Temario UNIDAD VII

SESIÓN 01: Perímetros

Definición, elementos y clasificación.

Teoremas Fundamentales

Ejercicios de Aplicación

SESIÓN 02: Áreas sombreadas

Definición, elementos y clasificación.

Teoremas Fundamentales

Ejercicios de Aplicación

UNIDAD VIII

SESIÓN 01: PRISMA.

Definición, elementos y clasificación.

Teoremas Fundamentales

Ejercicios de Aplicación.

Lógica del área

Selecciona estrategias y recursos para resolver problemas de perímetros y áreas de figuras planas aplicados a la vida cotidiana. Justifica con ejemplos y sus conocimientos geométricos la estrategia usada en la resolución de problemas. Identifica los elementos de los sólidos geométricos: Prisma. Expresa gráficamente los sólidos geométricos: Prisma. Resuelve de problemas aplicando fórmulas.

Introducción Estimado estudiante la Guía Didáctica que te presento ha sido elaborada con la finalidad de complementar la capacidad de interpretación y análisis y así brindarles las herramientas necesarias que les ayudaran a entender a la Geometría de manera integral y dinámica.

A lo largo de las sesiones que conforman esta guía, están presentes las propiedades y teoremas necesarios para complementar la capacidad de resolver problemas matemáticos.

Con ello propongo no solo un recorrido dinámico a través de los temas del curso, sino también una metodología que plantea problemas prácticos, cercanos a la realidad cotidiana.

Estudiaremos diferentes problemas geométricos, reconociendo las principales regiones planas y las calcularemos en función de sus dimensiones conociendo las fórmulas apropiadas asimismo, con lo cual pretenderé que el estudiante del primer año de secundaria resuelva los ejercicios familiarizándose adecuadamente, utilizando además el razonamiento.

SÉPTIMA Unidad

Perímetros 7

Hoy en día es sumamente importante llevar a cabo la delimitación de la propiedad, que no es más que marcar correctamente los límites de nuestra propiedad, es decir, concretar dónde empieza algo que es nuestro y dónde acaba, que sería el mismo punto en el que comenzaría el espacio público u otro espacio privado. De esta manera, hay que tener bien localizados los datos catastrales y tener grafiada la propiedad para saber qué nos corresponde y, sobre todo, en caso de compraventa, herencia... tener todos los papeles en regla.

¿CÓMO DELIMITAR LOS LÍMITES DE TU PROPIEDAD?

Perímetro

Es la suma de todas las longitudes de las líneas y/o curvas que forman el contorno de una superficie o figura.

Antiguamente se planteó la teoría geocéntrica de Claudio Ptolomeo (griego que nació en el 85 a. c. y murió el 16 d. c.), que con el transcurrir del tiempo se demostró que era falsa. Esta teoría manifestaba que la tierra era el centro del universo, y que todos los planetas giran alrededor de la Tierra y describen órbitas circulares. Se entiende que en esa época había muchas limitaciones y no se puede comparar con nuestro tiempo; en dicha teoría de Ptolomeo, se puede ver el uso del concepto de círculo, aunque él lo entendió como circunferencia.

La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro por el valor de π, o dos veces el radio por el valor de π.

1. Lucía está haciéndose una chalina de lana de muchos colores, que mide 120 cm de largo y 30 cm de ancho. ¿Cuál es el perímetro de la chalina?

a) 300 cm b) 150 cm c) 360 cm d) 450 cm

Solución.

*Se sabe que al extender la chalina formará un rectángulo. Perímetro = 120 + 120 + 30 + 30 Perímetro = 300 cm . Rpta.: 300 cm 2. Una región poligonal tiene cinco lados. Dos de sus

lados miden 12 cm cada uno y los tres restantes, 15 cm cada uno. Calcula el perímetro de la región.

Solución. El perímetro es la suma de las longitudes de sus cinco lados:

2 lados × 12 cm = 24 cm 3 lados × 15 cm = 45 cm Perímetro = 69 cm Rpta.: 69 cm

Sesión N° 1:

Perímetros 1

Reto… En la I.E. “CIMA” con motivo del mes de la primavera se tiene previsto realizar un paseo a la ciudad de la Villa del Sol - Chosica. Se tienen vehículos que tienen ruedas de distintos radios, Toyota y Kia, aún no saben muy bien en cuál de los dos salir. Contesta la pregunta. *Si las ruedas del vehículo de marca TOYOTA tienen 60 cm de diámetro y se piensa que en el viaje darán 90 000 vueltas, ¿Cuántos km aproximadamente recorrerá este vehículo? Considera Pi = 3,14.

