1. Didctica de la Matemtica ConsideracionesEl Equipo Este artculo est organizado alrededor de cuatro ejes: la Matemtica como ciencia, la Didctica (general) como disciplina cientfica, la Didctica de la Matemtica y las Didcticas especiales. Se parte de la idea de que para tratar la didctica hay que tener conocimientos disciplinares. Se muestra la diferencia que hay entre la didctica general y la didctica especfica de la Matemtica. Por otra parte tambin se seala que no es lo mismo que educacin matemtica. En fin, se abordan cuestiones bsicas que deben ser conocidas por todo enseante de la Matemtica. Palabras clave: didctica, didctica general, didctica de la Matemtica, conceptualizaciones sobre didctica de la Matemtica.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar1

2. "El hombre que puede hacer fcil lo difcil es el educador Ralph Waldo EmersonRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar2 3. INTRODUCCIN La Didctica de la Matemtica es una disciplina del conocimiento relativamente reciente y se ocupa del estudio de los fenmenos didcticos ligados al saber matemtico. Cual ha sido la evolucin de estos fenmenos didcticos? Cules son los paradigmas utilizados por las comunidades de investigacin en Didctica de la Matemtica? Qu entienden por Didctica de la Matemtica distintos especialistas?Uno de los puntos de partida es una breve consideracin sobre la didctica general, tratando de incursionar por la siguiente cuestin: qu pasa con la didctica que suscita continuamente la necesidad de rever la validez de conceptos sustentadores sin desconocer, por cierto, los avances en investigacin -, y sus correspondientes instrumentos de anlisis, desde s misma, desde su propio campo, desde su propio objeto? Mara Cristina Davini1 escribe que la evolucin de las disciplinas, en cualquiera de los campos cientficos y de la cultura, delinea trayectorias, derivaciones y revoluciones (Khun, 1976). A lo largo de estos procesos, se producen reacomodaciones, reconstrucciones y an profundos cambios de paradigmas. El cambio est marcado, en parte, en funcin de nuevos avances de la investigacin y de la comunicacin entre distintos campos del saber. Pero las transformaciones ms significativas no son simplemente acumulativas, sino que implican procesos conflictivos, que fuerzan a los profesionales ligados a esas disciplinas, a reformular la trama de compromisos en que basan sus prcticas cientficas.Uno de los aspectos ms interesantes de esas revoluciones es el anlisis de los factores extrametodolgicos, es decir, ideolgicos, en los momentos de crisis y la transformacin del pensamiento y la prctica disciplinaria correspondiente en el interior de la comunidad de expertos. El campo de las ciencias de la educacin no es ajeno a estas transformaciones.1Camilloni, A., Davini, M. C. y otros. (1996). Corrientes didcticas contemporneas. Buenos Aires: Paids.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar3 4. Lo mismo ocurre con el campo de la Didctica y de la Didctica de la Matemtica, en particular. El debate en este ltimo ha privilegiado en los ltimos aos el problema de su construccin terica. La mayora de los esfuerzos en esta direccin han dejado de lado los desarrollos logrados por la pedagoga y la didctica general, en siglos de reflexin sobre el fenmeno educativo.Tanto la Didctica (general) como la Didctica de la Matemtica, enfrentan los mismos problemas en su bsqueda de identidad. En el caso que nos interesa especialmente, adems de los problemas de construccin de la disciplina, como consecuencia de los diversos enfoques para abordarlos,ocurre quehasta el nombre mismo de la disciplina, ha sido objeto de debates.Al abordar temas de Didctica de la Matemtica se tiene ocasin, no slo de tratar los marcos tericos de esta ciencia, sino de incursionar por los distintos escenarios en los cuales se gestiona el curriculum de Matemtica, como por ejemplo la escuela y el aula. Ello permite considerar las innovaciones y los cambios que ocurren en esos mbitos. Coincidimos con Miguel Prez Ferra2 en que la innovacin, como proceso de cambio cualitativo que se desarrolla en la escuela como institucin, afecta a aspectos curriculares, organizativos y de desarrollo profesional.No hacemos referencia al cambio por el cambio, ni a la innovacin sin cambios significativos debido a que las personas no lleguen a implicarse. Los cambios significativos producen cambios en las personas, en las ideas y actitudes, en las relaciones, y en el modo de actuar o sentir. Las instituciones no pueden generar cambios, sino hay participacin de los integrantes de esa comunidad.En efecto, son los docentes los actores imprescindibles para realizar las innovaciones escolares, especialmente en el marco didctico. Con respecto a2Prez Ferra, M. (2000). Innovacin del currculum y cultura institucional. Mlaga: Editorial AljibeRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar4 5. las innovaciones, Saturnino de la Torre3 expresa: La innovacin es un proceso tan complejo que slo podra explicarse satisfactoriamente desde el paradigma de la complejidad.Morin (1999) entiende por paradigma de la complejidad, un principio de distinciones/relaciones/oposiciones fundamentales entre algunas nociones matrices que generan y controlan el pensamiento, es decir la constitucin de teora y la produccin de los discursos de los miembros de una comunidad cientfica determinada. De ello resulta una evidente ruptura epistmica, una transformacin fundamental de nuestro modo de pensar, percibir y valorar la realidad signada por un mundo global que interconecta pensamientos y fenmenos, sucesos y procesos, donde los contextos fsicos, biolgicos, psicolgicos, lingsticos, antropolgicos, sociales, econmicos, ambientales son recprocamente interdependientes.El pensamiento complejo, presente en la esencia de la transdiciplinariedad est animado, segn Edgar Morin, de una tensin permanente entre la aspiracin a un saber no parcelado, no dividido, no reduccionista, y el reconocimiento de lo inacabado e incompleto de todo conocimiento. Y no tenemos duda de que los profesores no escapan a esta situacin. En efecto, esta nueva visin de la educacin, que es la visin de este siglo, implica cambios en el quehacer de los docentes y en su formacin no slo inicial, sino tambin continua.Las innovaciones propuestas por los docentes pueden clasificarse en dos categoras o tipos: - las innovaciones referidas al Proyecto de Estudio de la Matemtica, o Proyecto Curricular Institucional de Matemtica; - las innovaciones que tanto los equipos directivos de la escuela, como los mismos enseantes, elaboran con distintos propsitos, pero siempre referidos a mejorar los proyectos de estudio, como por ejemplo, innovaciones en el enfoque del estudio de la Matemtica, en la metodologa de la enseanza, en 3De la Torre, S. (1998). Cmo innovar en los centros educativos. Madrid: Editorial Escuela EspaolaRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar5 6. los recursos didcticos, en los contenidos a ensear y su tratamiento, en la evaluacin de los aprendizajes, o en la transposicin didctica.4SealaAlderete y otros (2005), coincidiendo con lo expuesto por J. Pozo en el 4to Congreso Internacional de Educacin: No slo hay que cambiar los currculos sino tambin la mentalidad de los que ensean y los que aprenden, sus propias culturas de aprendizajeOtro aspecto importante a tener en cuenta son las emociones y el sentipensar. Estamos ante un tema extremadamente actual, debido a la reciente toma de conciencia de su influencia en todos los dominios de la vida y, en particular, del aprendizaje escolar. El fracaso en la disciplina escolarMatemtica en losdistintos niveles educativos, puede ser debido, en parte, al hecho de haber sido relegado para un segundo plano, durante muchos aos, el papel de las emociones.Sentipensar es, a decir del profesor S. de la Torre, quien acua el trmino en 1997 en sus clases de creatividad, el proceso mediante el cual ponemos a trabajar conjuntamente pensamiento y sentimiento. Es la fusin de dos formas de percibir la realidad, desde la reflexin y el impacto emocional, hacer converger en un mismo acto de conocimiento la accin de sentir y pensar. Pensar y sentir se han separado tanto en la tradicin educativa que mientras nos hemos esforzado en promover formas de reflexin, de anlisis y sntesis, de deduccin lgica, de interpretacin, de elaborar juicios crticos, hemos relegado la dimensin emocional al terreno de lo personal e ntimo. El sentir ha quedado relegado de los procesos formativos reglados, pero no as en entornos formativos no reglados. Pensamiento y sentimiento es un todo.No se asombre el lector si en este artculo, y dentro de un caleidoscopio de ideas,comenzamos abordando algunos temas relacionados con laMatemtica, sus enfoques como ciencia y qu se entiende por comunidad matemtica. Es que cuando se abordan temas de Didctica de la Matemtica,4Alderete, M. J., Porcar, M. L. y otros (2006). Gestin del currculum de Matemtica. Mendoza: FEEYE. Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar6 7. creemos necesario hacer referencia a la misma Matemtica. Por qu? Porque las concepciones de los profesores y de las instituciones escolares sobre la naturaleza de esta ciencia, influyen en su enseanza. Por supuesto que no es el nico factor a tener en cuenta. Hay otros como, por ejemplo, las concepciones pedaggicas y psicolgicas de tipo general.Tal como se dijo al comienzo realizamos una re-escritura de algunos captulos que fueron elaborados para una obra digital destinada a docentes, con el propsito de abordar temas de Didctica de la Matemtica. Hablamos de una re-escritura porque consideramos que es una relacin transformativa de una obra anterior nuestra para enriquecer otro texto. Se produce algo as como un dilogo en el momento de la construccin del texto. Es una relacin creativa que genera un nuevo texto a partir del dilogo con otro texto anterior. Seleccionamos temas nodales como aula, sistema didctico, modelo didctico, creencias y representaciones de los docentes. En una relacin estrecha con ellos fuimos armando el intertexto, desde las perspectivas de la produccin textual. Esto es, construimos textos a partir de nuestros textos anteriores que a su vez, fueron construidos a partir de textos de otros autores.Alguien podra pensar que es un plagio de una obra. Pero no es as, porque plagio es la imitacin consciente de un modelo, sin indicar la fuente de referencia. En este caso la hemos indicado. Y adems, la autora de la produccin digital mencionada es parte del Equipo. Al fin, el artculo est organizado como se muestra. 1.1 La Matemtica como ciencia. 1.2 La Didctica como disciplina cientfica. 1.3 La Didctica de la Matemtica. 1.4 Didcticas especiales.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar7 8. 