de una nica prestacin y contraprestacin

mltiple, de crdito unilateral.

Al saldo financiero de la operacin de prstamo en un momento determinado del tiempo

se le denomina capital vivo o capital pendiente de amortizar.

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Cuadro de amortizacin

Perodo TrminosAmortizativos

Cuota deInters

Cuota deAmortizacin

CapitalAmortizado

CapitalVivo

012

s..n

a1a2

as..

an

I1I2

Is..

In

A1A2

As..

An

M1M2

Ms..

Mn=C0

C0C1C2

Cs..

Cn=0

as = Is + As; El trmino amortizativo es la suma de la Cuota de Inters y la Cuota de

Amortizacin.

La cuota de Inters Is = Cs-1 * is

La cuota de Amortizacin As= Cs-1 - Cs

Capital Amortizado Ms = C0 - Cs

La estructura de disminucin del capital prestado a lo largo del tiempo es:

A1

A2

A3

A4

t0 t1 t2 t3 t4

a1

a2

a3

a4

C0

C1

C2

C3

C4

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2. Mtodos de amortizacin.

2.1 Cuotas de Amortizacin Constantes.

En este mtodo de amortizacin, las cuotas de amortizacin permanecen constante a

largo de la operacin de prstamo, siendo igual al importe del principal dividido entre el

nmero de perodos de amortizacin. El resultado es que en cada periodo devolvemos

una n-sima parte del capital prestado, pagando intereses por el capital restante. Debido

a esto, las cuotas de intereses, si el tipo de inters de valoracin se mantiene constante a

lo largo del tiempo sern decrecientes y por lo tanto los trminos amortizativos tambin

sern variables y decrecientes.

2.2 Mtodo Americano Simple.

La amortizacin es nica y se produce en el ltimo periodo de la operacin de prstamo,

As =0 , salvo en el ltimo perodo An =C0

Lo que permanece constante es la Cuota de Inters (siempre que permanezca constante

el tipo de inters) As = i * C0.

[ ]

[ ]isnn

Ca

inn

Ci

n

CC

n

CiCAa

inn

CiC

n

CiCAa

iCn

sniCI

Cn

snAsnC

Cn

sAsM

n

CA

s

ss

s

s

*)1(1*

*)1(1**)(*

);*1(***

**)1(*

;*)(

;*.

;

0

000

012

00

001

01

0

0

0

++=

+=+=+=

+=+=+=

==

==

==

=

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Los trminos amortizativos son todos iguales a la cuota de inters, excepto el ltimo:

)1(*

*...

0

121

iCa

iCaaa

n

on

+=

===

La estructura de amortizacin del mtodo americano:

t0 t1 t2 t3 tn

C0a1 a3a2

an

2.3 Mtodo Francs.

Si el tanto de valoracin es constante durante la duracin de la operacin financiera, el

trmino amortizativo permanece constante a lo largo de la operacin.

Cualquier trmino amortizativo se puede escribir en funcin del primer trmino.

Comparando el capital vivo en dos perodos consecutivos:

( )

C a a

aC

a

C i

i

A A i

A a I a C i

M A s

C C M

n i

n i

n

s

s

s s i

s s

0

0 0

1

1

1 1 0

1

0

1 1

1

=

= = +

= +

= =

=

=

*

( )

*

*

*

.

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Cs = Cs-1 (1+ i) - a

Cs+1 = Cs (1+ i) - a

-------------------------------------

Cs - Cs+1 = (Cs-1 - Cs) (1 + i)

Esta expresin nos indica que las cuotas de amortizacin crecen en progresin geomtrica

de razn (1 + i). El primer trmino de la progresin es:

a C i A A a C i1 0 1 1 0= + =

a partir de este primer trmino se obtienen los siguientes:

As = A1 (1 + i)s-1

3. Operaciones de Prstamo en el Mercado, clculo de tantos

efectivos.

Cuando un particular o una empresa (prestatario) decide realizar una operacin de

prstamo se encuentra con que debe hacer frente, no slo a los capitales procedentes de

la operacin pura (sea cual sea el mtodo de amortizacin utilizado), sino que adems

aparecern otro conjunto de capitales adicionales (las caractersticas comerciales de la

operacin) que harn que sea necesario el clculo del coste efectivo de la operacin par

poder comparar las distintas alternativas de financiacin.

Si observamos la operacin desde el punto de vista del prestamista, la incorporacin de

las caractersticas comerciales que le afecten implicar el clculo del rendimiento

efectivo de la operacin.