LO = πd LO = 2πr

EJERCICIOS RESUELTOS

3. Las regiones están encerradas por un cuadrado y un octógono regular. Si el perímetro de la región cuadrangular es 20 cm, ¿cuál es el perímetro de la figura?

Solución.

El cuadrado tiene cuatro lados, entonces cada lado mide 20 ÷ 4 = 5 cm.

Toda la región tiene 10 lados, entonces el perímetro es:

10 5 cm = 50 cm Rpta.: 50 cm

Problemas de aplicación

PROBLEMA 01

Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a. El contorno de una región plana nos representa su

perímetro. ( ) b. Una región plana se encuentra limitada por una línea

cerrada. ( ) c. Una región hexagonal tiene 6 lados. ( )

A) VVV B) VFV C) FVV D) VVF E) VFF

PROBLEMA 02

Se desea colocar un cerco alrededor del perímetro de un parque, para lo cual compran 108m ¿Cuántos metros faltan compran?

A) 20 m B) 128 m C) 220 m D) 28 m E) 136m

PROBLEMA 03

María dibuja en su cuaderno un rectángulo con las siguientes dimensiones: ancho igual a 24 cm y largo igual a 36 cm. Al observar el dibujo de María, Elvis comenta que dibujará un cuadrado que tenga el mismo perímetro de dicho rectángulo. Determina la medida del lado del cuadrado.

PROBLEMA 04

Determina el perímetro de la figura mostrada.

PROBLEMA 05

Compara el perímetro de la figura CD con el perímetro del rectángulo ABCD. ¿Qué puedes decir?

PROBLEMA 06

Los números representan la longitud del segmento correspondiente. ¿Cuál es el perímetro de la figura? Comunica tu respuesta.

A) 12 B) 18 C) 26u D) 24u E) 25u

6 cm

4 cm

9 cm

PROBLEMA 07

Halla el perímetro de la figura mostrada. A) 56 cm B) 18 cm C) 26m D) 48 cm E) 56m

PROBLEMA 08

En un parque que tiene forma rectangular como se muestra en la figura. Halla el valor de «x» si el perímetro es 94 m.

A) 8 m B) 10 m C) 12 m D) 15 m E) 17 m

PROBLEMA 09

Halla la suma de los perímetros de las dos franjas rojas en el diseño de la bandera, si se sabe que B es punto medio del lado AC y que el ancho de las franjas es igual.

a) 350 cm b) 360cm c) 330 cm d) 270 cm

PROBLEMA 10

Juan se inscribe en un curso de carpintería y construye la mesa mostrada con las siguientes dimensiones, como se muestra en la figura.

-Si la dimensiones están erradas, ya que el largo (BC) debe medir 20 cm más y el ancho (AB) debe medir 5 cm más, ¿cuál sería el perímetro de la mesa, haciendo las correcciones debidas? -Si no hubiera falla, ¿cuál sería el perímetro de la mesa?

A) 120 cm B) 180 cm C) 260 cm D) 240 cm E) N.A.

PROBLEMA 11

Pedro ha comprado una mesa de forma hexagonal equilátera. Si el lado PQ mide 45 cm y Pedro desea colocar en el perímetro de la mesa un listón de aluminio.

Calcule: *¿Cuántos centímetros de aluminio tendrá que comprar para dicha instalación? *Si el metro de aluminio tiene un costo de $40, ¿a cuánto ascenderá el costo que gastará en el aluminio comprado?

A) 270 cm ; $108 B) 106 cm ; $ 100 C) 260 cm ; $ 105 D) 210 cm; $ 200 E) No se puede determinar.