1.1LA MATEMTICA COMO CIENCIANuestro propsito es abordar temas de Didctica de la Matemtica. Sin embargo,creemos conveniente detenernos, aunquesea de manera muybreve, para formular algunas consideraciones sobre la Matemtica como ciencia, como campo de investigacin, como parte de la cultura, como materia de estudio en los distintos niveles de la escolaridad y tambin en la comunidad de matemticos. Por qu? se estar preguntando. La respuesta es muy sencilla: para comprender mejor la Didctica de la Matemtica.El hombre comn generalmente identifica la Matemtica con las ideas que difcilmente pudo absorber (a menudo sin xito), en la escuela elemental. La Matemtica, o lo que cree que es, le parece fra y cruda, sin vida. Acaso no habla de la frialdad de los nmeros? Por otra parte, en la imaginacin del hombre de la calle y an de muchos estudiosos, cientficos y humanistas que la usan en distintos grados, la Matemtica es la ciencia de las cantidades y los nmeros; nada que sea impreciso o admita slo descripciones cualitativas cae en sus dominios porque, siempre, segn el lugar comn, la Matemtica es una disciplina precisa: como que dos y dos son cuatro, suele decirse.Sin embargo, esta descripcin slo podr aplicarse a los estadios iniciales de esta ciencia, hasta el siglo V antes de Cristo, en Egipto y Babilonia, cuando estaba constituida por una serie de recetas para medir, contar y hacer cuentas. Los griegos las tomaron en sus manos y la liberaron de sus ataduras pragmticas, de la agrimensura y el comercio, de la geodesia, y la elaboracin de calendarios yefemrides. Y as, con el correr de los siglos la pobredefinicin de la Matemtica como el estudio de las cantidades y nmeros fue cambiando. No es sta la ocasin para tratar su historia.En cuanto a la investigacin matemtica es la disciplina cientfica ms alejada del hombre de la calle, quien no posee absolutamente ninguna idea acerca de ella. Quienes estamos en su enseanza conocemos, en mayor o menor grado,Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar8 9. de qu trata esta ciencia, reconocemos su enorme aplicabilidad y sabemos que constituye un lenguaje y marco indispensable para todas las ciencias.El tema a considerar es amplio. Nos vamos a detener brevemente en: 1.1.1La Matemtica.1.1.2Enfoques de la Matemtica como ciencia.1.1.3Paradigmas e investigacin matemtica.1.1.4Matemtica para todos. Luis Santal1.1.4La comunidad matemtica. Miguel de Guzmn1.1.1La Matemtica.Mathema significa erudicin, manthnein es el infinitivo de aprender, el radical mendh significa en pasivo, ciencia, saber. Luego, es lo relativo al aprendizaje. As que en sentido implcito, Matemtica significa: lo digno de ser aprendido.() La matemtica es una ciencia creada por el hombre y cultivada desde tiempos remotos por espritus selectos para los cuales su estudio signific una profunda inspiracin. (). Hacer matemtica es realizar las denominadas actividades matemticas que, en gran parte, se identifican con una actividad de modelizacin matemtica. (). Cabe destacar que, entre quienes estudian matemtica hay genios creadores, personas creadoras y productos creativos. () (Alderete, M. J. y Porcar, M. L.: 2006)5Tambin se dice que es una coleccin de ideas y tcnicas para resolver problemas que provienen de cualquier disciplina, incluyendo a la Matemtica misma. En otras ocasiones nos encontramos con otra concepcin: la Matemtica es una Ciencia y una Bella Arte.Compartimos todas esasafirmaciones. Para los matemticos, la belleza y la verdad tienen igual estima. 55Alderete, M. J. y Porcar, M. L. Matemtica y Creatividad en Comprender y evaluar la creatividad. Un recurso para mejorar la calidad de la enseanza (Coord. Saturnino de la Torre). Mlaga: Editorial AljibeRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar9 10. Tenemos mucho aprecio por un argumento hermoso, esto es, un argumento que conlleva elegancia en el estilo, economa de esfuerzo, claridad de pensamiento, perfeccin en el detalle y en la forma de acertar una deduccin contundente y convincentemente.Los matemticos y quienes enseamos Matemtica, tenemos la posibilidad de elegir, nos dedicamos a un rea u otra de la Matemtica, dependiendo en qu tan bella nos parece una en relacin a la otra. Buscamos mtodos elegantes y evitamos argumentos feos.Poincar conceba la creacin de la Matemtica de manera similar a la creacin musical. Dicen que Poincar creaba Matemtica al subirse o bajarse de un tranva. Hadamard recomendaba tomarse dos baos de agua caliente para estimular la investigacin matemtica. A lo mejor son slo ancdotas. Otros sealan que la Matemtica se hace caminando, es decir, cuando se dejan las ideas en el inconsciente y de repente ocurre una feliz idea, la cual es, quiz, una serie de conexiones neuronales que tienen lugar en el tiempo y, las cuales se logran mejor cuando no interviene un acto consciente demasiado fuerte que las impida. Lo cierto es que las ideas nuevas que constituyen los pasos para obtener la solucin de algn problema, hacen ver el progreso de la Matemtica.1.1.2 Enfoques de la Matemtica como ciencia No dudamos que la Matemtica es una ciencia,an cuando tambinaceptemos que es una bella arte.Con respecto a la Matemtica como ciencia, pensamos que sta es una excelente ocasin para reflexionar en los aspectos formalista y heurstico. La razn es muy simple: ambos estn relacionados con su didctica.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar10 11. 1.1.2.1 Enfoque axiomtico de la Matemtica. El primer enfoque a considerar es el de la historia de su produccin, ligada a la bsqueda de fundamentos. La produccin se produjo a travs de distintas etapas, que usualmente se clasifican en:Etapa intuitivaEtapa axiomticaEtapa axiomtica formalizadaLas distintas etapas muestran que, a lo largo de su historia, se produjeron importantes cambios con respecto al objeto de estudio de la Matemtica, la nocin de verdad, y el ideal de rigor en las demostraciones hasta llegar al ideal formalista.Con el propsito de comprender mejor lo dicho, se han seleccionado dos ejemplos de teoras que tuvieron mucha importancia para los fundamentos y el desarrollo de la Matemtica: la Geometra eucldea o euclidiana y la Teora de Conjuntos.En ambas teoras resulta evidente de qu manera se organiza el conocimiento en cada una de las tres etapas, y cmo va cambiando el rigor en las demostraciones.De esa manera la Matemtica va haciendo su camino. Cada etapa se genera a partir de la transformacin de la etapa anterior.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar11 12. Teora 1.- Geometra euclidiana.Debe su nombre a Euclides. Es el matemtico griego de quien posiblemente ms hemos escuchado. Es considerado el padre de la Geometra.Etapa intuitiva Se caracteriza por sus orgenes prcticos y sus inicios comoTales de Miletoteora deductiva en la Grecia clsica. Los primeros documentos que se conocen pertenecen al pueblo egipcio y a los pueblos mesopotmicos. Se interesaban en los conocimientos geomtricos para poder utilizarlos en la resolucin de problemas prcticos.Recin en el siglo VIantes de Cristo, la geometra comenz a desarrollarse como disciplina, a travs de centros de estudio o escuelas, como la fundada por Tales en Mileto (640 - 546 a. C.). Tales es unoPitgorasde los primeros que le da a la geometra un tratamiento racional. Se supone que Pitgoras pudo haber sido alumno de Tales. En cuanto a la escuela pitagrica por l fundada en el sur de Italia,estuvo dedicada al estudio de laMatemtica y la filosofa. Se le debe a los pitagricos la primera filosofa racional y matemtica de la naturaleza.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar12 13. Etapa axiomtica Euclides, en el siglo III a C, realiz un acopio de toda la Euclides.produccin preexistente de los matemticos griegosy laorganiz de manera muy simple, en forma deductiva, en su obra Elementos, siguiendo la concepcin aristotlica de ciencia. Usando un razonamiento deductivo partedeconceptos bsicos primarios no demostrables tales como punto, recta, plano y espacio, que son el punto de partida de sus definiciones, axiomas y postulados. Demuestra teoremas y a su vez, stos servirn para demostrar otros teoremas. Crea nuevos conocimientos a partir de otros ya existentes por medio decadenasdeductivasderazonamientolgico.Estageometra, llamada geometra euclidiana se basa en lo que histricamente se conoce como 5 postulado de Euclides: "por un punto exterior o perteneciente a una recta se puede trazar una y slo una paralela a ella".En la obra de Euclides se ve reflejada la nocin de infinito que tenan los matemticos griegos. Ellos evitaban referirse al infinito actual, o sea, al decir de Bourbaki: a los conjuntos formados por una infinidad de elementos concebidos como simultneamente existentes, al menos en la mente. Euclides enunci en uno de sus libros: para toda cantidad de nmeros primos existe uno mayor. Hoy en da expresamos ese resultado diciendo que existen infinitos nmeros primos. En aquella expresin queda en evidencia que slo se aceptaba el infinito potencial.De la geometra euclidiana nos queda por destacar la indiscutible genial discusin de Euclides cuando incorpora el postulado V. Este postulado fue objetado desde un principio por los griegos, porque lo consideraban falto de evidencia en comparacin con los otros cuatro. Las discusiones e investigaciones que dicho postulado gener durante ms de veinte siglos, habran de desembocar en la creacin de nuevas geometras.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar13 14. Las geometras no eucldeas se caracterizaron por sistemas axiomticos que se generalizaron.Etapa axiomtica formalizada David HilbertLa generalizacin de los sistemas axiomticos caractersticos de(1862-1943)las geometras no euclidianas dieron lugar a la nocin de sistema axiomtico formal y de esa manera, la geometra euclidiana entr en su etapa axiomtica formalizada gracias al sistema formal que construy para ella, el matemtico David Hilbert.Su obra Fundamentos de la geometra de 1899, al decir del Dr Luis Santal puede considerarse como una rplica moderna de los Elementos de Euclides, en la que se formaliza con rigor lgico formal, el saber geomtrico anterior.La Matemtica como sistema deductivo comenz a tener desde entonces un nuevo ideal: el rigor lgico.Teora 2.- Teora de ConjuntosEl siglo XIX merece ser llamado, ms que ningn otro periodo anterior, La edad de Oro de la Matemtica.Los progresos realizados durante este siglo superan con mucho, tanto en calidadcomoencantidad,laproduccin reunida de todas las pocas anteriores. Este siglo fue tambin, con la excepcin de la poca Heroica de la Antigua Grecia, el ms revolucionario de la historia de la Matemtica.En el ao 1872 surgieron una serie de trabajos, escritos por G. Cantor, R. Dedekind, K. Weierstrass, E. Heine y Ch. Meray cuyo nico objetivo era el de dotar de una teora rigurosa al nmero real, problema ste considerado vital para una correcta fundamentacin del anlisis. Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar14 15. A Cantor se le debe la creacin de la Teora de conjuntos infinitos y los nmeros transfinitos.Esta teora es la que se propone como segundo ejemplo. Etapa intuitiva Se destaca la teora creada por Cantor y la riqueza de susGeorge Cantorresultados. Algunos de ellos es casi seguro que estn en las1845-1917aulas, de modo intuitivo. Se considera que Cantor fue el creadordelateoraintuitivadeconjuntoscomoconsecuencia de sus investigaciones relacionadas con la fundamentacin del anlisis infinitesimal, y en especial con su mtodo para definir los nmeros reales. Los resultados desusinvestigacionessobrelosconjuntosinfinitosresultaron desconcertantes y chocaron con la incomprensin de los matemticos de la poca, especialmente con la Kronecker, que atac muy duramente sus ideas. Con mucho esfuerzo fue solucionando todos los problemas, pero sufri una continua frustracin al no poder solucionar el problema del continuo. Entre 1879 y 1884 public su obra fundamental en la que sistematiz todos los resultados que obtuvo en relacin con la teora de conjuntos. En el transcurso de sus investigaciones se enfrent con la necesidad de aceptar la nocin de infinito actual y elabor una teora a partir de la idea de que es posible establecer una correspondencia biunvoca entre dos conjuntos infinitos, an cuando uno de ellos sea parte propia del otro. Cantor clasific los conjuntos finitos segn el nmero de sus elementos y le asoci a cada conjunto un nmero llamado su cardinal.Extendi estanocin a los conjuntos infinitos creando nuevos nmeros que llam transfinitos, desarrollando una teora que se conoce como aritmtica transfinita. Prob que el cardinal de los nmeros reales es mayor que el de los nmeros naturales y conjetur que no haba cardinales intermedios entre ellos. Esa conjetura se conoce como la conjetura del continuo.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar15 16. La obra de Cantor se destaca por su magnitud y por haber sido un trabajo unipersonal, lo cual no es habitual en ninguna teora. Despus que la Teora de Conjuntos fue aceptada por la comunidad matemtica, se descubrieron en ella una serie de contradicciones que la hacan, en principio, insostenible. Para nombrarlas se usaban las palabras antinomias o paradojas. Con la paradoja de Russell qued planteada la crisis de los fundamentos de la teora de conjuntos. Lo que ocurre es que Cantor haba planteado una teora de conjuntos ingenua, informal y ello lo llev a situaciones paradojales. Se busc entonces de axiomatizar la teora de Cantor, ya que la axiomatizacin de la geometra y la aritmtica haban permitido resolver problemas lgicos en esas ramas.Etapa axiomtica La primera axiomatizacin de la Teora de Conjuntos Ernst Zermeloaceptada por la comunidad cientfica fue la de Zermelo en1872-19531908. Zermelo crea que las paradojas se produjeron porque Cantor haba utilizado una definicin de conjunto demasiado amplia, y que por ello haba que restringir sus alcances a travs de los axiomas. La paradoja de Russell se origin al tomar como punto de partida de un razonamiento el conjunto formado por todos los conjuntos que, segn la definicin de Cantor tambin era un conjunto y considerar luego elFraenkel Abrahamconjunto de todos los conjuntos que cumplen la propiedad de1891 1959no pertenecer a s mismo. Para evitar esa paradoja Ernest Zermelo enunci un axioma que evitaba que un conjunto pueda pertenecer a s mismo, de lo que se deduce que todos los conjuntos no forman un conjunto en este sistema axiomtico. Se limit la formacin de conjuntos que verifican cierta propiedad, a los que pertenecen a un conjunto dado, llamado conjunto referencial. El sistema axiomtico de Zermelo fue perfeccionado por Abraham Fraenkel.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar16 17. Se pasa a la etapa siguiente formalizando el sistema anterior con el propsito de evitar las paradojas. Etapa axiomtica formalizada Skolem formaliz el sistema de Zermelo - Fraenkel Thoralf Skolemedificndolo sobre la lgica elemental de la cuantificacin o1887-1963lgica de primer orden. El sistema obtenido se conoce como de Zermelo Fraenkel Skolem. Permiti fundamentar prcticamente todo el Anlisis y sirvi de base lgica para toda la matemtica existente.La axiomatizacin de la teora de conjuntos, y con ella la superacin del problema de las paradojas, no produjo una declinacin en el inters por los fundamentos de la Matemtica. No estaba an resuelta la demostracin de la consistencia de la teora de conjuntos, con lo cual no quedaba asegurado que no surgiera alguna contradiccin ms adelante. Tampoco estaba demostrada la consistencia de la aritmtica, en la que se fundamentaba la geometra Kart Gdeleucldea, y en consecuencia, tambin las geometras no1906-1978euclidianas.Por otro lado, comenz a cuestionarse la base lgica empleada por la Matemtica. Surgieron tres escuelas principales de filosofa matemtica: la logicista (Russell), la intuicionista (Brouwer) y la formalista creada por Hilbert que predomin durante el siglo XX. Dentro del programa de Hilbert se formalizaron algunas teoras y quedaron sin resolver la consistencia de la aritmtica y la de la teora de conjuntos. En 1931, Kart Gedelconcluy acerca de laimposibilidad de llevar adelante el programa formalista de Hilbert.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar17 18. Venimos de recorrer, muy brevemente, el camino que siguieron la Geometra y la Teora de conjuntos, desde sus orgenes intuitivos hasta su formalizacin, con el propsito de mostrar, mediante dos ejemplos, el enfoque axiomtico de la Matemtica.1.1.2.2 Enfoque heurstico de la Matemtica A mediados del siglo XX la concepcin formalista de la Matemtica era la predominante en los ambientes cientficos. Ello qued reflejado en los libros de texto y en las propuestas curriculares. En esa poca el filsofo y matemtico hngaroImre Lakatos present una propuesta alternativa vinculada con lapostura ante la ciencia, del filsofo austraco Karl Popper. De esa manera enfrentaba la concepcin formalista de la Matemtica. Lakatos y su enfoque heurstico Lakatos se opone al ideal formalista que identifica a la Imre LakatosMatemtica con la Matemtica formalizada, es decir con su1922-1974abstraccin axiomtica formal. Su propuesta alternativa tiene un enfoque de tipo heurstico es decir, considera a la Matemtica en proceso de descubrimiento y de crecimiento.En su libro Pruebas y refutaciones presenta en el captulo 1, un mtodo de descubrimiento matemtico, a travs de un dilogo imaginario (analgico creativo) que tiene ligar en el aula entre un profesor de matemtica y sus alumnos.Lakatos considera que la matemtica informal est cerca de la produccin propia de las ciencias empricas, ya que se llega a los resultados por sucesivas aproximaciones, a partir de conjeturas y a partir de un doble juego de pruebas y refutaciones.Sostiene que la Matemtica es una ciencia en el sentido en que lo entiende Popper, que est sujeta a desarrollo y cambio, en permanente bsqueda de la verdad.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar18 19. A lo dicho agregamos que Imre Lakatos o el mismo G. Poly, desde los sesenta y antes, Kline, Hersh, Quine o Philip Kitcher, ms tarde, y muchos otros, en el territorio de la filosofa, realizaron planteamientos decisivos en la nueva interpretacin de la Matemtica y su naturaleza. Ms recientemente en la misma filosofa de la educacin matemtica, hay trabajos muy valiosos en esa nueva direccin, como los del britnico P. Ernest.Podemos concluir que: -la Matemtica formalizada se desarrolla aumentando el nmero de teoremas, demostrados a partir del sistema axiomtico que se considera;-la Matemtica informal lo hace sin estar sujeta a un sistema de axiomas, gracias a la incesante mejora de conjeturas.Pero debe quedar claro que la denominada matemtica informal no niega los resultados obtenidos a partir de sistemas axiomticos. Lo que hace es enfatizar los procesos inferenciales de conjeturas y refutaciones que conducen a los mismos. De esta manera, la produccin matemtica se muestra dinmica y todo resultado es considerado punto de partida de nuevos resultados. Los ejemplos utilizados por Lakatos para describir su mtodo de descubrimiento matemtico no son aplicables en el nivel elemental de la escolaridad, pero pueden tenerse en cuenta sus principales ideas para disear situaciones destinadas a ese nivel.Al comienzo dijimos que el conocimiento de los enfoques distintos de la Matemtica est relacionado con la Didctica de la misma. Venimos de explicar por qu. Por esa razn, creemos en la conveniencia de tenerlos en cuenta en el momento de la enseanza.Con respecto al primer enfoque, que contempla la historia de la produccin matemtica, pone en evidencia el sentido vivo que tiene como ciencia y el aspecto dinmico de su produccin.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar19 20. Precisamente, el mostrar a los alumnos los aspectos histricos ms relevantes, lejos de resultar anecdticos la caracterizan como una ciencia en permanente cambio.Segn Miguel de Guzmn un cierto conocimiento de la historia de la matemtica, debera formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemtico en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este ltimo, no slo con la intencin de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseanza, sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visin verdaderamente humana de la ciencia y de la matemtica, de lo cual suele estar tambin el matemtico muy necesitado.Tambin es importante el segundo enfoque.Si se tienen en cuenta losaspectos de descubrimiento, estamos ante un enfoque heurstico de su enseanza. El hecho de formular conjeturas, tratar de justificarlas con los recursos con los que cuenta el alumno, o dar marchas y contramarchas, constituyen estrategias propias del quehacer matemtico y por tanto, merecen un lugar destacado en la enseanza.1.1.2Paradigmas e investigacin matemticaEn Matemtica,a diferencia de otras disciplinas cientficas, la creacin denuevos mtodos o tcnicas, constituye la innovacin, que es vital para su progreso. No se requiere del descubrimiento de antiguos documentos manuscritos, ni del trabajo experimental, o de la introduccin de nueva tecnologa. La innovacin se da, entre otras cosas, por la creacin de nuevas tcnicas.Por ejemplo, cuando Galois se dio cuenta, al trabajar en el problema de la insolubilidad de la ecuacin polinomial general de grado al menos 5, que la clave estaba en las simetras de las cinco soluciones de la ecuacin, provey los fundamentos de la Teora general de la simetra, que es una de las ramasRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar20 21. ms profundas y de amplio espectro de toda la Matemtica, llamada Teora de Grupos.Tambin hay innovacin interna, en el momento de dar cohesin a una teora matemtica, cuando se realizan preguntas adecuadas, que requieren de mucha intuicin y compenetracin. La innovacin puede venir, en otras ocasiones, de problemas de otras disciplinas. Se puede decir que hay progreso matemtico cuando existe una aplicacin continua de mtodos usuales intercalados, espectacularmente, con nuevos conceptos y problemas.Cada ciencia tiene su propio objeto de estudio al cual debe responder, su propia metodologa para investigar sus leyes y teoras y comprobar as sus hiptesis, su propio campo de accin y, por ello, debe seguir el curso lgico del estudio de sus estructuras formales, sus sistemas y sus relaciones internas y externas, para hacer ms objetivo el proceso de su conocimiento.La Matemtica como ciencia, sigue un curso evolutivo que la disciplina escolar no puede hacer; la escuela ofrece los resultados matemticos bajo una fuerte sistematizacin de sus teoras y se exige brindar el carcter reflejo de su actualizacin moderna.Ello hace que el conocimiento tome formas de presentacin graduada en el contenido que se explica y, pone al profesor en la situacin docente de plantear los conceptos, leyes y procedimientos de manera que conduzcan al alumno al desarrollo de sus capacidades intelectuales y de la concepcin cientfica del mundo, de manera dinmica y eficiente, cual si se revelara para ste como un descubrimiento o una investigacin.