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INSTITUTO NACIONAL DE EDUCACIÓN DIVERSIFICADA “INED” 2a. Avenida 1-39 Zona 4
SAN JOSÉ PINULA, GUATEMALA
CATEDRÁTICO: _____Vilma Leticia Chete Guzmán__ ÁREA: ___Matemática___
GRADOS Y ESPECIALIDAD: _5to., Perito en Mecánica y Perito en
Hoteleria_________________________________________________________________________________
Temas Pendientes Bloque I (Hotelería)
Función uno a uno
Función Inversa
Ejemplos:
Hallar la función inversa de
Ahora examinemos la forma en que calculamos funciones inversas. Primero observamos
de la definición de 𝑓−1 que
𝑦 = 𝑓(𝑥) ↔ 𝑓−1(𝑦) = 𝑥
Por tanto, si 𝑦 = 𝑓(𝑥) y si podemos despejar x de esta ecuación en términos de y, entonces
debemos tener 𝑥 = 𝑓−1(𝑦). Si entonces intercambiamos 𝑥 y 𝑦, tenemos 𝑦 = 𝑓−1(𝑥), que es
la ecuación deseada.
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Ejemplo No. 1:
Ejemplo No.2
Ejemplo No. 3
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Ejercicio No. 15
Encontrar la función inversa de:
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 2. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 7 3. 𝑓(𝑥) = 5 − 4𝑥3 4. 𝑓(𝑥) =𝑥−2
𝑥+2
Recta de mínimos cuadrados
Si los puntos de datos son (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn), una forma de determinar cómo
se ajusta la función lineal 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 a los datos consiste en medir las distancias
verticales entre los puntos. Centraremos la atención exclusivamente en el problema de
obtener un polinomio lineal 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 una línea recta que “se ajuste mejor” a los datos
de las coordenadas. El procedimiento para hallar esta función lineal se conoce como el
método de mínimos cuadrados.
Ejemplo:
Obtenga la recta de mínimos cuadrados de los datos (1, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 6), (5, 5).
𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑥2
1 1 1 1
2 2 4 4
3 4 12 9
4 6 24 16
5 5 25 25
∑ =
5
𝑖=0
15
5= 3
18
5= 3.6
66
5= 13.2
55
5= 11
Encontrar la pendiente
Sustituimos valores
𝑚 =13.2 − (3)(3.6)
11 − (3)2=
13.2 − 10.8
11 − 9=
2.4
2= 1.2
Encontrar el valor de b
𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 Sustituimos valores
𝑏 = 3.6 − (1.2)(3)
𝑏 = 3.6 − (1.2)(3)
𝑏 = 3.6 − 3.6
𝑏 = 0
Respuesta// 𝑦 = 1.2𝑥 + 0
Ejercicio No. 16
Obtenga la recta de mínimos cuadrados de los datos
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Temas Bloque II
1. Funciones exponenciales:
La función exponencial con base a está definida para todos los números reales x por
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
En donde 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1
Ejercicio:
Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 y evalué lo siguiente:
1. 𝑓(2) 2. 𝑓 (−2
3) 3. 𝑓(𝜋) 4. 𝑓(√2)
Grafica de funciones exponenciales
Primero graficamos funciones exponenciales al localizar puntos. Veremos que las gráficas
de esas funciones tienen una forma fácilmente reconocible.
Ejemplo
Trace la gráfica de cada función.
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 b). 𝑔(𝑥) = (1
3)
𝑥
Ejercicio No. 1
Trace la gráfica de las siguientes funciones
1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2. 𝑓(𝑥) = (1
3)𝑥 3. 𝑓(𝑥) = 8𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 3−𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = (1
3)𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 7𝑥
2. Función exponencial Natural:
La función exponencial natural es la función exponencial
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
Con base 𝑒. Es frecuente llamarla la función exponencial.
𝑒 = 2.71828
Ejemplo:
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función
𝑔(𝑥) = 3𝑒0.5𝑥
Ejercicio No. 2
Utilice la calculadora para evaluar las siguientes funciones y redondear sus respuestas a
tres decimales.
1. ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥; 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ(3), ℎ(0.23), ℎ(1), ℎ(−2)
2. ℎ(𝑥) = 𝑒−2𝑥; 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ(1), ℎ(√2), ℎ(−3), ℎ(1
2)
Realice una tabla de valores para las siguientes funciones y trace la gráfica.
3. 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 4. 𝑓(𝑥) = 2𝑒−0.5𝑥
3. Funciones logarítmicas
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Las formas logarítmicas y exponenciales son ecuaciones equivalentes: si una es verdadera,
también lo es la otra. Por lo tanto, podemos pasar de una forma a la otra como en las
siguientes ilustraciones.
