Tendencia central

Núcleos Temáticos y Problemáticos

Primer Caso: Cuando los Datos no Están Agrupados Segundo Caso: Cuando los Datos Están Agrupados

Proceso de Información

Las medidas de centralización son valores que tienden a situarse en el centro del conjunto de datos ordenados según su magnitud. Las medidas de centralización más usadas son: Media aritmética, mediana y moda. La media aritmética es la medida de tendencia central más conocida, es fácil de calcular, de gran estabilidad en el muestreo; se puede aplicar a variables de intervalos ya sean discretos o continuos. Esta medida se define como la suma de todos los valores observados dividido por el número de observaciones, es decir encontrar el promedio de los datos en estudio. La mediana se define como la medida de tendencia central que divide a cualquier distribución en dos partes iguales. Esta medida se puede aplicar a variables de intervalos (discretas y continuas) y variables ordinales. La moda de una distribución se define como el valor que presenta la mayor frecuencia, se usa con variables de intervalos nominales y ordinales. Es comúnmente utilizada como una medida de popularidad que refleja la tendencia de una opinión. 2.1 PRIMER CASO: CUANDO LOS DATOS NO ESTÁN AGRUPADOS 2.1.1 Media Aritmética La media aritmética de un conjunto de n números x1, x2, X3..., Xn, se representa por x y se define como:

Cuando los números x1, x2, x3,....xn, aparecen f1, f2, f3,..... fn veces, respectivamente, es decir, que sus frecuencias respectivas son f1, f2, f3,....fn, la media aritmética se puede calcular del modo siguiente:

X =

X1 + X2 + X3 + ……Xn

n

xi =

X =

f1X1 +f2X2 + f3X3 + ....+fnXn

=

f1+f2+f3+………+fn

n

fixi

fi

En ocasiones, a cada uno de los números x1, x2, x3,....xn, se les asigna un peso determinado w1, w2, w3,....wn. En estos casos, se acostumbra a calcular la media aritmética ponderada del modo siguiente: Ejemplo

Hallar la media aritmética del puntaje obtenido por 5 estudiantes en una prueba: 6, 4, 3, 7, 8.

6+4+3+7+8 28

x = =5,6

5 5 Hallar la media aritmética de los siguientes datos que representan las

edades de 10 niños. 6, 6, 6, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 7. 3*6+4*4+2*3+1*7 47

x= = 4,7 3+4+2+1 10

El promedio de edad de los 10 niños es de 4 años, 7meses ó de 5años.

Un estudiante ha obtenido las calificaciones siguientes:

Asignatura Nota Peso

Historia 8 1

Química 7 3

Física 3 3

Matemática 6 3

Biología 5 3

Geología 6 2

Dibujo 5 2

Idioma 7 2

filosofía 4 1

Calculando su nota media ponderada:

1*8 + 3*7 + 3*3 + 3*6 + 3*5 + 2*6 + 2*5 + 2*7 + 1*4

1+3+3+3+3+2+2+2+1

X =

w1x1 +w2x2 + w3x3 + ....+wnnn

w1+w2+w3+…..+wn

n

wixi

wi

Este es el puntaje promedio de los 5 estudiantes

X =

111 = 5,55

20 Por lo tanto el promedio de las notas del estudiante es de 5,55 2.1.2 Mediana La mediana es una serie de datos ordenados en orden de magnitud, es el valor medio si el número de datos es impar o bien la media aritmética de los valores medios si el número de datos es par. Ejemplo Hallar la mediana de los siguientes datos que corresponden a la venta de

leche en un expendio durante los últimos 7 días:

27800 54300 60800 73200 43850 60500 54350

27800 43850 54300 54350 60500 60800 73200

Md = 54350. El precio de la venta de leche que se encuentra en la mitad de los precios es de $54350.

Hallar el valor de la mediana para los siguientes puntajes de las pruebas ICFES: 304, 283,332, 344;295, 339.

283 295 304 332 339 344

304+332

Md = = 318

2 El puntaje de las pruebas que se encuentra en la mitad es de 318. 2.1.3 Moda La moda no puede ser única e incluso puede no existir. Ejemplo

En una encuesta realizada sobre los deportes que se practican en un grado determinado de un Colegio de Varones, se presentan los siguientes resultados:

Deporte Nº de Alumnos

Basket 10

Fútbol 18

Voleibol 5

X =

Otros 4

La moda en este caso es el Fútbol, puesto que la mayoría de los alumnos lo prefieren. Se le ha preguntado a un grupo de personas acerca del color preferido por

ellas y se obtuvo lo siguiente:

Color Numero de Personas

Blanco 4

Gris 8

Azul 9

Negro 4

Rojo 3

Morado 2

Café 8

Vinotinto 8

Lo cual indica que los colores que pueden estar de moda son el gris, café y vinotinto.

Hallar la moda de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; como ningún número se repite más que los otros, por consiguiente no hay moda.

2.2 SEGUNDO CASO: CUANDO LOS DATOS ESTÁN AGRUPADOS 2.2.1 Media Aritmética Ejemplo

Hallar la media aritmética de las ventas de los sesenta establecimientos:

Intervalos F X X*F

5 - 10 2 7.5 15

10 - 15 5 12.5 62.5

15 - 20 12 17.5 210

20 - 25 14 22.5 315

25 - 30 15 27.5 412.5

30 - 35 8 32.5 260

35 - 40 4 37.5 150

40 - 0 0

X =

n

xi fi

Total 60 1425

Las ventas promedio de los sesenta establecimientos son de $24000.