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar21 22. 1.1.3 Matemtica para todos La clase estaba en sus manos, literalmente en sus manos. El pizarrn a su espalda, prolijamente borrado, contena unas pocas expresiones escritas en el tpico lenguaje matemtico, pero toda la atencin del curso estaba puesta en las curvas y superficies que las manos del maestro dejaron suspendidas en el aire y en las palabras, pronunciadas con musical acento cataln, que hacan imborrables a las clases de geometra de Luis Santal. Carlos Borche.Santal (1911-2001) ha sido un matemtico de gran trayectoria. Fue el pionero de la geometra integral, una compleja rea de la Matemtica que conjuga la geometra ms clsica con el moderno clculo diferencial. La unin de estos dos campos, dio lugar a una revolucin importante en esas disciplinas y en otras como el clculo de probabilidades. Las investigaciones de Santal fueron muy tericas, pero como casi siempre, luego han tenido importantes aplicaciones en ingeniera, en ciencias y hasta en medicina.Dice de l Miguel de Guzmn: Santal es, sin duda, uno de los grandes matemticos iberoamericanos de indudable talla internacional que hemos tenido en este siglo, un motivo de orgullo para nuestra comunidad cientfica y un gran ejemplo de dedicacin seria y eficaz para todos los que en los que en nuestro pas tratamos de construir una robusta cultura matemtica capaz de cooperar con las de otros pases en toda suerte de investigaciones que conduzcan hacia un desarrollo armonioso de la cultura humana.La influencia de sus ideas y trabajos fue notoria en la formacin y capacitacin de los docentes argentinos. Podemos dar cuenta de sus especiales aportes, por ms de veinte aos, para Mendoza, Argentina. 1.1.3.1 Matemtica para todos La visin de Santal sobre la Matemtica est reflejada en las tres reflexiones siguientes: Para comprender el papel de la Matemtica en el mundo actual, se han de tener en cuenta sus caractersticas, es decir, que la matemtica es arte, como Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar22 23. que es creacin y se sirve de la fantasa; es ciencia, porque a travs de ella se consigue un mejor conocimiento de las cosas, de sus principios y sus causas; y es tcnica, porque proporciona mtodos y medios para resolver problemas y actuar sobre la Naturaleza y sus fenmenos. Es decir, como arte, ayuda a escoger las formas y apreciar la Naturaleza como una fuente de belleza y armona; como ciencia ayuda a conocer la Naturaleza y entender sus leyes; como tcnica ayuda a dominar la Naturaleza y sus fuerzas, para ponerlas al servicio de la vida y del bienestar del hombre.En otra exposicin, Santal aclara lo que es para l, el descubrimiento y el desarrollo de la Matemtica: El matemtico descubre ciertas ideas primitivas pre-existentes, como el astrnomo descubre una nueva estrella pero a partir de estas ideas, una vez adquiridas, el matemtico las combina entre ellas, las elabora y coordina, como el constructor hace con las losetas, o el poeta con las palabras,y es entonces como el matemtico, encontrndose delante deinfinitas posibilidades pasa realmente a crear, y la Matemtica, de ciencia natural, pasa a ser arte.En La matemtica para no matemticos, Santal reflexiona acerca de las exigencias que los avances del mundo cientfico y tecnolgico imponen a la enseanza de la Matemtica. Opone a la idea de formar alumnos en Matemtica pura la necesidad de "una mezcla coordinada y bien equilibrada de matemtica pura y aplicada o de matemtica como filosofa y de matemtica como instrumento de clculo".Finalizamos contando una frase de este matemtico, no del tipo de las frases clebres que se espera escuchar de la boca de matemticos clebres. Se trata de una humorada que pinta cmo somos mas propensos a interpolar que a extrapolar. Una maana, Santal, muy risueo dijo : " Yo estoy ms cerca de los cuarenta que de los treinta....Pues claro, si tengo setenta! 66http://www.rinconmatematico.com/foros/index.php?board=21;action=printpage;threadid=140Recuperado 01/08/2010Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar23 24. 1.1.4 La comunidad matemtica La Matemtica es mucho ms un saber hacer que un mero saber. Y esto no se aprende con recetas escritas sino con el contacto con el maestro. El matemtico que se ocupa de resolver los problemas propios de un campo matemtico es sin duda la persona ms adecuada. M. de GuzmnMiguel de Guzmn, (1936_2004) Matemtico, escritor, miembro de la Real Academia Espaola. Profesor de la Universidad Complutense de Madrid, era experto en educacin matemtica y fue el alentador de la Escuela de Pensamiento Matemtico de Torrelodones. Estudi Ingeniera en Bilbao (Vizcaya) y Humanidades en Ordua (Vizcaya). Finaliz sus estudios de Filosofa en Munich, Germany, in 1961. Complet sus estudios de Matemtica en la Universidad de Madrid in 1965 y en 1968 obtiene el Ph.D. en Matemtica en la Universidad de Chicago bajo la tutora del profesor Caldern. Catedrtico de anlisis matemtico en la Universidad Complutense de Madrid . Fue presidente de la Comisin Internacional de Educacin Matemtica (ICMI) de 1991 a 1998 y es autor de varios libros tcnicos y de divulgacin.En un Simposium Internacional sobre la renovacin en la enseanza de la Matemtica organizado por la Sociedad Andaluza Thales, en su exposicin, titulada Cuestiones fundamentales sobre la enseanza de la Matemtica, aporta ideas interesantes como cuando dice: Nuestra formacin profesional como matemticos comporta sesgos peligrosos para nuestra labor educadora. Nuestra atencin como matemticos suele dirigirse hacia el objeto, hacia los entes abstractos que manejamos y tendemos a pasar por alto la realidad de que, aun estando bien formados profesionalmente como matemticos, nuestra labor como educadores ser de una lamentable pobreza si olvidamos que la educacin, incluida la educacin matemtica, y mucho ms la educacin matemtica concebida a la luz de los objetivos eminentemente formativos, esRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar24 25. un proceso que ha de involucrar profundamente la persona entera. Se trata de ensear a personas, no de programar robots. 1.1.4.1 La comunidad matemtica.7 La tarea fundamental y general de la comunidad matemtica consiste en contribuir de modo efectivo al desarrollo integral de la cultura humana. Esto es precisamente, lo que ha hecho desde el principio de su existencia.La Matemtica es, en el fondo, una exploracin de las diversas estructuras complejas del universo. Analizar estas estructuras no ha sido en general un mero ejercicio especulativo o acadmico, sino un ejercicio prctico en el que se ha buscado muy pretendidamente la utilidad y el progreso de la cultura humana.La Matemtica explor inicialmente la multiplicidad presente en las cosas a su alrededor y para dominarla cre el nmero y la Aritmtica. El examen de las estructuras del espacio y de la forma condujeron al matemtico hacia la Geometra. El estudio de las transformaciones y cambios en el tiempo del mundo a su alrededor le condujeron al Anlisis matemtico. El intento de enfrentarse y dominar hasta cierto punto la incertidumbre le condujo a la creacin de la Probabilidad y la Estadstica como herramientas para hacerlo eficazmente. El examen de las propias estructuras mentales del pensamiento, matemtico o no, le llevaron hacia la construccin de la Lgica,Pero hay algo an ms profundo en el desarrollo de la Matemtica. La bsqueda de la belleza intelectual, esa belleza, como dira Platn "nicamente asequible por los ojos del alma", ha sido y siempre ser uno de los estmulos ms importantes en el quehacer incansable de la comunidad matemtica. En la7Tomado de la Conferencia en el Octavo Congreso Internacional de Educacin Matemtica ICME-8 (Sevilla 1996),publicada en las Actas del Congreso, Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica "THALES", Sevilla, 1998). Encontrado 14/04/07Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar25 26. comunidad pitagrica este aspecto profundo de nuestra ciencia encamin al matemtico hacia los aspectos ms hondos del ser y hacia la contemplacin reverencial de la divinidad, que se presiente ms o menos veladamente a travs de la armona intelectual del universo.La Matemtica se ha ejercitado tambin por razn de sus aspectos ldicos, por sus conexiones con el arte. Se ha examinado como modelo y como campo de trabajo por filsofos y por psiclogos, etc..En resumen, las contribuciones de la Matemtica a la cultura humana han sido extraordinarias y extraordinariamente variadas y lo seguirn siendo an ms en el futuro. Como deca en 1923 Alfred N. Whitehead, uno de los grandes matemticos y filsofos de nuestro siglo, con una visin certera y proftica: Si la civilizacin contina avanzando, en los prximos 2000 aos la novedad predominante en el pensamiento humano ser el seoro de la inteleccin matemtica. La gran tarea de la Matemtica es, sin duda, seguir contribuyendo de mltiples formas, tan enriquecedoras como las que he mencionado, al progreso de la cultura humana. ()Guzmn seala las tareas especficas que, segn su pensamiento, llevan adelante ese objetivo global: resolver los problemas del campo y los que el desarrollo de la sociedadpropone; conservar y transmitir el legado matemtico;transferir a la sociedad los resultados de sus xitos.1.- Primera tarea. Segn su opinin, uno de los cometidos ms importantes consiste en tratar de ir resolviendo aquellos problemas que, de forma natural, surgen en los diferentes campos de la Matemtica. Algunos de ellos tienen su origen en las preguntas propias del desarrollo interno de la misma Matemtica, en tanto que otros, aparecen como consecuencia del progreso de las diversas ciencias que buscan de manera constante su apoyo en la Matemtica. Tambin cabe Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar26 27. mencionar los que tienen su origen en la necesidad del desarrollo de nuevos instrumentos y de nuevas tcnicas para diversos propsitos.Sin duda que, a la par de esta importante misin, se hace necesario ir estructurando los resultados y las teoras que van surgiendo, con el propsito de entenderlas mejor, de hacerlas ms sencillas para poderlas profundizar ms yhacerlasas,msasequiblesalasgeneracionesposteriores.2.