En ambos casos, siguiendo las recomendaciones de la normativa del Banco de Espaa

(Circular 5/1994 de 22 de julio) calcularemos coste o rendimiento mediante el tipo de

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inters procedente de la ley de capitalizacin compuesta que iguale prestacin real con

contraprestacin real.

En cuanto al tipo de inters que se aplica a las operaciones de amortizacin, en los

mtodos estudiados en apartados anteriores hemos supuesto que este permanece

constante a lo largo de la vida de la operacin, pero en muchas operaciones de mercado

esto no es as, sino que el tipo de valoracin vara a lo largo del tiempo. La variacin de

tipos puede ser conocida a priori (en el inicio de la operacin conocer cuando y que

valor ir tomando el tipo de inters aplicable) o no conocer a priori el valor del tipo pero

s el momento de cambio y las estructura de dicho cambio, este tipo de operaciones se

denominan Indiciadas ya que la estructura de la variacin va ligada a la variacin de un

ndice representativo y conocido por ambas partes (prestamista y prestatario).

Operaciones Indiciadas:

Una operacin de amortizacin est indiciada cuando sus trminos amortizativos varan

ligados a cambios de un ndice representativo.

Lo normal es que la operacin est indiciada en la cuota de inters. En este caso el tipo

de inters utilizado en la operacin ser igual al tipo de referencia ms (o menos) un

diferencial.

is=irsd

por ejemplo, si el prstamo est referenciado al EURIBOR ( european interbank ofered

rate) ms 0,25 puntos, y el tipo EURIBOR en la fecha de modificacin es del 4%, el

tipo de inters aplicable a nuestra operacin ser del 4,25%.

Las Circulares del B. de E. 8/1990, de 7 de septiembre y la 5/1994 regulan las

operaciones financieras, estableciendo que tipos de inters pueden utilizarse y como

calcular los costes de dichas operaciones. En concreto, para el clculo del coste de una

operacin con tipo de inters indiciado, se realizar una estimacin de la TAE

suponiendo que el tipo se mantiene fijo al valor que tiene en el momento de realizar el

contrato.

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Para calcular en cada momento la cuanta de los trminos amortizativos, se realiza el

clculo de toda la operacin de prstamo suponiendo el tipo que en ese momento est en

vigor como fijo para el resto de la operacin (al comienzo de la operacin la calculamos

como a tipo fijo). En el momento de la revisin se recalcula el cuadro de amortizacin

teniendo en cuenta el capital vivo (capital que falta por amortizar) y el nuevo tipo como

si se fuera a mantener constante para todo el resto de la operacin. De esta forma

estamos recalculando la operacin en cada momento de la revisin (una vez al ao, cada

seis meses....).

Es de destacar que, dado que no conocemos el valor futuro del ndice, no conocemos el

valor real que tomarn los trminos amortizativos hasta que no concluya toda la

operacin y por lo tanto, el coste real no podr calcularse (aunque s estimarse) hasta

que no finalice la operacin.

Clculo de los tantos efectivos:

Para el clculo de los tantos efectivos de coste de este tipo de operaciones se plantea la

equivalencia financiera entre todos los capitales que forman la prestacin y la

contraprestacin:

Principal del prstamo

Trminos amortizativos

Caractersticas comerciales.

Las caractersticas comerciales ms comunes para una operacin de prstamo son:

Comisin de apertura (porcentaje del principal)

Comisin de estudio (porcentaje del principal)

Corretaje (porcentaje del principal) que se paga por la intervencin de un

corredor de comercio o un notario.

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Cuando los prstamos son con garanta hipotecaria tenemos adems:

Gastos de tasacin del inmueble a hipotecar

Gastos derivados de la garanta hipotecaria

Gastos de constitucin de hipoteca: Impuestos, gastos notariales, de registro.

Gastos por levantamiento de hipoteca: Notariales, de registro.

Seguros.

Subvenciones estatales, autonmicas, etc...: Pueden ser subvenciones en los

tipos de inters o cantidades a fondo perdido.

Comisin por cancelacin anticipada.

En prstamos hipotecarios la TAE normalmente no coincidir con el tanto efectivo del

prestatario, pues incluye slo las caractersticas comerciales bilaterales, dejando fuera los

gastos de tasacin, notariales, etc..., estos gastos pueden ser bastante elevados.

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4. Ejercicios tema 5.

1. Un prstamo de 6.000 se amortiza en 5 aos por el mtodo francs mediante

trminos amortizativos trimestrales. Si el tanto nominal es del 7%, se pide:

a) Trmino amortizativo y capital amortizado al final del 3erao.

b) Si se amortiza por el mtodo de cuotas de amortizacin constantes, trminos

amortizativos del primer ao y capital amortizado al final del ao 3.

