(COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE OAXACA)

TEMAS SELECTOS DE MATEMATICAS

TEMAS DE LA CUARTA UNIDAD

ALUMNO: GONZALEZ MEJIA OSCAR ARIEL

PROFESOR: ISMAEL MENDEZ LAVARIEGA

INFORMATICA ENBC

GRUPO 636

En este trabajo de temas selectos de física

estudiaremos unos temas que son elementales en

el estudio de la administración aprendereos como

es que los bancos y las empresas manejan sus

finanzas y sus intereses como pagarlos y como

hacer para que los beneficien, además sabremos

como es que sacan buenas ganancias, además

aprenderemos como hacer para no pagar muchos

interese y que los banco s o cualquier persona que

nos preste dinero no abusen de nuestra confianza.

1. PORCENTAJES

2. INTERES SIMPLE2.1 INTERES, CAPITAL, TASA DE INTERES, TIEMPO,

VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA, MONTO

3. INTERES COMPUESTO3.1 INTERES, TASA DE INTERÉS, TIEMPO,

PERIODO, MONTO COMPUESTO3.2 TASA NOMINAL Y EFECTIVA3.3 VALOR PRESENTE3.4 ECUACIONES DE VALOR

4. ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS4.1 INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA:

TIPOS DE ANUALIDADES4.2 ANUALIDAES CIERTAS ORDINARIAS:

VALOR PRESENTE, MONTO DE ANUALIDAD,PERIODOS DE INTERES O NUMERO DE INTERVALOS DE PAGO, TASA DE INTERES POR PERIODO,, PAGO PERIODICO POR ANUALIDAD.

5. AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION5.1 TABLA DE AMORTIZACION INTERES

EN EL VALOR DE UN BIEN ADQUIRIDO,EXTINCION DE DEUDAS CONSOLIDADAS.

5.2 TABLA DE FONDOS DE AMORTIZACION

PORCENTAJES

Tanto porciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El termino se deriva del latín Per centum, que significa “por ciento” pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 porciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes se utilizan a menudo en la industria y las finanzas y en el mundo científico para evaluar resultados.

Para calcular el porcentaje de un número 4 a otro 16 se divide el primero por el segundo y el resultado se multiplica por 100

(4/16) x100

Su formula es(A1/A2) x100

Donde A1 es el porcentaje del segundo que no se sabe 4A2 es la cantidad total en este caso 16

También se utiliza la regla de 3 simple que da tres resultados y una incógnita

A1--------------A2

X-------------100Donde A1 se divide entre A2 y se multiplica por 100

Ejemplo

La población de una ciudad aumentó de 1.078.145 a 1.192.932 habitantes, según el censo realizado entre los años 2004 y 2005.

1. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de la población entre las dos fechas?

Solución:1. Para calcular el porcentaje de crecimiento, tenemos que pensar que el aumento del número de habitantes (1.192.932 - 1.078.145 = 114.787) es proporcional a la población inicial (1.078.145 en 2004). Para hallarlo en base a 100 (%) tan solo nos queda imaginar una población inicial de 100 habitantes y encontraremos su crecimiento x%.

Población inicial 2004

1078045 100

crecimiento 114787 x

Que escrito en forma de proporción es: (1078045/114787) = (100/x)Operando y despejando: (1078045) (x)= (114787) (100)x= (1078045/114787) (100)Entre los dos censos, la población de la ciudad objeto de nuestro estudio se ha incrementado alrededor del 10,6%.

INTERES SIMPLE

Primero necesitamos saber que significa Interés, y es el pago realizado por la utilización del dinero de otra persona. En Economía, se considera, más específicamente, un pago realizado por la obtención de capital. Los economistas también consideran el interés como la recompensa del ahorro, es decir, el pago que se ofrece a los individuos para que ahorren, permitiendo que otras personas accedan a este ahorro. Para la teoría económica, el interés es el precio del dinero.

Ahora que ya sabemos que quiere decir interés ya podemos trabajar el interés simple y para obtener el interés simple se utiliza una formula que es:I= (Crt)/100

I=interés=beneficio del préstamoC=capital=cantidad prestada

R=rédito=un benefician por 100 en un añoT=tiempo=tiempo del préstamoAhora si el interés viene en meses la formula es I= (Crt)/1200Si viene en días es I= (Crt)/36000

Ejemplo 1: calcular en que se convierte en seis meses un capital de $10000 al 3.5%.

