Temas Basicos de Turbulencia y EconomiaFractal

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Índice general

1 Análisis dimensional 11.1 Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Aplicaciones del Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Un ejemplo de Análisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Principio de Fourier de homegeneidad dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Teorema π de Vaschy-Buckingham 42.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Uso práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5.1 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5.2 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Teorema de Bertrand 73.1 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Teoría de las semejanzas 84.1 Semejanzas entre el modelo y el objeto real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 Semejanza geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Semejanza cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.3 Semejanza dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2 Criterios de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2.1 Por número de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2.2 Por número de Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii ÍNDICE GENERAL

4.5 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Turbulencia 135.1 Teorías sobre la turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1.1 Teoría de Landau-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.2 Teoría de Ruelle-Takens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.2 Características de las fluctuaciones turbulentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.1 Impredecibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.2 Tridimensionalidad de las fluctuaciones turbillonarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.3 Difusividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2.4 Ancho espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.3 Escalas turbulentas y complejidad de un campo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.1 Ecuaciones básicas de un flujo turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3.2 Definición de las escalas turbulentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.4 Turbulencia en meteorología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.7 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Chaos 186.1 Historia temprana y controversia de la nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Filogenia reciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Dimensión fractal 217.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.1.1 Dimensión de homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.1.2 Dimensión de información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.1.3 Dimensión de correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.1.4 Dimensiones de Rényi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.1.5 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.1.6 Dimensión de empaquetado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.2 Relación entre dimensiones fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Propiedades de las dimensiones fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.4 Estimación de la dimensión fractal en la práctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.5.1 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.5.2 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.6 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Economía matemática 258.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.1.1 Marginalistas y los inicios de la economía neoclásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

ÍNDICE GENERAL iii

8.2 Economía matemática moderna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2.1 Cálculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2.2 Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.2.3 Optimización matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.2.4 El declive y la alza diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2.5 Teoría de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2.6 Economía computacional basada en agentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.3 Matematización de la economía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4 Econometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

8.4.1 Trabajos iniciales en la econometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.5 Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.6 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.7 Crítica y defensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.7.1 Adecuación de las matemáticas para la economía compleja y cualitativa . . . . . . . . . . . 348.7.2 Prueba de predicciones de la economía matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.7.3 Economía matemática como una forma de matemáticas pura . . . . . . . . . . . . . . . . 358.7.4 Defensa de la economía matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

8.8 Economistas matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.8.1 Siglo 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.8.2 Siglo 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

8.9 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378.11 Información adicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.12 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

9 Microeconomía 449.1 Introducción a la microeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.2 La teoría del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

9.2.1 Las preferencias del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2.2 La restricción presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2.3 La función de utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.2.4 Las curvas de indiferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.2.5 Los tipos de bienes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.2.6 La curva de demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.2.7 Representación matemática del problema del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

9.3 La teoría del productor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3.1 La función de producción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3.2 El problema de maximización del beneficio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479.3.3 Las curvas de costos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.4 Estructura de mercados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.5 Evolución reciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.6 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv ÍNDICE GENERAL

9.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.7.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.8 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

10 Macroeconomía 5310.1 El enfoque macroeconómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

10.1.1 Macro y micro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.1.2 Origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.1.3 Datos macroeconómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10.2 Demanda agregada y oferta agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.3 Temas macroeconómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

10.3.1 Economía monetaria: dinero e inflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3.2 Crecimiento económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3.3 Mercado de trabajo y desempleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3.4 Economía internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3.5 El modelo de la demanda agregada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.3.6 Instrumentos de la política macroeconómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.4 Los modelos macroeconómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.6 Lecturas recomendadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.7 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.8 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11 Ecuación de Price 60

12 Teoría de juegos 6112.1 Representación de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

12.1.1 Forma normal de un juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.1.2 Forma extensiva de un juego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

12.2 Tipos de juegos y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.2.1 Juegos simétricos y asimétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6212.2.2 Juegos de suma cero y de suma distinta de cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.2.3 Criterios «maximin» y «minimax» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.2.4 Equilibrio de Nash . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.2.5 Juegos cooperativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.2.6 Simultáneos y secuenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312.2.7 Juegos de información perfecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.2.8 Juegos de longitud infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.3.1 Economía y negocios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412.3.2 Biología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.3.3 Informática y lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

ÍNDICE GENERAL v

12.3.4 Ciencia política . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.3.5 Filosofía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

12.4 Historia de la teoría de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6612.5 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.6 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.7 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.8 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Sociología 6913.1 Fundadores de la disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.2 Los métodos sociológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

13.2.1 Métodos cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.2 Métodos cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.3 Método comparativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

13.3 Teorías y paradigmas sociológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.3.1 Funcionalismo estructuralista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.3.2 Interaccionismo simbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.3.3 Etnometodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3.4 Teorías del conflicto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3.5 Teoría del intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3.6 Teoría de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.3.7 Acción y estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

13.4 Dinámica social . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.5 Sociología en Latinoamérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.6 Áreas de la sociología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.7 Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7513.9 Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.10Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13.10.1 Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7713.10.2 Imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7813.10.3 Licencia del contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Capítulo 1

Análisis dimensional

El análisis dimensional es una herramienta que permi-te simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el queestén involucradas muchas magnitudes físicas en formade variables independientes. Su resultado fundamental,el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido porteorema π) permite cambiar el conjunto original de pa-rámetros de entrada dimensionales de un problema físicopor otro conjunto de parámetros de entrada adimensio-nales más reducido. Estos parámetros adimensionales seobtienen mediante combinaciones adecuadas de los pará-metros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es elnúmero mínimo necesario para estudiar cada sistema. Deeste modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamañomínimo se consigue:

• Analizar con mayor facilidad el sistema objeto deestudio

• Reducir drásticamente el número de ensayos quedebe realizarse para averiguar el comportamiento orespuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos conmaquetas a escala reducida utilizados en muchas ramasde la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automocióno la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtieneinformación sobre lo que ocurre en el fenómeno a esca-la real cuando existe semejanza física entre el fenómenoreal y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidosen una maqueta a escala son válidos para el modelo a ta-maño real si los números adimensionales que se tomancomo variables independientes para la experimentacióntienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real.Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones di-mensionales, que son expresiones algebraicas que tienencomo variables a las unidades fundamentales y derivadas,las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalenciaso para dar unidades a una respuesta.Finalmente, el análisis dimensional también es una herra-mienta útil para detectar errores en los cálculos científicose ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruenciade las unidades empleadas en los cálculos, prestando es-pecial atención a las unidades de los resultados.

1.1 Análisis dimensional

Para reducir un problema dimensional a otro adimensio-nal con menos parámetros, se siguen los siguientes pasosgenerales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.2. Contar el número de unidades básicas (longitud,

tiempo, masa, temperatura, etc.) m3. Determinar el número de grupos adimensionales. El

número de grupos o números adimensionales (Π )esn - m.

4. Hacer que cada número Π dependa de n - m varia-bles fijas y que cada uno dependa además de una delas n - m variables restantes (se recomienda que lasvariables fijas sean una del fluido o medio, una geo-métrica y otra cinemática; ello para asegurar que losnúmeros adimensionales hallados tengan en cuentatodos los datos del problema).

5. Cada Π se pone como un producto de las variablesque lo determinan elevadas cada una a una potenciadesconocida. Para garantizar adimensionalidad de-ben hallarse todos los valores de los exponentes talque se cancelen todas las dimensiones implicadas.

6. El número Π que contenga la variable que se deseadeterminar se pone como función de los demás nú-meros adimensionales.

7. En caso de trabajar con un modelo a escala, éste de-be tener todos sus números adimensionales igualesa las del prototipo para asegurar similitud.

1.1.1 Aplicaciones del Análisis dimensio-nal

• Detección de errores de cálculo.• Resolución de problemas cuya solución directa con-lleva dificultades matemáticas insalvables.

• Creación y estudio de modelos reducidos.• Consideraciones sobre la influencia de posibles cam-bios en los modelos, etc.

1

2 CAPÍTULO 1. ANÁLISIS DIMENSIONAL

1.1.2 Un ejemplo de Análisis dimensional

Calculemos mediante Análisis Dimensional la velocidadde un cuerpo en caída libre. Sabemos que dicha veloci-dad v dependerá de la altura h y de la gravedad g . Peroimaginemos que también se nos ocurre decir que la ve-locidad depende de la masam . Una de las bondades delAnálisis Dimensional es que es “autocorregible”, es decir,el procedimiento, por sí sólo, elimina las unidades que noson necesarias.

• Identificar las magnitudes de las variables:

[v] = m/s = LT−1, [g] = m/s2 =LT−2, [h] = m = L, [m] = kg = M

• Formar la matriz[[h] [g] [v] [m]

]MLT

0 0 0 11 1 1 00 −2 −1 0

• Hacer el producto de matrices:

Aquí tenemos que decir que ϵk se refiere al exponente dela unidad k , pero eso se verá en pasos sucesivos.

0 0 0 11 1 1 00 −2 −1 0

ϵhϵgϵvϵm

=

000

• Desarrollar el producto de matrices y resolver el sis-tema de ecuaciones.

Se forma un sistema de ecuaciones. Si nos fijamos, tene-mos 4 incógnitas, y sólo 3 ecuaciones, así que para que elsistema pueda ser resuelto, necesitamos tantas incógnitascomo ecuaciones. ¿Cómo se subsana el problema? Muysencillo: se coge un ϵk cualquiera y le asignamos el valorque queramos, a excepción del 0. En nuestro caso, vamosa tomar ϵv como 1 .

ϵm = 0ϵh +ϵg +ϵv = 0

−2ϵg −ϵv = 0−→

ϵm = 0ϵh +ϵg = −ϵv = −1

−2ϵg = ϵv = 1

Si aplicamos la solución inicial que hemos propuesto an-teriormente ( ϵv = 1 ), se realizan los sencillos cálculosy llegamos a las soluciones:

ϵh = −1/2

ϵg = −1/2

ϵv = 1

ϵm = 0

• Formar el/los grupos Π

Un grupoΠ es una ecuación adimensional. ¿Cuántos gru-pos Π vamos a obtener? Pues si m es el número de uni-dades (las unidades son el metro, el kilo, el segundo, elgrado, ...), y h el rango máximo de la matriz que contienelos coeficientes de las magnitudes de las unidades (a vecescoincide el rango de la matriz con el número de variablesque tenemos, aunque ésta no es una regla fiable), el nú-mero de grupos Π (o ecuaciones que obtendremos) serám− h . En el caso que nos ocupa, 4− 3 = 1 ecuación.Ahora se cogen las unidades que hemos tomado en nues-tro problema y las elevamos a los exponentes que hemosobtenido. Ésa es nuestra ecuación.

Π = h−1/2g−1/2v1m0 =v√gh

(Nótese que Π es adimensional). Aquí obtenemos aque-llo que llamábamos “autocorrección": el exponente de lamasa es 0, así que desaparece de nuestra ecuación, de-mostrando una vez más que la caída libre no depende dela masa del objeto en cuestión.

• Paso final: obtención de la ecuación.

v = k√gh

con k valiendo√2 , lo que nos da la fórmula correcta:

v =√2gh

1.2 Principio de Fourier de home-geneidad dimensional

El principio de Fourier homogeneidad dimensional es unprincipio de buena formación de las expresiones que rela-cionan magnitudes físicas de manera algebraica. Es decir,es un principio de consistencia matemática que postulasolo es posible sumar o restar entre sí magnitudes físicasde la misma naturaleza. En consecuencia, no podemossumar longitud con tiempo, o masa con longitud, etc.

1.2.1 Ejemplo

El principio puede ilustrarse, con el ejemplo, de la energíade un cuerpo que es la suma de su energía cinética mássu energía potencial:

E = Ec + Ep

Expresando la energía cinética y potencial tendremos:

1.4. REFERENCIAS 3

E =1

2mv2 +mg h

Expresando la velocidad y la aceleración según las mag-nitudes fundamentales:

E =1

2m

(et

)2

+me

t2h

Expresado en forma dimensional:

E =1

2[M ][L]2[T ]−2 + [M ][L]2[T ]−2

Como puede verse tanto la energía cinética: un medio dela masa por la velocidad al cuadrado y la energía poten-cial: la masa por la gravedad y por la altura, es en amboscasos energía con la misma ecuación dimensional.Por tanto, este principio de Fourier garantiza la coheren-cia de una ecuación física. Es importante recordar que sibien las constantes numéricas son adimensionales (ecua-ción dimensional igual a la unidad), por otro lado lasconstantes físicas tienen dimensión diferente de la uni-dad:

e = 2,718281... (base de los logaritmos nepe-rianos) → [e] = 1 ;c = 299 792 458 m/s (velocidad de la luz en elvacío) → [c] = [v] = LT−1

1.3 Véase también• Magnitud adimensional• Magnitud física• Conversión de unidades

1.4 Referencias

1.4.1 Bibliografía• Mason, Stephen Finney (1962), A history of the

sciences, New York: Collier Books, p. 169, ISBN 0-02-093400-9

1.4.2 Enlaces externos• Homogeneidad dimensional. El teorema Pi. (pdf)• El Teorema Pi y la modelación (pdf)• Recopilación de tablas de unidades y conversiones(pdf)

• Análisis Dimensional: ¿es mejor caminar o correr

Capítulo 2

Teorema π de Vaschy-Buckingham

El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es elteorema fundamental del análisis dimensional. El teo-rema establece que dada una relación física expresablemediante una ecuación en la que están involucradas nmagnitudes físicas o variables, y si dichas variables se ex-presan en términos de k cantidades físicas dimensional-mente independientes, entonces la ecuación original pue-de escribirse equivalentemente como una ecuación conuna serie de n - k números adimensionales construidoscon las variables originales.Este teorema proporciona un método de construcción deparámetros adimensionales, incluso cuando la forma de laecuación es desconocida. De todas formas la elección deparámetros adimensionales no es única y el teorema noelige cuáles tienen significado físico.

2.1 Historia

Aunque nombrado por Edgar Buckingham, el teorema Πfue demostrado por primera vez por el matemático fran-cés J. Bertrand[1] en 1878. Bertrand consideró solo casosespeciales de problemas de electrodinámica y conducciónde calor, pero su artículo contiene en términos claros to-das las ideas básicas de la moderna prueba del teorema yuna indicación de su utilidad para el modelado de fenó-menos físicos. La técnica de usar el teorema (“el métodode las dimensiones”) llegó a ser ampliamente conocidadebido a las obras de Rayleigh (la primera aplicación delteorema Π en el caso general[2] a la dependencia de la caí-da de presión en una tubería regida por parámetros pro-bablemente se remonta a 1892,[3] y una prueba heurísticacon el uso de expansión de la serie, a 1894[4]).La generalización formal del teorema Π para el casode muchas cantidades arbitrarias fue probado por pri-mera vez por A. Vaschy en 1892,[5] y luego en 1911—al parecer de forma independiente— tanto por A.Federman[6] y D. Riabouchinsky,[7] y de nuevo en 1914por Buckingham.[8] Fue el artículo de Buckingham el queintrodujo el uso del símbolo "Πᵢ" para las variables adi-mensionales (o parámetros), y es la causa del nombre delteorema.

2.2 Introducción

Si tenemos una ecuación física que refleja la relaciónexistente entre las variables que intervienen en un cier-to problema debe existir una función f tal que:

(a) f(A1, A2, . . . , An) = 0

en donde Ai son las n variables o magnitudes físicas re-levantes, y se expresan en términos de k unidades físicasindependientes. Entonces la anterior ecuación se puedereescribir como:

f(Π1,Π2, . . . ,Πn−k) = 0

en donde Πi son los parámetros adimensionales construi-dos de n − k ecuaciones de la forma:

Πi = Am11 Am2

2 · · ·Amnn

en donde los exponentes mi son números enteros. El nú-mero de términos adimensionales construidos n - k esigual a la nulidad de la matriz dimensional en donde kes el rango de la matriz.La notación de πi como parámetros adimensionales fueintroducida por Edgar Buckingham en su artículo de1914, de ahí el nombre del teorema. No obstante, la au-toría del mismo debe adscribirse a Aimé Vaschy, quienlo enunció en 1892.

2.3 Ejemplo

Imaginemos un problema donde pretendemos relacionarla resistencia aerodinámica o fuerza aerodinámica Fa so-bre un cuerpo, por ejemplo una esfera o cualquier otraforma geométrica, en función de su tamaño o dimensióncaracterística d, la densidad del fluido ρ, la viscosidad ηdel mismo y la velocidad del cuerpo v en el seno de dichofluido. Dado que parece que esas variables deberían ex-plicar por sí mismas la resistencia aerodinámica se tienerelación matemática del tipo:[9]

4

2.4. USO PRÁCTICO 5

(2) f(Fa, ρ, η, v, d) = 0

Puesto que tenemos 5 variables relevantes n=5 . Estas cin-co variables no son dimensionalmente independientes yaque desde el punto de vista dimensional se tiene en tér-minos de masa, tiempo y longitud que:

[Fa] = MLT−2

[ρ] = ML−3

[η] = ML−1T−1

[v] = LT−1

[d] = L

en este caso se tiene por tanto k=3 ya que todas las mag-nitudes son reducibles a sólo 3 magnitudes dimensionalesindependientes. Esto implica que existen n−k=2 combi-naciones adimensionales tales que la relación (2) se puedereducir a la forma:

(3a) f(Π1,Π2) = 0

Para continuar se escogen arbitrariamente 3 de las cincomagnitudes originales como “básicas” y se forman juntocon las otras dos consideradas “dependientes” productosadimensionales. En este caso se toman como básicas porejemplo ρ, v y d (aunque podría haberse hecho otra elec-ción). Ahora buscamos exponentes enteros tales que lossiguientes productos sean adimensionales:

(4){Π1 = ρavbdcFa

Π2 = ρavbdcη

La condición de adimensionalidad para Π1 lleva a que porejemplo:

(5) M0L0T0 =(ML−3)a(LT−1)bLc(MLT−2)1 =Ma+1L−3a+b+c+1T−b−2

Esto lleva al sistema de ecuaciones sobre los enteros:

(6)

a+ 1 = 0

−3a+ b+ c+ 1 = 0

−b− 2 = 0

⇒

a = −1

b = −2

c = −2

Análogamente para el parámetro Π2 , se llega a que: a=−1, b=−1, c=−1 y por tanto la relación buscada es:

(3b) f(

Fa

ρv2d2 ,η

ρvd

)= 0

Si se asumen cierta condiciones de regularidad y dife-renciabilidad sobre la función anterior, podrá usarse elteorema de la función implícita para escribir las relacio-nes:

(7a) f(Π1,Π2) = 0 ⇒ Π1 = Φ(Π2) ⇒Fa

ρv2d2 = Φ(

ηρvd

)⇒ Fa = ρv2d2Φ

(η

ρvd

)Esta última ecuación dice es consistente con la expresióncomún para la resistencia aerodinámica:

(7b) Fa = 12Caρv

2Sef

Donde, Sef ∝ d2 y Ca = Φ(Re) es una función del númerode Reynolds que precisamente es proporcional al paráme-tro Π−1

2 . Obviamente el teorema no es capaz de darnostodos los factores de proporcionalidad requeridos, ni laforma funcional exacta de algunas partes de la fórmula,pero simplifica mucho el conjunto de expresiones a partirde la cual tenemos que buscar los datos.

2.4 Uso práctico

Para reducir un problema dimensional a otro adimensio-nal con menos parámetros, se siguen los siguientes pasosgenerales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.2. Contar el número de unidades básicas (longitud,

tiempo, masa, temperatura, etc.) k3. Determinar el número de grupos adimensionales.

Número de r = n− k .4. Hacer que cada número Πi dependa de n - k varia-

bles fijas y que cada uno dependa además de unade las k variables restantes (se recomienda que lasvariables fijas sean una del fluido, una geométrica yotra cinemática).

5. El número Π que contenga la variable que se deseadeterminar se pone como función de los demás nú-meros adimensionales.

6. El modelo debe tener sus números adimensionalesiguales a los del prototipo para asegurar similitud.

7. Se determina la dependencia del número adimensio-nal requerido experimentalmente.

2.5 Referencia• Vaschy, A.: “Sur les lois de similitude en physique”.Annales Télégraphiques 19, 25-28 (1892)

• Buckingham, E.:On physically similar systems. Illus-trations of the use of dimensional equations. PhysicalReview 4, 345-376 (1914).

6 CAPÍTULO 2. TEOREMA Π DE VASCHY-BUCKINGHAM

2.5.1 Notas[1] Bertrand, J. (1878). «Sur l'homogénéité dans les formules

de physique». Comptes rendus 86 (15): 916-920.

[2] Cuando al aplicar el teorema pi surge una función arbitra-ria de números adimensionales.

[3] Rayleigh (1892). «On the question of the stability ofthe flow of liquids». Philosophical magazine 34: 59-70.doi:10.1080/14786449208620167.

[4] Segunda edición de «The Theory of Sound» (Strutt, JohnWilliam (1896). The Theory of Sound 2. Macmillan.).

[5] Citas del artículo de Vaschy con su declaración delteorema Πse pueden encontrar en: Macagno, E. O.(1971). «Historico-critical review of dimensional analy-sis». Journal of the Franklin Institute 292 (6): 391-402.doi:10.1016/0016-0032(71)90160-8.

[6] Федерман, А. (1911). «О некоторых общихметодах интегрирования уравнений с частнымипроизводными первого порядка». Известия Санкт-Петербургского политехнического институтаимператора Петра Великого. Отдел техники,естествознания и математики 16 (1): 97-155.(Federman A., On some general methods of integrationof first-order partial differential equations, Proceedingsof the Saint-Petersburg polytechnic institute. Section oftechnics, natural science, and mathematics)

[7] Riabouchinsky, D. (1911). «Мéthode des variables dedimension zéro et son application en aérodynamique».L'Aérophile: 407-408.

[8] Texto original del artículo de Buckingham en Physical Re-view

[9] Experimentalmente se ha probado que esas variables de-terminan la resistencia aerodinámica, ver (7)

2.5.2 Enlaces externos

• Generalización del teorema Π de Buckingham

Capítulo 3

Teorema de Bertrand

En mecánica clásica, el teorema de Bertrand estableceque, entre los potenciales de fuerzas centrales con órbitasestables, sólo hay dos tipos con la propiedad de que todaslas órbitas que producen son cerradas. Estos dos son:

1. una fuerza central de la inversa del cuadrado, talescomo el potencial gravitatorio o electrostático:

V (r) = −k

r,

2. el potencial del oscilador armónico simple:

V (r) = 1

2kr2.

El teorema fue descubierto por Joseph Bertrand (1822-1900).[1]

3.1 Referencias[1] Johnson, Porter Wear (24 de febrero de 2010). Classical

Mechanics With Applications. World Scientific. pp. 149-.ISBN 9789814304153. Consultado el 2 de diciembre de2012.

7

Capítulo 4

Teoría de las semejanzas

Preparando un modelo para su prueba en el túnel aerodinámico.

La teoría de las semejanzas es aquella que se empleapara el trabajo con modelos a escala en túneles aerodiná-micos con el objetivo de que el comportamiento de losmismos sea lo más cercano posible a como se comporta-ría en una situación real el objeto en cuestión. Manifiestaque los criterios fundamentales para establecer la seme-janza de un modelo a escala con el objeto real son losdel número de Reynolds y el número de Mach. Los ob-jetos de estudio pueden ser vehículos espaciales, aviones,puentes y edificaciones.

4.1 Semejanzas entre el modelo y elobjeto real

Para analizar mediante un modelo a escala los fenóme-nos que podrían ocurrir en el objeto real es necesario queentre ambos (modelo y objeto real) exista semejanza geo-métrica, cinemática y dinámica.[1]

4.1.1 Semejanza geométrica

Según esta teoría, los casos más simples de las semejan-zas de fenómenos, es la semejanza geométrica. Dos fenó-menos (cosas) son geométricamente semejantes si todaslas correspondientes dimensiones lineales que las caracte-rizan son proporcionales. Los criterios de semejanza geo-

métrica son relaciones entre cualesquier correspondientesdimensiones lineales. En los fenómenos geométricamentesemejantes, todos los criterios homónimos de semejanzageométrica son iguales.

4.1.2 Semejanza cinemática

Dos fenómenos son cinemáticamente semejantes si conla semejanza geométrica, tiene lugar al mismo tiempo,proporcionalidad y orientación igual de los vectores develocidad en todos los puntos adecuados. Los criteriosprincipales de semejanza cinemática son ángulos que de-terminan la posición de un cuerpo respecto al vector ve-locidad de la corriente libre.

4.1.3 Semejanza dinámica

Dos fenómenos son dinámicamente semejantes si con lasemejanza cinemática tiene lugar la proporcionalidad yorientación igual de los vectores fuerzas en todos los pun-tos adecuados de dichos fenómenos. Hablando en rigor,la semejanza dinámica se consigue solo si tiene lugar lasemejanza completa de fenómenos cuando todas las mag-nitudes físicas similares son iguales en todos los puntoscorrespondientes. Para obtener en la práctica la simili-tud de fenómenos aerodinámicos basta lograr la propor-cionalidad de las fuerzas de rozamiento y presión lo quesimplifica mucho este problema.

4.2 Criterios de semejanza

4.2.1 Por número de Reynolds

Supongamos que hemos logrado la similitud de dosfenómenos aerodinámicos. Por ejemplo, fenómenos dederrame alrededor del ala del avión en vuelo y el desu modelo. Que sean determinadas por vía experimentallas fuerzas aerodinámicas que actúan en el modelo. Paraaplicar estos resultados a un planeador real es necesarioestablecer la ecuación que podría relacionar las fuerzasaerodinámicas en dos fenómenos semejantes. Con el finde deducir tal ecuación vamos a despejar cerca del ala real

8

4.2. CRITERIOS DE SEMEJANZA 9

una partícula de aire elemental con masa dm1 (Todas lasmagnitudes referentes al planeador las designaremos conel subíndice 1 y al modelo con 2). Que sobre la partículadespejada desde el lado del aire ambiente actúe la fuerzadR1 . Entonces dicha partícula en su movimiento adqui-rirá la aceleración A1 = dV1

dt y según la Segunda ley deNewton:

dR1 = dmdV1

dt

El volumen de la misma partícula lo expresaremos en laforma dV1 = E1dl

31 siendo dl1 la disminución lineal ca-

racterística y E1 el factor de forma. Por consiguiente, lamasa de la partícula dm1 = ρdV1 = ρE1dl

31 y la expre-

sión de la fuerza elemental se pone en la forma:

dR1 = ρ1E1dl31

dV1

dt= ρ1E1dl

21

dl1dt

dV1 = ρ1E1dl21V1dV1

La expresión análoga puede escribirse también para lapartícula correspondiente al modelo de un fenómeno:

dR2 = ρ2E2dl22V2dV2

La relación de las fuerzas elementales que obran en unfenómeno y en su modelo será:

dR1

dR2=

ρ1E1dl21V1dV1

ρ2E2dl22V2dV2

En unidad de la semejanza geométrica E1 = E2 ydl21dl22

= S1

S2siendo S1 y S2 las superficies característi-

cas correspondientes; debido a la semejanza cinemática;dV1

dV2= V1

V2y al fin, de acuerdo con la semejanza dinámica

las fuerzas elementales son proporcionales a otras fuerzassimilares:

dR1

dR2=

R1

R2=

Q1

Q2=

Y1

Y2

Por consiguiente, la relación de cualesquier fuerzas simi-lares que obran en dos fenómenos dinámicamente seme-jantes, por ejemplo fuerzas aerodinámicas totales, será:

R1

R2=

ρ1V21 S1

ρ2V 22 S2

donde:

R1

ρ1V1S1=

R2

ρ2V2S2

Esta última expresión es la ecuación en la que las fuer-zas aerodinámicas se hallan relacionadas en dos fenóme-nos dinámicamente semejantes. En esta ecuación puedensustituirse los valores de densidades y velocidades en cua-lesquiera pero infaliblemente adecuados puntos de la co-rriente y cualesquiera pero obligatoriamente correspon-dientes superficies. Para uniformidad, en la determina-ción de las características aerodinámicas de cuerpos sue-len emplearse los valores de densidad ρ∞ y velocidad V∞de la corriente libre. Como superficie característica de unala y de un avión en todo su conjunto se toma una super-ficie de ala en plano, puesto que ρV

2 = q la expresiónpuede ponerse en la forma:

R1

q1∞S1=

R2

q2∞S2

La relación adimensional de cualquier fuerza aerodinámi-ca a la presión dinámica de la corriente libre y superficiecaracterística, se llama coeficiente de esta fuerza:

CR =R

q∞S

Cx =Q

q∞S

Cy =Y

q∞S

Como se deduce de las ecuaciones anteriores, en los fenó-menos dinámicamente semejantes los coeficientes aero-dinámicos similares son iguales, lo que quiere decir quepueden determinarse, no en condiciones naturales, sinoen modelos dinámicamente semejantes. Si se conoce elcoeficiente CR (por ejemplo) la fuerza misma se calculapor la fórmula:

R = CRq∞S

La cual se llama fórmula general de la fuerza aerodinámi-ca. De acuerdo con la ecuación anterior cualquier fuerzaaerodinámica puede representarse como un producto del

10 CAPÍTULO 4. TEORÍA DE LAS SEMEJANZAS

coeficiente adimensional de dicha fuerza por la presióndinámica de la corriente libre y superficie característi-ca. Paralelo a la fuerza aerodinámica se deben considerarlos momentos de estas respecto a los diversos ejes. Parapasar, en la ecuación anterior, de las fuerzas a los mo-mentos, vamos a multiplicar el primer miembro de di-cha ecuación por la relación L1

b1, el segundo miembro

por la relación L1

b1siendo L1,L2 y b1,b2 respectivamen-

te, los brazos de fuerzas respecto a un eje elegido y lasdimensiones lineales características en los fenómenos se-mejantes en un ala, debido a la similitud de los fenómenosL1

b1= L2

b2; tendremos R1L1

q1∞S1b1= R2L2

q2∞S2b2. Puesto que

Mz1 = R1L1 yMz2 = R2L2 son momentos de fuerzasrespecto al eje dado, puede escribirse:

Mz1q1∞S1B1

=Mz2

q2∞S2B2

La relación adimensional del momento aerodinámicoMz

a la presión dinámica de la corriente libre, superficie ca-racterística y dimensión lineal característica se llama coe-ficientemz del momento:

Parámetros que se emplean para la deducción de la fórmula delmomento aerodinámico.

mz =Mz

q∞Sb

Se deduce que en los fenómenos dinámicamente seme-jantes los coeficientes de los momentos similares soniguales, se escribe en la forma:

Mz = mzq∞Sb

En las cuestiones antes expuestas se ha demostrado quesi los fenómenos son dinámicamente semejantes los coe-ficientes aerodinámicos similares son iguales. Para con-vencernos de la similitud de los fenómenos, durante lasimulación haremos las siguientes observaciones: Supon-gamos que en dos fenómenos dinámicamente semejantesactúan solo las fuerzas de rozamiento viscoso. Para lassuperficies elementales dS1 y dS2 , las mismas fuerzaspueden expresarse como:

dF1 = µ1dS1dV1

dn1dF1 =

µ1dS1dV1

dn1

F=>fuerza de rozamientoµ =>Coeficiente dinámico de viscosidadV=>Velocidad del flujoS=>Área de la superficie

Puesto que en los fenómenos dinámicamente semejanteslas fuerzas son proporcionales a los productos ρV 2S porlo que podemos escribir:

µ1dS1dV1

dn1

µ2dS2dV2

dn2

=ρ1V

21 S1

ρ2V 22 S2

Volviendo a la deducción de la ecuación anterior no es di-fícil establecer que el segundo miembro de la proporciónescrita es la relación de los productos dmdV

dt los cualesde acuerdo con el principio de D’ Alembert pueden lla-marse “Fuerzas de Inercia“ que se oponen a la variaciónde velocidad de las partículas de aire elementales en dosfenómenos dinámicamente semejantes.Pasando de la proporción derivada:

ρV 21 S1

µ1dV1

dn1dS

=ρV 2

2 S2

µ2dV2

dn2dS

Vemos que en dos fenómenos semejantes por fuerza derozamiento viscoso las relaciones de las fuerzas de inerciaa las de rozamiento han de ser iguales. Al hacer las reduc-ciones teniendo en cuenta las relaciones debido a la exis-tencia de la similitud geométrica y cinemática

(S1dS1

=

S2

dS2; V1

dV1= V2

dV2

)y sustituyendo los trazos elementales

de las normales a las líneas de corriente dn1 y dn2 porlas dimensiones lineales características proporcionales alos mismos l1 y l2 y obtenemos:

ρ1V1l1µ1

=ρ2V2l2µ2

4.3. CONCLUSIONES 11

La relación adimensional de la fuerza de inercia a las derozamiento viscoso:

Re =ρV l

µ=

V l

v

Según la ecuación anterior, en los fenómenos semejantespor fuerzas de rozamiento los números de Reynolds soniguales. Repitiendo las operaciones en la sucesión inversaes posible convencerse de que la igualdad de los númerosde Reynolds (Re1 = Re2 ) es no solo la condición nece-saria sino suficiente para la similitud de fenómenos aero-dinámicos por fuerza de rozamiento. En otras palabras, elnúmero de Reynolds es el criterio de similitud de los fenó-menos aerodinámicos por fuerza de rozamiento. Cuantomenor sea el número de Reynolds, tanto mayores seránlas fuerzas de rozamiento que obligan a la partícula a va-riar su velocidad, comparadas, con las fuerzas de inerciaque impiden variar la velocidad.Con los números de Reynolds pequeños, las fuerzas derozamiento predominan sobre las de inercia y ejercen in-fluencia apreciable en el cuadro del flujo. Con los núme-ros de Reynolds mayores (adecuado a las velocidades devuelo), la viscosidad del aire se manifiesta en proximi-dad inmediata a la superficie del cuerpo. El coeficientede resistencia de rozamiento del cuerpo Cxr = Qr

q∞S dis-minuye al aumentar el número de Reynolds.

4.2.2 Por número de Mach

Suponiendo que en dos fenómenos dinámicamente seme-jantes obran solo las fuerzas de presión. Puesto que lafuerza elemental de presión dP = ρdS , entonces pode-mos decir:

p1dS1

p2dS2=

ρ1V21 S1

ρ2V 22 S2

Dividiendo los parámetros referentes al fenómeno y a sumodelo y teniendo en cuenta que en razón de la semejanzageométrica dS1

dS2= S1

S2, obtenemos:

ρ1V21

p1=

ρ2V22

p2

La proporción ρp puede determinarse empleando la fór-

mula de la velocidad del sonido a2 = KRT = K pρ ;

pρ =

Ka2 . Entonces la igualdad obtenida que expresa la con-dición de similitud del fenómeno por fuerza de presión,toma la forma:

KV 21

a21

=KV 2

2

a22

es decirM1 = M2

De tal modo, en los fenómenos semejantes por fuerza depresión los números de Mach han de ser iguales. En otraspalabras el número de Mach es el criterio de similitud defenómenos aerodinámicos por fuerza de presión.

