Tema: Funciones

Matemticas B 4ESO

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TEMA: FUNCIONES: NDICE:

1. Introduccin.

2. Dominio y recorrido.

3. Grficas de funciones elementales. Funciones definidas a trozos.

4. Continuidad.

5. Crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos.

6. Concavidad y convexidad.

7. Puntos de corte con los ejes.

8. Simetra.

9. Periodicidad.

10. Asntotas.

11. Tasa variacin media

1. INTRODUCCIN:

Puntos y coordenadas

Para representar en el plano se toman dos rectas perpendiculares OX y OY, llamadas ejes de coordenadas.

El eje OX se llama eje de abscisa y el eje OY eje de ordenadas. El punto O es el origen de coordenadas.

Cada uno de estos ejes se grada con nmeros positivos y nmeros negativos. De este modo, a cada punto P

del plano le corresponde un par de nmeros (x, y) que llamamos coordenadas del punto.

El 1er nmero o 1 coordenada x corresponde al eje horizontal (abscisa).

El 2 nmero 2 coordenada y corresponde al eje vertical (ordenada)

Cuadrantes

1er cuadrante, 0,0 yx

2 cuadrante, 0,0 yx

3er cuadrante, 0,0 yx

4 cuadrante, 0,0 yx

Ejemplo: Representar en el plano los siguientes puntos (1, 2); (-3,4); (2,-5); (-4, -3)

Qu es una funcin: )(xfy

Una funcin es una relacin entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera

magnitud le corresponde un nico valor de la segunda, que se llama imagen.

Una funcin puede venir dada por una frmula, por ejemplo: la relacin y = 5x2 + 1, expresa que la

variable x depende de la variable y, por eso se llama a x variable independiente, y a y variable

dependiente.

Variable independiente

Representa los distintos valores que se admiten y constituyen el dominio de la funcin.

Variable dependiente

Representa los distintos valores que resultan a partir de los valores de x. El conjunto de los

valores de y constituye el recorrido o rango de la funcin.

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2. DOMINIO Y RECORRIDO:

Dominio y recorrido:

El dominio D(f) de una funcin son los valores que puede tomar la x.

El recorrido o imagen R(f) o Img(f) de una funcin son los valores que toma la y.

Ejemplo: Para la funcin dada por la frmula x

y4

:

El dominio son todos los nmeros reales menos el 0 porque si x = 0, 0

4y , que no

tiene sentido. Es decir D(f) = R-{0}

El recorrido son todos los nmeros reales menos el 0, pues la ecuacin x

40 no tiene

solucin. Ejercicio: Indica el Dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

Clculo del Dominio de una funcin.

a. Funciones Polinmicas: D( f ) = R . Ejemplo: 7532)( 24 xxxxf

b. Funciones Racionales: }min{)( adordenoelanulasedondepuntosRfD

Ejemplo: 3

6)(

3

x

xxf }3{)( RfD

32

123)(

2

2

xx

xxf }1,3{)( RfD

c. Funciones Radicales (Races) : a. ndice Impar: D(f) = Dominio del radicando b. ndice Par: D(f) = {Puntos donde el radicando es positivo o cero}

3

Ejemplo: 3 2 63)( xxf D(f) = R

63)( 2 xxf ),2U2,()f(D

52

3)(

x

xxf }2{)( RfD

2

3)(

x

xxf ),2(0,()( UfD

Ejercicio: Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a. 52

73)(

2

x

xxf

b. 978)( 23 xxxg

c. 3 2 765)( xxxh

d. 532)( 2 xxxk

e. 1)( 2 xxl

f. 1

53)(

2

x

xxi

3. GRFICAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES A cada expresin algebraica de una funcin le corresponde una grfica. Mediante la grfica de una

funcin podemos apreciar las caractersticas principales de dicha funcin.

a. Funcin constante. axfy )(

Su grfica es una lnea recta que pasa por el punto (0,a) y es paralela al eje OX

b. Funciones afines y lineales:

I. Funcin lineal. mxxfy )(

Su grfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0) y tiene de pendiente m. Se

representa muy fcilmente mediante una tabla de valores.