I= (10000x3.5x6)1200= $175

Ejemplo I= (Crt)/100

Ejemplo 2: ¿durante cuanto tiempo ha de imponerse un capital de $25000 al 1.5 para que se convierta en $3000?

$30000-$25000= $5000

T= (100x5 000)/ (25 000x5) = 4años

2.1 INTERES, CAPITAL, TASA DE INTERÉS, TIEMPO, VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA, MONTO.

INTERESLucro producido por el capital como ya lo había dicho en el tema anterior interés quiere decir beneficio que produce el dinero prestado. También se puede definir como la renta que se paga por el uso del dinero tomado en préstamo (punto de vista del deudor) o bien, es la renta que se cobra por renunciar al uso del dinero otorgado en préstamo.

CAPITALCapital, término genérico que designa un conjunto de bienes y una cantidad de dinero de los que se puede obtener, en el futuro, una serie de ingresos. En general, los bienes de consumo y el dinero empleado en satisfacer las necesidades actuales no se incluyen en la definición económica de la teoría del capital. Por lo tanto, una empresa considerará como capital la tierra, los edificios, la maquinaria, los productos almacenados, las materias primas que se posean, así como las acciones, bonos y los saldos de las cuentas en los bancos. No se consideran como capital, en el sentido tradicional, las casas, el mobiliario o los bienes que se consumen para el disfrute personal, ni tampoco el dinero que se reserva para estos fines. Pero en temas selectos de matemáticas le llamaremos capital al dinero.

Ejemplo 1 ¿Qué capital con tasa de interés de 12% anual, produce interés de “$ 15000 en 10 meses?

C=I/it=15000/(.12(10/12))= $ 150000TASA DE INTERES

Es el interés por unidad de tiempo, expresado como tanto porciento o como tanto por uno del capital sobre el cual se produce o devenga, es el precio arriendo, por unidad de tiempo, de cada unidad monetaria o de cada 100 unidades monetarias en préstamo

Ejemplo:Una tasa de interés de 60% anual significa que se devengan $60 de interés al año por cada 100 en préstamo, o bien que se devengan $.6 de interés al año por cada $1 en préstamo.

TIEMPOEs la extensión de tiempo para el cual se calcula el interés. En otras palabaras es el lapso de tiempo en el que se presta el dinero.

Ejemplo 1 ¿Qué tiempo habra estado invertido un capital de $85,000 que produjo un interés de $35,7000ª una tasa anual de 21%?

t=I/Ci(35700/(85000x.21)= 2 años

VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA

Para muchas personas resulta discutible el hecho de que se cobren intereses en las operaciones de crédito en dinero. Incluso, existen determinadas civilizaciones en que ello esta penado por la ley, con base en preceptos religiosos.

Este valor presente de una deuda conduce a la existencia de matemáticas especiales para cálculos crediticios, pues se debe

reconocer que no siempre es pertinente sumar dos cantidades de dinero que se encuentran ubicadas en distintos momentos en el tiempo, o bien, no es posible saber si es mas conveniente pagar dos cuotas semestrales de 9000 o solo una anual de 20000 en un determinado crédito.

Ejemplo usted va invertir 250000 a un mes de plazo que valor de valor presente tendría si al realizar un deposito en un banco comercial, que ofrece pagarle al final del mes un interés de $2 por cada $100 depositados

Desarrollo. Se calcula cuanto dinero se tendría al final del mes

250000+250000(2/100)= $255000

MontoPara calcular el monto de un capital a interés compuesto, se determina el interés simple sobre el capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodo los interés se van sumando al capital inicial.

La formula que nos da el monto de interés compuesto y simple es M=C (1+I)n

Ejemplo ¿cual es el monto de un capital de $85000 impuso a un interés compuesto a la tasa del 22%durante 2años?

M=85000(1+.22)M= $ 924 138.13

INTERES COMPUESTO

INTERES

El interés compuesto tiene lugar cuando el deudor no paga, los intereses correspondientes. Así provoca que los mismos intereses se conviertan en un capital adicional, que a su vez producirá intereses.

TASA DE INTERESEn la tasa de interés pueden aparecer las palabras convertible, compuesto, nominal o capitalizable, que se toman como sinónimos e indican el número de veces que se capitalizaran los intereses en un año.

EjemploEl 18%convertible mensualmente indica que el 18% que esta en forma anual debe ser convertido a forma mensual. Esto se realiza dividiendo el porcentaje entre 12(numero de meses del año): 0.18/12. Si es capitalizable trimestralmente, el resultado es .18/4.

