195
TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL CUADERNILLO DE APUNTES: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I ELABORADO POR: ING. OSCAR EDUARDO PÉREZ GAONA LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO FEBRERO 2010

temas desarrollados

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Investicación de operaciones, temas desarrollados

Citation preview

Page 1: temas desarrollados

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO

DIVISIÓN DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CUADERNILLO DE APUNTES:

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

ELABORADO POR:

ING. OSCAR EDUARDO PÉREZ GAONA

LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO FEBRERO 2010

Page 2: temas desarrollados

i

Índice.

ÍNDICE PÁG

INTRODUCCIÓN……………………………………………………………….. iv

CAPITULO 1. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FORMULACIÓN DE MODELOS.

1.1. Definición, desarrollo de la investigación de operaciones………….…. 2

1.1.1. Antecedentes históricos de la investigación de Operaciones…… 2

1.1.2. Definición…………………………………………………..………….. 4

1.2. Fases de estudio de la investigación de operaciones………....………. 4

1.2.1. Proceso de investigación de operaciones…………………….…… 6

1.3. Principales aplicaciones de la investigación de operaciones……..….. 7

1.4. Formulación de problemas lineales…………………….……….………. 8

1.4.1. Tipos de modelo…………………………………………....………… 8

1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal.………….…………. 10

1.5. Formulación de problemas más comunes….………………………….. 16

1.5.1. Modelación y formulación de problemas……………….………….. 16

Ejercicios I. Formato estándar y canónico……………………………………. 34

Ejercicios II. Modelación………………………………………………………... 43

CAPITULO 2. EL MÉTODO SIMPLEX.

2.1. Teoría del método simplex…………………….………………………….. 52

2.2. Método de las variables artificiales………………………………………. 63

2.2.1. Método de la gran M o método penal………………………………. 63

2.2.2. Método de la doble fase…………………………..…………….…… 73

2.2.3. Método gráfico………………………………………………………… 83

2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano…........ 83 2.2.3.2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano…..… 84

Page 3: temas desarrollados

ii

Índice.

2.2.3.3. Método general……………………………..………………… 87

Ejercicios III. Problemas método grafico…………………………………….. 93

Ejercicios IV. Resolución de modelos de programación lineal…………….. 96

CAPITULO 3. TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. 3.1. Formulación de un problema dual……………………….……………… 101

3.2. Dualidad……………………………………………………………………. 102

3.2.1. Forma canónica………………………………………………………. 102

3.2.1.1. Transformación………………………………………………… 103

3.3. Transformación alterna dual……………………………………………… 112

3.4. Transformación alterna dual simplex……………………………………. 116

3.5. Análisis de sensibilidad……………………………………………………. 125

3.5.1. Forma matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales

Implicadas…………………………………………………………….. 125

3.5.1.1. Cambio en el vector A………………………………………… 126

3.5.1.2. Cambio en el vector B………………………………………... 131

3.5.1.3. Cambio en el vector C………………………………………… 140

Ejercicios V. Dualidad………………………………………………………….. 149

CAPITULO 4. TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN.

4.1. Definición de un problema de transporte………………………………... 152

4.1.1. Algoritmo de transporte………………………………………….…… 154

4.2. Método de voguel………………………………………………………….. 159

4.3. Método esquina noreste…………………………………………………... 160

Page 4: temas desarrollados

iii

Índice.

4.4. Método de costo mínimo………………………………………………….. 161

4.5 Método húngaro…………………………………………………………….. 165

Ejercicios VI. Modelos de transporte y asignación………………………….. 172

APENDICE A.Sistema de Ecuaciones Lineales….………………………. 177

Page 5: temas desarrollados

iv

Introducción

INTRODUCCIÓN.

Las matemáticas hoy en día son asignaturas prioritarias en la vida de los estudiantes de las carreras de las ingenierías, y más aún aquellas que son de índole de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería, en mucho de los casos parecieran ser motivo de deserción y simplemente dificultad muy grande para culminar sus estudios o en algunos de los casos terminen recursándola, el ramo de la investigación de operaciones dentro del área de Ingeniería Industrial pareciera ser una de ellas.

El presente trabajo tiene como propósito fundamental ayudar a facilitar el

proceso enseñanza-aprendizaje de la materia de Investigación de Operaciones I

en el área de las ingenierías, que se imparte en el quinto semestre de la carrera

de ingeniería industrial del TESOEM, cubriendo temas básicos y apegándose al

programa de estudios vigente. Dicho material puede ser empleado como un libro

de texto para estudiantes y de apoyo para los docentes en esta área

Por el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser bastante

interesantes para los alumnos, contiene un gran número de ejemplos ilustrativos

(resueltos paso a paso), donde se muestran las técnicas matemáticas estudiadas,

teniendo siempre en cuenta que para su comprensión se necesitará tener ciertos

conocimientos en álgebra lineal y lógica matemática.

El desarrollo del presente material está diseñado en capítulos, mostrando

siempre al inicio el objetivo del mismo; el cual para su entendimiento se encuentra

de la siguiente manera:

En el capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones(I.O) y

formulación de modelos, muestra la evolución y el campo de aplicación de esta

Page 6: temas desarrollados

v

Introducción

área, manejando los conceptos básicos para la formulación de los modelos de

programación lineal y la aplicación de estos últimos a diferentes casos de la vida

diaria y del mundo industrial.

En el capítulo II: El método Simplex, en este capítulo no solo se describe el

método simplex como método para solución de los modelos de programación

lineal, se describen otros métodos como el doble fase, el método de la gran M y el

método gráfico, cada uno de ellos con las condiciones que se necesitan para

llevarlos a la práctica.

En el capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad, en este

apartado es de suma importancia ya que describe la relación dual que todo

modelo primal de programación lineal posee, al igual que las condiciones de cómo

calcular las condiciones de optimalidad en los modelos de programación lineal.

(cambio de vector en A,B,C)

En el capítulo IV: Transporte y asignación, en esta sección del presente

trabajo se describen las parte de un modelo de transporte empleado en el área de

logística de una organización sin importar su giro comercial o manufacturero,

donde lo importante el cumplir en tiempo y forma los pedidos de los diferentes

clientes ubicados en diferentes regiones pero el costo mínimo de operación, para

ello se detallan los métodos de solución como lo es el método de Voguel, costo

mínimo, húngaro ente otros.

Se contará con una serie de ejercicios para reforzar el conocimiento aprendido

al final de cada capítulo y sus soluciones se encuentran en el los mismos

ejercicios, esto queda en el entendido al final de cada capítulo. Además de cuenta

con un apéndice.

Page 7: temas desarrollados

vi

Introducción

El apéndice I, muestra sistemas de ecuaciones lineales y sus métodos de

solución como puede ser por el método de Gauss Jordan o determinantes (sus

propiedades), los cuales son base para el entendimiento de Investigación de

Operaciones I, en la solución de los métodos de los modelos de programación

lineal.

Esperamos que la obra sea de gran utilidad para profesores y alumnos y que

sea un fuerte material de apoyo en el curso, en el cual creemos que favorecerá de

manera importante en un mejor desarrollo de los temas para el profesor en su

enseñanza y para un buen aprendizaje del alumno.

Page 8: temas desarrollados

Objetivo: El estudiante conocerá y aplicará la metodología de la I.O y la formulación de modelos de Programación Lineal.

CAPÍTULO I: METODOLOGÍA DE LA

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (I.O) Y

FORMULACIÓN DE MODELOS.

Page 9: temas desarrollados

2

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.1. DEFINICIÓN, DESARROLLO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

1.1.1. Antecedentes históricos de la Investigación de Operaciones (I.O.)

Los inicios de lo que hoy se conoce como Investigación de Operaciones se remota a los años 1759 cuando el economista Quesnay empieza a utilizar modelos primitivos de programación matemática. Más tarde, otro economista de nombre Walras, hace uso de técnicas similares; los modelos lineales de la Investigación de Operaciones tienen como precursores a Jordan en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas en 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tiene su origen con Markoiv a fines del siglo pasado, pero no fue hasta la Segunda Guerra Mundial, cuando empezó a tomar auge.

La Programación Lineal (PL) tuvo un gran impulso para la investigación industrial dando entrada las empresas a muchos especialistas; las técnicas Pert, control de inventarios, y la simulación, empezaron a emplearse con éxito; en vez de los simples promedios, se incluyeron la probabilidad y estadística tan útiles en cualquier estudio moderno.

En la actualidad el uso de la IO es extenso en áreas de: Contabilidad, compras, planeación financiera, mercadotecnia, planeación de producción, transporte y muchas otras más, convirtiéndose en importante instrumento de competencia para los presupuestos y contratos.

La siguiente tabla esboza parte de los estudios y técnicas en que se apoyaron los grupos de IO en el desarrollo de esta disciplina.

ACONTECIMIENTOS RELEVANTES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

AÑO AUTOR TÉCNICA DESARROLLADA

1759 Quesnay Modelos primarios de programación matemática

Page 10: temas desarrollados

3

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1873 Jordan Modelos lineales

1874 Warlas Modelos primarios de programación matemática

1896 Minkousky Modelos lineales

1897 Farkas Modelos dinámicos probabilísticos

1903 Farkas Modelos dinámicos probabilísticos

1905 Erlang Líneas de espera

1920-1930 Konig- Egervary Asignación

1937 Morgestern Lógica estadística

1937 Von Neuman Teoría de juegos

1939 Kantorovich Planeación en producción y distribución

1941 Hitchcook Transporte

1947 Dantzin George Método Simplex

1958 Bellman Richard Programación dinámica

1950-1956 Kun-Tucker Programación no lineal, m. húngaro, sistemas desiguales

1958 Gomory Programación entera

1956-1962 Ford-Fulkerson Redes de flujo

1957 Markowitz Simulación y programación discreta

Raifa Análisis de decisiones

1958 Arrow-Karlin Inventarios

1963 Karmaskar Narend Algoritmo de punto interior

Tabla1.Fuente: Elaboración Propia.

Actualmente esta se encuentra todavía en una edad incipiente donde hay mucho por hacer en el desarrollo de este campo fértil.

Ahora que se ha visto una breve reseña de la Investigación de Operaciones y características esenciales, es importante definirla, para ello se citan los siguientes autores.

Page 11: temas desarrollados

4

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.1.2 Definición

Thierauf la define como “un método científico para dar a los departamentos ejecutivos una base cuantitativa para las decisiones con las operaciones que estén bajo su control.” (Thierauf, 2002:22)

No obstante, Winstone lo describe “como un enfoque científico en la toma de decisiones que busca el mejor diseño y operar un sistema; por lo regular en condiciones que requieren la asignación de recursos escasos.” (Winstone, 2008:01)

Finalmente Prawda lo conceptualiza como “una herramienta de aplicación en grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina) a fin de que produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.” (Prawda, 2000:20)

Con base a las definiciones anteriores se puede decir que la Investigación de Operaciones es la aplicación de los métodos científicos a problemas complejos que surgen en la dirección, administración y optimización de los recursos de una empresa con el fin de hacer buen uso de ellos.

1.2 FASES DE ESTUDIO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Su estudio consiste en desarrollar modelos científicos, incorporando factores como el riesgo y la incertidumbre para predecir y controlar los resultados de cursos de acción alternativos; como lo muestra la siguiente figura:

Page 12: temas desarrollados

5

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

CICLO OPERATIVO DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

Figura 1. Fuente: Arreola, 2007

SISTEMA ASUMIDO

MODELO CUANTITATIVO

SOLUCIÓN DEL MODELO

JUICIO Y EXPERIENCIA

DEL TOMADOR DE DECISIONES

SOLUCIÓN AL PROBLEMA DEL SISTEMA REAL

SISTEMA REAL

VARIABLES RELEVANTES

DESICIONES INTERPRETACIÓN

MÉTODO DE SOLUCIÓN

RELACIONES RELEVANTES

Page 13: temas desarrollados

6

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.2.1 Proceso de Investigación de Operaciones.

DESCRIPCIÓN DE LAS FASES PARA EL DESARROLLO DE I.O.

Figura 2.Fuente: Elaboración Propia.

El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases:

1.- Formulación y definición del problema.

2.- Construcción del modelo.

3.- Solución del modelo.

4.- Validación del modelo.

5.- Implementación de resultados.

5.- Interpretar resultados y dar

soluciones.

4.-Requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza

el comportamiento del sistema, con el tiempo se podra ajustar el modelo.

3.-Una vez que se tiene el modelo, seprocede a derivar una soluciónmatemática empleando las diversastécnicas y métodos matemáticos pararesolver problemas y ecuaciones.

2.-Debe decidir el modelo a utilizar para representar elsistema. Debe ser un modelo tal que relacione a lasvariables de decisión con los parámetros y restriccionesdel sistema.Es recomendable determinar si el modeloes probabilístico o determinístico.

1.- En esta fase del proceso se necesita: una descripción de losobjetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar lasvariables implicadas, ya sean controlables o no; determinar lasrestricciones del sistema.

Page 14: temas desarrollados

7

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.3 PRINCIPALES APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.

La Investigación de Operaciones es un campo tan amplio que su versatilidad, la hace no solo una herramienta propia de la Ingeniería Industrial; es decir, puede ser empleada en otros campos de la ciencia, describiéndose a continuación algunas rúbricas de su aplicación.

Personal.

La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción.

Mercado y distribución.

El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores.

Compras y materiales.

Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.

Manufactura.

La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad.

Finanzas y contabilidad.

Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones.

Planeación.

Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse.

Page 15: temas desarrollados

8

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.4. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS LINEALES.

1.4.1. Tipos de modelo.

La Investigación de Operaciones ha desarrollado modelos específicos para solucionar problemas generales clasificados como de inventario, líneas de espera, reemplazo, mantenimiento, asignación de recursos,

a) MODELOS DE INVENTARIO: Comprenden aquellos problemas relacionados con el almacenamiento de un recurso en espera de satisfacer una demanda futura. El problema de inventario consiste básicamente en determinar cuánto y cuándo pedir.

b) MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA: Están relacionados con aquellos problemas en donde un grupo de servidores atienden a un conjunto de clientes.

c) MODELOS DE REEMPLAZO: El reemplazo de un activo depende de su naturaleza. Se puede tratar de un equipo que se deteriora a través del tiempo o bien de un equipo que mantiene un nivel más o menos constante y cuando falla, lo hace total e impredeciblemente Por esta razón, los modelos se clasifican de acuerdo con las dos categorías previamente citadas. Los métodos de análisis para formular políticas óptimas de reemplazo. En la primera de ellas se trata de calcular un determinado periodo de tiempo óptimo de uso del activo después del cual debe reemplazarse. En la segunda categoría, se trata también de definir un lapso de tiempo durante el cual se minimice el costo total se reemplazo de los activos individuales dentro de este mismo intervalo de tiempo y el de reemplazar todos los activos al final del mismo.

d) MODELOS DE MATENIMIENTO: Este involucra tanto el enfoque de inventario como el de reemplazo. Se considera en cierto grado un modelo de inventario porque tanto las refacciones como los aditamentos en general están en espera de ser utilizados. Es también modelo de reemplazo porque el mantenimiento involucra el cambio de partes una vez que fallan.

e) MODELOS DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS: Este surge cuando se desarrollan actividades alternativas e interdependientes que compitan por recursos limitados en un periodo determinado, este consiste en elaborar un programa de producción o una mezcla de producción que maximice no la contribución individual de los productos, sino la utilidad total.

Page 16: temas desarrollados

9

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

f) MODELOS DE COMPETENCIA: Este tipo de modelo se utiliza para analizar aquellas situaciones donde dos o más oponentes racionales tratan de seleccionar estrategias que optimicen un cierto objetivo. (Amza, 2007)

La programación lineal son modelos destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).

La característica distintiva de los modelos es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales. (No se permite multiplicación de variables ni variables elevadas a potencias). Algunas de las siguientes restricciones no se pueden emplear en un modelo de programación lineal.

Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades. En datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,....,xn para: Max o Min z= C1 X1 + C2X2 +……+ Cn Xn

s.a a11X1 + a12X2 +……+ a1nXn ≤ b1

a21X1 + a22X2 +……+ a2nXn ≤ b2 . . +……+ . . . . +……+ . . . . +……+ . . am1X1 + am2X2 +……+ amnXn ≤ bm

Función objetivo Maximizar o Minimizar

s.a ( restricciones, recursos) Variables a definir

Variables Objeto de estudio (definición)

a) VARIABLES DE DECISIÓN: Con estas se hace referencia al conjunto de variables cuya magnitud se desea determinar resolviendo el modelo de programación lineal.

Xn0, para i= 1,2,…..n

Page 17: temas desarrollados

10

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

b) RESTRCCIONES: Están constituidas por el conjunto de desigualdades que limitan los valores que puedan tomar las variables de decisión en la solución.

c) FUNCIÓN OBJETIVO: Es la función matemática que relaciona las variables de decisión.

d) LINEALIDAD: Se refiere a que las relaciones entre las variables, tanto en la función objetivo como en las restricciones deben ser lineales.

e) DESIGUALDADES: Las desigualdades utilizadas para representar las restricciones deben ser cerradas o flexibles; es decir, menor – igual(≤) o mayor – igual(≤). No se permiten desigualdades de los tipos menor-estrictamente o mayor-estrictamente, o abiertas.

f) CONDICIÓN DE NO NEGATIVIDAD: En la programación lineal las variables de decisión sólo pueden tomar valores de cero a positivos, no se permiten valores negativos.

1.4.2. Tipos de formatos para programación lineal. a) Desigualdad del tipo ≤ convertir a una igualdad. La desigualdad tipo ≤ puede convertirse a una función, dado que cuando se

tiene una desigualdad de este tipo, si se le suma al de lado izquierdo una nueva variable no negativa, llamada variable faltante dado que solamente tomara valores positivos, cuando el lado izquierdo sea menor al lado derecho. Ejemplo:

Transformar las desigualdades del tipo ≤ a una ecuación.

7x1+8x2-9x3≤6 Puede reemplazarse por:

7X1+8X2-9X3+X4≤6

x4≥0

7X1+8X2-9X3+S4=0 S4≥0 x4,s4=variables de holgura=variable faltante.

Page 18: temas desarrollados

11

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

b) Desigualdad del tipo ≥ convertir a una igualdad. La desigualdad tipo ≥ procediendo d e la misma forma que la anterior se

puede convertir en una ecuación, dado que si se le resta del lado izquierdo una nueva variable no negativa, llamada variable sobrante; tal nombre obedece a que dicha variable tomara un valor positivo, cuando el lado izquierdo sea mayor que el derecho. Ejemplo:

Transformar las desigualdades del tipo ≥ a una ecuación.

-9X1+4X2-3X3≥12 Puede reordenarse como:

-9X1+4X2-3X3-X4≥12 X4≥0

-9X1+4X2-3X3-S4=0 S4≥0

x4,s4=variables de holgura=variable sobrante.

A la Variable faltante y sobrante se les llama Variables de holgura. En programación lineal se emplean 2 tipos de formatos

a) Formato Canónico:

Un modelo de programación lineal está en formato canónico; si todas las variables son no negativas y las restricciones son del tipo ≤ para un objetivo de maximización o si todas las restricciones son del tipo ≥ para un objetivo de minimización.

1.- Formato Canónico.

Min z0 = 2x1 + 3x2 + 8x3

s.a 2x1 + 2x2 - 7x3 ≤ 10 7x1 + 2x2 + 5x3 = 9 8x1 + 9x2 + 5x3 ≤ 1 x1 , x2 ≥0

Minimizar todos los signos de la desigualdad, estos deben ser ≥0

s.a [ 2x1+2x2-7x3≤10]-1

Page 19: temas desarrollados

12

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Esto equivale a

-2x1-2x2+7x3≥-10

-----------------------------------------------------------------------------

Esto equivale a

7x1+2x2+5x3≤9

7x1+2x2+5x3≥9

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I8x1+9x2+5x3I≤1

Esto equivale a

8x1+9x2+5x3≤1

8x1+9x2+5x3≥-1

----------------------------------------------------------------------------------

[8x1+9x2+5x3≤1]-1

Esto equivale a

-8x1-9x2-5x3≥-1

---------------------------------------------------------------------------------

Page 20: temas desarrollados

13

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

b) Formato Estándar:

Un modelo de Programación Lineal esta en formato estándar si todas las variables son no negativas y todas las restricciones son igualdades, tanto en Maximización como en Minimización.

Min z0 = 2x1 + 3x2 + 8x3

s.a 2x1 + x2 - 7x3 ≤ 10 7x1 + 2x2 + 5x3 = 9 3x1 + 3x2 + x3 ≥ 3 18x1 + 9x2 + 5x3 ≤ 1 x1 , x2 ≥0

x3 irrestricta.

2.- Formato estándar.

Z0=2x1+3x2+8x3-S1-S2-S3

s.a 2x1 + x2 - 7x3 - S1 = 10 7x1 + 2x2 + 5x3 - = 9 3x1 + 3x2 + x3 S2 = 3 18x1 + 9x2 + 5x3 - S3 = 1

x1,x2,x3,S1,S2,S3≥0

Ejercicio: Realizar el planteamiento correspondiente al problema de PL que se muestra a continuación.

Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4

s.a

x1 + x2 - 2x3 + 5x4 = 9 2x1 + x2 ≥ 7

- x2 + 5x3 + 8x4 ≤ 4 Ix3 + x4I ≤ 7

x1,x2,x3,x4≥0

a) Realizar formato estándar b) Realizar formato canónico

Page 21: temas desarrollados

14

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4-0s1+0s2+0s3+0s4

s.a

x1 + x2 - 2x3 + 5x4 = 9 2x1 + x2 - S1 ≥ 7

- x2 + 5x3 + 8x4 + S2 ≤ 4 x3 + x4 + S3 ≤ 7 x3 + x4 - S4 ≤ -7

x1, x2, x3, x4,S1,S2, S3, S4≥0

b) Formato Canónico.

Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4

x1+x2-2x3+5x4=9

x1+x2-2x3+5x4≤9

x1+x2-2x3+5x4≥9

[x1+x2-2x3+5x4≥9]-1

Esto equivale a

-x1-x2+2x3-5x4≤-9

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

[2x1+x2≥7]-1

Esto equivale a

-2x1-x2≤-7

-x2+5x3+8x4=4

-x2+5x3+8x4≤4

-x2+5x3+8x4≥4

--------------------------------------------------------------------------------

Page 22: temas desarrollados

15

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Ix3+x4I≤7

Esto equivale a

x3+x4≤7

x3+x4≥-7

---------------------------------------------------------------------------------

[x3+x4≥-7]

Esto equivale a

-x3-x4≤7

FORMATO CANÓNICO

Max Zo=7x1+8x2-9x3+10x4

s.a

x1 + x2 - 2x3 + 5x4 ≤ 9 -x1 - x2 + 2x3 - 5x4 ≤ -9

-2x1 - x2 ≤ -7 - x2 + 5x3 + 8x4 ≤ 4 x3 + x4 ≤ 7 -x3 - x4 ≤ 7

x1,x2,x3,x4≥0

Page 23: temas desarrollados

16

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

1.5. FORMULACIÓN DE PROBLEMAS MÁS COMUNES.

1.5.1. Modelación y Formulación de Problemas 1) La empresa ANCE S.A de C.V.; produce una línea de artículos de Peltre

para uso casero; la cual consta de 4 productos. El sistema de manufactura se divide en 5 etapas: Cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado. A continuación se presenta la información relevante, tanto del sistema productivo como del producto.

Información sobre el sistema productivo (Índice de producción Unidades/hrs)

Departamento Producto 1

Producto 2

Producto 3

Producto 4

Capacidad (horas/mes)

Corte 25 6 20 10 400 Troquelado 14 8 20 10 380 Esmaltado 17 9 33 8 490 Acabado 20 4 - 8 450

Empacado 50 13 50 20 400

Información sobre el producto

Producto Precio de vta. ($/unidad)

Costo de vta. ($/unidad)

Demanda mínima

Mensual(unidades) Máxima

1 100 50 500 5000 2 300 200 750 6000 3 160 100 650 8000 4 250 150 0 3500

Además, se debe que en el siguiente mes solo se dispondrán de 1200m2 de lámina que consumen los productos 1 y 2. El producto 1 requiere 0.50m2 por unidad y el producto 2 requiere 0.80m2.

Formular un modelo de programación lineal.

Variables de decisión.

x1= Unidades del producto 1 a fabricar el próximo mes.

x2= Unidades del producto 2 a fabricar el próximo mes.

x3= Unidades del producto 3 a fabricar el próximo mes.

Page 24: temas desarrollados

17

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

x4= Unidades del producto 4 a fabricar el próximo mes.

Max.

Zo= (100-50)x1+(300-200)x2+(160-100)x3+(250-150)x4

Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4

Restricción de capacidad

1/25 X1 + 1/6 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 400 CORTADO

1/14 X1 + 1/8 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 380 TROQUELADO

1/17 X1 + 1/9 X2 + 1/33 X3 + 1/8 X4 ≤ 490 ESMALTADO

1/20 X1 + 1/4 X2 1/8 X4 ≤ 450 ACABADO

1/50 X1 + 1/13 X2 + 1/50 X3 + 1/20 X4 ≤ 400 EMPACADO

Demanda

500≤X1≤5000

750≤X2≤6000

650≤X3≤8000

0≤X4≤3500

Entrada de materia prima

0.50X1+0.80 X2≤1200

Xj≥0 j= 1,2,3,4

X1,X2,X3,X4≥0

Page 25: temas desarrollados

18

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Max Zo= 50x1+100x2+60x3+100x4

s.a

1/25 X1 + 1/6 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 400

1/14 X1 + 1/8 X2 + 1/20 X3 + 1/10 X4 ≤ 380

1/17 X1 + 1/9 X2 + 1/33 X3 + 1/8 X4 ≤ 490

1/20 X1 + 1/4 X2 + + 1/8 X4 ≤ 450

1/50 X1 + 1/13 X2 + 1/50 X3 + 1/20 X4 ≤ 400

X1 ≤ 380

X1 ≥ 490

X2 ≤ 450

X2 ≥ 400

X3 ≤ 8000

X3 ≥ 650

X4 ≤ 3500

X4 ≥ 0

0.50 X1 + 0.80X2 ≤ 1200

Xj≥0 j= 1,2,3,4

X1,X2,X3,X4≥0

Page 26: temas desarrollados

19

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

2) Un ganadero decide elaborar una mezcla para alimentos de animales a base de alfalfa, sorgo, avena, maíz, soya y harina. De cada 100Kg de mezcla; se desea que al menos 30Kg de ellos sean proteínas, no más de 40 sean de calcio, y como máximo 35Kg de fosforo.

A continuación se presenta la información del contenido de la mezcla y los precios de los ingredientes a combinar.

Ingredientes Proteína (%) Calcio (%) Fosforo (%) Precio (Kg) Alfalfa 25 50 25 7 Sorgo 40 20 40 9 Avena 10 30 60 8 Maíz 65 15 20 20 Soya 40 20 40 5

Harina 30 20 50 15 Además, no se puede usar más de 10Kg harina, ni más de 12Kg de soya por c/100kg de mezcla.

Variables de decisión

x1= Kg de alfalfa a utilizar en los 100Kg de mezcla.

x2= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla.

x3= Kg de avena a utilizar en los 100Kg de mezcla.

x4= Kg de maíz a utilizar en los 100Kg de mezcla.

x5= Kg de soya a utilizar en los 100Kg de mezcla.

x5= Kg de harina a utilizar en los 100Kg de mezcla.

