TEMA_9

Diseo de Mquinas 99

9 EJES 1. INTRODUCCIN

Los ejes son elementos giratorios que transmiten potencia P al transmitir un par T con una velocidad de giro w:

wTP =

Normalmente son de seccin circular y sirven de eje de giro de elementos como engranajes, poleas, volantes, etctera. En este sentido, los ejes suelen estar escalonados (constan de varios dimetros) para acomodar a estos elementos. La Figura 1 muestra dos ejemplos.Los cambios de dimetro y otras irregularidades como chaveteros, ranuras para anillos de retencin o agujeros para pasadores (todos ellos necesarios para ubicar y fijar los elementos al eje) crean zonas concentraciones de tensin, cuyo efecto perjudicial hay que tratar de reducir al mximo.

Figura 1. Ejes escalonados (de varios dimetros) para acomodar elementos

100 Diseo de Mquinas

Como norma general se debe tratar de que los ejes sean biapoyados, aunque en ejes muy largos es inevitable contar con ms de dos apoyos. En este sentido, es preferible usar longitudes de eje cortas entre apoyos por las ventajas que supone: en primer lugar, se reduceel momento flector que soporta el eje y con ello se minimizan las tensiones y deflexiones resultantes; en segundo lugar, las reacciones en los apoyos se reducen con lo que se necesitan unos rodamientos ms pequeos; finalmente, una longitud corta entre apoyos presenta la ventaja adicional de que aumenta la velocidad crtica del eje (el concepto de velocidad crtica se explica ms adelante). Por ltimo, en la medida de lo posible hay que tratar de evitar que aparezcan fuerzas en voladizo.

Al servir de eje de giro de elementos (engranajes, poleas, volantes) que se montan sobre l, el proceso de diseo del eje tiene interdependencia con dichos elementos.Los pasos para el diseo de un eje son:

1) dimensionar las secciones crticas del eje en base a tensiones, para que resistan a esttica o fatiga.

2) dimensionar el resto de secciones para cumplir los requisitos impuestos por los elementos montados sobre el eje 3) comprobar que las deflexiones, pendientes y vibraciones del eje dimensionado segn los puntos anteriores son admisibles, y redimensionar si es necesario

2. DISEO DEL EJE EN BASE A TENSIONES

Como en cualquier pieza o elemento, debe estudiarse el estado tensional del punto ms solicitado del eje; si ese estado tensional est por debajo de los valores admisibles, no se producir el fallo de la pieza.

Los esfuerzos son introducidos en el eje por los elementos montados o conectados en l. Estos esfuerzos pueden ser:

a) Momento torsor: generalmente slo existe en un tramo del eje, entre los puntos de entrada y salida de la potencia. La tensin generada es:

T

JrT

=

Diseo de Mquinas 101

b) Momento flector: normalmente aparece en dos planos (y, z), en cuyo caso hay

que trabajar con la resultante = '( +*. La tensin generada es:

c) Carga axial: originada habitualmente por engranajes helicoidales y/o rodamientos de rodillos cnicos, el valor de la tensin generada suele ser despreciable en comparacin con las tensiones de flexin y torsin:

Tambin existen tensiones tangenciales por el esfuerzo cortante, pero como los ejes son esbeltos estas tensiones son despreciables. As, el estado tensional del punto ms solicitado del eje es el mostrado en la Figura 2.

Figura 2. Estado tensional del punto ms solicitado de un eje

Estas tensiones pueden ser constantes o variables a lo largo del tiempo. Yendo del caso ms fcil al ms complicado, se va a estudiar en primer lugar la naturaleza de la tensin normal por fuerza axial. La expresin es =F/A, de manera que si F vara a lo largo del tiempo la tensin (t)=F(t)/A vara de la misma forma en que lo hace F(t) porque el rea A no cambia con el tiempo; es decir, si F es constante, es constante (media); si F es alterna, es alterna; si F vara siguiendo cualquier otro patrn, sigue ese mismo patrn. Esto es as independientemente de que el eje gire o no. Con la tensin tangencial por momento torsor sucede exactamente lo mismo. La expresin es =Tr/J, de manera que si T vara a lo largo del tiempo la tensin =Tr/J vara de la misma forma en que lo hace F(t) porque el radio r y la inercia polar J no varan con el tiempo; es decir, si T es constante, es constante (media); si T es alterna,