Hallar el valor promedio para la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística:

Intervalos F X X*F

10 - 19.6 10 14.8 148

19.6 - 29.2 3 24.4 73.2

29.2 - 38.8 7 34 238

38.8 - 48.4 7 43.6 305.2

48.4 - 58 5 53.2 266

58 - 67.6 8 62.8 502.4

Total 40 1532.8

El puntaje promedio de los 40 alumnos es de 38. 2.2.2 Mediana Para hallarla cuando los datos están agrupados se siguen los siguientes pasos:

Ubicar el intervalo donde quede la frecuencia correspondiente a la mitad del tamaño de la muestra.

Encontrar el valor del límite real inferior del intervalo dónde está. Aplicar la siguiente fórmula:

Ejemplo Encontrar la mediana de las ventas de los sesenta establecimientos:

X =

1425

= 23,7 = 24

X =

1532.8

= 38.3 = 38

n _ Fa 2

F n/2

A; donde:

li :es el límite real inferior donde está la F n/2

Fa es la sumatoria de frecuencias anteriores

a n/2

F n/2 es la frecuencia donde está n/2

Intervalos F

5 - 10 2

10 – 15 5

15 – 20 12

20 - 25 14

25 - 30 15

30 - 35 8

35 - 40 4

TOTAL 60

$24.000 corresponde a la venta que está en la mitad.

Encontrar la mediana de la distribución correspondiente a las notas obtenidas por 40 estudiantes en una prueba estadística

Intervalos F

10 - 19.6 10

19.6 - 29.2 3

29.2 - 38.8 7

38.8 - 48.4 7

48.4 - 58 5

58 – 67.6 8

Total 40

La nota que está en la mitad en esta distribución es Moda. 2.2.3 Moda Se debe ubicar el intervalo donde esté la mayor frecuencia, y después se aplica la siguiente fórmula:

Li es el límite real inferior donde está la moda.

, 1es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente anterior.

2 es la diferencia entre la frecuencia modal y la frecuencia inmediatamente posterior.

A es la amplitud del intervalo.

Ejemplo

Encontrar la moda de las ventas de los sesenta establecimientos:

Intervalos F

5 - 10 2

10 - 15 5

15 - 20 12

20 - 25 14

25 - 30 15

30 - 35 8

35 - 40 4

Total 60

Encontrar la moda de la distribución correspondiente a las notas obtenidas

por 40 estudiantes

Intervalo F

10-19.6 10

19.6-29.2 3

29.2-38.8 7

38.8-48.4 7

48.4-58 5

58-67.6 8

Total 40

Proceso de Comprensión y Análisis

Supóngase que en un viaje, un automovilista hace las siguientes compras de gasolina. 10 galones a $2500 c/u, 8 galones a $2550 c/u, 15 galones a $2600 c/u y 12 galones $2480 c/u. Cuál sería el costo medio por galón?.

La siguiente tabla muestra los salarios mensuales en miles de pesos de 144 empleados de una empresa:

Salarios F

540 - 607 6

607 - 674 19

674 - 741 36

741 - 808 24

808 - 875 26

875 - 942 19

942 - 1009 10

1009 - 1076 4

Total 144

Encontrar la media, la moda y la mediana.

Diez medidas del diámetro de un cilindro fueron anotadas por un científico como 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95, 3.98, 4.03, 3.92 y 4.06 centímetros; hallar la media aritmética de tales medidas.

De entre 100 números: 20 son cuatros, 40 son cincos, 30 son seis y los

restantes sietes. Hallar la media aritmética, la media y la moda.

De los 80 empleados de una empresa, 60 cobran $7000 a la hora y el resto $4000 a la hora. Hallar cuánto cobran la media por hora.

Usar la distribución de frecuencias para hallar la altura media, la altura que más se repite y la altura que se encuentra en la mitad de 100 estudiantes.

Altura (m) F

1.60 - 1.63 5

1.63 - 1.66 18

1.66 - 1.69 42

1.69 - 1.72 27

1.72 - 1.75 8

Total 100

Hallar la media, mediana y moda de los pesos de 40 estudiantes de la

siguiente tabla:

PESO (Lb) F

118 - 126 3

126 – 134 5

134 – 142 9

142 – 150 12

150 - 158 5

158 - 166 4

166 - 174 2

Total 40

Los tipos de reacción de un individuo ante diversos estímulos, medidos por un psicólogo, fueron: 0.53, 0.46, 0.5, 0.49, 0.52, 0.53, 0.44 y 0.55 segundos respectivamente. Determinar su tiempo medio de reacción.

La siguiente tabla muestra la distribución de cargas máximas en toneladas cortas que soportan los cables producidos en cierta fábrica. Determinar la carga máxima media, la carga máxima que se repite y la carga que más se repite.

Carga Máxima

(Toneladas Cortas)

F

9.3 - 9.7 2

9.7 - 10.1 5

10.1 - 10.5 12

10.5 - 10.9 17

10.9 - 11.3 14

11.3 - 11.7 6

11.7 - 12.1 4

Total 60

La siguiente tabla muestra el número de bodas en Colombia para hombres y mujeres de distintos grupos de edad durante 1984.

Hallar la media, mediana y moda tanto para hombres como para mujeres,

estableciendo las respectivas conclusiones.

Edad

(años)

Hombres

(Miles)

Mujeres

(Miles)

15 - 19 121 481

19 - 23 2.441 4.184

23 - 27 5.930 6.952

27 - 31 6.587 7.193

31 - 35 11.788 11.893

35 - 39 9.049 9.022

39 - 43 8.749 8.171

43 - 47 5.786 4.654

47 - 51 2.581 1.524