Tema.Tema.-- Dinámica Dinámica

Profesor.Profesor.-- Juan SanmartínJuan Sanmartín

FenomenologíaFenomenologíaFenomenologíaFenomenologíaL di á i t di l d l i i tLa dinámica estudia la causa del movimientoHechos observacionales

El movimiento de un cuerpo es el resultado de su interaccióncon otros.La masa inercial de un cuerpo es una propiedad quedetermina cómo cambia su velocidad al interaccionar conotros cuerposotros cuerpos.La interacción afecta por igual a los dos cuerpos ( acción-reacción)reacción)

Isaac Newton 1642Isaac Newton 1642 17271727Isaac Newton 1642 Isaac Newton 1642 -- 17271727

NewtonNewton:: unouno dede loslos masmas grandesgrandes científicoscientíficos..Profesor,Profesor, Teólogo,Teólogo, Alquimista,Alquimista, WardeWarde ofof thethe MintMint,,PresidentePresidente dede lala RoyalRoyal SocietySociety miembromiembro deldelPresidentePresidente dede lala RoyalRoyal SocietySociety,, miembromiembro deldelParlamentoParlamento.. CoinventorCoinventor deldel cálculocálculo.. DescubridorDescubridor dede lalaleyley dede lala GravitaciónGravitación UniversalUniversal yy dede laslas trestres leyesleyes dedeleyley dede lala GravitaciónGravitación UniversalUniversal yy dede laslas trestres leyesleyes dedeNewtonNewton deldel movimientomovimiento.. FormulóFormuló lala teoríateoría CorpuscularCorpusculardede lala luzluz yy lala leyley dede enfriamientoenfriamiento.. HizoHizo lala mayormayor partepartedede susu trabajotrabajo antesantes dede loslos 2525 añosaños..

33

1ª 1ª -- Ley de Inercia y Ley de Inercia y y yy yconservación del momento linealconservación del momento lineal

Si l f t lt t tú bj tSi la fuerza externa resultante que actúa en un objeto es cero,entonces la velocidad del objeto no cambiará. Un objeto en reposopermanecerá en reposo; un objeto en movimiento continuarápermanecerá en reposo; un objeto en movimiento continuarámoviéndose con velocidad constante (M.R.U.). Un cuerpo se acelerasolamente si una fuerza actúa sobre él.

= 0v∑

→==

⇒=++=...

00321 URMctev

vFFFFirrrr

Si no hay una fuerza en contra quey qnos detenga seguiremos avanzandocon la misma velocidad

El cinturón de seguridad evita que alf h l h tfrenar o chocar el coche nuestro cuerpovaya hacia delante. Esto ocurre por laLey de Inercia, llevamos la velocidadLey de Inercia, llevamos la velocidadque posee el coche y al frenar, si noexiste una fuerza que nos detenga(cinturón) nos vamos hacia delante

Si pudiéramos eliminar totalmente la fricción la aplicación de una fuerzaSi pudiéramos eliminar totalmente la fricción, la aplicación de una fuerzaprovocaría un movimiento perpetuo

Para que un cuerpo cambie laPara que un cuerpo cambie ladirección de su movimiento necesitaque se le aplique una fuerzaque se le aplique una fuerza

La Fuerza Gravitatoriacambia la dirección de loscambia la dirección de losplanetas provocando que semuevan en órbitas

2ª Ley: Fuerza y Masa2ª Ley: Fuerza y Masa2 Ley: Fuerza y Masa.2 Ley: Fuerza y Masa.

Si b d ( ) tú f t (F) lSi sobre un cuerpo de masa (m) actúa una fuerza neta (F), el cuerpoadquiere una aceleración (a) que es directamente proporcional almódulo de la fuerza e inversamente proporcional a su masa y tiene lamódulo de la fuerza e inversamente proporcional a su masa, y tiene lamisma dirección y sentido que de la fuerza.

∑ ⋅=⇒≠ amFFirrr

0

[ ]2smKgN

mFaamF =

==→=

rrrr

. sKgm

La fuerza ejercida es directamenteproporcional a la masa del cuerpoMientras que la aceleración obtenida esinversamente proporcional a la masa.

La variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional aLa variación de momento lineal de un cuerpo es proporcional ala resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo yse produce en la dirección en que actúan las fuerzasse produce en la dirección en que actúan las fuerzas

1. Si vemos un objeto acelerándose o frenándose, debemos pensarque una fuerza está siendo aplicada sobre él.q p

2. Si vemos un objeto que esta cambiando la dirección de sumovimiento, nuevamente debemos suponer que una fuerza estái d li d b élsiendo aplicada sobre él.

3 Si tá l id d t t i3. Si un cuerpo está en reposo o con velocidad constante, no quieredecir que no haya fuerzas aplicadas sobre él. Lo que nos dice esta leyes que la fuerza resultante es cero esto es todas las fuerzases que la fuerza resultante es cero, esto es todas las fuerzasaplicadas sobre el cuerpo están equilibradas.

Las Tres Leyes de NewtonLas Tres Leyes de NewtonLas Tres Leyes de NewtonLas Tres Leyes de Newton

Una fuerza mas grande produce una mayor aceleración

U d t d á l ió iUna masa mas grande tendrá una aceleración menor y viceversa

1212

III Ley de acción y reacciónIII Ley de acción y reacciónIII. Ley de acción y reacciónIII. Ley de acción y reacción

C d j f b t é t j bCuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste ejerce sobreel primero una fuerza igual y de sentido opuesto

Las fuerzas siempre se presentan en pares de igual magnitud,sentido opuesto y están situadas sobre la misma rectasentido opuesto y están situadas sobre la misma recta.

Si un cuerpo A ejerce una fuerza sobreun cuerpo B entonces B ejerce sobre Aun cuerpo B, entonces B ejerce sobre Auna fuerza de igual magnitud ydirección opuesta. FA + FB = 0p A B

Cuando queremos dar un salto hacia arriba,j l l i l Lempujamos el suelo para impulsarnos. La

reacción del suelo es la que nos hace saltarhacia arribahacia arriba.

Cuando estamos en una piscina y empujamos a alguien nosotros tambiénCuando estamos en una piscina y empujamos a alguien, nosotros tambiénnos movemos en sentido contrario. Esto se debe a la reacción que la otrapersona hace sobre nosotros, aunque no haga el intento de empujarnos anosotros.

Las naves espaciales tienen un sistema de impulsiónque incorpora pequeños motores que expulsan gasesq p p q q p gen diferentes direcciones. Al expulsar estos gases enun sentido, la nave, debido a la tercera ley de Newton,experimenta una fuerza en el sentido opuesto.

Cuando un cuerpo está apoyado sobre unaCuando un cuerpo está apoyado sobre unasuperficie ejerce una fuerza sobre ella cuyadirección es perpendicular a la de lasuperficie. De acuerdo con la Tercera ley deNewton, la superficie debe ejercer sobre el

f d l i it dcuerpo una fuerza de la misma magnitud ydirección, pero de sentido contrario. Estafuerza es la que denominamos Normal y lafuerza es la que denominamos Normal y larepresentamos con N.

Fuerzas de ContactoFuerzas de Contacto

Son de origen electromagnético debidas a interacciones entre lasg gmoléculas de cada objeto

Fuerzas de contactoFuerzas de contactoFuerzas de contacto.Fuerzas de contacto.Objetos deslizándose sobre superficies

Fuerza Normal : fuerza perpendicular a una superficie

Objetos deslizándose sobre superficies

Fuerza Normal : fuerza perpendicular a una superficie que se opone a su deformación.

Fuerzas de RozamientoFuerzas de RozamientoFuerzas de Rozamiento.Fuerzas de Rozamiento.Fuerza de rozamiento: fuerza paralela a unasuperficie que se opone al movimiento de un cuerposobre ellasobre ella.

µ⋅= NFrozamientor

La fuerza de rozamiento es igual a la normalpor el coeficiente de rozamiento que espor el coeficiente de rozamiento que espropio de casa superficie.