2. Una persona decide solicitar un prstamo en la entidad financiera de cuanta

60.000 . Las condiciones del prstamo son las siguientes: Prstamo indiciado, el

tipo aplicable ser el EURIBOR a un ao ms 2 ptos. Amortizacin anual por el

mtodo francs. En el momento de solicitar el prstamo, el EURIBOR a un ao

est en el 4%. La duracin del prstamo es de 4 aos.

3. A la empresa CATASA se le ha concedido un prstamo por parte de una entidad

financiera el da 1 de enero de 2001. Las condiciones de este prstamo son las

siguientes: nominal de 3 millones de , duracin tres aos, amortizable por el

mtodo americano con pago anual de intereses, tipo de inters nominal del 5%.

Debido a la bajada de los tipos de inters que se est produciendo en el mercado,

la empresa decide cancelar el prstamo anticipadamente el da 1 de enero de 2002

y refinanciarse con un nuevo prstamo de las siguientes caractersticas: prstamo

francs con pagos trimestrales, duracin dos aos, tipo de inters nominal del

4,5%.

Calcular la cuanta de los trminos amortizativos a lo largo de la vida de la

operacin.

4. Una persona decide solicitar un prstamo en la entidad financiera, de cuanta

60.000 . Las condiciones del prstamo son las siguientes: Amortizacin mensual

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por el mtodo francs. En el momento de solicitar el prstamo, se le concede a un

tipo de inters nominal que coincide con el tipo de inters de los prstamos

hipotecarios, que se sita en el 6,5%. La duracin del prstamo es de 6 aos.

Anualmente se revisa el prstamo con unas condiciones de tipo de inters nominal

igual al del Euribor ms 1%.

Ao Euribor(%)

1 5,52 5,03 5,04 5,85 5,8

6 6,0

a) Determinar la cuanta de los trminos amortizativos de los diferentes periodos

en los que se puede subdividir el prstamo.

b) Capital pendiente de amortizar al final del 3, 4 y 5 ao.

c) Cuota de amortizacin y de intereses de los periodos 10, 20 y 35.

5. *Una persona contrata un prstamo con las siguientes condiciones: capital prestado

de 12.000 , a devolver mediante 4 trminos amortizativos semestrales con cuotas

de amortizacin constantes, rdito semestral del 3%. La operacin conlleva una

comisin de apertura de 60 y unos gastos del corredor de comercio de 30 .

a) Plantear las ecuaciones para calcular el tanto efectivo de coste y el tanto

efectivo de rendimiento

b) Un ao despus tiene suficiente dinero para cancelar la operacin, no obstante,

la entidad financiera le cobra una comisin por cancelacin anticipada del 2%

del principal. Plantear la nueva expresin del tanto efectivo de coste.

6. *Se formaliza un prstamo por importe de 1.000.000 , siendo el plazo de 12 aos,

con pagos trimestrales, y sistema de amortizacin francs.

El tipo de inters nominal anual es variable siendo la referencia el Euribor ms un

1%, con revisin de intereses de forma trimestral.

El Euribor inicial es del 3,52 % y el de la primera revisin del 3,35 %.

Calcular el trmino amortizativo del primer y del segundo trimestre.

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5. Ejercicios de repaso.

1. *Cierta persona dispone de los siguientes bienes:

a) Una vivienda, por la que podra recibir unos alquileres mensuales yprepagables de 120 cuyos costes de mantenimiento ascienden a 60 .

Anuales.

b) Un capital de 1.800 , colocado a plazo de 3 aos, por el que recibe

inters semestrales postpagables a un tanto nominal del 4%.

c) 10 Letras del Tesoro que se amortizan dentro de 200 das. (El tipo de

inters de mercado de las Letras del Tesoro viene determinado por la

ltima subasta de Letras del Tesoro a 364 das, en el que el precio medio

se fij en el 96,500 %).

Determinar el valor actual de su patrimonio, si se valora a un tanto efectivo anual

del 5%.

2. *Una persona es capaz de ahorrar todos los meses 300 , cuanta sta que se duplica

en los meses de junio y diciembre, y se plantea para los prximos ocho aos dos

alternativas de inversin.

a) Colocar mensualmente sus ahorros en una entidad que se los valora con

un tanto efectivo del 4,5%

b) Realizar las imposiciones al finalizar cada semestre por la cuanta total

ahorrada a lo largo de l en otra entidad financiera que valora con un

tanto nominal del 4,5% los tres primeros aos y del 5% los restantes.