Page 27: temas desarrollados

20

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Min Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6

Var. Nutrición

0.25X1 + 0.40X2 + 0.10X3 + 0.65X4 + 0.40X5 + 0.30X6 ≥ 30 Proteína

0.50X1 + 0.20X2 + 0.30X3 + 0.15X4 + 0.20X5 + 0.20X6 ≥ 40 Calcio

0.25X1 + 0.40X2 + 0.60X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.50X6 ≤ 35 Fosforo Disponibilidad

X6 ≤ 10 Harina X5 ≤ 12 soya

Capacidad total (Mezcla total)

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 100 Kg

Xj≥0 j=1,2,3,4,5,6

Min Zo= 7x1+9x2+8x3+20x4+5x5+15x6

s.a

0.25X1 + 0.40X2 + 0.10X3 + 0.65X4 + 0.40X5 + 0.30X6 ≥ 30

0.50X1 + 0.20X2 + 0.30X3 + 0.15X4 + 0.20X5 + 0.20X6 ≥ 40 0.25X1 + 0.40X2 + 0.60X3 + 0.20X4 + 0.40X5 + 0.50X6 ≤ 35

X6 ≤ 10 X5 ≤ 12

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 = 100 X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0

Page 28: temas desarrollados

21

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

3) La refinería azteca produce 2 tipos de gasolina sin plomo regular y extra, los cuales se venden en 8 y 15 pesos por barril respectivamente. Ambos tipos se preparan del inventario de azteca del petróleo de azteca nacional refinado y del petróleo importado refinado y debe de cumplir con las siguientes especificaciones.

Presión

máxima de vapor

Octanaje mínimo

Demanda máxima

barriles/semana

Entrega mínima

barriles/semana Regular 23 88 100000 50000

Extra 23 93 20000 5000

Las características del inventario refinado son las siguientes

Presión

máxima de vapor

Octanaje mínimo

Demanda máxima

barriles/semana

Entrega mínima

barriles/semana Regular 25 87 40000 8

Extra 15 98 60000 15

Que cantidades de los 2 petróleos nacional e importado debe mezclar la azteca a fin de acrecentar sus ganancias semanales.

x1= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla regular.

x2= Los barriles de petróleo importado con una mezcla regular.

x3= Los barriles de petróleo nacional con una mezcla extra.

x4= Los barriles de petróleo importado con una mezcla extra.

Max Z0=12(X1+X2)

Z0=12(X1+X2)+14(X3+X4)-8(X1+X3)-15(X2+X4)

Z0=12X1+12X2+14X3+14X4-8X1-8X3-15X2-15X4

Z0=4X1-3X2+6X3-X4

Page 29: temas desarrollados

22

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

s.a

X1 + X2 ≤ 100000 X3 + X4 ≤ 20000

X1 + X2 ≥ 50000 X3 + X4 ≥ 5000

X1 + X3 ≤ 40000 X2 + X4 ≤ 60000

X1 - 10X2 ≤ 0 6X3 - SX4 ≤ 0

2X1 + SX2 ≤ 0 2X3 2X3 + 8X4 ≤ 0

X1,X2,X3,X4≥0

Page 30: temas desarrollados

23

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

4) Una tienda de autoservicio funciona las 24 horas tiene los siguientes requerimientos mínimos para los cajeros. El periodo uno sigue inmediatamente después del periodo 6. Un cajero trabaja 8hrs consecutivas, empezando al inicio de uno de los 6 periodos. Determine el número requerido de empleados en cada uno de los periodos.

Periodo 1 2 3 4 5 6 Horas del día

(24 hrs) 3-7 7-11 11-15 15-19 19-23 23-3

Número mínimo 7 20 14 20 10 5

x1= El número de personas asignadas o requeridas en el periodo 1.

x2= El número de personas asignadas en el periodo 2.

x3= El número de personas asignadas en el periodo 2.

x4= El número de personas asignadas en el periodo 2.

x5= El número de personas asignadas en el periodo 2.

x6= El número de personas asignadas en el periodo 2.

Min Zo= x1+x2+x3+x4+x5+x6

s.a

X1 + X6 ≥ 7 X1 + X2 ≥ 20 X2 + X3 ≥ 14 X3 + X4 ≥ 20 X4 + X5 ≥ 10 X5 + X6 ≥ 5

X1,X2,X3,X4,X5,X6≥0

Page 31: temas desarrollados

24

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

5) La empresa ha destinado un presupuesto de $4,000,000 para la compaña publicitaria del primer mes; además, el consejo de administración ha sugerido al departamento de mercadotecnia los siguientes lineamientos.

1.- Deben utilizarse por los menos 20 comerciales de T.V.

2.- El mensaje debe llegar a por lo menos 2,500,000 familias potencialmente compradoras.

3.- El mensaje debe publicarse en un periódico local por lo menos un domingo.

4.- No deben de gastarse más de 2,000,000 de pesos en .T.V.

¿Cuál debe ser la campaña publicitaria para este primer mes?

Plante un Modelo de PL; para resolver este problema.

Variables de decisión

x1= Número de comerciales T.V matutina durante el primer mes.

x2= Número de comerciales T.V nocturna durante el primer mes.

x3= Número de comerciales en periódico diario durante el primer mes.

x4= Número de comerciales en periódico dominical durante el primer mes.

x5= El Número de comerciales en noticiario de radio durante el primer mes.

Max Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5

Presupuesto

100,000x1+150,000x2+60,000x3+120,000x4+20,000x5≤4,000,000

s.a

X1 ≤ 20 X2 ≤ 10 X3 ≤ 25 X4 ≤ 4 X5 ≤ 30

X1 + X2 ≥ 20 Comerciales de TV

Page 32: temas desarrollados

25

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Cobertura de audiencia

10,000x1+50,000x2+30,000x3+70,000x4+50,000x5≥2,500,000

Periódico dominical

x4≥1

Gasto T.V

100,000x1+150,000x2≤2,000,000

Xj≥0 j= 1,2,3,4,5

X1,X2,X3,X4,X5≥0

Max Zo= 50x1+90x2+35x3+70x4+25x5

s.a

100,000X1 + 150,000X2 + 60,000X3 + 120,000X4 + 20,000X5 ≤ 4,000,000 X1 ≤ 20

X2 ≤ 10 X3 ≤ 25 X4 ≤ 4 X5 ≤ 30

X1 + X2 ≥ 10,000X1 + 50,000X2 + 30,000X3 + 70,000X4 + 5,000X5 ≥ 2,500,000

X4 ≥ 1 100,000X1 + 150,000X2 ≤ 2,000,000

X1,X2,X3,X4,X5≥0

Page 33: temas desarrollados

26

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

6) La empresa olle S.A de C.V, productora de radio portátiles para intercomunicación (solamente entre dos personas: transmisora y receptora); va a promover su nuevo radio con un alcance de 40Km, el cual tiene diversas funciones. El principal canal de distribución está enfocado a mayoristas en el área de comunicación industrial, así mismo, la firma está considerando dos alternativas de distribución: una cadena de autoservicio y mayorista de equipos marítimos. Dichos canales de distribución alternativos abren el mercado a personas interesadas en radio comunicación como afición y como enlace entre botes de pesca y su estación de base.

Debido a la diferencia de costos de comercialización y de promoción, la utilidad del producto varía con la alternativa de distribución seleccionada. Además, el costo publicitario y el tiempo el vendedor por unidad son distintos para cada canal de distribución. Dado que la compañía solo produce bajo pedido; el número de unidades fabricadas y vendidas es el mismo.

A continuación se resume la información preparada por olle S.A de C.V, con respecto a la utilidad, costo publicitario y hr/hombre de vendedor por cada unidad vendida. Lo anterior ha sido estimado con base en experiencias con radios similares.

Canal de distribución

Utilidad unitaria($)

Costo publicitario ($/unidad)

Esfuerzo de ventas (hr-hombre/unidad)

Industrial 20,000 1,800 4 Tienda 12,000 3,000 6

Marítimo 18,000 1,000 7

El director general de la empresa; ha establecido que en la estrategia de ventas a seguir deben venderse por lo menos 100 unidades al canal tienda, 250 al canal marítimo; en el siguiente mes; también el gasto publicitario no debe exceder de $1,000,000. Si la capacidad de producción se estima en 1000 unidades y las horas hombre de un vendedor disponibles en el próximo mes son 2,000. ¿Qué estrategia de ventas debe adoptar la empresa? Es decir, la empresa debe decidir:

a) Cuantas unidades producir por c/canal de distribución. b) Cuanto gasto publicitario se debe hacer en c/canal de distribución. c) Cuanto esfuerzo de ventas debe dedicarse a c/canal de distribución.

Page 34: temas desarrollados

27

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

X= Unidades de radios portátiles en sus diferentes mercados para producir el siguiente mes.

x1= Unidades producidas para el mercado industrial.

x2= Unidades producidas para el mercado tiendas.

x3= Unidades producidas para el mercado marítimo.

Objetivo

Max Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3

s.a

Publicidad

1,800X1 + 3,000X2 + 1,000X3 ≤ 1,000,000 Esfuerzo de ventas

4X1 + 6X2 + 7X3 ≤ 2000 Capacidad productiva

X1 + X2 + X3 ≤ 1000 Mercado tienda

X2 ≥ 100 Mercado marítimo

X3 ≤ 250 Xj≥0 j= 1,2,3

X1,X2,X3≥0

Max Zo= 20,000x1+12,000x2+18,000x3

s.a

1,800X1 + 12,000X2 + 18,000X3 ≤ 1,000,000

4X1 + 6X2 + 7X3 ≤ 2,000 X1 + X2 + X3 ≤ 1,000 X2 ≥ 100 X3 ≥ 250

X1,X2,X3≥0

Page 35: temas desarrollados

28

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

7) Mi dieta requiere que todo los alimentos que ingiera pertenezcan a una de los cuatro “grupos básicos de alimentos” (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos: barras de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de chocolate cuesta $35.00, cada bola de helado de crema cuesta $40.oo, cada botella de bebida de cola cuesta $7.50 y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta $20.00. De acuerdo al nutriólogo, todos los días debo ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasas. Plantee un modelo de PL que pueda emplear para cumplir mis necesidades nutricionales al costo mínimo. El contenido nutricional por unidad de c/alimento se da en la siguiente tabla.

Tipo de alimento Calorías Chocolate(onzas) Azúcar(onzas) Grasas(onzas) Barra de chocolate 400 3 2 2

Helado de crema con chocolate(1 bola) 200 2 2 4

Bebida de cola(1 botella) 150 0 4 1

Pastel de queso con piña 500 0 4 5

Definición de la variable

X= Cantidad de calorías a consumir en los diferentes alimentos al día.

x1= Cantidad de barras de chocolate consumidas al día.

x2= Cantidad de helado de crema con chocolate consumida al día(1 bola)

x3= Botellas de bebida de cola consumidas al día.

x4= Rebanadas de pastel de queso con piña consumidas al día.

Min Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4

s.a

400X1 + 200X2 + 150X3 + 500X4 ≥ 500 calorías

3X1 + 2X2 ≥ 6 chocolate 2X1 + 2X2 + 4X3 + 4X4 ≥ 10 Azúcar 2X1 + 4X2 + X3 + 5X4 ≥ 8 Grasas

Page 36: temas desarrollados

29

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

X1,X2,X3,X4≥0

Min Zo= 35x1+40x2+7.50x3+20x4

s.a

400X1 + 200X2 + 150X3 + 500X4 ≥ 500

3X1 + 2X2 ≥ 6 2X1 + 2X2 + 4X3 + 4X4 ≥ 10 2X1 + 4X2 + X3 + 5X4 ≥ 8

X1,X2,X3,X4≥0

Page 37: temas desarrollados

30

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

8) El taller de máquinas y herramientas Era S.A de C.V; se dedica a la fabricación de dos refacciones para una empresa metalmecánica. Las partes se producen en cuatro operaciones (departamentos). Las horas maquina son suficientes aunque se tiene una fuerte limitación en mano de obra calificada. La empresa piensa por tanto, que las horas-hombre disponibles restringen su capacidad de producción. Las horas hombre asumidas por cada parte en cada departamento son:

Departamento (operación) Parte 1 Parte 2

1 0.10 0.20 2 0.20 0.15 3 0.10 0.15 4 0.05 0.10

La empresa gana $100 y $129 por unidad de las partes 1 y 2 respectivamente. Luego de considerar la experiencia y habilidad de los trabajadores actuales, se ha llegado al siguiente resultado:

Asignación posible de mano de obra

Hr/hombre Disponibles/semana

Únicamente a departamento 1 480 Únicamente a departamento 2 400 Únicamente a departamento 3 500 Únicamente a departamento 4 200

A departamento 1 o departamento 2 350 A departamento 3 o departamento 4 370

Plantee un modelo de PL.

Variables de decisión

Xi= Unidades a fabricar de las refacciones i por semana

ai=horas/hombre a asignar en el departamento j por semana

i= 1,2 j= 1,2,3,4

Page 38: temas desarrollados

31

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Max Zo= 100x1+120x2

horas/hombre disponibles

0.10X1 + 0.20X2 ≤ a1

0.20X1 + 0.15X2 ≤ a2 0.10X1 + 0.15X2 ≤ a3 0.05X1 + 0.10X2 ≤ a4

Asignación de horas/hombre para cada departamento

a1 ≤ 480 + 350 = 830

a2 ≤ 400 + 350 = 750 a3 ≤ 500 + 370 = 870 a4 ≤ 200 + 370 = 570

a1 + a2 ≤ 480 + 400 + 350 = 1230 a3 + a4 ≤ 500 + 200 + 370 = 1070

Modelo matemático

Max Zo= 100x1+120x2

s.a

0.10X1 + 0.20X2 - a1 ≤ 0 0.20X1 + 0.15X2 - a2 ≤ 0 0.10X1 + 0.15X2 - a3 ≤ 0 0.05X1 + 0.10X2 - a4 ≤ 0

a1 ≤ 830 a2 ≤ 750 a3 ≥ 870 a4 ≥ 570 a1 + a2 ≥ 1230 a3 + a4 ≤ 1070

X1,X2,a1,a2,a3,a4≥0

Page 39: temas desarrollados

32

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

9) PCP S.A de C.V produce rollos de papel en un ancho estándar de 20 pies c/u, los pedidos de los clientes en rollos de diversos anchos; se producen recortando el tamaño estándar de 20 pies. Los requerimientos promedio de los clientes están dados de la siguiente forma: Rollos de 5 pies 150 unidades Rollos de 7 pies 200 unidades Rollos de 9 pues 300 unidades ¿Qué combinación es la mejor para optimizar los rollos?

A b) c)

5 ft

7 ft

20 ft

9 ft

Page 40: temas desarrollados

33

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Tipo de corte 5ft 7ft 9ft Desperdicio(ton) I 4 - - 0 II 1 2 - 1 III - - 2 2 IV 2 - 2 1 V - 1 1 4 VI 2 1 - 3

Definición de la variable

x1= No. de cortes del rollo tipo I.

x2= No. de cortes del rollo tipo II.

x3= No. de cortes del rollo tipo III.

x4= No de cortes del rollo tipo IV

x5= No. de cortes del rollo tipo V.

x6= No de cortes del rollo tipo VI.

Min Zo= 0x1+x2+2x3+x4+4x5+3x6

s.a

4X1 + X2 + 2x4 + 2x6 ≥ 150 2X2 + x5 ≥ 200 2x3 + 2x4 + x5 ≥ 300

X1,X2,X3,X4,X5≥0

Page 41: temas desarrollados

34

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

EJERCICIOS I. FORMATO ESTANDAR Y CANÓNICO.

Instrucciones: Dados los siguientes modelos de programación lineal, expresarlos en formato estándar y canónico (solamente considere variables de holgura).

1.-

MIN

Z=2X1+2X2

s.a

3X1+2X2≥3

2X1 ≤3

X2≥4

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=2X1+2X2

s.a

3X1+2X2-S1 =3

2X1 +S2 =3

X2 +S3=4

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=2X1+2X2

s.a

3X1+2X2≥3

-2X1 ≥-3

X2≥4

X1,X2,≥0

SOLUCIONES

Page 42: temas desarrollados

35

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

2.-

MAX

Z=3X1+8X2

s.a

8X1+2X2≤4

-4X1 ≥3

X1+1/2X2≤3

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=3X1+8X2

s.a

8X1+2X2-S1 =4

-4X1 -S2 =3

X1+1/2X2 +S3=3

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=3X1+8X2

s.a

8X1+2X2≤4

-4X1 ≤-3

X1+1/2X2≤3

X1,X2,≥0

Page 43: temas desarrollados

36

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

3.-

MAX

Z=X1+2X2+3X3

s.a

X1+2X2 ≥3

2X2-3X3 ≤5

X1+ 1/4X3≥4

X1-2X2 =5

X1,X2,X3≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=X1+2X2+3X3

s.a

8X1+2X2-S1 =4

2X2-3X3+S2 =5

X1+ 1/4X3 -S3 =4

X1-2X2 =5

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=X1+2X2+3X3

s.a

-X1-2X2 ≤-3

4X2-3X3 ≤-3

-X1-1/4X2 ≤3

X1-2X2 ≤5

-X1+2X2 ≤-5

X1,X2,≥0

Page 44: temas desarrollados

37

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

4.-

MAX

Z=8X1+2X2

s.a

2X1+X2≤4

I3X1+8X2I≤4

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=8X1+2X2

s.a

2X1+X2-S1 =4

3X1+8X2 -S2 =-4

3X1+8X2 +S3=4

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=8X1+2X2

s.a

-2X1-X2 ≥4

3X1+8X2 ≥-4

-3X1-8X2 ≥4

X1,X2, ≥0

Page 45: temas desarrollados

38

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

5.-

MIN

Z=4X1+8X2

s.a

X1+4X2≤4

X1+8X2≥3

X2≤4

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=4X1+8X2

s.a

X1+4X2-S1 =4

X1+8X2 -S2 =3

X2 +S3 =4

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=4X1+8X2

s.a

-X1-4X2 ≥-4

X1+8X2 ≥-3

8X2 ≥-4

X1,X2, ≥0

Page 46: temas desarrollados

39

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

6.-

MAX

Z=8X1+2X2+X3

s.a

IX1 -3X3 I ≥4

X1+2X2 ≤8

X1,X2,X3≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=8X1+2X2+X3

s.a

X1 -3X3+S1 =4

X1 -3X3 +S2 =5

X1+2X2 +S3 =4

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=8X1+2X2+X3

s.a

X1 -3X3 ≤-3

-X1 +3X3 ≤-4

X1+2X2 ≤8

X1,X2,≥0

Page 47: temas desarrollados

40

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

7.-

MIN

Z=4X1+2X2

s.a

X1+2X2≤4

-3X1+X2≥3

2X2≤3

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=4X1+2X2

s.a

X1+2X2 =4

-3X1+X2 -S1 =3

2X2 +S2 =3

X1,X2,S1,S2≥0

FORMATO CANONICO

MIN

Z=4X1+2X2

s.a

-X1-2X2 ≥-4

X1+2X2 ≥4

-3X1+X2 ≥3

-2X2 ≥-3

X1,X2, ≥0

Page 48: temas desarrollados

41

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

8.-

MAX

Z=2X1+8X2+4X3

s.a

X1 -3X3 ≤0

2X2 ≥4

2X1+ 4X3 ≤5

X1,X2,X3≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=2X1+8X2+4X3

s.a

X1 -3X3+S1 =0

2X2 -S2 =5

2X1+ 4X3 -S3 =5

X1,X2,S1,S2,S3≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=2X1+8X2+4X3

s.a

X1 -3X3 ≤-3

2X2 ≤-3

2X1 +4X3 ≤5

X1,X2,≥0

Page 49: temas desarrollados

42

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

9.-

MIN

Z=X1-2X2

s.a

X1+4X2≥4

-4X1-2X2≤9

3X2≤5

X1,X2≥0

FORMATO ESTANDAR

MIN

Z=X1-2X2

s.a

X1+4X2-S1 =4

-4X1-2X2 +S2 =9

3X2 +S3 =5

X1,X2,S1,S2≥0

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=X1-2X2

s.a

X1+4X2 ≥4

4X1+2X2 ≥-9

-3X2 ≥-5

X1,X2, ≥0

Page 50: temas desarrollados

43

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

EJERCICIOS II. MODELACIÓN.

Instrucciones: Plantee el Modelo de Programación Lineal para cada uno de los siguientes problemas. La solución de cada uno de los problemas se encuentra al final de esta sección.

PROBLEMAS

1.- Un proveedor debe preparar 5 bebidas de fruta en existencia, 500 gal que contengan por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son lo que se presentan a continuación ¿Qué cantidad de cada bebida de fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo mínimo?

Jugo de naranja(%)

Jugo de toronja (%)

Jugo de Arándaro

(%)

Existencia (gal)

Costo ($/gal)

Bebida A 40 40 0 200 1.50 Bebida B 5 10 20 400 0.75 Bebida C 100 0 0 100 2.00 Bebida D 0 100 0 50 1.75 Bebida E 0 0 0 800 0.-25

2.- La regiomontana es una fábrica que produce 3 diferentes sombreros: Su capacidad de producción mensual es como sigue.

Modelo Capacidad de producción (sombreros/mes)

Norteño 650 Lona 900

Articela 700 La producción mensual se reparte en tres diferentes distribuidoras que se localizan dentro del área metropolitana de la ciudad. Los costos unitarios de transporte para cada modelo se muestra a continuación

Modelo Zona Norte Zona Rosa Zona Sur Norteño $3.00 $5.00 $7.00

Lona 2.50 4.80 5.80 Articela 2.00 3.40 5.20

Page 51: temas desarrollados

44

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

Los requerimientos mensuales de cada distribuidor son como sigue:

Distribuidora Demanda (sombreros/mes) Zona Norte 750 Zona Rosa 900 Zona Sur 600

3.- Un Hospital está realizando estudios sobre Ingeniería Industrial para optimizar con los recursos con que cuenta. Una de las principales preocupaciones del Director del Hospital es el área de personal, ya que no está del todo convencido con el número de enfermeras que laboran en la sección de emergencias. Por tal motivo, ordeno un estudió estadístico, el cual arrojo los siguientes datos

Hora Número mínimo requerido de enfermeras

0 a 4 40 4 a 8 80

8 a 12 100 12 a 16 70 16 a 20 120 20 a 24 50

De acuerdo con la Ley Federal del Trabajo cada enfermera debe trabajar 8 hrs consecutivas por día. Formule un modelo de programación lineal que cumpla con los requerimientos citados.

4.- En dos máquinas se procesan cuatro productos de forma secuencial. La sig. Tabla muestra los datos pertinentes de problema.

Máquina Costo por hr ($)

Producto I

Producto II

Producto III

Producto IV

Capacidad (hr)

1 10 2 3 4 2 500 2 5 3 2 1 2 380

Precio Unitario de Venta

75 70 55 45

Formule un Modelo de programación lineal

Page 52: temas desarrollados

45

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

5.- Una compañía Manufacturera local produce cuatro diferentes productos metálicos que deben maquinarse pulirse y ensamblarse. La necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:

Maquinado (hr) Pulido (hr) Ensamble (hr) Producto I 3 1 2 Producto II 2 1 1 Producto III 2 2 2 Producto IV 4 3 1

La compañía dispone semanalmente de 480 hr para el maquinado, 400 horas para el pulido y 400 hr para el ensamble. Las ganancias unitarias son: $6,$4,$6 y $8 respectivamente. La compañía tiene un contacto con el distribuidor en el que se compromete a entregar 50 unidades semanalmente del producto I y 100 unidades de cualquier combinación de los productos I, II y III, según la producción, pero solo como máximo 25 unidades del producto IV. ¿Cuántas Unidades de cada producto debe fabricar semanalmente la empresa, a fin de cumplir las condiciones de contrato e incrementar la ganancia total?

6.- Una comunidad ha reunido $250,000 para desarrollar nuevas áreas para la eliminación de desechos. Hay siete sitios disponibles, cuyos costos de desarrollo y capacidades se muestras a continuación. ¿Qué sitios deberá desarrollar la comunidad?

Sitio A B C D E F G Capacidad, ton/semana

20 17 15 15 10 8 5

Costo $1000

145 92 70 70 84 14 47

Page 53: temas desarrollados

46

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

7.- Banco azteca va a realizar sus prácticas de préstamo para el próximo año, para ello dispone de $20, 000,000. Los préstamos que esta obligado a solicitar son los siguiente, además de la probabilidad de no pago

Préstamo Tasa de Interés Probabilidad Inc Personas 14% 0.1 Automóvil 13% 0.07 Casa Habitación 12% 0.03 Agrícola 12.5% 0.05 Comercial 10% 0.02 El banco debe asignar por lo menos ek 40% de los fondos totalkes a préstamos agrícolas y comerciales. Los préstamos para casa deben ser iguales o cuando menos al 50% de los préstamos personales, para automóvil y casa habitación. Además por política del banco la relación global de pagos irrecuperables no debe ser mayor al 0.04%

Nota: Un pago que no se cubre no genera interés. Formule un modelo de programación lineal que le permita a la empresa incrementar sus utilidades.

Soluciones de los Modelos de programación Lineal

1.

Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑨𝑨 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑩𝑩 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑫𝑫 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒃𝒃𝒅𝒅𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑬𝑬 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒋𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪

𝒛𝒛 = 𝟏𝟏.𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎.𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏.𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓

𝒍𝒍.𝑪𝑪

𝟎𝟎.𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎.𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 𝟎𝟎.𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.𝟗𝟗𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 −𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 − 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎

Page 54: temas desarrollados

47

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟖𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐,𝒙𝒙𝟑𝟑,𝒙𝒙𝟒𝟒,𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎 2

Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟏𝟏. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟑𝟑. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟒𝟒. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟓𝟓. 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒅𝒅𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝟔𝟔.

𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪

𝒛𝒛 = 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔

𝒍𝒍.𝑪𝑪

𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥ 𝟒𝟒𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 ≥ 𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≥ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≥ 𝟕𝟕𝟎𝟎

𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎

𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎

𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐,𝒙𝒙𝟑𝟑,𝒙𝒙𝟒𝟒,𝒙𝒙𝟓𝟓,𝒙𝒙𝟔𝟔 ≥

Page 55: temas desarrollados

48

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

3

Definir Variables

𝒙𝒙=𝑳𝑳𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒆𝒆𝒃𝒃𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒍𝒍𝒋𝒋𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒋𝒋 𝑪𝑪 = 𝑴𝑴𝒍𝒍𝑪𝑪𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒍𝒍𝒍𝒍𝒆𝒆𝒃𝒃𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍𝒍𝒍𝑵𝑵𝒍𝒍𝒆𝒆𝑪𝑪𝒅𝒅ñ𝒍𝒍(𝟏𝟏),𝑳𝑳𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪(𝟏𝟏),𝑨𝑨𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪(𝟏𝟏) 𝒋𝒋 = 𝑳𝑳𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒅𝒅𝒆𝒆𝒅𝒅𝑪𝑪𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍 𝒛𝒛𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒛𝒛𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪 𝑵𝑵𝒍𝒍𝒆𝒆𝑪𝑪𝒅𝒅(𝟏𝟏),𝑹𝑹𝒍𝒍𝒍𝒍𝑪𝑪(𝟐𝟐) 𝒚𝒚 𝑺𝑺𝒋𝒋𝒆𝒆(𝟑𝟑) 𝑴𝑴𝑪𝑪𝑪𝑪 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝟐𝟐.𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝟒𝟒.𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟓𝟓.𝟖𝟖𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝟑𝟑.𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝟓𝟓.𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 𝒍𝒍.𝑪𝑪 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 ≤ 𝟔𝟔𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 ≤ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≤ 𝟕𝟕𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟏𝟏 ≥ 𝟕𝟕𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟗𝟗𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟑𝟑 ≥ 𝟔𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎

4

Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑬𝑬𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑨𝑨 𝑴𝑴Á𝑸𝑸𝑼𝑼𝑼𝑼𝑵𝑵𝑨𝑨 𝟏𝟏 𝒀𝒀 𝟐𝟐. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝒛𝒛 = 𝟕𝟕𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒

𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟓𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏𝟏𝟎𝟎) 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟑𝟑𝟖𝟖𝟎𝟎(𝟓𝟓) 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐,𝒙𝒙𝟑𝟑,𝒙𝒙𝟒𝟒,𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎

Page 56: temas desarrollados

49

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

5

Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟐𝟐 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟑𝟑 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑼𝑼𝑵𝑵𝑼𝑼𝑫𝑫𝑨𝑨𝑫𝑫𝑬𝑬𝑺𝑺 𝑫𝑫𝑬𝑬𝑳𝑳 𝑷𝑷𝑹𝑹𝑷𝑷𝑫𝑫𝑼𝑼𝑪𝑪𝑷𝑷𝑷𝑷 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝑭𝑭𝑨𝑨𝑩𝑩𝑹𝑹𝑼𝑼𝑪𝑪𝑨𝑨𝑹𝑹 𝑺𝑺𝑬𝑬𝑴𝑴𝑨𝑨𝑵𝑵𝑨𝑨𝑳𝑳𝑴𝑴𝑬𝑬𝑵𝑵𝑷𝑷𝑬𝑬. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙 𝒁𝒁 = 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟒𝟒 s.a 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟖𝟖𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 ≥ 𝟓𝟓𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≥ 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟒𝟒 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝟓 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐,𝒙𝒙𝟑𝟑,𝒙𝒙𝟒𝟒 ≥ 𝟎𝟎 6 Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑨𝑨 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑩𝑩 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑫𝑫 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑬𝑬 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟔𝟔=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑭𝑭 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟕𝟕=𝑺𝑺𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝑮𝑮 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒅𝒅𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝑪𝑪𝒅𝒅𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝒅𝒅𝒍𝒍𝒍𝒍. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙

𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟏𝟏𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟏𝟏𝟎𝟎𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟖𝟖𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟕𝟕

𝟏𝟏𝟒𝟒𝟓𝟓𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟗𝟗𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟕𝟕𝟎𝟎𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟖𝟖𝟒𝟒𝒙𝒙𝟓𝟓 + 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙𝟔𝟔 + 𝟒𝟒𝟕𝟕𝒙𝒙𝟕𝟕 ≤ 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟎𝟎

𝒙𝒙𝑪𝑪 ≥ 𝟎𝟎

𝑪𝑪 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟒𝟒,𝟓𝟓,𝟔𝟔,𝟕𝟕

Page 57: temas desarrollados

50

Capítulo I: Metodología de la investigación de operaciones y formulación de modelos

7. Definir Variables.

𝒙𝒙𝟏𝟏=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒅𝒅𝒍𝒍. 𝒙𝒙𝟐𝟐=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒋𝒋𝑪𝑪𝒍𝒍𝒆𝒆ó𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆. 𝒙𝒙𝟑𝟑=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝒆𝒆𝑪𝑪𝒆𝒆𝑪𝑪 𝒑𝒑𝑪𝑪𝒍𝒍𝑪𝑪 𝒅𝒅𝑪𝑪𝒃𝒃𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝒑𝒑𝑪𝑪ó𝑪𝑪. 𝒙𝒙𝟒𝟒=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪 𝒆𝒆𝑪𝑪 𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆í𝒑𝒑𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪𝒋𝒋𝒆𝒆𝑪𝑪. 𝒙𝒙𝟓𝟓=𝑵𝑵ú𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒅𝒅 𝒆𝒆𝒆𝒆é𝒍𝒍𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆𝒍𝒍𝒍𝒍 𝑪𝑪𝒆𝒆 𝒍𝒍𝒅𝒅𝒑𝒑𝑪𝑪𝒍𝒍𝒆𝒆 𝒑𝒑𝒍𝒍𝒆𝒆𝒅𝒅𝒆𝒆𝒑𝒑𝑪𝑪𝑪𝑪𝒆𝒆. 𝑴𝑴𝑪𝑪𝒙𝒙

𝒛𝒛 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟒𝟒(𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟎𝟎)𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟑𝟑(𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟑𝟑)𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎(𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟕𝟕)𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟓𝟓(𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟓𝟓)𝒙𝒙𝟒𝟒+ 𝟎𝟎.𝟏𝟏(𝟎𝟎.𝟗𝟗𝟖𝟖)𝒙𝒙𝟓𝟓

𝒛𝒛 = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟔𝟔𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟐𝟐𝟎𝟎𝟗𝟗𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖𝟕𝟕𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟗𝟗𝟖𝟖𝒙𝒙𝟓𝟓

𝒍𝒍.𝑪𝑪

𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟐𝟐𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟑𝟑 ≥ 𝟎𝟎.𝟓𝟓(𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑) 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟖𝟖,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟎𝟎.𝟏𝟏𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟕𝟕𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟓𝟓𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐𝒙𝒙𝟓𝟓

𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 + 𝒙𝒙𝟓𝟓 ≤ 𝟎𝟎.𝟎𝟎𝟒𝟒

𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐,𝒙𝒙𝟑𝟑,𝒙𝒙𝟒𝟒,𝒙𝒙𝟓𝟓 ≥ 𝟎𝟎

Page 58: temas desarrollados

Objetivo: El alumno analizará fundamentos de la Programación Lineal y el procedimiento gráfico de solución, al igual que la forma detallada del procedimiento del método simplex.

CAPÍTULO II: EL METODO SIMPLEX.

Page 59: temas desarrollados

52

Capítulo II: El método simplex.

2.1. TEORÍA DEL MÉTODO SIMPLEX.

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

El método gráfico muestra que la solución óptima de Programación Lineal siempre está asociada con un punto de esquina (también conocido matemáticamente como punto extremo) del espacio de la solución. Este resultado es la idea clave para el desarrollo del método simplex algebraico general para resolver cualquier modelo de Programación Lineal.

La transición del punto extremo geométrico (o esquina) de la solución al método simplex radica en identificar algebraicamente los puntos extremos. Para lograr esta meta, primero convertimos el modelo a la forma estándar de PL, utilizando variables de holgura o de superávit, para convertir las restricciones de desigualdad en ecuaciones.

El interés en la forma estándar de PL, se basa en las soluciones básicas de las ecuaciones lineales simultáneas. Esta solución básica (algebraica) define completamente todos los puntos extremos (geométricos) del espacio de la solución. El algoritmo simplex está diseñado para localizar de manera eficiente la óptima entre estas soluciones básicas.

Es la técnica para solucionar problemas de programación lineal.

Se fundamenta en 2 criterios:

a) Criterio de optimalidad: Este principio garantiza que nunca encontraremos soluciones inferiores a la del punto ya considerado.

b) Criterio de factibilidad: Este criterio nos asegura que si comenzamos con una solución básica factible inicial, siempre encontraremos soluciones básicas factibles.

EJEMPLO 1:

MAX………………………….Z=4X1+3X2

s.a

2X1 + 3X2 ≤ 6

-3X1 + 2X2 ≤ 3 2X2 ≤ 5

2X1 + X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0

Page 60: temas desarrollados

53

Capítulo II: El método simplex.

Paso 1: Obtener su forma estándar añadiendo las variables de holgura respectivas en función del signo de la desigualdad.

Max Zo=4x1+3x2+0s1+0s2+0s3+0s4

s.a

2x1 + 3x2 + S1 = 6 -3x1 + 2x2 + S2 = 3

2x2 + S3 = 5 2x1 + x2 + S4 = 4

x1,x2,s1,s2,s3,s4≥0

Paso 2:

n= Incógnitas ó No. de variables m=No. de Restricciones

n= 6 m= 4

n-m= 6-4= 2 No. de variables no básicas.

Nota: Se llaman no básicas a aquellas que su valor es cero.

Paso 3: Preguntar ¿Se puede resolver con la solución más sencilla? es decir, se tienen 4 holguras positivas, para conformar una matriz identidad.

Paso 4: Igualar a cero la función objetivo.

Zo=-4x1-3x2-0s1-0s2-0s3-0s4=0

Paso 5: Armar el tablero inicial

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 -4 -3 0 0 0 0 0 S1 0 2 3 1 0 0 0 6 6/2 = 3 S2 0 -3 2 0 1 0 0 3 3/-3 = -1 S3 0 0 2 0 0 1 0 5 5/0 = ∞ S4 0 2 1 0 0 0 1 4 4/2 = 2

A la integración de toda la fila de la variable de salida con la columna de variable de entrada se multiplica por su inverso, para obtener lo que se llama eje pivote.

VARIABLE DE SALIDA

ZONA ∞ VARIABLE DE ENTRADA

MATRÍZ IDENTIDAD

Page 61: temas desarrollados

54

Capítulo II: El método simplex.

Nota: Los coeficientes de las variables básicas en cualquier tabla simplex se conforma una matriz de identidad.

En la tabla es la exposición donde S1=6, S2=3, S3=5 y S4=4

PRIMERA LEY

Una tabla es óptima para el caso de maximización cuando todos los elementos de la zona ∞ sean positivos o cero y viceversa para el caso de minimización.

SEGUNDA LEY

Para elegir la variable de entrada se toma el elemento más negativo de la zona ∞, para el caso de maximización y viceversa para minimización.

TERCERA LEY

Para definir las variables de salida se forman cocientes, donde los numeradores se toman de la columna de la solución (únicamente de las restricciones y donde los denominadores serán los números correspondientes en la columna de variable entrada). No se admiten indeterminaciones, no cocientes negativos, la variable de salida se elige tomando el menor cociente positivo tanto para Maximizar como Minimizar.

Page 62: temas desarrollados

55

Capítulo II: El método simplex.

1.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 0 -1 0 0 0 2 8 S1 0 0 2 1 0 0 -1 2 2/2 = 1 S2 0 0 7/2 0 1 0 3/2 9 9/ 7/2 = 2.57 S3 0 0 2 0 0 1 0 5 5/2 = 2.5 X1 0 1 1/2 0 0 0 1/2 2 2/1/2 = 4

Se multiplica por ½ toda la fila de la variable de salida S1, entrando X2, obteniendo el eje pivote 1 arriba de este último y abajo se tendrá que hacer ceros.

2.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 Sol Z 1 0 0 1/2 0 0 3/2 9 X2 0 0 1 1/2 0 0 -1/2 1 S2 0 0 0 -7/4 1 0 13/4 11/2 S3 0 0 0 1 1 0 1 3 X1 0 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2

Como la zona Z son todos los números positivos y ceros se dice que la tabla es óptima.

SOL

X1 = 3/2 X2 = 1 S2 = 11/2 S3 3

Nota 1: Solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen.

Nota 2: Una solución no factible es una solución para que al menos una restricción se viole.

VARIABLE DE ENTRADA

MAX

Z= 9

S1= 0

S4= 0

2 Variables no básicas

VARIABLE DE SALIDA

Page 63: temas desarrollados

56

Capítulo II: El método simplex.

Comprobación

Zo=4x1+3x2 Zo=4(3/2)+3(1)

s.a 9 = 9

2x1+3x2≤6 2(3/2)+3(1)≤6

6≤6

-3x1+2x2≤3 -3(3/2)+2(1)≤3

-2.5≤3

2x2≤5 2(1)≤5

2≤5

2x1+x2≤4 2(3/2)+1≤4

4≤4

EJEMPLOS 2:

Resolver el siguiente problema.

MAX Z=2X1-3X2+4X3+5X4

s.a

3X1 + 9X2 + 2X3 + 7X4 ≤ 10

2X1 - 2X2 + 3X3 + 9X4 ≤ 15 2X1 + 4X2 + 9X3 + 6X4 ≤ 5 X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

Llevándola a su forma estándar

Z=2X1-3X2+4X3+5X4+0S1+0S2+0S3

Z=-2X1+3X2-4X3-5X4-0S1-0S2-0S3=0

3X1 + 9X2 + 2X3 + 7X4 + S1 = 10

2X1 - 2X2 + 3X3 + 9X4 + S2 = 15 2X1 + 4X2 + 9X3 + 6X4 + S3 = 5

n=7 m=3

n-m= 7-3=4 variables no básicas

Page 64: temas desarrollados

57

Capítulo II: El método simplex.

BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 3 -4 -5 0 0 0 0 S1 0 3 9 2 7 1 0 0 10 =10/7=1.42 S2 0 2 -2 3 9 0 1 0 15 =15/9=1.66 S3 0 2 4 9 6 0 0 1 5 =5/6=0.83

Se multiplica toda la fila de S3 de la base por 1/6 para hacer un eje pivote X4 igual a 1, en la intersección de la columna de variable de entrada con la fila de la variable de salida; haciendo cero arriba de este y debajo de este, mediante adiciones y sustracciones.

1.- Iteración

BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 -1/3 19/3 7/2 0 0 0 5/6 25/6 S1 0 2/3 13/3 -17/2 1 0 0 -7/6 25/6 =4.1666/0.666= 6.25 S2 0 -1 -8 -21/2 0 1 0 -3/2 15/2 =7.5/-1=-7.5 X4 0 1/3 2/3 3/2 0 0 1 1/6 5/6 =0.8333/0.333=2.5

Se multiplica toda la fila de X4 por 3.

2.- Iteración

BASE Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 7 5 1 0 0 0 5 S1 0 0 3 -23/2 -2 1 0 0 5/2 S2 0 0 -6 -6 3 0 1 0 10 X1 0 1 2 9/2 3 0 0 1 5/2

Es óptimo porque la zona ∞ son ceros y positivos.

Variable de entrada

Variable de salida

Page 65: temas desarrollados

58

Capítulo II: El método simplex.

SOL

S1 = 5/2 X1 = 5/2 S2 = 10

Comprobación

Zo=2(5/2)-3(0)+4(0)+5(0)

Z=5

3x1+9x2+2x3+7x4≤10 3(5/2)+9(0)+2(0)+7(0)≤10

7.5≤10

2x1-2x2+3x3+9x4≤15 2(5/2)-2(0)+3(0)+9(0)≤15

5≤15

2x1+4x2+9x3+6x4≤5 2(5/2)+4(0)+9(0)+6(0)≤5

5≤5

EJEMPLO 3:

MAX………………………….Z=2X1+X2

s.a

X1 + 2X2 ≤ 8

-3X1 + 2X2 ≤ 4 4X1 + 2X2 ≤ 24 X1 , X2 ≥ 0

Llevándolo a su forma estándar

Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3

Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3

s.a

x1 + 2x2 + S1 = 8 -3x1 + 2x2 + S2 = 4 4x1 + 2x2 + S3 = 24

n=5 m=3 n-m=5-3=2 Variables no básicas.

Z= 5

X2= 0

X3= 0

X4= 0

S3= 0

Solución óptima finita única

Page 66: temas desarrollados

59

Capítulo II: El método simplex.

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 1 2 1 0 0 8 8/1 = 8 S2 0 -3 2 0 1 0 4 4/ 3 = 1.333 S3 0 4 2 0 0 1 24 24/4 = 6

1.- iteración

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 0 0 1/2 12 S1 0 0 3/2 1 0 -1/4 2 S2 0 0 7/2 0 1 3/4 22 X1 0 1 1/2 0 0 1/4 6 X1 = 6 S1 = 2 S2 = 22

Variable de entrada

Variable de salida

Z= 12 Solución óptima finita única

X2= 0

S2= 0

Page 67: temas desarrollados

60

Capítulo II: El método simplex.

EJEMPLO 4:

MIN Z=X1-3X2-2X3

s.a

3X1 - X2 + 2X3 ≤ 7

-2X1 + 4X2 ≤ 12 -4X1 + 3X2 + 8X3 ≤ 10 X1 , X2 , X3 ≥ 0

Llevándolo a su forma estándar

Z=X1-3X2-2X3+0S1+0S2+0S3

Z=-X1-3X2-2X3-0S1-0S2-0S3=0

3X1 - X2 + 2X3 + S1 = 7

-2X1 + 4X2 + S2 = 12 -4X1 + 3X2 + 8X3 + S3 = 10

n=6 m=3

n-m= 6-3=3 variables no básicas

BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 -1 3 2 0 0 0 0 S1 0 3 -1 2 1 0 0 7 =7/-1=-7 S2 0 -2 4 0 0 1 0 12 =12/4=3 S3 0 -4 3 8 0 0 1 10 =10/3=3.333

1.- Iteración

BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 1/2 0 2 0 -3/4 0 -9 S1 0 5/2 0 2 1 1/4 0 10 =10/2=5 X2 0 -1/2 1 0 0 1/4 0 3 =3/0=∞ S3 0 -5/2 0 8 0 -3/4 1 1 =1/8=0.125

Variable de entrada

Variable de salida Variable de

entrada

Variable de salida

Page 68: temas desarrollados

61

Capítulo II: El método simplex.

2.- Iteración

3.- Iteración

La zona ∞ son seros y negativos por lo tanto es optima.

BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 9/8 0 0 0 -9/16 -1/4 -37/4 S1 0 25/8 0 0 1 7/16 -1/4 39/4

X2 0 -1/2 1 0 0 1/4 0 3 X3 0 -5/16 0 1 0 -3/32 1/8 1/8

BASE Z X1 X2 X3 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 0 -9/25 -18/25 -4/25 -319/25 X1 0 1 0 0 8/25 7/50 -2/25 78/25 X2 0 0 1 0 4/25 8/25 -1/25 114/25 X3 0 0 0 1 1/10 -1/20 1/10 11/10

X1 =78/25

X2 = 114/25

X3 = 11/10

Z= -319/25 Solución óptima finita única

S1= 0

S2= 0

S3= 0

Variable de entrada

Variable de salida

Page 69: temas desarrollados

62

Capítulo II: El método simplex.

EJEMPLO 5:

MIN………………………….Z=2X1-5X2

s.a

3X1 + 8X2 ≤ 12

2X1 + 3X2 ≤ 16 X1 , X2 ≥ 0

Llevando a su forma estándar

Zo=2x1-5x2+0s1+0s2

Zo=-2x1-x2-0s1-0s2=0

s.a

3x1 + 8x2 + S1 = 12 2x1 + 3x2 + S2 = 16

n=4 m=2 n-m=4-2=2 Variables no básicas.

1.-Iteración

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -2 5 0 0 0 S1 0 3 8 1 0 12 12/8 = 1.5 S2 0 2 3 0 1 16 16/ 3 = 5.3

2.- Iteración

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -31/8 0 -5/8 0 15/2 X2 0 3/8 1 1/8 0 3/2 S2 0 7/8 0 3/8 1 27/2

Solución

X2 = 3/2 S2 = 23/2

Z= 15/2 S1= 0

X1=0

Variables no básicas

Page 70: temas desarrollados

63

Capítulo II: El método simplex.

2.2. MÉTODO DE LAS VARIABLES ARTIFICIALES. 2.2.1. Método de la gran M o método penal.

El método de la gran M es empleado para resolver modelos de programación lineal; cuando en sus restricciones al menos una de ellas el signo de la desigualdad es diferente ≤; es decir, las restricciones son del tipo ≥ o =; el algoritmo matemático para resolver este tipo de modelos obedece a los siguientes pasos:

1.- Se expresa en problema en la forma estándar.

2.- Se añaden las Variables no negativas en cada una de las ecuaciones, cuyas restricciones originales tengan (≥ ) o (=). Esas variables artificiales y su presencia es una violación a las leyes del álgebra. Esta dificultad se supera asegurando que esas variables artificiales sean ceros (0) en la solución final.

3.- Utilizar las variables artificiales para la solución básica inicial, para ello la función objetivo deberá ser ajustada adecuadamente.

Proceda con los pasos regulares del Método Simplex.

Nota: Las variables artificiales proporcionan un artificio matemático para obtener la solución inicial. Son variables ficticias y no tienen ningún significado físico directo en términos del problema original.

Las variables artificiales se reconocerán por la variable Wn

Ejemplo 1

MIN………………………….Z=4X1+X2

s.a

3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥ 0

PASO1: Pasar a formato estándar y añadir variables artificiales en las restricciones y que estas sean ≥.

No se puede

aplicar el Simplex

Se tiene que emplear la técnica de Variables Artificiales

Page 71: temas desarrollados

64

Capítulo II: El método simplex.

Formato estándar.

MIN………………………….Z=4X1+X2

s.a

3X1 + X2 = 3

4X1 + 3X2 + S1 = 6 X1 + X2 + S2 = 3 X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0

n=4 m=3 n-m=4-3=1Variables no básicas.

Por lo tanto hay 3 Variables básicas

PASO 2: Se añade en la función objetivo el coeficiente M contrario a su espíritu de dicha función por cada variable artificial contenida en las restricciones y se iguala a cero la función objetivo.

MIN………………………….Z=4X1+X2-0S1-0S2+MW1+MW2

Z-4X1-X2-0S1-0S2-MW1-MW2=0

s.a

PASO 3: Armar el Tablón en la base siempre que la desigualdad sea de signo (≥ o =), la variable a contemplar será la artificial y en las desigualdades ≤ será siempre en la base de las variables de holgura.

3X1 + X2 + W1 = 3

4X1 + 3X2 + S1 + W2 = 6 X1 + X2 + S2 = 3 X1 , X2 , S1 , S2 , W1 , W2 ≥ 0

Siempre se considera la variable artificial en vez de la

de holgura en la base, no importa si es Maximización o

Minimización.

Page 72: temas desarrollados

65

Capítulo II: El método simplex.

NOTA 1: Se forma la Matriz identidad con las variables artificiales acompañadas con las de holgura, intercambiando la columnas o filas en el siguiente orden X1, X2, S1, W1, S2, W2.

PASO 4: Hacer el ajuste. Eliminar las –M de la zona ∞, para ello cada variable artificial se multiplica por el mismo coeficiente con signo opuesto y se suman las variables artifíciales y la cantidad será adicionada en la función objetivo zona ∞, esto es para Maximizar y Minimizar. El ajuste solo se lleva a cabo en la función objetivo.

𝑋𝑋1 = 3𝑀𝑀 + 4𝑀𝑀 = 7𝑀𝑀 − 4 = −4 + 7𝑀𝑀

𝑋𝑋2 = 𝑀𝑀 + 3𝑀𝑀 = 4𝑀𝑀 − 1 = −1 + 4𝑀𝑀

𝑆𝑆1 = 0𝑀𝑀 − 1𝑀𝑀 = 0 −𝑀𝑀 = −𝑀𝑀

𝑊𝑊1 = 1𝑀𝑀 + 0𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 −𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑊𝑊2 = 0𝑀𝑀 + 1𝑀𝑀 = 𝑀𝑀 −𝑀𝑀 = 0 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆𝐴𝐴𝐴𝐴

BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 -M -M 0

W1 0 3 1 0 0 1 0 3 W2 0 4 3 -1 0 0 1 6 S2 0 1 1 0 1 0 0 3

BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 -4 -1 0 -M -M 0 0

W1 0 3 1 0 1 0 0 3 W2 0 4 3 -1 0 1 0 6 S2 0 1 1 0 0 0 1 3

BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol

Z 1 7M-4 4M-1 -M 0 0 0 9M

W1 0 3 1 0 1 0 0 3 =3/3=1

W2 0 4 3 -1 0 1 0 6 =6/4=1.5

S2 0 1 1 0 0 0 1 3 =3/1=3

Variable de entrada Variable de

salida

Page 73: temas desarrollados

66

Capítulo II: El método simplex.

PASO 5: Se sigue o aplica el método simplex y los criterios de factibilidad, según sea el caso para maximizar o minimizar el coeficiente M no tiene valor.

7M ≥ 4M por lo tanto 7M es la variable más positiva y entra X1.

Toda la fila del renglón W1 se multiplica por 1/3 para obtener 1 y tiene que ser el eje pivote.

En caso de la Función Objetivo se sigue toda la fila, se multiplica por 4-7M; checar operaciones:

𝑋𝑋1 = 4 − 7𝑀𝑀(1) = 4 − 7𝑀𝑀 + ( −4 + 7𝑀𝑀) = 0

𝑋𝑋2 = 4 − 7𝑀𝑀�13� =

43−

73𝑀𝑀 + ( −1 + 4𝑀𝑀) =

13

+53𝑀𝑀

𝑆𝑆1 = 0(4 − 7𝑀𝑀) = 0 −𝑀𝑀 = −𝑀𝑀

𝑊𝑊1 = 4 − 7𝑀𝑀�13� =

43−

73𝑀𝑀 + 0 =

43−

73𝑀𝑀

𝑊𝑊2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0

𝑆𝑆2 = 4 − 7𝑀𝑀(0) = 0

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 = (4 − 7𝑀𝑀)1 = 4 − 7𝑀𝑀 + 9𝑀𝑀 = 4 + 2𝑀𝑀

1.- Iteración

Se elige la variable de entrada el más positivo de la zona ∞

X2= 1/3+5/3M el más positivo.

W1= 4/3-7/3M negativo.

BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 0 5/3M+1/3 -M -7/3M+4/3 0 0 2M+4 X1 0 1 1/3 0 1/3 0 0 1 =1/0.33=3 W2 0 4 5/3 -1 -4/3 1 0 2 =2/1.66=1.2 S2 0 1 2/3 0 -1/3 0 0 1 =2/0.66=3.0

X1

-4+7M

NEGATIVO POSITIVO

X2

-1+4M

NEGATIVO POSITIVO

Minimizar el más positivo de la zona ∞ para la variable

de entrada.

Page 74: temas desarrollados

67

Capítulo II: El método simplex.

NOTA: Arriba y abajo del eje pivote ceros, hay que multiplicarlo por cada uno de los números que se encuentran en la columna con signo opuesto al eje pivote y sumarlo en la respectiva fila.

2.- Iteración.

𝑋𝑋2 = �−13−

53𝑀𝑀�1 = −

13−

53𝑀𝑀 +

13

+53𝑀𝑀 = 0

𝑆𝑆1 = �−13−

53𝑀𝑀� −

35

=15

+ 𝑀𝑀 −𝑀𝑀 =15

+ 𝑀𝑀 −𝑀𝑀 =15

𝑊𝑊1 = �−13−

53𝑀𝑀�

−45

=4

15+

43𝑀𝑀 +

43−

73𝑀𝑀 =

85−𝑀𝑀

𝑊𝑊2 = �−13−

53𝑀𝑀�

35

= −15−𝑀𝑀 + 0 = −

15−𝑀𝑀

NOTA: Los empates se rompen arbitrariamente.

3.- Iteración.

VARIABLES BÁSICAS

S1 = 3 X2 = 3

BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 0 0 1/5 8/5-M -1/5-M 0 18/5 X1 0 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5 =0.6/0.2=3 X2 0 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5 =1.2/-0.6=-2 S2 0 0 0 2/5 1/5 -2/5 1 6/5 =1.2/0.4=3

BASE Z X1 X2 S1 W1 W2 S2 Sol Z 1 -1 0 0 1-M -M 0 3 S1 0 5 0 1 3 -1 0 3 X2 0 3 1 0 1 0 0 3 S2 0 2 0 0 -1 0 1 0

VARIABLES NO BÁSICAS.

MIN Z= 3

S2= 0

W1= 0

W2= 0

Page 75: temas desarrollados

68

Capítulo II: El método simplex.

Ejemplo 2.

MAX………………………….Z=4X1+X2

s.a

2X1 + X2 ≥ 8

3X2 ≤ 30 X1 = 10 X1 , X2 ≥ 0

Formato estándar

Z=4X1+X2-0S1+0S2-MW1-MW2

Z-4X1-X2+0S1-0S2+MW1+MW2

s.a

2X1 + X2 - S1 + W1 = 8

3X2 + S2 = 30 X1 + W2 = 10 X1 , X2 , S1 , S2 , W1 , W2 ≥ 0

n=6 m=3 n-m=6-3=3 Variables no básicas.

BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 M M 0

W1 0 2 1 -1 0 1 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 1 30 W2 0 1 0 0 0 0 0 10

Page 76: temas desarrollados

69

Capítulo II: El método simplex.