4.3 Conclusiones

De lo dicho es evidente que la semejanza dinámica delos fenómenos aerodinámicos se consigue al observar lasemejanza geométrica y la dinámica y tener igualdad denúmero de Reynolds y el número de Mach. En estas con-diciones todos los coeficientes aerodinámicos similaresson iguales. Si modificamos los criterios de similitud, va-riarán, naturalmente, los coeficientes aerodinámicos. Enotras palabras, los coeficientes aerodinámicos son funcio-nes de criterios adimensionales de similitud.Las relaciones entre los coeficientes aerodinámicos y loscriterios de semejanza geométrica, cinemática y dinámi-ca se llaman características aerodinámicas de los cuerpos.

4.4 Referencias[1] TSEITLIN, SOLTS, POPOV, Aerodinámica y Dinámica

del vuelo de las aeronaves, p. 47.

4.5 Bibliografía

• BARLOW, B. J.; RAE W. H., POPE A. (1999).Low Speed Wind Tunnel Testing (en inglés).

• BLESSMANN, J. (1995). O Vento na EngenhariaEstrutural (en portugués). Porto Alegre, Brasil: Edi-tora da Universidades.

• BENDAT, J.S; PIERSOL A.G. (1986). RandomData-Analysis and Measurements Procedures. Wi-ley, New York.

• COOK, N. J. Determination of the Model Scale Fac-tor in Wind-Tunnel Simulations of the Adiabatic At-mospheric (en inglés).

• HINZE, J.O. Turbulence (en inglés).

• TSEITLIN, G.M.; M.I. SOLTS, V.M. POPOV(1985). Aerodinámica y Dinámica del vuelo de lasaeronaves.

• WITTWER, ADRIÁN; MARIO E. DE BORTO-LI, M. B. NATALINI. Variación de los parámetroscaracterísticos de una simulación de la capa límiteatmosférica en un túnel de viento.

• DELNERO, J. S; MARAÑON DI LEO, J.; BAC-CHI, F. A.; COLMAN, J. & COLOSQUI, C. E.Determinación experimental en túnel de capa límite

12 CAPÍTULO 4. TEORÍA DE LAS SEMEJANZAS

de los coeficientes aerodinámicos de perfiles de bajosReynolds. Buenos Aires, Argentina.

• COLMAN, J.; J. MARAÑÓN DI LEO, J. S. DEL-NERO, M. MARTÍNEZ, U. BOLDES, F. BAC-CHI. Lift and drag coefficients behavior at low Rey-nolds number in an airfoil with miniflap Gurney sub-mitted to a turbulent flow (en inglés). Buenos Aires,Argentina.

• DELNERO, J.S.; J. COLMAN, U. BOLDES, M.MARTÍNEZ, J. MARAÑÓN DI LEO and F.A.BACCHI. About the turbulent scale dependent res-ponse of reflexed airfoils (en inglés). Buenos Aires,Argentina.

Capítulo 5

Turbulencia

El flujo al pasar una esfera a: R/eD = U0Dv

= 2, 104 Nóteseel cambio de escalas de grande a pequeña, lo cual es uno de losaspectos fundamentales de los flujos turbulentos.

Flujo alrededor de un obstáculo; el flujo aguas arriba es laminar.

Turbulencia en el vórtice de punta en el ala de un avión.

En términos de la dinámica de fluidos, turbulencia oflujo turbulento es un régimen de flujo caracterizado porbaja difusión de momento, alta convección y cambiosespacio-temporales rápidos de presión y velocidad. Losflujos no turbulentos son también llamados flujos lamina-res. Un flujo se puede caracterizar como laminar o tur-bulento observando el orden de magnitud del número deReynolds.Considere el flujo de agua sobre un cuerpo simple de con-figuración geométrica suave como una esfera. A baja ve-locidad el flujo es laminar, es decir que el flujo es suave(aunque pueda estar relacionado con vórtices de gran es-cala). A medida que la velocidad aumenta, en algún mo-mento se pasa al régimen turbulento. En flujo turbulento,se asume que aparecen vórtices de diferentes escalas queinteractúan entre sí. La fuerza de arrastre debido a fric-ción en la capa límite aumenta. La estructura y localiza-ción del punto de separación de la capa límite cambia, aveces resultando en una reducción de la fuerza de arrastreglobal.

5.1 Teorías sobre la turbulencia

Aunque las ecuaciones de Navier-Stokes que se remon-tan al siglo XIX describen adecuadamente tanto el flujo

13

14 CAPÍTULO 5. TURBULENCIA

laminar como el flujo turbulento, el mecanismo concretodel inicio del turbulencia siguió siendo un misterio duran-te mucho tiempo. Experimentalmente se había visto quela turbulencia parecía involucrar vórtices más y más pe-queños cada vez, pero puesto que los fluidos están hechosde átomos tarde o temprano se llegaría a escalas atómicasdonde no podrían existir dichos vórtices y en ese nivel dedescripción las ecuaciones de Navier-Stokes no puedenconstituir una descripción válida.Así inicialmente el matemático francés Jean Leray propu-so, en 1934, que la turbulencia es un efecto macroscópicode la estructura atómica. Las inexactitudes en las dimen-siones atómicas en las ecuaciones de Navier-Stokes in-troducirían efectos no contemplados en estas ecuacio-nes que se propagan a niveles más altos, y eso es lo quevemos como turbulencia. En ese momento, la estruc-tura atómica estaba muy de moda como explicación ydicha teoría fue mantenida durante algún tiempo hastaque Landau y Hopf propusieron una idea más realista yexperimentalmente verificable.

5.1.1 Teoría de Landau-Hopf

Menos de una década después de la propuesta de Leray,en 1944, Lev Landau proponía una idea más concreta so-bre el inicio de la turbulencia. El artículo de Landau co-menzaba así:[1]

Aunque se ha discutido extensamente en laliteratura el movimiento turbulento, la verda-dera esencia de este fenómeno todavía carecede la suficiente claridad [...] En opinión del au-tor, el problema puede aparecer con una nuevaluz si se examina a fondo el fenómeno de la ini-ciación de la turbulencia

L.D. Landau, 1944

Landau consideró la turbulencia como el resultado de unflujo de un fluido inicialmente estable que adquiere unmovimiento adicional de vibración, y luego otro y otro.Así una turbulencia podía ser inicialmente un flujo esta-ble con tres o cuatro movimientos periódicos superpues-tos, e ideó un mecanismo por el cual cuando se desatael flujo totalmente turbulento el número de movimientosperiódicos se hace infinitamente grande. El mecanismobásico de creación de las vibraciones adicionales se cono-ce como bifurcación de Hopf, en honor a Eberhard Hopf.Por esta razón y porque el propio Hopf en 1948 propusouna teoría bastante más detallada sobre la propuesta deLandau esta teoría se llamó teoría de Hopf-Landau.Un modelo simplificado de las ecuaciones de Navier-Stokes del holandés Burgers de las ecuaciones que podíaser resuelto explícitamente, mostró que aparecía un flujoturbulento según la línea de Landau. Por esta razón du-rante las tres décadas siguientes la teoría de Hopf-Landau

fue aceptada y utilizada ampliamente. Era simple y com-prensible y era accesible mediante las técnicas clásicasde análisis de Fourier de forma que permitía hacer al-gunos cálculos aproximados. Sin embargo, experimentosdetallados en la década de 1970 probaron que la teoríade Hopf-Landau no podía competir con una teoría rivalpropuesta inicialmente por dos matemáticos.

5.1.2 Teoría de Ruelle-Takens

5.2 Características de las fluctua-ciones turbulentas

La mayoría de los fluidos que se ven en la naturaleza,así como en las aplicaciones ingenieriles, son turbulen-tos. Consecuentemente, no se necesita ningún comenta-rio extenso para enfatizar que las simulaciones numéricasde los flujos turbulentos son de gran importancia para loscientíficos, así como para la comunidad ingeniera. Inclu-so, a pesar de que muchos flujos turbulentos pueden serfácilmente observados, es muy difícil dar una definiciónexacta y precisa de la turbulencia. Sin embargo, la ma-yoría de los investigadores generalmente concuerdan conciertas características presentes en los flujos turbulentos.Observaremos entonces el comportamiento turbulento deun fluido al pasar un cuerpo esférico y listaremos las ca-racterísticas de la turbulencia con las cuales se está másde acuerdo.

5.2.1 Impredecibilidad

La irregularidad del fluido cuando la corriente se sepa-ra, hace una descripción determinista del movimiento, lacual se detalla como una función de las coordenadas deltiempo y el espacio imposibles. La aleatoriedad se mues-tra claramente, la cual es una característica de todos losflujos turbulentos. Esto explica el por qué los métodosestadísticos son ampliamente considerados.

5.2.2 Tridimensionalidad de las fluctua-ciones turbillonarias

El flujo al pasar la esfera es obviamente tridimensional yaltamente inestable. Nótese que la capa aguas abajo queemana de la línea de separación en el cilindro es una re-gión de fuerte y coherente torbellinado. En general, la di-námica de los torbellinos juega un rol importante en elanálisis de los flujos turbulentos.

5.2.3 Difusividad

La extensión de las fluctuaciones de velocidad se vuelvemás fuerte a medida que la distancia de separación au-menta. La difusividad de la turbulencia es una de las más

5.3. ESCALAS TURBULENTAS Y COMPLEJIDAD DE UN CAMPO TURBULENTO 15

importantes propiedades concernidas por las aplicacionesingenieriles (mejora de la mezcla, transferencia de calory masa).

5.2.4 Ancho espectro

Las fluctuaciones turbulentas ocurren sobre un ampliorango de escalas de longitud y tiempo excitadas en el es-pacio físico, llegando hasta el espectro de banda ancha enespacio de onda numérico.

Para describir cuantitativamente el movi-miento turbulento, es necesario introducir lanoción de la escala de la turbulencia: Una es-cala precisa en tiempo y espacio.[2]

En otras palabras, la turbulencia es un problema multi-escala con un gran enlazamiento no lineal entre estas es-calas.

5.3 Escalas turbulentas y compleji-dad de un campo turbulento

5.3.1 Ecuaciones básicas de un flujo tur-bulento

El punto de partida es el modelo de Navier-Stokes paraun fluido Newtoniano incompresible con una viscosidaddinámica µ , en la ausencia de fuerzas corpóreas.

∇ · u = 0

ρ

(∂u∂t

+ u ·∇u)

= −∇P + µ∇2u

Donde:

u

ρ

P

Nótese que se deben aplicar condiciones iniciales y defrontera para tener un problema bien planteado. El tér-mino no lineal que aparece en la parte izquierda de laecuación, lleva al fenómeno más complejo y rico de la di-námica de fluidos. En particular, este término cuadráticoes la razón del porque los fluidos se vuelven turbulentos.Cuando este término aumenta mucho más que el términode difusión al cuadrado, el flujo se vuelve inestable y lar-gas estructuras del flujo se deshacen en torbellinos cadavez más pequeños, hasta que estos son difundidos en ca-lor por los efectos de viscosidad. Este importante procesoes llamado “Cascada de Energía”.

5.3.2 Definición de las escalas turbulentas

Artículo principal:Definiendo escalas turbulentasA pesar de que el campo de velocidad instantáneo u(x,t) exhibe un comportamiento aleatorio e impredecible,es posible discernir cantidades estadísticas distintas talescomo los valores promedio. Esta importante característi-ca de las fluctuaciones refleja la existencia de escalas ca-racterísticas de correlación estadística. Por consiguiente,necesitamos introducir algunas mediciones útiles de lasdiferentes escalas que describen el estado de los flujos tur-bulentos. Con este fin, existen dos medidas comúnmenteusadas:

• La función de autocorrelación de la velocidad.

• El espectro energético.

La escala integral de la turbulencia “L” proporciona unamedida de la extensión de la región sobre la cual las ve-locidades están correlacionadas aproximadamente (ej.: eltamaño de los remolinos que llevan la energía del movi-miento turbulento). De la misma manera, “T” provee unamedida de la duración temporal sobre la cual las velocida-des se mantienen correlacionadas (ej.: la duración de lasvueltas de los torbellinos). Por razones obvias, la integral“T” es comúnmente llamada la integral de escala de tiem-po de Euler. Asimismo al realizársele la transformada deFourier a la función de autocorrelación, obtenemos la dis-tribución energética presente en el espectro turbulento.

Cascada de energía. Disminución de la energía cinética al perderla fuente de perturbación.

La energía cinética puede expresarse por la ecuación:

ε ≈ v

τ

2

K

Donde:

ε : Energía cinética

16 CAPÍTULO 5. TURBULENCIA

τK : Escala de tiempoV: Velocidad del flujo.

La escala de la turbulencia disminuye a medida que dis-minuye la acumulación energética del espectro, esto seexplica por el hecho de que al perder la fuente de per-turbación (ala, obstáculos naturales) los diámetros de lostorbellinos van disminuyendo hasta que estos desapare-cen por completo y pasamos al fluido laminar o sea, laenergía se disipa al perderse la fuente que la origina.

5.4 Turbulencia en meteorología

Una turbulencia atmosférica es una agitación de la at-mósfera, que se aprecia en una capa, próxima al suelo y deespesor variable; se caracteriza por un cambio repentinode dirección e intensidad del viento en una corta distan-cia en sentido vertical. Frecuentemente se clasifican lasturbulencias según la causa que las origina:

• Turbulencia mecánica, ocurre cuando obstáculostales como edificación, terreno irregular o árbolesintervienen con el flujo normal del viento.

• Turbulencia convectiva, denominada también tur-bulencia termal, es un fenómeno típico de las horasdiurnas, con buen tiempo; se forma por el paso deaire frío sobre las masas de aire caliente o cuandopor efecto de radiación solar en el suelo calienta lasmasas de aire.

• Turbulencia frontal, se genera al paso de un frentefrío que se desplaza rápidamente, ocasiona ráfagasde hasta 1000'/m y se le conoce también como ráfa-gas pre-frontales.

Algunos tipos comunes de turbulencia son:

• Estela turbulenta, se produce por la diferencia en-tre el intradós y el extradós del perfil alar que formadicho fenómeno. (ejem. Imagen de la aeronave mos-trada en la figura de arriba)

• Turbulencia de aire claro o sus siglas en inglésCAT (Clear Air Turbulence):

Tipo de turbulencia importante que ocurre a partir de los15.000 pies; sus características son: sin indicaciones fí-sicas como polvo partículas etc., ocurre por la interac-ción de diferentes capas de aire con diferentes veloci-dades asociadas a corrientes convectivas se asocian conunos tipos de vientos llamados jetstream.

• Ondas de montaña es causado principalmente porturbulencia orográfica el aire frente a un flujo lami-nar del lado de barlovento (antes de la montaña) al

lado de sotavento (después de la montaña) el cual seforma turbulento creando este tipo de ondas; este ti-po de fenómeno requiere vientos mayores a los 20nudos para que se forme.

Según la intensidad de la turbulencia se hace la siguienteclasificación:Tipo Velocidad Carga VariaciónLigera 5 a 14.9 nudos 0.20g - 0.49g 300' - 1199'Moderada 15 a 24.9nudos 0.5g - 0.99g 1200' - 2099'Severa > a 25 nudos 1.0g - 1.99g 2100' - 2999'Extrema -------------- > 2.0 > a 3000'

5.5 Véase también• Flujo turbulento

• Flujo laminar

5.6 Referencias[1] I. Stewart, 2001, p. 223.

[2] HINZE J.O. Turbulence.

5.7 Bibliografía• L. D. Landau (1944). «On the problem of turbulen-ce». Doklady Akademii Nauk SSSR 44: 339-342.

• E. Hopf (1948). «A mathematical example displa-ying the features of turbulence». Communicationson Pure and Applied Mathematics 1: 303-322.

• Landau, D.L.; E. Lifshitz (1991).Mecánica de Flui-dos. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 978-84-291-4087-3.

• Stewart, I. (2001). ¿Juega Dios a los dados?. Barce-lona: Ed. Crítica. ISBN 978-84-8432-881-0.

• BARLOW, B. J.; RAE W. H., POPE A. (1999).Low Speed Wind Tunnel Testing (en inglés).

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• COOK, N. J. Determination of the Model Scale Fac-tor in Wind-Tunnel Simulations of the Adiabatic At-mospheric (en inglés).

5.7. BIBLIOGRAFÍA 17

• HINZE, J.O. Turbulence (en inglés).

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Capítulo 6

Chaos

Este artículo trata sobre el género de amebasque en biología se conocen como Chaos; paraotros usos de la palabra Chaos véase: Chaos(desambiguación).

Chaos es un género de ameba gigante, así por ejemplo,Chaos carolinensis puede alcanzar los 5 mm, pero la ma-yoría va de 1 a 3 mm.[2][3][4] Son amebas desnudas y semueven mediante seudópodos. El citoplasma se divideen un endoplasma fluido que contiene los numerosos nú-cleos, gránulos y vacuolas de alimento, y el ectoplasma,que esmás viscoso y que no contiene ningún gránulo. Estápróximamente relacionado con el género Amoeba, com-partiendo la misma morfología general y produciendonumerosos seudópodos cilíndricos. Sin embargo, Chaospresenta cientos de núcleos, mientras que Amoeba tienesolamente uno.Los miembros del género se asemejan a las amebas, ycomparten la mismamorfología general, produciendo nu-merosos seudópodos cilíndricos, cada uno redondeado enel extremo.[5] Sin embargo, mientras que la ameba es uni-nucleada, Chaos puede llegar a tener mil núcleos. Debidoa este atributo, C. carolinensis, fue catalogada en el géne-ro Pelomyxa junto con otra ameba multinucleada gigante,Pelomyxa palustris.[6] Recientemente, los estudios filoge-néticos moleculares de la especie han confirmado que estámás relacionada con el géneroAmoeba que a Pelomyxa.[7]

Se alimenta de bacterias, hongos, otros protistas yrotíferos pluricelulares.[3] Son heterótrofos como todoslos miembros de Amoebozoa, sobre todo limpiadores yse encuentran en el fondo de hábitats de agua dulce. Laespecie más notable es C. carolinense. La célula no poseecitostoma, por lo que no hay un sitio fijo en la membranaen donde ocurra la fagocitosis.[8]

La membrana celular o plasmalema es extremadamenteplástico, permitiendo al organismo cambiar de forma. Elcitoplasma en el interior de la membrana se describe nor-malmente en dos partes: un fluido interno, o endoplasma,que contiene gránulos y vacuolas alimenticias, así comoorgánulos como el núcleo o la mitocondria; y un ecto-plasma más viscoso alrededor del perímetro de la célula,que es relativamente claro y no contiene gránulos visibles.Como otras amebas lobosas, Chaos puede moverse a tra-vés de seudópodos. Se ha publicado una extensa literatura

científica gracias al esfuerzo realizado para describir estemovimiento.[9]

6.1 Historia temprana y controver-sia de la nomenclatura

Amebas de C.G. Ehrenberg, 1830

El género Chaos ha tenido una historia larga y confusa.En 1755, Rösel von Rosenhof vio y describió un ameboi-de que llamó “el pequeño Proteus”. Tres años después,Linneo le dio a la criatura de Rösel el nombre de Volvoxchaos. Sin embargo, ya que el nombre Volvox ya se apli-caba a un género de algas flageladas, se cambió a Chaoschaos. En las siguientes décadas, conforme proliferabanlas nuevas especies y nombres, se informó de numerosasdescripciones de organismos similares a Chaos, de tal ma-nera que es virtualmente imposible diferenciar una ame-ba histórica de otra. En 1879, Joseph Leidy sugirió agru-par todas las grandes amebas comunes de agua dulce enuna especie, que propuso que se llamase Amoeba proteus.Una docena de especies, incluyendo a varias que se hanidentificado como Chaos, fueron consideradas sinónimosde Amoeba proteus. Sin embargo, en la descripción que élmismo da a estos organismo, son claramente uninuclea-das, a diferencia de la actual Chaos.[10]

En 1900, el biólogo H. V. Wilson, de la Universidad deCarolina del Norte, descubrió y aisló a la ameba que separecía a Amoeba proteus pero tenía cientos de núcleos

18

6.2. FILOGENIA RECIENTE 19

A. proteus (= C. chaos), de Joseph Leidy, 1879

celulares. Dado que ya existía un´género de amebas gi-gantes multinucleadas, Pelomyxa, Wilson colocó este or-ganismo en ese taxón, llamándolo Pelomyxa carolinen-sis.[2] Esta ameba se cultivaba fácilmente y se convirtióen un organismo ampliamente distribuido y estudiado enel laboratorio.En 1926, Asa A. Schaeffer argumentó que Pelomyxa ca-rolinensis era, de hecho, idéntica a la ameba que Rösel vioen 1755, la “pequeña Proteus” que Linneo llamó Chaoschaos. Por lo tanto, instó a que, siguiendo el principiode prioridad que gobierna la nomenclatura biológica, elnombre del organismo debía ser Chaos chaos. Varios in-vestigadores discutieron vigorosamente contra la validezde ese nombre,[11][12] pero otros lo adoptaron. Una terce-ra facción aceptó la validez del género Chaos para la ame-ba deWilson, pero conservó la segunda mitad del nombrebinomial, llamando al organismo Chaos carolinensis.[13]A principios de la década de 1970, los tres nombres seusaban al mismo tiempo por varios investigadores. Sinembargo, los estudios de la estructura fina y fisiología dela ameba aclaró que había grandes diferencias entre estay otras Pelomyxa (incluyendo la ausencia completa, en las

Pelomyxa verdaderas, de mitocondrias).[14] Desde enton-ces, ha surgido un consenso en cuanto a la nomenclatu-ra, y el organismo es conocido generalmente como Chaoscarolinensis, propuesto inicialmente por Robert L. Kingy Theodore L. Jahn en 1948.[13]

6.2 Filogenia reciente

Hasta hace poco, el género Chaos se incluía, juntocon otros protistas que extienden seudópodos lobososo se desplazan por el flujo protoplásmico, en el filoSarcodina.[15] La filogenia molecular basada en la exami-nación del ADN ribosómico ha mostrado que Sarcodinaes un grupo polifilético: que algunos amobeideos com-parten un ancestro común más reciente con miembros deotro filo que con otros Sarcodina. Consecuentemente, losameboideos de Sarcodina han sido distribuido entre dossupergrupos, Rhizaria y Amoebozoa. Chaos y su parientecercano, Amoeba, se sitúan ahora en el último, junto conel orden Tubulinida: amebas desnudas, ya sea monopo-diales o poseyendo seudópodos cilíndricos, con uroidesno adhesivos (una región de la zona posterior de la célulaque tiene una apariencia arrugada).[1]

Mientras el grupo monofilético de Amoebozoa tiene aúnque establecerse, la información actual confirma queChaos y Amoeba están estrechamente relacionados. Sinembargo, las mismas investigaciones plantea preguntassobre el grupo monofilético del género Chaos, dado queChaos nobile puede ser basal a un grupo que contieneChaos carolinensis y al menos dos especies de ameba,[15]como se ilustra debajo, siguiendo Pawlowski y Burki(2009):

6.3 Referencias

[1] Adl, Sina M.; et al. (octubre de 2005). «The NewHigher Level Classification of Eukaryotes with Empha-sis on the Taxonomy of Protists». Journal of Eukaryo-tic Microbiology 52 (5): 399-451. doi:10.1111/j.1550-7408.2005.00053.x. PMID 16248873.

[2] Wilson, H. V. (julio de 1900). «Notes on a Species ofPelomyxa». The American Naturalist 34 (403): 535-50.doi:10.1086/277702. JSTOR 2453844.

[3] Kudo, Richard (1954). Protozoology. 4th Ed.. Springfield,Illinois: Charles C. Thomas. p. 442.

[4] Deng, Yuru; et al. (2002). «Fasting induces cyanide-resistant respiration and oxidative stress in the amoebaChaos carolinensis : implications for the cubic structu-ral transition in mitochondrial membranes». Protoplasma219 (3–4): 160-67. doi:10.1007/s007090200017.

[5] Patterson, David (1996). Free-Living Freshwater Proto-zoa: A Colour Guide. Londres: Manson. p. 99. ISBN 1-874545-40-5.

20 CAPÍTULO 6. CHAOS

[6] Short, Robert B. (1946). «Observations on the GiantAmoeba, Amoeba Carolinensis (Wilson, 1900)». TheBiological Bulletin 90 (1): 8-18. doi:10.2307/1538058.JSTOR 1538058.

[7] Bolivar, Ignacio; et al. (2001). «SSU rRNA-based Phylo-genetic Position of the Genera Amoeba and Chaos (Lo-bosea, Gymnamoebia): The Origin of Gymnamoebae Re-visited». Molecular Biology and Evolution 18 (12): 2306-2314. PMID 11719580.

[8] Thorp, James H. (2001). Ecology and Classification ofNorth American Freshwater invertebrates. San Diego:Academic. p. 71. ISBN 0-12-690647-5.

[9] Allen, RD; Allen, RS (1978). «Cytoplasmic Strea-ming in Amoeboid Movement». Annual Reviewof Biophysics and Bioengineering 7: 469-495.doi:10.1146/annurev.bb.07.060178.002345. PMID352246.

[10] Leidy, Joseph (1879). Fresh-water Rhizopods of NorthAmerica. Washington: Government Printing Office. pp.30-35.

[11] Wilber, CG (1947). «Concerning the Correct Nameof the Rhizopod, Pelomyxa carolinensis». Transactionsof the American Microscopical Societ 66 (1): 99-101.doi:10.2307/3223328. JSTOR 3223328.

[12] Kudo, Richard (1959). «Pelomyxa and Related Orga-nisms». You have full text access to this content Annalsof the New York Academy of Sciences 78 (2): 474-486.doi:10.1111/j.1749-6632.1959.tb56118.x.

[13] King, Robert L.; Jahn, Theodore L. (19). «Concerningthe Genera of Amebas». Science. New Series, 107 (2777):293-4. JSTOR 1675718.

[14] Chapman-Andresen, Cicely (1971). «Biology of the Lar-ge Amoebae». Annual Review of Microbiology 25: 27-48. doi:10.1146/annurev.mi.25.100171.000331. PMID5005027.

[15] Pawlowski, J.; Burki, F. (Jan-Feb de 2009). «Untanglingthe phylogeny of amoeboid protists». Journal of Eukar-yotic Microbiology 56 (1): 16-26. doi:10.1111/j.1550-7408.2008.00379.x. PMID 19335771.

Capítulo 7

Dimensión fractal

0 75 150miles

0 75 150 km

Ejemplo de estimación de la dimensión de Hausdorff-Besicovitchpara la costa de gran Bretaña.

En geometría de fractales, la dimensión fractal, D es unnúmero real que generaliza el concepto de dimensión or-dinaria para objetos geométricos que no admiten espaciotangente.La dimensión fractal es un exponente que da cuenta decuán completamente parece llenar un fractal el espacioconforme se amplía el primero hacia escalas más y másfinas. No existe una única dimensión fractal sino una se-rie de dimensiones que, frecuentemente, resultan equiva-lentes aunque no siempre. Entre estas definiciones estála dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión dela dimensión de empaquetamiento, la dimensión de ho-motecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estasdimensiones debería ser tratada como universal, ya quea veces la discrepancia entre ellas está asociada a dife-rencias en la estructura interna del fractal. Aunque paraun buen número de fractales clásicos los valores de lasdiferentes definiciones de dimensión fractal todas estasdimensiones coinciden, en general no son equivalentes.En la práctica algunas definciones de dimensión fractalresultan más sencillas de calcular, y por eso son másampliamente usadas, aunque no siempre tienen las pro-piedades matemáticas más deseables. Por ejemplo la di-mensión de conteo de cajas o de dimensión Minkowski-Bouligand y la dimensión de correlación son ampliamenteusadas en la práctica, por su fácil implementación algo-rítmica.Por ejemplo, la dimensión del copo de nieve de Koch tie-ne una dimensión topológica de uno, pero no puede sertratada como una curva; la longitud entre cualesquiera dos

puntos en el fractal (dada por la medida de Lebesgue)es infinita. Ningún segmento del fractal tiene parecido auna línea, pero tampoco tiene parecido a una parte de unplano. En cierta forma se podría decir que es demasiadogrande para poder ser considerada como un objeto uni-dimensional, pero es demasiado fina para ser consideradaun objeto bidimensional. Esto lleva a la pregunta de si sudimensión se describe mejor con un número entre unoy dos. Ésta es una manera simple de motivar la idea dedimensión fractal.

7.1 Definiciones

Hay principalmente dos formas aproximadas para gene-rar una estructura fractal. Una es hacerla crecer a partirde un objeto y la otra es construir las divisiones subse-cuentes de una estructura original como en el triángulode Sierpinski (Fig.(2)).[1] En este caso se sigue la segundaaproximación para definir la dimensión de las estructurasfractales.

7.1.1 Dimensión de homotecia

Fig.(1) Otra forma de definir la dimensión.[2]

21

22 CAPÍTULO 7. DIMENSIÓN FRACTAL

Si se toma un objeto con un tamaño lineal igual a 1 enuna dimensión euclidiana D , y se reduce su tamaño porun factor de 1/l en cada dirección espacial, se necesitanun número N = lD de objetos autosimilares para cubrirel objeto original (Fig.(1)). Sin embargo, al despejar paraD, la dimensión definida por

DHom = logN(l)log l .

es igual todavía a su dimensión topológica o euclidiana.[2]Aplicando la ecuación anterior a una estructura fractal, sepuede obtener la dimensión de la misma (que es más omenos la dimensión de Minkowski-Bouligand) como unnúmero no entero, como se esperaba.

DMB = − limε→0logN(ε)

log 1ε

,

dondeN(ε) es el número de estructuras autosimilares delado lineal ε que se necesitan para cubrir toda la estruc-tura.Por ejemplo, la dimensión fractal para el triángulo deSierpinski (Fig.(2)) está dado por,

DH = limϵ→0logN(ϵ)

log( 1ϵ )

=

limk→∞log 3klog 2k = log 3

log 2 ≈ 1, 585.

Fig.(2) Triángulo de Sierpinski.

7.1.2 Dimensión de información

Otras cantidades dimensionales incluyen la «dimensiónde información» que considera cómo se escala la infor-mación promedio que se necesita para identificar una cajaocupada, conforme las cajas se vuelven más pequeñas:

D1 = limε→0−⟨log pε⟩log 1

ε

7.1.3 Dimensión de correlación

La dimensión de correlación es quizá la más fácil de cal-cular. Para ello se genera un gran número N de puntos alazar sobre una región del espacio euclídeo Rn que con-tenga al objeto fractal F . Siendo el conjunto de puntosgenerados al azar el conjunto finito P={x1,...,xN} , se lla-mará M ≤N al número de puntos caen sobre el fractal, esdecir, M = card(F∩P) ; la dimensión fractal de correlaciónviene dada por:

D2 = limε→0,M→∞log(gε/M2)

log ε

donde M es el número de puntos utilizados para generaruna representación del fractal y gε es el número de paresde puntos que se encuentran más cercanos uno al otro queε , es decir:

gε =1

M2

∑Mi=1

∑Mj=1 Hε(∥xi − xj∥)

Donde:

Hε(x) := H(ε− x)

H(·) , es la función unitaria de Heaviside

7.1.4 Dimensiones de Rényi

Las tres anteriores pueden verse como casos especiales delas dimensiones de Rényi de orden α, definidas como

Dα = limϵ→0

11−α log(

∑i p

αi )

log 1ϵ

El numerador es la llamada entropía de Rényi de orden α.La dimensión de Rényi con α=0 trata a todas las partes delatractor de manera similar, pero para valores más grandesde α se da un mayor peso en el cálculo a las partes delatractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puededemostrarse la siguiente relación entre las dimensiones deRényi:[3]

α1 ≥ α2 ⇒ Dα1 ≤ Dα2

Un atractor para el cual las dimensiones de Rényi no sontodas iguales es conocido como un multifractal, o se di-ce que muestra estructura multifractal. Esto es una señalde que un comportamiento a escala diferente ocurre endiferentes partes del atractor.

7.1.5 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch

Esta caracterización de la dimensión fractal mediante ladimensión de Hausdorff-Besicovitch se basa en conside-rar una cubierta abierta por o bolas abiertas (n-esferas)del conjunto fractal, es decir, para un fractal cotenido enel plano euclídeo se consideran círculos abiertos, y paraun fractal contenido en el espacio euclídeo tridimensionalse consideran esferas (para un fractal que sea un subcon-junto de la recta real se emplean intervalos abiertos). Detodos los recubrimientos posibles se considera el ínfimoformado por bolas de diámetro menor igual que un ciertotamaño ε . Una vez computado ese ínfimo se considerael límite ε→0 . Para ver como se define formalmente elcontenido de Hausdorff como:{

Hsδ(F ) = inf {

∑∞i=1 |Ui|s} , |Ui| = diam(Ui) < δ

Hs(F ) = limδ→0

Hsδ(F )

7.3. PROPIEDADES DE LAS DIMENSIONES FRACTALES 23

Con la definición anterior se cumple que el contenido deHausdorff define una función del conjunto potencia de Rn

en los reales no negativos (ampliados con el elemento ∞

):

Hs : P(Rn) → {0} ∪ R+ ∪ {∞}

Para cualquier conjunto F⊂Rn la función anterior tiene lapropiedad interesante de ser nula para s>s0 e infinita paras<s0 . El valor s=s0 es un real positivo es precisamentela dimensión de Hausdorff-Besicovitch, hecho que puedeformularse como:

DHB(F ) := sup{s : Hs(F ) = ∞} :=inf{s : Hs(F ) = 0}

7.1.6 Dimensión de empaquetado

Es similar a la dimensión de Hausdorff-Besicovitch pe-ro se define a partir de empaquetamientos, en lugar de apartir recubrimientos. Dada lamedida s-dimensional deempaquetamiento Ps , se puede comprobar que tal co-mo sucede para la dimensión de Hausdorff-Besicovitch,existe un valor umbral s0, llamado dimensión de empa-quetado (o dimensión de empaquetamiento), tal que:[4]

∀s < s0 : Ps(E) = ∞ y ∀s > s0 :Ps(E) = 0

Por esa razón se puede definir la dimensión de empaque-tado simplemente como:

dimP E = inf{s : Ps(E) = 0} =sup{s : Ps(E) = ∞}

Obviamente de las propiedades de la medida deHausdorff-Besicovitch y de la medida de empaqueta-miento se sigue que:

dimHB E ≤ dimP E

7.2 Relación entre dimensionesfractales

Para algunas de las anteriores dimensiones fractales hapodido probarse la siguiente serie de desigualdades:

DT ≤ · · · ≤ . . . Dα ≤ · · · ≤ D2 ≤ D1 ≤ D0 = DMB ≤ DE ≤ DC (α > 2)DT ≤ DHB ≤ DMB ≤ DE ≤ DC

Donde:

DT es la dimensión topológica que es siempreun entero.DMB es la dimensión de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a vecesllamada dimensión de Hausdorff.D1 es la dimensión de entropía o dimensión deKolmogórov.D2 es la dimensión de correlación.Dα es la dimensión de Rényi de parámetro α.DE es la dimensión de empaquetado.DHB es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clásicossuele ser un número irracional.DC es la dimensión del espacio euclídeo quecontiene al fractal que también es un númeroentero.

Algunas aclaraciones:

• La primera desigualdad DT ≤ DHB se conoce comodesigualdad de Szpilrajn y es uno de los principalesresultados de la geometría fractal.[5]

• Las desigualdades D2 ≤ D1 ≤ D0[3] son desigualda-

des entre las dimensiones de Rényi, que son igualespara un fractal autosimilar a todas las escalas y di-fieren en el caso de objetos multifractales.