M IrM

=

AF

=

F


es alterna; si T vara siguiendo cualquier otro patrn, sigue ese mismo patrn. Esto es as independientemente de que el eje gire o no. El estudio de la tensin normal por momento flector es ms complicado. La expresin es =My/I. En este caso, adems de la posible variabilidad de M, tambin hay que tener en cuenta que si el eje est girando la distancia y de un punto a la fibra neutra cambia. Es decir, la tensin es (t)=M(t)y(t)/I. En funcin de si el eje gira o no, se pueden dar los siguientes casos:

a) Si el eje no gira y no vara a lo largo del tiempo, con lo que la tensin (t)=M(t)y/I vara de la misma forma en que lo hace M(t); es decir, si M es constante, es constante (media) (Figura 3a); si M es alterna, es alterna (Figura 3b); si M vara siguiendo cualquier otro patrn, sigue ese patrn.

b) Si el eje gira y vara a lo largo del tiempo, con lo que la tensin (t)=M(t)y(t)/I vara de la misma forma en que lo hace la combinacin M(t)y(t); es decir, si M es constante, es alterna (al ser y alterna debido al giro) (Figura 3c); si M no es alterna, por lo general tendr una forma compleja como la de la Figura 3d.

a) b)

c) d)

Figura 3. Tensin normal por flexin en el eje en distintas situaciones

M cte

P

p(t) m

t

Eje no giratorio

M alterna

P

P

p(t)

rt

Eje no giratorio

M cte

Pp(t)

rt

Eje giratorio

M alterna

P

P ?

p(t)

t

Eje giratorio


Tal y como se ha explicado en los temas anteriores, si el estado tensional del punto ms solicitado del eje es constante en el tiempo, el anlisis a realizar debe ser esttico; si el estado tensional es variable en el tiempo, en anlisis ser a fatiga.

Los ejes se fabrican de material dctil, por lo que los clculos esttico y a fatiga que se presentan a continuacin estn referidos a materiales dctiles.

2.1 CLCULO ESTTICO DE EJES

Cuando las tensiones (por flexin y/o axial) y (por torsor) de la Figura 2 son constantes en el tiempo (estticas), el eje deber ser calculado a esttica. Al tratarse de un estado tensional multiaxial, el anlisis se lleva a cabo mediante las teoras del fallo. Tal y como se vio, para materiales dctiles se emplean las teoras del esfuerzo cortante mximo (Tresca) y de la energa de distorsin mxima (Von Mises):

Tresca: ( ) ypeq


2.2 CLCULO A FATIGA DE EJES

Cuando al menos una de las tensiones (por flexin y/o axial) o (por torsor) de la Figura 2 son variables en el tiempo, el eje deber ser calculado a fatiga. Al tratarse de un estado tensional multiaxial, el anlisis se lleva a cabo de acuerdo al procedimiento explicado en el tema de fatiga de estados multiaxiales; como caso ms general, se analiza el caso en el que la componente media de la tensin no es nula. En dicho tema se describa que para comprobar si un estado tensional multiaxial es capaz de aguantar N ciclos, se utiliza un procedimiento que consta de dos pasos.

En un primer paso se obtiene un estado multiaxial esttico equivalente de tensiones principales 1eeq y 2eeq mediante las rectas de Soderberg o Goodman(para material dctil o frgil, respectivamente). Los valores de 1eeq y 2eeq se obtienen segn las frmulas de la Figura 4; esta Figura es la misma que la Figura 5 del tema de fatiga de estados multiaxiales (donde se explican a fondo los conceptos correspondientes).

Figura 4.Obtencin de las tensiones estticas principales equivalentes (material dctil)(Figura mostrada anteriormente como Figura 5 del tema de fatiga de estados multiaxiales)

Los ejes se calculan a vida infinita, con lo que N=106 ciclos; adems, generalmente las secciones ms solicitadas del eje son aquellas donde existe una zona de concentracin de tensiones (cambio de dimetro, chavetero). Debido a ello, en lugar de N se debe emplear e/kf. Por otra parte, en lugar de trabajar con las tensiones principales, en los ejes se va a trabajar directamente con la tensin normal y la tensin tangencial . De esta forma, en lugar de utilizar la Figura 4 se emplea la Figura 5, donde se obtienen las tensiones estticas equivalentes eeq y eeq. Ntese que en la frmula de eeq debera aparecer yp/e en lugar de yp/e, sin embargo se cumple que yp/e=yp/e.

r

N

ypmeeq 111

+=1m+1r

2m+2rr

N

ypmeeq 222

+=

N

r

myp1eeq

1r

1m

N

r

myp2eeq

2r

2m


Figura 4.Obtencin de las tensiones estticas principales equivalentes (material dctil)(Figura mostrada anteriormente como Figura 5 del tema de fatiga de estados multiaxiales)