SUMO W1+W2 por el ajuste

1.- Iteración

BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -4 -1 0 0 M M 0

(-M) W1 0 2 1 -1 0 1 0 8 S2 0 0 3 0 1 0 1 30

(-M) W2 0 1 0 0 0 0 0 10 -2M -M M -M 0M 0M -8M -1M -0M 0 0 0M -M -10M

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -3M-4 -M-1 M 0 0 0 -8M

W1 0 2 1 -1 0 0 0 8 =8/2=4 S2 0 0 3 0 1 1 0 30 =30/0=∞ W2 0 1 0 0 0 0 1 10 =10/1=10

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 1/2M-1 -1/2M-2 3/2M+2 0 0 -6M+16

3M+4 X1 0 1 1/2 -1/2 1/2 0 0 4 =8/-1/2=-8 S2 0 0 3 0 0 1 0 30 =30/0=∞ W2 0 0 -1/2 1/2 -1/2 0 1 6 =6/0.5=12

Variable de salida

Variable de entrada

Variable de salida

Variable de entrada

Page 77: temas desarrollados

70

Capítulo II: El método simplex.

2.- Iteración

3. - Iteración

V. Básicas V. no Básicas

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 -1 0 M 0 M+4 40 X1 0 1 0 0 0 0 1 10 =10/0=∞ S2 0 0 3 0 0 1 0 30 =30/3=10

1/2M+2 S1 0 0 -1 1 -1 0 2 12 =12/-1=12

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 0 M 1/3 M+4 30 X1 0 1 0 0 0 0 1 10 X2 0 0 1 0 0 1/3 0 10 S1 0 0 0 1 -1 1/3 2 22

Variable de entrada

Variable de salida

S2=0

W1=0

W2=0

X1=10

X2=10

S1=22

Page 78: temas desarrollados

71

Capítulo II: El método simplex.

EJEMPLO 3

MAX………….Z=-3X1-6X2 Z=-3X1-6X2

s.a

Formato estándar

Z=-3X1-6X2+0S1-0S2+MW1+MW2

Z+3X1+6X2-0S1+0S2-MW1-MW2=0

s.a

-4X1 + 8X2 + S1 = 12

2X1 + 6X2 - S2 + W1 = 16 3X1 - 6X2 + W2 = X1 , X2 , S1 , S2 , W1 , W2 ≥

n=6 m=3 n-m=6-3=3 Variables no básicas.

[4X1 - 8X2 ≥ -12]-1

2X1 + 6X2 ≥ 16 3X1 - 6X2 = 8

-4X1 + 8X2 ≤ 12

2X1 + 6X2 ≥ 16 3X1 - 6X2 = 8 X1 , X2 ≥ 0

BASE Z X1 X2 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 3 6 0 0 -M -M 0 S1 0 -4 8 1 0 0 0 12 W1 0 2 6 0 -1 1 0 16 W2 0 3 -6 0 0 0 1 8

Page 79: temas desarrollados

72

Capítulo II: El método simplex.

1.-Iteración

2.- Iteración

V. Básicas V. no Básicas

BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 3 6 0 0 -M -M 0 S1 0 -4 8 0 1 0 0 12 W1 0 2 6 -1 0 1 0 16 W2 0 3 -6 0 0 0 1 8

BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 5M+3 6 -M 0 0 0 24M X1 0 -4 8 0 1 0 0 12 =12/-4=-3 S2 0 2 6 -1 0 1 0 16 =16/2=8 S1 0 3 -6 10 0 0 1 8 =8/3=2.6

BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 10M+12 -M 0 0 -5/3 M-1 32/3 M-8 X1 0 0 0 0 1 0 4/3 68/3 =22.66/0=∞ W1 0 0 10 -1 0 1 -2/3 32/2 =10.66/10=5.33

5M+4 X1 0 1 -2 10 0 0 1/3 8/3 =2.66/-2=-1.33

BASE Z X1 X2 S2 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 6/5 0 -M-6/5 -M-1/5 -104/5 S1 0 0 0 0 1 0 4/3 68/3

10M+2 X2 0 0 1 -1/10 0 1/10 -1/15 16/15 X1 0 1 0 -1/5 0 1/5 1/5 24/5

Variable de entrada

Variable de salida

Variable de entrada

X1=24/5

X2=16/5

S1=68/3

MAX

Z=104/5

S2=0

W1=0

W2=0

Page 80: temas desarrollados

73

Capítulo II: El método simplex.

2.2.2. Método de la Doble Fase.

El procedimiento de la doble fase es similar al Método de la M en sus pasos 1 y 2, solo que en su paso 4 se sustituye la función (F.O), por una función que será la de objetivo de estudio, la cual se obtiene a partir de la suma de tantas variables artificiales como sean necesarias agregar en la forma estándar.

MIN………………Z=2X1+X2

s.a

Paso 1: Formato Estándar.

Z=2X1+X2-S1-S2-S3+W1+W2+W3

Z-2X1-X2-0S1+0S2+S3+W1+W2+W3

3X1 + X2 - S1 + W1 = 3 4X1 + 3X2 - S2 + W2 = 6 X1 + 2X2 - S3 + W3 = 3 X1 , X2 ≥ 0

Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción: siempre se tomara en cuenta los signos ≥ o = y se suman todas las variables artificiales, tomando una nueva función objetivo.

MIN………………a=W1+W2+W3

s.a

Se iguala la función objetivo a la constante obtenida de la suma de cada una de ellas, en este caso a 12.

3X1 + X2 ≥ 3

4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≥ 3 X1 , X2 ≥ 0

W1 = 3 - 3X1 - X2 + S1

W2 = 6 - 4X1 - 3X2 + S2 W3 = 3 - X1 - 2X2 + S3

a = 12 - 8X1 - 6X2 + S1 + S2 + S3

No se puede hacer por Método simplex

Page 81: temas desarrollados

74

Capítulo II: El método simplex.

MIN………………a=12-8X1-6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3

Igualando a

a+8X1+6X2-S1-S2-S3-0W1+0W2+0W3=12

s.a

n-m=8-3=5 variables no básicas

Fase 1

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 8 5 -1 -1 -1 0 0 0 12

W1 0 3 1 -1 0 0 1 0 0 3 =3/3=1 W2 0 4 3 0 -1 0 0 1 0 6 =6/4=1.5 W3 0 1 2 0 0 -1 0 0 1 3 =3/1=33

1.- Iteración

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 10/3 5/3 -1 -1 -8/3 0 0 4 X1 0 1 1/3 -1/3 0 0 1/3 0 0 1 W2 0 0 5/3 4/3 -1 0 -4/3 1 0 2 W3 0 0 5/3 1/3 0 -1 -1/3 0 1 2

2.-Iteración

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 -1 1 -1 0 -2 0 0 X1 0 1 0 -3/5 1/5 0 3/5 -1/5 0 3/5 0.6/0.2=3 X2 0 0 1 4/5 -3/5 0 -4/5 3/5 0 6/5 1.2/-0.6=-2 W3 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 1 0 0/1=0

3X1 + X2 - S1 + W1 = 3 4X1 + 3X2 - S2 + W2 = 6 X1 + 2X2 - S3 + W3 = 3 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , W1 , W2 , W3 ≥ 0

Variable de entrada

Variable de salida

Page 82: temas desarrollados

75

Capítulo II: El método simplex.

Fase 2: Lleva de la función objetivo a a la función objetivo inicial Z.

X1 - 2/5S1 + 1/5S3 = 3/5 X2 + 1/5S1 - 3/5S3 = 6/5 - S1 + S2 - S3 = 0

Despejar cada una de las ecuaciones de la base obtenidas en la Fase I con la variable respectiva

𝑋𝑋1 =35

+25𝑆𝑆1 −

15𝑆𝑆3

𝑋𝑋2 =65−

15𝑆𝑆1 +

35𝑆𝑆3

Sustituimos los valores X1, X2 en la función objetivo Z, la función original.

𝑍𝑍 = 2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2

𝑍𝑍 = 2 �35

+25𝑆𝑆1 −

15𝑆𝑆3� +

65−

15𝑆𝑆1 +

35𝑆𝑆3

𝑍𝑍 =65

+45𝑆𝑆1 −

25𝑆𝑆3 +

65−

15𝑆𝑆1 +

35𝑆𝑆3

𝑍𝑍 =125

+35𝑆𝑆1 +

15𝑆𝑆3

Se iguala a 12/5

𝑍𝑍 −35𝑆𝑆1 −

15

𝑆𝑆3 =125

Armar nuevamente el tablón sin las variables artificiales.

La tabla es óptima porque se tienen 0 y negativos en la zona ∞

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 X1 0 1 0 -2/5 0 1/5 2/5 0 0 3/5 X2 0 0 0 1/5 0 -3/5 -1/5 0 0 6/5 S2 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 0 0

Base a X1 X2 S1 S2 S3 SOL a 1 0 0 -3/5 0 -1/5 12/5 X1 0 1 0 -2/5 0 1/5 3/5 X2 0 0 0 1/5 0 -3/5 6/5 S2 0 0 1 -1 1 -1 0

V. Básicas

X1=3/5

X2=6/5

V. no Básicas

S2, S1, S3=0

Page 83: temas desarrollados

76

Capítulo II: El método simplex.

EJERCICIO 1

MIN………………Z=8X1+2X2

3X1 + 5X2 - S1 + W1 = 13 4X1 - X2 - S2 + W2 = 2 5X1 + 3X2 - S3 + W3 = 11 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , W1 , W2 , W3 ≥ 0

MIN………………a=W1+W2+W3

s.a

𝑎𝑎 + 13𝑋𝑋1 + 7𝑋𝑋2 − 𝑆𝑆1 − 𝑆𝑆2 − 𝑆𝑆3 = 26

Fase 1

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 13 7 -1 -1 -1 0 0 0 26

W1 0 3 5 -1 0 0 1 0 0 13 =13/5=2.6 W2 0 4 -1 0 -1 0 0 1 0 2 =2/-1=-2 W3 0 5 3 0 0 -1 0 0 1 11 =11/3=3.66

1.- Iteración

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 44/5 0 6 -1 -1 -7/5 0 0 39/5 X2 0 3/5 1 -1 0 0 1/5 0 0 13/5 =2.6/0.6=4.3 W2 0 23/5 0 -1 -1 0 1/5 1 0 23/5 =4.6/4.6=1 W3 0 16/5 0 3 0 -1 -3/5 0 1 16/5 3.2/3.2=1

2.-Iteración

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 -9/4 -1 7/4 1/4 0 -11/4 -1

X2 0 0 1 -25/16 0 3/16 5/16 0 -3/16 2 =2/-0.18=10.6 W2 0 0 0 -85/16 0 23/16 17/16 1 -23/16 0 =0/1.43=0 X1 0 1 0 15/16 0 -5/16 -3/16 0 5/16 1 1/-0.31=3.2

W1 = 13 - 3X1 - 5X2 + S1

W2 = 2 - 4X1 + X2 + S2 W3 = 11 - 5X1 - 3X2 + S3

a = 26 - 12X1 - 7X2 + S1 + S2 + S3

Page 84: temas desarrollados

77

Capítulo II: El método simplex.

3.-Iteración.

Base a X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 W3 SOL a 1 0 0 -67/92 -1 0 -24/23 -28/23 -1 -1 X2 0 0 1 -20/23 0 0 4/23 -3/23 0 2 S3 0 0 0 -85/23 0 1 17/23 16/23 -1 0 X1 0 1 0 -5/23 0 0 1/23 5/23 0 1

Fase 2:

Cambiando de a Z

X2 - 20/23 S1 = 2 - 85/23 S1 + S3 = 0

X1 - 5/23 S1 1

𝑋𝑋2 = 2 +2023

𝑆𝑆1

𝑆𝑆3 = 0 +8523

𝑆𝑆1

𝑋𝑋1 = 1 +5

23𝑆𝑆1

Min

𝑍𝑍 = 8 �1 +5

23𝑆𝑆1� + 2 �2 +

2023

𝑆𝑆1�

𝑍𝑍 = 8 +4023

𝑆𝑆1 + 4 +4023

𝑆𝑆1

𝑍𝑍 = 12 +8023

𝑆𝑆1

𝑍𝑍 −8023

𝑆𝑆1 = 12

Base a X1 X2 S1 S2 S3 SOL a 1 0 0 -80/23 0 0 12 X2 0 0 1 -26/23 0 0 2 S3 0 1 0 -85/23 0 1 0 X1 0 0 0 -5/23 0 0 1

MIN Z=12

X2=2

S3=0

X1=1

V. no Básicas

S1, S2 =0

Page 85: temas desarrollados

78

Capítulo II: El método simplex.

EJEMPLO

MAX………………Z=3X1+5X2

s.a

Paso 1: Formato Estándar.

F=W1+W2

F+3X1+3X2-S1-S2=6

4X1 + X2 - S1 + W1 = 4 -X1 + 2X2 - S2 + W2 = 2

X2 + S3 + W3 = 3

Paso 2: Despejar las variables artificiales de cada restricción.

Se iguala la función objetivo

F+3X1+3X2-S1-S2=6

NOTA: Para el caso de Maximizar en el Método de la doble fase se maneja con los criterios de Minimización al momento de definir Variables de entrada y salida esta tiene alcance tanto en las iteraciones desarrolladas en la Fase I y Fase II; quedando óptima cuando en la zona ∞, todos sean negativos o ceros. Solo este criterio aplicara para Maximizar bajo el método de la doble fase.

4X1 + X2 ≥ 4

-X1 + 2X2 ≥ 2 X2 ≤ 3

X1 , X2 ≥ 0

W1 = 4 - 4X1 - X2 + S1

W2 = 2 + X1 - 2X2 + S2

F = 6 - 3X1 - 3X2 + S1 + S2

Page 86: temas desarrollados

79

Capítulo II: El método simplex.

TABLON

Base F X1 X2 S1 S2 S3 W1 W2 SOL F 1 3 3 -1 -1 0 0 0 6

W1 0 4 1 -1 0 0 1 0 4 W2 0 -1 2 0 -1 0 0 1 2 S3 0 0 1 0 0 1 0 0 3

Base F X1 X2 S1 S2 W1 W2 S3 SOL F 1 3 3 -1 -1 0 0 0 6

W1 0 4 1 -1 0 1 0 0 4 =4/1=4 W2 0 -1 2 0 -1 0 1 0 2 =2/2=1 S3 0 0 1 0 0 0 0 1 3 =3/1=3

1.-Iteración

Base F X1 X2 S1 S2 W1 W2 S3 SOL F 1 9/2 0 -1 1/2 0 -3/2 0 3

W1 0 9/2 0 -1 1/2 1 -1/2 0 3 =3/4.5=0.66 X2 0 -1/2 1 0 -1/2 0 1/2 0 1 =1/0.5=-2 S3 0 1/2 0 0 1/2 0 -1/2 1 2 =2/0.5=4

2.-Iteración

Base F X1 X2 S1 S2 W1 W2 S3 SOL F 1 0 0 0 0 -1/2 -1 0 0 X1 0 1 0 -2/9 1/9 2/9 -1/9 0 2/3 X2 0 0 1 -1/9 -4/9 1/9 -1/18 0 4/3 S3 0 0 0 1/9 4/9 -1/9 -4/9 1 5/3

Fase 2.

Llevar de la función Objetivo F a Z.

Encontrando las ecuaciones de cada una de las variables básicas de la tabla óptima.

Page 87: temas desarrollados

80

Capítulo II: El método simplex.

X1 - 2/9S1 + 1/9S2 =2/3 Ec. (1) X2 - 1/9S1 - 4/9S2 =4/3 Ec. (2) 1/9S1 + 4/9S2 + S3 =5/3 Ec. (3)

Despejando a X1 de la Ec. (1) a X2 de la Ec (2) y S3 de la Ec. (3)

X1 = 2/3 + 2/9S1 - 1/9S2 Ec. (4) X2 = 4/3 + 1/9S1 + 4/9S2 Ec. (5) S3 = 5/3 - 1/9S1 - 4/9S2 Ec. (6)

Sustituyendo a X1 y X2 y S3 de las ecuaciones 4,5,6.

Z=3X1+5X2

𝒁𝒁 = 𝟑𝟑�𝟐𝟐 𝟑𝟑� + 𝟐𝟐𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏

𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐� + 𝟓𝟓�𝟒𝟒 𝟑𝟑� + 𝟏𝟏𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟒𝟒

𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐�

𝒁𝒁 = 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟑𝟑

𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑� + 𝟓𝟓

𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐

𝒁𝒁 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟑𝟑� + 𝑺𝑺𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐

𝒁𝒁 − 𝑺𝑺𝟏𝟏 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟗𝟗� 𝑺𝑺𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟐𝟐

𝟑𝟑

TABLON

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 -1 17/9 0 26/3 X1 0 1 0 -2/9 1/9 0 2/3 X2 0 0 1 -1/9 -4/9 0 4/3 S3 0 0 0 1/9 4/9 1 5/3

COMPROBACIÓN

Z=3(2/3)+5(4/3)=26/3

s.a

4(2/3)+4/3≥4

4≥4

-2/3+2(4/3)≥2

2≥2

VARIABLES BASICAS

X1=2/3 X2=4/3 S3=5/3

Z=26/3

VARIABLES NO BASICAS

S1=S2=0

Page 88: temas desarrollados

81

Capítulo II: El método simplex.

EJERCICIO 2

Un estanque de peces es abastecido cada primavera con dos especies: beta y globo; si hay dos tipos de comida f1 y f2 disponibles en el tanque. El peso promedio de los peces y el requerimiento promedio de alimento para cada pez; esta dado en la siguiente tabla:

ESPECIE F1 F2 PESO PROMEDIO

BETA 2 3 3 lb GLOBO 3 1 2 lb

Si existen 600 lb de comida f1 y 300 lb de comida f2 diariamente. ¿Cuántos peces deben existir en la pecera; dado que lo mínimo para lo cual fue construida es de 400 lb?

Definición de Variables.

X1= No. de peces beta que deben haber en el estanque o pecera.

X2= No. de peces globo que deben haber en el estanque o pecera.

MAX………………Z=X1+X2

s.a

MIN………………Z=X1+X2-0S1+MW1+0S2+0S3

Z=-X1-X2+0S1+MW1-0S2-0S3

3X1 + 2X2 - S1 + W1 = 400 2X1 + 3X2 + S2 = 600 3X1 + X2 + S3 = 300 X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , W1 ≥ 0

3X1 + 2X2 ≥ 400

2X1 + 3X2 ≤ 600 3X1 + X2 ≤ 300 X1 , X2 ≥ 0

Page 89: temas desarrollados

82

Capítulo II: El método simplex.

Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 -1 -1 0 M 0 0 0

W1 0 3 2 -1 1 0 0 400 S2 0 2 3 0 0 1 0 600 S3 0 3 1 0 0 0 1 300

AJUSTE

Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 -3M-1 -2M-1 M 0 0 0 -400M

W1 0 3 2 -1 1 0 0 400 400/3=133 S2 0 2 3 0 0 1 0 600 600/2=300 S3 0 3 1 0 0 0 1 300 300/3=100

1.-Iteración

Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 -M-2/3 M 0 0 M+1/3 100M+100

W1 0 0 1 -1 1 0 -1 100 S2 0 0 7/3 0 0 1 -2/3 400 X1 0 1 1/3 0 0 0 1/3 100

2.-Iteración

Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 -2/3 M+2/3 0 1/3 500/3 X2 0 0 1 -1 1 0 -1 100 S2 0 0 0 7/3 -7/3 1 5/3 500/3 X1 0 0 0 1/3 -1/3 0 2/3 200/3

3.-Iteración

Base Z X1 X2 S1 W1 S2 S3 SOL Z 1 0 0 0 M 2/7 17/21 1500/7 X2 0 0 1 0 0 3/7 -2/7 1200/7 S1 0 0 0 1 -1 3/7 5/7 500/7 X1 0 1 0 0 0 -1/7 3/7 300/7

CONCLUSIÓN: Debe de haber en la pecera 214 peces, de los cuales 43 deben ser beta y 171 deben ser globo.

Page 90: temas desarrollados

83

Capítulo II: El método simplex.

2.2.3. Método Gráfico.

El método gráfico soluciona problemas de PL por medio de la representación geométrica del objetivo, las restricciones estructurales y las condiciones técnicas. En esta representación geométrica, los ejes coordenados pueden asociarse ya sea con las variables o con las restricciones tecnológicas del problema. Cuando los ejes cartesianos están relacionados con las variables (actividades) del problema, el proceso se conoce como método gráfico de actividades. Cuando la forma alternativa, las restricciones tecnológicas (recursos) se identifican con los ejes coordenados, el método se denomina método gráfico en recursos.

Un problema de PL con m restricciones y n variables (las condiciones técnicas no se incluyen en la dimensión del problema) se dice que posee una dimensión de (m×n). El método gráfico para resolver un programa lineal con dos variables se comprende mejor concentrándose primero en las restricciones y posteriormente en la función objetivo. Para determinar los valores X1, X2 o X,Y satisfacen todas las restricciones, considerando una restricción a la vez.

2.2.3.1. La desigualdad ≤ representada en el eje cartesiano

Cuando el signo de la restricción es menor o igual (≤) el sentido del vector ira dirigido hacia el origen es decir, hacia adentro.

2X1+X2≤4

2X1+X2=4

X2

5

4

3

2

1

1 2 3 4 5 5 X1

X1 X2

0 4 2 0

Page 91: temas desarrollados

84

Capítulo II: El método simplex.

2.2.3.2. La desigualdad ≥ representada en el eje cartesiano

Cuando el signo de la restricción es mayor o igual (≥) el sentido del vector ira dirigido hacia afuera del origen es decir hacia afuera.

3X1-X2≥4

3X1-X2=4

1

1

2

3

4

5

4

3

2

1

A 1 2 3 4 5 6 X1

X1 X2

0 -4 4/3 0

1

2

3

Z=9

4

B

C

D

MAX

Z=4X1+3X2

S.A

2X1+3X2≤6

-3X1+2X2≤3

2X2≤5

2X1+X2≤4

X1,X2≥0

Page 92: temas desarrollados

85

Capítulo II: El método simplex.

Solución

Como la función es Maximizar se busca el punto más alejado del origen y si fuera Minimizar viceversa observando el polígono A, B, C, D, el punto más alejado parece C, B, para lo cual se empleara un sistema de ecuaciones formando en la intersección de ambos puntos.

Punto C

Recta 1 y Recta 4 se interceptan

2𝑋𝑋1 + 3𝑋𝑋2 = 6 … … … … … … … …𝐴𝐴𝐸𝐸. 1

2𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 = 4 … … … … … … … …𝐴𝐴𝐸𝐸. 2

𝑅𝑅1�12� �

𝑅𝑅2

�𝑋𝑋1 𝑋𝑋22 3 62 1 4

�~ 𝑅𝑅1(−2) + 𝑅𝑅2 �1 3

2� 32 1 4

�~ 𝑅𝑅2�−12� � �1 3

2� 30 −2 −2

�~

𝑅𝑅1�−32� � + 𝑅𝑅1 �

1 32� 3

0 1 1� ~ �1 0 3

2�0 1 1

X1= 3/2

X2= 1

Sustituir los valores de X1 y X2 en la función objetivo.

𝑍𝑍 = 4�32� � + 3(1) = 9 > 8 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴𝑆𝑆 𝐶𝐶 > 𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴𝑆𝑆 𝐵𝐵

Punto B

La recta 4 se intercepta con X1

2X1+X2=4

X2=0

X1=2

Sustituyendo los valores en la función objetivo Z

Z=4X1+3X2

=4(2)+3(0)=8 es menor que 9 por lo tanto es óptima.

MAX

Z=9

Page 93: temas desarrollados

86

Capítulo II: El método simplex.

Esta versión del método gráfico asocia una variable a cada eje coordenado y luego realiza tres pasos básicos:

1.- Reemplazar el signo de la desigualdad en una restricción por un signo de igualdad y calcular las interceptas donde la ecuación satisface su condición de igualdad.

2.- Dibujar línea correspondiente de la función.

3.- Identificar el sentido de la línea dependiente del sentido de la desigualdad en la restricción.

4.- Sombrear esa porción de la grafica que satisfaga las restricciones formuladas hasta el momento.

EJEMPLO 1.

MAX………………Z=4X1+3X2

s.a

Descartes menciono para solucionar un problema complejo, se vale solucionar el problema por partes a condiciones de que las soluciones nieguen la totalidad.

En esta primera instancia se trabajara con las restricciones prescindiéndole la función objetivo.

2X1 + 3X2 ≤ 6

-3X1 + 2X2 ≤ 3 2X2 ≤ 5

2X1 + X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0

OBSERVACIONES

• Hay dos variables

• Todas las restricciones son ≤

• Es un problema de Maximización

Page 94: temas desarrollados

87

Capítulo II: El método simplex.

2.2.3.3. Método General.

Tomaremos la primera restricción y la transformaremos en una igualdad y se harán o encontraran las interceptas. Son los puntos en que la curva corta al eje de coordenadas. Estos puntos también tienen una cualidad de que al menos una de sus variables vale 0 (cero).

2.- Localizar interceptas.

2X1+3X2=6------------ -3X1+2X2=3------------

2X1=5------------ 2X1+X2=4---------------

3.- Graficar interceptos

X1 X2 0 2 3 0

X1 X2 0 3/2 -1 0

X1 X2 5/2 0

X1 X2 0 4 2 0

X1=0 X2=0

Y0=0

X3=0

X4=0

1 2

3 4

El área bordeada se llama solución factible o conjunto convexo; o solución espacio y tiene la propiedad de cumplir con todas las condiciones del modelo no negatividad.

Page 95: temas desarrollados

88

Capítulo II: El método simplex.

Se le llama restricción redundante a la restricción cuya preferencia o ausencia no modifique para nada el área de la solución factible; sin embargo todos los puntos de esa área deberán cumplir dicha condición.

Trabajando exclusivamente con la función objetivo si esta parte del punto (1,0), por el punto (1,1), para (0,0) o por el punto (1.5, 1).

(1,0) (1,1) (0,0) (1.5,1)

Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2 Z=4X1+3X2

Z=4(1)+3(0) Z=4(1)+3(1) Z=4(0)+3(0) Z=4(1.5)+3(1)

Z=4 Z=7 Z=0 Z=9

Z=4X1+3X2=4 4X1+3X2=4 4X1+3X2=4 4X1+3X2=4

La función objetivo Z genera una familia finita de rectas paralelas cuyos valores máximos o mínimos se dan exactamente en puntos o esquinas del área.

EJEMPLO 2.

MAX………………Z=10X1+15X2

s.a

X1 X2 0 4/3 1 0

X1 X2 0 7/3

7/4 0

X1 X2 0 0 -3 4

X1 X2 0 3

6/4 0

10X1 + 20X2 ≤ 4000

5X1 + 5X2 ≤ 1500 4X1 + 2X2 ≤ 800 X1 , X2 ≤ 0

Page 96: temas desarrollados

89

Capítulo II: El método simplex.

10X1+20X2=4000 5X1+5X2=1500 4X1+2X2=800

(100,100) (150,100) (130,130)

Z=10(100)+15(100) Z=10(150)+15(100) Z=10(130)+15(130)

Z=2500 Z=3000 Z=3250

10X1+20X2=2500 10X1+20X2≤3000 10X1+20X2≤3250

X1 X2 0 200

400 10

X1 X2 0 300

300 0

X1 X2 0 800

200 0

X1 X2 250 0 0 166.66

X1 X2 300 0 0 200

X1 X2 325 0 0 216

Page 97: temas desarrollados

90

Capítulo II: El método simplex.

10X1+20X2=4000

[4X1+2X2≤800]1/4

10X1+20X2=4000

[ X1+2/4X2=200]-10

15X2=2000

X2=2000/15

X2=133.333

DESPEJANDO A X1 DE LA EC(1).

𝑋𝑋1 =4000 − 20𝑋𝑋2

10=

4000 − 20(133.33)10

X1=2000/15=133.33

Z=10X1+15X2

Z=10(2000/15)+15(2000/15)= 3333.333

EJEMPLO 3.