• Para un conjunto cerrado las dimensiones deMinkowski-Bouligand y Hausdorf-Besicovitchcoinciden D0 = DMB = DHB . Si un conjunto esno cerrado la dimensión de Hausdorff-Besicovitchpuede diferir de las otras dos, por ejemplo elconjunto IQ=Q∩[0,1] de números racionales delintervalo [0,1] tiene DHB=0 pero en cambio tieneD0=DMB=1 .

7.3 Propiedades de las dimensionesfractales

Muchas de las dimensiones fractales definidas anterior-mente satisfacen todas o algunas de las siguientes propie-dades, consideradas deseables para cualquier definiciónde dimensión:

• Monotonía bajo inclusiones. Si E1 ⊂ E2 entoncesdimE1 ≤ dimE2 .

• Conjuntos finitos. Si E es un conjunto finito entoncesdimE = 0 .

• Conjuntos abiertos. SiE ⊂ Rn es un conjunto abier-to entonces dimE = n .

24 CAPÍTULO 7. DIMENSIÓN FRACTAL

• Variedades difernciables. Si E ⊂ Rn es una m-variedad diferenciable entonces dimE = m .

• Aplicación de Lipschitz. Si f : E → Rm es unaaplicación de Lipschitzm-variedad diferenciable en-tonces dim f(E) ≤ dimE = m .

• Invariancia bi-lipschitz. Si f : E → Rm esuna aplicación bi-Lipschitz (aplicación Lipschitzcon una inversa que también es Lipschitz) entoncesdim f(E) = dimE = m , es decir, la dimensiónfractal es un invariante bajo la transformación indu-cida por una aplicación bi-Lipschitz. Esta propiedades consecuencia de la anterior.

• Invariancia geométrica. Si f : E → Rm esuna similaridad o una aplicación afín entoncesdim f(E) = dimE = m , ya que toda similaridado afinidad es bi-Lipschitz.

7.4 Estimación de la dimensiónfractal en la práctica

Los cálculos de dimensiones fractales descritos arriba seobtienen a partir de fractales definidos formalmente. Sinembargo, ciertos fenómenos y objetos de la vida real pue-den mostrar propiedades fractales, por lo que puede serútil obtener la dimensión fractal de un conjunto de da-tos de una muestra. El cálculo de la dimensión fractal nose puede obtener de forma exacta sino que debe estimar-se. Esto se usa en una variedad de áreas de investigacióntales como la física,[6] análisis de imagen,[7] acústica,[8]ceros de la función zeta de Riemann[9] e incluso procesoselectroquímicos.[10]

Las estimaciones prácticas de las dimensiones fractalesson muy sensibles al ruido numérico o experimental, yparticularmente a las limitaciones en la cantidad de da-tos. Cualquier afirmación basada en estimaciones de di-mensiones fractales deben tomarse con cuidado puestoque hay un límite superior inevitable, a menos que se pre-senten cantidades muy grandes de datos. Computacional-mente los más sencillos de implementar son el contaje deceldas (box counting) y la dimensión de correlación (ba-sada en generar un número de puntos aleatorios en unentorno del fractal y medir cuantos de ellos caen sobre elconjunto fractal). Otra técnica que se ha hecho popular esla medición del espectro de potencia de la transformadade Fourier de una imagen del objeto fractal.

7.5 Referencias

7.5.1 Notas

[1] Fluctuations and Scaling in Biology. Edited by T. Vicsek,2001

[2] Fractals & the Fractal Dimension

[3] Hentschel & Procaccia, “The infinite number of generali-zed dimensions of fractals and Strange Atractors”, PhysicaD, Vol. 8, 1983, p. 435-44.

[4] K. Falconer, 1997, p. 23

[5] W. Hurewicz & H. Wallman, Dimension Theory, 1941,Chapter VII.

[6] B. Dubuc, J. F. Quiniou, C. Roques-Carmes, C. Tricot,and S. W. Zucker, , Phys. Rev. A, 39 (1989), pp. 1500–1512.

[7] P. Soille and J.-F. Rivest, On the validity of fractal dimen-sion measurements in image analysis, Journal of VisualCommunication and Image Rep- resentation, 7 (1996),pp. 217–229.

[8] P. Maragos and A. Potamianos, , The Journal of theAcoustical Society of America, 105 (1999), p. 1925.

[9] O. Shanker (2006). «Random matrices, generalized ze-ta functions and self-similarity of zero distributions». J.Phys. A: Math. Gen. 39: 13983-13997. doi:10.1088/0305-4470/39/45/008.

[10] Ali Eftekhari, Fractal Dimension of ElectrochemicalReactions Journal of the Electrochemical Society, 2004,151 (9), E291 – E296.

7.5.2 Bibliografía

• Mandelbrot, Benoît B., The (Mis)Behavior of Mar-kets, A Fractal View of Risk, Ruin and Reward (BasicBooks, 2004)

• Falconer, Kenneth (1985). The Geometry of FractalSets (en inglés). Cambridge University Press.

• Falconer, Kenneth (1997). «2. Review of fractalgeometry». Techniques in Fractal Geometry (en in-glés). John Wiley & Sons. pp. 19-40. ISBN 0 47195724 0.

• Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: mat-hematical foundations and applications (en inglés)(2ª edición). John Wiley & Sons.

7.6 Enlaces externos• Esta obra contiene una traducción derivada de

fractal dimension de Wikipedia en inglés, concre-tamente de esta versión, publicada por sus edito-res bajo la Licencia de documentación libre deGNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.

Capítulo 8

Economía matemática

La economía matemática es la aplicación de métodosmatemáticos para representar teorías y analizar proble-mas en la economía. Por convención, los métodos apli-cados se refieren a aquellos que van más allá de geo-metría simple, como cálculo diferencial e integral, ecua-ciones diferenciales, álgebra de matrices, programaciónmatemática y otros métodos computacionales.[1][2] Unaventaja de este acercamiento es la posibilidad de for-mular las relaciones teóricas con rigor, generalidad ysimplicidad.[3]

Se comenta que las matemáticas dan la posibilidad, alos economistas, de formar proposiciones significativasy comprobables acerca de temas económicos comple-jos y de gran rango, los cuales serían difíciles de ex-plicar de una manera informal. Además, el lenguaje delas matemáticas permite a los economistas generar argu-mentos específicos y positivos acerca de temas contro-versiales o continuos, los cuales serían imposibles sin lasmatemáticas.[4] Gran parte de la teoría económica estárepresentada en términos de modelos económicos mate-máticos, un conjunto de relaciones matemáticas simplesy estilizadas generadas para dar claridad a suposiciones eimplicaciones.[5]

La amplia aplicación de las matemáticas incluyen:

• Problemas de optimización como equilibrio meta,ya sea de un negocio, una empresa, una familia o uncreador de políticas.

• Análisis estático (o de equilibrio) en el que la unidadeconómica (como una familia) o un sistema econó-mico (como un mercado en la economía) es mode-lado como una pieza estática.

• Comparación estática, como el cambio de un equi-librio a otro, inducido por el cambio en uno o másfactores

• Análisis dinámico, seguimiento de cambios en unsistema económico a través del tiempo, por ejemploel crecimiento económico.[2][6][7]

La creación de modelos económicos formales comenzóen el siglo XIX con el uso del cálculo diferencial para re-presentar y explicar el comportamiento económico, co-

mo la maximización de utilidades, una aplicación econó-mica temprana de la optimización matemática. La eco-nomía se convirtió en una disciplina con más contenidomatemático en la primera mitad del siglo XX; sin embar-go, la introducción de nuevas técnicas generalizadas en elperiodo de la Segunda Guerra Mundial, como la teoría dejuegos, ampliaron el uso de las formulaciones matemáti-cas en la economía.[8][7]

Esta rápida sistematización de la economía alarmó a loscríticos de la disciplina, así como a algunos economis-tas relevantes. John Maynard Keynes, Robert Heilbro-ner, Friedrich Hayek y otros han criticado el extenso usode los modelos matemáticos para el comportamiento hu-mano, ya que argumentan que algunas decisiones huma-nas no pueden ser representadas por las matemáticas.

8.1 Historia

El uso de las matemáticas en el análisis económico y so-cial data del siglo 17. En ese tiempo, principalmente enuniversidades alemanas, emergió un estilo de enseñanza,el cual trataba específicamente la presentación detalladade información, ya que tenía gran relación con la adminis-tración pública. Gottfried Achenwall participaba en es-ta tendencia y acuñó el término de estadística. A su vez,un pequeño grupo de profesores de Inglaterra establecie-ron un método de “razonamiento a través de números so-bre los aspectos relacionados al gobierno” y se refirió aesta práctica como un Aritmética Política.[9] Sir WilliamPetty escribió extensamente acerca de problemas que se-rían discutidos tiempo después por los economistas, co-mo la aplicación de impuestos, la velocidad del dineroy el ingreso inicial, sin embargo mientras su análisis eranumérico, el rechazaba el uso de la metodología de ma-temáticas abstractas. El uso de la información numéricadetallada de Petty (junto con John Graunt) influirían enlos estadistas y economistas por un periodo de tiempo,incluso aún cuando el trabajo de Petty era ignorado porlos eruditos ingleses.[10]

La matematización de la economía empezó en la épo-ca temprana del siglo XIX. Una gran parte del análisiseconómico de ese tiempo era lo que después se conoce-ría como economía clásica. Los temas eran preparados

25

26 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

y discutidos a través de métodos algebraicos, sin embar-go el cálculo no era usado. Antes de que se presentara eltrabajo llamado The Isolated Satate de Johann Heinrichvon Thünen en 1826, los economistas no habían genera-domodelos explícitos y abstractos para definir el compor-tamiento, y así aplicar a éste herramientas matemáticas.El modelo de Thünen del uso de los terrenos de cultivorepresenta el primer ejemplo del análisis marginal.[11] Eltrabajo de Thünen era, en su mayoría, teórico, sin embar-go, Johann usó información empírica para poder apoyarsus generalidades. En comparación con los contemporá-neos, Thünen generó modelos y herramientas económi-cas, en lugar de aplicar las herramientas existentes a nue-vos problemas.[12]

Mientras tanto, una nueva corte de eruditos que conocíalos métodos matemáticos de las ciencias físicas se acer-caron a la economía, aplicando y defendiendo aquellosmétodos a su disciplina,[13] y es descrito hoy en día co-mo el movimiento de la geometría a la mecánica.[14] Ésteincluía a W.S. Jevons quien presentó un trabajo sombre“una teoría matemática general de la política económica”en 1862, proveyendo un esquema para el uso de la teoríade la utilidad marginal en la política económica.[15] En1871, Jevons publicó Los principios de la economía eco-nómica, declarando que este tema como ciencia “debe sersimplemente matemático ya que éste trabaja con cantida-des.” Jevons esperaba que solo la recolección de las es-tadísticas de precio y cantidades permitirían a la materiaconvertirse en una ciencia exacta.[16] Otros procedieron ysiguieron expendiendo la representación matemática deproblemas económicos.

8.1.1 Marginalistas y los inicios de la eco-nomía neoclásica

Reaction functionsq1

q2q2

q1

R2(q1)

R1(q2)

Cantidades de equilibrio como solución de las dos funciones enel duopolio de Cournot. Cada función es expresada como unaecuación lineal dependiente de la cantidad demandada.

Augustin Cournot y Léon Walras crearon las herramien-tas de la disciplina axiomáticamente alrededor de la utili-dad, argumentando que los individuos buscan maximizarsu utilidad a través de las elecciones en una manera quepodía ser descrita matemáticamente.[17] En ese tiempo,era pensado que la utilidad era cuantificable, en unida-des conocidas como útiles.[18] Cournot, Walras y FrancisYsidro Edgeworth son considerados los precursores de laeconomía matemática moderna.[19]

Augustin Cournot

Cournot, un profesor de matemáticas, desarrolló, en1838, un tratamiento matemático para los duopolios -unacondición de mercado que se define por la competiciónentre dos empresas vendedoras.[19] Este tratamiento decompetición, publicado por primera vez enResearches in-to the Mathematical Principles of Wealth (Investigacionesen los principios matemáticos de la riqueza),[20] se cono-ce como el duopolio de cournot. Se asume que ambosvendedores tienen una igualdad en el acceso al mercadoy que pueden producir productos sin costo alguno. Des-pués, se asume que ambos producen productos homogé-neos. Cada vendedor cambiaría su producción basándoseen la producción del otro y el precio de mercado sería de-terminado por la cantidad total de productos ofertados.La utilidad de cada empresa sería determinada a travésde multiplicar la producción de cada empresa y el preciode mercado por unidad. Diferenciando la función de uti-lidad con respecto a la cantidad ofrecida de cada firma,arroja un sistema de ecuaciones lineales, la solución si-multanea de éste nos daría una cantidad de equilibrio, unprecio y una utilidad.[21] Las contribuciones de Cournota la matematización de la economía serían abandonadaspor décadas, sin embargo eventualmente éstas influyerona una gran parte de los marginalistas.[21][22] Los modelosde Cournot acerca del duopolio y oligopolio también re-presentan una de las primeras formulaciones de los juegosno cooperativos. Hoy en día, la solución puede ser dadacomo un equilibrio de Nash, sin embargo el trabajo deCournot procedió a la teoría de juegos moderna por másde 100 años.[23]

Léon Walras

Mientras Cournot proveyó una solución a lo que despuésse le llamaría equilibrio parcial, LéonWalras trató de for-malizar la discusión de la economía como una sola a tra-vés de la teoría del equilibrio general. El comportamientode todo actor económico sería considerado en el lado dela producción y del consumo. Walras originalmente pre-sentó cuatro modelos separados de intercambio, cada unose incluía en el siguiente. La solución del sistema de ecua-ciones resultantes (lineales y no lineales) es el equilibriogeneral.[24] En ese momento, una solución general no po-día ser expresada para un sistema de una gran cantidad deecuaciones, sin embargo los intentos de Walras produje-

8.1. HISTORIA 27

ron dos famosos resultados en la economía. El primero esla ley de Walras y el segundo es el principio de tâtonne-ment (tanteo en francés). El método de Walras fue consi-derado por tener un contenido altamente matemático pa-ra la época y Edgeworth comentó ampliamente acerca deeste tema en su reseña de Éléments d'économie politiquepure (Elementos de la economía política pura).[25]

La ley deWalras fue introducida como una respuesta teó-rica al problema de determinar soluciones en el equilibriogeneral. Su notación es diferente a las notaciones moder-nas pero puede construirse usando una moderna notaciónsumatoria. Walras asumió que en el equilibrio, todo el di-nero sería gastado en todos los productos: todos los pro-ductos serían comerciados al precio del mercado de cadaproducto y todos los compradores gastarían hasta su úl-timo dólar en una canasta de productos. Tomando comobase esta suposición, Walras pudo mostrar que si existie-ran n mercados y n-1 mercados compensados (que cuen-ten con las condiciones de equilibrio), ese n mercado ex-tra se compensaría a sí mismo. Esto es más fácil de visua-lizar con dos mercados (considerados en la mayoría de loslibros de texto como un mercado de bienes y un merca-do de dinero). Si uno de los dos mercados ha alcanzadoun estado de equilibrio, ningún bien adicional (ya sea pro-ducto o dinero) puede entrar o salir del segundo mercado,provocando que éste también se encuentre en un estadode equilibrio. Walras usó este argumento para probar laexistencia de soluciones para el equilibrio general, perohoy en día éste se usa para mostrar el concepto de com-pensación de mercados a nivel universitario.[26]

El Tâtonnement (tanteo) estaba enfocado a servir comouna expresión práctica de el equilibrio general de Walras.Walras entendió al mercado como una subasta de bienesen donde el subastador ofertaría al público precios y losparticipantes del mercado esperarían hasta que ellos pu-diesen satisfacer su precio personal fijo para la cantidaddeseada (se debe recordar que es una subasta de todos losbienes, por lo tanto todas las personas tienen un preciopersonal fijado para su canasta de bienes deseada).[27]

Solo cuando todos los compradores están satisfechos co-mo un precio de mercado dado, la transacción ocurre. Elmercado se “compensaría” (no existe superávit o déficit)en ese precio. La palabra tâtonnement es usada para des-cribir la orientación que el mercado toma tanteando haciael equilibrio, mientras se establecen precios altos y bajosen diferentes bienes hasta que el precio se acepta para to-dos los bienes. Mientras este proceso parece dinámico,Walras solo lo presentaba como un modelo estático, enel que ninguna transacción ocurriría hasta que todos losmercados estuviesen en equilibrio. En la práctica, muypocos mercados operan de esta manera.[28]

Francis Ysidro Edgeworth

Edgeworth introdujo elementos matemáticos a la econo-mía, explícitamente en su trabajo llamado Mathematical

Psychics: An Essay on the Application of Mathematics tothe Moral Sciences (Matemáticas Físicas: Un ensayo dela aplicación de las matemáticas a las ciencias morales),el cual fue publicado en 1881.[29] El adoptó el cálculofelicific de Jeremy Bentham al comportamiento econó-mico, permitiendo que el resultado de cada decisión sepudiera convertir en un cambio en la utilidad.[30] Usandoesta suposición, Edgeworth creó un modelo de intercam-bio, basado en tres suposiciones: los individuos se intere-san en sí mismos, los individuos actúan para maximizarla utilidad, y los individuos son libres de recontratar concualquiera independientemente de otros individuos.[31]

Una caja de Edgeworth mostrando la curva de contrato en unaeconomía con dos participantes. Se refiere al núcleo de la eco-nomía en el lenguaje moderno; en la cual existe una cantidadinfinita de soluciones a lo largo de la curva para las economíascon dos participantes.[32]

Dados dos individuos, el conjunto de soluciones dondelos dos individuos pueden maximizar su utilidad es des-crito por la curva del contrato, en lo que es ahora conoci-do como una caja de Edgeworth. Técnicamente, la cons-trucción de una solución de dos personas al problema deEdgeworth no fue desarrollada gráficamente hasta 1924por Arthur Lyon Bowley.[33] La curva del contrato de lacaja de Edgeworth (o más general en cualquiera de las so-luciones al problema de Edgewoth para más actores) esreferida como el núcleo de una economía.[34]

Edgeworth realizó un esfuerzo considerable insistiendoque pruebas matemáticas eran apropiadas para todas lasescuelas del pensamiento económico. Mientras se en-contraba al frente del El diario económico, publicó di-versos artículos en donde criticaba el rigor matemáti-co de investigadores rivales, incluyendo a Edwin RobertAnderson Seligman, un claro escéptico de la economíamatemática.[35] Los artículos se enfocaban en un ir y ve-nir de la incidencia fiscal y la respuesta de los producto-res. Edgeworth notó que un monopolio que produce unbien que tiene una conjunción de la oferta pero no unaconjunción de la demanda (como la clase ejecutiva y tu-rista en un avión, si el avión vuela, ambos asientos vue-lan con el avión) puede bajar los precios mostrados a losconsumidores de uno de los dos bienes si un impuesto esaplicado. El sentido común y un análisis numérico más

28 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

tradicional mostraban indicar que esta afirmación era ab-surda. Seligman insistió en que los resultados que Edge-worth había logrado habían sido una peculiaridad de suformulación matemática. El sugirió que la suposición deuna función de demanda continua y un cambio infinite-simal en los impuestos resultaría en predicciones para-dójicas. Harold Hotelling demostró tiempo después queEdgeworth estaba en lo correcto y que ese mismo resul-tado (una disminución de precio como resultado de unimpuesto) podía ocurrir con una función discontinua dela demanda y cambios amplios en la tasa de impuestos.[36]

8.2 Economía matemática moder-na

Después de 1930, una colección de nuevas herramientasmatemáticas proveniente del cálculo diferencial y ecua-ciones diferenciales, conjuntos convexos y la teoría degrafos fueron desarrolladas para avanzar en la teoría eco-nómica en una manera similar a los nuevos modelos ma-temáticos aplicados anteriormente a la física.[8][37] Elproceso fue conocido tiempo después como el movimien-to de la mecánica a la axiomática[38]

8.2.1 Cálculo diferencial

Vilfredo Pareto analizó a la microeconomía a través detratar a cada decisión realizada por los actores económi-cos como intentos de cambiar la asignación de bienes aotro, buscando la asignación más preferida. Conjuntos deasignaciones podrían ser tratadas como un pareto eficien-te (un término equivalente es pareto óptimo) en donde nopodrían existir intercambios entre actores que pudierangenerar que al menos un individuo tuviera un resultadomejor, sin hacer que otro tuviese un resultado peor.[39] Laprueba de pareto es comúnmente fusionada con el equi-librio Walrasiano o informalmente adscrito a la hipótesisde la mano invisible de Adam Smith.[40] Más bien, la de-claración del pareto fue la primera afirmación formal delo que se conocería como el primer teorema fundamen-tal del bienestar económico.[41] Estos modelos carecíande las inequidades de la siguiente generación de la eco-nomía matemática.En el tratado histórico Foundations of Economic Analysis(Fundamentos del análisis económico) (1947), Paul Sa-muelson indentificó un paradigma común y una estruc-tura matemática a través de diversos campos en la ma-teria, construyendo sobre trabajos anteriores hechos porAlfred Marshall. Los Fundamentos tomaron conceptosmatemáticos de la física y los aplicaron a los problemaseconómicos. Esta visión amplia (por ejemplo, comparan-do el Principio de Le Châtelier con el principio de tâton-nement) empuja la premisa fundamental de la economíamatemática: los sistemas de actores económicos puedenser modelados y su comportamiento puede ser descrito

como cualquier otro sistema. Esta extensión continuó eltrabajo de los marginalistas en el siglo anterior y se exten-dió significativamente. Samuelson abordó los problemasacerca de la maximización de la utilidad individual sobregrupos agregados con la estadística comparativa, la cualcompara dos estados de equilibrio diferentes después deun cambio exógeno en una variable. Éste y otros métodosen el libro proveyeron los fundamentos de la economíamatemática del siglo 20.[7][42]

8.2.2 Modelos lineales

Modelos restringidos de equilibrio general fueron formu-lados por John von Neumann en 1937.[43] A diferenciade versiones anteriores, los modelos de von Heunmanntenían restricciones de inequidad. Para su modelo de unaeconomía en expansión, von Neumann probó la existen-cia y la unicidad de un equilibrio usando su generaliza-ción del teorema del punto fijo de Brouwer. El modelode una economía en expansión de von Neymann conside-raba la matriz lápiz (matrix pencil) A - λ B con matricesA y B positivas; von Neumann buscó vectores de proba-bilidad p y q y un número positivo para λ que solucionarala ecuación adicionalpT (A - λ B) q = 0,junto con dos sistemas de inequidad expresando la efi-ciencia económica. En este modelo, el (transpuesto) vec-tor de probabilidad p representa los precios de los bienesmientras que el vector de probabilidad q representa la “in-tensidad” en la que el proceso de producción funcionaría.Esa única solución λ representaría la tasa de crecimien-to de una economía, la cual sería equivalente a la tasade interés. Probar la existencia de una tasa de crecimien-to positiva, y probar que la tasa de crecimiento es iguala la tasa de interés, fueron logros notables, incluso paravon Neumann.[44] El estudio del modelo de von Neymannde una economía en expansión continúa interesando a loseconomistas matemáticos que tienen intereses en la eco-nomía computacional.[45][46][47]

Economía de insumos-producción

En 1936, el economista nacido en Rusia, Wassily Leon-tief, creó su modelo de análisis de los insumos y la pro-ducción, a partir de tablas de balances de material cons-truidas por economistas soviéticos, las cuales seguían lostrabajos realizados por los fisiócratas. Con este modelo,el cual describía un sistema de producción u proceso dedemanda, Leontief describió como los cambios en la de-manda de un sector económico influenciarían la produc-ción en otro.[48] En la práctica, Leontieg estimó los coe-ficientes de sus modelos simples, para abordar diferentespreguntas económicas interesantes.En la economía de producción, las “tecnologías de Leon-tief” producen bienes usando proporciones constantes deinsumos, a pesar del precio de los insumos, reduciendo el

8.2. ECONOMÍA MATEMÁTICA MODERNA 29

valor de los modelos de Leontief para entender las eco-nomías, pero permitiendo una estimación relativamentesencilla de los parámetros. En contraste, el modelo de vonNeumann de una economía en expansión permite las téc-nicas de elección, pero los coeficientes deben ser estima-dos para cada tecnología.[49][50]

8.2.3 Optimización matemática

El punto rojo en la dirección z muestra el punto máximo de un-paraboloide para la función de insumos (x, y)

En las matemáticas, la optimización matemática (o op-timización, o programación matemática) se refiere a laselección el mejor elemento para un grupo de alternati-vas disponibles.[51] En el caso más sencillo, un problemade optimización envuelve la maximización o minimiza-ción de una función real a través de seleccionar valoresde entrada para la función y calcular los valores corres-pondientes de la función. El proceso de solución inclu-ye la satisfacción de condiciones generales necesarios ysuficientes para la optimización. Para los problemas deoptimización, se puede usar una notación especializadapara la función y los valores de entrada. Generalmen-te, la optimización incluye encontrar el mejor elementodisponible para una función dado un dominio definidoy puede usar una variedad de técnicas de optimizacióncomputacional.[52]

La economía está lo suficientemente vinculada a la opti-mización por los agentes en una economía, por lo cual unadefinición influyente describe relacionado con lo anteriorla ciencia qua economía como “el estudio del comporta-miento humano como una relación entre fines y mediosescasos” con usos alternativos.[53] Los problemas de op-timización se ejecutan a través de la economía moderna,la mayoría con condiciones económicas y téctnicas ex-plícitas. En la microeconomía, el problema de la maxi-mización de utilidad y su problema dual, el problema dela minimización del gasto por un nivel dado de utilidad,son problemas económicos de optimización.[54] La teo-ría postula que los consumidores maximizan su utilidad,sujeta a las limitaciones de presupuesto y que las empre-sas maximizan sus utilidades, sujetas a sus funciones de

producción, los costos de los insumos y la demanda delmercado.[55]

El equilibrio económico es estudiado en la teoría de op-timización como un ingrediente clave para los teoremaseconómicos que, en principio, pueden ser probados con-tra información empírica.[7][56] El desarrollo de proble-mas más recientes ha ocurrido en la programación diná-mica y los modelos de optimización con riesgos e incer-tidumbre, incluyendo las aplicaciones a la teoría del por-tafolio, la economía de la informacíon y la teoría de bús-queda.[55]

Propiedades óptimas para un sistema completo de mer-cado pueden ser señaladas en términos económicos, co-mo en la formulación de los dos teoremas fundamen-tales de la economía del bienestar[57] y en el modeloArrow–Debreu del equilibrio general.[58] Más concreta-mente, muchos problemas son sujetos a soluciones ana-líticas. Muchos otros pueden ser lo suficiente comple-jos para requerir métodos numéricos de solución asisti-dos por softwares.[52] Otros son complejos, sin embargoson lo suficientemente accesibles para permitir la búsque-da de soluciones a través de métods computacionales, enpartícula con los modelos de equilibrio general compu-tacionales para la economía entera.[59]

La programación lineal y no lineal han afectado profun-damente a la microeconomía, la cual había solo conside-rado limitaciones de equidad.[60] Gran parte de los eoc-nomistas matemáticos que han recibido Premions Nobelen economía han conducido investigaciones relevantesusando programación lineal: Leonid Kantorovich, LeonidHurwicz, Tjalling Koopmans, Kenneth J. Arrow, andRobert Dorfman, Paul Samuelson, y Robert Solow.[61]Ambos Kantorovich y Koopmans Dantzig merecían com-partir el premio Nobel por la programación lieanl. Loseconomistas que han conducido investigaciones en la pro-gramación no lineal han también ganado el premio nobel,notablemente Ragnar Frisch junto con Kantorovich, Hur-wicz, Koopmans, Arrow, y Samuelson.

Optimización lineal

La programación lineal fue creada para ayudar a la asig-nación de recursos en una empresa y en las industrias du-rante la década de los años 1930 en Rusia, y durante la dé-cada de los años 1940 en los Estados Unidos. Durante elbloqueo de Berlín, la programación lineal fue usada paraplanear el envío de suministros para prevenir que Berlínsufriera de hambre, después del bloqueo soviético.[62][63]

Programación no lineal

Aumentos en la optimización no lineal con condicionesde inequidad fueron logrados en 1951 por AlbertW. Tuc-ker y Harold Kuhn, quien consideraba el problema de op-timización no lineal:

30 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

Minimizar f ( x ) sujeto a g i( x ) ≤ 0 y h j( x) = 0 dondef (.) es la función a minimizarg i(.) ( j = 1,..., m ) son las funciones de lalimitación de inequidad demh (.) ( j = 1,..., l ) son funciones de las limita-ciones de equidad de l .

Al permitir limitaciones de inequidad, el acercamientode Kuhn–Tucker generalizaron el método clásico delos multiplicadores de Lagrange, en el que (hasta esemomento) había permitido solamente limitaciones deigualdad.[64]

El acercamiento Kuhn–Tucker inspiró investigacionesposteriores en la dualidad de Lagrangian, incluyendo eltratamiento de las limitaciones de inequidad.[65][66] Lateoría de dualidad de la programación no lineal es particu-lamente satisfactoria cuando se aplica a los problemas deminimización convexos, los cuales miestran la teoría dedualidad convexa-analítica de Fenchel and Rockafellar;esta dualidad conveza es particulamente fuerte para fun-ciones poliédricas, como las que se generan en la pro-gramación lineal. La dualidad de Lagrangian y el análisisconvexo son usados diariamente en la investigación deoperaciones, en la programación de las plantas de ener-gía, la planeación de los horarios de producción para lasfábricas y en las características de las rutas de las aerolí-neas (rutas, vuelos, aviones y la tripulación)[65]

Cálculo variacional y control óptimo

La economía dimámica permite los cambios en variableseconómicas en el tiempo, incluyendo los sistemas diná-micos. El problema de encontrar soluciones óptimas pa-ra estos cambios es estudiado en el cálculo variacional yen la teoría del control interno. Antes de la segunda gue-rra mundial, Frank Ramsey y Harold Hotelling usaron elcálculos de variaciones para ese fin.Siguiendo el trabajo de Richard Bellman acerca de la pro-gramación dinámica y la traducción al inglés del 1962 deltrabajo anterior de L. Pontryagin et al.[67] la teoría delcontrol óptimo fue usada más extensamente en la eco-nomía para los problemas dinámicos, especialmente enaquellos relacionados al equilibrio del crecimiento eco-nómico y la estabilidad de los sistemas económicos,[68]del cual un ejemplo de los libros de texto es el consumoóptimo y el ahorro.[69] Una diferencia crucial entre losmoelos deterministras y estocásticos.[70] Otras aplicacio-nes a la teoría del control óptimo incluyen las presentadasen las finanzas, los inventarios y la producción.[71]

Análisis funcional

Fue en el curso de probar la existencia de un equilibrioóptimo en su modelo de 1937 del crecimiento económi-

co que John von Neumann introdujo los métodos de aná-lisis funcional para incluir topología en la teoría econó-mica, en particular, en la teoría del punto fijo a travésde la generalización del teorema del punto fijo de Brou-wer.[8][43][72] Siguiendo el programa de von Neumann,Kenneth Arrow y Gérard Debreu formularon modelosabstractos de los equilibrios económicos usando conjun-tos convexos y la teoría del punto fijo. En la introduc-ción del modelo Arrow-Debreu de 1954, ellos probaronla existencia (pero no la unicidad) de un equilibrio y tam-bién probaron que todo equilibrio Walrasiano es un Pa-reto eficiente, en general, los equilibrios no necesitan serúnicos.[73] En sus modelos, el espacio de vector (original)representaba las cantidades mientras que el espacio dualdel vector representaba los precios.[74]

En Rusia, el matemático Leonid Kantorovich desarrollómodelos económicos en espacios de vectos parcialmenteordenados, que enfatizaban la dualidad entre las cantida-des y los precios.[75] Kantorovich renombró a los precioscomo “valuaciones determinada objetivamente” las cua-les eran abreviadas en ruso como “o.o.o.” haciendo alu-sión a la dificultad de la discusión de precios en la UniónSoviética.[74][76][77]

Incluso en dimensiones finitas, estos conceptos de análisisfuncional han iluminado a la teoría económica, particu-larmente al dar claridad al rol de los precios como vec-tores normales a hiperplanos de soporte de un conjuntoconvexo, representando las posibilidades de produccióny de consumo. Sin embargo, los problemas de describirla optimización a través del tiempo bajo la incertidum-bre requieren el uso de espacios funcionales de dimen-sión infinita, ya que los agentes están eligiendo a travésde funciones o procesos estocásticos.[74][78][79][80]

8.2.4 El declive y la alza diferencial

El trabajo de John von Neumann en el análsis funcional yla topología creó una nueva área en la teoría matemáticay económica.[43][81] Además, éste también dejó la eco-nomía matemática avanzada con pocas aplicaciones decálculo diferencial. En particular, los teóricos del equili-brio general usaron topología general, geometría conve-xa y la teoría de la optimización en mayor manera queel cálculo, ya que el acercamiento del cálculo diferenciahabía fallado al establecer la existencia de un equilibrio.Sin embargo, el declive del cálculo diferencial no debeser exagerado, ya que el cálculo diferencial ha sido usadosiempre en aplicaciones y en la enseñanza de licenciatu-ra. Además, el cálculo diferencial ha regresado a los altosniveles de la economía matemática, la teoría del equili-brio general(GET), practicada por el grupo GET, la de-signación humorosa de Jacques H. Drèze). En los 1960sy 1970s, sin embargo, Gérard Debreu y Stephen Smalelideraron el renacimiento del uso del cálculo diferencialen la economía matemática. En particular, ellos pudie-ron probar la existencia de un equilibrio general en donde

8.2. ECONOMÍA MATEMÁTICA MODERNA 31

otros escritores habían fallado, esto gracias a sus noblesmatemáticas: la categoría de Baire de la topología generaly el lema de Sard de la topología diferencial. Otros eco-nomistas han sido asociados al uso de los análisis diferen-ciales incluyendo a Egbert Dierker, Andreu Mas-Colell,y Yves Balasko.[82][83] Estos avances han cambioado lanarrativa tradicional de la historia de la economía mate-mática, siguiendo a von Neumann, el cual celebró el aban-dono del cálculo diferencial.