II. Funcin afn. nmxxfy )(

Su grfica es una recta que pasa por el punto (0,n) y tiene de pendiente m. Se representa muy

fcilmente mediante una tabla de valores.

c. Funciones cuadrticas: cbxaxxfy 2)(

Su grfica es una parbola.(Veamos como representarla)

Curvatura: si 00 asiperoa

Vrtice: a

bVx

2

y

a

bfVfV xy

2

Puntos de corte con los ejes:

Corte con el eje 0Y tomo x = 0 y calculo y Corte con el eje 0X tomo y =0 y calculo x (pueden ser 0,1 2 valores) Tabla de valores

Ejemplo: 6)( 2 xxyxf

Curvatura: como a = 1 > 0 Convexa ( )

Vrtice: 5`02

1

xV y 25`6

4

25

2

1

fVy

Nota: x=2 no est en el dominio, pues en ese punto se anula el

denominador

4

Por tanto el vrtice es )25`6;5`0()4

25;

2

1(

V

Puntos de corte con los ejes:

Eje 0Y tomo x = 0 entonces 6)0( fy el punto es (0, -6)

Eje 0X tomo y = 0 entonces 0 = 62 xx y calculo x obtengo dos valores de x, x = -3 y x = 2 (-3,0) y (2,0) Tabla de valores:

d. Funciones exponenciales.

I. 0

)(

a

axfy x

II. 0

)(

a

axfy x

III. xexfy )( ; xexfy )( (anlogo a las anteriores tomando a=e= 2718)

5

e. Valor Absoluto.

I. Ejemplo1: 3)( xxf

Estudio el signo de x + 3 303 xx

Por tanto

33

333)(

xsix

xsixxxf

II. Ejemplo2: 5)( 2 xxf

Estudio el signo de 55055 222 xxxx

Por tanto

55

555

55

)(

2

2

2

xsix

xsix

xsix

xf

Ejercicio: Representar las siguientes funciones:

a. 3)( xf

b. 74 xy

c. 432 xxy

d. tth 4)(

e. sesg )(

f. 143)( 2 xxxg

g. 52)( tth

h. 32)( 2 xxxf

Funciones Definidas a Trozos:

Ejercicio: Representa las siguientes funciones:

a.

35

3382

32

)( 2

xsi

xsixx

xsix

xf

b.

243

20

0

)(

2

tsit

tsit

tsit

tg

c.

112

10

12

)(

2 xsix

xsix

xsi

xh

x

d.

1)1log(

113

163

2

xsix

xsixx

xsix

xj

4. CONTINUIDAD.

Idea de continuidad en un punto:

Una funcin )(xfy es continua cuando puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel.

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Continuidad en un intervalo:

Una funcin f(x) es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todos sus puntos.

a) Es continua

b) Es discontinua en el punto x=3, porque supone un salto de dos unidades en f(x). c) Es discontinua en el punto x=0 porque no est definida en el punto f (0).

Tipos de discontinuidad:

a) Discontinuidad evitable.

b) Inevitable de salto finito. (Ejemplo b anterior. En este caso el Salto de la funcin es 2)

c) Inevitable de salto infinito (Ejemplo c anterior)

Ejercicio: Dada la grfica de la siguiente funcin:

Ejercicio. Dada las grficas de las siguientes funciones:

Estudia:

a) Continuidad en x=3

b) Continuidad en x=0

c) Continuidad en el intervalo (-1, 0)

d) Continuidad en el intervalo (-1, 4)

e) Indica en que puntos es continua cada funcin.

Estudia:

a) Continuidad en el 0 b) Continuidad en el 1 c) Continuidad en el intervalo (0,2). d) Continuidad en el intervalo (1,3)

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5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MXIMOS Y MNIMOS.

Funcin creciente:

Una funcin f(x) es creciente en un intervalo si para todo par de valores hxx se verifica que )()( hxfxf .

Si )()( hxfxfhxx

Funcin decreciente:

Una funcin f(x) es decreciente en un intervalo si para todo par de valores hxx se verifica que )()( hxfxf .

.

Si )()( hxfxfhxx

Funcin constante:

Una funcin f(x) es constante en un intervalo si para todo par de valores hxx se verifica que )()( hxfxf .

