APELLIDOS: NOMBRE: DNI:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II. Ejercicio de Examen Final

Temas 1 y 2: Cálculo Diferencial y Optimización

FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 40 m Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

1. Dada la función w xy yz xz calcular utilizando la regla de la cadena y w w

u t

donde cosx u t , y u sent ,

z t . Particularizar para el caso 1, 2u t . (0,5 Puntos)

2. Dada la curva 1cos( ) yx y xe calcular

dy

dx. Comprobar que la expresión anterior define en el punto (1,1)P función

implícita. Obtener la tangente a dicha curva en el punto (1,1)P . (1 Punto)

3. Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de la función 2( , ) 2 2f x y y xy x en el cuadrado

( , / 0 2 , 0 2D x y x y (1 Punto)

RESULTADOS

1. Regla de la cadena

( )cos ( ) ( )cos ( cos )w w x w y

y z t x z sent u sent t t u t t sentu x u y u

Caso particular 1, 2u t 2w

u

( )( ) ( )( cos ) ( ) 1 ( )( ) ( cos )( cos ) ( cos )w w x w y w dz

y z usent x z u t x y usent t usent u t t u t u t usentt x t y t z dt

Caso particular 1, 2u t 2 2w

t

2. Derivada implícita

11 1

1

( )( ) 1

( )

yy y

y

dy dy dy sen x y esen x y e xe

dx dx dx sen x y xe

También

1

1 1

1 1

( , ) cos( )

( ) ( )

( ) ( )

y

y y

x

y y

y

F x y x y xe

dy F sen x y e sen x y e

dx F sen x y xe sen x y xe

1( , ) cos( ) yF x y x y xe define función implícita en el punto (1,1)P ya que

a) (1,1) 0F

b) ( , )F x y es continua y diferenciable en un abierto que contenga al punto

c) (1,1) 0yF

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_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Manuel Hervás Página 2 de 2

Caso particular (1,1)P

0

0

(0)1 Tangente: 1 1( 1) 2

(0) 1

dy sen ey x x y

dx sen e

3. Máximos y mínimos absolutos

Dado que ( , )f x y es un polinomio, se trata de una función continua en el conjunto cerrado y acotado D. Según establece el

teorema del valor extremo se alcanza un máximo y un mínimo absoluto en algunos puntos del cuadrado D.

En primer lugar se calculan los puntos críticos de ( , )f x y interiores a D.

Interior a

2 2 0 1(1,1) (1,1) 1

2 2 0 1

x

y D

f y yP D f

f y x y x

En segundo lugar se calculan los valores de ( , )f x y en la frontera de D que al ser un cuadrado consta de los lados

1 2 3 4, , y L L L L .

En 1

(0,0) 0. Min.0 ; ( ,0) 2 , 0 2 función creciente:

(2,0) 4. Max.

fL y f x x x

f

En 2

2

(2,2) 0. Min.2 ; (2, ) 4 4, 0 2 función decreciente

(2,0) 4. Max.

fL x f y y y y

f

En 3

(2,2) 0. Min.2 ; ( ,2) 2 4 , 0 2 función decreciente

(0,2) 4. Max.

fL y f x x x

f

En 2

4

(0,0) 0. Min0 ; (0, ) , 0 2 función creciente

(0,2) 4. Max

fL x f y y y

f

Conclusión: Dado que el punto crítico es (1,1) (1,1) 1P f

Por tanto:1 2

3 4

Máximos: Los vértices (2,0), (0,2) (2,0) (0,2) 4

Mínimos: Los vértices (0,0), (2,2) (0,0) (2,2) 0

P P f f

P P f f

Nota: El punto crítico es un punto silla ya que

00 2

2 (1,1) 4 02 2

2

xx

xy

yy

f

f H

f

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes

APELLIDOS: NOMBRE: DNI:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Ramón Rodríguez Página 1 de 1

Calificación:

CÁLCULO II. Final convocatoria extraordinaria de Julio

Tema 3: Funciones vectoriales

FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Sea t) t,cossent, ( = (t)r

a) Halla )(),('),(),( tNtTtatv y la rapidez. (1 punto)

b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto )2

,0,1(

(0.5 puntos)

c) Determina la ecuación del plano osculador a la curva en el punto )2

,0,1(

(1 punto)

RESULTADOS

b) En el punto )2,0,1( , el vector velocidad viene dado por )1,1,0()2( v . La ecuación de la

recta tangente vendrá dada por )1,1,0()2,0,1()2()2()( tvtrtL .

c) Para determinar la ecuación del plano osculador (contiene a )(tT y a )(tN ) hallamos, en primer

lugar, el vector Binormal en el punto, es decir, )21,21,0()2()2()2( NTB . A

continuación, la ecuación del plano osculador que pasa por el punto )2,0,1( viene dada por:

2 022

102

110 zyzyx

APELLIDOS: NOMBRE: DNI:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 1 de 2

Calificación:

CÁLCULO II. Examen Final Convocatoria Extraordinaria

Tema 4: Integración Múltiple

FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 1/2 Hora Puntuación/TOTAL: 2,5/10

ENUNCIADO Y RESPUESTA AL EJERCICIO: ENUNCIADO

Calcule la masa de un sólido limitado por las superficies:

, ,

Su densidad es proporcional a la distancia a la recta .

RESULTADOS

¡¡ BUEN TRABAJO !!

Utilice la parte trasera para desarrollar en ella un resumen los cálculos correspondientes

APELLIDOS: NOMBRE: DNI:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Prof. Santiago de Vicente Página 2 de 2

SOLUCIÓN: (Ver Ejemplo 3, p.1054, Cap. 15 del Libro de Texto)

Siendo la una constante de proporcionalidad, la densidad del cuerpo es:

( ) √ por lo que su masa viene dada por:

∭ ( )

∭ √

Dada la simetría cilíndrica alrededor del eje del dominio de integración y del integrando, conviene calcular utilizando coordenadas cilíndricas:

con lo que:

∭

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ( )

[

]

APELLIDOS: NOMBRE: DNI: GRUPO:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Pr. Carlos Paredes.

Calificación:

EXAMEN de CÁLCULO II. Convocatoria Extraordinaria

Tema 5: Cálculo Vectorial

FECHA: 12/07/12 TIEMPO RECOMENDADO: 30 Minutos Puntuación / Total: 2,5 / 10

ENUNCIADOS Y RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS: Nº ENUNCIADO PUNTUACIÓN RESULTADO

4

Verifica las dos formas (Normal y Tangencial) del Teorema de Green para el siguiente campo vectorial:

F(x,y) = (x - y)i + xj en la región delimitada por la circunferencia centrada en el origen y radio unidad.

2,5 Puntos

SOLUCION

APELLIDOS: NOMBRE: DNI: GRUPO:

_______________________________________________________________________________________________ Cálculo II. Graduado en Ingeniería Pr. Carlos Paredes.

SOLUCION: Sea la región:

Evaluando el campo y sobre la trayectoria parametrizada (0.5 pto):

Para verificar la versión normal del Teorema de Green (1 pto):

Para verificar la versión tangencial del Teorema de Green (1 pto):