PROBLEMA 12

Juan compra un anillo y quiere Determina el valor de su perímetro. Si AB = 8cm

A) 14 π cm B) 16 π cm C) 15 π cm D) 8 π cm E) 17 π cm

PROBLEMA 13

En el siguiente gráfico se muestra una tuerca cuadrada mal fabricada.Se desea calcular el perímetro de la región sombreada mostrada.

a) 32 + 8𝜋𝜋 b)32 + 4𝜋𝜋 c)16 + 8𝜋𝜋

d)2(𝜋𝜋 − 2) e)𝜋𝜋 + 2

PROBLEMA 14

Calcula el perímetro de la figura sombreada.

a)20 + 20𝜋𝜋 b)60 + 4𝜋𝜋 c)20(3 + 𝜋𝜋)𝑢𝑢

d)2(𝜋𝜋 − 9) u e)20 𝜋𝜋 𝑢𝑢

PROBLEMA 15

En la siguiente figura encontrar el perímetro de la región sombreada.

a) 5(𝜋𝜋 + 2) b)5(𝜋𝜋 − 2) c)10(𝜋𝜋 + 2)

d)10(𝜋𝜋 − 2) e)𝜋𝜋 + 2

PROBLEMA 16

Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada.

a) 64

b) 8(𝜋𝜋 + 2)

c) 8(𝜋𝜋 − 2)

d) 32

e) 16

PROBLEMA 17

Calcular el perímetro de la siguiente región sombreada. a) 100𝜋𝜋

b) 10𝜋𝜋

c) 20𝜋𝜋

d) 50𝜋𝜋

e) 25𝜋𝜋

PROBLEMA 18

Julio quiere construirle a su hija Antonella una cometa en forma de rombo, para lo cual compró dos porciones de caña de 48 y 14'm de longitud. Estas cañas serán colocadas en forma diagonal y perpendiculares entre sí y sobre ellas se colocará el papel cometa en forma de rombo. Calcular:

10

10

10

8

8

PROBLEMA 19

El patio de la casa de la alumna Andrea tiene la forma de un trapecio isósceles. La longitud del lado igual es de 12 m, los ángulos agudos de la base mayor miden 60° cada uno y la longitud de la base menor es de 7 m. Como el padre de Andrea va a realizar unos arreglos al patio, necesita saber: • Los otros dos ángulos situados en la base menor del patio. • La longitud de la base mayor de dicho patio. • El perímetro del patio para poder cercarlo.

PROBLEMA 20

Un campesino utilizará 105m de alambre en la construcción de un cerco para juntar a sus vacas y ovejas, tal como se muestra en la imagen. Se sabe que la medida del lado AB es igual al lado CD, CD es el doble de BC , y el lado AE es igual a ED, BC y AD. Ahora, el campesino ha decidido colocar alambre en AD para ubicar a las vacas en el cerco con menor perímetro. Si se sabe que debe colocar el doble de alambre en cada cerco, ¿Cuántos metros de alambre necesitará? ¿Será el doble del que emplearía inicialmente? ¿Porqué?

PROBLEMA 21

Las medidas de una bodega se muestran en la figura. ¿Cuál es el perímetro de la puerta?

PROBLEMA 22

Para una campaña publicitaria, Brenda construyó un cartel con la forma que se muestra. Si colocará una cinta de luces LED alrededor del cartel, ¿qué longitud aproximada tendrá esta cinta?

30 cm

130 cm

70 cm

50 cm 100 cm 200 cm

100 cm

1,2 m

2,4 m

Sesión N° 2:

Áreas De Regiones Planas 2

Un grupo de arqueólogos se encuentra en las pampas de Jumana, desierto de Nasca, con el fin de realizar trabajos de limpieza. Para ello, han dividido el área y han designado a un responsable para cada sector. ¿Qué área tiene el lugar donde realizarán la limpieza?

Grupo de arqueólogos

Los Jardines tienen su origen entre los años 1630 y 1640, cuando el Conde-Duque de Olivares (Don Gaspar de Guzmán y Pimentel), valido de Felipe IV (1621–1665), le regaló al rey unos terrenos que le habían sido cedidos por el Duque de Fernán Núñez para el recreo de la Corte en torno al Monasterio de los Jerónimos de Madrid. Así, con la reforma del Cuarto Real que había junto al Monasterio, se inició la construcción del Palacio del Buen Retiro. Contaba entonces con unas 145 hectáreas. Aunque esta segunda residencia real iba a estar en lo que en aquellos tiempos eran las afueras de la villa de Madrid, no estaba excesivamente lejos del alcázar y resultó ser un lugar muy agradable por estar en una zona muy boscosa y fresca. • En el jardín mostrado, ¿existen regiones poligonales?