ProblemasProblemas

Problema: Un ciclista pesa, junto con su bicicleta, 75 kg. Y se desplaza con unal id d d 28 8 / Si b l i t tú f d f dvelocidad de 28,8 m/s. Si sobre el sistema actúa una fuerza de frenado

(rozamiento) de 15 N, calcula:a. El tiempo que tardará en parar cuando deje de pedalearp q p j pb. El espacio que recorrerá a partir de ese instanteEl ciclista pedalea con velocidad constante, es decir, según

∑ = 0iFr

la Primera Ley de Newton.

∑ 0iF

Al dejar de pedalear la Fuerza de rozamiento detiene la bicicleta.

22,07515

sm

mFaamFrozamiento ===⇒⋅=r

rrr

75 sm

Entonces aplicando las fórmulas de M R U A (Tema I)Entonces aplicando las fórmulas de M.R.U.A. (Tema I)

8,28 stttavv 1442,08,282,08,2800 ==⇒⋅−=→⋅±=

Y en el apartado b)p )

11 mstatvss 6,20731442,0211448,28

21 22

00 =⋅−⋅=⇒⋅±⋅+=

Plano InclinadoPlano Inclinado

En estos problemas tenemos uno o más cuerposp psituados en un plano que forma un cierto gradocon la horizontal.

Para resolver este tipo de problemas necesitamosdescomponer las fuerzas y para ello necesitamosunos conocimientos de TRIGONOMETRÍAunos conocimientos de TRIGONOMETRÍA

Trigonometría Trigonometría ConceptosConceptosTrigonometría Trigonometría -- ConceptosConceptos

222h +

Por Pitágoras sabemos

222opuestocontiguo cch +=

Definimos ahora seno, coseno y tangente del ángulo β :

hi tcateto

sen opuesto=βhi tcatetocontiguo=βcos

hipotenusa hipotenusa

opuestocatetot β

contiguo

p

catetotag =β

En nuestro caso:ó

Definimos:Definimos:

r

ββ ⋅=⇒= senPPPPsen XX

r

rrr

ββ coscos ⋅=⇒= PPPP

YY

rrr

r

Obtenemos:

βPPrr

β

β

cos⋅=

⋅=

PP

senPP

Y

Xrr

Aplicando las Fuerzas de contacto:

β⋅= senPPXrr

µ

β

⋅=

≡⋅=

NF

NPP

R

Yr

rrcos

µNFR

P bl PlP bl PlProblemas Planos Problemas Planos InclinadosInclinadosInclinadosInclinados

Problema: Calcula la aceleración para el siguiente sistema

Tenemos un móvil en un planoinclinado y otro sobre unahorizontalhorizontal

Primero vamos a colocar lasfuerzas.

Primero colocamos los pesos,p ,siempre perpendiculares a lasuperficie terrestre, van hacia elcentro de la tierracentro de la tierra.

Descomponemos el peso que seencuentra en el plano inclinado, enla componente X e Y. Unaperpendicular a la superficie y otraparalelaparalela

Colocamos las Fuerzas Normales al fi i b ó illas superficies en ambos móviles

A continuación colocamos lasTensiones, que actúan sobre lacuerda que une los móviles. Soniguales una tira y la otra es tiradaiguales, una tira y la otra es tirada.

Antes de colocar las fuerzas dei t l l l frozamiento calculamos las fuerzas

que hemos colocado. ¡¡Ojo con lasunidades!!

386819650 ≡=== NNmkggmPr

Móvil A

32,005,038,6

38,681,965,0 2

=⋅=⋅=

≡=⋅=⋅=

µARA

AAA

NF

NNsmkggmP

r

Móvil Br

NsensenPP

NsmkggmP

BXB

BB

96160923

92,381,94,0 2

=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

βrr

NNPP

NsensenPP

BBYB

BXB

39,360cos92,3cos

96,16092,3

≡=⋅=⋅= β

β

r

rr

NNF BBRB 24,007,039,3 =⋅=⋅= µ

Una vez conocidas las Fuerzas y sabiendo que el sistema va hacia la derecha

Establecemos el sistema con los dos móviles y sumamos. Las tensiones soniguales y de sentido contrario se anulaniguales y de sentido contrario, se anulan.