TIEMPOCalculamos el tiempo en función de la formula del monto despejamos la formula del monto y nos da(Log M/C)/ (Log (1+i))Ejemplo¿Dentro de cuanto tiempo un capital de $25, 6000 a la tasa del 2.5 trimestral valdrá $31970.89?

N=(Log(31970.89/256000))/(Log(1.025))= 9 trimestres

MONTO COMPUESTOPara calcular el monto de un capital a interés compuesto, se determina el interés simple sobre un Capital sucesivamente mayor, como resultado que en cada periodo los intereses se va sumando al capital inicial. Su formula es M=C (1+I)n

Ejemplo ¿cual es el monto de un capital de 10000 impuesto a interés compuesto ala tasa de 18% anual en 6 años?

M=10000(1+.18)= $ 343,597.38

TASA NOMINAL Y EFECTIVA

A interés simple, las tasas proporcionales son también equivalentes; pero no en el interés compuesto, debido a la capitalización de los intereses.

Formulas de las tasas equivalentes

e= tasa real o efectiva anualj=tasa nominal anualm=numero de capitalizaciones por añoi=tasa nominal anual

p=numero de capitalizaciones por año

De tasa nominal a tasa nominal

Cuando busquemos a tasa nominal con frecuencia de conversión y se conoce otra tasa nominal con frecuencia de conversión enhenemos:J= ((1+i/p)-1) mEjemplo¿Cual es la tasa nominal convertible mensualmente equivalente al 18% convertible semestralmente?

J=((1+.18/2)-1)12=17.3599%

De tasa nominal a tasa efectivaCuando busquemos una tasa efectiva e y se conoce una tasa nominal con frecuencia de conversión tenemos:

e= (1+j/m) m-1

Ejemplo¿Cual es la tasa efectiva equivalente al 18% convertible semestralmente?

e=(1+.18/2)-1=.1881=18.81%

ECUACIONES DE VALOR

Por diversas causas a veces el deudor decide cambiar sus obligaciones actuales por otras. Para realizar lo anterior, deudor y acreedor deben llegar a un acuerdo en el cual consideren las condiciones para llevar a cabo la nueva operación, en función de una tasa de interés y de la fecha cuando se va a llevar a cabo.

Para resolver estos problemas se efectúa el procedimiento siguiente:1 .calcular el monto a pagar de cada una de las obligaciones originales a su vencimiento.2. hacer la grafica de tiempo valor que considere las fechas de su vencimiento.3. debajo de la grafica de tiempo, se colocan los pagos parciales, al igual que las deudas, con sus fechas respectivas.4. se determina en la grafica la fecha focal.5. se realiza la solución. Para ello, se trasladan todas las cantidades a la fecha focal 6. se resuelven las operaciones

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS

Anualidad. Conjunto de pagos realizados a intervalos iguales de tiempo; es decir, todo pago con un importe constante, hecho en intervalos regulares, aun por periodos menorea aun año.

Plazo de la anualidad. Tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último

El monto de las anualidades ordinarias o vencidas es la suma de los montos de todas y cada una de las rentas que se realizan hasta el momento de hacer la ultima de las mismas.

Cuando del cálculo coincide con la iniciacion de la serie de pagos o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada periodo que se separa a las demás rentas.

Finalmente, para estudiar las anualidades y tomando en cuenta su clasificación, en cada caso, se deberán resolver los problemas siguientes:

a. Determinar el monto o valor actual de una serie.b. Establecer el valor de la anualidad en la etapa del

monto o del valor actual.c. Precisar la tasa en función del monto o del valor

actuald. Determinar el tiempo en los problemas de monto y

de valor actual.

INTRODUCCION Y TERMINOLOGIA: TIPOS DE ANUALIDADES

Clasificación de anualidades

1 por su tiempo

1.1 ciertas: aquellas cuya percepción o pago se estipula en términos precisos; sus fechas son fijas y se establecen de antemano.

1.2 Contingentes: aquellas donde el principio de la percepción, o fin de la serie de pagos, es impreciso y depende de un acontecimiento fortuito. En otras palabras, la fecha del primer pago o el ultimo, o ambas: no se acuerdan de antemano

2 por el vencimiento de sus pagos

2.1 vencidas u ordinarias: aquellas que en cada uno de los pagos se hace al final de cada periodo durante el tiempo total del plazo del problema.

2.2 Anticipadas: aquellas que se pagan al principio de cada periodo, durante el tiempo de percepción.

3 Por su iniciación

3.1 Inmediatas: las encontramos cuando la realización de los cobros o pagos se hace el periodo inmediatamente siguiente a la formalización del acuerdo.