Ejercicio No. 3
Pasar las siguientes ecuaciones a forma exponencial o logarítmica
1. log5 25 = 2 2. log5 1 = 0 3. log10 0.1 = −1 4. log8 2 =1
3 5. log3 81 = 4
6. 53 = 125 7. 10−4 = 0.0001 8. 8−1 =1
8 9. 2−3 =
1
8 10. 811 2⁄ = 9
4. Evaluación de Logaritmos
Es importante entender que loga x es un exponente. Por ejemplo, los
números de la columna derecha de la tabla del margen son los logaritmos
(base 10) de los números de la columna izquierda. Éste es el caso para
todas las bases, como ilustra el siguiente ejemplo.
Explicación: Evaluar los siguientes logaritmos
a) log10 1000 =
1. Pasar a forma exponencial
10𝑥 = 1000
2. Que exponente necesito para la base 10 que dé como resultado 1000
103 = 1000
En este caso es exponente 3 por que 10 × 10 × 10 = 100
b) log2 32 =
1. Pasar a forma exponencial
2𝑥 = 32
2. Que exponente necesito para la base 2 que dé como resultado 32
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25 = 32
En este caso es exponente 5 por que 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32
c) log10 0.1 = −1
1. Pasar a forma exponencial
10𝑥 = 0.1
2. Que exponente necesito para la base 10 que dé como resultado 0.1
10−1 = 0.1
En este caso es exponente -1 porque se sabe por naturaleza que cualquier número
que esta elevado por una potencia negativa, da como resultado un número decimal
o fracción. Utilizando la ley de los exponentes
10−1 =1
101 =1
10= 0.1
d) log16 4 = −1
1. Pasar a forma exponencial
16𝑥 = 4
2. Que exponente necesito para la base 16 que dé como resultado 4
161 2⁄ = 4
En este caso es exponente 1 2⁄ porque se sabe por naturaleza que cualquier
número que esta elevado por una potencia en forma de fracción, es lo mismo
si tuviera una raíz donde el denominador del exponente es el índice de la raíz y
el numerador del exponente es el exponente del radicando. Entonces:
161 2⁄ = 4
√16 = 4
Ejercicio No.4
Evaluar los siguientes logaritmos dejando constancia de procedimientos:
1. log5 125 = 2. Log4 64 = 3. Log3 9 = 4. Log9 81 = 5. Log6 36 =
5. Propiedades de logaritmos:
Ilustramos las propiedades de logaritmos cuando la base es 5.
Ejercicio No. 5
Evaluar los siguientes logaritmos utilizando las propiedades e identifique que propiedad es:
1. log3 3 = 2. log3 1 = 3. log3 32 = 4. log7 710 = 5. 2log2 37 =
6. 3log3 8 = 7. . log6 1 = 8. log9 9 =
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Ejercicio No. 6
Use la definición de la función logarítmica para hallar X
1. log2 𝑥 = 5 2. log2 16 = 𝑥 3. log5 𝑥 = 4 4.log3 243 = 𝑥
5. log10 0.1 = 𝑥 6. log4 𝑥 = 2 7. log𝑥 1000 = 3
8. log𝑥 16 = 4 9. log𝑥 25 = 2
Ejercicio No.7
Con ayuda de su calculadora evaluar la expresión, aproximada a cuatro lugares decimales.