- Segunda tarea. Segn Guzmn, la segunda subtarea importante consiste en conservar y transmitir a las generaciones posteriores, de la mejor manera posible, el legado matemtico acumulado durante los muchos siglos de crecimiento, con el propsito de que pueda ser utilizado y ampliado. Sin duda se trata de un trabajo extraordinariamente complejo por razones diversas y fciles de entender.Al respecto, menciona las siguientes razones: - los contenidos matemticos son estructuras elaboradas a travs de un amplio esfuerzo colectivo que, en muchos casos, ha tenido lugar durante muchos siglos de esfuerzos de mentes muy privilegiadas; es natural que la labor de transmisin presente problemas bien complicados; - la transmisin de tales contenidos ha de hacerse poniendo la atencin en las personas concretas a quienes van dirigidos, con caractersticas afectivas, cognitivas, ambientales, etc. muy diferentes que es necesario tener en cuenta; - tales personas estn inmersas en una cultura y en una sociedad bien especficas, con sus formas de existencia y de comunicacin propias.3.- Tercera tarea. La tercera tarea a tener en cuenta, consiste en transmitir a la sociedad, de forma adecuada, los logros que la comunidad matemtica obtiene. Esto constituye tambin, una seria obligacin de la comunidad matemtica en su conjunto. Se trata de ser til a la sociedad, pero tambin es necesario ayudar a la sociedad a percibir el papel real que la Matemtica ha ejercido y sigue Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar27 28. ejerciendo en el desarrollo general de la cultura humana con el propsito de que la sociedad, con esta persuasin, siga apoyando de modo efectivo la labor que la Matemtica realiza.Es sta una tarea extraordinariamente importante y delicada para la que no se puede delegar en personas ajenas a la comunidad matemtica. Si la comunidad matemtica, en su conjunto, descuida su presencia en la sociedad, sta tambin acabar por considerar sin importancia el quehacer de los matemticos y actuar de acuerdo con esta percepcin. Es necesario que nos esforcemos por hacer bien conocida la presencia de la Matemtica en nuestra cultura, entre otras razones porque se trata de una realidad que para nosotros es evidente. Despus de aludir a las diferentes tareas que la comunidad matemtica en su conjunto tiene que realizar, pone de manifiesto las subcomunidadesqueaparecenconcaractersticassuficientementediferenciadas: Personas dedicadas a la investigacin de los problemas internos de laMatemtica o de los problemas provenientes de las aplicaciones. Este es el grupo que, un tanto impropiamente, se suele llamar de matemticos. Su inters principal consiste en resolver los problemas que van surgiendo en su campo y en estar atento, en comunicacin con otros profesionales y cientficos, a las posibles implicaciones y aplicaciones que su trabajo pueda tener. Personas dedicadas a la transmisin del saber y del quehacermatemtico a las generaciones posteriores. Se trata del grupo de los maestros y profesores, cuya labor de introduccin adecuada de los ms jvenes en el quehacer matemtico y en el placer y utilidad que este quehacer puede proporcionar, es absolutamente esencial para el desarrollo y bienestar de la comunidad matemtica. Personas dedicadas a la investigacin en los problemas propios de taltransmisin. La existencia de un grupo que estudie intensamente los problemas de la transmisin del saber hacer matemtico a otras generaciones, es decir el grupo de los investigadores en educacin matemtica, es un fenmeno reciente queRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar28 29. est slidamente motivado, a nuestro parecer, por las fuertes dificultades que esta transmisin ofrece, por la necesidad creciente de una formacinmatemtica ms extensa y profunda, a un segmento cada vez ms amplio de personasy,porlaspenosasexperienciasquerecientementehanexperimentado generaciones de jvenes, en ocasin de la puesta en prctica masiva de procesos de aprendizaje que han demostrado al poco tiempo resultar ineficaces, cuando no seriamente perjudiciales. Usuarios de la Matemtica.Son las personas que tratan de sacar el mejor partido posible de los resultados y las teoras de la Matemtica en su trabajo tcnico, profesional, cientfico. Proponen cuestiones y problemas a la consideracin de los investigadores matemticos y apoyan de diferentes maneras la vida de la comunidad matemtica. Educadores matemticos de la sociedadSon las personas que dentro de la comunidad matemtica, con especial sensibilidad, tratan de realizar la importante tarea de acercar a la sociedad los resultados de todo el esfuerzo de la comunidad matemtica, a fin de hacer claro el papel de la matemtica en la cultura humana en general y en la sociedad en la que vive.La lista no es exhaustiva, ni tampoco hay que pensar en que stos sean grupos disjuntos. Al contrario, lo deseable sera que las intersecciones de los mismos fueran bien nutridas y que la comunicacin, y el posible paso por un grupo u otro de una persona, en concreto fuera un hecho fcil y ordinario. Lo ideal sera que cada uno de los miembros de la comunidad matemtica tuviera la magnfica experiencia de formar parte simultneamente o por algn perodo, de varias de estas subcomunidades.() Y de hecho, a lo largo de los siglos ha habido personas que han realizado con xito esto que a algunos les puede parecer una utopa. ()Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar29 30. 1. 2 DIDCTICA GENERAL Y DIDCTICAS ESPECFICAS Profesora...no logro darme cuenta cul es la diferencia entre didctica y pedagoga... de qu se ocupan? Qu estudia cada una?.... (Intervencin de un alumno de profesorado donde se cursan en forma paralela o correlativa Pedagoga General y Didctica General, 2000)La didctica como actividad general ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro ltimas dcadas de este sigloDidctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45), la organizacin de los procesos de enseanza y aprendizaje, relevantes para tal materia. Cuando se habla de didctica, la totalidad del conocimiento est presente: en su necesidad primera, en la enseanza, como efecto del conocer practicado a lo largo de la historia; en su inexcusabilidad como accin de conocer, en el aprendizaje.Para Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didctica es la ciencia que se interesa por la produccin y comunicacin del conocimiento. Saber que es lo que se est produciendo en una situacin de enseanza, es el objetivo de la didctica.Los didactas son organizadores, desarrolladores de educacin, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.Debido a la complejidad de los procesos presentes en toda situacin de enseanza y aprendizaje, Schoenfeld (1987) postula una hiptesis bsica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensin ayudar a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de inters es, por lo tanto, explicar qu es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar30 31. Tambin hay didcticas especficas. Entre las grandes cuestiones tericas que se plantean hoy en el campo de la didctica, es el referido a mostrar las relaciones entre la Didctica General y las didcticas especficas, como: Didctica de las Ciencias Sociales, Didctica de las Ciencias Naturales, Didctica de la Matemtica, Didctica de la Lengua y la Literatura y Didctica de la Educacin Fsica, entre otras.El panorama es amplio y muy complejo. Organizamos el apartado como se muestra. 1.2.1Acepciones de la palabra didctica1.2.2Didctica como disciplina cientfica1.2.3Didcticas especficas por rea1.2.1 Acepciones de la palabra didctica Del griego didaktik, de didsko, ensear. Es un vocablo enriquecido en la Europa continental y empobrecido por el doblete enseanza-aprendizaje anglo norteamericano.Hay numerosas acepciones: Familiar o vulgar. Ensear materias escolares.Mtica. Don innato e intransmisible para comunicar saberes posedos.Artstica. Manejar recursos para que los alumnos aprendan o facilitar connormas la interiorizacin de cultura y modelos de comportamiento positivos para comunidad o grupo. Tecnolgica. Sistemas controlables de secuencias repetibles optimizantespara interiorizar cultura a base de decisiones normativas, prescritas o preceptuadas. Axiomtica. Principios o postulados sobre decisiones normativas para elaprendizaje.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar31 32. Positiva. Saber formalmente especulativo, pero virtualmente prctico, cuyoobjeto propio es tomar decisiones normativas hipotticamente obligatorias sobre los interactivos trabajos, docente y discente, congruentes con las vas o mtodos de informacin, cuyo mtodo propio es la ptima secuenciacin indicadora, repetitiva, presionante o abierta sobre el discente, y cuyo fin es la instruccin o integracin de la cultura.Vistas las acepciones, parecen remotos los interrogantes sobre si es ciencia, tcnica o arte con apoyaturas cientficas. Los didactas actuales aprehenden la triple dimensin, aunque maticen caractersticas: controlar, procesar, objetivar, guiar, integrar, optimizar, implicar docente-discente, lograr objetivos, aplicar, personalizar,etc..Manifiestanunaclara,profundaydinmicaintradisciplinariedad entre teora, tecnologa y prctica didcticas.Triple dimensin captable en los tres espacios didcticos: espontneo (ensear y aprender sin saberlo), intencional (enseanza y aprendizaje para conservar tesoros culturales), y sistemtico (remodelacin del conjunto interactivo de relaciones discentes y docentes en busca de instruccin). Cabran los espacios tecnolgico y abierto?La tecnologa didctica es un sistema que renuncia a la metadidctica y adopta un nuevo modelo: control, evaluacin, eficiencia, transmisin, instrumentacin e investigacin. Se achica intencionalmente en la operativa y comprende los niveles preartstico y artstico del docente. No aspira a la agona espacial (lucha por espacios), aunque da a da nacen nuevas efmeras prcticas tecnolgicas. La didctica abierta (no formal) es atractiva o utpica, definida negativamente en un ficticio mundo espontneo. Pero no basta el siseo tecnolgico extramuros escolares para alcanzar el nivel cultural que garantice el ejercicio eficaz de una actividad profesional.Es necesario estar motivado por: a)Autoconciencia de carencia cultural.b)Autoestima de excedente energtico para asumir el nuevo compromiso. Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar32 33. c)Niveles de aspiracin y superacin elevados.d)Autoevaluacin de xitos o toma de decisiones comparativamentesuperiores a los situados en el nivel aspirado. e)Creencia en los niveles titulados de profesionalizacin o diplomaindicativos. f)Necesidad o conveniencia de diploma o titulacin para acceder al puestoaspirado. g)Confianza en la promocin, logrado el nivel.El baricentro de la didctica abierta est, pues, en la esfera intencional, aunque sin enmarque tecnolgico. La tendencia unitiva lleva a fundir didctica y organizacin, a travs de la teora y tcnica curriculares y de la taxonoma de objetivos, desde el rea tecnolgica, y didctica con orientacin escolar, tanto a travs de los sistemas abiertos y no directivos como de la evaluacin formativa.La va cientfica para alcanzar normas didcticas es la experimental. 