3.2 Diferidas: aquellas en donde el principio de la serie de pagos se difiere: es decir, cuando la primera anualidad vence después del transcurso de uno o varios periodos, lo que hace ese lapso sea mayor al intervalo que se separa a cada anualidad.

4 por sus intereses

4.1 simples: aquellas en las que el periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses

4.2 generales: aquella en que no coinciden periodo de capitalización y de pago.

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS: VALOR PRESENTE, MONTO DE LA ANUALIDAD, PERIODOS DE INTERES O NUMEROS DE INTERVALOS DE PAGO, TASA DE INTERES POR PERIODO, PAGO PERIODICO DE UNA ANUALIDAD

VALOR PRESENTECuando la época del cálculo coincide con la iniciación de la serie de pagos o rentas, el valor equivalente de la serie es actual. El lapso que transcurre entre la fecha de la entrega del valor actual y el vencimiento de la primera anualidad será igual a cada periodo que separa a las demás rentas.

El valor presente o actual de las anualidades ordinarias se puede presentar en alguna de estas dos modalidades:

a. Como el descuento de una serie de anualidades, que vencen escalonadamente y están separadas por intervalos iguales de tiempo.

b. Como la determinación de un capital que, invertido a interés, proporciona una serie de rentas futuras.

Ejemplo:

Se tienen seis pagares, con vencimientos escalonados en forma cuatrimestral, cada uno de $25 000 y que se quieren liquidar, el día de hoy, siendo una tasa del 6% cuatrimestral.

Determinamos el valor actual o presente de cada documento:

Operación Resultado1era. Renta (25000(1.06))-1 $23584.91

2era. Renta (25000(1.06))-2 $22249.913era. Renta (25000(1.06))-3 $20990.484era. Renta (25000(1.06))-4 $19802.345era. Renta (25000(1.06))-5 $18681.456era. Renta (25000(1.06))-6 $17624.01Valor actual total $122933.10

MONTO DE LA ANUALIDAD

La formula del moto de las anualidades anticipada es

M=R ((1+i)-(1+i)n+1)/i

Ejemplo:Si se hacen 6 depósitos trimestrales anticipados de 25000 cada uno con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente ¿cual es el monto?

M=R ((1 +i)- (1 +i) n+1/i= R ((1 +.05)- (1 +.05) 6+1/.05=25000 ((1.05)- (1.05) 7/.05=$178,550.21

PERIODOS DE INTERES O NUMEROS DE INTERVALOS DE PAGO

De la formula del valor actual de las anualidades anticipadas:

C=R ((1-(1+i))/i)-n (1+i)

Despejamos n

N= (Log ((1+i)/R (1+i)-ci))/ (Log 1+i)

Ejemplo. Calcular el número de pagos, de 25000 cada uno para liquidar una deuda de $133236.92 impuesta a una tasa del 20% compuesto trimestralmente. 25000(1+.05) Log (-----------------------------------) 25000(1+.05)-(133236.92*.05)n=---------------------------------------------------- = Log (1+.05)

.1271358n=---------------------= 6 trimestres .0211892

TASA DE INTERES POR PERIODO De la formula del valor actual: 1-(1+i) C=R (-----------)n

(1+i)*i Se debe tomar en cuenta que el primer miembro va a ser un resultado igual al segundo miembro de la ecuación, cuyo factor se obtendrá por interpolación.

PAGO PERIODICO DE UNA ANUALIDAD

De la formula del moto de las anualidades anticipadas

M=R ((1+i)-(1+i)/i)n+1

Luego despejamos R MiR=---------------- N+1 (1+i)-(1+i)

Ahora apliquemos la formula

Ejemplo se hacen 6 depósitos trimestrales anticipados con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente ¿cual será el monto de cada una de las rentas si el monto total a obtener es $ 178 550.21? 178550.21*.05R=----------------------= $25 000 6+1 (1+.05)-(1+.05)

AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION

Amortización es el método por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales. El importe de cada pago sirve para solventar los intereses de la deuda, y el sobrante se abona al capital que se debe en ese periodo.

Para encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utiliza la formula del valor actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el valor actual de las anualidades ordinarias; por eso, la formula para calcular los diferentes datos es: (1-(1+i)C=R (--------------) I En la amortización se demuestra que:

El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos, hasta su liquidación total.Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo.La amortización del capital va aumentando conforme pasan los periodos

FONDOS DE AMORTIZACION

Es el método por el cual se provee el monto, por medio de una serie de rentas o pagos, para liquidar una deuda. Axial mismo funciona para ahorrar o recuperar el valor histórico de un activo.

