Tema_7_Capa_Limite_0405

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Área de Mecánica de Fluidos. CAPA LÍMITE 1

Área de Mecánica de Fluidos

CAPA LÍMITE

1. INTRODUCCIÓN

2. MÉTODOS INTEGRALES EN LA TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE

4. CAPA LÍMITE SOBRE UNA PLACA PLANA

5. CAPA LÍMITE CON GRADIENTE DE PRESIÓN

6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS

7. BIBLIOGRAFÍA

8. PROBLEMAS RESUELTOS

Curso 2004-2005




1. INTRODUCCIÓN




2. MÉTODOS INTEGRALES EN LA TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

∫ δ

−ρ=)x(

0

dy)uU(u bD




3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE

• Ecuaciones de la capa límite bidimensional:

• Hipótesis de Prandtl: si el nº de Reynolds es muy grande, la capa límite es

muy delgada y se verifica:

yx,uv ∂∂

<<∂∂

<<

• Ecuaciones de la capa límite de Prandtl:




4. CAPA LÍMITE SOBRE UNA PLACA PLANA




• Transición de capa límite laminar a capa límite turbulenta:

-Gradiente de presión de la corriente exterior

-Nivel de turbulencia de la corriente exterior

-Rugosidad superficial

-Curvatura de la superficie

-Succión e inyección de fluido

-Calentamiento o enfriamiento de la superficie

Placa plana sin turbulencia en la corriente exterior: transición para 3 105 < Rex < 2 106




5. CAPA LÍMITE CON GRADIENTE DE PRESIÓN







6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS




ARRASTRE
















5102Re250,Re

7.191198.0

u

df Strouhaldeºn <<⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −==∞




SUSTENTACIÓN













7. BIBLIOGRAFÍA

Blevins, R.D. “Applied Fluid Mechanics Handbook”, Krieger Publishing Company, 1992.

Fox, R.W.; McDonald, A.T. “Introducción a la mecánica de fluidos”, McGraw-Hill1, 1995.Gerhart, P.; Gross, R.; Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Massey, B.S.”Mecánica de los fluidos”, C.E.C.S.A., 1979.

Shames, I.H., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, 1972.

Schlichting, H., “Teoría de la capa límite”, Urmo, 1972.

Streeter, V.L.; Wylie, E.D., “Mecánica de los Fluidos”, Mc. Graw-Hill, 1987.

White, F.M. “Mecánica de fluidos”, McGraw-Hill, 2003.

White F.M. “Viscous Fluid Flow”, McGraw-Hill, 1991.




8. PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcúlese la velocidad terminal de caída de un paracaidista (antes de abrir el paracaídas) si cae en las siguientes posiciones:

a) En posición vertical (de pie). CD·A = 0.11 m2

b) En posición horizontal. CD·A = 0.84 m2 c) Acurrucado. CD·A = 0.24 m2

DATOS: Masa del paracaidista, m = 80 kg; densidad del aire, ρ = 1.2 kg/m3.

RESOLUCIÓN

Cuando se alcanza la velocidad terminal, se igualan el peso del paracaidista y la fuerza de arrastre sobre el paracaidista:

ArrastrePeso = Av

2

1Cgm 2

D ρ=

Despejando la velocidad:ACρ

gm2v

D=

Sustituyendo valores en cada caso:

a) En posición vertical: v = 109 m/s b) En posición horizontal: v = 39.5 m/sc) Acurrucado: v = 73.8 m/s

2) Una esfera de diámetro d = 12 cm y masa m = 3 kg cae verticalmente en el interior de un fluido cuya viscosidadcinemática es ν = 3·10-5 m2/s y cuya densidad es ρ = 1200 kg/m3.

Determínese la velocidad terminal de caída utilizando el diagrama adjunto (CD = CD (Re) para esferas).




RESOLUCIÓN

La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje más lafuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleración será nula. En el equilibrio:

PED =+

EPD −=

g2d

34

E;gmP3

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ πρ==

22

D 2d

v21

CD ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ πρ=

Igualando: gd6gmd8vC 322D πρ−=πρ

76.2d

8

gd6

gmvC

2

3

2D =

πρ

πρ−

=

Pero como CD = CD (Re), tendremos que iterar con el diagrama:

- Suponemos v = 2 m/s: ν

dvRe = = 8000 CD = 0,4 CD·v2 = 1.6: no se verifica

- Suponemos v = 3 m/s: Re = 12000 CD = 0,41 CD·v2 = 4.14: no se verifica- Suponemos v = 2.62 m/s: Re = 10480 CD = 0,4 CD·v2 = 2.74: correcto

D+E

V

P




3) Un tanque de sedimentación para suministro de agua a un municipio tiene 3 m de profundidad, existiendo un flujohorizontal continuo de 30 cm/s. Si se desea que sedimenten todas las partículas (supuestas esféricas) de diámetrosuperior a 1 mm antes de que el agua salga del tanque: ¿cuál debe ser la longitud mínima, L, del tanque?