8.2.5 Teoría de juegos

John von Neumann, trabajando con Oskar Morgensternen la teoría de juegos creó una nueva área mateáticaen 1944 a través de la extensión de los métodos delanálisis funcional relacionados a los conjuntos comple-jos y a la teoría topológica del punto fijo al análisiseconómico.[8][81] De esta manera, su trabajo evitpo elcálculo diferencial tradicional, para el cual el máximo-operador no aplicada a las funciones no diferenciables.Continuando con el trabajo de von Neumann en la teo-ría del juego cooperativo, los teóricos Lloyd S. Shapley,Martin Shubik, Hervé Moulin, Nimrod Megiddo, BezalelPeleg influenciaron la investigación económica en la po-lítica y la economía. Por ejemplo la investigación en losprecios justos de los juegos cooperativos y los valores jus-tos para los juegos de votos llevaron al cambio de las re-glas de legislación al voto y para la contabilidad de losproyectos con costo público. Por ejemplo, la teoría deljuego cooperativo era usada para diseñar el sistema dedistribución de agua de Suecia del Sur y para fijar tasaspara líneas telefónicas dedicadas en los Estodos Unidos.La teoría neoclásica temprana había limitado solamenteel rango de resultados negociados y en casos especiales,por ejemplo en monopolios bilaterales o junto con la cur-va de contrato de la caja de Edgeworth.[84] Los resulta-dos de von Neumann y Morgenstern fueron similarmentedébiles. Siguiendo el programa de Neumann, sin embar-go, John Nash usó la teoría del punto fijo para probarlas condiciones bajo las cuales el problema de negocia-ción y los juegos no cooperativos podrían generar unasolución de equilibrio único.[85] La teoría de los juegosno cooperativos ha sido adoptada como un aspecto fun-damental de la economía experimental,[86] economía decomportamiento,[87] economía de la información,[88] or-ganización industrial y[89] economía política.[90] Tambiénha incrementado a la materia del diseño de mecanismos(a veces llamada teoría de juegos inversa), la cual tieneaplicaciones privadas y de políticas públicas como mane-ras de mejorar la eficiencia económica a través de incen-tivos para compartir información.[91]

En 1994, Nash, John Harsanyi, y Reinhard Selten reci-bieron el premio nobel memorial en ciencias económicaspor su trabajo en los juegos no cooperativos. Harsanyi ySelten fueron premiados por su trabajo en los juegos derepetición. El trabajo de tiempo después extendió sus re-sultados a los métodos de modelaje computacionales.[92]

8.2.6 Economía computacional basada enagentes

La economía computacional basada en agentes (ACE porsus siglas en inglés) es un campo recientemente nombra-do que data de los años 90. Esta área estudia los procesoseconómicos, incluyendo economías compelas, como sis-temas dinámicos de interacción de agentes en el tiempo.En sí, esta área se encuentra en el paradigma de los sis-temas adaptativos complejos.[93] En los modelos corres-pondientes basados en agentes, los agentes no son perso-nas reales sino “objetos computacionales modelados pa-ra interactuar conforme a reglas”..."sus interacciones amicronivel crean patrones emergentes” en el espacio ytiempo.[94] Las reglas son formuladas para predecir in-teracciones sociales y de comportamiento basada en in-centivos e información. La suposición teórica de la op-timización matemática por agentes del mercado es rem-plazada por los menos restrictivos postulados de agentescon una racionalidad delimitada adaptada a las fuerzasdel mercado.[95]

Los modelos ACE aplican modelos numéricos de análi-sis a simulaciones basadas en computadoras de proble-mas dinámicos complejos para los cuales los métodosmás convencionales, como las formulaciones de teore-mas, pueden no ser útiles.[96] Empezando por las condi-ciones iniciales específicas, el sistema económico compu-tacional es modelado para que evolucione con el tiem-po y es consistente con las interacciones repetidas de losagentes entre sí. En estos ascpectos, la ACE ha sido ca-racterizada como un acercamiento de abajo hacia arribapara el estudio de la economía.[97] En contraste a otrosestándares de modelaje, los eventos de ACE son impul-sados solamente por condiciones iniciales, donde puedeo no existir un equilibrio, o donde las mismas pueden ser(o no ser) localizables. El modelaje ACE, sin embargo,incluye la adaptación de los agentes, la autonomía y elaprendizaje de los agentes.[98] Además tiene una simi-laridad con, y se traslapa, con la teoría de juegos comoun método basado en agentes para modelar interaccionessociales.[92] Otras dimensiones de este acercamiento in-cluyen sujetos económicos estándar como competición ycolaboración,[99] la estructura del mercado y la organiza-ción industria,[100] los costos de transacción,[101] la econo-mía de bienestar[102] y el diseño mecánico,[91] la informa-ción y la incertidumbre[103] y la macroeconomía.[104][105]

Se dice que el método se beneficia de los mejoramien-tos continuos en las técnicas de modelaje de la cien-cia computacional y el incremento de las capacidadescomputacionales. Los problemas que presenta incluyenaquellos presentados en la economía experimentar elgeneral[106] y por comparación[107] y al desarrollo de unmarco de referencia común para la validación empíricay la resolución de preguntas abiertas en el modelaje ba-sado en agentes.[108] El objetivo científico principal delmétodo ha sido descrito como “probar los resultados teó-ricos contra la información real del mindo en maneras

32 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

que puedan permitir apoyar empiricamente que las teo-rías crezcan con el tiempo, con el trabajo de cada investi-gador construyéndose de manera apropieda en el trabajoque ha sido creado con anterioridad.”[109]

8.3 Matematización de la economía

La superficie de la sonrisa de la volatilidad es una superficie en3D en donde la volatilidad implícita del mercado actual (eje z)para todas las opciones es graficada contra el precio y el tiempoa la madurez. (ejes X & Y).[110]

En el curso del siglo 20, artículos en revistasprincipales[111] de economía han sido escritos demanera casi exclusiva por economistas en el mundoacadémico. Como resultado, gran parte del materialtransmitido en estos escritos hace referencia a la teoríaeconómica y señalan que “la teoría económica ha sidocontinuamente más abstracta y matemática”.[112] Unavaloración subjetiva de las técnicas matemáticas[113]usadas en estos escritos muestra un decremento enartículos que no usan representaciones geométricas onotación matemática pasando de ser un 95 % en 1892a un 5.3 % en 1990.[114] Una encuesta del 2007 de diezrevistas económicas encontró que solo el 5.8 % de losartículos publicados en el 2003 y en el 2004 no contabancon un análisis de información estadística y no contabancon expresiones matemáticas desplegadas que fueranindexadas al margen de la página.[115]

8.4 Econometría

Entre las dos guerras mundiales, los avances en la esta-dística matemática y en el área de los economistas conformación matemáticallevó a la econometría, el cual esel nombre propuesto para la disciplina de avanzar la eco-nomía a través de las matemáticas y la estadística. Entrela economía, la econometría ha sido regularmente usada

para los métodos estadísticos económicos, y no para laeconomía matemática. La econometría estadística cuen-ta con la aplicación de análisis por regresiones lineales yseries de tiempo a la información económica.Ragnar Frisch acuñó el término de econometría y ayu-dó a fundar la Econometric Society en 1930 y la revis-ta Econometrica en 1933.[116][117] Como estudiante deFrisch, Trygve Haavelmo publicó “El acercamiento de laprobabilidad a la econometría” en 1944, en donde el ase-veraba que la práctica del análisis estadístico podría serusado como una herramienta para validad las teorías ma-temáticas acerca de los actores económicos con informa-ción proveniente de fuentes complejas.[118] Este víncu-lo entre el análsis estadístico de los sistemas de la teo-ría económica también fue promulgado por la ComisiónCowles (ahora Fundación Cowless) entre los años 1930 y1940.[119]

8.4.1 Trabajos iniciales en la econometría

Los inicios de la econometría moderna pueden seguir-se hasta el economista estadounidense Henry L. Moore.Moore estudió la productividad de la agricultura e inten-to adaptar a través de cambiar valores de productividadpor parcelas de maíz y otros cultivos a una curva usan-do diferentes valores de elasticidad. Moore realizó varioserrores en su trabajo, algunos por su elección de mode-los y otros generados por su limitación en el uso de lasmatemáticas. La precisión de los modelos de Moore tam-bién está limitada por la poca información que era pro-veída por las cuentas de los Estados Unidos en ese tiem-po. Mientras que sus primeros modelos de produccióneran estáticos, en 1925 él publicó un modelo dinámicode equilibrio en movimiento designado a explicar los ci-clos de las empresas-esta variación periódica de sobreco-rrección en la curva de la demanda y oferta es ahora co-nocido como el modelo de Cobweb. Una derivación másformal de sus modelos fue producida tiempo después porNicholas Kaldor, quien es acreditado de gran manera porsu exposición.[120]

8.5 Aplicación

Una gran parte de la economía clásica puede ser presenta-da en términos geométricos simples o en notación mate-mática elemental. Sin embargo, la economía matemáticaconvencionalmente hace uso del cálculo y del álgebra dematrices en el análisis económico para poder hacer argu-mentos más fuertes, los cual sería complicado de reali-zar sin el uso de estas herramientas matemáticas. Estasherramientas son requisitos previos para el estudio for-mal, no solo en la economía matemática, sino también enla teoría económica contemporánea en general. A menu-do, los problemas económicos envuelven una gran can-tidad de variables, lo que convierte a la matemática en

8.6. CLASIFICACIÓN 33

LM

IS1

IS2

i

YY1 Y2

i2

i1

El modelo IS/LM es un modelo macroeconómico Keynessianocreado para realiza predicciones acerca de la intersección de laactividad económica real (gasto, ingreso, ahorro) y las decisio-nes hechas en los mercados financieros (oferta de dinero y lapreferencia por la liquidez). El modelo no es ampliamente usadoen cursos de posgrado, sin embargo es común verlo en clases demacroeconomía de nivel licenciatura.[121]

una manera de atacar y resolver estos problemas. AlfredMarshall argumentó que todos los problemas económi-cos que pueden ser cuantificados, resueltos y expresadosanalíticamente, deben ser tratados a través de trabajosmatemáticos.[122]

La economía se ha convertido dependiente de los méto-dos matemáticos y las herramientas matemáticas que em-plea se han sofisticado. Como resultado, las matemáticasse han convertido considerablemente importantes paralos profesionales en la economía y las finanzas. Los pro-gramas de licenciatura en economía y finanzas requierenuna preparación amplia en matemáticas para el entendi-miento y es gracias a esto que estas áreas han atraído a ungran número de matemáticos. Los matemáticos aplicanprincipios matemáticos a problemas prácticos, como elanálisis económicos y otros problemas relacionados conla economía, y otros problemas económicos son integra-dos en el estudio de las matemáticas aplicadas.[17]

Esta integración genera la formulación de problemas eco-nómicos como modelos estilizados con suposiciones cla-ras y predicciones falsables. Estos modelos pueden ser in-formales o prosaicos, como el encontrado en “La riquezade las naciones” de Adam Smith, o formales, rigurosos ymatemáticos.Hablando ampliamente, los modelos formales económi-cos pueden ser clasificados como estocásticos o determi-nísticos y como discretos o continuos. En un nivel prác-tico, el modelo cuantitativo es aplicado a muchas áreasde la economía y otras metodologías han evolucionadoindependiente entre sí.[123]

• Modelos estocásticos son formulados usando proce-sos estocásticos. Estos modelan valores observableseconómicamente en el tiempo. La mayor parte de laeconometría se basa en la estadística para formulary probar hipótesis acerca de estos procesos, o es-timar parámetros para estos. Entre las dos guerrasmundiales, Herman Wold desarrolló una represen-tación de los procesos estocásticos estacionarios entérminos demodelos auto regresivos y una tendenciadeterminista. Wold y Jan Tinbergen aplicaron aná-lisis de serie de tiempo a la información económi-ca. Investigación contemporánea en la estadística deseries de tiempo consideraba formulaciones adicio-nales de procesos estacionarios, como los modelosde promedios móviles auto regresivos. Modelos másgenerales incluyen modelos de condiciones auto re-gresivas de heteroscedasticidad (ARCH) y modelosgeneralizados ARCH (GARCH).

• Modelos matemático no estocásticos son puramentecualitativos (por ejemplo, los modelos envueltos enalgunos aspectos de la teoría de la elección social) ocuantitativos (envuelven la racionalización de varia-bles financieras, por ejemplo las coordenadas hiper-bólicas, y/o formas específicas de relaciones funcio-nales entre variables). En algunos casos las predic-ciones económicas de un modelo se limitan a esti-mar la dirección del movimiento de variables econó-micas, y por lo tanto las relaciones funcionales sonusadas solo en el sentido cualitativo: por ejemplo,si el precio de un producto se incrementa, entoncesla demanda por ese producto disminuirá. Para es-tos modelos, los economistas usan gráficos de dosdimensiones en lugar de funciones.

• Los modelos cualitativos son ocasionalmente usa-dos. Un ejemplo es la planificación cualitativa de es-cenarios en la cual los eventos futuros probables sonmostrados. Otro ejemplo es el análogos no numéri-co de árbol. Los modelos cualitativos sufren de pocaprecisión.

8.6 Clasificación

Según la Mathematics Subject Classification (MSC, laclasificación matemática por materia), los economistasmatemáticos se encuentran en la clasificación de Appliedmathematics/other (matemáticas aplicadas y otros) de lacategoría 91:

Teoría de juegos, economía y ciencias socialesy de comportamiento, economics, social andbehavioral sciences

con las clasificaciones de MSC2010 para la teoría de jue-gos 91Axx y por la economía matemática 91Bxx.

34 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

La serie del “Manual de la economía matemática”, queactualmente cuenta con cuatro volúmenes, hace una dis-tinción entre métodos matemáticos en la economía, v. 1,Parte I, y áreas de la economía en otros volúmenes dondelas matemáticas son usadas.[124]

Otra fuente con una distinción similar es “El nuevo Pal-grave: Un diccionario de economía (1987, 4 volúmenes,1,300 entradas de información). En este, un "índice pormateria” incluye entradas matemáticas bajo 2 títulos(vol.IV, pp. 982–3):

Economía matemática (24 enlistados, como“aciclicidad”, “problema de agregación ",“estadística comparativa”, “ordenamien-tos lexicográficos”, “modelos lineales”,"ordenamientos", y “economía cualitativa”)Métodos matemáticos (42 enlistados, como“variaciones del cálculo”, “teoría de la catástro-fe”, “combinaciones,” “cálculo del equilibriogeneral”, “convexidad”, “programación conve-xa”, y “control óptimo estocástico”).

Un sistema con gran uso en la economía que incluye losmétodos matemáticos en la materias es la clasificaciónde códigos JEL. Ésta se originó en el Diario de Lite-ratura Económica para clasificar nuevos libros y artícu-los. Las categorías relevantes se encuentran listadas en laparte inferior (versión simplificada para omitir “Miscelá-nea” y “otros” códigos JEL), como una reproducción delos códigos de clasificación JEL Métodos matemáticos ycuantitativos subcategoría JEL:C. El Nuevo Diccionariode Economía de Palgrave (2008, 2nd ed.) también usa loscódigos JEL para clasificar los artículos. Los pies de pági-na correspondientes tienen links a abstractos del “Nuevopalgrave online” para cada categoría dde JEL (10 o me-nos por página, es similar a las búsquedas de Google).

JEL: C02 - Métodos matemáticos (continuan-do a JEL: C00 - General y JEL: C01 - Econo-metría)

JEL: C6 - Métodos matemáticos Modelosde programación; Modelaje matemático y desimulaciones[125]

JEL: C60 - GeneralJEL: C61 - Técnicas de optimi-zación: Modelos de programación;Análisis dinámico[126]JEL: C62 - Condiciones deexistencia y estabilidad para elequilibrio[127]JEL: C63 - Técnicas computacio-nales; modelaje de simulación[128]JEL: C67 - Modelos de insumos-producciónJEL: C68 - Modelos de equilibriogeneral computacionales[129]

JEL: C7 - Teoría de juegos y teoría deBargaining[130]

JEL: C70 - General[131]JEL: C71 - Juegos cooperativos[132]JEL: C72 - Juegos nocooperativos[133]JEL: C73 - Juegos dinámicos y es-tocásticos; Juegos evolutivos; Jue-gos de repetición[134]JEL: C78 - Teoría de Bargaining;Teoría de búsqueda y empareja-miento[135]

8.7 Crítica y defensa

8.7.1 Adecuación de las matemáticas parala economía compleja y cualitativa

Friedrich Hayek sostenía que el uso de técnicas formalesproyectaba una exactitud científica que no era apropia-da debido a las limitaciones de información a la que seencuentran los agentes económicos reales.[136]

En una entrevista, el historiador económico Robert Heil-broner comentó[137]

Yo creo que el acercamiento científico co-menzó a penetrar y a dominar la profesión enlos veinte o treinta años pasados. Esto se gene-ró en parte por la “invención” del análisis ma-temático de varios tipos y, por su puesto, losavances considerables en esta área. Esta es laera en la que no solo tenemos más información,sino además contamos con un uso más sofisti-cado de la misma. Por lo tanto, existe un gransentimiento de que esta ciencia está orientadapor datos y cuenta con un compromiso con losdatos, lo cual, por virtud de los números abso-lutos, las ecuaciones absolutas y la búsqueda deuna página de un diario, tienen un cierto pare-cido a la ciencia...Esta actividad central parececientífica. Yo comprendo eso. Yo pienso queesta es genuino. Este acercamiento es una leyuniversal. Sin embargo, parecer una ciencia esdiferente a ser una.

Heilbroner comentó que “una gran parte de la economíano tiene naturaleza cuantitativa y, por lo tanto, no se prestaa una exposición matemática”.[138]

8.7.2 Prueba de predicciones de la econo-mía matemática

El filósofo Karl Popper discutió la postura científica de laeconomía en los años 1940 y 1950. El argumentaba que la

8.8. ECONOMISTAS MATEMÁTICOS 35

economía matemática sufría de ser tautológica. En otraspalabras, en la medida en la que la economía se conviertaen una teoría matemática, la economía matemática de-jará de basarse en impugnaciones empíricas para pasar aser basada en pruebas matemáticas.[139] De acuerdo conPopper, suposiciones falsables pueden ser probadas porexperimento y observación, mientras que las suposicio-nes no falsables pueden ser exploradas matemáticamen-te para sus consecuencias y por la consistencia con otrassuposiciones.[140]

Siguiendo la posición de Popper acerca de las suposicio-nes en la economía en general, y no solo en la economíamatemática, Milton Friedman declaró que “todas las su-posiciones son irreales”. Friedman propuso que se juzga-ran los modelos económicos por su desempeño predic-tivo en lugar de su parecido entre las suposiciones y larealidad.[141]

8.7.3 Economía matemática como una for-ma de matemáticas pura

Considerando la economía matemática, J.M. Keynes es-cribió en “La Teoría General":[142]

Es una gran critica de los métodos simbó-licos seudo-matemáticos de formalizar un sis-tema de análisis económico... que ellos han ex-presado asumiendo una independencia estrictaentre los factores envueltos y una pérdida defuerza y autoridad si esta hipótesis es anula-da; mientras tanto, en el discurso ordinario, endonde no existe una manipulación siega y te-nemos conocimiento en todo momento de loque estamos haciendo y de lo que las palabrassignifican, podemosmantener " en la parte pos-terior de nuestras cabezas” las reservas necesa-rias, las calificaciones y los ajustes que se haránen el futuro, en la manera en la que nosotros nopodemos mantener diferencias parciales com-plicadas “en la parte de atrás” de varias pági-nas de álgebra que asumimos se desvanecerán.Una gran proporción de la economía matemá-tica tienen mezclas, imprecisas como las supo-siciones iniciales, que permiten al autor al autorperder visión de la complejidad y las interde-pendencias del mundo real en un laberinto desímbolos pretenciosos y poco útiles.

8.7.4 Defensa de la economía matemática

En respuesta a los criticismos, Paul Samuelson argumen-tó que las matemáticas son un lenguaje, repitiendo la te-sis de Josiah Willard Gibbs. En la economía, el lengua-je de las matemáticas es, en algunas ocasiones, necesa-rio para representar problemas sustanciales. Además, la

economía matemática ha generado avances conceptua-les en la economía.[143] En particular, Samuelson dio unejemplo de la microeconomía, escribiendo que “pocaspersonas son suficientemente ingeniosas para compran-der sus partes más complejas sin usar un lenguaje ma-temáticos, mientras que la mayoría de los individuos or-dinarios pueden hacerlo fácilmente con el apoyo de lasmatemáticas.”[144]

Algunos economistas comentan que las economía mate-mática merece apoyo, como es el caso de otras divisionesde las matemáticas, particularmente en sus “vecinos” enla optimización matemática y la estadística matemática,y, de manera incremental, en la ciencia computacionalteórica. La economía matemática y otras ciencias mate-máticas tienen una historia en la que los avances teóricoshan contribuido a reformar, de manera regular, las ramasmás aplicadas de la economía. En particular, siguiendoel programa de von Neumann, la teoría de juegos ahoraprovee de los fundamentos para describir una gran par-te de la economía aplicada, desde la teoría de decisionesestadísticas (como un juego en contra de la naturaleza)y la econometría en la teoría de equilibrio general y deorganización industrial. En la última década, con el apo-geo del Internet, los economistas matemáticos, los exper-tos en optimización y los científicos computacionales hantrabajado en problemas de precios para los servicios enlínea, sus contribuciones usan matemáticas de la teoría dejuegos cooperativos, la optimización no diferencial y losjuegos combinacionales.Robert M. Solow concluyó que la economía matemáticaera el núcleo de la infraestructura de la economía con-temporánea:

La economía ya no es un tema de con-versación para damas y caballeros. Ésta se haconvertido en una materia técnica. Como cual-quier materia técnica, ésta atrae a algunas per-sonas que están más interesadas en la técnicaque en la materia. Esto es muy malo, pero pue-de ser inevitable. En este caso, no te engañes ati mismo: el núcleo técnico de la economía esla estructura indispensable para la política eco-nómica. Éste es el porqué, si tu consultas [unareferencia en la economía contemporánea] enbusca de información acerca del mundo actual,tu serás guiado a la economía técnica, o a lahistoria o a nada en concreto.[145]

8.8 Economistas matemáticos

Los economistas matemáticos prominentes incluyen, pe-ro no están limitados, a los siguientes: (por el siglo en elque nacieron)

36 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

8.8.1 Siglo 19

• Enrico Barone

• Antoine Augustin Cournot

• Francis Ysidro Edgeworth

• Irving Fisher

• William Stanley Jevons

8.8.2 Siglo 20

• Charalambos D. Aliprantis

• R. G. D. Allen

• Maurice Allais

• Kenneth J. Arrow

• Robert J. Aumann

• Yves Balasko

• David Blackwell

• Lawrence E. Blume

• Graciela Chichilnisky

• Bernard Cornet

• George B. Dantzig

• Gérard Debreu

• Jacques H. Drèze

• David Gale

• Nicholas Georgescu-Roegen

• Roger Guesnerie

• Frank Hahn

• John C. Harsanyi

• John R. Hicks

• Werner Hildenbrand

• Harold Hotelling

• Leonid Hurwicz

• Leonid Kantorovich

• Tjalling Koopmans

• David M. Kreps

• Harold W. Kuhn

• Edmond Malinvaud

• David Luenberger notable por optimización y con-trol

• Andreu Mas-Colell

• Eric Maskin

• Nimrod Megiddo

• Jean-François Mertens

• James Mirrlees

• Roger Myerson

• John Forbes Nash, Jr.

• John von Neumann

• Edward C. Prescott

• Roy Radner

• Frank Ramsey

• Donald John Roberts

• Paul Samuelson

• Thomas Sargent

• Leonard J. Savage

• Herbert Scarf

• Reinhard Selten

• Amartya Sen

• Lloyd S. Shapley

• Stephen Smale

• Robert Solow

• Hugo F. Sonnenschein

• Albert W. Tucker

• Hirofumi Uzawa

• Robert B. Wilson

• Hermann Wold

• Nicholas C. Yannelis

8.9 Véase también• Modelo económico

• Portal:Economía

• Modelo estadístico

• Matemáticas

• Lógica matemática

• Economía

8.10. REFERENCIAS 37

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42 CAPÍTULO 8. ECONOMÍA MATEMÁTICA

as those which conveyed the subject of the piece withoutnotation from geometry, algebra or calculus.

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• Mathematical Economics and Financial Mathema-tics en Open Directory Project.

• Erasmus Mundus Master QEM - Models and Met-hods of Quantitative Economics, The Models andMethods of Quantitative Economics - QEM

Capítulo 9

Microeconomía

Price

Quantity

D2D1

S

Q2Q1

P1

P2

El modelo de oferta y demanda describe como varían los preciossegún el balance entre disponibilidad del producto a diferentesprecios (oferta) y los deseos de aquellos con poder adquisitivo se-gún el precio (demanda). La gráfica muestra un desplazamientoa la derecha de D1 a D2 con el correspondiente incremento en elprecio y en la cantidad requerida para alcanzar un nuevo puntode equilibrio en el mercado en la curva de oferta (S).

La microeconomía es una parte de la economía queestudia el comportamiento económico de agentes eco-nómicos individuales, como son los consumidores, lasempresas, los trabajadores y los inversores; así como delos mercados. Considera las decisiones que toma cadauno para cumplir ciertos objetivos propios. Los elemen-tos básicos en los que se centra el análisis microeconómi-co son los bienes, los precios, los mercados y los agenteseconómicos. En contraposición, la macroeconomía es laparte de la teoría económica que se encarga del estudiogeneral de la economía, mediante el análisis de las varia-bles agregadas como el monto total de bienes y serviciosproducidos, el total de los ingresos, el nivel de empleo,de recursos productivos, la balanza de pagos, el tipo decambio y el comportamiento general de los precios.

9.1 Introducción a la microecono-mía

La microeconomía tiene varias ramas de desarrollo de lascuales las más importantes son: la teoría del consumidor,la de la demanda, la del productor, la del equilibrio gene-ral, y la de los mercados de activos financieros.Estas ramas o subdisciplinas no pueden considerarse en-teramente separadas porque los resultados de unos as-pectos influyen sobre los otros (en particular la teoría delequilibrio general habla de la interacción entre ellas). Porejemplo, las empresas no solo ofertan bienes y servicios,sino que también demandan bienes y servicios para poderproducir los suyos. La microeconomía propone modelosmatemáticos que desarrollan ciertos supuestos sobre elcomportamiento de los agentes económicos, las conclu-siones a la que se llegue usando esos modelos solo se-rá válida, en tanto en cuanto, se cumplan los supuestos,cosa que no ocurre siempre, especialmente si se trata desupuestos muy fuertes o restrictivos.Una de las incorporaciones más importantes al estudiode la microeconomía es la llamada teoría de juegos. Lateoría de juegos es una teoría matemática que estudia elcomportamiento de varios agentes cuando las decisionestomadas por cada uno influyen en qué medida cada unologra los objetivos que desea. Se usa, por ejemplo, en lateoría de la producción industrial, para estudiar los casosde oligopolio y de competencia imperfecta.

9.2 La teoría del consumidor

La teoría del consumidor parte de las preferencias de unindividuo y tiene como objeto determinar qué elecciónrealizará un consumidor entre los bienes que tiene dis-ponibles y los que puede adquirir con los recursos quedispone. En lo que sigue y, a menos que luego se diga locontrario, todo lo dicho se referirá a la teoría del consumi-dor a la teoría neoclásica habitual. Debe tenerse presenteque otros enfoques microeconómicos rechazan algunossupuestos que se requieren por ejemplo para afirmar laexistencia de una curva de demanda para un consumidorconcreto.

44

9.2. LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR 45

9.2.1 Las preferencias del consumidor

Los consumidores tienen preferencias sobre los bienes yservicios, esto es, dadas dos colecciones de bienes, tam-bién llamadas cestas de bienes (en las que, de cada tipode bien puede haber cero, uno u otra cantidad de bienes,incluso una cantidad no entera) un consumidor preferiráa una sobre la otra (también puede ser indiferente entreellas), si le dieran a escoger entre ambas. Por ejemplo, sile dieran a escoger entre una cesta de bienes y otra, quefuera igual a la anterior oferta, pero se le hubiera añadidoalgún bien más que le gustara al consumidor, o si hubieramás cantidad de alguno de los bienes que lleva la primera,generalmente preferiría, la segunda cesta.Se supone entonces, que para la mayoría de los consu-midores habrá unas preferencias que podrían manifestarpara cualquier conjunto de cestas que se les presentara.Cada consumidor tendría sus preferencias y no tendríanpor qué coincidir con las de otro, aunque pueden. Sin em-bargo, se espera que para la mayoría de los consumidoresesas preferencias sí que tengan unas propiedades comu-nes. Algunas de esas propiedades serían:

• Completitud: el consumidor podría clasificar todolos tipos de cestas, es decir todos los conjuntos deindiferencia no tienen fisuras.

• Universalidad: Dado cualquier par de cestas imagi-nable en una economía, un consumidor siempre po-dría decir si prefiere una cesta a otra. Nótese que esposible también que no pueda considerar a una cestarealmente mejor que la otra, pero se espera que pue-da decir que una cesta es al menos tan buena como laotra. Es decir, no se necesitará que la preferencia seasiempre estricta, sino que dadas cualquiera dos ces-tas, el consumidor pueda siempre decir, o bien quelo mismo le da la una que la otra, o que considerauna de las dos mejor que la otra.

• Transitividad: Generalmente, si un consumidorprefiere la cesta A a la cesta B, y la cesta B a la C,también debería preferir la cesta A a la C.

• Monotonicidad: Si una cesta A tiene los mismosbienes que otra cesta B, y alguno más, o bien mayorcantidad de alguno de ellos, entonces A se prefiere ose considera al menos tan buena como B

• Convexidad: Se espera, aunque este supuesto es al-go restrictivo, que dadas dos cestas A y B de bie-nes, se prefiera a ambas una cesta C que fuera unacombinación convexa de ambas. Es decir, una cestaque se compusiera en un porcentaje de las cantida-des de cada uno de los bienes presentes en A y en elresto del porcentaje (hasta completar el 100%) delas cantidades de los bienes de B. Este supuesto es-tá relacionado con el principio de utilidad marginaldecreciente.

9.2.2 La restricción presupuestaria

Teniendo en cuenta que los bienes tienen precios, y con-siderando estos datos, está claro que un consumidor nopuede conseguir trivialmente la cesta que prefiera de en-tre todas las posibles. Si tenemos en cuenta además de losprecios de los bienes la renta disponible del consumidor,tenemos lo que se llama la restricción presupuestaria. És-ta es la que nos indica qué cestas de bienes son las que elconsumidor puede elegir y conseguir, teniendo en cuentael dinero de que dispone y los precios del mercado. Lamisión del consumidor será entonces conseguir de entretodas esas cestas aquella que él prefiera a todas las de-más (o alguna de las cestas que él considere que son almenos tan buenas como todas las demás). Encontrar estoes lo que se llama maximización del consumidor. Gene-ralmente, es habitual que la cesta elegida del consumidorse encuentre en la frontera de la restricción presupuesta-ria, es decir, que sea una cesta cuyo valor (multiplicandolos precios de los bienes por las cantidades de estos en lacesta) sea exactamente igual a la renta disponible del con-sumidor. Por tanto, el consumidor siempre elegirá la cestaque le proporcione la máxima utilidad, la que le produzcael mayor bienestar posible.

9.2.3 La función de utilidad

Una forma de representar las preferencias, cuando éstastienen las propiedades adecuadas, es mediante lo que sellama una función de utilidad. En este caso, las canastasde bienes se pueden representar también como vectoresnuméricos, en que cada componente del vector nos dicequé cantidad de cada bien hay en esa cesta. Introduciendodos vectores de bienes en una misma función de utilidady viendo qué números nos devuelve esta, es posible versi una canasta es preferida a la otra o considerada comoigual a la otra desde el punto de vista del consumidor. En-tonces, el problema del consumidor podría considerarsecomo el problema matemático de maximizar una funciónmatemática (a menudo de varias variables), que sería lafunción de utilidad, dentro del conjunto representado ma-temáticamente por todas las canastas de bienes (vectores)que cumplieran la restricción presupuestaria, esto es, quesu valor (resultado de multiplicar el vector de bienes dela canasta por el vector de los precios correspondientes)fuera igual o menor que el valor de la renta disponible.Nótese que la función de utilidad se considera una fun-ción monótona creciente de los bienes, pero que su valores puramente ordinal, esto es, sirve para ordenar canas-tas , pero no para decir cuánto es mejor una canasta queotra, esto es, no es una función cardinal. De hecho, pue-den usarse distintas funciones de utilidad para represen-tar unas mismas preferencias, y al resolver el problemade maximización todas darían el mismo resultado.

46 CAPÍTULO 9. MICROECONOMÍA

9.2.4 Las curvas de indiferencia

Otra cuestión de importancia en el estudio de la teoría delconsumidor son las llamadas curvas de indiferencia. Unacurva de indiferencia representaría a todas las cestas quepara una función de utilidad dada tienen el mismo valor.Las curvas de indiferencia son el conjunto de puntos decombinaciones de bienes para los que la satisfacción delconsumidor es idéntica, es decir que para todos los puntospertenecientes a una misma curva, el consumidor no tie-ne preferencia por la combinación representada por unosobre la combinación representada por otro. La satisfac-ción del consumidor se caracteriza mediante la funciónde utilidad en la que las variables son las cantidades decada bien representadas por el valor sobre cada eje.La principal utilización de las curvas de indiferencia esencontrar los puntos de maximización de la utilidad al su-perponerlas con las restricciones presupuestarias del con-sumidor, que define los puntos al alcance de cada indivi-duo dependiendo de su disponibilidad en unidades mo-netarias.Por otro lado la relación marginal de sustitución nosinforma de cuanto es capaz de intercambiar un consu-midor de un bien por otro de manera que su utilidad semantenga igual.

9.2.5 Los tipos de bienes

Se puede estudiar cómo cambian las soluciones al proble-ma del consumidor cuando cambian los parámetros de lafunción de utilidad o bien cambian los precios o la rentadisponible del consumidor. Por ejemplo, si cambia el pre-cio de uno de los bienes, el cambio en la pendiente de larestricción presupuestaria llevará a cambiar de cesta debienes escogida, en la que el bien cuyo precio ha cam-biado, también cambiará en cantidad (y posiblemente lasde otros de los bienes también cambien). Según el efectoque se produzca, se puede clasificar a los bienes. Así, nor-malmente los bienes disminuyen en cantidad demandadacuando aumenta su precio, aunque existen excepciones aesto, en las que aumentan (llamados bienes giffen). Loque hace que un bien cambie es la suma de dos efectos,el efecto renta y el efecto sustitución.El efecto renta es el derivado del hecho de que al aumen-tar un precio, en cierto modo, es como si se perdiera ren-ta, mientras que el efecto sustitución está relacionado concomo el consumidor puede tender a sustituir el consumode un bien por el de otro. Si aumenta el precio del bien,el efecto renta tenderá a hacer que disminuya su con-sumo, pero el efecto sustitución puede afectarle de dosmaneras. Normalmente tenderá a hacer que también dis-minuya, porque el consumidor también vaya a consumirotro tipo de bienes que su precio no haya cambiado, peroen otras ocasiones podría ser que hiciera que aumentara.Nombrando lo anterior en términos marshalianos, pode-mos decir que se sustituye el valor de la mercancía suce-

dida por dinero equivalente, logrando así, que el consu-midor tenga el mismo nivel de satisfacción con una curvadiferente. En este último caso tendríamos lo que se lla-ma un bien inferior (uno cuyo efecto sustitución tiende aaumentar el consumo cuando el precio sube). Si, en cam-bio, el efecto de sustitución fuera del mismo signo que elefecto renta, estaríamos ante un bien normal. Pero es lasuma de los dos efectos lo que produciría el efecto total.En el caso de los bienes normales, el efecto renta hará quesu consumo disminuya al aumentar el precio, y tambiénocurrirá así con los bienes inferiores, excepto cuando, enel caso de algunos de estos últimos, el efecto sustituciónllegara a ser más fuerte que el del efecto renta, y por tan-to tendríamos un bien giffen. Cuando aumenta la renta ylos precios permanecen constantes, los bienes normalestienden a aumentar en consumo mientras que disminuyeel de los bienes inferiores.Nótese que hemos mencionado que cuando sube el preciobajará el consumo de un bien, el análisis es completamen-te simétrico cuando baje el precio, es decir, aumentará elconsumo con las particularidades ya dichas en los párra-fos anteriores. Se ha de saber también que el consumo,por supuesto, también variará con la renta disponible, au-mentando o disminuyendo conforme lo haga ésta, hastaque se alcance para los bienes lo que se llama punto desaciedad, que sería el máximo posible para la función deutilidad, un punto más allá del cual al consumidor ya nole interesaría tener más de ninguno de los bienes.Otra forma en que se relacionan los bienes unos con otroses como complementarios o como sustitutivos. Los com-plementarios tienden a compartir el mismo destino cuan-do sube o baja el precio de uno de ellos, mientras que esal contrario en el caso de los sustitutivos.También es posible considerar algunos bienes como ma-les, cuyo consumo produce desutilidad o utilidad negati-va. Los males serían aquellos de los cuales al consumi-dor, al contrario que los otros, estaría interesado en tenerlo menos posible. Por ejemplo, en ciertos análisis micro-económicos se puede presentar el salario como un bien yel trabajo como un mal y tener que estudiar la decisión deoptimizar el tiempo teniendo en cuenta la restricción, esdecir, más horas de trabajo (mal) producen más salario(bien) y el límite, restricción presupuestaria, es el tiempodisponible por un trabajador hipotético.