En este rubro, se utilizan las formulas del monto o valor futuro de las diferentes anualidades, generalmente, la del monto de anualidades ordinarias: ((1+I)-1)n

M=R (----------) LTABLA DE AMORTIZACION INTERES EN EL VALOR DE UN BIEN ADQUIRIDO, EXTINCION DE DEUDAS CONSOLIDADAS

Amortización es el método por el cual se va liquidando una deuda en pagos parciales. El importe de cada pago sirve para solventar los intereses de la deuda, y el sobrante se abona al capital que se debe en ese periodo.

Para encontrar cada una de las variables o incógnitas, se utiliza la formula del valor actual de los diversos tipos de anualidades. Generalmente, se calcula con base en el valor actual de las anualidades ordinarias; por eso, la formula para calcular los diferentes datos es: (1-(1+i)C=R (--------------) I En la amortización se demuestra que:

El capital va disminuyendo conforme se van dando los pagos, hasta su liquidación total.Al ir reduciéndose el capital, los intereses también van descendiendo.La amortización del capital va aumentando conforme pasan los periodos

TABLA DE FONDOS DE AMORTIZACION

En este método se utiliza una matriz dondeLas columnas se conforman:

a. La primera expresa periodosb. La segunda los pagos o rentasc. La tercera, los intereses de periodo, y resulta de multiplicar

el saldo final del periodo anterior por la tasa de interés.d. La cuarta, la cantidad que se acumula al fondo y se calcula

sumando la renta más los intereses del periodo.e. La quinta, el saldo final, resultado de la suma del saldo final

del periodo anterior más la cantidad que se acumula al fondo del periodo.

Ejemplo¿Cual será el depósito anual para acumular, al cabo de 6 años, un monto de $240 000 si dichas rentas obtienen un rendimiento de 8% anual? M+iR= ------------ ((1+I)-1)n

(240000)(.08)R=-----------------= $32 715.69274= $32 715.69 ((1.08)-1)6

Periodos rentas interés Cantidad que se acumula al fondo

Saldo final o monto

N (M) anterior por (i)

R+1 (m) anterior mas (CA)

1 32 715.69 ------------- 32 715.69 32 715.692 32 715.69 2 617.26 35 332.95 68 048.643 32 715.69 5 443.89 38 159.58 106

208.224 32 715.69 8 496.66 41 212.35 147

420.575 32 715.69 11 793.65 44 509.34 191

929.216 32 715.69 15 354.39 48 070.08 239

999.99Total 196

294.1443 705.85 239999.99

Si analizamos la tabla, observamos lo siguiente:

a. Las rentas sirven para aumentar la inversión que al finalizar los periodos de pago, se utiliza para liquidar la deuda, o sustituir el activo al expirar su vida útil.

b. Los intereses se agregan a la inversión.c. Se requiere encontrar el saldo al final de cierto periodo de

pago, se calcula con la formula del monto de las anualidades ordinarias, tomando en cuenta, en n, los depósitos o rentas que se han efectuado hasta ese momento. Por ejemplo, el saldo final al cuarto periodo es

(1+0.08)-1

M=32715.69 (---------------)4= 147 420.56 .08

LA UTILIZACION DE ESTOS METODOS ES MU Y UTIL EN LAS

FINZANZAS, LES SIRVE MUCHO A LOS BANCOS PARA PODER

ADMINISTRAR BIEN SUS CAPITALES Y A LOS INVERSIONISTAS

OBTENER BUENAS GANACIAS, LO MAS IMPORTANTE ES TOMAR

UNA BUENA DECISION, LA QUE SEA DE SU CONVENIENCIA Y SE

TENGA EL MAYOR PROVECHO, SIN ESTOS METODOS EL HUMANO

EN ESPECIAL LOS ADMINISTRADORES NO TENDRIAN UN CONTROL

DEL DINERO NO SOLO DE LAS PERSONAS SINO DE LAS EMPRESAS

QUE EN MUCHAS VECES SE VUELVEN EMBUELTAS EN PORBLEMAS

LEGALES POR NO PAGAR A TIEMPO, EN CONCLUSION EL HOMBRE

NO PODRIA VIVIR SIN LA ADMINISTRACION Y SIN ESTOS

METODOS.