Figura 5.Obtencin de las tensiones estticas equivalentes (material dctil) para el clculo a fatiga de ejes

La ventaja de utilizar eeq y eeq, y no 1eeq y 2eeq (tal y como se describe en el tema de fatiga de estados multiaxiales) radica en que los trminos kf que aparecen en las expresiones de eeq y eeq estn directamente referidas a los momentos flector y torsor, respectivamente. En efecto, la tensin normal est generada por el momento flector (despreciando la parte debida a una posible carga axial), y por tanto el valor de kf de la frmula de eeq se debe obtener a partir de la Figura 6a; anlogamente, la tensin tangencial est generada por el momento torsor, y por tanto el valor de kf de la frmula de eeq (referido como kfs en la Figura 5) se debe obtener a partir de la Figura 6b. Si se hubieran utilizado 1eeq y 2eeq, los valores de kf deberan estar referidos a las tensiones principales y su obtencin no sera tan inmediata.

r

N

ypmeeq 111

+=1m+1r

2m+2rr

N

ypmeeq 222

+=

N

r

myp1eeq

1r

1m

N

r

myp2eeq

2r

2m

r

e

ypfmeeq k

+=

r

e

ypfsmeeq k

+=

m+ r

m+ r

e/kf

r

mypeeq

r

m

e/kfs

r

mypeeq

r

m


a) b)

Figura 6.Factores kt a partir de los cuales se calcula kf para las frmulas de: a) eeq b) eeq

Una vez calculadas las tensiones estticas equivalentes, se comprueba la validez del eje a vida infinita mediante la teora de fallo de Von Mises (tambin se podra utilizar Tresca). Segn se ha desarrollado en el punto anterior, la expresin de Von Mises sera:

ypeeqeeqeq +=22 3

Si el punto ms solicitado del eje se encuentra en un chavetero, agujero para pasador o anillo de retencin, o alguna otra zona de concentracin de tensiones, los valores de kf deben calcularse a partir de las tablas de kt correspondientes. La Figura 7a muestra los valores de kt para chaveteros (mismo valor para torsin y flexin), mientras la Figura 7b muestra lo propio para ranuras de anillos de retencin.

a)


b)

Figura 7.Factores kt a partir de los cuales se calcula kf para: a) chaveteros b) ranuras de anillos de retencin

En el dimensionamiento inicial del eje a fatiga no se conocen los dimetros del eje, y por tanto no es posible determinar los valores de kf. As, en la prctica se hace una estimacin inicial conservadora de las concentraciones de tensin para esta primera iteracin, se dimensiona el eje en base a ello y en posteriores iteraciones se va refinando el diseo. En la Figura 8 se indican valores iniciales recomendados de kt.

flexin torsin

Cambio de dimetro brusco (r/d=0.02) 2.7 2.2

Cambio de dimetro suave (r/d=0.1) 1.7 1.5

Chavetero 2.0 3.0

Anillo de retencin 5.0 3.0

Figura 8.Factores kt a partir de los cuales se calcula kf para la primera iteracin en el dimensionamiento del eje

Adems del procedimiento explicado, existen normas o cdigos como el de ASME que permiten calcular el dimetro del eje de una forma conservadora. Este mtodo est basado en la teora de fallo esttico de Tresca, que segn se ha presentado en el apartado anterior tiene la siguiente expresin:

ypeq +=22 4


Dividiendo la tensin equivalente de Tresca eq por dos, se obtiene la tensin cortante mxima max que da nombre a la teora (ver tema de teoras de fallo esttico):

ypypeq

=+

==

2222

2

max

Sustituyendo =Mr/I y =Tr/J=Tr/(2I):

ypTMJr

+=+

=

2222

max 2

El cdigo ASME toma como base esta expresin. Sin embargo, la teora de Tresca es una teora de fallo esttico y los ejes raramente soportan tensiones estticas. As, para tener en cuenta el efecto de la fatiga los momentos M y T se mayoran mediante unos coeficientes Cm y Ct, respectivamente (ver Tabla 1). Adems de la variabilidad de las tensiones, estos coeficientes tambin tienen en cuenta el efecto de las posibles zonas de concentracin de tensiones en el eje (es decir, no es necesario calcular ningn kf). La frmula del cdigo ASME es, por tanto:

( ) ( ) yptm TCMCJr

+= 22max

Obsrvese que el nico caso en el que Cm y Ct valen 1 es cuando el eje es fijo (no gira) y la carga (momentos M y T) se aplican gradualmente, es decir son constantes; en este caso, las tensiones y son estticas y por tanto no deben mayorarse, se usa directamente la teora de Tresca de fallo esttico.