9.2.6 La curva de demanda

La teoría de la demanda puede derivarse de la del consu-midor, esto es, agregando las demandas individuales deun bien y viendo cuánto sería el total demandado paracada precio por cada consumidor. Esto nos llevaría a lacurva de demanda total del bien, que generalmente se re-presenta como una curva descendente (pendiente nega-tiva), debido a que en el eje de ordenadas se representael precio, y en el de abscisas la cantidad de bien deman-dada. Significa que cuanto menor es el precio, mayor es

9.3. LA TEORÍA DEL PRODUCTOR 47

la cantidad demandada. La fórmula matemática simplifi-cada que resume este concepto, que expresa la demandacomo una recta es la siguiente: Qd = a − bp , donde Prepresenta el precio y a y b son constantes.

9.2.7 Representación matemática del pro-blema del consumidor

La microeconomía se estudia de forma matemática,usando modelos que eviten la ambigüedad del lenguajehablado. La mayor parte de los desarrollos y estudios dela teoría del consumidor tienen como base el siguienteproblema que se representa así:max U(x1, x2, · · · , xn)

s.a :∑n

i=1 pixi ≤ M

El significado de este problema es el siguiente: Se tratade maximizar, esto es, obtener el valor máximo de unafunción, el más alto de todos los que puede dar, así comoqué valores son los que producen ese máximo. En estecaso sería el de U , que es la función de utilidad de unconsumidor, que se supone que depende de los valoresde las cantidades de los n bienes (representados por lasvariables xn desde el valor 1 hasta n ). Hay un límite alos valores que esas variables pueden tomar, el cual estádefinido por la restricción ( s.a quiere decir 'sujeto a' )de que como mucho el valor total de la cesta de bienespuede ser igual a M , que sería la renta disponible total.Esto es si multiplicamos los precios de cada bien por cadacantidad de bien (los pn ), y lo sumamos, y así obtenemosel valor de una cesta de bienes, y ese valor tiene que sermenor o igual (≤ ) deM , el valor de la renta disponible.Este modelo se resuelve usando una técnica matemáticallamada de los Multiplicadores de Lagrange (si se suponeque finalmente se consumirá toda la renta disponible, loque equivale a suponer que

∑ni=1 pixi = M ) o bien el de

las Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, si se cree quepuede que sobre renta (caso en el que mantenemos que larestricción es del tipo ≤ ).Las soluciones que se obtienen nos sirven para el aná-lisis anteriormente dicho, para obtener cómo reacciona-rían las cantidades demandadas si cambiaran los precios,y es posible estudiar también, mediante modificacionesa este problema básico, qué ocurre si se introducen im-puestos sobre la renta, impuestos indirectos, subvenciones,que sucedería si consideramos el ahorro como un bien,que ocurre si consideramos también bienes cuyo valor esincierto (como en el caso de activos financieros), etcéte-ra, y ver cómo influyen no solo sobre la cantidad de bienconsumida sino también sobre la utilidad que recibe elconsumidor.

9.3 La teoría del productor

En microeconomía, la producción es simplemente laconversión de factores productivos en productos y unaempresa es cualquier organización que se dedica a laplanificación, coordinación y supervisión de la produc-ción. La empresa es el agente de decisión que elige entrelas combinaciones factores-producto de las cuales dispo-ne y maximiza su beneficio. El problema comparte simi-litudes, con el del consumidor. En el caso del consumi-dor, la microeconomía lo reduce a menudo a la cuestiónde maximizar una función de utilidad con una restricciónpresupuestaria. En el caso de la producción, se trata demaximizar la función de beneficios teniendo en cuentarestricciones tecnológicas (suponiendo, en principio, quelos precios están dados, supuesto este muy fuerte que pos-teriormente se relaja).

9.3.1 La función de producción

Se empieza considerando, por razones de simplificación,que se produce un solo bien (o servicio) por una empresay que para producirlo es necesario una serie de elementosdenominados factores de producción (también pueden serdenominados insumos o inputs). El bien o servicio pro-ducido recibe el nombre de output. La función que rela-cionaría las cantidades de la cantidad de factores produc-tivos utilizados con el output obtenido recibe el nombrede función de producción. Los inputs utilizados seríanlas materias primas, productos intermedios (comprados aotra empresa u obtenidos en otro proceso de producciónde la misma empresa), el trabajo humano usado, los sumi-nistros de energía, agua y similares, el coste de reponer elcapital utilizado, maquinaria, herramientas), ya que sufredesgaste por el uso en el proceso de fabricación. Una sim-plificación frecuente es reducir a dos los factores: capitaly trabajo. Trabajo representaría el trabajo humano, capi-tal el resto.Las funciones de producción también pueden tener unaserie de propiedades que conviene destacar. Una de ellases la de lo que se llaman Economías de escala.

9.3.2 El problema de maximización del be-neficio

Expresa la naturaleza general del objetivo de firmas noes el beneficio por sí mismo que las firmas deben intentarpara maximizar. En lugar las firmas desean maximizar elvalor de sus tenencias de equidad. Este valor de equidades igual al valor actual (descontado) previsto de las vuel-tas netas de esas tenencias. Las vueltas se utilizan aquímás bien que beneficio debido a algunas tecnicidades quetratado de más adelante. La clarificación más importanterequerida es la materia de la equidad basada sobre consi-deraciones a largo plazo contra el concepto a corto plazodel beneficio. Si la firma está funcionando en condicio-

48 CAPÍTULO 9. MICROECONOMÍA

nes de estado estacionario tales que todas las condicio-nes entonces, y solamente después son en un cierto plazoconstante, quiera la maximización de vueltas anuales seaequivalente a la maximización del valor actual de todaslas vueltas netas. Incluso en el caso de la operación de es-tado estacionario de la firma no es beneficio por sí mismoque es el objetivo apropiado de la firma. El beneficio rele-vante para una firma es por supuesto el beneficio despuésde impuestos. El recibo de la contribución para una firmadepende de la definición del beneficio imponible. Gene-ralmente el problema de maximización del beneficio sepuede estudiar tanto a corto plazo como a largo plazo. Acorto plazo se considera que uno de los inputs, como elcapital, está ya decidido para la empresa y el precio porel mismo se ha pagado ya. A largo plazo, sin embargo,todos los inputs implicados pueden variar, por ejemplo,si la empresa varía la cantidad de capital disponible.Este problema generalmente se puede representar de for-ma matemática así:

max(Y1,...,Yn)∈Φ P1Y1 + · · · +PnYn − (C1X1 + · · · + CmXm), con Φ = {(Y1, . . . , Yn) ∈ (R+)n|Yi ≤Fi(xi1, . . . xim)}

Donde además deben tenerse en cuenta las condicionesde uso de los inputs adquiridos por la empresa. [Puedenser reescritas para algunos outputs, ver más adelante en(*)]

Xi =∑n

j=1 xi1

La explicación de este problema: El objetivo de la empre-sa es maximizar su beneficio, que es la diferencia entrelos ingresos y los costes. Los ingresos totales son igua-les a los outputs producidos por los precios a los que sevenden (nótese que suponemos que se vende toda la pro-ducción de la empresa, cosa que no es siempre el casoen la realidad), y los costes son los de multiplicar los in-puts utilizados por los precios de los outputs. Ahora bien,las restricciones serían que los outputs son función (deproducción) de las cantidades de cada uno de los inputsutilizados, incluso si un input no se utilizara, se podríaconsiderar que la cantidad utilizada de ese input es cero.(*) Si, por ejemplo, se usara del input de tipo 1 en laproducción de los distintos outputs posibles, la suma deltotal de lo utilizado para cada uno de los outputs debe-ría ser igual al total del input 1 adquirido por la empre-sa (Es decir, si usa x11 del input 1 para fabricar el out-put 1, x21 para fabricar del output 2, etcétera, entonces,x11+...+xn1=X1, y X1 sería el total del input 1 utiliza-do). No obstante, y esto es importante, en algunos casoses posible que al usar de algunos inputs “no se consuman”al usarlos en la fabricación de ciertos outputs, por lo quepodría ser que estas condiciones no estuvieran escritasasí. Por ejemplo, si consideráramos el tiempo de trabajo,

en horas, de cierta máquina como un input, y esa máqui-na pudiera elaborar dos tipos o más de output al mismotiempo, no se introduciría la restricción correspondienteen este modelo, es decir, si por ejemplo la máquina tra-bajara 8 horas haciendo dos outputs diferentes al mismotiempo, no repartiría las 8 horas entre cada uno de ellossino que las invertiría enteras en cada uno.Este problema se puede resolver también usando los Mul-tiplicadores de Lagrange o los de Khun-Tucker.

9.3.3 Las curvas de costos

Una forma habitual de simplificar el problema es suponerque sólo se produce un bien y que sólo va a haber un in-put que varíe según la producción de la empresa, estandotodos los demás fijos (Nota: En un modelo determina-do, suponer que un conjunto de variables puede cambiarmientras que el resto de variables van a permanecer cons-tantes, independientemente de sus relaciones con el restodel modelo, es lo que se llama céteris páribus, una técni-ca simplificadora pero que puede llevar a error cuando secompara con la realidad, en la que en última instancia to-do se relaciona e influye con todo) Con esto, por ejemplo,se puede estudiar cómo la producción de una empresa deun bien va a determinar la demanda de trabajo por partede esa empresa. Todos los inputs por los que la empresaha pagado ya, y que no va a variar en el corto plazo, el va-lor total de los mismos nos daría lo que se llama el CosteFijo.. Por el contrario, el valor de los inputs que cambia-rá según se decida el nivel de producción, será el CosteVariable.. La suma de los dos será elCoste Total. Comoconforme varíe la producción de la empresa estos costesvan a variar, se obtiene para el estudio microeconómicolo que se llaman Curvas de Costes. Las más importan-tes, serían la de Coste variable, la de Coste total, la deCoste Medio, y la de Coste marginal.La Curva de Coste variable relaciona el total de los cos-tes variables con el nivel de producción. Generalmentees creciente, pero puede tender a crecer a menor veloci-dad. La de Coste Total es prácticamente idéntica, ya quesería una traslación de la Variable en la magnitud del Cos-te Fijo, lo cual es importante sobre todo en Teoría de laProducción Industrial porque unos costes Fijos elevadosdisuaden a empresas de entrar en el mercado.La Curva de Coste medio, por el contrario, puede ser as-cendente o descendente, incluso ascendente en unos tra-mos y descendente en otros, ya que esta curva nos informade cuanto, por término medio, nos cuesta producir cadaoutput dependiendo del nivel de producción. Por ejemplo,es posible que con cierta función de producción el valorde producir 300 unidades de output sea tal que cada unacueste 1.5 unidades monetarias, mientras que producir600 pueda costarnos cada una sólo 1 unidad monetaria.Esto estaría relacionado posiblemente con la existenciade economías de escala, como se dijo antes.La Curva de Coste Marginal, tiene para el análisis gran

9.4. ESTRUCTURA DE MERCADOS 49

importancia, razón por la que a veces se llama a ciertosestudios de la economía “marginalistas”. Esta curva, quematemáticamente equivale a la derivada de la Curva deCoste Total, nos representa cuanto más nos cuesta pro-ducir una unidad de output a partir del nivel anterior deproducción. Por ejemplo, si para producir 100 unidadesde un bien tenemos un coste de 1000 unidades moneta-rias, y producir 101 unidades de ese mismo bien el costefuera de 1020 unidades monetarias, la curva valdría 20(1020-1000) en el nivel 100 de producción.El análisis más general para decidir el nivel de producciónde una empresa parte de que la empresa quiere maximi-zar su beneficio. El beneficio es igual a los ingresos (I)menos los costes (C), ambos son funciones dependientesdel nivel de producción. Desde el punto de vista mate-mático, maximizar una función supone igualar a cero laderivada esa función con respecto a la variable que quere-mos maximizar; si derivamos la función beneficio, seríala derivada de sus componentes: los ingresos menos loscostes:dIdx − dC

dx = 0

Lo que lleva a que el Ingreso marginal (Que sería deri-var los Ingresos de la empresa en la función de beneficio)debe ser igual al Coste Marginal, que es la derivada delos Costes de la empresa, como condición para que el ni-vel de producción sea el que maximice el beneficio. Sisuponemos que los precios del mercado no pueden cam-biar por la actuación de la empresa, sino que están dados(porque estemos en lo que se llama Competencia Per-fecta, en la que hay muchas empresas y ninguna puedeinfluir en el precio), entonces la condición es: Precio hade ser igual a Coste Marginal.Un ejemplo es: si la función de Beneficio de la empre-sa es B(Y ) = PY − C(Y ) (Precio por producción esel ingreso, al que se le resta el Coste total de esa pro-ducción), entonces, si aplicamos la condición de primerorden de máximo de una función derivable (suponemosque C es una función derivable), tenemos que la condi-ción es P − C ′(Y ) = 0 , esto es, C ′ representa el CosteMarginal de producir la cantidad Y de output. Esto ya sedice que es válido sólo para una empresa en competenciaperfecta.

9.4 Estructura de mercados

En el mercado de cada bien o servicio, se pueden dar dis-tintos tipos de situaciones. Estas situaciones son conoci-das como Estructuras de Mercado, que se agrupan dela siguiente forma:

• Competencia perfecta

• Competencia imperfecta

• Monopolio• Oligopolio

• Competencia monopolística

El modelo de competencia perfecta

Precio y cantidades de mercado en el caso de un monopolista yen el de competencia perfecta.

El modelo de competencia perfecta describe una estruc-tura de mercado que cumple con los siguientes supuestos:

1. No hay barreras a la entrada de nuevas empresas yel salir no implica un costo.

2. Existe información perfecta sobre precios, bienes einsumos.

3. Producto homogéneo, es decir, los bienes son susti-tutos perfectos.

4. No hay externalidades, es decir, los derechos de pro-piedad están perfectamente definidos.

5. Los contratos se cumplen porque hay un aparato ju-rídico eficiente.

6. No hay rendimientos crecientes a escala ni en la pro-ducción ni en el consumo.

Si los supuestos se cumplen podemos estar seguros de quela asignación que genera el mercado es eficiente. De he-cho, en un modelo de equilibrio general las asignacionesson eficientes en el sentido de Pareto.La condición de optimalidad del mercado exige que elprecio sea igual al costo marginal. Si el precio es menoralgunas empresas salen del mercado presionando el pre-cio al alza por la reducción de la cantidad ofrecida y si elprecio es mayor algunas empresas entran al mercado es-perando beneficios positivos, pero al hacerlo, presionanel precio a la baja debido a que la oferta se expande.

50 CAPÍTULO 9. MICROECONOMÍA

El modelo de competencia perfecta es un ente ideal queintenta capturar la esencia del comportamiento económi-co, tanto de las empresas como de los individuos. La ma-yor parte de la literatura se ocupa de analizar el impactoque tiene sobre el bienestar o la eficiencia el que algunode los supuestos arriba mencionados no se cumpla. Quizáuno de los más importantes es el de la información.

Competencia imperfecta

Los mercados de competencia imperfecta son aquellosen los que los productores son los suficientemente gran-des como para tener un efecto notable sobre el precio delmercado. Existen varios modelos de este tipo de mercadoentre ellos el mercado monopolístico y los diversos mo-delos oligopolísticos.La diferencia fundamental con los mercados de compe-tencia perfecta reside en la capacidad de influencia quetienen las empresas oferentes de controlar en precio. Enestos mercados, el precio no se acepta como un datoajeno, sino que los oferentes intervienen activamente ensu determinación.En la realidad, casi todos los mercados son imperfectos,siendo la competencia perfecta casi un óptimo teórico.Por el contrario en mercados fuertemente monopolísti-cos la competencia se produce entre los capitales, quebuscan el máximo beneficio en competencia con las in-versiones en otros mercados. En general, puede afirmarseque cuanto más elevado resulte el número de participan-tes, más competitivo será el mercado, pero el monopoliono implica que no exista competencia.

Monopolio El Monopolio (del griego, mono=único ypolio=vendedor) es una estructura de mercado caracteri-zada por la presencia de una única empresa, que produceun bien homogéneo y que se comporta no paramétrica-mente en precios, y por la existencia de barreras de en-trada y salida en el mercado. En general está probado, enlos modelos microeconómicos que lo estudian, que, cuan-do el Monopolio no puede realizar discriminación entresus compradores (es decir, cuando no puede poner pre-cios distintos para cada consumidor en función de las po-sibilidades de éste), sino que pone el mismo precio paratodos los posibles compradores, en este caso, el precio deequilibrio en el mercado y la cantidad producida de esebien, que se determinan a partir de donde se cruzan laCurva de Coste Marginal (que depende de la función deproducción de la empresa monopolística) y la Curva deIngreso Marginal (que depende de la Demanda del bienproducido por la empresa, demanda que depende de loscompradores de ese bien), son tales que, generalmente,cumplen esto:

• El precio puesto por la empresa es más alto que enlos casos en los que no hay monopolio.

• La cantidad producida por la empresa es tambiénmenor que en los casos de no monopolio.

• La utilidad total percibida por todos los agentes, tan-to los compradores como la empresa monopolística,la suma de esas utilidades, suele ser menor tambiénque en los casos de no monopolio.

Por todas estas razones, y algunas más, los monopoliosson vistos de forma negativa en los mercados (Por ejem-plo, recordar las leyes Anti-Monopolio de los U.S.A.). Noobstante, existen algunos monopolios inevitables, llama-dos Monopolios Naturales. En ocasiones se intenta quelos problemas de este tipo de monopolios se resuelvande manera que sea una institución pública (que se supo-ne que no tiene interés en maximizar su propio beneficio,sino el bienestar global) sea quien controle el precio y laproducción de ese monopolio o que le permita variarlosen función de los usuarios o compradores del Monopolio.

Oligopolio En el oligopolio (del griego oligo=pocos,polio=vendedor), se supone que hay varias empresas, pe-ro de tal forma que ninguna de ellas puede imponerse to-talmente en el mercado. Hay por ello una constante luchaentre las mismas para poder llevarse la mayor parte dela cuota del mercado en la que las empresas toman de-cisiones estratégicas continuamente, teniendo en cuentalas fortalezas y debilidades de la estructura empresarialde cada una.El problema se puede plantear en ocasiones usando mé-todos de la Teoría de juegos. Por ejemplo, dada las fun-ciones de costes de cada una de las empresas implicadas,cada una se atreverá a ofrecer a un determinado precio,una cantidad determinada, al mercado. Pero, estas ofer-tas de las empresas al ser observadas desde el punto devista de la demanda, tendrán efecto en cuánta cantidad esrealmente demandada para cada empresa, y dado el pre-cio que ha puesto cada una, le darán a cada una de ellasun cierto nivel de beneficios. También se puede introdu-cir la idea de que las empresas intenten “diferenciar” suproducto con respecto al producto de las otras, para queno parezcan tan “sustitutivos” y por ello se puedan consi-derar como “diferentes” por los consumidores. Aunque amenudo esas diferencias en producto sean en cosas míni-mas como la presentación del producto, su “calidad”, elenvase en el que viene, servicios de post-venta, las redesde distribución, la cercanía del producto al domicilio delconsumidor, etcétera (para esto hay que estudiar más lasestrategias comerciales de cada empresa en particular).Todo ello puede dar lugar al estudio de diferentes tiposde modelos.Generalmente, cuando se aplica la Teoría de Juegos, sesupone que cada empresa puede tomar decisiones en unconjunto de decisiones propio, y que dependiendo de cua-les toma esa empresa y las demás, esa empresa y las de-más obtendrán un determinado resultado. A veces estose puede representar como que cada empresa tiene una

9.5. EVOLUCIÓN RECIENTE 51

“Curva de Reacción” a las acciones de las demás em-presas. Por ejemplo, si el resto de las empresas tomaranuna serie de decisiones, y nuestra empresa en cuestión co-nociera (supuesto bastante fuerte, desde luego) qué deci-siones han tomado las demás, para poder obtener ella elmáximo beneficio debería de tomar ciertas decisiones asu vez, que dependen de las tomadas por las demás.Hipotéticamente, si las “curvas de reacción” de todas lasempresas se cruzaran en algún sitio, ese conjunto de de-cisiones para todas las empresas implicadas implicaría el“Equilibrio del Juego”, porque todas las empresas esta-rían a la vez haciendo lo mejor para sí mismas dado loque están haciendo el resto de las empresas. Esto es loque se conoce como Equilibrio de Nash. Nash probó enqué condiciones se puede dar este Equilibrio. Ejemplosde equilibrios en los mercados son el de Cournot, cuandolas empresas compiten en cantidades ofertadas, y el deBertrand, cuando lo hacen en precios.No obstante, un caso común también es que alguna delas empresas sea Líder y las demás Seguidoras. En es-te caso, en vez de suponerse que se va alcanzar un equi-librio en el que todas las empresas más o menos llegansimultáneamente a esa situación de equilibrio, la ventajade la empresa Líder (por ejemplo, por tener alguna ven-taja empresarial aplastante sobre las otras empresas) lelleva a tomar primero una decisión ante la cual respon-den, o sea, la tomán después, las Seguidoras. Esto es loque lleva a la Líder a tener en cuenta, para cada decisión,que las seguidoras van a responder de una determinadamanera, por lo que reajusta su forma de decidir teniendoen cuenta cuáles serán las decisiones de las demás, comosi en cierto modo también las pudiera controlar a ellas yponerlas al servicio de su propio beneficio.También es posible que las empresas del oligopolio sepongan de acuerdo para actuar coordinadamente a la ho-ra de ofertar sus bienes y de poner sus precios, con lo quelogran mayor beneficio total para cada una de ellas quecuando actúan por separado. Al acuerdo entre empresaspara pactar producción o precios se le llama colusión y algrupo de empresas que han coludido se las llama cártel.En estos acuerdos el precio es superior al coste marginal,siendo socialmente ineficiente y produciendo una situa-ción parecida, desde el punto de vista de los consumido-res, a la del monopolio.

Competencia monopolística La competencia mono-polística es una estructura de mercado caracterizada porla presencia de muchas empresas que venden produc-tos heterogéneos, sustitutivos cercanos, pero imperfec-tos, entre sí. Al tratarse de productos heterogéneos, ca-da productor tiene un cierto poder de mercado sobre elbien que produce, por lo que la competencia monopo-lística puede definirse como una estructura de mercadointermedia entre monopolio y competencia perfecta.El modelo clásico de competencia monopolística se debeal economista británico Chamberlin. Chamberlin plantea

que, debido al cáracter heterogéneo de los bienes y al cier-to poder de mercado que posee cada productor sobre losmismos, las empresas creen enfrentarse a una curva dedemanda estimada o “imaginaria”, según la cual las deci-siones del resto de productores están dadas. Sin embargo,para el resto de competidores no es óptimo mantener susdecisiones ante una variación unilateral de la producciónde la empresa i-ésima. De este modo, existe una curvade demanda real, que recoge las decisiones de todos losproductores y que va a determinar el equilibrio de mer-cado. A corto plazo, el equilibrio de mercado se alcanzacuando las decisiones tomadas por las empresas según lacurva de demanda “imaginaria” son compatibles con lacurva de demanda real. Es decir, en el punto en el queambas se igualan. A largo plazo, bajo el supuesto de libreentrada y salida del mercado, no puede existir beneficioextraordinario, de tal modo que el equilibrio se alcanzaen el punto en el que la curva de demanda “imaginaria”es tangente al coste medio a largo plazo y coincide con lademanda real de mercado. Como resultado se obtiene elTeorema del exceso de capacidad de Chamberlin, segúnel cual la empresa no alcanza el nivel eficiente de produc-ción a largo plazo (mínimo del coste medio).La clave de los modelos de competencia monopolísticaes la existencia de productos no homogéneos. Esto se ex-plica habitualmente por la existencia de diferenciación deproductos, es decir las empresas producen distintas varie-dades de un mismo bien, lo que les otorga un cierto poderde mercado sobre el mismo. La diferenciación de pro-ductos puede ser: horizontal, los consumidores demandabienes con diferentes características, o vertical, los con-sumidores tienen una distinta disposición al pago por unamisma característica. El modelo clásico de diferencia-ción horizontal es el de competencia espacial (hotelling)(1929).

9.5 Evolución reciente

Con la teoría de la elección racional y otros enfoques mo-dernos los economistas cada vez intentaron entender fe-nómenos sociales en los que existían incentivos y desin-centivos para las personas en determinadas situaciones.Estos estudios en cierto modo continúan la tradición dela microeconomía clásica.

9.6 Véase también• Macroeconomía

9.7 Referencias

9.7.1 Bibliografía• Salvatore Dominick: "Microeconomía"

52 CAPÍTULO 9. MICROECONOMÍA

• Manel Antelo: "Tópicos en Microeconomía Teórica"

• Parkin Michael: “Microeconomía” versión paraAmérica Latina

• Hal R. Varian: Microeconomía Intermedia, AnálisisMicroeconómico

• Pyndick y Rubinfeld: “Microeconomía”

• Fernández-Baca, Jorge: Microeconomía, teoría yaplicaciones.

• Walter Nicholson: Teoría Microeconomíca, Princi-pios Básicos y aplicaciones.

• N. Gregory Mankiw: Principios de Economía

• Rossetti J. P.: Introducción a la Economía

• Mas-Colell, A. et al.: Microeconomic Theory

• Swoboda Carlos: “Microeconomía intermedia: Unanálisis matemático.”

• Samuelson y Nordhaus: Economía

• Ubaldo Quiros Q. :Microeconomia Practica

9.8 Enlaces externos• Manual de Microeconomía, J.I. Rionda Ramírez.

• Introducción a la Teoría del consumidor, John JamesMora.

• Bibliografía para el estudio de microeconomía, Ru-bén Osuna.

• Microeconomía del amor, introducción didácticaa los principios de microeconomía, por David deUgarte.

Capítulo 10

Macroeconomía

Mercado de bienesy servicios

Hogares

Administracionespúblicas

Empresas

Extranjero

Sistema bancario ymercados financieros

Circuito macroeconómico en una economía abierta

ImportacionesExportaciones

Consumo

Impuestos

Impu

esto

s

Transferencias

Subv

enci

ones D

éficit público

(alza del endeudamiento)

Préstamos + retornos de patrimonio netos

Colocaciones financieras

Inve

rsio

nes

neta

s ex

tran

jera

s

Inte

rese

s ne

tos

abon

ados

Consumode losgobiernos

Dividendos,intereses

Préstamos netos

Producción

Consum

o

de bienes

intermedios

: Las flechas corresponden al sentido de los flujos financieros

Mercado laboral

Demanda de trabajo de los gobiernos

Oferta de trabajo(=> salarios)

Demanda de trabajo

Coti

zaci

ones

soci

ale

s

Circuito macroeconómico en una economía abierta.

La macroeconomía es la parte de la teoría económicaque se encarga del estudio general de la economía, me-diante el análisis de las variables agregadas como el mon-to total de bienes y servicios producidos, el total de losingresos, el nivel de empleo, de recursos productivos, labalanza de pagos, el tipo de cambio y el comportamien-to general de los precios. La macroeconomía puede serutilizada para analizar cuál es la mejor manera de influiren objetivos políticos como por ejemplo hacer crecer laeconomía, conseguir la estabilidad de precios, fomentarel empleo y la obtención de una balanza de pagos soste-nible y equilibrada. La macroeconomía por ejemplo, secentra en los fenómenos que afectan las variables indica-doras del nivel de vida de una sociedad. Además objetivamás al analizar la situación económica de un país propioen el que vive, lo que permite entender los fenómenos queintervienen en ella. En contraposición, la microeconomíaestudia el comportamiento económico de agentes indi-viduales, como consumidores, empresas, trabajadores einversores.

10.1 El enfoque macroeconómico

10.1.1 Macro y micro

El términomacro- proviene del griegomakros que signifi-ca grande, e inicialmente el sentido de los términosmacroeconomía y micro economía pretendía guardar cierto pa-ralelismo a la distinción física entre nivel macroscópico ynivel microscópico de estudio. En el primero importaríalas propiedades emergentes asociadas a miles o millonesde componentes autónomos en interacción, mientras queen el nivel “micro” se trataría de describir el comporta-miento de los componentes autónomos bajo las accionesa las que estaban sometidos. Sin embargo, en el uso mo-derno la macro economía y la micro economía, no sontérminos paralelos de los términos físicos “microscópi-co” y “macroscópico”.El enfoque microscópico se centraba en la conducta delos agentes económicos y en los resultados previsibles desus acciones bajo ciertos estímulos, bajo cierta hipóte-sis de comportamiento. Sin embargo, para una econo-mía compleja formada por miles o millones de agentes,al igual que sucedía con la física de sistemas de millonesde partículas, el enfoque “micro” es inviable. Por eso sebuscó un enfoque “macro” en que se hacía abstracciónde un buen número de magnitudes y hechos relacionadoscon los agentes económicos, y se trataban de buscar equi-librios de variables agregadas. Así el enfoque macro seconcentraba en niveles de renta, tipos de interés, ahorro,consumo y gasto totales debidos a todos los agentes. Laconducta agregada se modernizaba por funciones hipoté-ticas que se supone describen el comportamiento cualita-tivo aproximado de ciertas relaciones entre las macrova-riables.Al comienzo de la década de 1950 los macroeconomis-tas desarrollaron modelos micro-basados en el compor-tamiento macro-económico (tal como la función del con-sumo). El economista holandés Jan Tinbergen desarrollóel primer modelo macroeconómico comprensivo a nivelnacional, el cual desarrolló primero para Holanda y lue-go aplicó en los Estados Unidos y el Reino Unido des-pués de la Segunda Guerra Mundial. El primer proyec-to mundial de modelo económico, el Wharton Econome-tric Forecasting Associates LINK (asociadosWharton parala predicción econométrica) fue iniciado por LawrenceKlein y fue mencionado en su llamado por el Premio

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54 CAPÍTULO 10. MACROECONOMÍA

de ciencias económicas en memoria de Alfred Nobel delbanco de Suecia en 1980.En la década de 1970 contribuye con partes para com-prender el todo. Cuando uno aprende más sobre cada es-cuela económica, es posible combinar aspectos de cadauna para alcanzar una síntesis informada.

10.1.2 Origen

John Maynard Keynes está considerado como el fundador de lamacroeconomía moderna por su visión completamente renovadade esta rama de la economía.

El origen de la macroeconomía moderna hay que situarloen 1936, cuando el economista británico John MaynardKeynes, publicó su obra Teoría general del empleo, el in-terés y el dinero, que contenía una teoría explicativa de laGran Depresión. Los economistas que lo habían antece-dido consideraron que los ciclos económicos no podíanser evitados, mientras que Keynes expuso la posibilidadde existencia de un elevado desempleo en un determina-do momento y como la política fiscal y monetaria podíanutilizarse como poderosas herramientas para incrementarel nivel de la producción y el empleo en una sociedad.

10.1.3 Datos macroeconómicos

La macroeconomía basa su análisis en datos derivados dela observación y la estadística, la medición y estudios delos mismos muestra el éxito o fracaso de una economía.Los principales datos que se utilizan en la macroecono-mía son:

• Las macro magnitudes, extraídas de la Contabilidadnacional que resumen en una única cifra el valor mo-netario de la actividad económica, el indicador másutilizado es el producto interno bruto (producto in-terno bruto - PIB), que mide el valor de todos losbienes y servicios que produce un país durante unaño. Se entiende que el fin último de la actividad eco-nómica es proporcionar bienes y servicios a las per-sonas, que el suministro de una mayor cantidad debienes proporciona el éxito de un sistema económi-co. La variación del Producto interno bruto muestrala evolución del crecimiento de la producción.[1]

• Índice de precios al consumo

• Tasa de desempleo

• Tasa de interés

10.2 Demanda agregada y ofertaagregada

Representación gráfica del equilibrio entre la demanda agregaday la oferta agregada.

El modelo de oferta y demanda agregada es el modeloque trata de explicar la realidad económica, analizandola producción de un periodo y el nivel de precios exis-tente a través de las funciones de oferta y demanda agre-gada y proporciona el esquema necesario para compren-der la evolución de las magnitudes agregadas básicas. Elmodelo de oferta y demanda agregadas es el instrumen-to fundamental para el estudio de las fluctuaciones de laproducción y del nivel de precios. Sirve para comprenderlas consecuencias de las distintas políticas económicas.Los componentes básico de este análisis son la deman-da agregada y la oferta agregada, la demanda agregadaes una representación de mercado de bienes y servicios,sus componentes son el consumo privado (C), la inver-sión privada (I) y el gasto público (G), en una economíaabierta hay que añadir las exportaciones netas (XN) (di-

10.3. TEMAS MACROECONÓMICOS 55

ferencia entre exportaciones (X) e importaciones (M)) debienes y servicios.La oferta agregada se define como la cantidad total debienes y servicios que se ofrecen a la venta a los dife-rentes precios medios posibles. Este modelo resulta deutilidad para el análisis de la inflación, el desempleo, elcrecimiento y, en general, el papel que desempeña la po-lítica económica.[2]

10.3 Temas macroeconómicos

Los temas macroeconómicos se refieren a aspectos con-cretos del funcionamiento general de una economía sinconsiderar aspectos o problemas sectoriales particulares.En ese sentido los modelos macroeconómicos y las po-líticas macroeconómicas tratan de representar aspectoscomo el crecimiento económico, el desempleo y la evo-lución de los salarios, la inflación, la balanza comercial,la demanda agregada, los impuestos y los tipos de interéscomo aspectos principales.

10.3.1 Economía monetaria: dinero e in-flación

La economía monetaria muestra el análisis del dinero ensus diversas funciones en un sistema económico y exa-mina los efectos de los sistemas monetarios, incluida laregulación del dinero y los asociados a las institucionesfinancieras. El análisis moderno de la economía moneta-ria proporciona una formulación microeconómica de lademanda de dinero y estudia su influencia sobre la de-manda agregada y la producción.