Si )()( hxfxfhxx

Mximo:

Una funcin tiene un mximo en el punto c, si existe un intervalo (c-h , c+h) donde se verifica

que f(c) > f(x) para todo valor x perteneciente al intervalo.

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Mnimo:

Una funcin tiene un mnimo en el punto c, si existe un intervalo (c-h , c+h) donde se verifica

que f(c) < f(x) para todo valor x perteneciente al intervalo.

Ejemplo:

Ejercicio: Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los mximos y mnimos de las

siguientes funciones (Indicando en caso de que existan los mximos y mnimos absolutos)

6. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD.

Funcin convexa:

Una funcin es convexa en un intervalo si, al unir dos puntos cualesquiera del intervalo, el

segmento queda por encima de la grfica de la funcin.

Funcin cncava:

Una funcin es cncava en un intervalo si, al unir dos puntos cualesquiera del intervalo, el

segmento queda por debajo de la grfica de la funcin.

Puntos de inflexin:

Los puntos de inflexin son aquellos en los que la funcin cambia de curvatura.

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Ejercicio: Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y

convexidad, as como los mximos, mnimos y puntos de inflexin de la siguiente grfica:

Ejercicio: Estudia todo lo visto hasta ahora en la siguiente funcin:

7. PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES.

Con el eje de abscisas (eje OX): buscamos los puntos x de la funcin )(xfy donde la

ordenada es 0 (y = 0) , luego resolvemos la ecuacin 0)( xf

Con el eje de ordenadas (eje OY): buscamos los puntos y de la funcin )(xfy donde la

abscisa es 0 (x = 0), luego resolvemos la ecuacin )0(fy

Ejemplo: Calcula los puntos de corte de las siguientes funciones:

a) 143)( 2 xxxf

b) 3

5)(

x

xxg

c) 1)( 2 xxxh

d) 22 21052)( xxxxi

Ejercicio: Indica en que intervalos las siguientes funciones son positivas, y en cuales son negativas:

10

a) xxf 210)(

b) 37)( xxg

c) 12)( 2 xxxh

d) 143)( 2 xxxi

e) 3)( 2 xxj

8. SIMETRA.

Una funcin es simtrica respecto del eje de ordenadas ( eje OY) cuando )()( xfxf . Se

llama tambin funcin par.

Una funcin es simtrica respecto del origen cuando )()( xfxf . Se llama tambin funcin

impar.

Ejercicio: Estudia la simetra de las siguientes funciones:

5

3)(;)(;

1)(;

)1(

1)(;5)(;3)(

3

2

33

2

2

43

x

xxh

xx

xxg

xx

xxf

xxhxxgxxf

9. PERIODICIDAD.

Una funcin es peridica cuando los valores que toma se repiten cada cierto intervalo fijo T;

que se llama periodo. Esto es, si:

)()( xfTxf

Ejemplo:

Ejemplos:

a. Funciones trigonomtricas.

b. Altura de una noria en funcin del tiempo

c. Pndulo

d. Electrocardiograma.

10. ASNTOTAS.

Las asntotas son rectas a las cuales la funcin se va aproximando indefinidamente sin llegar nunca a

cortarlas.

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Asntotas horizontales:

Ejemplo: Asntota horizontal: y=3

Asntotas verticales:

Ejemplo:

Asntota vertical: x=0

Ejercicio: Estudia las asntotas de las tres grficas siguientes:

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Ejercicios:

1. Indica el dominio y recorrido de las funciones:

2. Indica por qu las grficas adjuntas no corresponden a las de una funcin:

3. Construye una tabla de valores asociada a cada una de las funciones:

a. A cada nmero le corresponde su mitad.

b. A cada cuadrado le corresponde su superficie:

4. Traza las grficas del ejercicio anterior:

a.

5. Di si son continuas las siguientes funciones; en caso contrario, da los puntos de discontinuidad, y

el dominio:

6. Di si son continuas las siguientes funciones; en caso contrario, da los puntos de discontinuidad, y

el dominio:

7. Di si son continuas las siguientes funciones; en caso contrario, da los puntos de discontinuidad, y

el dominio:

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8. Calcula los puntos de corte con los ejes en el ejercicio anterior:

9. Calcula los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones:

10. Indica entre que valores la funcin es creciente y entre cules decreciente:

11. Dibuja la grfica de una funcin que sea decreciente entre 5 y 1; y entre 4 y 6, y creciente

entre 1 y 4; y entre 6 y 9.