Cm Ct

Ejes fijos:

carga aplicada gradualmente 1.0 1.0

carga aplicada repentinamente 1.5-2.0 1.5-2.0

Ejes giratorios:

carga aplicada gradualmente 1.5 1.0

carga aplicada repentinamente, slo pequeos impactos 1.5-2.0 1.0-1.5

carga aplicada repentinamente, grandes impactos 2.0-3.0 1.5-3.0

Tabla 1. Valores de Cm y Ct para el clculo de ejes por el cdigo ASME


3. DISEO DEL EJE EN BASE A DEFLEXIONES

Tras dimensionar las secciones crticas del eje en base a tensiones, se dimensionan el resto de secciones para cumplir los requisitos impuestos por los elementos montados sobre el mismo. Una vez se conoce completamente la geometra del eje, se debe comprobar que las deflexiones y pendientes provocadas por los esfuerzos no son excesivas. Estas deflexiones se calculan mediante las frmulas de Resistencia de Materiales.

En la bibliografa se pueden encontrar tabulados los resultados correspondientes a los casos de carga ms habituales, como por ejemplo el eje biapoyado con carga puntual de la Figura 9.

Figura 9.Pendientes y deflexiones en un eje biapoyado con una carga puntual

Las deflexiones y pendientes mximas admisibles vienen impuestas por los requisitos de engranajes, rodamientos y dems elementos montados sobre el eje. La Tabla 2 indica algunos valores admisibles tpicos.

pendiente max. admisible

rodam. de rodillos cnicos 0.0005-0.0012 rad

rodam. de rodillos cilndricos 0.0008-0.0012 rad

rodam. de bolas de ranura profunda 0.001-0.003 rad

rodam. de bolas de contacto angular 0.026-0.052 rad

engr. cil. Recto 0.026-0.052 rad

flecha max. admisible

engr. cil. recto (


Si la deflexin y en una seccin del eje es mayor que el valor admisible ymax, se debe redimensionar el eje. Si bien es suficiente con aumentar nicamente el dimetro de dicha seccin crtica, un mtodo rpido y sencillo (a la vez que conservador) consiste en aumentar el dimetro de todas las secciones del eje; como las deflexiones dependen de la inercia, es decir del dimetro elevado a la cuarta, los nuevos dimetros dnuevo se calculan a partir de los dimetros anteriores danterior mediante la frmula:

4/1

=

admanteriornuevo y

ydd

Las pendientes tambin dependen de la inercia, por lo que si la pendiente en una

seccin supera el valor admisible max, los dimetros nuevos del eje deben ser: 4/1

=

admanteriornuevo dd

Adems de la deflexin y la pendiente, tambin es habitual tener valores mximos admisibles del giro debido al momento torsor.

4. DISEO DEL EJE EN BASE A VIBRACIONES

Adems de las deflexiones estticas del apartado anterior, tambin hay que comprobar que las vibraciones del eje no sean excesivas. Cuando el eje gira, las masas excntricas de los elementos montados sobre l generan fuerzas centrfugas.

Si la velocidad de giro coincide con la primera frecuencia natural de flexin del eje (denominada velocidad crtica), las fuerzas centrfugas excitan dicho modo de vibracin y el eje entra en resonancia. En este caso las deflexiones estticas se amplifican considerablemente (ver Figura 2 del tema de fatiga uniaxial alterna), y por tanto tambin aumentarn las pendientes, tensiones en el eje y las reacciones en los apoyos (que debern absorber los rodamientos). Todo esto puede llevar a un fallo catastrfico del sistema. Para evitar este fenmeno, los ejes se dimensionan para que la velocidad crtica sea considerablemente superior a su velocidad de giro (al menos el doble o triple), de tal manera que la deflexin no se amplifica (amplificacin=1):

)()(

2ii

iicriteje yw

ywgww

=


En la expresin de la velocidad crtica wcrit, g es la aceleracin de la gravedad, wi es la masa de cada elemento montado sobre el eje (se desprecia la masa del propio eje) y finalmente yi es la deflexin esttica del eje en la seccin donde se monta el elemento con masa wi (obtenido de Resistencia de materiales o de tablas como la de la Figura 9).