10.3.2 Crecimiento económico

El crecimiento económico estudia los factores que deter-minan el aumento de la producción, la renta o en gene-ral de los indicadores económicos de un país o región, alargo plazo. La teoría del crecimiento económico analizapor qué unas economías crecen más deprisa que otras ycuales son los límites al crecimiento.

10.3.3 Mercado de trabajo y desempleo

El desempleo es un fenómeno presente en las economíasactuales y constituye unos de los problemas más impor-tantes a los que se enfrentan, poniendo de manifiesto laincapacidad de las economías de generar situaciones enlas que existan puestos de trabajo para todo aquel quedesee trabajar. El estudio macroeconómico del desem-pleo comprende el significado del mismo en la economía,su medición, las causas que lo generan y las manifesta-ciones del desempleo en una sociedad.

10.3.4 Economía internacional

Las economías actuales de los países se caracterizan porla gran importancia que ha adquirido su relación con elresto del mundo. El área de economía internacional dela macroeconomía estudia las consecuencias de las rela-ciones económicas de un país con el exterior, incluyendoel comercio internacional, el proteccionismo, las relacio-nes financieras internacionales, la balanza de pagos y lafijación de los tipos de cambio.

10.3.5 El modelo de la demanda agregada

El siguiente es un ejemplo de modelo (modelo IS-LM).Consideraremos la economía de un país (o cualquier otrazona) fijándonos en las variables de su Contabilidad na-cional.

Curva IS Consideremos la renta o ingreso nacional(Y) como la suma de todos los bienes y servicios produ-cidos en un período, por ejemplo, un año. Ahora bien,algunos de esos bienes y servicios han servido para elconsumo de los habitantes del país, es decir (C) seráel consumo, otros habrán servido para que las empre-sas puedan reponer sus necesidades de capital para pro-ducir (maquinaria, herramientas, materias primas, etcé-tera), esto lo llamaremos inversión (I); por su parte, elgobierno del país también ha intervenido en la econo-mía consumiendo bienes y servicios para hacerlos públi-cos o ha intervenido mediante empresas públicas en elmercado, a lo que llamaremos gasto público (G). Tam-bién se han importado bienes del exterior, mediante lasimportaciones (M) y se han exportado al exterior, me-diante la exportaciones (X). Entonces, podemos repre-sentar la renta como esta suma:

(1a) Y = C +G+ I +X −M

La razón por la que las importaciones pasan “restando”,es la siguiente: el lado de la ecuación Y +M representa enqué hemos usado todo el dinero empleado en el periodo,el total de producción nacional de bienes y servicios, y deimportaciones, y en eso ha tenido que emplearse todo loque se ha demandado durante el periodo: C + I + G + X(ya que algunas de estas variables en parte han tomado dela producción nacional y en parte de las importaciones).Por tanto Y + M = C + I + G + X, y pasando M al otrolado, tenemos la relación (1a). Podemos simplificar y lla-mar a las dos últimas variables “Exportaciones netas”, ypresentarlo así:

(1b) Y = C + I +G+XN

Hay que introducir ahora factores que influyen el consu-mo. El consumo se supone que será una parte de la rentadisponible de los consumidores. Pero, ¿qué es la renta

56 CAPÍTULO 10. MACROECONOMÍA

disponible?. Podríamos pensar que es Y, pero como elgobierno necesita parte de esa renta para financiar el gas-to público (G), podemos suponer que la renta disponiblees la renta Y después de que el gobierno ha retenido unaparte en forma de impuestos, y los presentamos de formasimplificada por una tasa impositiva (t) (Con 0<= t <=1,si bien t = 0 o t ='1 serían casos demasiado improbablesen la realidad). Así pues, la renta disponible será (1-t)Y.Ahora bien, el consumidor, normalmente, no se la gastarátoda en consumo, sino solo una parte, podemos suponerque por término medio todos tienen la misma propensiónal consumo, y la llamamos (c) a esa propensión. Por tanto,el Consumo privado será:

C = c(1− t)Y

Introducimos esto en nuestra ecuación y quedaría así:

Y = c(1− t)Y + I +G+XN

Otro supuesto que se suele hacer es que la Inversión priva-da se ve negativamente afectada por los tipos de interésdel dinero. Cuando éstos son altos, como las empresastienden a pedir créditos bancarios para equipar sus me-dios de producción, tienden a invertir menos porque in-vertir más significa tener que pagar más de intereses y deprincipal. Esto lo podemos representar así: La Inversióntiene un nivel máximo posible (Im) y disminuye lineal-mente con los tipos de interés, o sea:

I = Im − b · i

Donde b representa la sensibilidad de las empresas pri-vadas al tipo de interés bancario e i ese tipo de interés.Nuestro modelo ahora es así:

Y = c(1− t)Y + Im − b · i+G+XN

La cuestión es que en este modelo vemos que la mismavariable, la renta, aparece en los dos lados de la ecuación.Esto puede interpretarse como una relación dinámica, osea, el valor de Y en la izquierda va a depender del valorque tuvo en el pasado, en la derecha de la ecuación, ydel resto de los valores de las variables. E irá cambiandoperiodo tras periodo.Sin embargo, si suponemos que las otras variables nocambiaran, si los parámetros fueran constantes durantesuficiente tiempo, y además el gasto público G estuvieraexógenamente generado, entonces posiblemente la rentallegaría a no cambiar tampoco con el tiempo, alcanzandolo que se llama el valor de equilibrio. Podemos hallar estevalor de equilibrio:

(2a) Y = Im−b·i+G+XN

1−c(1−t)

Con esta ecuación, también llamada curva IS, se puedenhacer diversos análisis viendo como cambiaría la renta deequilibrio si variaran los parámetros o las variables impli-cadas. Esta curva refleja los valores de renta (Y) y tipo deinterés (i) para los cuales el mercado de bienes y serviciosestá en equilibrio. Existe sin embargo una diferencia im-portante si se considera que el gasto no es exógeno sinoendógeno y dado por el nivel de impuestos: G = tY, yaque en este caso la renta de equilibrio sería:

(2b) Y = Im−b·i+XN

(1−c)(1−t)

Obsérvese que la hipótesis de exogeneidad del gasto pú-blico no es inocente, ya que la conclusión sobre el efectodel aumento de los impuestos es contraria en (2a) y (2b)ya que calculando las derivadas siguientes se tiene:

(∂Y∂t

)G=cte. ≤ 0,

(∂Y∂t

)G=tY

≥ 0,

Es decir en el modelo de gasto público endógeno un au-mento de los impuestos conduce a una disminución dela renta, mientras que en el modelo gasto público igual alos impuestos (no-déficit) el aumento del tipo impositivoconduce a aumentos de renta.

Curva LM Existe una curva que es complementariade esta, llamada LM. Veamos en qué consiste: Los agen-tes demandan dinero para poder actuar en el mercado. Eldinero interesa en términos reales, no nominales. ¿Quéquiere decir esto? Que importan los niveles de precios.La oferta de dinero depende del Banco Central del país,que es el único organismo que puede emitir dinero, peroeste luego deja que el resto de los bancos lo distribuyan ycobren intereses por prestarlo. En cualquier caso, la De-manda Monetaria se puede representar como el cocientede dos variables, M, la cantidad total de dinero en la eco-nomía, y P, los niveles de precios. Es decir (M/P). Esademanda se puede suponer que depende así del resto dela economía: a mayor nivel de renta, se demandará másdinero para comprar en los mercados, pero un mayor ti-po de interés disuadirá generalmente de demandar dine-ro, ya que este debe ser reintegrado cuando se pide comopréstamo. De ahí que se represente la demanda así:

MP = kY − hi

Si suponemos que la oferta y demanda monetarias es-tán igualadas en el mercado monetario, podemos cogerla ecuación anterior y despejar la renta:

(3) Y = (M/P )+hik

Que es una curva que relaciona los niveles de renta y detipos de interés para los que el mercado monetario estáen equilibrio. Ésta es la curva LM.

10.4. LOS MODELOS MACROECONÓMICOS 57

Equilibrio IS-LM Si tomamos las curvas IS y LM(muy simples por ser este un modelo de ejemplo), (2a)y (3), y las juntamos obtenemos un sistema de dos ecua-ciones con dos variables, que serán la renta y el tipo deinterés:

Y = Im−bi+G+XN

1−c(1−t) , Y = (M/P )+hik

Podemos despejar, usando los métodos para sistemas deecuaciones lineales, y obtener los valores de Y e i en fun-ción de todos los demás parámetros y variables y usar lasfunciones resultantes para estudiar como variarán los ni-veles de renta y tipo de interés en el equilibrio cuandovaríen los parámetros o las variables exógenas. Es más,podemos obtener la curva de Demanda Agregada, ya quepodremos expresar la renta (Y) dependiendo de los nive-les de precios (P). Esta curva tendría la siguiente expre-sión:

(4a) Y =1

h[1−c(1−t)]+bk

[h(Im +G+XN ) + Mb

P

]Se puede reducir esta expresión a una del tipo Y=A+B/P,que muestra claramente que se trata de una curva decre-ciente en P. Si hubiéramos partido de (2b) y (3) el resul-tado final habría sido:

(4b) Y =1

h(1−c)(1−t)+bk

[h(Im +XN ) + Mb

P

]Si además desarrolláramos una curva de oferta agregadaque relacionara niveles de salarios, de trabajo, de pre-cios y de renta producida, podríamos cruzarla con la dedemanda agregada y determinar por completo la renta,los niveles de precios, de empleo y otros en cada momen-to dado y estudiar como las políticas monetarias y fiscalesdel gobierno podrían influir, por ejemplo, en conseguir losniveles adecuados de precios o de empleo.Dato relevante: Se puede aplicar el modelo de estáticacomparativa de IS-LM para explicar la ley de Say quedice que la oferta iguala a la demanda.

10.3.6 Instrumentos de la política macro-económica

Las autoridades económicas disponen de herramientaspara alcanzar los objetivos económicos, las principalesson la política monetaria que consiste en la variación deoferta monetaria, gestionando el dinero, el crédito y el sis-tema bancario, que pueden incidir en la producción, losprecios y el empleo. La otra gran herramienta de la po-lítica económica es la política fiscal, que consiste en lautilización de los ingresos públicos, básicamente los im-puestos, y los gastos públicos para alcanzar los objetivosmarcados. Políticas de rentas que son el instrumento delimitación de precios y salarios.[1]

10.4 Los modelos macroeconómi-cos

Dado que las relaciones económicas posibles son muchasy muy complejas, se hacen supuestos simplificadores parair estudiando a grandes rasgos lo que sucede con las dis-tintas variables económicas implicadas cuando se produ-cen cambios en el entorno económico estudiado. Depen-diendo de los supuestos que se hagan, de qué relacionesse consideren o no, de qué tipo de efectos transmitan es-tas relaciones, como se haga esa transmisión, y de que sesuponga qué valores del mundo real representan las varia-bles utilizadas, se obtendrán unos modelos u otros, de ahíque exista una gran variedad de modelos que predigan oexpliquen cosas diferentes acerca del funcionamiento dela macroeconomía.Generalmente, una escuela de pensamiento económicotiene asociados unos modelos porque esa escuela conce-de más importancia a ciertas variables económicas que aotras o supone que las relaciones de esas variables eco-nómicas con el resto son de una naturaleza diferente. Deahí la diversidad de modelos. Por ejemplo, existe, en elmodelo IS-LM, un caso en el que supone que la deman-da de dinero no depende del tipo de interés, sino sólo delnivel de renta (llamado modelo clásico). Si considerarasólo este modelo (y no el caso más general, en el que lademanda de dinero depende tanto del tipo de interés co-mo del nivel de renta), se creería que la política fiscal nopodría afectar, dentro del marco sugerido por el modeloIS-LM, al nivel de renta. Conviene también destacar otrode los grandes modelos elmodelo de los precios rígidoso de Keynes.Para superar estas limitaciones se intentan hacer modelosen los que se incluyan cada vez más variables y se supon-gan relaciones de tipo más genérico entre ellas, pero talesmodelos resultan cada vez más difíciles de estudiar, o deusar para predecir o explicar la economía, que en el ca-so de las versiones más simplificadas. Pero las versionesmás simples, por su misma naturaleza, tienden a fallar y ano prever sucesos económicos o a predecir correctamen-te los valores que tomarán las variables económicas. Unejemplo típico es el de políticas monetarias que, en el pa-sado, se tomaban para reducir la inflación: se pensaba quesi se reducía la oferta monetaria en un cierto nivel, el ni-vel de precios disminuiría aproximadamente en un nivelprevisto gracias a un modelo usado. Pero la mayor par-te de las veces, no era la reducción tanta como se habíadeseado por los responsables de la política monetaria.

• Economía clásica y Modelo clásico

• Economía neoclásica y Modelo neoclásico

• Modelo keynesiano

• Síntesis neoclásica o Neokeynesianismo

• Desarrollos recientes en la escuela clásica

58 CAPÍTULO 10. MACROECONOMÍA

• Monetarismo• Nueva economía clásica• Teoría de las expectativas racionales

• Desarrollos recientes en la escuela keynesiana

• Nueva Economía Keynesiana

La creación y el estudio de un modelo macroeconó-mico

La mayor parte de las veces, los modelos macroeconómi-cos se crean y se estudian usando técnicas matemáticas.Cuando el modelo pretende deducir la relación cualitati-va entre ciertas variables económicas frecuentemente seusan ecuaciones lineales que pretenden capturar el efectode primer orden entre la relación de variables. Este ti-po de modelos frecuentemente incluye una gran cantidadde asunciones no siempre explícitas que pueden quedarocultas tras ecuaciones engañosamente simples.Los modelos que pretenden simular sistemas reales y nosimplemente tratar de formalizar relaciones entre varia-bles frecuentemente recurren a estudios de regresión li-neal múltiple. En que lo que se pretende es averiguar elefecto de pequeños cambios porcentuales en las variablesde entrada. Obviamente para grandes cambios el modelopodría resultar no lineal y las predicciones de un modelolineal ser inválidas, ya que éstas, al igual que una serie deTaylor de primer orden, sólo predicen efectos de primerorden.

Comprobación de la validez de un modelo macroeco-nómico

Esto también puede llegar a ser un gran modelo para lavida cotidiana de empresarios y personas que se inicianen los trabajos.Un modelo macroeconómico no serviría para demostrar-nos la realidad si no se pudiera comprobar la validez deeste usando los valores reales de la variables que estamosconsiderando, así como tampoco nos serviría de nada su-poner cuales son las relaciones entre las variables y cua-les son los valores de los parámetros que influyen en esasrelaciones, si no podemos comprobar en qué grado esasrelaciones son así y cuales serían realmente los valores deesos parámetros. Por ello, se usa una técnica estadísticallamada Econometría para comprobar hasta qué punto,usando valores obtenidos de la realidad (por ejemplo, deestudios realizados por los Bancos Centrales, de informeseconómicos diversos de instituciones gubernamentales, yotros) se puede verificar en qué grado lo afirmado por unmodelo se cumple.Por ejemplo, si, en el marco de un modelo hipotético,hemos supuesto que el consumo (C) depende de la renta(Y), los tipos de interés (I), la riqueza acumulada (W) yel nivel de precios (P), podríamos expresar esto como:

C = C0 + cY Y + cII + cWW + cPP

(Lo cual sería una relación lineal). Los valores de C, Y, I,W y P tendrían que averiguarse buscando informes eco-nómicos oficiales que pudieran mostrarnos estas estadís-ticas y los valores que estas han tomado a lo largo deltiempo (por ejemplo, los valores que han tomado cadaaño durante un periodo de 10 años), pero los valores delos parámetros (cy, etcétera) tendrían que ser deducidospor el investigador usando la econometría. Esta técnicatambién puede informar hasta qué punto este modelo li-neal es válido (o sea, que acertaría a explicar el valor deC a partir de las restantes variables) o si alguna de estasvariables es irrelevante, o si resultan en conjunto insufi-cientes para explicar el valor de C a lo largo del periodoconsiderado.En algunos casos, se intenta que los modelos macroeco-nómicos tengan un fundamento microeconómico, o sea,que se pueda representar las variables macroeconómi-cas implicadas como la suma de variables microeconómi-cas que fluctúan en las relaciones de equilibrio de variosmodelos microeconómicos que representen a los agenteseconómicos que operan en el área que se está estudiando.Si no se hace así, tendríamos un modelo macroeconó-mico basado en creencias más o menos arbitrarías sobreel funcionamiento de la economía, lo cual es un modelo“ad-hoc”.

10.5 Véase también• Microeconomía.

• Nueva economía clásica

• keynesianismo

• Nueva Economía Keynesiana

10.6 Lecturas recomendadas• Rudiger Dornbusch y Stanley Fischer: “Macroeco-nomía”

• Olivier Blanchard: “Macroeconomía”

• Felipe Larraín y Jeffrey Sachs: “Macroeconomía enla Economía Global”

• José de Gregorio: “Macroeconomía Intermedia”

• Gregory Mankiw: “Macroeconomía”

• Karl Marx: “Plusvalía, Capital y Trabajo”

• Cuellar Darwin: “Trabajo y esfuerzo”

• Carl Menger “Origen del Dinero”

• Roberto Cachanosky “Economía para todos”

10.8. NOTAS 59

• Julio Cole “Dinero y Banca, consideraciones sobrela tasa de interés”

• Richard Froyen “Macroeconomía”

• Carlos Massad “Mis clases de Economía...y algomás”

10.7 Enlaces externos• ¿Qué comprende la Macroeconomía?

10.8 Notas[1] Samuelson, Paul S.; Nordhaus William D. Macroecono-

mía. McGraw-Hill. ISBN 84-481-0648-2.

[2] Dornbusch, Rudiger; Fischer, Stanley. Macroeconomía.McGraw Hill. ISBN 84-481-1883-9.

Capítulo 11

Ecuación de Price

La ecuación de Price es una ecuación de covarianza queproporciona una descripción matemática de la evolucióny la selección natural. La ecuación de Price fue obtenidapor George R. Price, mientras trabajaba en Londres enla reelaboración de los trabajos de W. D. Hamilton so-bre selección por parentesco. La ecuación de Price tieneademás aplicaciones en economía.Supóngase que hay una población de n individuos en lacual una determinada característica presenta variacionescuantitativas. Esos n individuos pueden agruparse en fun-ción de la cantidad de característica que cada uno pre-senta. En ese caso, como máximo habrá n grupos con nvalores distintos de la característica, y como mínimo unsólo grupo con un solo valor compartido de esa caracte-rística. Etiquétese cada grupo con una i de manera que elnúmero de miembros de cada grupo es ni y el valor de lacaracterística compartido por todos los miembros de esegrupo es zi . Ahora asúmase que para un valor de la carac-terística zi viene asociado una aptitud wi donde el pro-ducto wini representa el número de descendientes en lasiguiente generación. Desígnese este número de descen-dientes del grupo i como n′

i de manera que wi = n′i/ni .

Sea z′i la cantidad promedio de característica presentadapor la descendencia del grupo i . Se designa como ∆zi ala variación en la característica para el grupo i, definidapor:

∆zidef= z′i − zi

Considérese z como la cantidad promedio del valor de lacaracterística en esta población, y z′ el promedio del valorde la característica en la siguiente generación. Defínase elcambio en la característica promedio mediante ∆z . Esdecir,

∆zdef= z′ − z

Obsérvese que esto no es el valor promedio de∆zi . Con-sidérese además w como la aptitud promedio de esta po-blación. La ecuación de Price establece que:

w∆z = cov(wi, zi) + E(wi ∆zi),

donde las funciones E y cov son similares a las versio-nes muestrales de los operadores valor esperado y de la

covarianza provenientes de la probabilidad. Obsérveseque ésta es en realidad una ecuación en diferencias querelaciona el valor promedio de la característica en unageneración con el valor promedio de la característica enla generación venidera. De hecho, considerando un w nonulo, a menudo es útil escribirla como

∆z = cov(wi,zi)w + E(wi ∆zi)

w

En el caso específico de que la característica zi = wi (esdecir, que la aptitud sea la característica que nos intere-sa), entonces la ecuación de Price reformula el teoremafundamental de Fisher de la selección natural.La ecuación de Price es un teorema. Es la expresión de unhecho matemático entre ciertas variables, y su valor yaceen el entendimiento adquirido al asignar ciertos valoresencontrados en la genética evolutiva a las variables. Porejemplo, la afirmación “si cada par de pájaros tiene dosdescendientes, entonces entre diez parejas de pájaros ha-brá veinte descendientes” es la expresión verbal de un teo-rema sencillo. En realidad no transmite ninguna informa-ción nueva sobre los pájaros sino que organiza nuestrosconceptos sobre los pájaros y su descendencia. La ecua-ción de Price es mucho más sofisticada que la anteriorexpresión, pero en lo primordial, es también un teoremamatemáticamente demostrable.

60

Capítulo 12

Teoría de juegos

La teoría de juegos es un área de la matemática aplica-da que utiliza modelos para estudiar interacciones en es-tructuras formalizadas de incentivos (los llamados «jue-gos»). La teoría de juegos se ha convertido en un herra-mienta sumamente importante para la teoría económica yha contribuido a comprender más adecuadamente la con-ducta humana frente a la toma de decisiones. Sus investi-gadores estudian las estrategias óptimas así como el com-portamiento previsto y observado de individuos en jue-gos. Tipos de interacción aparentemente distintos pue-den, en realidad, presentar estructura de incentivo similary, por lo tanto, se puede representar mil veces conjunta-mente un mismo juego.[1]

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta pa-ra entender el comportamiento de la economía, la teoríade juegos se usa actualmente en muchos campos, comoen la biología, sociología, politologia, psicología, filosofíay ciencias de la computación. Experimentó un crecimien-to sustancial y se formalizó por primera vez a partir delos trabajos de John von Neumann y Oskar Morgens-tern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todoa su aplicación a la estrategia militar, en particular a cau-sa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desdelos setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la con-ducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies porla selección natural. A raíz de juegos como el dilema delprisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudicaa los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también laatención de los investigadores en informática, usándoseen inteligencia artificial y cibernética.Los conflictos entre seres racionales, que recelan uno delotro, o la pugna entre competidores que interactúan y seinfluyen mutuamente, que piensan y que, incluso, pue-den ser capaces de traicionarse uno al otro, constituyen elcampo de estudio de la teoría de juegos, la cual se basa enun análisis matemático riguroso pero que, sin embargo,surge de manera natural al observar y analizar un conflic-to desde un punto de vista racional. Desde el enfoque deesta teoría, un “juego” es una situación conflictiva en laque priman intereses contrapuestos de individuos o insti-tuciones, y es en ese contexto que, una parte al tomar unadecisión influye sobre la decisión que tomará la otra; así,el resultado del conflicto se determina a partir de todaslas decisiones tomadas por todos los actuantes.

La Teoría de Juegos plantea que debe haber una forma ra-cional de jugar a cualquier “juego” (o de negociar en unconflicto), especialmente en el caso de haber muchas si-tuaciones engañosas y segundas intenciones; así por ejem-plo, la anticipación mutua de las intenciones del contra-rio que sucede en juegos como el ajedrez o el póquer,da lugar a cadenas de razonamiento teóricamente infini-tas, las cuales pueden también trasladarse al ámbito deresolución de conflictos reales y complejos. En síntesis, ytal como se comentó, los individuos al interactuar en unconflicto, obtendrán resultados que de algún modo sontotalmente dependientes de tal interacción.[2]

Así, desde que Von Neumann, Morgenstern y John Nashdelinearon los postulados básicos de esta teoría durantelas décadas del 40 y 50, varias han sido las aplicacionesque se le han otorgado a este herramental en el campo delas decisiones económicas, llegando incluso a modificarel modo en que los economistas interpretaban la toma dedecisiones y la consecución del bienestar común. Ello esasí porque, bajo una de las alternativas planteadas por laTeoría de Juegos, se destituye la idea fundamental y elpilar de la economía clásica planteado por Adam Smithen su clásico ensayo sobre la naturaleza y las causas de lariqueza de las naciones, según Smith: “el interés indivi-dual conduce a los seres humanos, como si fueran guiadospor una mano invisible, hacia la consecución del bien co-mún”; ahora, la teoría planteada por Nash, Neumann yMorgenstern concluye justamente en lo contrario: el in-terés individual, el egoísmo y la racionalidad a la horade tomar decisiones, conducen a los seres humanos a unasituación no óptima.

12.1 Representación de juegos

El dilema del prisioneroUno de los problemas que plantea el equilibrio de Nashse halla en que no conduce necesariamente a situacioneseficientes en el sentido de Pareto1 El análisis original deeste juego se basa en una situación en la que se interrogaen habitaciones distintas a dos personas que han cometi-do conjuntamente un robo armado a un banco; sin em-bargo el dinero sustraído no se encuentra en sus manos

61

62 CAPÍTULO 12. TEORÍA DE JUEGOS

y, por ello, la policía sólo puede inculparlos por tenenciailícita de armas (al carecer de otras pruebas). Así, al serinterrogadas por separado, cada uno de ellos tendría laposibilidad de confesarse culpable, implicar a la otra, onegar haber participado en el atraco. Sin embargo, la po-licía puede proponerles un trato, y a través del uso de unadecuado esquema de incentivos, hacer que ambos con-fiesen la participación en el hecho, lograr que la verdadsalga a la luz, y condenarlos. A continuación se verá queuna adecuada propuesta efectuada por el cuerpo de poli-cías, puede conducir a que la racionalidad y el egoísmoindividual con el que suelen ser tomadas las decisiones,puede volverse en contra del interés conjunto de estos su-jetos. , compatibles con las ideas de Adam Smith. Parademostrar esto, considérese por ejemplo, el juego deno-minado “El Dilema del Prisionero”. Este juego permitecomprender que mantener la cooperación es algo suma-mente difícil, muchas veces los individuos no cooperan(este caso es un ejemplo paradójico, ya que demuestralos beneficios que se obtendrían al mantener la coopera-ción entre cualquier grupo de individuos, pero a la vezdemuestra que ello, bajo ciertos postulados, es imposiblede conseguir), y sus decisiones individuales no necesaria-mente conducen al mutuo bienestar.

12.1.1 Forma normal de un juego

La forma normal (o forma estratégica) de un juego es unamatriz de pagos, que muestra los jugadores, las estrate-gias, y las recompensas (ver el ejemplo a la derecha). Haydos tipos de jugadores; uno elige la fila y otro la columna.Cada jugador tiene dos estrategias, que están especifica-das por el número de filas y el número de columnas. Lasrecompensas se especifican en el interior. El primer nú-mero es la recompensa recibida por el jugador de las filas(el Jugador 1 en nuestro ejemplo); el segundo es la re-compensa del jugador de las columnas (el Jugador 2 ennuestro ejemplo). Si el jugador 1 elige arriba y el juga-dor 2 elige izquierda entonces sus recompensas son 4 y 3,respectivamente.Cuando un juego se presenta en forma normal, se presu-pone que todos los jugadores actúan simultáneamente o,al menos, sin saber la elección que toma el otro. Si los ju-gadores tienen alguna información acerca de las eleccio-nes de otros jugadores el juego se presenta habitualmenteen la forma extensiva.También existe una forma normal reducida. Ésta combinaestrategias asociadas con el mismo pago.

12.1.2 Forma extensiva de un juego

La representación de juegos en forma extensiva mode-la juegos con algún orden que se debe considerar. Losjuegos se presentan como árboles (como se muestra a laderecha). Cada vértice o nodo representa un punto dondeel jugador toma decisiones. El jugador se especifica por

Un juego en forma extensiva.

un número situado junto al vértice. Las líneas que partendel vértice representan acciones posibles para el jugador.Las recompensas se especifican en las hojas del árbol.En el juego que se muestra en el ejemplo hay dos jugado-res. El jugador 1mueve primero y elige F oU. El jugador2 ve el movimiento del jugador 1 y elige A o R. Si el ju-gador 1 elige U y entonces el jugador 2 elige A, entoncesel jugador 1 obtiene 8 y el jugador 2 obtiene 2.Los juegos en forma extensiva pueden modelar tambiénjuegos de movimientos simultáneos. En esos casos se di-buja una línea punteada o un círculo alrededor de dos vér-tices diferentes para representarlos como parte del mismoconjunto de información (por ejemplo, cuando los juga-dores no saben en qué punto se encuentran).La forma normal da al matemático una notación senci-lla para el estudio de los problemas de equilibrio, porquedesestima la cuestión de cómo las estrategias son calcu-ladas o, en otras palabras, de cómo el juego es jugado enrealidad. La notación conveniente para tratar estas cues-tiones, más relevantes para la teoría combinatoria de jue-gos, es la forma extensiva del juego.

12.2 Tipos de juegos y ejemplos

La teoría clasifica los juegos en muchas categorías quedeterminan qué métodos particulares se pueden aplicarpara resolverlos (y, de hecho, también cómo se define“resolución” en una categoría particular). Las categoríascomunes incluyen:

12.2.1 Juegos simétricos y asimétricos

Un juego simétrico es un juego en el que las recompen-sas por jugar una estrategia en particular dependen sólode las estrategias que empleen los otros jugadores y node quien las juegue. Si las identidades de los jugadorespueden cambiarse sin que cambien las recompensas delas estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos delos juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las repre-sentaciones estándar del juego de la gallina, el dilema delprisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.[3]

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos

12.2. TIPOS DE JUEGOS Y EJEMPLOS 63

donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para am-bos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y eljuego del dictador tienen diferentes estrategias para ca-da jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricoscon estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo,el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar detener conjuntos de estrategias idénticos para ambos juga-dores.

12.2.2 Juegos de suma cero y de suma dis-tinta de cero

En los juegos de suma cero el beneficio total para todoslos jugadores del juego, en cada combinación de estra-tegias, siempre suma cero (en otras palabras, un juga-dor se beneficia solamente a expensas de otros). El go,el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos dejuegos de suma cero, porque se gana exactamente la can-tidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútboldejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victo-rias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese queambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mien-tras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos yel empate 1.La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política,al igual que el dilema del prisionero, son juegos de sumadistinta de cero, porque algunos desenlaces tienen resul-tados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ga-nancia de un jugador no necesariamente se correspondecon la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de nego-cios involucra idealmente un desenlace de suma positiva,donde cada oponente termina en una posición mejor quela que tendría si no se hubiera dado la negociación.Se puede analizar más fácilmente un juego de suma dis-tinta de cero, y cualquier juego se puede transformar enun juego de suma cero añadiendo un jugador “ficticio”adicional (“el tablero” o “la banca”), cuyas pérdidas com-pensen las ganancias netas de los jugadores.La matriz de pagos de un juego es una forma convenientede representación. Por ejemplo, un juego de suma cero dedos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha.

12.2.3 Criterios «maximin» y «minimax»

Los criterios «maximin» y «minimax» establecen que ca-da jugador debe minimizar su pérdida máxima:

• Criterio «maximin»: el jugadorA, elige que su cobromínimo posible sea el mayor.

• Criterio «minimax»: el jugador B elige que el pagomáximo a A sea el menor posible.

12.2.4 Equilibrio de Nash

Los equilibrios de las estrategias dominantes están muybien cuando aparecen en los juegos, pero desafortunada-mente, eso no ocurre con frecuencia. Un par de estrate-gias es un equilibrio de Nash si la elección del jugador Aes óptima, dada elección de B, y la de B es óptima, dadala de A.El equilibrio de Nash puede interpretarse como un parde expectativas sobre la elección de cada persona tal que,cuando la otra revela su elección, ninguna de las dos quie-re cambiar de conducta.Cada jugador conoce y ha adoptado su mejor estrategia,y todos conocen las estrategias de los otros. Consecuente-mente, cada jugador individual no gana nada modificandosu estrategia mientras los otros mantengan las suyas. Así,cada jugador está ejecutando el mejor “movimiento” quepuede dados los movimientos de los demás jugadores.

12.2.5 Juegos cooperativos

Un juego cooperativo se caracteriza por un contrato quepuede hacerse cumplir. La teoría de los juegos coopera-tivos da justificaciones de contratos plausibles. La plau-sibilidad de un contrato está muy relacionada con la es-tabilidad.Dos jugadores negocian tanto quieren invertir en un con-trato. La teoría de la negociación axiomática nos muestracuánta inversión es conveniente para nosotros. Por ejem-plo, la solución de Nash para la negociación demanda quela inversión sea justa y eficiente.De cualquier forma, podríamos no estar interesados en lajusticia y exigir más. De hecho, existe un juego no coope-rativo creado por Ariel Rubinstein consistente en alternarofertas, que apoya la solución de Nash considerándola lamejor, mediante el llamado equilibrio de Nash.

12.2.6 Simultáneos y secuenciales

Los juegos simultáneos son juegos en los que los juga-dores mueven simultáneamente o en los que éstos des-conocen los movimientos anteriores de otros jugadores.Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en losque los jugadores posteriores tienen algún conocimientode las acciones previas. Este conocimiento no necesaria-mente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en algode información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocerque un jugador2 no realizó una acción determinada, perono saber cuál de las otras acciones disponibles eligió.La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales serecoge en las representaciones discutidas previamente. Laforma normal se usa para representar juegos simultáneos,y la extensiva para representar juegos secuenciales.

64 CAPÍTULO 12. TEORÍA DE JUEGOS

12.2.7 Juegos de información perfecta

Un juego de información imperfecta (las líneas punteadas repre-sentan la ignorancia de la parte del jugador 2).

Un subconjunto importante de los juegos secuenciales esel conjunto de los juegos de información perfecta. Unjuego es de información perfecta si todos los jugadoresconocen los movimientos que han efectuado previamentetodos los otros jugadores; así que sólo los juegos secuen-ciales pueden ser juegos de información perfecta, puesen los juegos simultáneos no todos los jugadores (a me-nudo ninguno) conocen las acciones del resto. La mayoríade los juegos estudiados en la teoría de juegos son juegosde información imperfecta, aunque algunos juegos intere-santes son de información perfecta, incluyendo el juegodel ultimátum y el juego del ciempiés. También muchosjuegos populares son de información perfecta, incluyen-do el ajedrez y el go.La información perfecta se confunde a menudo con lainformación completa, que es un concepto similar. La in-formación completa requiere que cada jugador conozcalas estrategias y recompensas del resto pero no necesa-riamente las acciones.En los juegos de información completa cada jugador tienela misma “información relevante al juego” que los demásjugadores. El ajedrez y el dilema del prisionero ejempli-fican juegos de información completa. Los juegos de in-formación completa ocurren raramente en el mundo real,y los teóricos de los juegos, usualmente los ven sólo comoaproximaciones al juego realmente jugado.John Conway desarrolló una notación para algunos jue-gos de información completa y definió varias operacionesen esos juegos, originalmente para estudiar los finales dego, aunque buena parte de este análisis se enfocó en nim.Esto devino en la teoría de juegos combinatoria. Descu-brió que existe una subclase de esos juegos que puedenser usados como números, como describió en su libro OnNumbers and Games, llegando a la clase muy general delos números surreales.

12.2.8 Juegos de longitud infinita

Por razones obvias, los juegos estudiados por los econo-mistas y los juegos del mundo real finalizan generalmentetras un número finito de movimientos. Los juegos mate-máticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de

conjuntos estudia juegos de infinitos movimientos, dondeel ganador no se conoce hasta que todos los movimientosse conozcan.El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es lamejor manera de jugar a un juego, sino simplemente quéjugador tiene una estrategia ganadora (Se puede probar,usando el axioma de elección, que hay juegos —inclusode información perfecta, y donde las únicas recompen-sas son “perder” y “ganar”— para los que ningún juga-dor tiene una estrategia ganadora.) La existencia de talesestrategias tiene consecuencias importantes en la teoríadescriptiva de conjuntos.