PROB

LEMA

R

ETO

5 m

REGIÓN POLIGONAL: Es unión de los puntos interiores del polígono con los puntos del polígono. ÁREA: Valor numérico de una región o superficie. El área de una región es igual a la cantidad de veces que la unidad de área está contenida en dicha región. Así por ejemplo, si la unidad de área es 21cm , entonces el área del rectángulo mostrado es igual a 40 cm2. El estudio de las áreas de las regiones planas es bastante amplio y complejo. En el presente capítulo estudiaremos solamente las áreas de las diferentes regiones poligonales y circulares. En la práctica es común el cálculo del área de un terreno, el área de una pizarra, el área de un tablero de una mesa, el área de una pared, etc. UNIDADES DEL ÁREA: Están dadas en unidades cuadradas:

2m , 2cm , 2km , 2pie , . . .

SUPERFICIE: Se refiere a la forma y extensión de la figura; se la considera como sinónimo de región. ÁREA SOMBREADA: "No tiene sentido matemático"; ya que significaría número sombreado (¿. . .?).

ÁREA DE UNA REGIÓN SOMBREADA: Se refiere al valor numérico obtenido al medir una figura sombreada. FIGURAS EQUIVALENTES: Cuando tienen igual área, no siendo necesario que tengan igual forma. FIGURAS SEMEJANTES: Cuando tienen sus áreas entre sí como los cuadrados de sus elementos homólogos. Observación: Se debe decir: “Hallar el área de la región sombreada”, porque la región sí se puede sombrear, pero no se debe decir “área sombreada” porque el área es un valor numérico.

ÁREAS DE REGIONES TRIÁNGULARES A continuación, daremos una serie de fórmulas para calcular las áreas de diversas regiones triangulares. En adelante nos referiremos al área del triángulo, al área de un cuadrado y así sucesivamente; esto lo haremos para abreviar. En cada caso entenderemos, desde luego, que se trata del área de la región correspondiente. Área de un triángulo conociendo su base y altura. PARA UN TRIÁNGULO ACUTÁNGULO PARA UN TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

REGIÓN POLIGONAL

Unidad de área

Sesión N° 2:

Áreas De Regiones Planas 2

b

h b hA

2⋅=

b

b hA2⋅=

h

ÁREA DE UN TRIANGULO RECTÁNGULO. ÁREA DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO SU LADO. ÁREA DE UN TRIANGULO EQUILÁTERO CONOCIENDO SU ALTURA.

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CONOCIENDO LOS TRES LADOS

Si conozco los tres lados de un triángulo, una forma de hallar el área sería aplicando el teorema de Herón ÁREA DE UN CÍRCULO.

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR.

ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES ÁREA DE UN CUADRADO CONOCIENDO SU LADO. ÁREA DE UN CUADRADO CONOCIENDO SU DIAGONAL. ÁREA DE UN RECTÁNGULO.

b

a

a bA2⋅=

60º 60º

60º

L L

L

2L 3A4⋅=

60º 60º

h 2h 3A

3⋅=

( ) ( ) ( )A p p a p b p c= − − −

a b

c

a b cp2

+ +=

r 2A r= π ⋅

αº

r

r

2rA360

π ⋅ ⋅ α=

60º

r

r

2rA6π

=

r

r

2rA4π

=

2rA12π

=30º

r

r

r

2rA2π

=

r

L L

L

L

2A L=

2DA2

=D

A L a= ⋅a

L

ÁREA DE UN ROMBO. ÁREA DE UN PARALELOGRAMO. ÁREA DE UN TRAPECIO.

01. El siguiente plano corresponde a un campo de fútbol dibujado a una escala menor. ¿Cual es el área mínima para poder pegar este campo en un maqueta de triplay ?

Solución. Área del campo = (3,5 cm)(5cm)

Área del campo = 17,5 𝑐𝑐𝑐𝑐2

→ Área mínima del triplay = Área del campo → Área mínima del triplay =17,5 𝒄𝒄𝒄𝒄𝟐𝟐

02. El colegio de Daniel tiene dos patios contiguos. Se le ha solicitado a Daniel que determine el área de la superficie total a fin de calcular los costos para su pintado.

Solución.

En el gráfico determinamos los valores de los lados de los patios 1 y 2.