DATOS: Densidad del agua, ρΑ = 1000 kg/m3; densidad de las partículas, ρP = 2600 kg/m3; viscosidad

cinemática del agua, ν = 1.21·10-6

m2

/s; úsese el diagrama del problema anterior del CD = CD (Re) para esferas.

V

D+E

P

30 cm/s

¿L?

3 m

RESOLUCIÓN

La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje más lafuerza de arrastre sobre la misma. Realizando el balance de fuerzas cuan do se ha alcanzado dicha velocidad:

PED =+

EPD −=

gVE;gVP AP ρ=ρ=

Av2

1CD 2

AD ρ=

Siendo: 32 d6

V;d4

Aπ

=π

=

Igualando: gV)(Av21

C AP2

AD ρ−ρ=ρ

0209.0A

gV)(2vC

A

AP2D =

ρ

ρ−ρ=


- Suponemos v = 1 m/s:ν

=dv

Re = 826 CD = 0.46 CD·v2 = 0.46: no se verifica

- Suponemos v = 0.5 m/s: Re = 413 CD = 0.6 CD·v2 = 0.15: no se verifica

- Suponemos v = 0.15 m/s: Re = 124 CD = 0.9 CD·v2 = 0.0203: correcto

D+E

V

P




La partícula tarda en caer hasta el fondo: seg2015.03

vh

t === . En esos 20 segundos, la partícula

recorre en dirección horizontal: m620·3.0L == .

Si se desease que sedimenten todas las partículas (supuestas esféricas) de diámetro superior a 0.1 mm, seobtendría: 00209.0vC 2

D =

- Sup. v = 0.05 m/s:ν

=dv

Re = 4.1 CD = 8.5 CD·v2 = 0.021: no se verifica

- Sup. v = 0.005 m/s: Re = 0.4 CD = 60 CD·v2 = 0.0015: no se verifica- Sup. v = 0.008 m/s: Re = 0.66 CD = 40 CD·v2 = 0.00256: correcto

La partícula tarda en caer hasta el fondo: seg375008.0

3

v

ht === . En esos 20 segundos, la partícula

recorre en dirección horizontal: m5.112375·3.0L == .

4) Una corriente de aire de 60 m/s incide sobre una esfera lisa cuyo diámetro es 0.15 m.

a) Determínese la fuerza de arrastre sobre la misma. b) ¿Cuál sería el arrastre si, en vez de una esfera, se coloca un disco del mismo diámetro perpendicularmente a

la corriente?

DATOS: Viscosidad cinemática del aire, νA = 1.5·10-5 m2/s; densidad del aire, ρΑ = 1.2 kg/m3; úsese eldiagrama de un problema anterior del CD = CD (Re) para esferas y discos.

RESOLUCIÓN

a) La fuerza de arrastre se obtiene con la expresión: Av21

CD 2AD ρ= . En este caso, A es el área frontal:

2d4

Aπ

= , y CD depende del número de Reynolds:ν

=dv

Re , que en este caso vale: 55

106105.1

15.060Re ==

−;

entrando en el gráfico, se obtiene un coeficiente de arrastre CD = 0.2, por lo que:

N63.715.04

602.12

12.0D 22 =

π=

b) En el caso del disco, lo único que varía es el valor del CD pues el número de Reynolds y el área frontal sonlos mismos que en el apartado anterior; entrando en el gráfico en la curva correspondiente a discos, se un coeficiente dearrastre CD = 1.17, por lo que:

N66.4415.04

602.12

117.1D 22 =

π=




5) Una gota de agua de 1 mm de diámetro cae en el aire, y una burbuja de aire, también de 1 mm de diámetro, se elevaen agua.

Determínese la velocidad terminal en ambos casos, suponiendo esférica la forma de ambas.