12.3 Aplicaciones

La teoría de juegos tiene la característica de ser un áreaen que la sustancia subyacente es principalmente una ca-tegoría de matemáticas aplicadas, pero la mayoría de lainvestigación fundamental es desempeñada por especia-listas en otras áreas. En algunas universidades se enseña yse investiga casi exclusivamente fuera del departamentode matemática.Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, en-tre las cuales caben destacar las ciencias económicas,la biología evolutiva, la psicología, las ciencias políti-cas, el diseño industrial, la investigación operativa, lainformática y la estrategia militar.

12.3.1 Economía y negocios

Los economistas han usado la teoría de juegos para ana-lizar un amplio abanico de problemas económicos, inclu-yendo subastas, duopolios, oligopolios, la formación deredes sociales, y sistemas de votaciones. Estas investiga-ciones normalmente están enfocadas a conjuntos parti-culares de estrategias conocidos como conceptos de so-lución. Estos conceptos de solución están basados nor-malmente en lo requerido por las normas de racionalidadperfecta. El más famoso es el equilibrio de Nash. Un con-junto de estrategias es un equilibrio de Nash si cada unarepresenta la mejor respuesta a otras estrategias. De estaforma, si todos los jugadores están aplicando las estrate-gias en un equilibrio de Nash, no tienen ningún incentivopara cambiar de conducta, pues su estrategia es la mejorque pueden aplicar dadas las estrategias de los demás.Las recompensas de los juegos normalmente representanla utilidad de los jugadores individuales. A menudo lasrecompensas representan dinero, que se presume corres-ponden a la utilidad de un individuo. Esta presunción, sinembargo, puede no ser correcta.Un documento de teoría de juegos en economía empiezapresentando un juego que es una abstracción de una si-tuación económica particular. Se eligen una o más solu-ciones, y el autor demuestra qué conjunto de estrategias

12.3. APLICACIONES 65

corresponden al equilibrio en el juego presentado. Loseconomistas y profesores de escuelas de negocios sugie-ren dos usos principales.

Descriptiva

Un juego del ciempiés de tres fases.

El uso principal es informar acerca del comportamientode las poblaciones humanas actuales. Algunos investiga-dores creen que encontrar el equilibrio de los juegos pue-de predecir cómo se comportarían las poblaciones huma-nas si se enfrentasen a situaciones análogas al juego estu-diado. Esta visión particular de la teoría de juegos se hacriticado en la actualidad. En primer lugar, se la críticaporque los supuestos de los teóricos se violan frecuen-temente. Los teóricos de juegos pueden suponer jugado-res que se comportan siempre racionalmente y actúan pa-ra maximizar sus beneficios (el modelo Homo oeconomi-cus), pero los humanos reales a menudo actúan irracio-nalmente o racionalmente pero buscando el beneficio deun grupo mayor (altruismo).Los teóricos de juegos responden comparando sus su-puestos con los que se emplean en física. Así, aunquesus supuestos no se mantienen siempre, pueden tratar lateoría de juegos como una idealización razonable, de lamisma forma que los modelos usados por los físicos. Sinembargo, este uso de la teoría de juegos se ha seguidocriticando porque algunos experimentos han demostra-do que los individuos no se comportan según estrategiasde equilibrio. Por ejemplo, en el juego del ciempiés, eljuego de adivinar 2/3 de la media y el juego del dic-tador, las personas a menudo no se comportan según elequilibrio de Nash. Esta controversia se está resolviendoactualmente.[4]

Por otra parte, algunos autores aducen que los equilibriosde Nash no proporcionan predicciones para las poblacio-nes humanas, sino que proporcionan una explicación depor qué las poblaciones que se comportan según el equili-brio de Nash permanecen en esa conducta. Sin embargo,la cuestión acerca de cuánta gente se comporta así per-manece abierta.Algunos teóricos de juegos han puesto esperanzas en lateoría evolutiva de juegos para resolver esas preocupacio-nes. Tales modelos presuponen o no racionalidad o unaracionalidad acotada en los jugadores. A pesar del nom-bre, la teoría evolutiva de juegos no presupone necesa-riamente selección natural en sentido biológico. La teo-ría evolutiva de juegos incluye las evoluciones biológica

y cultural y también modela el aprendizaje individual.

Normativa

Por otra parte, algunos matemáticos no ven la teoría dejuegos como una herramienta que predice la conducta delos seres humanos, sino como una sugerencia sobre cómodeberían comportarse. Dado que el equilibrio de Nashconstituye la mejor respuesta a las acciones de otros ju-gadores, seguir una estrategia que es parte del equilibriode Nash parece lo más apropiado. Sin embargo, este usode la teoría de juegos también ha recibido críticas. En pri-mer lugar, en algunos casos es apropiado jugar según unaestrategia ajena al equilibrio si uno espera que los demástambién jugarán de acuerdo al equilibrio. Por ejemplo, enel juego adivina 2/3 de la media.El dilema del prisionero presenta otro contraejemplo po-tencial. En este juego, si cada jugador persigue su pro-pio beneficio ambos jugadores obtienen un resultado peorque de no haberlo hecho. Algunos matemáticos creen queesto demuestra el fallo de la teoría de juegos como unarecomendación de la conducta a seguir.

12.3.2 Biología

Adiferencia del uso de la teoría de juegos en la economía,las recompensas de los juegos en biología se interpretanfrecuentemente como adaptación. Además, su estudio seha enfocado menos en el equilibrio que corresponde a lanoción de racionalidad, centrándose en el equilibrio man-tenido por las fuerzas evolutivas. El equilibrio mejor co-nocido en biología se conoce como estrategia evolutiva-mente estable, y fue introducido por primera vez por JohnMaynard Smith. Aunque su motivación inicial no com-portaba los requisitos mentales del equilibrio de Nash,toda estrategia evolutivamente estable es un equilibrio deNash.En biología, la teoría de juegos se emplea para entendermuchos problemas diferentes. Se usó por primera vez pa-ra explicar la evolución (y estabilidad) de las proporcio-nes de sexos 1:1 (mismo número de machos que de hem-bras). Ronald Fisher sugirió en 1930 que la proporción1:1 es el resultado de la acción de los individuos tratandode maximizar el número de sus nietos sujetos a la restric-ción de las fuerzas evolutivas.Además, los biólogos han usado la teoría de juegos evo-lutiva y el concepto de estrategia evolutivamente establepara explicar el surgimiento de la comunicación animal(John Maynard Smith y Harper en el año 2003). El aná-lisis de juegos con señales y otros juegos de comunica-ción ha proporcionado nuevas interpretaciones acerca dela evolución de la comunicación en los animales.Finalmente, los biólogos han usado el problema halcón-paloma (también conocido como problema de la gallina)para analizar la conducta combativa y la territorialidad.

66 CAPÍTULO 12. TEORÍA DE JUEGOS

12.3.3 Informática y lógica

La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papelimportante en la lógica y la informática. Muchas teoríaslógicas se asientan en la semántica de juegos. Además,los investigadores de informática han usado juegos paramodelar programas que interactúan entre sí.

12.3.4 Ciencia política

La investigación en ciencia política también ha usado re-sultados de la teoría de juegos. Una explicación de lateoría de la paz democrática es que el debate público yabierto en la democracia envía información clara y fiableacerca de las intenciones de los gobiernos hacia otros es-tados. Por otra parte, es difícil conocer los intereses delos líderes no democráticos, qué privilegios otorgarán yqué promesas mantendrán. Según este razonamiento, ha-brá desconfianza y poca cooperación si al menos uno delos participantes de una disputa no es una democracia.[5]

12.3.5 Filosofía

La teoría de juegos ha demostrado tener muchos usosen filosofía. A partir de dos trabajos de W. V. O. Qui-ne publicados en 1960 y 1967, David Lewis (1969) usóla teoría de juegos para desarrollar el concepto filosófi-co de convención. De esta forma, proporcionó el primeranálisis del conocimiento común y lo empleó en anali-zar juegos de coordinación. Además, fue el primero ensugerir que se podía entender el significado en términosde juegos de señales. Esta sugerencia se ha seguido pormuchos filósofos desde el trabajo de Lewis.[6]

Leon Henkin, Paul Lorenzen y Jaakko Hintikka iniciaronuna aproximación a la semántica de los lenguajes forma-les que explica con conceptos de teoría de juegos los con-ceptos de verdad lógica, validez y similares. En esta apro-ximación los “jugadores” compiten proponiendo cuanti-ficaciones e instancias de oraciones abiertas; las reglas deljuego son las reglas de interpretación de las sentencias enun modelo, y las estrategias de cada jugador tienen pro-piedades de las que trata la teoría semántica (ser domi-nante si y sólo si las oraciones con que se juega cumplendeterminadas condiciones, etc.).En ética, algunos autores han intentado continuar la ideade Thomas Hobbes de derivar la moral del interés perso-nal. Dado que juegos como el dilema del prisionero pre-sentan un conflicto aparente entre la moralidad y el inte-rés personal, explicar por qué la cooperación es necesariapara el interés personal es una componente importante deeste proyecto. Esta estrategia general es un componentede la idea de contrato social en filosofía política (ejemplosen Gauthier 1987 y Kavka 1986).[7]

Finalmente, otros autores han intentado usar la teoríaevolutiva de juegos para explicar el nacimiento de las ac-

titudes humanas ante la moralidad y las conductas anima-les correspondientes. Estos autores han buscado ejemplosen muchos juegos, incluyendo el dilema del prisionero, lacaza del ciervo, y el juego del trato de Nash para expli-car la razón del surgimiento de las actitudes acerca de lamoral (véase Skyrms 1996, 2004; Sober y Wilson 1999).

12.4 Historia de la teoría de juegos

La primera discusión conocida de la teoría de juegosaparece en una carta escrita por James Waldegrave en1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solu-ción mínima de estrategia mixta a una versión para dospersonas del juego de cartas le Her. Sin embargo no sepublicó un análisis teórico de teoría de juegos en generalhasta la publicación de Recherches sur les príncipes mat-hématiques de la théorie des richesses, de Antoine Augus-tin Cournot en 1838. En este trabajo, Cournot consideraun duopolio y presenta una solución que es una versiónrestringida del equilibrio de Nash.Aunque el análisis de Cournot es más general que el deWaldegrave, la teoría de juegos realmente no existió co-mo campo de estudio aparte hasta que John vonNeumannpublicó una serie de artículos en 1928. Estos resultadosfueron ampliados más tarde en su libro de 1944, Theoryof Games and Economic Behavior[9], escrito junto conOskar Morgenstern. Este trabajo contiene un método pa-ra encontrar soluciones óptimas para juegos de suma cerode dos personas. Durante este período, el trabajo sobreteoría de juegos se centró, sobre todo, en teoría de jue-gos cooperativos. Este tipo de teoría de juegos analiza lasestrategias óptimas para grupos de individuos, asumien-do que pueden establecer acuerdos entre sí acerca de lasestrategias más apropiadas.En 1950 Albert W. Tucker planteó formalmente las pri-meras discusiones del dilema del prisionero, y se empren-dió un experimento acerca de este juego en la corpora-ción RAND. En ese año John Nash desarrolló una defini-ción de una estrategia óptima para juegos de múltiples ju-gadores donde el óptimo no se había definido previamen-te, conocido como equilibrio de Nash, bajo la supervisióndel mencionado Tucker. Este equilibrio es suficientemen-te general, permitiendo el análisis de juegos no coopera-tivos además de los juegos cooperativos.La teoría de juegos experimentó una notable actividaden la década de 1950, momento en el cual los conceptosbase, el juego de forma extensiva, el juego ficticio, losjuegos repetitivos, y el valor de Shapley fueron desarro-llados. Además, en ese tiempo, aparecieron las primerasaplicaciones de la teoría de juegos en la filosofía y lasciencias políticas.En 1965, Reinhard Selten introdujo su concepto de so-lución de los equilibrios perfectos del subjuego y el con-cepto de equilibrio perfecto demano temblorosa, quemásadelante refinaron el concepto de equilibrio de Nash. En

12.6. BIBLIOGRAFÍA 67

1967 John Harsanyi desarrolló los conceptos de la infor-mación completa y de los juegos bayesianos. Él, junto conJohn Forbes Nash y Reinhard Selten, ganaron el PremioNobel de Economía en 1994.En la década de 1970 la teoría de juegos se aplicó ex-tensamente a la biología, en gran parte como resulta-do del trabajo de John Maynard Smith y su conceptoestrategia estable evolutiva. Además, los conceptos delequilibrio correlacionado, equilibrio perfecto de manotemblorosa, y del conocimiento común fueron introdu-cidos y analizados.[10]

En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling yRobert Aumann ganaron el premio Nobel de Economía.Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primerosejemplos de la teoría de juegos evolutiva. Por su parte,Aumann contribuyó más a la escuela del equilibrio.En el 2007, Roger Myerson, junto con Leonid Hurwiczy Eric Maskin, recibieron el premio Nobel de Economíapor “sentar las bases de la teoría de diseño de mecanis-mos.”En el 2012, Lloyd Stowell Shapley y Alvin E. Roth ga-nan el premio Nobel de Economía por dar nombre dentrode este campo a media docena de teoremas, algoritmos,principios, soluciones e índices.

12.5 Véase también• Teoría de los juegos de rol

• Dinámica de sistemas

• Sistema dinámico

• Sistema complejo

12.6 BibliografíaReferencias generales

• Bierman, H. S. y L. Fernández, Game Theory witheconomic applications, Addison-Wesley, 1998.

• Davis, M. D. (1971): Introducción a la teoría de jue-gos. Alianza Editorial, 1ª edición.

• Fudenberg, Drew y Jean Tirole: Game Theory, MITPress, 1991, ISBN 0-262-06141-4

• Gardner, R. (1996): Juegos para empresarios y eco-nomistas. Antoni Bosh editores, 1ª edición.

• Gibbons, Robert (1992): Game Theory for AppliedEconomists, Princeton University Press ISBN 0-691-00395-5. También publicado en Londres porHarvester Wheatsheaf (Londres) con el título A pri-mer in game theory.

• Gibbons, R. (1993): Un primer curso de teoría dejuegos. Antoni Bosch editores, 1ª edición.

• Ginits, Herbert (2000): Game Theory Evolving.Princeton University Press, ISBN 0-691-00943-0

• Osborne,Martin y Ariel Rubinstein:ACourse in Ga-me Theory, MIT Press, 1994, ISBN 0-262-65040-1

• Rasmusen, Erik:Games and information, 4ª edición,Blackwell, 2006. Disponible en Internet .

• William Poundstone: El Dilema del Prisionero,Alianza Editorial, 2005.

• Cano, Mauricio, Mena L., Carlos y Sadka, Joyce(2009): “Teoría de Juegos y Derecho Contemporá-neo; Temas Selectos”, ITAM, George Mason Uni-versity y Porrúa. ISBN 978-607-9-00031-8

• Hillier, Frederick S. Introducción a la investiga-ción de operaciones. México, D.F. : McGraw-Hill,c2010.

Lecturas adicionales

• Binmore, K. (1994): Teoría de juegos. EditorialMcGraw-Hill, 1ª edición.

• Friedman, J.W. (1991): Teoría de juegos con aplica-ciones a la economía. Editorial Alianza Universidad.

• Kreps, D.M. (1994): Teoría de juegos y modelacióneconómica. Fondo de Cultura Económica, 1º Edi-ción.

• Tirole, J. (1990): La teoría de la organización indus-trial. Editorial Ariel, 1ª edición.

Textos de importancia histórica

• Fisher, Ronald (1930) The Genetical Theory of Na-tural Selection. Clarendon Press, Oxford.

• Luce, Duncan y Howard Raiffa Games and Deci-sions: Introduction and Critical Survey. Dover, ISBN0-486-65943-7

• Maynard Smith, John: Evolution and the Theory ofGames, Cambridge University Press, 1982.

• Morgenstern, Oskar y John von Neumann (1947):Theory of Games and Economic Behavior. PrincetonUniversity Press.

• Nash, John (1950) “Equilibrium points in n-persongames” Proceedings of the National Academy of theUSA 36(1):48-49.

• Poundstone, William Prisoner’s Dilemma: John vonNeumann, Game Theory and the Puzzle of the Bomb,ISBN 0-385-41580-X

68 CAPÍTULO 12. TEORÍA DE JUEGOS

12.7 Notas[1] De cómo la teoría matemática de los juegos de estrategia

resolverá los problemas de la Eurozona y frenará las armasnucleares iraníes, Ariel Rubinstein, 5/5/2013, Sin permiso

[2] GameTheory.net Tiene una extensa lista de Referencias ala teoría de juegos en la cultura popular.

[3] Algunos estudiosos consideran ciertos juegos asimétricoscomo ejemplos deste tipo de juegos. Sin embargo, las re-compensas más habituales para todos estos juegos son si-métricas.

[4] El trabajo experimental en teoría de juegos recibe muchosnombres, economía experimental, economía conductista yteoría conductista de juegos. Para discusiones recientes eneste campo véase Camer 2003.

[5]

[6] Skyrms 1996, Grim et al. 2004

[7] Para una discusión detallada del uso de la teoría de juegosen ética véase la entrada de la Stanford Encyclopedia ofPhilosophy teoría de juegos y ética.

[8] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre ma-temáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[9] Teoría de juegos y del comportamiento económico

[10] Aunque el conocimiento común fue discutido por primeravez por el filósofo David Lewis en su disertación Conven-tion a finales de la década de 1960, no se estudió con de-tenimiento por los economistas hasta el trabajo de RobertAumann, en 1970.

12.8 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Teoría de juegos. Commons

En español:

• Introducción a la teoría de juegos, Eumed.net

• Literatura sobre teoría de juegos, Rubén Osuna

• “La teoría de los juegos y el origen de las institucio-nes”, Martín Krause, RIIM/ESEADE

• Sencilla introducción a la teoría de juegos, Raúl Bajo

En inglés:

• “Game Theory”, Wilfrid Hodges, Stanford Encyclo-pedia of Philosophy

• “A framework for the unification of the behavio-ral sciences”, Herbert Gintis, Behavioral and BrainSciences (2007) 30:1-61

• Game Theory, Experimental Economics, and Mar-ket Design Page, Alvin Roth

• A Chronology of Game Theory, Paul Walker

• GameTheory.net: A resource for educators and stu-dents of game theory, Mike Shor

• Introduction to Game Theory. Lecture by BenjaminPolak

Capítulo 13

Sociología

La sociología es la ciencia social que se encarga del aná-lisis científico de la estructura y funcionamiento de la so-ciedad humana o población regional.[1] Estudia los fenó-menos colectivos producidos por la actividad social delos seres humanos, dentro del contexto histórico-culturalen el que se encuentran inmersos.En la sociología se utilizan múltiples técnicas de investi-gación interdisciplinarias para analizar e interpretar des-de diversas perspectivas teóricas las causas, significadose influencias culturales que motivan la aparición de di-versas tendencias de comportamiento en el ser humanoespecialmente cuando se encuentra en convivencia socialy dentro de un hábitat o “espacio-temporal” compartido.Al ser una disciplina dedicada al estudio de las relacionessociales humanas, siendo estas de carácter heterogéneo,la sociología ha producido diversas y en ocasiones opues-tas corrientes. Tal situación ha enriquecido, mediante laconfrontación de conocimientos, el cuerpo teórico de estaciencia.Los orígenes de la sociología están asociados a los nom-bres de Karl Marx, Henri de Saint-Simon, Auguste Com-te, Herbert Spencer, Émile Durkheim, Georg Simmel,Talcott Parsons, Ferdinand Tönnies, Vilfredo Pareto,Max Weber, Alfred Schütz, Harriet Martineau, BeatriceWebb y Marianne Weber.Algunos de los sociólogos más destacados del siglo XXhan sido Talcott Parsons, Erving Goffman, Walter Ben-jamin, Herbert Marcuse, Wright Mills, Michel Foucault,Pierre Bourdieu, Niklas Luhmann y Jürgen Habermas.En la actualidad, los análisis y estudios más innovadoresde los comportamientos sociales corren a cargo de au-tores como George Ritzer, Anthony Giddens, ZygmuntBauman, Ulrich Beck, Alain Touraine, Manuel Castells,Slavoj Žižek, entre otros.

13.1 Fundadores de la disciplina

El razonamiento sociológico es preexistente a la funda-ción de la disciplina. El análisis social tiene su origen en elconocimiento y la filosofía occidental, desarrollados des-de la antigua Grecia por filósofos como Platón, e inclu-so otros anteriores. El origen de la encuesta, es decir, la

Auguste Comte.

obtención de información a partir de una muestra de in-dividuos, se remonta a por lo menos el Libro Domesdayen 1086[2]. El antiguo filósofo oriental Confucio escribiósobre la importancia de los roles sociales. Hay pruebasde la sociología temprana en el Islam medieval. Algunosconsideran que Ibn Jaldún, un erudito musulmán del nor-te de África (Túnez), ha sido el primer sociólogo y padrede la sociología. Su Muqaddima fue quizás el primer tra-bajo para avanzar en el razonamiento científico-social dela cohesión social y el conflicto social.[3]

Durante la época de la Ilustración y después de laRevolución Francesa, lo social y las actividades del hom-bre ganaron creciente interés. Escritores como Voltaire,Montesquieu, y Giambattista Vico, se interesaron poranalizar las instituciones sociales y políticas europeas. Y

69

70 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

Émile Durkheim.

Karl Marx.

Lord Kames inició el análisis de las causas del cambiosocial, y tras él, surgió una corriente conservadora, muy

Max Weber.

interesada en saber las razones de los cambios y de la es-tabilidad existentes en la sociedad, liderada por Josephde Maistre y Edmund Burke, quienes criticaron muchasde las premisas de la Ilustración.La voluntad de crear una “física social”, esto es, un cono-cimiento indiscutible de la sociedad, de forma análoga acomo se establece en la Física, surgió con el positivismodel siglo XIX. El primero en defender una teoría e inves-tigación científica de los fenómenos sociales fue Henride Saint-Simon (1760-1825) a mediados del siglo XIX.Auguste Comte, quien fue secretario de Saint-Simon en-tre 1817 y 1823, desarrolló sus teorías bajo las premisasdel positivismo. Comte acuñó la palabra “sociología” en1824 (del latín: socius, “socio, compañero"; y el sufijogriego -logía, “el estudio de”). La primera vez que apa-reció impresa esta palabra fue en su Curso de filosofíapositiva de 1838.[4]

Casi en simultáneo, en Alemania, Von Stein (1815-1890), introdujo el concepto de sociología como cien-cia (Die Wissenschaft der Gesellschaft) incorporando asu estudio lo que él llamó "Movimientos sociales" y la dia-léctica hegeliana. De esta manera logró darle a la discipli-na una visión dinámica. Von Stein es considerado comoel fundador de las ciencias de la Administración Pública.Alexis de Tocqueville (1805-1859) por su parte, es tam-bién reconocido como uno de los precursores de la so-ciología, por sus estudios sobre la Revolución francesay sobre los Estados Unidos (La democracia en Améri-ca, publicada entre 1835-1840). El citado analizó a lassociedades en general e hizo una comparación entre las

13.2. LOS MÉTODOS SOCIOLÓGICOS 71

sociedades americanas y las sociedades europeas.[5]

La sociología continuó con un desarrollo intenso y regu-lar a principio del siglo XX. Émile Durkheim, quien seinspiró en algunas teorías de Auguste Comte para reno-var la sociología, quería en particular “estudiar los hechossociales como si fueran cosas”.[6] Uno de los retos de lasociología era desarrollarse como una ciencia autónoma.Durkheim buscó distinguir a la sociología de la filosofíapor un lado y de la psicología por el otro. Por ello, se leconsidera como uno de los padres fundadores de la socio-logía.El citado postuló las bases de una metodología científi-ca para la sociología, en particular en la obra Las reglasdel método sociológico (1895), y en La división del traba-jo social (1893), libro que además es su tesis. Su métodoreposa esencialmente en la comparación de estadísticasy características cuantitativas, buscando liberarse de to-do subjetivismo ligado a toda interpretación cualitativa,y a desembarazarse de todos los prejuicios morales o mo-ralizadores a priori para comprender los hechos socialescomo en su obra: El Suicidio.Karl Marx es otro pensador que ha tenido una profundainfluencia en el pensamiento social y la crítica del sigloXIX.[7] Fue principalmente en Alemania donde desarro-llara una teoría mayor de la sociología, influenciando pos-teriormente, entre otros, en la Escuela de Frankfurt.Max Weber, contemporáneo de Durkheim, tomó un ca-mino diferente: empleó la Ciencia política, la Economíapolítica, la Filosofía de la cultura y del derecho, losestudios religiosos que son, según él, todo como la so-ciología, las “ciencias de la cultura”. De acuerdo a todauna tradición de la filosofía alemana (sobre todoWilhelmDilthey), estas ciencias son diferentes de las ciencias na-turales ya que tienen su propio método. Ellas proponenuna comprensión de los fenómenos colectivos antes quela búsqueda de leyes (es el método comprensivo).[8]

13.2 Los métodos sociológicos

13.2.1 Métodos cualitativos

La investigación cualitativa requiere un profundo enten-dimiento del comportamiento humano y las razones quelo gobiernan. A diferencia de la investigación cuantita-tiva, la investigación cualitativa busca explicar las razo-nes de los diferentes aspectos de tal comportamiento. Enotras palabras, investiga el por qué y el cómo se tomó unadecisión, en contraste con la investigación cuantitativa lacual busca responder preguntas tales como cuál, dónde,cuándo. La investigación cualitativa se basa en la tomade muestras pequeñas, esto es la observación de gruposde población reducidos, como salas de clase, etc.Este método consiste en descripciones detalladas de si-tuaciones, eventos, personas, interacciones y comporta-

mientos que son observables. Incorpora lo que los par-ticipantes dicen, sus experiencias, actitudes, creencias,pensamientos y reflexiones tal como son expresadas porellos mismos. Cook y Reichardt consideran entre los mé-todos cualitativos a la etnografía, los estudios de caso, lasentrevistas a profundidad, la observación participante yla investigación-acción.[9]

Una primera característica de estos métodos se manifiestaen su estrategia para tratar de conocer los hechos, proce-sos, estructuras y personas en su totalidad, y no a travésde la medición de algunos de sus elementos. La mismaestrategia indica ya el empleo de procedimientos que danun carácter único a las observaciones. La segunda carac-terística es el uso de procedimientos que hacen menoscomparables las observaciones en el tiempo y en diferen-tes circunstancias culturales, es decir, este método buscamenos la generalización y se acerca más a la fenomeno-logía y al interaccionismo simbólico. Una tercera carac-terística estratégica importante para este trabajo (ya quesienta bases para el método de la investigación partici-pativa), se refiere al papel del investigador en su trato -intensivo- con las personas involucradas en el proceso deinvestigación, para entenderlas.

13.2.2 Métodos cuantitativos

Imagen que representa la estadística aplicada a la sociología.

Cook y Reichardt apuntan que “cuando se aplican méto-dos cuantitativos se miden características o variables quepueden tomar valores numéricos y deben describirse pa-ra facilitar la búsqueda de posibles relaciones mediante elanálisis estadístico”. Aquí se utilizan las técnicas experi-mentales aleatorias, cuasi-experimentales, cuestionarios,encuestas, entre otros.[9]

Dentro de todos los análisis de los métodos cuantitati-vos podemos encontrar unas características basadas en elpositivismo como fuente epistemológica: el énfasis en laprecisión de los procedimientos para la medición, el usode técnicas de muestreo, así como la relación entre losconceptos y los indicadores con los que se miden (paraevitar las confusiones que genera el uso de un lenguaje os-curo, que pese a ser seductor, es difícil de comprobar suveracidad). Otra característica predominante de los mé-

72 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

todos cuantitativos es la selección subjetiva e intersubje-tiva de indicadores (a través de conceptos y variables) deciertos elementos de procesos, hechos, estructuras y per-sonas. Estos elementos no conforman en su totalidad, losprocesos o las personas (de allí se deriva el debate entrelos cuantitativistas que nunca ven un fenómeno integrado,sino siempre conjuntos de partículas de los fenómenosrelacionados con la observación, y los cualitativistas quepueden percibir los elementos generados que compartenlos fenómenos). Sin embargo, las nuevas técnicas cuan-titativas, como el análisis de redes sociales, o la historiade acontecimientos, consiguen en cierta medida superarestas limitaciones.

13.2.3 Método comparativo

El método comparativo estudia la correlación que existeentre uno o más fenómenos que se cotejan. Cuando seestudia, por ejemplo, la relación directa que existe entreel desarrollo del urbanismo y la relajación de las costum-bres, o entre la extensión de la educación y la democracia,se hace uso del método comparativo.

13.3 Teorías y paradigmas socioló-gicos

Distintas corrientes han nutrido el cuerpo teórico de lasociología, entre las que destacan, la Escuela Francesa,la Escuela Inglesa, la Escuela de Chicago y la Escuelade Fráncfort. Las perspectivas generalmente usadas sonel interaccionismo simbólico, el socioconstruccionismo,la teoría del conflicto, la fenomenología y la teoríafuncionalista, no siendo las únicas. Muchos sociólogosse han abocado al estudio de la sociología crítica, elposestructuralismo, y otras tantas basadas en la compren-sión del sujeto desde una perspectiva amplia, basada endisciplinas como la historia, la filosofía, entre otras, ob-teniendo así una teoría sociológica compleja y cuyos co-nocimientos son más profundos que en los primeros ca-sos. Además de las expuestas, entre el grupo de las gran-des escuelas se encuentran la teoría neomarxiana y lafenomenología, en su vertiente sociológica.[10]

13.3.1 Funcionalismo estructuralista

La teoría está asociada a Émile Durkheim ymás reciente-mente a Talcott Parsons, además de autores como RobertK. Merton. El funcionalismo estructuralista ve a la so-ciedad como un sistema complejo, cuyas partes trabajanjuntas para promover la solidaridad y estabilidad. Esteenfoque analiza la sociedad desde un nivel macro, que esun enfoque amplio en las estructuras sociales que la con-forman en su conjunto. Cree que la sociedad evolucionade manera gradual, como parte de un proceso de adapta-ción y complejización, de modo análogo a los organismos

Talcott Parsons

vivientes.[11] El funcionalismo se preocupa tanto por lasestructuras como las funciones sociales. Se interesa porsus elementos constitutivos, a saber: normas, costumbres,tradiciones e instituciones.[12]

A pesar de la indiscutible hegemonía que ostentó durantelas dos décadas posteriores a la Segunda Guerra Mundial,el funcionalismo estructural ha perdido importancia comoteoría sociológica.

13.3.2 Interaccionismo simbólico

El interaccionismo simbólico es una corriente de pensa-miento microsociológica. Partiendo de un método de es-tudio participante, capaz de dar cuenta del sujeto, conci-be lo social como el marco de la interacción simbólica deindividuos, y concibe la comunicación como el procesosocial por antonomasia, a través del cual, se constituyensimultánea y coordinadamente, los grupos y los indivi-duos. Este analiza el sentido de la acción social desde laperspectiva de los participantes. Algunos interaccionistassimbólicos destacados son Herbert Blumer, Erving Goff-man o Nikolas Rose.SegúnMead, el individuo no nace siendo persona. La per-sona se forma socialmente cuando logra observarse a símisma como un objeto, es decir, cuando logra un pen-samiento reflexivo sobre sí mismo. Los otros, las demáspersonas, son un espejo en el cual se observa la propia

13.3. TEORÍAS Y PARADIGMAS SOCIOLÓGICOS 73

persona.[13]

En un sentido similar, Goffman, basado en un modelointerpretativo dramatúrgico, estudia los ritos de interac-ción comunicativa que aprendemos y ponemos en juegoen nuestra vida cotidiana. Define el rol como un conjuntoorganizado de expectativas de comportamiento en tornoa una función o posición social (por ejemplo “padre”, “je-fe”, “profesor”).[14]

13.3.3 Etnometodología

La etnometodología es una corriente sociológica surgi-da en los años sesenta a través de los trabajos de HaroldGarfinkel. Se basa en el supuesto de que todos los sereshumanos tienen un sentido práctico con el cual adecuanlas normas de acuerdo con una racionalidad práctica queutilizan en la vida cotidiana. En términos más sencillos,se trata de una perspectiva sociológica que toma en cuen-ta los métodos que los seres humanos utilizan en su vidadiaria para levantarse, ir al trabajo, tomar decisiones, en-tablar una conversación con los otros. En la antropologíatambién se suele seguir esta línea sociológica, sobre todolos antropólogos que se especializan en los estudios de lasociedad.

Max Horkheimer (izquierda), Theodor Adorno (derecha) yJürgen Habermas (fondo derecha) en 1965

13.3.4 Teorías del conflicto

La teoría del conflicto es una de las grandes escuelas dela teoría sociológica moderna, es considerada como desa-rrollo que se produjo en reacción a la estática del funcio-nalismo estructural. Durante las décadas de 1950 y 1960la teoría del conflicto proporcionó una alternativa al fun-cionalismo estructural, pero ha sido superada reciente-mente por las teorías neomarxianas. La teoría del con-flicto está íntimamente vinculada a la teoría de los juegosy a los estudios y escuelas sobre negociación.Entre los más prominentes pensadores con enfoque so-ciológico de los últimos tiempos hay que tener en cuentaal pensador francés Michel Foucault (1926-1984) y al au-tor alemán Jürgen Habermas (nacido en 1929). Al igual

que los clásicos de la disciplina, estos autores no sólo hansido sociólogos sino que se han ocupado ampliamente dela filosofía y de la historia. Foucault se ocupó de mate-rias similares a las analizadas por Weber en sus estudiosde la burocracia: el desarrollo de las prisiones, hospitales,escuelas y otras organizaciones a gran escala. Por ejem-plo, consideraba que la sexualidad siempre está vincula-da al poder social y cuestionaba la idea de que un mayorconocimiento conduzca a una mayor libertad, porque loconcebía como una forma de “etiquetar” a las personas yde controlarlas.

13.3.5 Teoría del intercambio

El desarrollo de la teoría del intercambio tiene sus raícesen el conductismo.El conductismo está más vinculado a la psicología, peroen sociología tiene una influencia directa en la sociolo-gía conductista y una influencia indirecta en la teoría delintercambio. El sociólogo conductista se ocupa de la re-lación entre los efectos de la conducta de un actor sobresu entorno y su influencia sobre la conducta posterior delactor. Los conductistas se interesanmucho por las recom-pensas y los costes de las acciones. Las recompensas sedefinen por su capacidad de reforzar la conducta, mien-tras los costes reducen la probabilidad de la conducta. Eneste sentido, el conductismo en general, y la idea de re-compensas y costes en particular, han influido poderosa-mente en la primera teoría del intercambio.La teoría del intercambio de Peter Blau se diferencia endistintas facetas con la de Homans, la meta de Blau eracontribuir a una comprensión de la estructura social sobrela base de un análisis de los procesos sociales que rigenlas relaciones entre los individuos y los grupos. La cues-tión básica es cómo se llega a organizar la vida social enestructuras cada vez más complejas de asociaciones entrepersonas.[10]

13.3.6 Teoría de sistemas

Walter Buckley (1967) aborda una cuestión de importan-cia central: las ventajas de la teoría de sistemas para lasociología. En primer lugar, dado que la teoría de sis-temas se deriva de las ciencias naturales y dado que, almenos a los ojos de sus exponentes, es aplicable a todaslas ciencias sociales y conductistas, ofrece un vocabula-rio que las unifica. En segundo lugar, la teoría de sistemasincluye varios niveles de análisis y puede aplicarse igual-mente a los aspectos macro más objetivos y a los aspectosmicro más subjetivos de la vida social. En tercer lugar, lateoría de sistemas se interesa por las diversas relacionesentre los numerosos aspectos del mundo social, y por tan-to, milita contra los análisis parciales del mundo social.