Aplicamos la ecuación para calcular el área de un rectángulo en el patio 1 (P1) y el patio 2 (P2).

AP1 = 54 × 40 = 2160 m2

AP2 = 31 × 42 = 1302 m2

Atotal = AP1 + AP2 – (5 m)2

Atotal = 2160 m2 + 1302 m2 – 25 m2 = 3437 m2

Respuesta: La superficie total de ambos patios es de 3437 m2.

d

D

D dA2⋅=

h

b

A b h= ⋅

B bA h2

+= ⋅ h

B

b

A m h= ⋅h

m

EJERCICIOS RESUELTOS

03. Hallar el área de la región sombreada.

a

a

Solución.

a

a

As = 𝜋𝜋𝑎𝑎2.90°

360°π

As = 𝝅𝝅𝒂𝒂𝟐𝟐

𝟒𝟒

04. Calcula “S”, si el area del cuadrilátero ABCD es 84u2.

Solución. El área del cuadrilátero ABCD es:

= S

284

= S

42u2 = S

PROBLEMA 01 Calcular el área sombreada.

a) 120

b) 60

c) 240

d) 180

e) 90

PROBLEMA 02 Los catetos de un triángulo rectángulo son entre sí como 3 es a 4. Si el área de su región es 54 u2 ¿cuánto mide su hipotenusa?

a) 5 u b)10 c) 13 d) 15 e) 20

PROBLEMA 03

El perímetro de un triángulo equilátero es 36 m.

Calcular su área.

a) 100 m2 b) 72 m2 c) 36 3 m2

d)72 3 m2 e) 144 3 m2

PROBLEMA 04

Los lados de un triángulo son 10, 17 y 21. Calcular su

área.

a) 42 u2 b) 21 u2 c) 35 u2

d) 84 u2 e) 56 u2

PROBLEMA 05

Hallar el área de la región de un cuadrado, si su perímetro es 24cm.

a) 24 cm2 b) 36 cm2 c) 42 cm2

d) 39 cm2 e) n.a.

S

C

D

B

A

𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴2

EJERCICIOS PROPUESTOS

28

8

6

PROBLEMA 06

Hallar al área de la región sombreada.

a) 248 cm2

b) 348 cm2

c) 383 cm2

d) 338 cm2

e) 323 cm2

PROBLEMA 07

Encontrar el área de la región sombreada

a) 86cm2

b) 87cm2

c) 83cm2

d) 78cm2

e) n.a.

PROBLEMA 08

Hallar al área de la región sombreada.

a) 125 cm2

b) 136 cm2

c) 126 cm2

d) 177 cm2

e) 124 cm2

PROBLEMA 09

Carlos realiza un esquema de una casa y luego su amigo le pregunta ¿ Cuál es el área de tu figura.?

A) 1 m2 B) 1 cm2 C) 2 cm2

D) 5 cm2 E) N.A.

PROBLEMA 10

PROBLEMA 11

Dos empresas se encuentran en conflicto por un terreno triangular que colinda con sus propiedades como se muestra en la figura. Si ABCD es un rectángulo y la suma de las áreas de los terrenos de las empresas es

23700 m , halle el área del terreno en conflicto.

A) 120 𝑐𝑐2 B) 100 𝑐𝑐2 C) 90 𝑐𝑐2 D) 80 𝑐𝑐2 E) 75 𝑐𝑐2

Un albañil cobra S/ 25 por tarrajear el metro cuadrado de una pared. Indica cuánto cobrará por tarrajear una pared como la que se muestra en la figura.

Tarrajear una pared

26cm

18cm

14cm

4cm

4c m

4cm 3cm 4cm

PROBLEMA 12

El dormitorio de Luis presenta las siguientes medidas, de acuerdo a la figura mostrada. Calcula el área de la sala de Luis. Calcula el área total del departamento de Luis.

PROBLEMA 13

Calcular cuánto papel se necesitará para cubrir la cometa mostrada, si AC = 50 cm y BD = 60 cm. Argumente su respuesta.

A) 12 cm2 B) 2400 cm2 C) 26 cm2

D) 1500 cm2 E) 1500cm

PROBLEMA 14

Si ABCD es un cuadrado cuyo lado es 4 cm, Calcula el área de la región sombreada.