Un banco asigna un máximo de $20,000 en préstamos personales y de automóviles. El monto de los préstamos para automóviles debe ser cuando menos 2 veces mayor que el de los préstamos personales. La experiencia pasada ha demostrado que los adeudos no cubiertos constituyen el 1% de los préstamos personales. Como deben asignarse los fondos para maximizar la utilidad del banco si los intereses anual para préstamos personales son de 14% y del 12% para préstamos para automóviles.

X1= Automóviles.

X2= Prestamos personales.

Page 98: temas desarrollados

91

Capítulo II: El método simplex.

Max Z= X1(0.14) +X2(0.12)-0.1X2

Restricciones.

X1+X2≤20000

X1, X2≥0

X1 X2 0 20000

20000 0 20

X1 X2 0 0 10 20

5 10 15 20 25 20000

0.13X1+0.12X2=15

Si Z = 2.5

X1=N=Kg Mezcla barata

X2=Kg Mezcla cara

MAX Z=10X1+15X2

s.a

0.8X1+0.5X2≤1800

0.2X1+0.5X2≤1200

X1≥0

X2≥0

X1 X2 0 3600

2250 0

15

10

30

25

20000

Z=1.5 B

B

S.B.F

X1 X2

0 2400

6000 0

Page 99: temas desarrollados

92

Capítulo II: El método simplex.

X2

6000

5500

5000

4500

4000

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 6000 X1

SBF

Page 100: temas desarrollados

93

Capítulo II: El método simplex.

EJERCICIOS III. Problemas Método Grafico.

INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes ejercicios por el método grafico, la solución se presenta en cada uno de los problemas.

Problemas del método grafico

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 4 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 ≥ 20 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥

𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 − 3𝑥𝑥2 ≥ 0 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 16 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 12 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

Page 101: temas desarrollados

94

Capítulo II: El método simplex.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 6𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≥ 12 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 6 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 12 𝑥𝑥1 ≥ 2 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 4𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 100 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 80 𝑥𝑥1 ≤ 40 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

Page 102: temas desarrollados

95

Capítulo II: El método simplex.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 4𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 𝑠𝑠.𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 8 𝑥𝑥2 ≤ 5 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 ≤ 4 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 ≥ 0

Page 103: temas desarrollados

96

Capítulo II: El método simplex.

EJERCICIOS IV. Resolución de Modelos de Programación Lineal.

Instrucciones: Resolver los siguientes modelos de programación lineal por el método apropiado.

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≤ 16 5𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 ≤ 29 3𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 ≤ 17 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 5𝑥𝑥2 s.a 2 𝑥𝑥1 ≤ 61 −3𝑥𝑥2 ≤ 85 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 40 8𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 ≤ 50

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 15 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥3 ≤ 20 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 25 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥3 ≥ −7 2𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 8 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

𝑍𝑍 = −66.6667

𝑠𝑠2 = −40 𝑠𝑠3 = −40 𝑠𝑠4 = 26.6667

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥2 = 13.333 𝑥𝑥1 = 𝑠𝑠1 = 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 75

𝑠𝑠1 = 15 𝑠𝑠2 = 7.5 𝑠𝑠3 = 22.50

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥2 = 7.5 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥3 = 0

NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 11.3333

𝑠𝑠1 = 5.6667 𝑠𝑠2 = 28.3336 𝑠𝑠3 = 17.00

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 V.No Básicas 𝑥𝑥1 = 5.6667 𝑥𝑥2 = 0

Page 104: temas desarrollados

97

Capítulo II: El método simplex.

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≤ 6 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≤ 9 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 10𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 3𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 6 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 11 2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 9 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 1 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 27𝑥𝑥3 = 2 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 1𝑥𝑥3 ≥ 4 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 12.75

𝑥𝑥1 = 22.25

𝑠𝑠1 = 6 𝑠𝑠2 = 9

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥2 = 1.50

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 8.40

𝑥𝑥1 = 3.20

𝑠𝑠1 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥2 = 2.60 V.No Básicas

𝑠𝑠2 =0

NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE.

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2.50

𝑥𝑥1 = 1.5

𝑥𝑥3 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥2 = 0.50

Page 105: temas desarrollados

98

Capítulo II: El método simplex.

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 8 3𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥3 ≥ 6 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 3 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 1 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≤ 2 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 6𝑥𝑥1 + 8𝑥𝑥2 + 5𝑥𝑥3 ≥ 30 7𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 ≥ 40 𝑥𝑥1 + 2𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 ≥ 50 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 7

𝑥𝑥1 = 0.8

𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥2 = 1.80 V.No Básicas

𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 8

𝑥𝑥1 = 1

𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥3 = 2 V.No Básicas

𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 =0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 17.5

𝑥𝑥2 = 12.5

𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠

𝑥𝑥3 = 2 V.No Básicas

𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥3 =0

Page 106: temas desarrollados

99

Capítulo II: El método simplex.

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 5𝑥𝑥1 + 7𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 2𝑥𝑥1 + 3𝑥𝑥2 ≥ 42 3𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 ≥ 60 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 18

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 2𝑥𝑥1 + 5𝑥𝑥2 + 3𝑥𝑥3 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 ≥ 20 2𝑥𝑥1 + 4𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥3 = 50 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, 𝑥𝑥3 ≥ 0

𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑍𝑍 = 5000𝑥𝑥1 + 7000𝑥𝑥2 𝑠𝑠. 𝑎𝑎 −2𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1 − 2𝑥𝑥2 ≥ 1 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ≥ 0

NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE

𝑀𝑀𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑍𝑍 = 150

𝑠𝑠1 = 𝑤𝑤1 = 0

Solución

𝑉𝑉.𝐵𝐵á𝑠𝑠𝑀𝑀𝐸𝐸𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑥𝑥3 = 50 V.No Básicas

𝑠𝑠2 = 𝑤𝑤2 =0 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 =0

NO TIENE SOLUCIÓN FACTIBLE

Page 107: temas desarrollados

Objetivo: El alumno conocerá y aplicará el concepto fundamental de la dualidad y la relación matemática con el problema primal, al igual que la metodología del análisis de sensibilidad para determinar el efecto que tienen los cambios realizados en el modelo de Programación Lineal.

CAPÍTULO III: TEORÍA DE LA DUALIDAD

Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

Page 108: temas desarrollados

101

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3.1 FORMULACIÓN DE UN PROBLEMA DUAL.

Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de dualidad y sus importantes ramificaciones. Este descubrimiento revelo que asociado a todo problema de programación lineal, existe otro llamado DUAL.

Desde distintos puntos de vista las relaciones entre el problema dual y el original (llamado Primal) son muy útiles.

Esencia de la Teoría de Dualidad

Dada nuestra forma estándar para el problema primal, presente a su lado el problema dual, tiene la forma que muestra en la derecha.

PROBLEMA PRIMAL PROBLEMA DUAL

En consecuencia; con el problema de maximización, el problema dual está conformado por minimización. Aun más, el problema dual usa los mismos parámetros que el problema primal; pero en diferentes lugares, tal como se resume a continuación.

1) Los coeficientes de la función objetivo del problema primal son los lados derechos de las restricciones funcionales del problema dual.

La dualidad parte dependiendo de su origen:

Cuando el primo esta en formato canónico.

1.- El objeto de un problema debe ser opuesto al otro.

𝑍𝑍 = �𝐶𝐶𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑋𝑋𝑗𝑗

�𝑎𝑎𝑖𝑖 .𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏 𝑖𝑖 = 1,2,3 … … . .𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

MAX

s.a

Y Xj≥0 para j=1,2,3……….n

𝑊𝑊 = �𝑏𝑏𝑖𝑖𝑗𝑗𝑖𝑖

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

�𝑎𝑎𝑖𝑖 .𝑗𝑗 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≤ 𝑐𝑐 𝑗𝑗 = 1,2,3 … … . .𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

MIN

s.a

Y Yi≥0 para i=1,2,3…………m

Page 109: temas desarrollados

102

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.- El problema de Maximización. Debe contar con todas sus restricciones ≤ y el de Min ≥.

3.- Las variables de ambos problemas deben ser no negativas.

4.- Cada restricción en un problema tiene asociada una variable en el otro y viceversa.

5.- El vector de recursos (transporte) de un problema se convierte en el vector de coeficientes objetivo del otro y viceversa.

6.- La matriz de coeficientes tecnológicos de un problema es la transpuesta de la matriz de coeficientes tecnológicos de otros.

Por tanto, si el problema es primo su dual entonces es:

MAX Z0=CX

AX≤b

X≥0

MIN Y0=bt

ATY≥Ct

3.2 DUALIDAD.

Se dice que con la solución de todo problema de programación lineal, se está también solucionando un problema estrechamente relacionado; a tal problema se le llama el problema DUAL, a su vez al problema original al cual se hace referencia un dual, que es el problema original, se le llama también el problema PRIMAL

3.2.1 FORMA CANÓNICA.

Un problema de maximización se encuentra en forma canónica si en la definición del modelo matemático todas sus restricciones son del tipo ≤ que y todas sus variables son mayores o iguales a cero.

Max Z= CX

Sujeta a Ax≤b

X≥0

Page 110: temas desarrollados

103

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Un problema de minimización se encuentra en forma canónica si en la definición del modelo matemático, todas sus restricciones son del tipo mayor o igual que y todas sus variables son mayores o iguales a cero.

Min Z=CX

Sujeta a Ax≥b

X≥0

3.2.1.1 TRANSFORMACIÓN. Todo problema de maximización primal tiene un problema de minimización

en su dual. Todo problema de minimización primal tiene un problema de maximización

en su dual. Cada restricción del primal implica una variable dual. Cada variable primal implica una restricción dual. Los coeficientes del lado derecho del primal, son los coeficientes del lado

derecho dual. Los coeficientes tecnológicos de la variable j del primal, son los coeficientes

tecnológicos de la restricción j del dual. Los coeficientes tecnológicos de la restricción i del primal, son los

coeficientes tecnológicos de la variable i del dual.

Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma Canónica:

Todo problema en forma canónica tiene como problema dual a uno también en forma canónica:

PRIMAL

MAX Z=CX

Sujeta a Ax≤b

X≥0

DUAL

MIN Z=Wb

Sujeta a wA≥c

W≥0

PRIMAL

MIN Z=CX

Sujeta a Ax≥b

X≥0

DUAL

MAX Z=Wb

Sujeta a wA≤c

w≥0

Page 111: temas desarrollados

104

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 1.

MAX Z=4X1+2X2+X3 MAX W=8Y1+12Y2+5Y3

2X1 + 4X2 ≥ 8

5X1 + 2X2 + X3 ≥ 12

2X2 + X3 ≥ 15 X1 , X2 , X3 ≥ 0

NOTA: Se aplica Método Simplex para resolver.

n=6 m=3 6-3=3 variables no básicas

Básicas= S1, S2, S3

A= -8X1 - 12Y2 - 5Y3 = 0 2X1 + 5Y2 + 0 ≤ 4 4X1 + 2Y2 + 2Y3 ≤ 2 0 + Y2 + Y3 ≤ 1

2Y1 + 5Y2 + S1 = 4

4Y1 + 2Y2 + 2Y3 + S2 = 2 0 + Y2 + Y3 + S3 = 1

BASE W Y1 Y2 Y3 S1 S2 S3 SOL

W 1 -8 -12 -5 0 0 0 0

S1 0 2 5 0 1 0 0 4

S2 0 4 2 2 0 1 0 2

S3 0 0 1 1 0 0 1 1

W 1 -16/5 0 -5 12/5 0 0 48/5 12x2+W

Y2 0 2/5 1 0 1/5 0 0 4/5

S2 0 16/5 0 2 -2/5 1 0 2/5 -2X2+S2

S3 0 2/5 2 1 1/5 0 1 1/5 X2+S3

W 1 24/5 0 0 7/5 5/2 0 53/5 5X3+W

Y2 0 2/5 1 0 0 0 0 4/5 0X3+X2

Y3 0 8/5 0 1 1/2 1/2 0 1/5

S3 0 -6/5 2 0 -1/2 -1/2 1 0 -X3+S3

MODELO PRIMAL MODELO DUAL

Page 112: temas desarrollados

105

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

No básicas= X1,X2,X3

COMPROBACIÓN

8(0)+12(4/5)+5(1/5)=53/5

V. Básicas

X2=4/5

X3=1/5

S3=0

V. no Básicas.

X1=0

S1=0

S2=0

Page 113: temas desarrollados

106

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 2.

Utilizando el problema dual resuelva el siguiente modelo de Programación Lineal.

MODELO PRIMAL

MIN G= 4Y1+2Y2

MODELO DUAL

MIN G= 4Y1+2Y2 MAX W=85X1+115X2+50X3

FORMATO ESTANDAR.

MAX W=85X1+115X2+50X3

M=5 n=2 5-2=3

18Y1 - 19Y2 ≥ 85

14Y1 - 5Y2 ≥ 115

4Y1 + 2Y2 ≥ 150 Y1 , Y2 ≥ 0

18Y1 - 19Y2 ≥ 85

14Y1 - 5Y2 ≥ 115

4Y1 + 2Y2 ≥ 150 Y1 , Y2 ≥ 0

18X1 + 14X2 + 4X3 ≤ 4

-19X1 - 5X2 + 2X3 ≤ 2

18X1 + 14X2 + 4X3 + S1 = 4

-19X1 - 5X2 + 2X3 + S2 = 2

Page 114: temas desarrollados

107

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

V. Básicas

X2=0

X3=1

V. no Básicas

X1=0

S1=0

S2=0

Base W X1 X2 X3 S1 S2 SOL

W 1 -85 -115 -50 0 0 0

S1 0 18 14 4 1 0 4

S2 0 -19 -5 2 0 1 2

w 1 440/7 0 -120/7 115/4 0 230/7 115Y2+W

X2 0 9/7 1 2/7 1/4 0 2/7

S2 0 -88/7 0 24/7 5/4 1 27/7

Base W X1 X2 X3 S1 S2 SOL

W 229/3 0 0 10 5 50

X2 7/3 1 0 1/74 -1/12 0

X3 -11/3 0 1 35/96 7/24 1

Page 115: temas desarrollados

108

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 3.

MIN

Z=4X1+3X2

s.a

Y1 + Y2 ≥ 6

2Y1 - Y2 ≥ 0

Y1 ≥ 2

Y2 ≥ 2 Y1 , Y2 ≥ 0

Tablon

1.- ITERACIÓN

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL X1=-4/-1=4

Z 1 -4 -3 0 0 0 0 0 X2=-3/-1=3

S1 0 -1 -1 1 0 0 0 -6 S1=0/1=0

S2 0 -2 1 0 1 0 0 0 S2=0/0=∞

S3 0 -1 0 0 0 1 0 -2 S3=0/0=∞

S4 0 0 -1 0 0 0 1 -2 S4=0/0=∞

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL X1=-1/-3=1/3

Z 1 -1 0 -3 0 0 0 18 X2=0/0=∞

X2 0 1 1 -1 0 0 0 6 S1=-3/1=-3

S2 0 -3 0 1 1 0 0 -6 S2=0/1=0

S3 0 -1 0 0 0 1 0 -2 S3=0/0=∞

S4 0 1 0 1 0 0 1 4 S4=0/0=∞

FORMATO CANÓNICO

MIN

Z=4X1+3X2

s.a

-X1 - X2 ≤ -6

-2X1 + X2 ≤ 0

-X1 ≤ -2

- X2 ≤ -2 X1 , X2 ≥ 0

FORMATO ESTANDAR

Z=4X1+3X2+0S1+0S2+0S3+0S4

Z-4X1-3X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0

s.a

-X1 - X2 +S1 = -6

-2X1 + X2 +S2 = 0

-X1 +S3 = -2

- X2 +S4 = -2

X1 , X2 ,S1 ,S2 ,S3 ,S4 ≥ 0

Page 116: temas desarrollados

109

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.- ITERACIÓN

V. Básicas

X2=4

X1=2

S3=0

S4=2

COMPROBACIÓN

Z=4(2) +3(4) =20

s.a

4+2≥6

6≥6

2(2)-4≥0

0≥0

X1≥2

2≥2

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOL

Z 1 0 0 -10/3 -1/3 0 0 20

X2 0 0 1 -2/3 1/3 0 0 4

X1 0 1 0 -1/3 -1/3 0 0 2

S3 0 0 0 -1/3 -1/3 1 0 0

S4 0 0 0 -2/3 1/3 0 1 -2

V. no Básicas

S1=0

S2=0

MIN

Z=20

Page 117: temas desarrollados

110

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 4.

MIN

Z=2X1+6X2

s.a

-5X1 + 7X2 ≥ 8

4X1 - 6X2 ≤ 2

X1 + 2X2 = 3

X1 , X2 ≥ 0

TABLON

1.-ITERACIÓN

Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=-2/5=-0.4

Z 1 -2 -6 0 0 0 0 0 Y2=-6/-7=.05

S1 0 5 -7 1 0 0 0 -8 S1=0/1=0

S2 0 4 -6 0 1 0 0 2 S2=0/0=∞

S3 0 1 2 0 0 1 0 3 S3=0/0=∞

S4 0 -1 -2 0 0 0 1 -3 S4=0/0=∞

Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=0/0=∞

Z 1 0 -44/5 2/5 0 0 0 -16/5 Y2=44/17=2.58

S1 0 1 -7/5 1/5 0 0 0 -8/5 S1=2

S2 0 0 -2/5 -4/5 1 0 0 42/5 S2=0/0=∞

S3 0 0 17/5 -2/5 0 1 0 23/5 S3=0/0=∞

S4 0 0 -17/5 1/5 0 0 1 -23/5 S4=0/1=0

FORMATO CANONICO

MIN

Z=2X1+6X2

s.a

5y1 - 7y2 ≤ -8

-4y1 - 6y2 ≤ 2

y1 + 2y2 ≤ 3

y1 - y2 ≥ 3 -y1 - 2y2 ≤ -3

FORMATO ESTANDAR

Z=2X1+6X2+0S1+0S2+0S3+0S4

Z-2X1-6X2-0S1-0S2-0S3-0S4=0

s.a

5y1 - 7y2 +S1 = -8

4y1 - 6y2 +S2 = 2

y1 + 2y2 +S3 = 3

-y1 - 2y2 +S4 = -3

y1 , y2 ,S1 ,S2 ,S3 ,S4 ≥ 0

Page 118: temas desarrollados

111

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.-ITERACIÓN

3.-ITERACIÓN

V. Básicas

Y1=5/17

S2=152/17

Y2=23/17

COMPROBACIÓN

Z=2(5/17)+6(23/17)=148/17

-5(5/17)+7(23/17)≥8

8≥8

Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL Y1=0/0=∞

Z 1 0 -2 0 0 0 -2 6 Y2=-2/-17=0.11

Y1 0 1 2 0 0 0 -1 3 S1=0/1=0

S2 0 0 -14 0 1 0 -1 -10 S2=0/0=∞

S3 0 0 0 0 0 1 1 0 S3=0/0=∞

S4 0 0 -17 1 0 0 5 -23 S4=0/0=∞

Base Z Y1 Y2 S1 S2 S3 S4 SOL

Z 1 0 0 -2/17 0 0 -44/17 148/17

Y1 0 1 0 2/17 0 0 -7/17 5/17

S2 0 0 0 -14/17 1 0 -2/17 152/17

S3 0 0 0 0 0 1 1 0

Y2 0 0 1 -1/17 0 0 -5/17 23/17

MAX

Z=148/17

V. no Básicas

S1=0

S3=0

S4=0

Page 119: temas desarrollados

112

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3.3 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL.

Cuando un modelo no está en forma canónica puede seguirse la siguiente tabla de transformación:

PRIMAL DUAL FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZACIÓN MINIMIZACIÓN FUNCIÓN

OBJETIVO

VARIABLE ≥0 ≤0

LIBRE

≥ ≤ =

RESTRICCIÓN

RESTRICCIÓN ≤ ≥ =

≥0 ≤0

LIBRE VARIABLE

DUAL PRIMAL Tabla 2. Fuente: IPN-UPIICSA

Como se observa en la tabla de transformación anterior, en un momento dado se puede estar utilizando variables no-positivas (Xk≤0) y variables libres, esto es, variables sin restricción de signo (Xk≥0 ´0 Xk≤0); al definir al algoritmo Simplex siempre se trabaja con variables no-negativas y así debe continuar; por lo tanto, debe hacerse un ajuste al modelo poder manejar variables no-positivas y las variables libres.

EJEMPLO1.

MAX Z= 5X1+6X2

s.a

X1+9X2≤60

2X1+3X2≤45

5X1-2X2≤20

X2≤30

X1,X2≥0

Page 120: temas desarrollados

113

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

DIAGRAMA DE TRUCKER

X1 X2

Y1 1 9 ≤60

Y2 2 3 ≤45

Y3 5 -2 ≤20

Y4 0 1 ≤30

5 6 Tabla 3. Fuente: IPN-UPIICSA.

MIN G= 60Y1+45Y2+20Y3+30Y4

s.a

Y1+2Y2+5Y3≥5

9Y1+3Y2-2Y3+Y4≥6

Y1,Y2,Y3,Y4≥0

Observaciones de este caso en particular:

a) Que el problema dual tiene menor número de restricciones que el primario.

b) Cada restricción en un problema corresponde con una variable en el otro

problema.

c) Los elementos del lado derecho de las restricciones en un problema son los

coeficientes de la función objetivo en el otro problema.

d) Un problema busca maximizar y en otro minimizar.

e) El problema de maximización tiene signos ≤ en todas las restricciones,

tanto que el de minimización tiene signos ≥ en todas las restricciones.

f) Las variables en los dos problemas son no negativas.

Page 121: temas desarrollados

114

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

¿Qué sucede cuando se tiene una restricción en forma de igualdad?

EJEMPLO:

Obtenga el modelo Dual a partir de Primario.

PRIMAL

MAX Z=C1+C2

s.a

a11x1+a12x2=b1……………………..Rs 1

a21x1+a22x2=b2……………………..Rs 2

X1,X2≥0

Trabajando con la restricción Rs 1.

a11x1+a12x2≤b1

[a11x1+a12x2≥b1 ]x-1 para invertir el sentido de la desigualdad y dejarlo en forma canónica.

-a11x1-a12x2≤-b1

NOTA: Lo mismo pasa con Rs2. Se hace el mismo procedimiento.

Acomodando el modelo nos queda.

MAX Z=C1+C2

s.a

a11x1+a12x2≤b1

a21x1+a22x2≤b2

a21x1+a22x2≤b2

X1,X2≥0

Page 122: temas desarrollados

115

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

X1 X2

Y1 a11 a11 ≤b1

Y1 -a11 -a11 ≤b1

Y3 a21 a22 ≤b1

C1 C2

DUAL.

MIN G= b1-b1+b2

s.a

a11y+1-a11y-

1+a21y2≥C1

a12y+1-a12y-

1+a22y2≥C2

y+1,y-

1,y2≥0

FACTORIZANDO

MIN G=b1(y+1-y-

1)+b2y2

s.a

a11(y+1-y-

1)+a21y2≥C1

a12(y+1-y-

1)+a22y2≥C2

y+1,y-

1,y2≥0

Sustituyendo la expresión del paréntesis por y1 el modelo nos queda así:

MIN G=b1y1+b2y2

s.a

a11y1+a21y2≥C1

a12y1+a22y2≥C2

y+1 Libre, irrestricta, no restringida, y2≥0

Siempre que tengamos una restricción en el problema primario en forma (=) la variable dual correspondiente será dual y viceversa.

Page 123: temas desarrollados

116

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3.4 TRANSFORMACIÓN ALTERNA DUAL SIMPLEX.

Se aplica a problemas que tiene factibilidad dual inicial, es decir, que son óptimos pero infactibles simples.

La factibilidad dual se reconoce expresando las restricciones en la forma canónica (≤). La función objetivo puede ser de maximización o minimización.

Condiciones

FACTIBILIDAD

• La variable de salida es la variable básica que tiene el valor más negativo, en caso de empate procedemos de forma arbitraria, y si todas las variables básicas son no negativas, el procesos finaliza y la solución factible óptima se encuentra.

OPTIMALIDAD

• La variable de entrada es seleccionada de las variables no básicas, se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos y se toman de la ecuación pivote. Los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo.

Se escoge el cociente más próximo a 0 para minimización. No toma en cuenta cocientes asociados con denominadores positivos o ceros. Y si todos los denominadores son 0 o positivos, el problema no tiene solución factible, los empate se deciden arbitrariamente.

Cuando se tiene un caso de Max en el método Dual-Simplex, todo el procedimiento es exactamente igual si fuera Min, excepto que al definir la variable de entrada se hacen cocientes cuyos denominadores serán necesariamente negativos tomados de la ecuación pivote y los numeradores serán los números correspondientes en la función objetivo.

Se toman los valores absolutos de los cocientes (prescindiendo de los negativos) y se elige, para determinar la variable de entrada, el cociente más próximo a cero.

Page 124: temas desarrollados

117

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO

MIN

Z=2X1+X2

s.a

3x1+x2≥3

4x1+3x2≥6

x1+2x2≥8

x1,x2≥0

PASO1.- Se expresan las restricciones del problema únicamente las restricciones en la forma canónica:

MIN

Z=2X1+X2

s.a

-3x1-x2≤-3

-4x1-3x2≤-6

-x1-2x2≤-8

x1,x2≥0

PASO2.- Se añade variables de holgura positivas:

Zo=2x1+x2+0s1+0s2+0s3

Zo=-2x1-x2-0s1-0s2-0s3

s.a

-3x1 - x2 + S1 = -3 -4x1 - 3x2 + S2 = -6 -x1 - 2x2 + S3 = -8

NO SE PUEDE RESOLVER POR EL METODO SIMPLEX

Page 125: temas desarrollados

118

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

PASO 4.-

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 -3 -1 1 0 0 -3 S2 0 -4 -3 0 1 0 -6 S3 0 -1 -2 0 0 1 -8

V entrada V.salida

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2/3 0 0 -1/3 0 2 S1 0 -5/3 0 1 -1/3 0 -1 X2 0 -4/3 1 0 1/3 0 2 S3 0 5/3 0 0 -1/3 1 1

V. entrada V. salida

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 -2/5 1/5 0 12/5 X1 0 1 0 -3/5 -1/5 0 3/5 X2 0 0 1 4/5 3/5 0 6/5 S3 0 0 0 1 1 1 0

V. básicas V. no básicas

−2−4

= 0.5 −1−3

= 0.3

−2/3−5/3

= 0.4 −1/3−1/3

= 1

X1=3/5

X2=6/5

S3=0

S2=0

S1=0

Page 126: temas desarrollados

119

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Como hay factibilidad se puede aplicar el método Dual-Simplex.

PASO5.-Se define la variable de salida, se elige por el valor más negativo de la columna de solución.

PASO 6.- Se define la variable de entrada, para ello se formaran cocientes en los que los denominadores de la ecuación pivote y que pertenezcan a las variables no básicas. Los numeradores serán los números correspondientes a la función objetivo.

EJEMPLO.

El entrenador de Básquetbol de los Borregos del Tec. de Monterrey está interesado en preparar lo que ha bautizado como la ensalada vitamínica, la cual puede prepararse a partir de 5 verduras básicas disponibles y definidas como 1,2,3,4,5; se desea que la ensalada vitamínica contenga por lo menos 10 unidades de vitamina A y 25 unidades de vitamina C, la relación neta del contenido vitamínico y el costo de las verduras se proporcionan en la siguiente tabla.

VERDURAS

(UNIDADES DE VITAMINA/Kg)

VITAMINAS 1 2 3 4 5 A 2 0 3 4 1 C 1 2 2 1 3

COSTO 100 80 95 100 110

X= Cantidad de las diferentes verduras a emplear en la E.V.

X1= Cantidad de vitamina 1 a emplear en la E.V.

X2= Cantidad de vitamina 2 a emplear en la E.V.

X3= Cantidad de vitamina 3 a emplear en la E.V.

X4= Cantidad de vitamina 4 a emplear en la E.V.