1) Precientfica o experimentalismo experiencialista: Mantiene provocacin u observacin y aplica cantidades. Sin rigor. 2) Experimentalismo clnico : Cualitativo y profundo. N = 1 o pocos sujetos. Anlisis multifactico. Conclusiones hipergeneralizadas. 3) Experimentalismo puro: Exige diseo experimental apropiado. Demora la consecucin de normas. 4) Experimentalismointegrador:Diseoscuasiexperimentalesynoparamtricos. Modelos rpidos y flexibles para derogar o vigorizar normas.(1)1.2.2 La Didctica como disciplina cientfica La ciencia que tiene por objeto los mtodos de enseanza y que se preocupa de la comunicacin de conocimientos y sus transformaciones, teoriza la produccin y vinculacin de los saberes. El objeto de estudio de la didctica son los fenmenos que ponen en juego objetos de saber, de conocimiento y de comportamiento. En cuanto al arte de ensear, describe y estudia la actividad de enseanza en el marco de la disciplina cientfica.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar33 34. Didctica de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (1991, p 45), la organizacin de los procesos de enseanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educacin, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupalPara Brousseau (Kieran: 1998, p.596): la didctica es la ciencia que se interesa por la produccin y comunicacin del conocimiento. Saber qu es lo que se est produciendo en una situacin de enseanza es el objetivo de la didcticaDebido a la complejidad de los procesos presentes en toda situacin de enseanza y aprendizaje, Schoenfeld (1987) postula una hiptesis bsica consistente en que, a pesar de la complejidad, las estructuras mentales de los alumnos pueden ser comprendidas y que tal comprensin ayudar a conocer mejor los modos en que el pensamiento y el aprendizaje tienen lugar. El centro de inters es, por lo tanto, explicar qu es lo que produce el pensamiento productivo e identificar las capacidades que permiten resolver problemas significativos. En fin, la tarea fundamental de la Didctica es la de estructurar los distintos componentes que caracterizan el proceso: el contenido, las formas y mtodos de enseanza, los medios de enseanza, de modo tal de alcanzar el encargo social, apoyndose para ello en las leyes y regularidades inherentes a dicho proceso, a la dinmica del proceso.1.2.3 Las didcticas especficas por rea En cuanto a la Didctica y las didcticas especiales, segn lo expresa Prez Ferra (2000, p. 54)8: la didctica de cada rea/materia es interna o intrnseca a ella porque si bien hay una metodologa y principios generales o comunes, pertenecientes a la Didctica general y dependientes de una teora del 8Prez Ferra, M., (2000). Conocer el curriculum para asesorar en los centros. Coleccin de Pedagoga dirigida por Miguel Angel Santos Guerra. Mlaga: Ediciones Aljibe. Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar34 35. aprendizaje, tambin es cierto que cada rea/materia tiene modos especficos de enseanza y una tradicin didctica propia de sus profesores El mismo autor seala (2000, p.55): Si la Didctica es un conjunto de principios generales aplicables a cualquier disciplina, no hay una identidad epistemolgica de las didcticas especficas. Pero desde el momento en que las didcticas especficas se deslizan del tronco comn de la Didctica general puede ocurrir que se apoyen casi exclusivamente en la Psicologa del aprendizaje , como parece que se est produciendo en EspaaPensemos en el caso puntual de la Didctica de la Matemtica. Siguiendo lo expresado por Prez Ferra, la aproximacin de la didctica a la Psicologa del aprendizaje dara lugar a convertir todo el asunto de la enseanza en un asunto psicopedaggico, desconectndose de todo el anlisis curricular. Tambin leemos en Prez Ferra (2000, p.55) la opinin aportada por Huerta: (...) Quiz la solucin epistmica de las Didcticas especiales consista en la formacin de un tringulo base en cada nivel de conocimiento, constituido por un saber o disciplina especial, los conocimientos por la Didctica general y la Organizacin escolar. Dentro del tringulo mencionado no cabe excluir ni la Didctica general, ni la ciencia o disciplina especial, ni la Organizacin escolar de las experiencias de aprendizaje. Ocurre que las tres disciplinas resultan bsicas y giran dinmicamente, cambiando posiciones. (Prez Ferra: 56).Para explicar lo dicho propone el esquema siguiente:ORGANIZACIN ESCOLARCURRICULUM COMO CONJUNTO DE CONOCIMIENTOS: DIDCTICAS/ESPECFICASDIDCTICA GENERALLas didcticas especiales en el mbito educativo. Fuente Prez Ferra (2000, p 56) Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar35 36. A continuacin agrega: (...) En realidad, no se trata de un acoplamiento de las tres disciplinas, sino de una estructuracin de las mismas, en el que los currcula pueden cubrir el rea de conocimiento que acoge cada didctica especfica. Posiblemente, y ese es nuestro entender, la entrada al Curriculum es la autova de acceso a las didcticas especficas y de salida de la Didctica general (...). 1.3 DIDCTICA DE LA MATEMTICA Con anterioridad se dijo que la didctica, como actividad general, ha tenido un amplio desarrollo en las cuatro ltimas dcadas del siglo XX. Y tambin que hay didcticas especficas, como es el caso de la Didctica de la Matemtica. Sin embargo, con respecto a esta ltima no ha acabado la lucha entre el idealista, que se inclina por potenciar la comprensin mediante una visin amplia de la Matemtica, y el prctico, que clama por el restablecimiento de las tcnicas bsicas en inters de la eficiencia y economa en el aprendizaje. Ambas posturas se pueden observar tanto en los grupos de investigadores, innovadores y profesores de Matemtica de los diferentes niveles educativosEl debate en el campo de la Didctica de la Matemtica ha privilegiado en los ltimos aos el problema de su construccin terica. La mayora de los esfuerzos en esta direccin han dejado de lado los desarrollos logrados por la pedagoga y la didctica general en siglos de reflexin sobre el fenmeno educativo. Hay una opinin generalizada, entre los investigadores, que tanto la Didctica general como la Didctica de la Matemtica enfrentan los mismos problemas fundamentales en su bsqueda de identidad, y que por lo tanto, la segunda no puede constituirse tericamente al margen de la primera.A su vez, cabe recordar que existen teoras generales del aprendizaje y teoras de la enseanza. Pero, cabe preguntarse: aprendizaje de qu?, enseanza de qu? Los fenmenos del aprendizaje y de la enseanza se refieren a conocimientos particulares, y posiblemente, la explicacin y prediccin de estosRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar36 37. fenmenos depende de la especificidad de los conocimientos enseados, adems de factores psicopedaggicos, sociales y culturales.La planificacin de la enseanza, el desarrollo del currculo, la prctica de la educacin matemtica precisa tener en cuenta esta especificidad referida a cmo ensear y aprender los saberes matemticos. La insuficiencia de las teoras didcticas generales para abordarlos lleva necesariamente a la formulacin de otras nuevas, ms ajustadas a los fenmenos que se trata de explicar, predecir, disear, mejorar.En lo que sigue se ilustra el camino a recorrer en este apartado. 1.3.1La Didctica de la Matemtica1.3.2Cmo ensear mejor la Matemtica?1.3.3Educacin Matemtica y Didctica de la Matemtica1.3.1 La Didctica de la Matemtica En este apartado presentamos un abanico de conceptualizaciones acerca de la Didctica de la Matemtica.Para Steiner (1985) la complejidad de los problemas planteados en la Didctica de la Matemtica produce dos reacciones extremas. En la primera estn los que afirman que no puede llegar a ser un campo con fundamentacin cientfica y, por lo tanto, la enseanza de la Matemtica es, esencialmente, un arte.En la segunda postura encontramos aquellos que piensan que es posible la existencia de la didctica como ciencia y reducen la complejidad de los problemas seleccionando slo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar37 38. Steiner considera que la Didctica de la Matemtica debe tender hacia lo que Piaget denomin transdisciplinariedad, lo que situara a las investigaciones e innovaciones en didctica, dentro de las interacciones entre las mltiples disciplinas, (Psicologa, Pedagoga, Sociologa entre otras, sin olvidar a la propia Matemtica como disciplina cientfica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.Lo cierto es que la Didctica de la Matemtica como ciencia no aparece como un cuerpo que pueda estudiarse en forma secuencial, sino que abarca, desde distintos puntos de vista, todo un campo de problemas que se refieren, como mnimo, al tringulo didctico: alumno-saber-maestro. Ms adelante veremos que el campo de problemas se ampla con otros componentes que amplan el mencionado sistema didctico restringido.Segn Artigue (1998) "en Francia, la Didctica de las Matemtica se ha desarrollado como un rea de investigacin, al poner en primer plano la especificidad de las relaciones entre la enseanza y el aprendizaje ligadas a la especificidad del contenido a ensear: la matemtica, y al imponerse la ambicin de comprender el funcionamiento de estas relaciones entre la enseanza y el aprendizaje y de poner en evidencia las leyes que las gobiernan, haciendo explcita, al mismo tiempo, la necesidad de distanciar la voluntad de accin inmediata sobre el sistema educativo".Por su parte Chevallard (1997) expresa: La Didctica de la Matemtica trata del estudio de la Matemtica. Es la ciencia del estudio y de la ayuda al estudio de la Matemtica. Su objetivo es llegar a describir y caracterizar y los procesos de estudio o procesos didcticos - para proponer explicaciones y respuestas slidas a las dificultades con que se encuentran todos aquellos (alumnos, profesores, padres, profesionales, etc.) que se ven llevados a estudiar matemtica o ayudar a otros a estudiar matemtica.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar38 39. Por lo dicho, la enseanza aparece como un medio para el estudio y contina diciendo (...) la didctica de la matemtica, sin negar la importancia de los factores psicolgicos y motivacionales, ya no presupone que las explicaciones ltimas de los fenmenos didcticos deban buscarse en dichos factores que pasan as a ser considerados como consecuencias de determinados fenmenos, y no como sus causas..