A) 4 cm2 B) 8 cm2 C) 12 cm2

D) 9 cm2 E) N.A.

PROBLEMA 15

Calcula el área de la región sombreada.

A) 120 cm2 B) 20cm2 C) 26 cm2

D) 54 cm2 E) 86 cm2

PROBLEMA 16 Hallar al área de la región sombreada.

a) 12,76 cm2

b) 13,76 cm2 c) 15,36cm2 d) 21,13cm2 e) 10,12 cm2

PROBLEMA 17

Un carpintero desea hacer un agujero de forma cuadrada de 40 cm de lado. Si las dimensiones de la puerta son 210 cm de alto y 135 cm de ancho como se muestra en la figura: * Calcula el área de la puerta con el agujero ya realizado.

8

Sala

Dormitorio

15

7

8

baño

8cm

40 cm

135 cm

210 cm

PROBLEMA 18

Calcula el área de la región no sombreada.

PROBLEMA 19

En la figura se muestra el plano de una cochera *¿Cuál es el área designada para la cochera? (en m2)

*Si Eduardo desea comprar la cochera y el costo por metro cuadrado es de $20, ¿cuál será el monto que pagará Eduardo por la cochera?

10

PROBLEMA 20

En el gráfico se muestra el frontis de la casa de un alumno. Si su padre lo envía a pintar dicho frontis, calcula: *El área del frontis mostrado. *Si un balde de pintura rinde 6,1 m2; ¿cuántos baldes de pintura se necesitarán para pintar dicho frontis?

PROBLEMA 21

Se quiere techar un coliseo cuyo techo es de forma circular. Si el radio de dicho techo es de 16m, calcular el área que se desea techa r. (π=3,14)

PROBLEMA 22

Por fin de año, Eduardo desea pintar el frontis de su casa con la información brindada en el gráfico. Calcular el área de la pared que será pintada por estas festividades. (en m2)

PROBLEMA 23

Calcule el área del sector circular ("O": centro)

36

30

Cochera

8m 8m

4m

4m

10m

8m A

B C

D

3 m

4 m

5 m 2 m 5 m

PROBLEMA 24

La figura muestra el parabrisas del auto de Rubén. El sistema está compuesto por un eje rotatorio, por una plumilla de 30 cm y por un soporte metálico de 20 cm. Al encender el sistema el ángulo de giro ("θº") recorre un

ángulo de 120º (como lo muestra la figura) Calcule el área barrida por el soporte metálico.

PROBLEMA 25

En un aviso publicitario, se lee lo siguiente: "Se vende terreno en Cocachacra, carretera central, ideal para casa de campo, el terreno tiene la forma de un cuadrilátero conformado por dos triángulos equiláteros que hacen un área de 200m2 y está valorizado en $32'000". ¿Cuál es la longitud del lado de este terreno?

PROBLEMA 26

La figura nos muestra un esquema de la fachada de un edificio. Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar dicha fachada, sabiendo que se gastan 0,5 kg de pintura por m2.

120º 120º

Eje rotatorio Plumilla Soporte metálico Plumilla

OCATAVA Unidad

Prismas 8 UNA CAMA PENTAGONAL

La siguiente imagen muestra una cama de madera, así como también una casa de muñecas hechas del mismo material. ¿A qué sólidos geométricos se asemejan estas estructuras?

VALORES Y ACTITUDESValoración de los espacios personales

¿Por qué es importante res-petar el espacio personal de las personas?

RAZONANDO... � ¿A qué sólidos geométricos se ase-

mejan estas estructuras? � ¿Cómo se llama este sólido de

acuerdo a su base? � ¿Cuántos vértices tiene este sólido? � ¿Cuántos caras tiene este sólido? � ¿Cuántas aristas tiene este sólido?

¿Qué aprenderemos hoy?

Aprenderemos a reconocer los elementos, caracte-

rísticas y clasificación de los prismas para resolver

problemas.

Así como en la geometría plana es muy frecuente el uso de triángulos y cuadriláteros, también en la geo-metría del espacio hay sólidos cuyo estudio y aplicación a la realidad son muy frecuentes. Por ejemplo, en las construcciones de las casas, edificios, etc., es muy común ver las columnas de forma prismática o cilíndrica. También las paredes, los tanques de ciertas cisternas u otros objetos que son de nuestra utili-dad. En el presente capítulo conoceremos mejor a estas formas geométricas.