12. Representa una funcin f con Dom(f)=[0,7] y R(f)=[1,5] y que, adems, cumpla:

a. Crece en el intervalo (1,4) y decrece en el resto.

b. Crece en el intervalo (1,3), decrece en el intervalo (3,4) y se mantiene constante hasta

x=7.

13. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las grficas:

14. Indica los mximos y los mnimos de las funciones dadas en el ejercicio anterior

15. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los mximos y los mnimos de las

funciones dadas por las siguientes grficas:

16. Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los mximos y los mnimos de las

funciones dadas por las siguientes grficas:

14

17. Indica los intervalos de concavidad y de convexidad en los ejercicios anteriores (25, 27, 28, 30,

31)

18. Dibuja una funcin que pase por los puntos A(1,3), B(0,1), C(2,0), D(4,3) y E(6,6), siendo A y E

mximos, C mnimo y B y D puntos de inflexin. Indica en qu intervalos es cncava y en cules

convexa.

19. Completa estas grficas para que sean simtricas:

20. Di de qu tipo de simetra presentan las siguientes funciones dadas por sus grficas:

21. Di cules de las siguientes funciones son peridicas. En caso afirmativo, determina su periodo.

22. Interpreta la siguiente grfica:

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23. En una finca en la que se plantan dos tipos de hortalizas: tomates y lechugas, se van a utilizar x kilos

de abono. Las cantidades de kilos de tomates y lechugas obtenidos en funcin del abono utilizado vienen

dadas respectivamente por las dos funciones siguientes: 10

100300)(

x

xxT y

10

30120)(

x

xxL .

a. Cuntos kilos de lechuga obtendr si uso 30 kilos de abono? b. Cuntos kilos de abono necesito para obtener 155 kilos de tomate?. c. Cul es la funcin h(x) que nos da la cantidad de kilos de hortalizas obtenidas, en funcin del

abono utilizado?

d. Cuntos kilos de hortalizas obtendr con 60 kilos de abono?

24. El dueo de un manantial de agua mineral llega a la conclusin de que, si el precio a que vende la botella

es x pesetas, sus beneficios vendrn dados por la frmula 2110)( 2 xxxB en miles de pesetas

por da.

Representar la funcin precio-beneficio e indicar cul ser el precio de la botella para obtener el

beneficio mximo.

25. El da uno de mayo el precio del meln es de 200 pesetas el kilo. Cada da que pasa, el precio por kilo disminuye en 2 ptas. Un agricultor tiene el uno de mayo 80 kilos de melones y estima producir cada da

10 kilos ms. Cundo deber vender el agricultor sus melones?

26. Algunos expertos estimaron, a comienzos de los aos noventa, que el SIDA creca a razn del 20% anual. Si suponemos que en esa fecha, en una determinada ciudad, haba 1000 enfermos de SIDA y la

frmula del crecimiento viene dada por ttE 20,011000)( se pide: a. Cuntos habra a comienzos de 1993?. Y en el ao 2000? b. Cunto tardar en duplicarse el nmero de afectados?

27. Las funciones de ingresos y costes anuales por la fabricacin y venta de q unidades de un determinado producto vienen dadas por:

204,02000)( qqqI y 2001,01001000000)( qqqC . Halla:

a. La funcin que da el beneficio anual. b. Cuntas unidades hay que producir y vender para que el beneficio sea mximo? c. Cul es ese beneficio?

d. El coste de produccin de x unidades diarias de un determinado producto es 2554

1 2 xx

y el precio de venta de una de ellas est en funcin de la produccin total es

450

x euros

por cada unidad.

i. Hallar el precio de venta si se producen 12 unidades. ii. Determinar los ingresos al producir 12 unidades.

iii. Determinar los beneficios al producir 12 unidades. iv. Establecer la funcin que da los beneficios en funcin de las unidades vendidas. v. Establecer el nmero de unidades que deben producirse diariamente para que el

beneficio sea mximo.

NOTA: BENEFICIOS = INGRESOS GASTOS

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