74 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

Pierre Bourdieu

13.3.7 Acción y estructura

La dicotomía entre estructura y acción, a veces referidacomo determinismo contra voluntarismo[15], forma partede un debate ontológico duradero en la teoría social: ¿de-terminan las estructuras sociales el comportamiento de unindividuo o lo hace la acción humana? En este contexto,se entiende por agencia a la capacidad de las personaspara actuar de forma independiente y tomar decisioneslibres, mientras que la “estructura” se refiere a los facto-res que limitan o afectan las decisiones y acciones de losindividuos (como la clase social, religión, género, origenétnico, entre otras). Las discusiones sobre la primacía dela estructura o la acción se relacionan con el núcleo de laepistemología sociológica (¿de qué está hecho el mundosocial, ¿qué es una causa en el mundo social y qué es unefecto?).[16]

Una pregunta permanente dentro de este debate es acer-ca de la "reproducción social": ¿cómo son las estructuras(en especial, las estructuras que producen desigualdad)reproducidas a través de las elecciones de los individuos?.Diferentes respuestas han sido planteadas a este respec-to por la sociología contemporánea. Entre ellas podemosmencionar a Pierre Bourdieu, con su teoría constructivistagenética[17]; Jürgen Habermas, con su distinción entre ra-cionalidad instrumental y comunicativa -sistema y mundode la vida-[18], y Anthony Giddens, con su teoría de la es-

tructuración social.[16]

13.4 Dinámica social

Se entiende como un dinamismo social[19] el fluir de lascostumbres y creencias de una sociedad. El cambio seevidencia a través de las interacciones de cada personacon el resto social y cómo el conjunto afecta al individuo,marcando un comportamiento de comunicación global desujetos relacionados entre sí. Las formas y convencionesde la dinámica social están marcadas por la historia y su-jetas, por tanto, a un cambio permanente.La interacción social resultante de la dinámica, expresagrados sociales, estableciendo campos de acción que seexpresan mediante la diferenciación del status quo social.En la interacción social, habría primero que establecer lacapa o campo social sobre el que se va a observar a losindividuos y cómo éstos influyen mutuamente y adaptansu comportamiento frente a los demás.

13.5 Sociología en Latinoamérica

La sociología en la región latinoamericana se desarrolla-ría a lo largo del siglo XX, con posterioridad a Europa ylos Estados Unidos. Su creación se vincula a diferentes in-tentos de apropiación del corpus teórico de la disciplina,sumado al desafío de producir y legitimar un ideario con-ceptual propio, que reflejara la realidad del conjunto deestos países. Esta se nutriría además de aportes intelec-tuales locales variados. Los desarrollos más significativoselaborados desde la región se refieren a lecturas críticasdel imperialismo y los procesos de colonización, teoríasvinculadas a la modernización de la matriz económica,social y cultural, así como teorías de la dependencia, conénfasis en la subordinación de la región a escala mundial.Estas últimas se vinculan a la teología de la liberación,pedagogía del oprimido y un conjunto de estudios reali-zados desde la CEPAL.[20][21]

Más recientemente, encontramos estudios sobredemocracia, democratización y derechos humanos,aportes críticos al neoliberalismo y la globalización eco-nómica, así como estudios sobre participación política,acción colectiva y conflicto social.[20]

Algunas organizaciones que consolidaron la institucio-nalización de la disciplina en la región son: ALAS,CLACSO y FLACSO.

13.6 Áreas de la sociología

• Sociología del arte

• Sociología de la ciencia

13.8. REFERENCIAS 75

• Sociología de la comunicación

• Sociología informática

• Sociología del conocimiento

• Sociología de la cultura

• Sociología del deporte

• Sociología del Derecho

• Sociología de la desviación

• Sociología económica

• Sociología de la educación

• Sociología de género

• Sociología de la infancia

• Sociología de Internet

• Sociología de la lectura

• Sociología del lenguaje

• Sociología de la literatura

• Sociología médica

• Sociología de los movimientos sociales

• Sociología de la música

• Sociología de las organizaciones

• Sociología política

• Sociología de la religión

• Sociología rural

• Sociología de la sociología

• Sociología del trabajo

• Sociología urbana

• Teoría del desarrollo

13.7 Véase también

• Portal:Sociología. Contenido relacionado conSociología.

• Antropología

• Historia de la Sociología

• Psicología

• Psicosociología

• Sociología aplicada

13.8 Referencias

[1] Española, Real Academia (22 de junio de 2016).Diccionario de la lengua Española. Vigesimoterceraedición. Versión normal. Grupo Planeta Spain. ISBN9788467047882. Consultado el 20 de julio de 2016.

[2] Mitchell, G. Duncan (1 de enero de 1979). A New Dic-tionary of the Social Sciences, Second Edition (en inglés).Transaction Publishers. ISBN 9780202364018. Consul-tado el 20 de julio de 2016.

[3] Alatas, Syed Hussein (1 de enero de 2006). «TheAutonomous, the Universal and the Future of So-ciology». Current Sociology (en inglés) 54 (1): 7-23. doi:10.1177/0011392106058831. ISSN 0011-3921.Consultado el 20 de julio de 2016.

[4] voz Sociología en Salvador Giner, Emilio Lamo de Espi-nosa y Cristóbal Torres (editores). 2001. Diccionario deSociología Alianza Editorial.

[5] Tocqueville, Alexis de (1 de febrero de 2007). Lademocracia en América. Ediciones AKAL. ISBN9788446025924. Consultado el 20 de julio de 2016.

[6] Durkheim, Emile; Durkheim, Émile (1 de enero de 1997).Las reglas del método sociológico. Ediciones AKAL. ISBN9788476002490. Consultado el 20 de julio de 2016.

[7] Berlin, Isaiah. 1967.KarlMarx: His Life and Environment.Time Inc Book Division, New York.

[8] Weber, Max (23 de junio de 2014). Economía y sociedad.Fondo de Cultura Economica. ISBN 9786071620897.Consultado el 20 de julio de 2016.

[9] Cook, Thomas D. (1 de enero de 1986).Métodos cualita-tivos y cuantitativos en investigación evaluativa. EdicionesMorata. ISBN 9788471123107. Consultado el 20 de juliode 2016.

[10] Ritzer, George (1 de enero de 2001). Teoría sociológicamoderna. McGraw-Hill. ISBN 9788448132248. Consul-tado el 20 de julio de 2016.

[11] ^DeRosso,Deb The Structural Functional Theoretical Ap-proach, 2003.(Consultado el 24 de febrero de 2012)

[12] Macionis, John J.; Plummer, Ken (1 de enero de 2007).Sociología. Pearson Educación. ISBN 9788420550305.Consultado el 20 de julio de 2016.

[13] Mead, George Herbert (1 de enero de 1999). Espíritu,persona y sociedad: Desde el punto de vista del conductis-mo social. Grupo Planeta (GBS). ISBN 9788449307157.Consultado el 20 de julio de 2016.

[14] Goffman, E. (1959). La presentación de la persona en lavida cotidiana. Amorrortu. Buenos Aires.

[15] Archer, Margaret Scotford (19 de octubre de 1995).Realist Social Theory: The Morphogenetic Approach(en inglés). Cambridge University Press. ISBN9780521484428. Consultado el 20 de julio de 2016.

76 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

[16] Giddens, Anthony (1 de enero de 1995). La constituciónde la sociedad: bases para la teoría de la estructuración.Amorrortu Editores. ISBN 9789505181711. Consultadoel 20 de julio de 2016.

[17] Bourdieu, Pierre (1 de enero de 2000). Cosas dichas. Ge-disa. ISBN 9789688521250. Consultado el 20 de julio de2016.

[18] Habermas, Jürgen (1 de enero de 1999). Teoría dela acción comunicativa. Escudero López, J. A. ISBN9788430603404. Consultado el 20 de julio de 2016.

[19] Historia del mundo, Universidad Nacional Española aDistanica - UNED

[20] V, Eduardo Devés (1 de enero de 2000). El pensamientolatinoamericano en el siglo XX: entre la modernización yla identidad. Biblos. ISBN 9789507863578. Consultadoel 20 de julio de 2016.

[21] Roitman, Marcos (1 de enero de 2008). Pensar Améri-ca Latina: el desarrollo de la sociología latinoamericana.CLACSO. Consultado el 20 de julio de 2016.

13.9 Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre sociología.Wikcionario

• Wikiversidad alberga proyectos de aprendizajesobre Sociología.Wikiversidad

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Sociología. Commons

13.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 77

13.10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

13.10.1 Texto• Análisis dimensional Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_dimensional?oldid=94450351 Colaboradores: Abgenis,

Tano4595, BOT-Superzerocool, Jasón, Folkvanger, Davius, Alvaro qc, Tortillovsky, JAnDbot, Poc-oban, Integral triple, TXiKiBoT, Doc-fredderick, VolkovBot, Technopat, Nicoguaro, Muro Bot, Aivoges, Drinibot, Dnu72, PasabaPorAqui, PasabaUnBotPorAqui, Petruss,Raulshc, Kadellar, UA31, Tartin17, FiriBot, Diegusjaimes, Arjuno3, Luckas-bot, Cantoral, LordboT, SuperBraulio13, Jkbw, TobeBot,FAL56, Jerowiki, Dinamik-bot, EmausBot, JackieBot, MerlIwBot, Satanás va de retro, KLBot2, MetroBot, Bibliofilotranstornado, Acrat-ta, Justincheng12345-bot, Gilmjc, Jarould, Lectorina, Dzaenn y Anónimos: 49

• Teorema π de Vaschy-Buckingham Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_%CF%80_de_Vaschy-Buckingham?oldid=96397386 Colaboradores: Sabbut, FAR, Alfredobi, CEM-bot, Davius, Rafa606, Urdangaray, Jlosada, Farisori, PixelBot, Leonpolanco,Juan Mayordomo, Luckas-bot, Xqbot, Jkbw, Rubinbot, Carto20, FAL56, ZéroBot, KLBot2, Jarould, JSandu y Anónimos: 12

• Teorema de Bertrand Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bertrand?oldid=94042402 Colaboradores: Echani, BenjaBot yAnónimos: 1

• Teoría de las semejanzas Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_las_semejanzas?oldid=94447986 Colaboradores:Petronas, BOT-Superzerocool, GermanX, Gaijin, CEM-bot, Drinibot, LucienBOT, OverG, Arjuno3, Jkbw, EduLeo, JacobRodrigues, Pa-rénquima y Anónimos: 7

• Turbulencia Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Turbulencia?oldid=95796486 Colaboradores: FAR, Peejayem, Patricio.lorente, Ma-gister Mathematicae, Orgullobot~eswiki, Yrbot, BOT-Superzerocool, Marb, McPolu, Morza, BOTpolicia, CEM-bot, Davius, Thijs!bot,JAnDbot, Nioger, Idioma-bot, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Muro Bot, SieBot, Marcelo, Botito777, Alexbot, SilvonenBot, AV-BOT, OverG, HerculeBot, Luckas-bot, Amirobot, FariBOT, SuperBraulio13, Obersachsebot, Xqbot, DixonDBot, KamikazeBot, Emaus-Bot, Savh, MerlIwBot, Vdjimen, Stopthetape, Chevebot, Legobot, JacobRodrigues, Jarould, Krassnine, FSDmar y Anónimos: 29

• Chaos Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Chaos?oldid=88085559 Colaboradores: CEM-bot, VolkovBot, Tipo de incógnito, Muro Bot,Fran4004, Bigsus-bot, Copydays, Tirithel, Franciscosp2, LucienBOT, Diegusjaimes, DumZiBoT, Luckas-bot, Jotterbot, ArthurBot, Su-perBraulio13, Xqbot, D'ohBot, TiriBOT, Grillitus, Invadibot, YFdyh-bot, Legobot, Addbot y Anónimos: 5

• Dimensión fractal Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_fractal?oldid=93595902 Colaboradores: Davius, Gsrdzl,TXiKiBoT, Gustronico, Muro Bot, Bigsus-bot, Gato ocioso, Alexbot, MastiBot, Luckas-bot, Xqbot, Jkbw, PatruBOT, Rafandalucia,EmausBot, HRoestBot, ChessBOT, Grillitus, Addbot, JacobRodrigues y Anónimos: 9

• Economíamatemática Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa_matem%C3%A1tica?oldid=96648202 Colaboradores:Benjavalero, BOT-Superzerocool, Oscar ., CEM-bot, Technopat, BOTarate, Correogsk, Kikobot, Juan Mayordomo, Arjuno3, Andreasm-peru, MystBot, Jkbw, Sr. Alvaro, Edwod2001, EmausBot, Grillitus, Pegaso2005, Franco68, KLBot2, MetroBot, Elvisor, MahdiBot, Lang-toolbot, Addbot, BenjaBot, Luis.cea.hdz, FSDmar, Leoncastro y Anónimos: 5

• Microeconomía Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Microeconom%C3%ADa?oldid=96314853 Colaboradores:Moriel, Abgenis, Julie,Togo~eswiki, Ivn, Dodo, Elwikipedista, Dianai, Juanjfb, Javier Jelovcan, Fmariluis, ManuP, Richy, FAR, Napoleón333, Boticario, Coro-liano, Deleatur, Petronas, Airunp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Chobot, Caiser-bot, Yrbot, FlaBot, Maleiva, Vitamine, BOTijo, YurikBot, DarkDante, Jyon, Suntalzel, JRGL, Seretbit, Eskimbot, Banfield, SMP, Ppja,Chlewbot, Nihilo, Carhg, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, Baiji, Davius, Rastrojo, Ciberpunk, Erodrigufer, FrancoGG, Thijs!bot,Tortillovsky, OrzerO, Isha, JAnDbot, Edu.dg, Mansoncc, Rafa3040, BetBot~eswiki, Gaius iulius caesar, TXiKiBoT, Humberto, Rei-bot,Pólux, Manuel Trujillo Berges, AlnoktaBOT, Jorditxei, Cipión, VolkovBot, Technopat, Galandil, Erfil, Matdrodes, BlackBeast, Santia-go023, Edmenb, Gflores92, SieBot, Carmin, Le Pied-bot~eswiki, Anual, Marcelo, BuenaGente, PipepBot, Mosfetrico, Jarisleif, Jloc25,Eduardosalg, Veon, Leonpolanco, Pablo Cabrera Yaksic, Poco a poco, Alexbot, Raulshc, Açipni-Lovrij, SilvonenBot, UA31, AVBOT,MastiBot, NicolasAlejandro, Politiconomicon, Diegusjaimes, MelancholieBot, Jan eissfeldt, Arjuno3, Luckas-bot, Kilinkis, MercadoTen-dencias.com, Mahky, Markoszarrate, Lehman, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Sr. Alvaro, Dan6hell66, Jennifasa, Botarel, As-taBOTh15, Panderine!, Arielbgarcia, TobeBot, Wiki ivo, Halfdrag, PatruBOT, Tarawa1943, Setincho, Valdemar 290, Juanda1234567,EmausBot, Savh, Mecamático, ChuispastonBot, WikitanvirBot, Palissy, MerlIwBot, KLBot2, Sebrev, Ginés90, MetroBot, John plaut, DA-RIO SEVERI, Pelopelo2 uv, Minsbot, Harpagornis, LlamaAl, Elvisor, Helmy oved, Maria Luz Rodriguez14, Addbot, Berbatov~eswiki,Balles2601, SSue garcia, Ojitos 117, Alvaro Lunario, Jarould, Matiia, 4lextintor, Yuliaconde, Victor1810, Fernando2812l, Gladyscm05,Rubcald y Anónimos: 318

• Macroeconomía Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Macroeconom%C3%ADa?oldid=96157538 Colaboradores: Urko1982, Sabbut,Moriel, JorgeGG, Rumpelstiltskin, Togo~eswiki, Sms, Dianai, Xenoforme, Airunp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae,Aadrover, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Chobot, Caiserbot, Yrbot, YurikBot, Neolandes, Suntalzel, KnightRider, Eskimbot, Ban-field, AKeen, Maldoror, Chlewbot, Tomatejc, Filipo, Alexquendi, Alfa989, CEM-bot, FedericoEcon, Damifb, Baiji, Davius, Rastrojo,Montgomery, Thijs!bot, Alvaro qc, Mahadeva, ESTUDIANTE~eswiki, Yaguilu, Isha, Bernard, Gusgus, Mpeinadopa, Osiris fancy, JAnD-bot, Kamilokardona, Edu.dg, BetBot~eswiki, TXiKiBoT, Humberto, Netito777, Amanuense, Pólux, AlnoktaBOT, VolkovBot, Galandil,Matdrodes, BlackBeast, Edmenb, SieBot, Jhvc03, Carmin, Drinibot, Anual, CASF, BOTarate, Correogsk, Mafores, PipepBot, Tirithel,Javierito92, Dangsol15, Desmond, 5mabaran, Eduardosalg, ProfessorMCGES, Leonpolanco, Poco a poco, Alexbot, Açipni-Lovrij, UA31,AVBOT, Angel GN, Diegusjaimes, MelancholieBot, Jan eissfeldt, Andreasmperu, Luckas-bot, Vic Fede, Markoszarrate, SuperBraulio13,Felixjapo, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Botarel, Googolplanck, TobeBot, AnselmiJuan, PatruBOT, KamikazeBot, Ddiaz542, Pedromoises, Ivanpares, Juanda1234567, EmausBot, ZéroBot, Darkmaster006, Emiduronte, ChuispastonBot, MadriCR, Waka Waka, Mjbmr-bot, Ruben.mg, Retoni.diaz, JNorberth, MacroDiono, KLBot2, MetroBot, Grachifan, LlamaAl, Elvisor, DLeandroc, Robinbot, Allanbot,Maria Luz Rodriguez14, Kasumi21, Addbot, Arivera92, Juan moyano, Kathia.santos, Matteocordoba, Friki 323, Vdemedina, Jarould,4lextintor, Lectorina, NinoBot, Nowhatever, Ll77777, Darkksunt1, Rubcald y Anónimos: 271

• Ecuación de Price Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Price?oldid=92354625 Colaboradores: CEM-bot, Urdan-garay, Feministo, Luckas-bot, Jkbw, Grillitus, Elías, Langtoolbot, Addbot, Semagoca y Anónimos: 4

• Teoría de juegos Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos?oldid=96455481 Colaboradores: Haylli, Oblongo,ManuelGR, Rtamayo, Rosarino, Dodo, Ascánder, Sms, Elwikipedista, Julian Colina, Tano4595, Barcex, Aracne, Xatufan, Rondador, Kor-das, Skeepa, LeonardoRob0t, Digigalos, Taragui, AlfonsoERomero, Gelo71, JMPerez, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister

78 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

Mathematicae, Maltusnet, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Platonides, Chobot, Yrbot, BOT-Superzerocool, Wikiwert, BOTijo, Oscarif,YurikBot, Sasquatch21, KnightRider, Guanabot~eswiki, ArielPalazzesi, Kazem, José., Maldoror, Smoken Flames, Zanaqo, Arivera, Ro-driguillo, Santiago Pérez, Nihilo, Paintman, Juan Marquez, Guish!, CEM-bot, Monzerrat, Tute, Juan de leon, Ignacio Icke, Retama, Baiji,Karshan, Mcetina, Javadane~eswiki, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Roberto Fiadone, Rufasto, Hanjin, MetalMind, Edu.dg, CommonsDelin-ker, TXiKiBoT, Sa~eswiki, Humberto, Luisderanchos, Sincro, AlnoktaBOT, Technopat, Belgrano, Libertad y Saber, Matdrodes, Muro Bot,YonaBot, BotMultichill, SieBot, Loveless, Macarrones, Anual, Gifo182, Pérez Poch, Mafores, PipepBot, Yonseca, Kikobot, Farisori, Jack-Pier, Gallowolf, Alecs.bot, Frei sein, Açipni-Lovrij, Kintaro, Osado, SilvonenBot, Armando-Martin, Ente X, AVBOT, LucienBOT, Juan-jo.it.ab, Diegusjaimes, MelancholieBot, CarsracBot, Arjuno3, Luckas-bot, Nallimbot, Ptbotgourou, Miunicornio, Daniel Feipeler, Nixón,Felipe Schenone, SuperBraulio13, Amnesico29, Faguiar, Raulbajob, Xqbot, Venerock, Jkbw, Igna, Botarel, Eljavobuenaonda, D'ohBot,TobeBot, KamikazeBot, Foundling, Ivanpares, EmausBot, Vinicius10, El Ayudante, Emiduronte, ChuispastonBot, WikitanvirBot, Palissy,MerlIwBot, Oten~eswiki, Sebrev, MetroBot, HiW-Bot, LlamaAl, Elvisor, Allanbot, YFdyh-bot, Tsunderebot, EduLeo, Agusavior, Addbot,JacobRodrigues, ZgzThecreator, Jarould, Matiia, Crystallizedcarbon, Beromawiki, JorgeAlejandroSAE y Anónimos: 158

• Sociología Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADa?oldid=95971657 Colaboradores: Maveric149, Zuirdj, Moriel, Jor-geGG, Hashar, Robbot, Rumpelstiltskin, Sanbec, Aparejador, Dionisio, Javier Carro, Blupeados, Interwiki, Rosarino, Dodo, Sms, Luisrull,Rsg, Opinador, Julian Colina, Tano4595, Fmariluis, Loco085, Robotico, Jmpc007, Kippel, Elsenyor, Niqueco, Renabot, FAR, Jcb, Taragui,Soulreaper, Petronas, Orgullomoore, Airunp, Taichi, Emijrp, Patricio.lorente, Rembiapo pohyiete (bot), LeCire, Orgullobot~eswiki, Ro-botQuistnix, Chobot, Legeh, Caiserbot, Osvaldiaz, Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, Oscar ., Varano, Vitamine, Dubstar, .Sergio, Ojota,YurikBot, LoquBot, KnightRider, JohnGalt1812~eswiki, Jesuja, Tv insomne, Banfield, The G, Maldoror, Wikishelly, BludgerPan, Cami-ma, Chlewbot, Rodriguillo, Gononogon, Locutus Borg, BOTpolicia, CEM-bot, Jorgejhms, Damifb, Laura Fiorucci, Roblespepe, F.A.A,Davius, Antur, Jorge Acevedo Guerra, Ral315, Cabreranews, Montgomery, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Xabier, Tortillovsky, Barleduc,Mahadeva, P.o.l.o., Escarbot, Yeza, RoyFocker, Max Changmin, Ninovolador, Botones, Cratón, Isha, Gusgus, JAnDbot, Guilax, Kved,Tecno-mago, Gaius iulius caesar, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Hidoy kukyo, Dugo17, MHQ1973, Bot-Schafter, Humberto, Netito777,Fitmoos, Nioger, Pedro Nonualco, Pólux, Gerwoman, Jmvkrecords, Dhidalgo, Evitae, Yadgana, Lnegro, Cinevoro, VolkovBot, Snakeyes,Technopat, Juenesco25, Matdrodes, Synthebot, House, BlackBeast, Shooke, Muro Bot, Edmenb, Racso, SieBot, Mushii, Sardi, Natholomeosociologo, Pompilio Zigrino, Cobalttempest, Magse16, Sdiaz.mx, Dieogomez, Mel 23, Tommy Boy, Izmir2, Manwë, Gentrone, Derbey,Greek, Belb, Xqno, Yilku1, Tirithel, Ferdinand, Prietoquilmes, Jarisleif, Canaan, HUB, Lvccrespo, MetsBot~eswiki, Antón Francho, Ni-cop, Allezo, Alexis.toluk, Eduardosalg, Mlgamez, Botellín, Leonpolanco, Pan con queso, Alejandrocaro35, BetoCG, Alexbot, Valentinestevanez navarro, Roberto Cruz, Rαge, Ceeudeco, Açipni-Lovrij, Osado, Kadellar, Camilo, UA31, Igallards7, MARC912374, AVBOT,David0811, Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, MelancholieBot, Mayitalexandra, Anton vk, CarsracBot, Arjuno3, Luckas-bot, Patty-moreno, Opus88888, Dangelin5, Barteik, Man3x, FRT, NeledIthil, ArthurBot, Fernando Steven, SuperBraulio13, Danielayanami, Xqbot,Jkbw, Doort, Rubinbot, Dreitmen, Dossier2, Whiteriot93, Pitufo.Budista, Ricardogpn, Igna, Silvialon, AstaBOTh15, Juanpedia..., D'ohBot,Tezcatlipoca21, TobeBot, Spellblaze, Deybijet, AnselmiJuan, Smileegar, Born2bgratis, Aguzanotti, PatruBOT, KamikazeBot, Alvarojar-din, Foundling, Mathonius, Daniel Tenerife, Exper12, Axvolution, EmausBot, Savh, ZéroBot, Allforrous, Andparra, Sergio Andres Segovia,Grillitus, Franciscodaniel.gonzalez, Rubpe19, MercurioMT, Danielcalva, Emiduronte, Jcaraballo, Juanchi504, Waka Waka, Wikitanvir-Bot, Movses-bot, Hiperfelix, Wikieditor info, Rezabot, Abián, MerlIwBot, JABO, Wcespi, Mcklopedia22, Travelour, Ginés90, MetroBot,Ileana n, Omohoa, Vetranio, Wikieditor2, Érico, Banguero54, Holacorazones, Jaqeziitha, Romina800, Helmy oved, Francoelvago, UnTal Alex.., Juanitorreslp, Zerabat, Syum90, Karrlos, Anorsconferton, Alan, Addbot, Jnpoelstra, Dacruzp, Balles2601, Eduardocontracul-tura91, Nikosalvard, Adrián Cerón, Alex060606, Angeles124, Deivy arias, AbdeCh, Jarould, Zeiimer, Vítor, BenjaBot, GagoUNAMenlinea, FuensantaSanta, Paloma Toscano, Zezil23, LMHSUAYED, Lectorina, Nico320, Jualve, Efren-Cabrera-Barrientos, Jose alonso pazherrera, Ks-M9, Luisjosegonzalezoquendo, Roberthico, Aleadras, Fcc678, Javier Martínez Escobedo y Anónimos: 683

13.10.2 Imágenes• Archivo:AS_+_AD_graph.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/25/AS_%2B_AD_graph.svg Licencia: CC

BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Syed• Archivo:AdornoHorkheimerHabermasbyJeremyJShapiro2.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/

AdornoHorkheimerHabermasbyJeremyJShapiro2.png Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Photograph taken in April 1964 byJeremy J. Shapiro Artista original: Jeremy J. Shapiro

• Archivo:Airplane_vortex.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Airplane_vortex.jpg Licencia: Public do-main Colaboradores: nix.ksc.nasa.gov Artista original: NASA Langley Research Center (NASA-LaRC)

• Archivo:Amoeba_proteus_from_Leidy.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/43/Amoeba_proteus_from_Leidy.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Fresh-water Rhizopods of North America, 1879 Artista original: Joseph Leidy

• Archivo:Amoebas_from_Ehrenberg.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/Amoebas_from_Ehrenberg.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Die Infusionthierchen, 1830 Artista original: C.G. Ehrenberg

• Archivo:Auguste_Comte.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Auguste_Comte.jpg Licencia: Public do-main Colaboradores: http://www.bolender.com/Sociological%20Theory/Comte,%20Auguste/Another%20Picture%20of%20Auguste%20Comte.jpg Artista original: ?

• Archivo:Bourdieu_Strasbourg_crop.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6b/Bourdieu_Strasbourg_crop.jpg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Crop of File:Pierre Bourdieu à l'université de Strasbourg.JPG Artista original: User:HibouTranquille

• Archivo:Caja_edgeworth.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Caja_edgeworth.png Licencia: CC BY3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Tuberculomorado

• Archivo:Cascada_de_Energía.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/44/Cascada_de_Energ%C3%ADa.pngLicencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: OverG

• Archivo:Centipede_game.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Centipede_game.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:Chaos_carolinense.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Chaos_carolinense.jpg Licencia: CCBY-SA 2.5 Colaboradores: http://protist.i.hosei.ac.jp/PDB2/PCD1761/D/79.jpg Artista original: dr.Tsukii Yuuji

13.10. ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 79

• Archivo:Check_mark.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f0/Check_mark.png Licencia: CC BY-SA 3.0Colaboradores: Wikipedia Artista original: Wikipedia

• Archivo:Circulation_in_macroeconomics-fr_es.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Circulation_in_macroeconomics-fr_es.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: File:Circulation in macroeconomics-fr.svg Artista original: User:MaCRoEco

• Archivo:Commons-emblem-copyedit.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Commons-emblem-copyedit.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores:

• File:Gnome-emblem-important.svg Artista original: GNOME icon artists, Fitoschido• Archivo:Commons-emblem-question_book_orange.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/

Commons-emblem-question_book_orange.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Commons-emblem-issue.svg' class='image'><img alt='Commons-emblem-issue.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/25px-Commons-emblem-issue.svg.png' width='25' height='25' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/38px-Commons-emblem-issue.svg.png 1.5x,https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/50px-Commons-emblem-issue.svg.png 2x'data-file-width='48' data-file-height='48' /></a> + <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Question_book.svg' class='image'><imgalt='Question book.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/25px-Question_book.svg.png' width='25' height='20' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/38px-Question_book.svg.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/50px-Question_book.svg.png 2x' data-file-width='252' data-file-height='199' /></a> Artista original: GNOME icon artists, Jorge 2701

• Archivo:Commons-emblem-question_book_yellow.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/Commons-emblem-question_book_yellow.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Commons-emblem-query.svg' class='image'><img alt='Commons-emblem-query.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Commons-emblem-query.svg/25px-Commons-emblem-query.svg.png' width='25' height='25' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Commons-emblem-query.svg/38px-Commons-emblem-query.svg.png 1.5x,https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Commons-emblem-query.svg/50px-Commons-emblem-query.svg.png2x' data-file-width='48' data-file-height='48' /></a> + <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Question_book.svg'class='image'><img alt='Question book.svg' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/25px-Question_book.svg.png' width='25' height='20' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/38px-Question_book.svg.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/50px-Question_book.svg.png 2x' data-file-width='252' data-file-height='199' /></a> Artista original: GNOME icon artists, LinfocitoB

• Archivo:Commons-logo.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. (Former versions usedto be slightly warped.) Artista original: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version,created by Reidab.

• Archivo:Economics_cournot_diag4_svg.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Economics_cournot_diag4_svg.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Twisp,Bluemoose

• Archivo:Emile_Durkheim.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Emile_Durkheim.jpg Licen-cia: Public domain Colaboradores: http://www.marxists.org/glossary/people/d/pics/durkheim.jpg Artista original: Desco-nocido<a href='//www.wikidata.org/wiki/Q4233718' title='wikidata:Q4233718'><img alt='wikidata:Q4233718' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png' width='20' height='11'srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x,https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x' data-file-width='1050'data-file-height='590' /></a>

• Archivo:Escala_turbulenta.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Escala_turbulenta.png Licencia:CCBY3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: OverG

• Archivo:Fractaldimensionexample.PNG Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4d/Fractaldimensionexample.PNG Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio (Texto original: «self-made») Artista original: Brendan Ryan

• Archivo:Grafsect.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/15/Grafsect.png Licencia: CC BY-SA 3.0 Colabora-dores: Trabajo propio Artista original: Mcklopedia22

• Archivo:Great_Britain_Hausdorff.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Great_Britain_Hausdorff.svgLicencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Prokofiev

• Archivo:Islm.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Islm.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:Inkscape, myself,en:Image:Islm.png and Image:IS-LM-Kurve.JPG Artista original: Derivative: Thomas Steiner; Islm.png: Original uploa-der was Vikingstad at en.wikipedia. Later version(s) were uploaded by Jdevine at en.wikipedia.

• Archivo:Ivsrf.gif Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b1/Ivsrf.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:Transferido desde en.wikipedia a Commons por Liftarn usando CommonsHelper. Artista original: Ronnotel de Wikipedia en inglés

• Archivo:Karl_Marx_001.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Karl_Marx_001.jpg Licencia: Public do-main Colaboradores: International Institute of Social History in Amsterdam, Netherlands Artista original: John Jabez Edwin Mayall

• Archivo:Keynes.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Keynes.jpg Licencia: Public domain Colaboradores:http://commons.wikimedia.org/wiki/File:GrantKeynes.jpg, Michael Holroyd, Lytton Strachey: A Critical Biography (1967), Volume 1,p. 344. Artista original: Desconocido<a href='https://www.wikidata.org/wiki/Q4233718' title='wikidata:Q4233718'><img alt='wikidata:Q4233718' src='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/20px-Wikidata-logo.svg.png'width='20' height='11' srcset='https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/30px-Wikidata-logo.svg.png 1.5x, https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Wikidata-logo.svg/40px-Wikidata-logo.svg.png 2x'data-file-width='1050' data-file-height='590' /></a>

80 CAPÍTULO 13. SOCIOLOGÍA

• Archivo:Kirsten_wind_tunnel_02A.jpgFuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5a/Kirsten_wind_tunnel_02A.jpgLicencia: CC BY 2.5 Colaboradores: Photo by Joe Mabel Artista original: Joe Mabel

• Archivo:Logo_sociology.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Logo_sociology.svg Licencia: Public do-main Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Tomeq183

• Archivo:Max_Weber_1894.jpg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/16/Max_Weber_1894.jpg Licencia: Publicdomain Colaboradores: ? Artista original: ?

• Archivo:MaximumParaboloid.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/MaximumParaboloid.png Licencia:CC-BY-SA-3.0Colaboradores:Transferido desde en.wikipedia a Commons por Enen usandoCommonsHelper.Artista original:The originaluploader was Sam Derbyshire de Wikipedia en inglés

• Archivo:Momentos_R_aerodinámica.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5e/Momentos_R_aerodin%C3%A1mica.png Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: OverG

• Archivo:Monopolio.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Monopolio.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Cola-boradores: mia propia Artista original: Jorditxei (yo mismo)

• Archivo:PD_with_outside_option.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/PD_with_outside_option.pngLicencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Kevin Zollman Kzollman 23:01, 3 May 2006 (UTC)

• Archivo:SNA_segment.png Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c7/SNA_segment.png Licencia:CCBY 3.0 Co-laboradores: Screenshot of free software GUESS, derivative work of File:Sna large.png, uncropped versionArtista original: Screenshot takenby User:DarwinPeacock

• Archivo:Sierpinski_dimension.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/37/Sierpinski_dimension.svg Licencia:Public domain Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Twisp

• Archivo:Supply-demand-right-shift-demand.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/eb/Supply-demand-right-shift-demand.svg Licencia: CC BY 2.5 Colaboradores: Transferido desde en.wikipedia a Commons porDarwinius usando CommonsHelper. Artista original: SilverStar de Wikipedia en inglés

• Archivo:Symbol_question.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/Symbol_question.svg Licencia: Publicdomain Colaboradores: ? Artista original: ?

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