TFP ( ) ammFFPamFT

amTFPBARARBXB

ARA

BRBXB ⋅+=−−

⋅=−

⋅=−−

Sustituyendo valoresy

( )40650320240961 a+( )

233,132,024,096,14,065,032,024,096,1

ma

a

=−−

=

⋅+=−−

2,4,065,0 s+

Problema: Calcula la aceleración para el siguiente sistema

Como ambos móviles están en un plano inclinado, tendemos que descomponerl l f d l dlos las fuerzas en cada lado

Quedando de la siguiente manera:

Y por lo tanto…

Obtenemos los siguientes valores

NmkggmP AA 69,081,907,0 2 =⋅=⋅=r

Obtenemos los siguientes valores

NsensenPPs

gg

AXA

AA

44,04069,0

,,, 2

=⋅=⋅= βrr

NNF

NNPP

AARA

BAYA

03,005,053,0

53,040cos69,0cos

=⋅=⋅=

≡=⋅=⋅=

µ

βr

rr

Ns

mkggmP BB

AARA

49,081,905,0

,,,

2 =⋅=⋅=

µr

NNPP

NsensenPP

BBYB

BXB

25,060cos49,0cos

42,06049,0

≡=⋅=⋅=

=⋅=⋅=

β

βrr

rr

NNF BBRB

BBYB

01,003,025,0

,,

=⋅=⋅= µ

βr

Establecemos el sistema con los dos móviles y sumamos. Las tensiones soniguales y de sentido contrario se anulan P >P entonces establecemos lasiguales y de sentido contrario, se anulan. PXA >PXB entonces establecemos lasfuerzas de rozamiento que siempre se oponen al movimiento.

( ) ammFPFPamFPTamTFP

BARBXBRAXABRBXB

ARAXA ⋅+=−−−

⋅=−−

⋅=−−

BRBXB

Sustituyendo valoresy

( )05,007,001,042,003,044,0 a⋅+=−−−

217,005,007,0

01,042,003,044,0s

ma −=+

−−−=

,,

La aceleración negativa nos indica que el cuerpo no se mueve.PERMANECE QUIETO.

Problema: Calcula la aceleración para el siguiente sistema

Colocamos todas las fuerzas menos la de rozamiento ya que desconocemos ely qsentido de esta.

Obtenemos los siguientes valores

NmkggmP AA 89,581,96,0 2 =⋅=⋅=r

Obtenemos los siguientes valores

NsensenPP

NskggmP

AXA

AA

51,45089,5

89,581,96,0 2

=⋅=⋅=rr

β

NNPP AAYA 79,350cos89,5cos ≡=⋅=⋅=r

rrβ

NmkggmP

NNF

BB

AARA

43,381,935,0

14,13,079,3

2 =⋅=⋅=

=⋅=⋅=r

µ

NskggmP BB 43,381,935,0 2

Es mayor PXA que PB por lo que colocamos la Fuerza de Rozamiento ensentido contraria a PXA . En B consideramos que no hay rozamientoXAporque no hay contacto entre las superficies.

Establecemos el sistema con los dos móviles y sumamos. Las tensiones soniguales y de sentido contrario se anulan P >P entonces establecemos laiguales y de sentido contrario, se anulan. PXA >PB entonces establecemos lafuerza de rozamiento que siempre se oponen al movimiento.

( ) ammPFPamPT

amTFPBABRAXA

ARAXA ⋅+=−−

⋅=−⋅=−−

amPT BB =

Sustituyendo valoresy

( )35,06,043,314,151,4 a⋅+=−−

206,03506043,314,151,4

sma −=

+−−

=35,06,0 s+

La aceleración negativa nos indica que el cuerpo no se mueve.PERMANECE QUIETO.