X5= Cantidad de vitamina 5 a emplear en la E.V.

Page 127: temas desarrollados

120

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

MAX

Z=100X1+80X2+95X3+100X4+110X5

s.a

2X1 + 3X3 + 4X4 + X5 ≥ 10 X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + 3X5 ≥ 52 X1 , X2 , X3 , X4 , X5 ≥ 0

DUAL

MIN

F=10Y1+25Y2

s.a

2Y1 + Y2 ≤ 100 + 2Y2 ≤ 80

3Y1 + 2Y2 ≤ 95 4Y1 + Y2 ≤ 100 Y1 + 3Y2 ≤ 110 Y1 , Y2 ≥ 0

MAX

Z= 100X1+80X2+95X3+100X4+110X5-0S1-0S2-MW1-MW2

Z-100X1-80X2-95X3-100X4-110X5+0S1+0S2+MW1+MW2=0

2X1 + 3X3 + 4X4 + X5 -S1 + W1 = 10

X1 + 2X2 + 2X3 + X4 + 3X5 -S2 + W2 = 25

Xi≥0 S1,S2,W1,W2≥0

i=1,2,3,4,5

Page 128: temas desarrollados

121

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

AJUSTE

1 ITERACIÓN

2. ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol Z 1 -100 -80 -95 -100 -100 0 0 M M

W1 0 2 0 3 4 1 -1 0 1 1 W2 0 1 2 2 1 3 0 -1 0 0

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol

Z 1 -100-3M -80-2M -95-5M -100-5M 110-3M M M 0 0 -35

W1 0 2 0 3 4 1 -1 0 1 0 10

W2 0 1 2 2 1 3 0 -1 0 1 25

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol

Z 1 -100/3-5/3M -26/3+2/3M 65/5-7/3M -193/3-1/3M 0 M -110/3+4/3M 0 110/3+4/3M 2750/3

W1 0 5/3 -2/3 7/3 11/2 0 -1 1/3 1 -1/3 5/3

X5 0 1/3 2/3 2/3 1/3 1 0 -1/3 0 1/3 25/3

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol

Z 1 -380/11 -200/11 208/11 0 0 -190/11 -390/11 190/11+M 340/11+M 10600/11

X4 0 5/11 -2/11 7/11 1 0 -3/11 1/11 3/11 -1/11 -5/11

X5 0 2/11 8/11 5/11 0 1 1/11 -4/11 -1/11 -4/11 9/11

Page 129: temas desarrollados

122

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3 ITERACIÓN

4 ITERACIÓN

Conclusión.

Se necesitan 25 unidades de vitamina 1 y 40 unidades de vitamina 5 para preparar una ensalada vitamínica con 2500 unidades.

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol

Z 1 0 -32 67 76 0 -38 -24 38+M 25+M 980

X1 0 1 -2/3 7/5 11/5 0 -3/5 1/5 3/5 -1/5 1

X5 0 0 4/5 1/5 -2/5 1 1/5 -2/5 -1/5 2/5 8

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 S1 S2 W1 W2 Sol

Z 1 0 120 105 0 190 0 -100 M 100+M 2500

X1 0 1 2 2 1 3 0 -1 0 1 25

X5 0 0 4 1 2 5 1 -2 -1 2 40

Page 130: temas desarrollados

123

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO.

MAX Z=2X1+5X2 MIN W=3Y1+4Y2+6Y3

X1 - X2 ≤ 3

-2X1 - X2 = 4

-X1 + 3X2 ≤ 6 X1 ≤ 0 X2 Libre o irrestricta

MIN

Z=3Y1+4Y2+6Y3+0S1+MW1

Z-3Y1-4Y2-6Y3-0S1-MW1

s.a.

TABLON

Y1 - 2Y2 - 6Y3 ≤ 2

Y1 - Y2 + 3Y3 = 5

Y1 , Y3 ≥ 0 Y2 = 0

Y1 - 2Y2 + 6Y3 + S1 = 2

-Y1 - Y2 + 3Y3 + W1 = 5 Y1 , Y3 ≥ 0 Y2 Libre

Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL

Z 1 -3 -4 -6 0 -M 0

S1 0 1 -2 1 1 0 2

W1 0 -1 -1 3 0 1 5

MODELO DUAL MODELO PRIMAL

Page 131: temas desarrollados

124

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

AJUSTE

1.- ITERACIÓN

V. Básicas

S1=11/3

Y3=5/3

Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL

Z 1 -3-M -4-M -6+3M 0 -M 5M

S1 0 1 -2 1 1 0 2 =2/1=2

W1 0 -1 -1 3 0 1 5 =5/3=1.66

Base Z Y1 Y2 Y3 S1 W1 SOL

Z 1 -5 -6 0 0 2-M 10

S1 0 2/3 -7/3 0 1 1/3 11/3

W1 0 -1/3 -1/3 1 0 1/3 5/3

Z=10

V. no Básicas

Y1=0

Y2=0

W1=0

Page 132: temas desarrollados

125

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3.5 ANALISIS DE SENSIBILIDAD.

El método de modelo de programación lineal es estático y por tal motivo puede resultar inoperante con el transcurso del tiempo; es decir, los cambios que ocurren en cualquier economía dan lugar a que precios, costos, recursos disponibles o requeridos ya no se puedan considerar para otro tiempo. Estos parámetros por lo general son valores estimados sin la deseable precisión debido a las dificultades normales para conseguir registros confiables.

Una solución es óptima solo en la que se refiere al modelo específico que se usa para representar un problema real estudiado, pero no puede ser confiable hasta verificar un buen comportamiento al hacer cambios en sus parámetros. El análisis de sensibilidad tiene el propósito de investigar el defecto sobre la solución óptima entregada por el método simplex con los cambios a los valores originales.

En tal caso la programación lineal tiene el recurso de revisar la solución óptima del problema para ajustarla a lo que juzga valido por los responsables de la decisión o bien en respuesta a cambios (solo discretos, pues los cambios continuos forman parte de la programación paramétrica no incluida aquí) del entorno económico; por tal motivo a este análisis también se le conoce como análisis de la paso optimalidad.

En general se pueden presentar cambios que no afecten la optimalidad de la solución obtenida pero también ocurrir que se pierda esa condición. Por tal motivo es importante verificar los parámetros sensibles, que al cambiar de valor, se pierde el óptimo en este caso, es posible calcular el intervalo de valores permitidos que no pierdan lo óptimo. También se puede determinar el intervalo para conservar la factibilidad (los valores no negativos de una variable).

3.5.1. Forma Matricial de la Tabla Simplex y las Relaciones Vectoriales

Implicadas.

Donde:

Z= Al valor de la función objetivo.

A= A las matriz de coeficientes tecnológicos conforme las restricciones.

b= Es un vector columna de términos independientes, conforme a las restricciones.

C= Es un vector renglón de coeficientes, conforme a la función objetivo.

Page 133: temas desarrollados

126

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

CB= Es un vector renglón de coeficientes de variables de función objetivo conforme transpuesto se ubiquen en la columna de base (básicas en la tabla simplex).

Y= Es un vector renglón de variables duales (precios sombra) los que se localizan como coeficientes en las variables de holgura y/o artificiales del renglón Z.

XB= Es un vector columna con valores de variables básicas en la columna de solución.

B-1= Es la inversa de una matriz B formada por las columnas aj de coeficientes aij de restricciones, conforme a variables básicas (columna de base) en la tabla simplex.

N= Matriz de coeficientes tecnológicos, no básicos.

XN= Es el vector de variables no básicas.

1= Matriz identidad.

0= Vector cero.

3.5.1.1. Cambio en el vector A.

Cambios en la matriz A de coeficientes tecnológicos de restricciones en variables no básicas.

Los cambios en A para variables básicas resultan en cálculos muy complicados siendo mejor recalcular con el simplex para cambio de coeficientes aij de la matriz

A de restricciones en variables no básicas solo interesa manejar los aij de ellos, pues el resto queda igual y se puede así:

1. ETAPA

Usando la fórmula de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵−1𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = 𝑌𝑌𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 se revisa si el coeficiente indicador de 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo, si no ocurre el cambio de signo en tal coeficiente no es necesario aplicar la 2 etapa ya que el cambio propuesto no afecta la optimalidad del problema. Cuando el coeficiente 𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 cambia de signo se entiende que el cambio propuesto, si provoca perdida de optimalidad de la solución que se está realizando y en tal caso se procede a la siguiente etapa.

Page 134: temas desarrollados

127

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2. ETAPA

Se aplica la fórmula de de 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵−1𝐴𝐴 con la cual se calcula la nueva columna 𝑎𝑎∗𝑗𝑗. Se aplica el simplex hasta re optimizar dado el siguiente modelo de programación lineal suponga que el coeficiente -1 cambia a 2.

EJEMPLO 1:

Min Z=3X1-X2+4X3

s.a

X1 - X3 ≥ 8 2X2 + X3 = 20

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Min Z=3X1-X2+4X3-0S1+MW1+MW2

X1 - X3 - S1 + W1 = 3

2X2 + X3 + W2

≤ 4

X1 , X2 , X3 , S1 , W1 , W2 ≥ 0

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3M 1+2M -4 -M 0 0 28M

W1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 W2 0 0 2 1 0 0 1 20

1.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3M 0 -9/2-M -M 0 -1/2-M -10+8M

W1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 X2 0 0 0 1/2 0 0 1/2 10

Page 135: temas desarrollados

128

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 -15/2-M -3 3-M -1/2-M 14 X1 0 1 0 -1 -1 1 0 8 X2 0 0 1 1/2 0 0 1/2 10

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = �3,−12� � �21� − 4 = 3

2� ≥ 0 ∴ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜𝑖𝑖𝑚𝑚𝑎𝑎𝑜𝑜𝑖𝑖𝑝𝑝𝑎𝑎𝑝𝑝

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = �3,−12� � �1 0 2

0 2 1� −[3 −1 4] = �

3 0 60 −1 −1

2�� =

�0 0 32� � ≥ 0

ETAPA 2 𝐴𝐴∗ = 𝐵𝐵−1𝐴𝐴

�1 00 1

2�� �1 0 2

0 2 1� = �1 0 20 1 1

2�� = �

1 00 1

2�� �21� = �

21

2��

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 0 0 3/2 -3 3-M -1/2-M 14 X1 0 1 0 2 -1 1 0 8 X2 0 0 1 1/2 0 0 1/2 10

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 W2 Sol Z 1 -3/4 0 0 -9/4 9/4-M -1/2-M 8 X3 0 1/2 0 1 -1/2 1/2 0 4 X2 0 1/4 1 0 1/4 -1/4 1/2 8

Page 136: temas desarrollados

129

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 2

Suponga que el vector de la columna 𝑎𝑎1[2,6,2] cambia a 𝑎𝑎1[6,6,−2]

MIN Z=5X1-6X2-7X3

s.a

2X1 + 10X2 - 6X3 ≥ 30

6X1 - 3X2 + X3 ≤ 12 2X1 + 2X2 + 2X3 = 12 X1 , X2 , X3 ≥ 0

Z=5X1-6X2-7X3-0S1+0S2+MW1+MW2

Z-5X1+6X2+7X3+0S1-0S2-MW1-MW2=0

2X1 + 10X2 - 6X3 - S1 + W1 = 30 6X1 - 3X2 + X3 + S2 = 12 2X1 + 2X2 + 2X3 + W2 = 12

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5+4M 6+12M 7-4M -M 0 0 0 42M

W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12

1.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -12+4M -1+16M 0 -M 0 0 -7/2+2M -42+66M

W1 0 8 16 0 -1 1 0 3 66 S2 0 5 -4 0 0 0 1 -1/2 6 X3 0 1 1 1 0 0 0 1/2 6

Page 137: temas desarrollados

130

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 23/2 0 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 1/2 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 7 0 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 X3 0 1/2 0 1 1/16 -1/16 0 5/16 15/8

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝑌𝑌𝑎𝑎 − 𝐶𝐶 = �1 16� 0 −5316� � �

66−2

� = 2 > 0 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑂𝑂𝑃𝑃𝑂𝑂𝑃𝑃𝑂𝑂𝐴𝐴𝑂𝑂𝑃𝑃𝑃𝑃𝐴𝐴𝑃𝑃

FASE 2

⎣⎢⎢⎡

116� 0 3

16�1

4� 1 14�

−116� 0 5

16� ⎦⎥⎥⎤ �

66−2

� = �07−1

REOPTIMIZO

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 2 0 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 0 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 7 0 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 X3 0 -1 0 1 1/16 -1/16 0 5/16 15/8

3.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 0 1/112 -1/112-M -2/7 -379/112-M -2481/56 X2 0 0 1 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 1 0 0 -1/28 1/28 1/7 1/28 45/14 X3 0 0 0 1 3/112 -3/112 1/7 39/112 285/56

Page 138: temas desarrollados

131

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

4.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 0 0 -1/3 0 -M -1/3 -7/2-M -46 X2 0 0 1 7/3 0 0 1/3 1 16 S2 0 1 0 4/3 0 0 1/3 1/2 10 X3 0 0 0 112/3 1 -1 16/3 13 190

3.5.1.2. Cambio en el vector B

A partir de la definición por producto de matrices y vectores de una tabla simplex óptima se obtiene.

(CB B-1 N-CN)≥0 y B-1b≥0

Para el vector de variables básicas optimas XB*=B-1b. Así el análisis de

sensibilidad determinara los intervalos de los roles para cada parámetro en el modelo que permita mantener al conjunto de variables básicas en estas condiciones.

Para el análisis de sensibilidad se requiere saber la composición matricial de la tabla simplex y las relaciones vectoriales implicadas. La localización de estos vectores y matrices en la tabla forman parte de la estructura matricial.

Cuando se modifica el valor de las componentes del vector de recursos b a (b+Δb), sólo debe verificarse que se siga mantenimiento la factibilidad de las variables básicas, esto es, al hacer el cambio se debe tener que B-1(b+Δb)≥0

A partir de la ley distributiva para la suma se tiene

(𝑩𝑩−𝟏𝟏𝒃𝒃 + 𝑩𝑩−𝟏𝟏∆𝒃𝒃) ≥ 0

Este es un sistema de inecuaciones que nos permite determinar todas las posibles combinaciones que permite determinar todas las posibles combinaciones para los cambios en b.

De esta última expresión, después de realizar las correspondientes operaciones, se define Δb tal que permita en todo caso mantener como ni-negativas a todas las variables óptimas en XB.

Page 139: temas desarrollados

132

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Analizando sólo los cambios de uno de los recursos a la vez se tiene:

∆𝑏𝑏=

⎜⎛∆𝑏𝑏1

0..0 ⎠

⎟⎞

,∆𝑏𝑏=

⎜⎛

0∆𝑏𝑏𝑖𝑖

.

.0 ⎠

⎟⎞

,∆𝑏𝑏= �

0...

∆𝑏𝑏𝑚𝑚

Siguiendo estas condiciones para mantener la factibilidad de la solución básica óptima se encuentra el rango de valores para cada recurso b1, la solución es el rango de valores que satisfacen.

(𝐵𝐵−1𝑏𝑏 + 𝐵𝐵−1∆𝑏𝑏) ≥ 0

EJEMPLO 1:

Z=5x1+3x2+0s1+0s2

Z-5x1-3x2-0s1-0s2=0

s.a

3x1 + 5x2 + S1 = 15 5x1 + 2x2 + S2 = 10

x1,x2,s1,s2≥0

Producto A B disponible utilidad 5 3

C1 C2 Personal 5 5 15

T. máquina 5 2 10

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 -5 -3 0 0 8 S1 0 3 5 1 0 15 15/3 = 5 S2 0 5 2 0 1 10 10/5 = 2

1 ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 -1 0 1 10 S1 0 0 19/5 1 -3/5 9 =9/19/5=2.3 X1 0 0 2/5 0 1/5 2 =2/2/5=2

b

Page 140: temas desarrollados

133

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2. ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 0 5/19 16/19 235/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 45/19

X1 0 1 0 -2/19 5/19 20/19 ¿Qué pasaría si trabajo con 5 personas. Maximizar para producto A y producto B y que el Tiempo de Máquina sean 5 horas?

b+Δb 5 personas

𝐵𝐵−1 = �

519

−319

−219

519

𝑋𝑋𝐵𝐵� = 𝐵𝐵−1(𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = �

519

−319

−219

519

� �55� = 2 × 1

𝑋𝑋𝐵𝐵� = �

2519

−1519

−1019

2519

� = �10

19�15

19�� ≥ 0

Zo= CBXB

𝑍𝑍𝑜𝑜 = [3,5] �

10191519

𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏 �1020�

𝐵𝐵−1 �5

19� −319�

−219� 5

19��

Es lo único que se toma de la solución factible.

Page 141: temas desarrollados

134

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

𝑋𝑋𝐵𝐵� = 𝐵𝐵−1(𝑏𝑏 + ∆𝑏𝑏) = �

519

−319

−219

519

� �1020� = �

5019� −60

19�−20

19� 10019�� = �

−1019�

8019�

� ≥ 0

Aplicar Dual Simplex.

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 0 5/19 16/19 X2 0 0 1 5/19 -3/19 -10/19 X1 0 1 0 -2/19 5/19 80/19

3 ITERACIÓN.

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 -1 0 1 S1 0 0 19/3 1 -3/5 -2 X1 0 1 2/5 0 1/5 4

BASE Z X1 X2 S1 S2 Sol Z 1 0 16/3 5/3 0 S2 0 0 -19/3 -5/3 1 10/3 X1 0 1 5/3 1/3 0 10/3

𝑍𝑍𝑜𝑜 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋�𝐵𝐵1 = [𝑆𝑆2 ,𝑋𝑋1] �𝑆𝑆2𝑋𝑋1� = [0,5] �

103�

103�� = �0 + 50

3� � = 16.6

𝑠𝑠1 =5

195

19

𝑠𝑠2 =1619−319

𝑋𝑋2 =1

−195

= 0.26

𝑠𝑠2 =1−35

= 1.6

Se toma este porque no se hace cíclico

𝑍𝑍𝑜𝑜 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵−1

𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋�𝐵𝐵

Page 142: temas desarrollados

135

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO 2:

Z=2X1+X2

C1 C2

s.a

X1 ≤ 6 b1 X2 ≤ 4 b2

6X1 + 8X2 ≤ 48 b3

C3 C4 C5

Z=2X1+X2+0S1+0S2+0S3

Z-2X1-X2-0S1-0S2-0S3=0

x1 + S1 = 6 x2 + S2 = 4

6x1 + 8x2 + S3 = 48 x1 , x2 , S1 , S2 , S3 ≥ 0

Tablón

1.-ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 -2 -1 0 0 0 0 S1 0 1 0 1 0 0 6 =6/1=6 S2 0 0 1 0 1 0 4 =4/0=∞ S3 0 6 8 0 0 1 48 =48/6=8

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 -1 2 0 0 12 X1 0 1 0 1 0 0 6 =6/0=∞ S2 0 0 1 0 1 0 4 =4/1=4 S3 0 0 8 -6 0 1 12 12/8=1.5

Page 143: temas desarrollados

136

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

B-1

B-1 I

1 0 03

4� 1 −18 �

−34� 0 1

8�� �

1 0 00 1 00 0 1

� = �

1 0 00 1 −1

8�

0 0 18�� �

1 0 0−3

4� 1 03

4� 0 1�

�1 0 00 1 00 0 1

� �1 0 00 1 16 0 8

� 𝑋𝑋𝐵𝐵 � = 𝐵𝐵−1𝑏𝑏

I B 𝑏𝑏 = 𝑥𝑥𝐵𝐵�𝐵𝐵−1

𝑏𝑏 �1 0 00 1 16 0 8

� �

65

2�3

2�� = �

6 0 00 5

2�3

2�36 0 12

� = �64

48�

𝐵𝐵−1∆𝑏𝑏 ≥ −𝐵𝐵−1𝑏𝑏

Para el recurso 1. (Análisis de sensibilidad) X1≤6……….R1

1 0 03

4� 1 −18�

−34� 0 1

8�� �∆𝑏𝑏1

00� ≥ �

65

2�3

2�� -∞ -6 −10

3 2 ∞

∆𝑏𝑏1 0 034∆𝑏𝑏1 0 0

−34∆𝑏𝑏1 0 0

� ≥ �

−6−5

2�−3

2�� ≈ −�

∆𝑏𝑏134∆𝑏𝑏1

−34∆𝑏𝑏1

� ≥

−6−52−32

=

Para el recurso 2 (X≤4) R2

BASE Z X1 X2 S1 S2 S3 Sol Z 1 0 0 1/2 0 1/8 27/2 X1 0 1 0 1 0 0 6 B S2 0 0 0 3/4 1 -1/8 5/2 X2 0 0 1 -3/4 0 1/8 3/2

𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵� ∙ 𝐵𝐵

∆𝑏𝑏1 ≥ −6

∆𝑏𝑏1 ≥ −−5

2�3

4��

∆𝑏𝑏1 ≥103

∆𝑏𝑏1 ≤ 2 b1[-∞,8]

Page 144: temas desarrollados

137

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

1 0 03

4� 1 −18�

−34� 0 1

8�� �

0∆𝑏𝑏1

0� ≥ −�

65

2�3

2�� -∞ -2 -1 0 1 2

�0 0 00 ∆𝑏𝑏2 00 0 0

� ≥ �

−6−5

2�−3

2�� ≈ �∆𝑏𝑏2� ≥

−6−52−32

=

Para el recurso 3 (6X1+8X2≤48)

1 0 03

4� 1 −18�

−34� 0 1

8�� �

00∆𝑏𝑏3

� ≥ −�

65

2�3

2�� -∞ 12 -6 0 20

0 0 00 0 −1

8� ∆𝑏𝑏3

0 0 18� ∆𝑏𝑏3

� ≥ �

−6−5

2�−3

2�� ≈ −�

∆𝑏𝑏134∆𝑏𝑏1

−34∆𝑏𝑏1

� ≥ �

0− 1

8𝑏𝑏3

18𝑏𝑏3

� =

Qué pasaría si el vector b valiera 20, 5, 14 será óptimo y factible.

𝑏𝑏 �205

14� 𝑥𝑥�𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1𝑏𝑏 𝑥𝑥�𝐵𝐵 �

1 0 03

4� 1 −18�

−34� 0 1

8�� �

205

14�

𝑥𝑥�𝐵𝐵 �

20 0 015 5 −7

4�

−15 0 74�� �

2073

4�−53

4�� ≥ 0 𝑝𝑝𝑑𝑑𝑎𝑎𝑜𝑜 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑚𝑚𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑥𝑥

0 ≥ −6

∆𝑏𝑏2 ≥ − 52�

0 ≥32

∆𝑏𝑏1𝜀𝜀�−52� ,∞ +� b2[4-5/2,-∞]

0 ≥ −6

∆𝑏𝑏3 ≥ −−5

2�1

8��

∆𝑏𝑏3 ≥ 20

∆𝑏𝑏3 ≤ −12

Page 145: temas desarrollados

138

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

3.- ITERACIÓN. (X dual simplex xK salió ≤ a 0)

TABLON

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL X1=0/0=∞ Z 1 0 0 1/2 0 1/8 0 X2=0/1=0 X1 0 1 0 1 0 0 20 S1=0.5/0.75=-0.6 S2 0 0 0 3/4 1 -1/8 73/4 S2=0/0=∞ X2 0 0 1 -3/4 0 1/8 -53/4 S3=0.125/0.125=1

4.- ITERACIÓN.

Base Z X1 X2 S1 S2 S3 SOL Z 1 0 2/3 0 0 5/24 X1 0 1 4/3 0 0 1/6 7/3 S2 0 0 1 0 1 0 5 X2 0 0 -4/3 1 0 -1/6 53/3

Calculando la función objetivo Z.

𝑍𝑍 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋�𝐵𝐵

𝑍𝑍 = [𝑋𝑋1,𝑆𝑆2, 𝑆𝑆1] �𝑋𝑋1𝑆𝑆2𝑆𝑆1

𝑍𝑍 = [2,0,0] �

73�

553

3�� = �

143

+ 0 + 0� = 143�

EJEMPLO 3:

MAX Z=2X1+5X2

s.a

X1-X2≤3

-2X1-X2=4

-X1+3X2≤6

X1,X2≥0

Análisis de sensibilidad

Page 146: temas desarrollados

139

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

MAX

Z=2X1+5X2+0S1-MW1+OS2

Z-2X1-5X2-0S1+MW1-OS2=0

X1 - X2 + S1 = 3 -2X1 - X2 + W1 ≤ 4 -X1 + 3X2 + S2 ≥ 6

Tablón Método de la gran M

AJUSTE

1.- ITERACIÓN

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -2 -5 0 M 0 0 S1 0 1 -1 1 0 0 3 W1 0 -2 -1 0 1 0 4 S2 1 3 0 0 1 6

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -2+2M -5+M 0 0 0 4M S1 0 1 -1 1 0 0 3 W1 0 -2 -1 0 1 0 4 S2 1 3 0 0 1 6

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 -11/3+2/3M 0 0 0 5/3-1/3M 10-6M S1 0 2/3 0 1 0 1/3 5 W1 0 -2/3 0 0 1 1/3 6 X2 -1/3 1 0 0 1/3 2

Page 147: temas desarrollados

140

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

2.- ITERACIÓN

No tiene solución factible pues se vuelve cíclica y no se puede realizar análisis de sensibilidad en el modelo primal.

3.5.1.3. Cambio en el vector C.

Si es la modificación de un costo básico se utilizará (CB+ΔC), de tal forma que en el renglón cero de la tabla simplex se siga manteniendo la propiedad [(CB+ΔC)B-1N-CN]≥0; de forma similar al utilizar la ley distributiva se obtiene:

(𝑪𝑪𝐵𝐵𝑩𝑩−𝟏𝟏𝑵𝑵 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝑪𝑪𝑩𝑩−𝟏𝟏𝑵𝑵) ≥ 0

Este sistema encuentra todo el espacio de posibles soluciones para los cambios simultáneos en las componentes del vector de costos básicos; analizando sólo el cambio de cada uno de los costos básicos a la vez, se tiene:

∆𝑐𝑐= (∆𝑐𝑐1, 0 … … … 0),∆𝑐𝑐= �0,∆𝑐𝑐𝑗𝑗 , … . .0�,∆𝑐𝑐= (0, … … 0.∆𝑐𝑐𝑐𝑐 )

Siguiendo estas condiciones para mantener las condiciones óptimas de la solución básica se encuentra el rango de valores para cj.