(...).El mencionado especialista afirma que las explicaciones didcticas deben, por el contrario, partir de la descripcin de la actividad matemtica que realizan conjuntamente profesor y alumno. En el caso de las asignaturas escolares, o disciplinas escolares, existe una tendencia a confundir la actividad de estudio con la enseanza, o por lo menos, a considerar nicamente como importantes aquellos momentos del estudio en los que el alumno est en clase con un profesor. Con ello, se olvida entonces que el aprendizaje, entendido como el efecto perseguido por el estudio, no se produce slo cuando hay enseanza, ni se produce nicamente durante la enseanza. El estudio o proceso didctico es un proceso ms amplio que no se restringe, sino que engloba, al proceso de enseanza y aprendizaje.Al hablar de procesos didcticos, uno piensa inmediatamente en la escuela, el instituto, o la facultad, dado que la funcin principal de estas instituciones es reunir los medios necesarios para que ciertos procesos didcticos se puedan llevar a cabo. De ah que tambin podamos llamarlas instituciones didcticas.Juan Godino plantea estas cuestiones: Se trata de un saber meramente prctico, una tecnologa fundada y dependiente de otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas caractersticas requieren un nivel de anlisis terico y de una metodologa propias de un verdadero saber cientfico? Menciona estas posiciones extremas: La didctica como arte.Enfoque pluridisciplinar aplicado.La didctica como disciplina cientfica autnoma.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar39 40. Con referencia a la tercera posicin propone: Es la disciplina cientfica y el campo de investigacin cuyo fin es identificar, caracterizar, y comprender los fenmenos y procesos que condicionan la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.Para Godino y Batanero (1996): La Didctica de las Matemticas estudia los procesos de enseanza / aprendizaje de los saberes matemticos- en los aspectos tericos-conceptuales y de resolucin de problemas- tratando de caracterizar los factores que condicionan dichos procesos. Se interesa por determinar el significado que los alumnos atribuyen a los trminos y smbolos matemticos, a los conceptos y proposiciones, as como la construccin de estos significados como consecuencia de la instruccin.A su vez, Brousseau enriquece la definicin de la Didctica de la Matemtica afirmando que es la ciencia de las condiciones especficas de la difusin (impuesta) de los saberes matemticos tiles a las personas y a las instituciones humanas. Agrega con posterioridad al respecto: (...) es el estudio de la evolucin de las interacciones entre un saber, un sistema educativo y los alumnos, con objeto de optimizar los modos de apropiacin de este saber por el sujeto. Tambin define la concepcin fundamental de la Didctica de la Matemtica como: "una ciencia que se interesa por la produccin y comunicacin de los conocimientos matemticos, en lo que esta produccin y esta comunicacin tienen de especficos de los mismos". Si se compara la didctica que se ha desarrollado en Francia con aquella que se ha desarrollado en numerosos pases, la didctica francesa aparece como ms unitaria y ms teorizada (Kilpatrick, 1994, Grouws, 1992).En los trabajos de Vicen Font Moll leemos: Cmo ensear mejor las matemticas? es, sin lugar a dudas, la pregunta que origina el rea de investigacin que, en muchos pases, se conoce como Didctica de las Matemticas.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar40 41. En el artculo "Aprender por medio de la resolucin de problemas", Rolando Charnay plantea, de manera un poco esquemtica, pero tambin muy clara, tres modelos de enseanza de las matemticas: el normativo, el iniciativo y el apropiativo; asimismo destaca las relaciones alumno-maestro-saber y, en particular, el papel de la resolucin de problemas. En el modelo apropiativo se ubicaran las secuencias didcticas experimentales que se desarrollan en la corriente a la que hemos hecho referencia. Guy Brousseau, pionero de esta corriente, en su artculo "Los diferentes roles del maestro" diserta sobre los diversos papeles asumidos por el maestro en los distintos momentos del desarrollo de una secuencia didctica, expone algunos conceptos recientes de la Teora de las situaciones didcticas, como los de "situacin adidctica", "devolucin" y "memoria didctica" (este ltimo no lo desarrolla).Aborda varios problemas apasionantes como la gestin del sentido de los conocimientos de los alumnos y la dificultad, no resuelta, de encontrar formas de nombrarlo, de explicitarlo, sin caer en seudo conocimientos; o el problema, muy poco atendido, de cmo tratar los errores de medicin en las prcticas frecuentes en las que se parte de situaciones que exigen manipular, medir, para construir nociones matemticas.Lo cierto es que la caracterstica principal de la Didctica de la Matemtica es la de su extrema complejidad. Como describe Steiner, esta disciplina comprende el complejo fenmeno de la Matemtica en su desarrollo histrico y actual y su interrelacin con otras ciencias, reas practicas, tecnologa y cultura; la estructura compleja de la enseanza y la escolaridad dentro de nuestra sociedad; las condiciones y factores altamente diferenciados en el desarrollo cognitivo y social del alumno [Steiner (1984), p. 16].1.3.2 Cmo ensear mejor la Matemtica? Entre las distintas propuestas referidas a la conceptualizacin de la Didctica de la Matemtica, nos parece interesante la de Vicen Font Moll9. En su9Universidad de Barcelona. Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar41 42. conferencia Epistemologa y Didctica de las Matemticas el especialista expresa: Cmo ensear mejor las matemticas? es, sin lugar a dudas, la pregunta que origina el rea de investigacin que, en muchos pases, se conoce como Didctica de las Matemticas. Presenta el diagrama que consignamos a continuacin.Contina diciendo: Para contestar a esta pregunta podemos focalizar nuestra atencin sobre la mente del sujeto que ha de aprender, lo cual nos lleva a entender la comprensin como proceso mental y a reflexiones psicolgicas que nos pueden ayudar a saber lo que sucede en la mente del alumnos y, como consecuencia, nos pueden dar indicaciones sobre cundo y cmo ensear. Tambin podemos centrar la atencin en las instituciones donde se produce el proceso de instruccin, lo cual nos lleva a entender la comprensin como comprender las normas y a reflexiones de tipo sociolgico y antropolgico que nos pueden informar de las normas sociales que regulan los procesos de instruccin.Y sigue as: Por otra parte, en la formulacin de la pregunta se dice claramente que lo que hay que ensear son matemticas. Por tanto, es naturalRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar42 43. que para contestar a esta pregunta dirijamos nuestra atencin a las matemticas. Qu tipo de matemticas hay que ensear? O Por qu hayque ensear matemticas? son preguntas cuya respuesta depende de cmo se hayan contestado otras pregunta ms bsicas propias de la filosofa de las matemticas como, por ejemplo: Qu son las matemticas? ().Coincidimos con Vicen Font Moll en lo que expresa: () Hoy en da hay un amplio acuerdo en el rea de Didctica de las Matemticas, en que la formacin del profesorado que ha de impartir matemticas requiere situar la formacin matemtica en un lugar importante; ningn tipo de formacin pedaggica, psicolgica ni didctica puede suplir una dbil formacin matemtica del futuro profesor de matemticas de cualquier nivel educativo. El diseo de las actividades de enseanza-aprendizaje requiere unos slidos conocimientos matemticos adems de una formacin didctica.(). No hay acuerdo sobre si hay que ensear unas matemticas formalistas o bien unas matemticas realistas, tampoco lo hay sobre cul es el papel de la resolucin de problemas, ni sobre si hay que ensear una matemticas acabadas o bien hay que ensear a hacer matemticas, etc. () Por qu hay que ensear matemticas? son preguntas cuya respuesta depende de cmo se hayan contestado otras preguntas ms bsicas propias de la filosofa de las matemticas como, por ejemplo: Qu son las matemticas? Qu es lo qu sabemos en matemticas? Cmo sabemos que lo que sabemos en matemticas es verdadero (cierto / vlido )? etc.Volviendo al diagrama observamos que estn consideradas las instituciones. Al respecto, Font se expresa as: () Tambin podemos centrar la atencin en las instituciones donde se produce el proceso de instruccin, lo cual nos lleva a entender la comprensin como comprender las normas y a reflexiones de tipo sociolgico y antropolgico que nos pueden informar de las normas sociales que regulan los procesos de instruccin. ()Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar43 44. 1.3.3 Educacin Matemtica y Didctica de la MatemticaEn este apartado Interesa realizar una clarificacin terminolgica. El trmino educacin es ms amplio que didctica y, por tanto, se puede distinguir entre Educacin Matemtica y Didctica de la Matemtica.Esta es la opcin tomada por Rico, Sierra y Castro (2000; p. 352) quienes consideran la educacin matemtica como todo el sistema de conocimientos, instituciones, planes de formacin y finalidades formativas que conforman una actividad social compleja y diversificada relativa a la enseanza y aprendizaje de la Matemtica. Estos autores describen a La Didctica de la Matemtica como la disciplina que estudia e investiga los problemas que surgen en educacinmatemticayproponeactuacionesfundadasparasutransformacin.En el mundo anglosajn se emplea la expresin Mathematics Education para referirse al rea de conocimiento que en Francia, Alemania, Espaa, etc. se denomina Didctica de la Matemtica. Steiner (1985) identifica ambas denominaciones justificando su postura en que la Educacin Matemtica admite, adems, una interpretacin global dialctica como disciplina cientfica y como sistema social interactivo que comprende teora, desarrollo y prctica.La Educacin Matemtica es una construccin relativamente nueva y, en especial, su estatus como disciplina cientfica y acadmica se encuentra en un proceso de definicin, construccin y consolidacin. En perspectiva, son muchas las variables que influyen sobre un cuerpo terico y prctico dotado de tanta complejidad; en la Educacin Matemtica participan elementos sociales, institucionales, psicolgicos, etc. Su incidencia en los procesos educativos la coloca en relacin estrecha con mltiples dimensiones de la sociedad; en algunos casos, como factor relevante activo en los sistemas educativos y cientficos de la sociedad. Y, a la vez, las grandes lneas de desarrollo social e histrico penetran y condicionan la evolucin interna de la misma disciplina. Cmo hacer una radiografa de lo que han sido los ltimos aos de esta Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar44 45. disciplina y tambin trazar sus perspectivas ms amplias? Nos parece apropiado empezar por la historia. Esto nos brindar un contexto preciso en el cual se puede interpretar las principales caractersticas de la Educacin Matemtica en la segunda mitad del siglo XX hasta nuestros das.Entonces, invocando todos estos elementos tericos, se trata de no insistir tanto en las dimensiones internas a las teoras cientficas (su lgica, consistencia, etc.) como en aquellos contextos sociales e histricos en los que las teoras son construidas y adquieren su validez. Los criterios, valores, procedimientos deben entenderse dentro de contextos