Un prisma es un poliedro en el cual, dos de sus caras son regiones poligonales congruentes y paralelos denominados bases y el resto de las caras son regiones paralelográmicas denominadas caras laterales. Las aristas comunes entre las caras laterales y las bases se denominan aristas básicas y las aristas comunes entre las caras laterales se deno-minan aristas laterales, estas son paralelas y de igual longitud.

A

F

C

H

J

G

B

E D

I

NOTACIÓN:Prisma pentagonal ABCDE – FGHIJ.

Un prisma es nombrado según él número de lados que tenga su base:

Triángular Cuadrangular Pentagonal Hexagonal

CLASIFICACIÓNLos prismas se clasifican según la inclinación de su base, en:

Prisma oblicuo Prisma recto

Es aquel prisma cuyas aristas la-terales no son perpendiculares a las bases.

Es aquel prisma cuyas aristas la-terales son perpendiculares a las bases.

RECUERDA QUE…

Los elementos del prisma son los siguientes:

Aristabásica

Aristabásica

Aristalateral

Caralateral

Base

Base

AlturaG H

E

BA

FJ

I

C

D

Fórmula de Euler:C + V = A + 2

Donde:C = N° de carasV = N° de vérticesA = N° de aristas

PARALELEPÍPEDO:Es aquel prisma cuyas bases son regiones paralelográmicas.

PRISMA REGULAR:Es aquel prisma recto cuyas bases son regiones poligonales regulares.

a h

Cuando sus caras son re-giones rectangulares se le conoce como Paralelepípe-do rectangular, rectoedro u ortoedro.

EJEMPLO 1:Marca la alternativa que no es correcta, toman-do en cuenta la figura mostrada.

a. Tiene 3 caras laterales.

b. La forma de la cara lateral es triangular.

c. Tiene 2 bases triangulares.

d. Tiene 9 aristas.

SOLUCIÓN:

EJEMPLO 2:Calcula la suma del número de caras y aristas del siguiente prisma.

SOLUCIÓN:

Nivel Básico1. ¿Cuál es el nombre del siguiente prisma?

a) Triangularb) Pentagonalc) Hexagonald) Octogonal

2. Es aquel prisma que tiene 8 caras laterales.a) Triangularb) Heptagonalc) Octogonald) Hexagonal

3. Es aquel prisma cuyas bases son dos cuadrados.a) Triangular regularb) Cuadrangularc) Triangulard) Cuadrangular regular

4. Un prisma es recto cuando _________________.a) sus bases son regiones paralelográmicasb) sus aristas laterales no son perpendiculares a

las basesc) sus aristas laterales son perpendiculares a las

basesd) sus bases son regiones poligonales regulares

Nivel Intermedio5. Escribe el nombre y describe las características

del siguiente prisma:

6. Si en un prisma el número de caras es 10, el nú-mero de vértices es 16. ¿Cuántas aristas tiene?

7. En cada prisma, pinta las bases de color azul y marca una altura de color verde. Luego, indica qué clase de prisma es.

8. Si en un prisma el número de caras laterales es 9, el número de aristas es 27. ¿Cuántos vértices tiene?

Nivel Avanzado9. Calcula cuántos metros de madera se necesitan para

construir una estructura como la que se muestra.

10. Si la altura de esta estructura aumenta en 50 cm, ¿cuántos metros de madera se necesitarán ahora?

VeRificando el apRendizaje

Aplicamos lo aprendido

1 Se muestra un prisma recto triangular regular. Calcula su volumen.

10 m

2 m

A) 2 3 m3 B) 5 3 m3 C) 10 3 m3

D) 8 3 m3 E) 9 3 m3

2 Si el volumen del prisma cuadrangular regular es 160 u3, calcula h.

h

4 u

A) 2 u B) 14 u C) 5 u D) 10 u E) 16 u

3 Calcula la longitud del radio de una esfera, sabiendo que el área de la superficie esfèrica es numéricamente igual a su volumen.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5 Si los lados de un paralelepípedo rectangular miden 5 m, 8 m y 12 m. Halla el volumen de dicho paralelepípedo.

A) 480 m3 B) 360 m3 C) 240 m3 D) 120 m3 E) 660 m3

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