Determinar el montante que obtendra al cabo de los ocho aos para cada una de las

dos alternativas

3. * Una Entidad Financiera nos ofrece :

a) Un tipo de inters nominal anual del 2,50 % , con abono de los intereses de

forma mensual.

b) Un tipo de inters nominal anual del 2,54 % , con abono de los intereses de

forma anual.

Si deseamos obtener la mxima rentabilidad cual de los dos opciones eligiremos.

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4. * Una Empresa posee en su cartera de valores 20 letras del Tesoro emitidas a 364

das, as como una letra de cambio por importe de 18.030 y otra por importe de

9.015 .- El vencimiento de las Letras del Tesoro es dentro de 235 das. El

vencimiento de la Letra de Cambio de 18.030 es dentro de 35 das. El

vencimiento de la Letra de Cambio de 9.015 es dentro de 160 das.

La Empresa decide vender dichos activos para amortizar parcialmente parte de un

Prstamo que concert por importe de 511.000 , a un plazo de diez aos a un tipo

de inters efectivo del 7 %, que se amortiza por el sistema Francs con cuotas

semestrales.

El tipo de inters de mercado de las Letras del Tesoro viene determinado por la

ltima subasta de letras del tesoro a 364 das, en el que el precio medio se fij en

el 96,500 %.

El tanto de descuento que nos aplica el banco es del 5 % , y la comisin del 0,25%

del nominal.

Determinar:

a) El efectivo que podremos obtener de la venta de las Letras del Tesoro

y del descuento de los efectos que la empresa posee en cartera.

b) la cantidad que hemos estado pagando semestralmente derivada de la

contratacin del prstamo por importe de 511.000 .

c) La cantidad que pagaramos del prstamo, si redujramos su principal

en la cuanta resultante de la venta de las letras del tesoro y del

descuento de los efectos y mantuviramos su duracin.

5. *Cierta empresa dispone de los siguientes bienes:

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a) Una finca rstica, por la que podra recibir un arrendamiento semestral de

800 , con un pago de 30 anual en concepto de contribucin. El tipo de

inters aplicado en valoracin de fincas es un tanto efectivo anual del 5%.

b) Un efecto comercial, de cuanta 4000 al que le faltan 40 das para su

vencimiento, y que la entidad financiera con la que trabaja le descuenta

aplicando un tipo de descuento del 6,5%, con una comisin del 0,2%.

c) 10 Letras del Tesoro que se amortizan dentro de 400 das. (El tipo de inters

de mercado de las Letras del Tesoro viene determinado por la ltima subasta

de Letras del Tesoro a 18 meses, siendo ste del 3,9% ).

Determinar el valor actual de su patrimonio

Dicha empresa necesita 60.000 , si se desprende de todos sus bienes,

determinar la cuanta del trmino amortizativo de la operacin de prstamo que

debe solicitar, si la duracin de la operacin es de 5 aos y amortizacin anual

por el mtodo francs y se le aplica un tanto efectivo del 7% .

6. *La empresa X necesita obtener liquidez, para ello realiza las siguientes

operaciones:

a.1) Venta de una letra del Tesoro emitida a 364 das. La letra vence dentro de 150

das, el tipo de inters de mercado en el momento de la venta es del 3,75%. El tipo

de inters de emisin de la letra es del 3,50%. Las comisiones aplicadas en la

suscripcin y en la venta son del 2.

a.2) Descuenta una letra de cambio por importe de 6.000 , la letra tiene su

vencimiento dentro de 90 das, el tipo de descuento aplicado por la entidad

financiera BBC es del 5%, la comisin del 0,25 % y el timbre de 3,6 .

Calcular:

a) Efectivo que obtendremos en cada una de las operaciones.

b) Rentabilidad efectiva obtenida por la Empresa X en la operacin de compra

y venta de la letra del Tesoro.

c) Coste efectivo para la Empresa X en el descuento de la letra de cambio.

d) Rentabilidad efectiva para la Entidad Financiera BBC en el descuento dela Letra.

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e) S la operacin de descuento se realiza con compensacin, siendo el importe

de la retencin del 30 % del nominal y remunerndose al 2 %, recalcular el

coste y rentabilidad efectiva.