La solución es el rango de valores que satisfacen

(𝒄𝒄𝑩𝑩𝑩𝑩−𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝑵𝑵 + ∆𝒄𝒄𝑩𝑩−𝟏𝟏𝑵𝑵) ≥ 𝟎𝟎

BASE Z X1 X2 S1 W1 S2 SOL Z 1 0 0 11/2-7/2M 0 7/2-3/2M 25/2-47/2M X1 0 1 0 3/2 0 1/2 15/2 W1 0 0 0 7/2 1 3/2 47/2 X2 0 1 1/2 0 1/2 9/2

Page 148: temas desarrollados

141

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJEMPLO:

𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 − 0𝑆𝑆1 + 0𝑆𝑆2 + 𝑂𝑂𝑊𝑊1 + 𝑂𝑂𝑊𝑊2

𝑍𝑍 − 5𝑋𝑋1 + 6𝑋𝑋2 + 7𝑋𝑋3 + 0𝑆𝑆1 − 0𝑆𝑆2 −𝑂𝑂𝑊𝑊1 −𝑂𝑂𝑊𝑊2

2X1 + 10X2 - 6X3 + S1 + W1 = 30 6X1 - 3X2 + X3 + S2 = 12 2X1 + 2X2 + 2X3 + W2 = 12

Xi≥0 Sj≥0 WK≥0

TABLON

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5 6 7 0 -M 0 -M 0

W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12

AJUSTE

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -5+4M 6+12M 7-4M -M 0 0 0 42M

W1 0 2 10 -6 -1 1 0 0 30 S2 0 6 -3 1 0 0 1 0 12 W2 0 2 2 2 0 0 0 1 12

Page 149: temas desarrollados

142

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

1.- ITERACIÓN

2.- ITERACIÓN

N B-1

𝑋𝑋𝐵𝐵 = [𝑋𝑋2, 𝑆𝑆2,𝑋𝑋3]

𝐶𝐶𝐵𝐵 = [−6,0,−7]𝐶𝐶𝑜𝑜𝑠𝑠𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑠𝑠𝑖𝑖𝑐𝑐𝑜𝑜

𝑋𝑋𝑁𝑁 = [𝑋𝑋1,𝑆𝑆2,𝑊𝑊1,𝑊𝑊2]

𝐶𝐶𝑁𝑁 = [0,0,0,0]

∆𝐶𝐶𝐵𝐵−1𝑁𝑁 ≥ [𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵−1𝑁𝑁 − 𝐶𝐶𝑁𝑁] 𝐵𝐵−1 = �1/16 0 3/161/4 1 1/4

−1/16 0 5/16�

𝑁𝑁 = 𝑚𝑚 × (𝑛𝑛 −𝑚𝑚)

𝑁𝑁 = 3 × (7 − 3)

𝑁𝑁 = 3 × 4

B-1N

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 -12+8M -1+16M 0 -M 0 0 -7/2+2M -42+66M

W1 0 8 16 0 -1 1 0 3 66 S2 0 5 -4 0 0 0 1 -1/2 6 X3 0 1 1 1 0 0 0 1/2 6

BASE Z X1 X2 X3 S1 W1 S2 W2 Sol Z 1 23/2 -1+16M 0 -1/16 1/16-M 0 -53/16-M -303/8 X2 0 1/2 16 0 -1/16 1/16 0 3/16 33/8 S2 0 7 -4 0 -1/4 1/4 1 1/4 45/2 X3 0 1/2 1 1 1/16 -1/16 0 5/16 15/8

𝑁𝑁 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡12

1 0 7 0 0 12

0 1

−116−141

16 ⎦⎥⎥⎥⎥⎤

Page 150: temas desarrollados

143

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

⎣⎢⎢⎡

116� 0 3

16�1

4� 1 14�

−116� 0 5

16� ⎦⎥⎥⎤

⎣⎢⎢⎡1 2� 1 0

7 0 01

2� 0 1

−116�

−14�

116� ⎦

⎥⎥⎤

=

⎣⎢⎢⎡1

8�1

16� 316�

14�

14�

14�

18�

−116� 5

16�

1128�

−14�

3128� ⎦

⎥⎥⎤

[−𝟔𝟔 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕]

⎣⎢⎢⎡𝟏𝟏𝟖𝟖�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟔𝟔�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� ⎦

⎥⎥⎤

= [−𝟔𝟔 𝟖𝟖� + 𝟎𝟎 − 𝟕𝟕𝟖𝟖� − 𝟔𝟔

𝟏𝟏𝟔𝟔� + 𝟎𝟎 + 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟏𝟏𝟖𝟖

𝟏𝟏𝟔𝟔� + 𝟎𝟎+ 𝟑𝟑𝟓𝟓𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟔𝟔

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓𝟓� + 𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

= [−138� 1 16� − 53

16� − 27128� ]

�−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟓𝟓𝟑𝟑𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟏𝟏𝟕𝟕

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� � − [𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟎𝟎,𝟎𝟎] = −𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� 𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟓𝟓𝟑𝟑𝟏𝟏𝟔𝟔� − 𝟏𝟏𝟕𝟕

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

Análisis de sensibilidad para el costo 2

[∆𝑪𝑪𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎]

⎣⎢⎢⎡𝟏𝟏𝟖𝟖�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟔𝟔�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� ⎦

⎥⎥⎤

≥ −�−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� ,𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,−𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,−𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� �

�𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� ∆𝑪𝑪𝟏𝟏,−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ∆𝑪𝑪𝟏𝟏,𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ∆𝑪𝑪𝟏𝟏,𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� ∆𝑪𝑪𝟏𝟏� ≥ 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟖𝟖� ,−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

18� ∆𝐶𝐶2 ≥ 13

8� 3 16� ∆𝐶𝐶2 ≥ 5316�

∆𝐶𝐶2 ≥ 13 ∆𝐶𝐶2 ≥ 17.6

116� ∆𝐶𝐶2 ≥ −1

16� 1 126� ∆𝐶𝐶2 ≥ 27128�

∆𝐶𝐶2 ≥ −1 ∆𝐶𝐶2 ≥ 27

-∞ -1 0 13 17.6 27 ∞

𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 − 6𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3

Page 151: temas desarrollados

144

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

∆𝐶𝐶2 ≥ 27

[27,∞+]

Análisis de sensibilidad para el costo 3

[𝟎𝟎 𝟎𝟎 ∆𝑪𝑪𝟏𝟏]

⎣⎢⎢⎡𝟏𝟏𝟖𝟖�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟑𝟑

𝟏𝟏𝟔𝟔�𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟏𝟏𝟔𝟔� 𝟓𝟓

𝟏𝟏𝟔𝟔�

𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

−𝟏𝟏𝟒𝟒�

𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� ⎦

⎥⎥⎤

≥ −�−𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� ,𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,−𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,−𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� �

�𝟏𝟏𝟑𝟑 𝟖𝟖� ∆𝑪𝑪𝟑𝟑,−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ∆𝑪𝑪𝟑𝟑,𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ∆𝑪𝑪𝟑𝟑,𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖� ∆𝑪𝑪𝟑𝟑� ≥ 𝟏𝟏𝟑𝟑𝟖𝟖� ,−𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,𝟓𝟓𝟑𝟑 𝟏𝟏𝟔𝟔� ,𝟏𝟏𝟕𝟕 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟖𝟖�

18� ∆𝐶𝐶3 ≥ 13

8� 1 16� ∆𝐶𝐶3 ≥ −116�

∆𝐶𝐶3 ≥ 13 ∆𝐶𝐶3 ≥ 1

516� ∆𝐶𝐶3 ≥ 53

16� 3 128� ∆𝐶𝐶2 ≥ 27128�

∆𝐶𝐶3 ≥ 10.6 ∆𝐶𝐶3 ≥ 9

-∞ 0 1 9 10 13 ∞

∆𝐶𝐶3(−∞, 1) ∪ (13,∞ +)

𝐶𝐶3 = (−∞,−6) ∪ (6,∞ +)

Haciendo lo del costo 3, restándole a es -7 para obtener el más óptimo.

Page 152: temas desarrollados

145

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X5, X6, X7 son variables de holgura.

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴

1𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴

1𝐵𝐵𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵

B-1 I

�1 −1

2�3

4�0 2 10 0 1

� �1 0 00 1 00 0 1

�1 0 10 1 1

2�0 0 1

� �1 1

4� 0

0 12� 0

0 0 1

�1 0 00 1 00 0 1

� �1 1

4� −1

0 12�

−12�

0 0 1

A=BA

𝐴𝐴 = �1 1

4� −1

0 12�

−12�

0 0 1

� �1 −2 15

2�1 −24 60 0 0

𝐴𝐴 = �

54� −8 −1

12� −12 −1

2� 0 0 1

930�

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 SOL Z 1 0 2 0 21/2 0 3/2 5/4 5/4 X5 0 1 -2 0 15/2 1 -1/2 3/4 3/4

X1 0 1 -24 0 6 0 2 1 1 X3 0 0 0 1 0 0 0 1 1

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵−1 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵

𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1𝑏𝑏

Page 153: temas desarrollados

146

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 = �0 32�

54� � �

1 14� −1

1 12�

−12�

0 0 1

𝐶𝐶𝐵𝐵 = �0 34�

12� �

𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �0 34�

12� � �

34�

11� = 5

4�

𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �1 1

4� −1

0 12�

−12�

0 0 1

� �3

4�11� = �

001�

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶

�0 2 0 212� � = �0 3

2�5

4� � �

54� −8 −1

12� −12 −1

2�0 0 1

930� − 𝐶𝐶

�0 2 0 212� � = �3 4� −18 1 2�

92� � − 𝐶𝐶

𝐶𝐶 = �3 4� −18 1 2�9

2� � − �0 2 0 212� �

𝐶𝐶 = �3 4� −20 1 2� −6�

Z=3/4X1-20X2+1/2X3-6X4

s.a

5/4X1 - 8X2 - X3 + 9X4 ≤ 0 1/2X1 - 12X2 - 1/2X3 + 3X4 ≤ 0

X3 ≤ 1 X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0

Page 154: temas desarrollados

147

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

Completa la siguiente tabla óptima y obtenga el modelo original sabiendo X4, X5 son variables de holgura de la primera y segunda restricción.

A=B-1ª B-1

1𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 → 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐴𝐴

1𝐵𝐵𝑏𝑏 = 𝑋𝑋𝐵𝐵 → 𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵

B-1 I

�1

2� 0

0 13�� �1 0

0 1�

I B-1

�1 00 1� �

2 00 3�

𝐴𝐴 = 𝐴𝐴𝐵𝐵 = �2 00 3� �

1 0 12�

0 1 23��

𝐴𝐴 = �2 0 10 3 2�

𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 = �2 13� � �2 0

0 3�

𝐶𝐶𝐵𝐵 = [4 1]

𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = [4,1] �2520� = [100 + 20] = 120

𝑏𝑏 = 𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵 = �2 00 3� �

2520� = �50

60�

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑗𝑗 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 = �0 0 53� � = �2, 1

3� � �2 0 10 3 2�

BASE Z X1 X2 X3 X4 X5 SOL Z 1 0 0 5/3 2 1/3 120 X1 0 1 -0 1/2 1/2 0 25

X2 0 0 1 2/3 0 1/2 20

𝑍𝑍𝑗𝑗 − 𝐶𝐶𝑖𝑖 = 𝜋𝜋𝐴𝐴 − 𝐶𝐶 𝜋𝜋 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝐵𝐵−1 𝐶𝐶𝐵𝐵 = 𝜋𝜋𝐵𝐵 𝑍𝑍0 = 𝐶𝐶𝐵𝐵𝑋𝑋𝐵𝐵

𝑋𝑋𝐵𝐵 = 𝐵𝐵−1𝑏𝑏

Page 155: temas desarrollados

148

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

�0 0 53� � = �4 1 8

3� � − 𝐶𝐶

𝐶𝐶 = �4 1 83� � − �0 0 5

3� � = [4 1 1]

Z=4X1+X2+X3

s.a

2X1 + X3 ≤ 50 3X2 + 2X3 ≤ 60

X1 , X2 , X3 ≥ 0

Page 156: temas desarrollados

149

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

EJERCICIOS V. Dualidad.

Instrucciones: Dado el Modelo Primal obtener su Modelo Dual y resolverlo por el método apropiado.

1.- Modelo Primal

Max

Z=2X1+X2

s.a

X1+5X2≤10

X1+3X2≤6

2X1+2X2≤8

1.- Min

Z=10Y1+6Y2+8Y3

s.a

Y1+Y2+2Y3≥2

5Y1+3Y2+2Y3≥1

Y1,Y2≥0

Z=8

Y1=0

Y2=2

Y3=1

2.- Modelo Primal

Min

Z=2X1+X2

s.a

X1+5X2≤10

X1+3X2≤6

2X1+2X2≤8

2.- Max

Z=25Y1+30Y2

s.a

4Y1+7Y2≥1

8Y1+5Y2≥3

6Y1+9Y2≥-2

Y1,Y2≥0

NO

TIENE

SOLUCIÓN

3.- Modelo Primal

Min

Z=12X1+26X2+80X3

s.a

2X1+6X2+5X3≥4

4X1+2X2+X3≥10

X1+X2+2X3≥6

3.- Max

Z=4Y1+10Y2+6Y3

s.a

2Y1+4Y2+Y3≤12

6Y1+2Y2+Y3≤26

5Y1+Y2+2Y3≤80

Y1,Y2≥0

MODELO DUAL

Z=72

Y1=0

Y2=0

Y3=12

Page 157: temas desarrollados

150

Capítulo III: Teoría de la dualidad y Análisis de sensibilidad

4.- Modelo Primal

Max

Z=10X1+15X2+20X3+25X4

s.a

8X1+6X2-X3+X4≥16

3X1 +2X3-X4=20

4.- Min

Z=16Y1+2Y2

s.a

8Y1+3Y2≥10

6Y1 ≥15

-Y1+2Y2≥20

-Y1 ≥0

Y1,Y2≥0

NO

TIENE

SOLUCIÓN

5.- Modelo Primal

Min

Z=X1+2X2+X3

s.a

X2+X3=1

3X1+X2+3X3=4

5.- Max

Z=Y1+4Y2

s.a

Y2≤1

Y1+Y2≤2

Y1+3Y2≤1

Z=1.333

Y1=0

Y2=0.3333

Page 158: temas desarrollados

Objetivo: El alumno establecerá los problemas de transporte y asignación como una variable del modelo de Programación Lineal así mismo aprenderá y aplicará la metodología de solución de los mismos.

CAPÍTULO IV: TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN.

Page 159: temas desarrollados

152

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

4.1. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA DE TRANSPORTE.

En su definición más simple el Modelo de Transporte tiene que ver con la determinación de un plan de costo mínimo para transportar una mercancía o producto de una ó varias partes (plantas productoras) a varios destinos (almacenes o bodegas).

El modelo de transporte es básicamente un modelo de Programación Lineal que se puede resolver a través del método simplex, sin embargo su estructura especial hace posible el desarrollo de un procedimiento alterno de solución conocido como Modelo o Técnica de transporte; entre las técnicas más conocidas para resolver el modelo de transporte se presentan:

A) Método de la esquina noroeste. B) Costo mínimo. C) Aproximación de Voguel.

El método de transporté toma como referencias transportar una mercancía de varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son:

1.-Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.

2.-Costo Mínimo.

3.-Aproximación de Voguel.

El modelo de transporte toma referencia transportar una mercancía de varias partes a varios destinos y los datos más representativos que se consideran son:

a) Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. b) El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada

destino.

Page 160: temas desarrollados

153

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

ESQUEMA EN EL MODELO DE TRANSPORTE

Un problema de transporte incluye M fuentes, a cada una de las cuales corresponde la disponibilidad de ai cuando i =1,2,3,4,5,6………m unidades de

producto homogéneo y n destinos a cada uno de los cuales requiere bj y j=1,2,3,4,5,6…….n unidades de producto los números ai y bj son enteros positivos. El costo Cij de transportar una unidad de origen i al destino j para cada i corresponde una j. El objetivo de desarrollar un programa de transporte que cumpla con todas las demandas a partir del inventario actual y a un costo de embarque mínimo se considera que el suministro y la demanda total son iguales.

�𝑎𝑎𝑖𝑖 = �𝑏𝑏𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

C

B

A

I

II

III

IV

Page 161: temas desarrollados

154

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Se garantiza creando ya un destino ficticio con una demanda igual al excedente, si la demanda total es menor que le suministro total, o un origen ficticio con un suministro igual al faltante si la demanda excede al suministro total sea Xij el número desconocido de unidades que se embarcan del origen i al destino j entonces todo modelo de transporte tendrá como patrón el siguiente modelo matemático.

Min

𝑍𝑍 = ��𝐶𝐶𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

s.a

�𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑎𝑎𝑖𝑖(𝑖𝑖 = 1,2 … …𝑚𝑚)𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑏𝑏𝑖𝑖(𝑖𝑖 = 1,2 … …𝑛𝑛)𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑋𝑋𝑖𝑖𝑗𝑗 ≥ 0

4.1.1 ALGORITMO DE TRANSPORTE.

1.- Analizar qué datos se tienen.

2.- Para visualizar mejor los datos e iniciar el algoritmo se realiza la siguiente tabla.

Demanda origen

A B C D

1 2 3 4

En cada una de las casillas de colocan los costos de transporte del origen al destino trabajándose con una matriz de (m) renglones (n) columnas.

3.- Se inicia el algoritmo con la verificación siguiente:

Page 162: temas desarrollados

155

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

�𝑎𝑎1 = �𝑏𝑏1

𝑚𝑚

𝑗𝑗=1

𝑚𝑚

𝑖𝑖=1

Demanda origen

A B C D a1

1 C1A C1B C1C C1D 40 2 C2A C2B C2C C2D 50 3 C3A C3B C3C C3D 20 b1 10 40 30 30 110

Como se observa, al aumentar en 30, el sistema se equilibró, y ahora sí podemos seguir con el algoritmo. Los costos de la columna No.4 valen cero.

4.- Primera asignación. La primera asignación o distribución de la oferta se realiza de la siguiente manera:

a).- Se inicia el algoritmo asignado cantidades en las regiones que contengan el costo mínimo, empezando por el más bajo y así sucesivamente hasta satisfacer demanda y oferta.

Por ejemplo: Se tienen 3 fábricas y 5 almacenes, los costos de transporte son los que se muestran en la matriz.

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250

2 3 5 7 4 6

900

3 9 4 6 4 5

550 b1 500 350 650 500 700 2700

Se interpreta la columna A y el renglón 1 como:

En la fábrica 1 se tienen 1250 unidades producidas para ofrecer y se demandan 500 unidades en el renglón A.

Page 163: temas desarrollados

156

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Se busca el costo mínimo, ahí se designa la cantidad que satisfaga la demanda total o parcial quedando la tabla de la siguiente manera:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550

2 3 5 7 4 6

900

3 9 4 6 4 5

550 b1 500 350 650 500 700 2700 Al realizar la asignación se ha satisfecho la demanda de la región E a un costo

mínimo, pero la oferta del renglón 1 todavía no se distribuye ya que quedan 550 unidades disponibles.

Ahora se observa cual es el siguiente costo mínimo, este se encuentra en la región (2 A), ahí se asigna la cantidad para satisfacer total o parcialmente la demanda quedando lo siguiente:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550

2 3 5 7 4 6

900 400

3 9 4 6 4 5

550 b1 500 350 650 500 700 2700

0

Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550 50

2 3 5 7 4 6

900 400

3 9 4 6 4 5

550 b1 500 350 650 500 700 2700

0

0 0

700

700

500

700

500

500

Page 164: temas desarrollados

157

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna la cantidad quedando:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550 50

2 3 5 7 4 6

900 400

3 9 4 6 4 5

550 200 b1 500 350 650 500 700 2700

0 0

0 0 Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550 50

2 3 5 7 4 6

900 400

3 9 4 6 4 5

550 200 b1 500 350 650 500 700 2700

0 0

450 400 0 0

Se busca el siguiente costo mínimo y ahí se asigna una cantidad quedando:

Demanda origen

A B C D E a1

1 6 8 6 4 3

1250 550 50

2 3 5 7 4 6

900 400

3 9 4 6 4 5

550 200 b1 500 350 650 500 700 2700

0 0

400 0 0 0

Se observa en la tabla que toda la oferta ha sido distribuida para satisfacer las demandas totales, en este momento la primera asignación termina.

5.- Cálculo de la función Z para la primera asignación; se entiende como Z el costo de distribución a diferentes centros de consumo, calculándose ésta de la siguiente manera:

700

500

500

350

700

500

500

350

50

200

700

500

500

350

50

200

400

Page 165: temas desarrollados

158

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

𝑍𝑍 = (6 × 50) + (4 × 500) + (3 × 700) + (3 × 500) + (7 × 400) + (4 × 350) + (6 × 200)

𝑍𝑍 = 300 + 2000 + 2100 + 1500 + 2800 + 1400 + 1200 = 11300

6.- Una vez que se ha encontrado el valor de la función Z el costo de distribución se verifica si en realizada este costo que se ha encontrado es el mínimo.

Por ello se realiza un análisis de costos de oportunidad, o sea, que se analizan.

Si se asignó o aumentó una unidad en el renglón 1 A se desbalancea tanto la columna como el renglón, por tal motivo se tiene que disminuir esa unidad de dicha columna y renglón para que el sistema no se desbalancee, haciendo esto en renglones (ij) en los cuales se haya asignado alguna cantidad. Este mismo análisis se realiza para cada renglón donde se incrementa o disminuye la unidad y así se desbalancea el sistema.

Nota: L a configuración de los ciclos (LOPPS) es cualquiera, solo que deben estar formados por líneas rectas horizontales y verticales todas ellas.

EJEMPLO 1:

La empresa Ford Motor Company desea elaborar un plan de transporte semanal para enviar automóviles de sus plantas productoras ubicadas en el D.F. Monterrey y Guadalajara, sus almacenes en Toluca, Mérida, Baja California, Matamoros, Cancún.

Se sabe que el D.F. produce semanalmente 60 unidades, Monterrey produce 50 automóviles y Guadalajara produce 30 automóviles.

Por su parte el almacén de Toluca requiere 50 autos semanalmente, Mérida 20, Baja California 15, Matamoros 20 y Cancún 25.

El costo promedio en pesos de enviar un automóvil de una planta productora a alguno de los centros de distribución se presentan en la siguiente tabla:

a) Determinar el Modelo de Programación Lineal para este problema. b) Calcule una solución que usted considere viable para este modelo.

Destino Toluca Mérida Baja California Matamoros Cancún Oferta

D.F. 25 40 50 45 30 60 Monterrey 50 55 25 25 40 40

Guadalajara 34 41 52 36 42 30 Demanda 50 20 15 20 25

Page 166: temas desarrollados

159

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

𝑿𝑿𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝑁𝑁𝑁𝑁.𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑁𝑁𝑚𝑚ó𝑣𝑣𝑖𝑖𝑣𝑣𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑣𝑣𝑖𝑖𝑎𝑎𝑑𝑑𝑁𝑁𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑁𝑁𝑜𝑜𝑖𝑖𝑜𝑜𝑑𝑑𝑛𝑛 𝑖𝑖 𝑎𝑎𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑣𝑣𝑎𝑎𝑖𝑖𝑛𝑛𝑁𝑁 𝑗𝑗.

Min C.

Costo de envío = 25𝑋𝑋11 + 40𝑋𝑋12 … … … … … … … … … + 42𝑋𝑋35

s.a

𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋31 ≤ 50

𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋32 ≤ 20

𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋33 ≤ 15

𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋34 ≤ 20

𝑋𝑋15 + 𝑋𝑋25 + 𝑋𝑋35 ≤ 25

Oferta

𝑋𝑋11 + 𝑋𝑋12 + 𝑋𝑋13 + 𝑋𝑋14 + 𝑋𝑋15 ≤ 60

𝑋𝑋21 + 𝑋𝑋22 + 𝑋𝑋23 + 𝑋𝑋24 + 𝑋𝑋25 ≤ 40

𝑋𝑋31 + 𝑋𝑋32 + 𝑋𝑋33 + 𝑋𝑋34 + 𝑋𝑋35 ≤ 30

Este algoritmo es un método especializado para el formato de un modelo de transporte el cual puede resolverse mediante 3 métodos:

4.2 MÉTODO DE VOGUEL

Este procedimiento es uno de los métodos más aceptados que se basa en encontrar la diferencia de costos menores (método heurístico).

PROCEDIMIENTO

1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las casillas y pestaña que indique el costo.

2.- Se realiza penalizaciones entre casilla de menor costo y la casilla de menor costo siguiente para cada renglón y para cada columna se restan.

3.- Se selecciona en penalización mayor ya sea en renglón de columna.

Page 167: temas desarrollados

160

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

4.- Se ubica la casilla con menor costo seleccionada en el paso anterior, se hace la máxima asignación de dicha casilla.

5.- Ajustan valores de oferta y demanda y se tachan valores de asignación.

6.-Se selecciona la mayor penalización siguiente y se ubica al renglón o la columna que la tenga para ubicar a la casilla de menores costos y hacer la máxima asignación.

7.- En caso de empate se procede arbitrariamente.

8.- Si en algún del problema no es posible utilizar los pasos 2-7(utilice costo mínimo) continúe con este proceso hasta agotar oferta y demanda.

Para ejemplificar este método se utilizara el ejemplo 1.

Fuente Destino

Toluca Mérida B.C. Matamoros Cancún Oferta

D.F. 25 40 50 45 30

60 5 15

Monte 50 55 25 25 40

40 2

Gauda 34 41 52 36 42

30 Demanda 50 20 15 20 25

9 0

0 25 11 10

25 × 35 + 34 × 15 + 55 × 5 + 41 × 15 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 25 = $ 3900

4.3 MÉTODO ESQUINA NORESTE.

Es el método menos óptimo ya que únicamente hace referencia a la posición de los datos de la oferta y la demanda sin hacer referencia o considerar los costos. Se diseña una matriz de oferta y demanda.

PROCEDIMIENTO

1.- Se selecciona la casilla de la esquina (noroeste de la matriz), se hace la máxima asignación posible.

25

X

X

15

X

X

35

15

X

5 20 20

X

X

X

Page 168: temas desarrollados

161

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

2.- Se ajustan los valores de la oferta y la demanda y si alguno de los destinos o de las partes se ha agotado ya no se considera para el siguiente pedido.

3.- Con la sub matriz obtenida se repiten los pasos anteriores tachando previamente las casillas que no tienen asignación.

4.- Se continúa con este proceso hasta que la oferta y la demanda quede cero.

Fuente Destino

Toluca Mérida B.C. Matamoros Cancún Oferta

D.F. 25 40

60 40 0

Monte

55 25 25

40 30 0

Gauda

36 42 30 25 0

Demanda 50 20 15 20 25

0 0

0 0 0 0

25 × 50 + 40 × 10 + 55 × 20 + 25 × 15 + 25 × 15 + 36 × 5 + 42 × 25 = $ 4180

4.4 MÉTODO DE COSTO MINIMO.

Trata de localizar una mejor solución inicial del modelo de transporte, utilizando las rutas baratas.

PROCEDIMIENTO

1.- Se construye una matriz de oferta y demanda colocando en cada una de las casillas una pestaña que indique el costo.

2.- Se selecciona de la matriz la casilla con menor costo posible y se realiza en ella la máxima asignación posible.

3.- Se ajustan valores de oferta y demanda tachando en cada caso las casillas que no tienen asignación, en caso de empates se procede de manera arbitraria.

4.-continua con este procedimiento hasta que los valores de la oferta y la demanda queden satisfechos.

X

X

X

X

X

X

50

X

10

10 15 15

5

X

25

Page 169: temas desarrollados

162

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Fuente Destino

Toluca Mérida B.C. Matamoros Cancún Oferta

D.F. 25 40 50 45 30

60 40 0

Monte

55 25 25 40 40 25 0

Gauda

41 52 36 42 30 10

Demanda 50 20 15 20 25

0 0

0 0 0 10

25 × 50 + 41 × 20 + 25 × 15 + 25 × 20 + 30 × 20 + 40 × 5 + 42 × 20 = $ 3865

10

X

X

20

X

X

50

X

X

X 15 20

X

5

10

Page 170: temas desarrollados

163

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

EJEMPLO 2.

La fabrica S.A de C.V. fábrica dispositivos mecánicos en 2 fábricas una en Memphis y otra en Denver. La de Memphis puede fabricar 150 dispositivos por día y la de Denver puede producir 200 dispositivos por día y enviarlos por aire a los clientes de los Ángeles y Boston; los clientes en cada ciudad requieren de 130 dispositivos por día, debido a las irregularidades en las tarifas aéreas la empresa cree que podría ser más barato enviarlos primero a Nueva York y Chicago y luego a los destinos finales.

Los costos de enviar por vía aérea un dispositivo se muestra en la siguiente tabla. La empresa quiere minimizar el costo total de enviar los dispositivos requeridos a sus clientes.

de Memphis Denver Nueva York Chicago Los

Ángeles Boston

Memphis 0 - 8 13 25 28 Denver - 0 15 12 26 26 Nueva York - - 0 6 16 17

Chicago - - 6 0 14 16 Los

Ángeles - - - - 0 -

Boston - - - - - 0

DESTINOS

Origen Nueva York Chicago Los

Ángeles Boston X Cap. De Producción

Memphis 8 13 25 28 0 150

Denver 15 12 26 25 0 200

Nueva York

0 6 16 17 0 350

Chicago 6 0 14 16 0 350

Demanda 350 350 130 130 90 1050

Page 171: temas desarrollados

164

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

a) MÉTODO VOGUEL.