socioculturales histrico precisos. Esto empuja en la Educacin Matemtica hacia varias direcciones: por un lado, interpretar la Matemtica (a pesar de su naturaleza abstracta) dentro de contextos sociohistricos, y por eso mismo introducir esos contextos como medios relevantes para la enseanza y aprendizaje. No slo como reserva de ancdotas sobre personajes de la Matemtica, sino como metodologa capaz de nutrir estrategias y currculos. Por otra parte, para sostener los procesos de construccin de la misma Educacin Matemtica, no nicamente como una disciplina acadmica, sino como una comunidad cientfica. Existen diferentes dimensiones en la problemtica de la Educacin Matemtica. Se trata de una situacin compleja en la que intervienen de manera entrelazada y mutuamente condicionante muchos factores.Por qu la importancia que damos a las ideas filosficas dentro de este escenario que determina la Educacin Matemtica? No todos los factores inciden de igual manera. Los mtodos y tcnicas especficas para resolver problemas particulares, por ejemplo, son importantes. La mayora de los congresos internacionales de enseanza de la Matemtica dedican una gran parte de su tiempo a este tipo de asuntos. De hecho, lo que suele provocar el mayor inters en los profesores en servicio es persistentemente los talleres de capacitacin en didctica y tecnologa, los laboratorios. Sin embargo, y a pesar de todo lo importante que estas actividades e investigaciones puedan resultar, insistimos: es en el territorio de la epistemologa y la ontologa de la Matemtica, porque es aqu donde podemos encontrar mayores niveles de Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar45 46. esclarecimiento necesario para enfrentar la problemtica de la que hemos hablado; es lo que puede brindar una perspectiva integradora de las diferentes quehaceres e investigaciones; especialmente, en un contexto lleno de mltiples escuelas de pensamiento que compiten en la Educacin Matemtica.En el escenario histrico que vivimos, este tipo de enfoques filosficos, epistemolgicos y culturales son el marco ms general dentro del que podemos colocar muchas de las tendencias de la Educacin Matemtica actualmente y que se fortalecern de cara al futuro.Sin duda, existen diferentes percepciones de lo que es la Educacin Matemtica. Steiner cita varios ejemplos: "Entre los que piensan que la Educacin Matemtica existe como ciencia, encontramos una variedad de definiciones diferentes, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre Matemtica, individuo y sociedad, la reconstruccin de la Matemtica actual a nivel elemental, el desarrollo y evaluacin de cursos matemticos, el estudio del conocimiento matemtico, sus tipos, representacin y crecimiento, el estudio del aprendizaje matemtico de los nios, el estudio y desarrollo de las competencias de los profesores, el estudio de la comunicacin e interaccin en las clases. etc." (Steiner, 1985, citado por Godino (2003)).Brousseau afirma sobre la didctica: "una ciencia que se interesa por la produccin y comunicacin de los conocimientos, en lo que esta produccin y esta comunicacin tienen de especficos de los mismos" (Brousseau: 1989), citado por Godino (2003)).Steiner(1984) ofrece una definicin de la Didctica de la Matemtica: "el complejo fenmeno de la Matemtica en su desarrollo histrico y actual y su interrelacin con otras ciencias, reas prcticas, tecnologa y cultura; la estructura compleja de la enseanza y la escolaridad dentro de nuestra sociedad; las condiciones y factores altamente diferenciados en el desarrollo cognitivo y social del alumno". Tal vez deba subrayarse la complejidad delRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar46 47. concepto Didctica de la Matemtica, puesto que incluye una coleccin muy grande de actividades y est organizada por mltiples dimensiones.Conviene sealar algunos elementos de lo que pensamos podra considerarse que es la Educacin Matemtica: sta incluye todos aquellos procesos sociales y culturales que buscan lograr un aprendizaje de los conceptos y mtodos de las matemticas. Existen varias dimensiones: los currculos matemticos para los diferentes niveles de la educacin formal o informal, los textos y todos los recursos que se utilizan en la enseanza y aprendizaje de la Matemtica, la organizacin gremial de los educadores de la Matemtica, el desarrollo de las lecciones, y el xito o fracaso de los procesos realizados), las teoras sobre la naturaleza de la educacin (epistemologa, la ontologa, etc.), las ideas prcticas y los recursos estratgicos para realizar la enseanza y aprendizaje de la Matemtica, etc.Cmo organizar todos estos elementos? Realizar esta tarea se puede hacer siguiendo varios modelos. Por ejemplo, la aproximacin de Steiner, que coloca la Educacin Matemtica como parte de un sistema de enseanza de la Matemtica.En este sistema se encuentra la formacin de profesores, eldesarrollo curricular, los materiales didcticos, la evaluacin etc. A la vez, las disciplinas referentes giran perifricamente alrededor de este sistema: Psicologa, Sociologa, Matemtica, Pedagoga, etc.La Educacin Matemtica (que es la formulacin que ms se usa en los pases anglosajones) se entiende aqu como Didctica de la Matemtica (trminos que se usan ms en el continente europeo). (Godino: 2003).Puede, tambin, verse a partir de la aproximacin tetradrica de Higginson, ms simple, en la cual la Educacin Matemtica integra cuatro componentes: Filosofa, Sociologa, Matemtica, Psicologa. Esta ltima aproximacin busca responder a las preguntas correspondientes sobre el campo: qu ensear, porRevista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar47 48. qu, a quin y dnde, cundo y cmo. (Godino: 2003). En la primera aproximacin tenemos un sesgo ms estructural, en la segunda, el enfoque es ms epistemolgico.Adems, el impacto social de la Educacin Matemtica es de una naturaleza diferente al que provoca la Matemtica. Su relacin con la educacin y todos los procesos formativos de una sociedad, la coloca fuertemente en el territorio de la poltica y los lineamientos presentes en el desarrollo de las sociedades.Para la escuela francesa, en la Didctica de la Matemtica, la Matemtica no slo es un componente ms dentro de un sistema formado por otras disciplinas cientficas y acadmicas. Tampoco el componente principal. Sino que la Didctica de la Matemtica debe considerarse propiamente como parte de la Matemtica o, convenientemente, dentro de la comunidad matemtica. Los conceptos matemticos a ensear establecen en esta visin, el fundamento central para la didctica que corresponde a cada uno. No existe didctica general que se aplique de manera especfica a la Matemtica. La Didctica de la Matemtica emerge de la Matemtica misma.Se admite, sin embargo, que existe una "transposicin didctica" que transforma el concepto matemtico en un objeto para la enseanza y aprendizaje;esdecir,elobjetomatemticoyelobjetodidcticocorrespondiente son distintos, gracias a este proceso de transposicin. Pero, se insiste, el objeto didctico no es una realizacin o aplicacin de nociones generales de enseanza y aprendizaje. La Didctica de la Matemtica busca entonces, entre otras cosas, construir "situaciones didcticas" especficas en las que es posible lograr el aprendizaje de los objetos matemticos considerados. Se acepta aqu, entonces, que existen objetos matemticos como construcciones socioculturales establecidas por las comunidades de matemticos. De ella se parte como base para construir los objetos didcticos. Cabe, sin embargo, preguntarse cules son los procesos determinantes de esos objetos matemticos o su estatus epistemolgico.Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar48 49. Esta visin, en esencia, combate una subordinacin de la Matemtica a otras disciplinas tericas, en particular a la psicologa y las teoras generales de la enseanza y aprendizaje, y apuntala una posicin que podra verse como una subordinacin de la Educacin Matemtica a la Matemtica.Debe reconocerse que la Educacin Matemtica no constituye hoy una comunidad intelectual y profesional homognea sino, ms bien, un conjunto de escuelas de pensamiento con propuestas diversas que a veces compiten entre ellas. Se trata de una etapa de amplia ebullicin profesional y cientfica en la que se busca establecer las definiciones y las perspectivas. Integrar todos los componentes en un marco terico y prctico que sustente la profesin de la Educacin Matemtica y que nutra la disciplina en trminos cientficos y acadmicos, es una gran tarea compleja que se est realizando en varias latitudes, y los resultados de estos esfuerzos sern muy relevantes para beneficio del aprendizaje de las matemticas y el logro de nuevos niveles de satisfaccin con ella en todo el planeta. Como en todo campo cognoscitivo nuevo, todo est en transicin, sin posiciones o ideas definitivas o acabadas. No hay espacio para actitudes infalibles o absolutistas: es el espacio para la creatividad, el escepticismo sano, la crtica y la imaginacin racional.1.4 DIDCTICA DE LA MATEMTICA POR CONTENIDOS Todas las didcticas especficas son disciplinas, relativamente, jvenes que, a pesar de su historia, se han consolidado y afirmado en los planes de estudio y dirigidos a la formacin de docentes. Ha habido, no obstante, que atravesar algunas crisis de identidad antes de llegar a tal afirmacin con su obligacin, porque la didctica, en general, y las especficas, en particular, se han visto sometidas a crtica; sobretodo su proclamacin como ciencias ha suscitado muchas disconformidades. Se trata de campos de conocimiento en las Ciencias de la Educacin.En este apartado proponemos:Revista N 21 octubre 2010 Seccin Temas de Didctica www.mendomatica.mendoza.edu.ar49 50. 1.4.1Las didcticas especficas por rea1.4.2Didctica de la Matemtica diferenciada por contenidos.1.4.3Reflexiones. Norberto Fava.1.4.1 Las didcticas especficas por rea Segn lo expresa Prez Ferra (2000:54)10, una didctica especfica es la didctica de cada rea/materia. Su caractersticaes que interna ointrnseca a ella, porque si bien hay una metodologa y principios generalesocomunes,pertenecientesalaDidcticageneralydependientes de una teora del aprendizaje, tambin es cierto que cada rea/materia tiene modos especficos de enseanza y una tradicin didctica propia de sus profesores Tambin seala que si la Didctica es un conjunto de principios generales aplicables a cualquier disciplina, no hayunaidentidadepistemolgicadelasdidcticasespecficas.Pensemos en el caso puntual de la Didctica de la Matemtica. 1.4.2 Didctica de la Matemtica diferenciada por contenidos Para reflexionar: Una cosa son los contenidos matemticos (conocimientos didcticos sobrecontenidos matemticos), Otra cosa, son los contenidos didcticos(contenidos didcticos sobrecontenidos didcticos) A qu nos referimos con la expresin Didctica de la Estadstica?La Didctica de la Matemtica y la bsqueda de nuevas tcnicas deinnovacin relacionadas con la enseanza de la Estadstica. CmointerpretalaexpresinDidcticadelaMatemticaconespecializacin en Esta