7. *El 01/01/1.995 abrimos una cuenta de ahorro-vivienda, con aportaciones

mensuales al final de cada mes, por importe de 1.000 , a excepcin de los meses de

Junio y Diciembre, siendo las aportaciones en estos meses del doble de los otros

meses. La Entidad financiera remunera la cuenta al 4% anual efectivo. El da

01/01/2.000 adquirimos un piso por importe de 120.000 , aportando como entrada

la cuanta ahorrada en la cuenta de ahorro-vivienda.

El resto del importe, hasta alcanzar el valor del piso, se obtiene mediante la

formalizacin de una operacin de prstamo con la Entidad Financiera A, por plazo

de diez aos, con cuotas de amortizacin constantes y trimestrales, siendo el tipo de

inters que nos cobra la Entidad Financiera del 6 % nominal anual.

El 01 de Enero de 2.002 decidimos cancelar la operacin de prstamo con la Entidad

Financiera A, ya que la Entidad Financiera B nos ofrece un tipo de inters del 5,5 %

nominal anual con sistema francs de amortizacin y pagos mensuales, siendo ahora

la duracin del nuevo prstamo de seis aos.

Se pide:

a) Calcular el importe constituido a fecha 31/12/1.999.

b) El tipo de inters anual efectivo del prstamo de la Entidad A y de la Entidad B.

c) El importe del prstamo a formalizar con fecha 01/01/2.000.

d) El importe del prstamo a formalizar con fecha 01/01/2.002 y el trmino

amortizativo del mismo.

8. *Poseemos los siguientes Activos y Pasivos financieros.

a.1.) El derecho a una renta de 3.500 al mes, postpagable, durante un perodo de

veinte aos.

a.2.) Una finca rstica arrendada por un precio de 36.000 semestrales pagaderos a

principios de semestre, los gastos que nos origina la misma son de 12.000 anualesimputables al finalizar el ao.

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a.3.) Diez letras del Tesoro que le faltan 50 das para su vencimiento.

a.4.) Una letra de cambio de nominal 5000 a la que le falta 125 das para su

vencimiento.

a.5.) Nos quedan 64 pagos mensuales por importe de 1.200 de un prstamo

formalizado a un tipo de inters fijo del 4,20 % nominal anual, con sistema de

amortizacin francs.

Calcular el valor inicial del patrimonio teniendo en cuenta que:

1) Que el tanto efectivo de valoracin es del 4 %.

2) Que el tipo de inters de mercado para las Letras del Tesoro en el momento

de valoracin es del 3,50 % y la comisin que cobra el Banco por la gestin

de venta de las letras es del 0,5% del nominal.

3) Que el Banco aplica un tipo de inters en el descuento de efectos del 6 %,

as como una comisin del 1 % sobre el nominal.

9. *Tenemos un capital de 35.000 disponibles el 02-09-2.002. Las ofertas para

invertir dicho capital a plazo de noventa das son las siguientes:

a) Un depsito con inters nominal anual del 3,50 %, con pago de intereses de

forma mensual.

b) Un depsito con inters nominal anual y pago trimestral de intereses del 2,75 %

para los 6.000 primeros , del 3,25% para el tramo de 6.001 a 12.000 y del

3,75 % para el resto del capital.

Calcular la rentabilidad efectiva anual de cada una de las opciones.

Cual sera el importe mnimo del deposito para que la opcin B fuese ms rentable

para el inversor que la opcin A?

10. *El banco X concede un prstamo hipotecario al seor Y. La cuanta del capital

prestado es el 80% del precio de tasacin del piso y la amortizacin se efectuar

mediante mensualidades constantes a lo largo de 10 aos. El tipo de inters nominal

se fija en el 10,5% anual. Los gastos iniciales que ocasiona el prstamo son:

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- Comisin de apertura: 2% del capital prestado.

- Comisin de estudio: 0,3% del capital prestado.

- Gastos de notara: 450 .

- Gastos de registro: 300 .

- Impuesto de A.J.D.: 0,5% del capital prestado.

- Gastos de tasacin y gestora: 240 .

- Comisin de cancelacin anticipada: el 3% del capital pendiente.

Sabiendo que el precio de tasacin del piso es de 300.000 , obtener:

a) Mensualidad que ha de pagar para amortizar el prstamo.

b) Prstamo pendiente de amortizar cuando ya han transcurrido 4 aos

completos y cuanta que habr que entregar si cancela el prstamo en ese

momento.

c) TAE al que resulta la operacin.

d) Tanto efectivo de coste para el prestatario sabiendo que al finalizar los 10

aos ha de cancelar la hipoteca del piso, lo que le origina los gastos de

notara y registro que arriba se indican.

Nota: Los ejercicios marcados con un asterisco se proponen para ser resueltos por los

alumnos.

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