Origen Nueva York Chicago Los

Ángeles Boston X Cap. De Producción

Memphis 8 13 25 28 20 150/20

Denver 15 12 26 25 70 200/70

Nueva York

0 6 16 17 350

Chicago 6 0 14 16 350

Demanda 350 350 130 130 90 1050

𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (130 × 25) + (130 × 25) = $6500

b) MÉTODO ESQUINA NORESTE.

Origen Nueva York Chicago Los

Ángeles Boston X Cap. De Producción

Memphis 8 13 X

Denver 15 12 X

Nueva York

0 X

Chicago 6 0 14 16 90

Demanda 350 350 130 130 90

𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (180 × 8) + (200 × 15) + (130 × 14) + (130 × 16) = $10,200

X

X

350

X

X

X

X

350

130

X

X

X

X

130

X

X

180

200

X

X

X

X

350

350

X

X

X

130

X

X

X

130

Page 172: temas desarrollados

165

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

a) MÉTODO COSTO MÍNIMO.

Origen Nueva York Chicago Los

Ángeles Boston X Cap. De Producción

Memphis 8 13 25 28

90 150/60

Denver 15 12 26 25

X

Nueva York

0 6 16 17 X

Chicago 6 0 14 16

90

Demanda 350 350 130 130 90

𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (60 × 25) + (70 × 26) + (130 × 25) = $6570

4.5 MÉTODO HUNGARO.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado, en el cual todas las ofertas y todas las demandas son iguales a uno. Se puede resolver eficientemente un problema de asignación m x m mediante el método Húngaro:

Paso 1.- Empiece por encontrar el elemento más pequeño en cada renglón de la matriz de costos. Construya una nueva matriz, al restar de cada costo, el costo mínimo de su renglón. Encuentre, para esta nueva matriz el costo mínimo en cada columna. Construya una nueva matriz (la matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna.

Paso 2.- Dibuje el mínimo número de líneas (horizontales o verticales) que se necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. Si se requieren m líneas para cubrir todos los ceros, siga con el paso 3.

Paso 3.- Encuentre el menor elemento no cero (llame su valor k en la matriz de costos reducidos, que no está cubiertos por las líneas dibujadas en el paso 2. Ahora reste k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sume k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por dos líneas. Regrese al paso 2.

X

X

350

X

X

X

X

350

60

70

X

X

X

130

X

X

Page 173: temas desarrollados

166

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceado en el que todas las ofertas y demandas son iguales a 1; así se caracteriza por el conocimiento del costo de asignación de cada punto de oferta a cada punto de demanda. La matriz de costos del problema de asignación se llama: matriz de costos.

Como todas las ofertas y demandas para el problema de asignación son números enteros, todas las variables en la solución óptima deben ser valores enteros.

EJEMPLO 1.

La empresa tiene 4 maquinas y 4 tareas por completar cada máquina se debe de asignar para completar una tarea. El tiempo requerido para preparar cada máquina para completar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Plantea la mejor asignación posible mediante el método húngaro.

Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4 1 14 5 8 7 2 2 12 6 5 3 7 8 3 9

4 2 4 6 10

Se agarra el mínimo de cada máquina.

Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4

1 14 5 8 7 5

2 2 12 6 5 2

3 7 8 3 9 3

4 2 4 6 10 2

Page 174: temas desarrollados

167

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Se resta a toda fila

Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4

1 9 0 3 2

2 0 10 4 3

3 4 5 0 6

4 0 2 4 8

Maquina Tarea 1 Tarea 2 Tarea 3 Tarea 4

1 0 0 4 0

2 0 9 3 0

3 5 6 0 -

4 0 1 3 -

EJEMPLO 2.

Se cuenta con 5 empleados para llevar acabo 4 tareas, el tiempo que toca a cada persona realizar cada tarea se muestra en la siguiente tabla. Determine la asignación de empleados a las tareas que reduce el tiempo total requerido para efectuar las 4 tareas.

Persona

1 22 18 30 18 18

2 18 - 27 22 0

3 26 20 28 28 20

4 16 22 - 14 0

5 21 - 25 28 0

Page 175: temas desarrollados

168

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

1 22 18 30 18 18

2 18 - 27 22 0

3 26 20 28 28 20

4 16 22 - 14 0

5 21 - 25 28 0

1 0 0 12 0

2 14 0 27 22

3 2 0 8 8

4 12 0 0 14

5 17 0 25 28

X14= 1 Persona

X22= 3 Personas

X31= 3 Personas

X43= 4 Personas

X52= 5 Personas

EJEMPLO 3.

Una corporación necesita transportar 70 unidades de un producto 1, 2, 3 en cantidades de 45 y 25 unidades respectivamente las tarifas se presentan en la siguiente tabla:

i/j 1 2 3 4 1 …. 38 56 34 2 38 …. 27 …. 3 56 27 …. 19 4 34 …. 19 ….

0 0 14 0

12 0 25 20

0 0 6 6

14 24 0 16

15 0 23 26

Page 176: temas desarrollados

169

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Determine un programa de embarque que asigne el número requerido de artículos a cada destino a un costo mínimo de transporte; ningún embarque requiere del vuelo directo, se permiten los envíos empleando intermediarios.

Origen 2 3 4 Oferta

1 38 56 34

70

2 0 27 0

70

3 27 0 19

70 25

4 0 19 0

280

Demanda 115 95 130 130

𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (25 × 19) + (70 × 34) = $2855

X14= 70

X21= 70

X32= 70

X41= 45

X43= 25

X

70

X

45

X

X

70

25

70

X

X

X

Page 177: temas desarrollados

170

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

EJEMPLO 4.

En una compañía industrial se debe de planear para cada una de las estaciones del próximo año las capacidades de producción de la compañía así como sus demandas esperadas todo en unidades, se muestran en la siguiente tabla.

Primavera Verano Otoño Invierno

Demanda 250 100 400 500

Capacidad Normal 200 300 350 -

Capacidad Tiempo 100 50 100 150

Los costos de producción normal para la compañía son de $7.00 por unidad, el tiempo extra varía según la estación del año siendo de $8.00 en primavera, $9.00 en verano y $10.00 en invierno.

La empresa tiene un inventario inicial de 200 unidades el 1 de enero pero como se planea descontinuar el producto a finales de año se desea que se tenga un inventario de 0. Las unidades producidas en los turnos normales no se encuentran disponibles en embarques durante la estación de producción generalmente se venden a la siguiente estación.

Aquellas unidades que no se venden se agregan al inventario que se acumulan a un costo de $0.70 por unidad por unidad por estación. En cambio las unidades producidas en tiempo extra deben de embarcarse en la misma estación que se produce.

Determine un programa de producción que cubra el total de demandas a un costo mínimo.

Page 178: temas desarrollados

171

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Orígenes Primavera Verano Otoño Invierno Ficticia Oferta

Capacidad Normal en Primavera

0 7 7.7 8.4 0 200

Capacidad Normal en

Verano

0 0 7 7.7 0 300 250 150

Capacidad Normal en

Otoño

0 0 0 7 0 350 100

Inventario Inicial

0 0.70 1.4 2.1 0 200

Capacidad en Tiempo

Extra Primavera

8 0 0 0 0

100

Capacidad en Tiempo

Extra Verano

0 9 0 0 0

50

Capacidad en Tiempo

Extra Otoño

0 0 0 0 0 100 50

Capacidad en Tiempo

Extra Invierno

0 0 0 10 0

150

250 50 100 400

250

500 400 200 100 50

200 150 1450

𝐶𝐶𝑁𝑁𝑣𝑣𝑎𝑎𝑁𝑁 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑚𝑚𝑁𝑁 = (150 × 7) + (100 × 7) + (200 × 2.1) = $2170

200

50

X

X

X

X

150

X

X

X

X

X 250 100 X

X

X

X

X

X

X

X

200

100

X

X

X X 50 X

X 50 50

X

X

X 150

X

X X

Page 179: temas desarrollados

172

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

EJERCICIOS VI. Modelos de Transporte y Asignación

Instrucciones: Dado el Modelo resolverlo por el método apropiado.

Problema 1.

Una compañía suministra bienes a tres clientes y cada uno requiere 30 unidades. La compañía tiene dos almacenes el almacén 1 tiene 40 unidades disponibles y el almacén dos 30 unidades disponibles. Los costos de enviar una unidad desde el almacén a los clientes se muestra en la siguiente tabla. Hay una penalización por cada unidad no suministrada al cliente; con el cliente 1 se incurre en un costo de penalización de $90, con el cliente 2 de $80 y con el cliente 3 $110. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar la suma de escasez y costo de envió.

De Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3

Almacén 1 $15 $35 $25

Almacén 2 $10 $50 $40

Solución

Cliente1 Cliente 2 Cliente 3 suministro

Almacen 1

40

Almacén 2

30

Escacez

20

Demanda 30

30 30

Problema 2

Un hospital necesita comprar 3 galones de medicina perecedera que utilizara durante el mes actual y cuatro galones para uso durante el siguiente mes. Debido a que la medicina es perecedera solo puede utilizarse durante el mes de compra. Dos empresas Daisy y Louroach venden las medicinas, la medicina es escaza, por consiguiente durante los siguientes dos meses, el hospital está limitado a comprar a los sumo 5 galones de cada empresa. Las compañías cargan los precios como se ve en la tabla siguiente. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar el costo de comprar medicina innecesaria.

15 35 25

10 50 40

90 80 110

Page 180: temas desarrollados

173

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

De Precio del mes actual por galón ($)

Precio del mes siguiente por galón($)

Daisy $800 $720 Loroach $710 $750

Solución

Mes 1 Mes 2 Ficticio suministro Daysy

5

Loroach

5

Demanda 3

4 3

Una gasolinera puede comprar su combustible para autos a cualquiera de los tres proveedores. Las necesidades de la gasolinera para el siguiente mes en cada una de sus estaciones a los que les puede dar servicio es como sigue, son 100,000 de la estación 1, 180,000 galones de la estación 2 y 350,000 galones de la estación 3. Cada proveedor puede suministrar a las estaciones de las gasolineras a los precios de centavos por galán como se ve en la siguiente tabla

De Estación 1 Gasolina

Estación 2 Gasolina

Estación 3 de gasolina

Proveedor 1 92 89 90

Proveedor 2 91 91 95

Proveedor 3 87 90 92

800 720 0

710 750 0

Page 181: temas desarrollados

174

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Problema 3

Cada proveedor tiene la capacidad en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son de 320,000 galones para el proveedor 1, 270,000 galones para el proveedor 2 y 190,000 galones para el proveedor 3. Determine una política de compra que cubra los requerimientos de la estación de gasolina a un costo mínimo.

Solución

Estación1 Estación2 Estación 3 Ficticia suministro

1

320,000

320,000

2

120,000

150,000 270,000

3

100,000

60,000

190,000

Demanda 100,000

180,000 350,00 150,000

El proveedor 1 entregara 320,000 gal al aeropuerto 3, el proveedor 2 entregara 120,00 gal al aeropuerto 2 y conserva 150,000 gal, el proveedor 3 entregara 100,00 gal y 30,000 gal respectivamente a las estaciones 1,2 y 3

92 89 90

91 91 95

87 90 92

Page 182: temas desarrollados

175

Capítulo IV: Transporte y Asignación.

Problema 4

El consejo de Chicago de la Educación está aceptando ofertas en relación con las cuatro rutas del autobús escolar de la ciudad. Cuatro compañías hicieron las ofertas como se muestra en la siguiente tabla.

De Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4

Compañía 1 4,000 5,000 0 0

Compañía 2 0 4,000 0 4,000

Compañía 3 3000 0 2,000 0

Compañía 4 0 0 4,000 5,000

Suponga que a cada licitante se le puede asignar una ruta, utilice el método húngaro para minimizar el costo de recorrer las cuatro rutas de autobuses.

Solución

La compañía 1 recorre la ruta 1, la compañía 2 recorre la ruta 2, la compañía 3 recorre la ruta 3 y la compañía 4 recorre la ruta 4.

Page 183: temas desarrollados

APENDICE A.

Page 184: temas desarrollados

177

APENDICE A

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un conjunto de ecuaciones, todos tienen la misma variable y pueden tener un número finito de ecuaciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales homogénea es constante, tiene por lo menos la solución trivial y se puede verificar si es la única solución o hay varias.

3𝑋𝑋1 + 2𝑋𝑋2 − 𝑋𝑋3 = 0

−𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 = 0

−3𝑋𝑋1 + 4𝑋𝑋2 − 7𝑋𝑋3 + 𝑋𝑋4 = −2

2𝑋𝑋1 + 5𝑋𝑋3 − 6𝑋𝑋4 = 0

5𝑋𝑋1 − 3𝑋𝑋2 + 10𝑋𝑋3 − 𝑋𝑋4 = −1

Operaciones que no alteran la soluciones de un sistema de ecuaciones.

METODO DE GAUSS - JORDAN

1.- Intercambio de dos ecuaciones.

2.- Multiplicar una ecuación por un número diferente de cero.

3.- Sumar a una ecuación un múltiplo de otra ecuación.

Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones

-Por sus términos independientes o constantes es homogénea

-Cuando algún termino (constante) es diferente a cero- no homogénea

-Por sus soluciones

-Tiene alguna solución

-Consistente o incompatible

-No tiene solución

Page 185: temas desarrollados

178

APENDICE A

2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6

3X1 + 5X2 + 2X3 + 2X4 = 4 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2

X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2

X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 11X2 + 5X3 - X4 = 10

0X1 + 0X2 + 0X3 + 0X4 = 0

Despejando X1 de la ecuación 1.

𝑋𝑋1 = −211� + 1

11� 𝑋𝑋3 − 911� 𝑋𝑋4

Cuando se tienen mayor numero de variables que ecuaciones se tienen un sin número de soluciones.

Cuando se tiene el mismo número de variables y ecuaciones, se puede tener una solución única o en su efecto el mayor número de ecuaciones, sea el número de variables.

EJEMPLO 2.

2𝑋𝑋1 +5𝑋𝑋2 −8𝑋𝑋34𝑋𝑋1 +3𝑋𝑋3 −9𝑋𝑋32𝑋𝑋1 +3𝑋𝑋2 −5𝑋𝑋3

===

897

𝑋𝑋1 +8𝑋𝑋2 −7𝑋𝑋3 = 12

3X1 + 5X2 + 2X3 + 2X4 = 4

2X1 + 7X2 + 3X3 + X4 = 6 9X1 + 4X2 + X3 + 7X4 = 2

X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 11X2 + 5X3 - X4 = 10 22X2 + 10X3 - 2X4 = 20

X1 - 2X2 - X3 + X4 = -2 X2 + 5/11X3 - 1/11X4 = 10/11

0X1 + 0X2 + 0X3 + 0X4 = 0

X1 - 1/11X3 + 9/4X4 = -2/11 X2 + 5/11X3 - 1/11X4 = 10

0X1 + 0X2 + 0X3 0 0X4 = 0

Page 186: temas desarrollados

179

APENDICE A

2 5 -8 :8 4 3 -9 :9 2 3 -5 :7 1 8 -7 :12

1 8 -7 :12 0 29 19 :-39 0 13 9 :-17 0 -11 6 :-16

1 8 -7 :12 0 1 -6/11 :-16/11 0 -13 9 :-17 0 -29 19 :39

1 0 -29/11 :4/11 0 1 -6/11 :16/11 0 0 1 :1 0 0 35/11 :35/11

X1=3

X2=2

X3=1

EJEMPLO 3.

2X1 - 3X2 + 5X3 + 7X4 = 1

4X1 - 6X2 + 2X3 + 3X4 = 2 2X1 - 3X2 - 11X3 - 15X4 = 1

2 -3 5 7 :1 4 -6 2 3 :2 2 -3 -11 -15 :1

1 8 -7 :12 4 3 -9 :9 2 3 -5 :7 2 5 -8 :8

1 8 -7 :12 0 -11 6 :-16 0 13 9 :-17 0 29 19 :-39

1 0 -29/11 :4/11 0 0 -6/11 :16/11 0 0 21/11 :21/11 0 0 35/11 :35/11

1 0 0 :3 0 1 0 :2 0 0 1 :1 0 0 0 :0

2 3 5 7 :1 0 0 -8 -11 :0 0 0 -16 -22 :0

Page 187: temas desarrollados

180

APENDICE A

2 -3 5 7 :1 0 0 -8 -11 :0 0 0 0 0 :0

2 -3 5 7 :1 0 0 -8 -11 :0 0 0 0 0 :0

2 -3 0 1/8 :1 0 0 1 11/8 :0 0 0 0 0 :0

𝑋𝑋1 =12

+32𝑋𝑋2 −

116

𝑋𝑋4

𝑋𝑋3 =−11

8𝑋𝑋4

𝑋𝑋2 = 𝑆𝑆

𝑋𝑋4 = 𝑡𝑡

Donde X2 Y X4 E.R

𝑋𝑋1 =12

+32𝑆𝑆 −

116

𝑡𝑡

𝑋𝑋3 =−11

8𝑡𝑡

�12

+32𝑆𝑆 −

116

𝑡𝑡, 𝑆𝑆,−118𝑡𝑡, 𝑡𝑡�

2 -3 5 7 :1 0 0 0 11/8 :0 0 0 0 0 :0

2 -3 5 7 :1 0 0 0 11/8 :0 0 0 0 0 :0

2 -3/2 0 1/16 :1/2 0 0 1 11/8 :0 0 0 0 0 :0

Page 188: temas desarrollados

181

APENDICE A

EJEMPLO 3.

9X1 - 3X2 + 5X3 + 6X4 = 4

6X1 - 2X2 + 3X3 + X4 = 5 3X1 - X2 + 3X3 + 14X4 = -8

9 -3 5 6 :4 6 -2 3 1 :5 3 -1 3 14 :-8

3 -1 3 14 :8 0 0 -3 -27 :21 0 0 -4 -36 :28

3 -1 0 13 :13 0 0 1 9 :-7 0 0 0 0 :0

𝑋𝑋1 =133

+13𝑋𝑋2 +

133𝑋𝑋4

𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑋𝑋4

𝑋𝑋2 = 𝑡𝑡

𝑋𝑋4 = 𝑅𝑅

Donde X2 Y X4 E.R

𝑋𝑋1 =133

+13𝑡𝑡 +

133𝑅𝑅

𝑋𝑋3 = −7 − 9𝑅𝑅

�133

+13𝑡𝑡 +

133𝑅𝑅, 𝑡𝑡,−7 − 9𝑅𝑅,𝑅𝑅�

3 -1 3 14 :-8 6 -2 3 1 :5 9 -3 5 6 :4

3 -1 3 14 :8 0 0 1 9 :-7 0 0 -4 -36 :28

1 -1/3 0 -13/3 :13/3 0 0 1 9 :-7 0 0 0 0 :0

Page 189: temas desarrollados

182

APENDICE A

𝑎𝑎11 ≠ 0

𝑎𝑎11𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏1

𝑎𝑎21𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22𝑋𝑋2 = 𝑏𝑏2

�𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23

�~� 1𝑎𝑎12

𝑎𝑎11

𝑏𝑏1

𝑎𝑎11𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑏𝑏2

�~

⎜⎛1

𝑎𝑎12

𝑎𝑎11

𝑏𝑏1

𝑎𝑎11

0𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12

𝑎𝑎11

𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11 ⎠

⎟⎞

~

⎜⎛1

𝑎𝑎12

𝑎𝑎11

𝑏𝑏1

𝑎𝑎11

0 1𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12⎠

⎟⎞

~

⎜⎛1 0

𝑏𝑏1

𝑎𝑎11

0 1𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12⎠

⎟⎞

𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11

𝑎𝑎11

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12

𝑎𝑎12

𝑎𝑎11 𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12+𝑏𝑏1

𝑎𝑎11=𝑏𝑏1(𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12) − 𝑎𝑎12(𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1)

𝑎𝑎11(𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12)

=𝑏𝑏1𝑎𝑎11𝑎𝑎22 𝑎𝑎11𝑎𝑎12𝑏𝑏2

𝑎𝑎11(𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12) =𝑎𝑎11(𝑏𝑏1𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12𝑏𝑏2)𝑎𝑎11(𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12)

∆= �𝑎𝑎11 𝑎𝑎21𝑎𝑎21 𝑎𝑎22

� = 𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12

𝑋𝑋1 =𝑏𝑏1𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎12𝑏𝑏2

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12=

�𝑏𝑏1 𝑎𝑎12𝑏𝑏2 𝑎𝑎22

�𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22

�=∆1

∆ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑋𝑋2 =𝑎𝑎11𝑏𝑏2 − 𝑎𝑎21𝑏𝑏1

𝑎𝑎11𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21𝑎𝑎12=

�𝑎𝑎11 𝑏𝑏1𝑎𝑎22 𝑏𝑏2

�𝑎𝑎11 𝑎𝑎12𝑎𝑎21 𝑎𝑎22

�=∆2

∆ 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟

Page 190: temas desarrollados

183

APENDICE A

EJEMPLO 1.

2X1-3X2=4

7X1+6X2=-10

∆= �2 −37 6 � = 12 − (−21) = 33

∆1= � 4 −3−10 6 � = 24 − 30 = −6

∆2= �2 47 −10� = −20 − 28 = −48

𝑋𝑋1 =∆1

∆=−633

=−211

𝑋𝑋2 =∆2

∆=−4833

=−1611

Sistema cuadrado tiene el mismo número de ecuaciones que variables.

𝑎𝑎11𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎12𝑋𝑋2+.. +𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏1

𝑎𝑎21𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎22𝑋𝑋2+.. +𝑎𝑎2𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏2

𝑎𝑎𝑛𝑛1𝑋𝑋1 + 𝑎𝑎𝑛𝑛2𝑋𝑋2+.. +𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑋𝑋𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛

∆= �𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎1𝑛𝑛𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎2𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛1 𝑎𝑎𝑛𝑛2 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛

𝑋𝑋𝑗𝑗 =∆𝑗𝑗∆

𝑗𝑗 = 1 … … … … … . .𝑛𝑛

�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

�𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑐𝑐𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

Page 191: temas desarrollados

184

APENDICE A

�2−3

−57

54

−9−6

1−1

24

21

72

𝑀𝑀11 = �−7 −1 4−9 2 7−6 1 2

𝑀𝑀23 = �2 −5 25 −9 74 −6 2

𝑀𝑀41 = �−5 1 27 −1 4−9 2 7

𝑀𝑀34 = �2 −5 13 7 −14 −6 1

EJEMPLO 2.

�2 1 35 3 21 4 3

� = 2(−1)1+1 �3 24 3� + 1(−1)1+2 �5 2

1 3� + 3(−1)−1+3 �5 31 −1�

= 2(9 − 8) − (15 − 2) + 3(20 − 3) = 2 − 13 + 57 = 40

EJEMPLO 3.

�4 −3 53 −2 81 −7 −5

� = 3(−1)2+1 �−3 5−7 −5� + 2(−1)2+2 �4 5

1 −5� + 8(−1)2+3 �4 −31 −7�

= −3(50) − (25) − 8(−25) = −150 + 50 + 200 = 100

EJEMPLO 4.

�5 6 30 1 07 4 5

� = �5 37 5� = 25 − 21 = 4

EJEMPLO 5.

�1 1 14 5 9

16 25 81� = � 5 9

25 81� − 1 � 4 916 81� + � 4 5

16 25�

= (405 − 225) − (324 − 144) + (100 − 80) = 180 − 180 + 20 = 20

Page 192: temas desarrollados

185

APENDICE A

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.- Si un renglón o columna de un determinante consta únicamente de ceros, el valor determinante es cero.

2.- Si un renglón o columna es múltiplo de otro renglón o columna entonces el determinante vale cero.

3.- Si intercambio dos columnas o renglones, el valor del determinante es cero.

4.- Si se multiplica un renglón o una columna por un número real el valor del determinante queda multiplicado por ese número.

5.- Si a un renglón o columna se le suma un múltiplo de otro renglón o columna, el valor del determinante no cambia.

Ejemplos de las propiedades:

2) �2 −54 −10� = −20 − (−20) = 0

3) �1 −34 2 � = 2 − (−12) = 14

�4 21 −3� = −12 − 2 = 14

Multiplicando el primer renglón por 2.

4) �2 −64 2 � = 4 − (24) = 28 𝑠𝑠𝑟𝑟 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑟𝑟𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎

5) �1 −36 −4� = −4 − (−18) = 14

EJERCICIO

-1 2 3 4 5 7 0 4 3 1 1 2 0 0 6 -2 4 -5 0 0 0 3 -7 6

El determinante tendrá el valor de la diagonal que esta de color.

= (−1)(4)(6)(3)(1)(−5) = −77

-1 2 3 4 5 7 0 4 3 1 1 2 0 0 6 -2 4 -5 0 0 0 3 -7 6 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 -5

Page 193: temas desarrollados

186

APENDICE A

SISTEMA CUADRADO

2X1 - X2 - X3 = 4

3X1 + 4X2 - 2X3 = 11 3X1 - 2X2 + 4X3 = 11

∆= �2 −1 −13 4 −23 −2 4

� = (−1) �−1 2 −14 3 −2−2 3 4

� = (−1) �−1 2 −10 11 −60 −1 6

(−)(−1) �−1 2 −10 −1 −60 11 −6

� = (−)(−) �−1 2 −10 −1 60 0 60

� = (−)(−)(−1)(−1)60 = 60

∆1= �−4 −1 −111 −4 −2−11 −2 4

� = (−) �−1 4 −14 11 −2−2 11 4

� = (−) �−1 4 −10 27 −60 3 6

� = 180

∆2= �2 4 −13 11 −23 11 4

� = (−1) �−1 4 2−2 11 34 11 3

� = (−) �−1 −1 40 4 110 −2 11

� = 60

∆3= �2 −1 43 4 113 −2 11

� = (−1) �−1 2 44 3 11−2 3 11

� = (−) �−1 2 40 11 270 −1 3

� = 60

𝑋𝑋1 =∆1

∆=

18060

= 3

𝑋𝑋2 =∆2

∆=

6060

= 1

𝑋𝑋3 =∆3

∆=

6060

= 1

SOLUCIÓN UNICA (3, 1, 1)

Page 194: temas desarrollados

187

APENDICE A

EJEMPLO 1.

X1 + X2 + 2X3 = -1

2X1 - X2 + 2X3 = -4 4X1 + X2 + 4X3 = -2

∆= �1 1 22 −1 24 1 4

� = �1 1 20 −3 −20 −3 −4

� = (−1) �1 1 20 −3 −20 0 −2

� = 6 𝑇𝑇𝑖𝑖𝑟𝑟𝑛𝑛𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑟𝑟𝑑𝑑𝑐𝑐𝑖𝑖ó𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑛𝑛𝑖𝑖𝑐𝑐𝑎𝑎

∆1= �−1 1 2−4 −1 2−2 1 4

� = �−1 1 20 −5 −60 −1 0

� = (−) �−1 2 10 −6 −50 0 −1

� = 6

∆2= �1 −1 22 −4 22 −2 4

� = �1 1 20 −2 −20 2 −4

� = �1 −1 20 −2 −20 0 −6

� = 12

∆3= �1 1 −12 −1 −44 1 −2

� = �1 1 −10 −3 −20 −3 2

� = �1 1 −10 −3 20 0 4

� = −12

𝑋𝑋1 =∆1

∆=

66

= 1

𝑋𝑋2 =∆2

∆=

126

= 2

𝑋𝑋3 =∆3

∆=−12

6= −2

SOLUCIÓN UNICA (1, 2, -2)

Page 195: temas desarrollados

188

APENDICE A