DATOS: Viscosidad cinemática del aire, νA = 1.5·10-5

m2

/s; densidad del aire, ρΑ = 1.2 kg/m3

; viscosidad cinemática delagua, νW = 1.21·10-6 m2/s; densidad del agua, ρW = 1000 kg/m3; úsese el diagrama de un problema anterior del CD = CD (Re) para esferas y discos.

RESOLUCIÓN

a) Gota de agua: La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la gota y la suma delempuje mas la fuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleración será nula. En el equilibrio:

PED =+ ; EPD −=

gd6E;gd6P 3A3W πρ=πρ=

22

AD 2d

v21

CD ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ πρ=

Igualando y despejando: 87.10g1d34

vCA

W2D =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ρρ

=


- Suponemos v = 4 m/s:ν

= dvRe = 266.66 CD = 0,65 CD·v2 = 10.4: no se verifica,

- Suponemos v = 4.1 m/s: Re = 273.33 CD = 0.66 CD·v2 = 11.09: no se verifica,- Suponemos v = 4.05 m/s: Re = 270 CD = 0.66 CD·v2 = 10.82: correcto.

b) Burbuja de aire: En este caso el movimiento es hacia arriba. La velocidad terminal de ascenso se alcanzacuando se igualan el empuje y la suma del peso de la burbuja y el arrastre sobre la misma. En ese momento laaceleración será nula. En el equilibrio:

EPD =+ ; PED −=

gd6

E;gd6

P 3W

3A

πρ=πρ=

22

WD 2

dv

2

1CD ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ πρ=

Igualando y despejando: 013.0g1d34

vCW

A2D =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρρ

−=


- Suponemos v = 0.01 m/s: Re = 8.26 CD = 5 CD·v2 = 5 10-4: no se verifica- Suponemos v = 0.1 m/s: Re = 82.6 CD = 1.2 CD·v2 = 0.12: no se verifica- Suponemos v = 0.11 m/s: Re = 90.9 CD = 1.1 CD·v2 = 0.0133: correcto

D+E

V

P

E

P+D

V




6) Un coche de masa mC = 2000 kg, coeficiente de arrastre CDC = 0.3, y área frontal AC = 1 m2 despliega para frenar un paracaídas cuya área frontal es un círculo de 2 m de diámetro y cuyo coeficiente de arrastre es CDP = 1.2. Si lavelocidad inicial del vehículo es de 100 m/s, despreciando la resistencia a la rodadura, suponiendo que los valores de losCD no varían y que no se utiliza otro mecanismo de frenado, calcúlese la distancia recorrida y su velocidad después de1, 10 100 y 1000 s de desplegar el paracaídas.

DATOS: Densidad del aire, ρ = 1.2 kg/m3.

RESOLUCIÓN

Para resolver el problema, se aplica la 2ª ley de Newton en la dirección del movimiento:

( )PDPCDC2

PCC ACACv2

1DD

dt

vdm +ρ−=−−=

( )

C

PDPCDC2

m2

ACAC

K siendo;vK dt

vd +ρ

=−=

Integrando:dt

dx

tvK 1

vv

O

O =+

=

Integrando de nuevo: )tvK 1ln(K 1

x O+=

Sustituyendo valores:( )

00122.0m2

ACACK

C

PDPCDC =+ρ

=

Tabulando los resultados:

t (s) 1 10 100 1000v (m/s) 89 45 7.6 0.81x (m) 94 653 2113 3941




7) Una corriente de aire de velocidad uniforme UV incide sobre la parte no sumergida de un iceberg, que flota en unazona en la que no existe ninguna corriente marina.

a) Si la forma del iceberg puede ser aproximada por un cilindro de diámetro D y altura L, y si la relación entrela parte sumergida y la no sumergida es la indicada en la figura, determínese una expresión para la velocidad UI de

avance del iceberg, en función de las diferentes variables que intervienen en el problema, suponiendo conocido elcoeficiente de arrastre (definido a partir del área frontal).

b) Si se puede despreciar la dependencia del coeficiente de arrastre con el número de Reynolds, obténgase elvalor numérico de la velocidad UI de avance (en km/día), con los valores numéricos suministrados.

DATOS: Densidad del agua marina, ρW = 1025 kg/m3, densidad del aire, ρA = 1.22 kg/m3; altura del iceberg, L = 100 m;diámetro del iceberg, d = 800 m; velocidad del viento, UV = 15 m/s.