1. log 2 = 2. log 35.2 = 3. log 2 = 4. log(2
3) = 5. log 50 =
6. ln 5 = 7. ln 25.3 = 8. ln 27 = 9. ln 7.39 = 10. ln 54.6 =
6. Graficas de funciones logarítmicas
Ejemplo No. 1:
Trece la gráfica de 𝑓(𝑥) = log2 𝑥
Para hacer una tabla de valores, escogemos los valores x que sean potencias de 2
para que podamos fácilmente hallar sus logaritmos. Localizamos estos puntos y los
enlazamos con una curva sin irregularidades
𝑥 𝑦 = log2 𝑥 (𝑥, 𝑦)
23 log2 23 = 3 (8,3)
22 log2 22 = 2 (4,2)
21 log2 21 = 1 (2,1)
20 log2 20 = 0 (1,0)
2−1 log2 2−1 = −1 (0.5, −1)
2−2 log2 2−2 = −2 (0.25, −2)
2−3 log2 2−3 = −3 (0.125, −3)
2−4 log2 2−4 = −4 (0.0625, −4)
Ejemplo No. 2:
Trece la gráfica de 𝑔(𝑥) = 2 + log5 𝑥
𝑥 log2 𝑥 𝑦 = 2 + log5 𝑥 (𝑥, 𝑦)
53 log5 53 = 3 2 + 3 = 5 (125,3)
52 log5 52 = 2 2 + 2 = 4 (25,2)
51 log5 51 = 1 2 + 1 = 3 (5,1)
50 log5 50 = 0 2 + 0 = 2 (1,0)
5−1 log5 5−1 = −1 2 + (−1) = 1 (0.2, −1)
5−2 log5 5−2 = −2 2 + (−2) = 0 (0.04, −2)
5−3 log5 5−3 = −3 2 + (−3) = −1 (0.008, −3)
5−4 log5 5−4 = −4 2 + (−4) = 5 (0.0016, −4)
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Ejercicio No. 8
Graficar las siguientes funciones logaritmos:
1. 𝑓(𝑥) = log3 𝑥 2. 𝑓(𝑥) = log6 𝑥 3. 𝑓(𝑥) = log4 𝑥
4. 𝑓(𝑥) = 2 + log3 𝑥 5. 𝑓(𝑥) = 2 log2 𝑥
7. Logaritmos Comunes:
8. Leyes de Logaritmos
Como los logaritmos son exponentes, las Leyes de Exponentes dan lugar a las Leyes de
Logaritmos
Ejemplos:
Utilice las leyes de logaritmos para evaluar lo siguiente
Ejercicio No. 9
Evaluar utilizando las leyes de logaritmos
1. log2160 − log25 = 2. log129 + log1216 = 3. log5 (25
125) =
4.log4 16100 = 5. log5(25 ∗ 125) =
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9. Expansión de expresiones logarítmicas:
Las Leyes de Logaritmos nos permiten escribir el logaritmo de un producto o un cociente
como la suma o diferencia de logaritmos. Este proceso, llamado expansión de una
expresión logarítmica, se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejercicio No. 10
Use las Leyes de Logaritmos para expandir la expresión
1. log2(2𝑥) = 2. log3(5𝑦) = 3. log5𝑥
2= 4. log𝑎(
𝑥2
𝑦𝑧3) =
5. In(𝑥√𝑦
𝑧) =
10. Combinación de expresiones Logarítmicas:
Las Leyes de Logaritmos también nos permiten invertir el proceso de expansión. Es decir,
podemos escribir sumas y diferencias de logaritmos como un solo logaritmo. Este proceso,
llamado combinar expresiones logarítmicas, está ilustrado en el siguiente ejemplo.
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Ejercicio No. 11
Use las Leyes de Logaritmos para combinar la expresión
1. log3 5 + 5 log3 2 = 2.log 12 +1
2log 7 − log 2 = 3. Log2 𝐴 + log2 𝐵 + 2 log2 𝐶 =
4.ln 5 + 2 ln 𝑥 + 3(𝑥2 + 5) =
11. Ley del Olvido
Ejemplo:
Ejercicio No. 12
1. Olvido Use la Ley de Olvido para estimar la calificación de un estudiante,
en un examen de biología, dos años después que obtuvo una calificación
de 80 en un examen sobre el mismo material. Suponga que 𝑐 = 0.3 y 𝑡 se
mide en meses. La ecuación es:
log 𝑃 = log 𝑃0 − 𝑐 log(𝑡 + 1)
2. Diversidad Algunos biólogos modelan el número de especies S en un área
fija A (por ejemplo una isla) con la relación
especie-área
log 𝑆 = log 𝑐 + 𝑘 log 𝐴
donde c y k son constantes positivas que dependen del tipo de especie y
hábitat.
De la ecuación, despeje S.
12. Fórmula para Cambio de Base:
Para algunos propósitos encontramos útil cambiar de logaritmos de una base a
logaritmos de otra base
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En particular, si ponemos x = a, entonces log𝑎 𝑎, y esta fórmula se convierte en
log𝑏 𝑎 =1
log𝑎 𝑏
Ahora podemos evaluar un logaritmo a cualquier base con el uso de la Fórmula para
Cambio de Base, para expresar el logaritmo en términos de logaritmos comunes o
logaritmos naturales y luego usar calculadora.
Ejemplos:
Use la Fórmula para Cambio de Base y logaritmos comunes o naturales para
evaluar cada logaritmo, aproximado a cinco lugares decimales.
Ejercicio No. 13
Use la Regla para Cambio de Base y una calculadora para evaluar el logaritmo,
redondeado a seis lugares decimales. Use logaritmos naturales o comunes.
1. log2 5 = 2. log5 2 = 3. log7 2.61 = 4. log4 125 = 5. log12 2.5 =