5. DISEO DE ELEMENTOS ASOCIADOS AL EJE

Sobre el eje se montan varios elementos como engranajes, poleas, volantes, de manera que el proceso de diseo del eje tiene interdependencia con dichos elementos tal y como se ha visto en los apartados anteriores. Entre estos elementos estn los engranajes, embragues, frenos, poleas, rodamientos, volantes de inercia, etctera, que merecen un estudio aparte por su complejidad e importante funcin. Algunos de estos elementos se estudian en temas posteriores. Ahora bien, estos elementos montados sobre el eje se unen al mismo mediante otros elementos o sistemas auxiliares: entre ellos estn las chavetas, los pasadores, los ejes estriados, los anillos de retencin

5.1 CHAVETAS

Las chavetas sirven para transmitir el par torsor entre el eje y el elemento montado sobre l. Existen muchos tipos de chavetas (circulares, trapezoidales, Woodruff). Entre ellas, las ms comunes son las de seccin transversal cuadrada y rectangular como la de la Figura 10, cuyo ancho w y alto h estn normalizados en funcin del dimetro del eje (ver Tabla 3); as, se debe calcular la longitud L que debe tener la chaveta para poder transmitir el par T entre el eje y el elemento a unir. Para calcular L se supone que sobre la chaveta acta una fuerza F=T/R, tal y como se muestra en la Figura 10. Evidentemente se trata de una simplificacin, ya que la distribucin de fuerzas en la chaveta depende de las holguras chaveta-chavetero y de las rigideces de los elementos.

Figura 10.Chaveta de seccin cuadrada

LF

D


dimetro de eje

desde hasta w h altura

chavetero

5/16 7/16 3/32 3/32 3/64

7/16

9/16

1/8 3/32 3/64

1/8 1/8 1/16

9/16

7/8

3/16 1/8 1/16

3/16 3/16 3/32

7/8

1 1/4

1/4 3/16 3/32

1/4 1/4 1/8

1 1/4

1 3/8

5/16 1/4 1/8

5/16 5/16 5/32

1 3/8

1 3/4

3/8 1/4 1/8

3/8 3/8 3/16

1 3/4

2 1/4

1/2 3/8 3/16

1/2 1/2 1/4

2 1/4

2 3/4

5/8 7/16 7/32

5/8 5/8 5/16

2 3/4

3 1/4

3/4 1/2 1/4

3/4 3/4 3/8

Tabla 3. Dimensiones normalizadas de chavetas de seccin cuadrada y rectangular

Por efecto de esa fuerza F, la chaveta puede fallar a cortante (rea de cortante=wL) o a aplastamiento (rea de aplastamiento=hL/2). Por tanto, para que no se d el fallo, las tensiones generadas deben estar por debajo de los valores admisibles:

A cortante: CSwL

RT yp = / ; A aplastamiento: CShL

RT yp =2/

/

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene la longitud L que debe tener la chaveta; dicha longitud est limitada a la longitud del elemento, y en cualquier caso se recomienda que no supere 1.5 veces el dimetro del eje para que no se deforme demasiado por la torsin del eje. As, si la longitud obtenida de las frmulas es excesiva, se recomiendo emplear dos chavetas, tpicamente a 90 o 180 entre s.

Por ltimo, en cuanto al coeficiente de seguridad CS empleado en las frmulas, se recomienda no usar valores muy altos, para que en caso de sobrecarga la chaveta haga de fusible mecnico. Dicho de otra forma, las chavetas deben estar diseadas para romperse en caso de un sobreesfuerzo para proteger as las piezas mecnicas de mayor importancia como ejes, poleas, engranajes, motor...


5.2 OTROS ELEMENTOS: PASADORES, ANILLOS DE RETENCIN

El clculo de otros elementos auxiliares es parecido al de las chavetas, sin embargo no se van a explicar aqu. No obstante, s que se van a enumerar algunas ideas bsicas sobre la funcin de estos dispositivos.

Los pasadores transmiten par torsor (menos que las chavetas) y fijan axialmente; los ejes estriados sirven para transmitir elevados pares torsores, y a menudo cumplen funciones de gua axial (por ejemplo en embragues); los anillos de retencin se utilizan para fijar axialmente los elementos. Todos estos sistemas, incluidas las chavetas, introducen zonas de concentracin de tensiones en el eje que deben ser tenidas en cuenta a la hora de disear el eje a fatiga tal y como se ha mencionado anteriormente (ver Figura 7 para los valores de kt correspondientes).

En este sentido, un ajuste a presin es la forma ms limpia de unir los elementos al eje (aunque tambin genera concentracin de tensiones, adems de posibles problemas de fretting); no obstante, su capacidad de transmisin de par y de fijacin axial es considerablemente menor.

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