RESOLUCIÓN

a) Al incidir el viento sobre el iceberg, ejerce una fuerza sobre él, debido a la cual, el iceberg se pone enmovimiento, apareciendo una fuerza de resistencia al avance en el agua. El iceberg se acelerará hasta que se alcance unavelocidad constante; en ese momento, la resistencia ejercida por el agua se iguala al arrastre producido por el aire:

U - UV I

UI

DA

DW

0dt

vdmDD WA ==−

d8

L)UU(

2

1Cd

8

L7U

2

1C 2

IVADA2IWDW −ρ=ρ

ADA

WDW2I

ADA

WDW2IIV

2V C

C7

llamamos;UC

C7

UUU2U ρρ

=αρρ

=+−

0UUU2U)1( 2VIV

2I =+−−α




( )negativasoluciónlaodescartand)1

U

)1(2

U2U2U VVV

I+α

=−α

α±−=

b) Si CD ≠ CD (Re) entonces CDW = CDA y 58817 =ρρ=α A

W :

km/día67.16m/s193.015881

15

)1

UU V

I ==+

=+α

=

8) Una esfera de diámetro dE de un material cuya densidad es ρΕ se introduce en agua, ρΑ, con una velocidad deentrada, vE. Calcúlese la profundidad H hasta la que descenderá suponiendo que el coeficiente de arrastre, C DE se puedeconsiderar constante durante el descenso.

VE

H

DATOS: Aplicación numérica: dE = 5 cm; ρΕ = 500 kg/m3, vE = 10 m/s ρΑ = 1000 kg/m3; CDE = 0.47.

RESOLUCIÓN

Una vez inmersa la esfera, se ve sometida a la acción del peso (hacia abajo) y delempuje y del arrastre (hacia arriba):

Aplicando equilibrio de fuerzas, teniendo en cuenta que la velocidad no semantiene constante:

dtvd

mEDP E=−−

Vm;gVE;gVP EEAE ρ=ρ=ρ=

Av21

CD 2ADE ρ=

Siendo: 3E

2E d

6V;d

4A

π=

π=

Sustituyendo:dtvd

VAv21

CgV)( E2

ADEAE ρ=ρ−ρ−ρ .

D+E

V

P




Reordenando:dx

vdv

dtdx

dxvd

vVA

21

Cg)1(dtvd 2

E

ADE

E

A ==ρρ

−ρρ

−=

Integrando, con los siguientes límites de integración: en x: de 0 a Hen v: de vE a 0

se obtiene:

g1vV

A

2

1C

g1

lnC

1

A

VH

E

A2E

E

ADE

E

A

DEA

E

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ρρ

+ρρ

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

ρ

ρ

ρρ

−=

Aplicación numérica: H = 0.176 m.




9) Un avión pesa 350 kN, y el área total en planta de sus alas es 250 m 2. Sus motores pueden suministrar un empujeconstante de 45 kN. La relación de aspecto (o alargamiento) de las alas es AR = 7 y el coeficiente de arrastre con

envergadura infinita de los perfiles utilizados en sus alas vale 0.02CD ≈∞ , y se puede considerar constante.

Despreciando la resistencia de rodadura, determínese la longitud mínima de despegue, si la velocidad dedespegue es 1.2 veces la velocidad de entrada en pérdida.

DATOS:- Densidad del aire: 1.2 kg/m3 - La velocidad de entrada en pérdida es la mínima velocidad para la que la sustentación generada por las alas equilibrael peso del avión.

- La variación del coeficiente de arrastre al modificar la relación de aspecto es la siguiente:AR

CCC

2L

DD π+= ∞ ,

siendo C L el coeficiente de sustentación.

RESOLUCIÓN

En primer lugar se calcula la velocidad de entrada en pérdida, igualando el peso a la sustentación:

m/s9.33CAW2

v;CAv21

LW2/1

maxLPSmaxLP

2S =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ=ρ==

Por tanto, la velocidad de despegue será: m/s7.40v2.1v SD ==

El coeficiente de arrastre será:7

C02.0

AR

CCC

2L

2L

DD π+=

π+= ∞

Ahora se plantea el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento:

dxvdvmdtxddxvdmdtvdmDE ===−

2DP

2 vk CAv21

D =ρ=

∫ ∫ −==−

DD v

02

2x

0

2

vk E

vd

2m

dx;dx

vdvmvk E

2D

Dvk E

Eln

k 2m

x−

=

Resolución numérica:

391v

2

1 2

.

A

W C

P D

LD=

ρ= , 108.0

739.1

02.0C2

D =π

+= , kg3.35714gW

m == , 47.16k =

m6.1010xD =

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