Tensores(1)

1 Tensores

1.1 Introduccin

Muchos fenmenos fsicos se representan matemticamente mediante Tensores, los cuales, por necesidad son representados en un sistema de referencia, de este modo surge el concepto de componentes del tensor. Si bien los tensores son independientes del sistema de referencia, las componentes sern dependientes y variarn con ste. Los tensores pueden ser clasificados segn su orden como: Escalar (Tensor de orden 0): Cantidad que tiene magnitud pero no direccin (ejemplo: densidad de masa, temperatura, presin). Los escalares pueden ser funciones del espacio y del tiempo y no necesariamente han de ser constantes. Vector (Tensor de orden 1): Cantidad que tiene magnitud y direccin (ejemplo: velocidad, aceleracin, fuerza). Ser simbolizado por una letra en negrita con una flecha en la parte superior del tensor, i.e.: r . Tensor de segundo orden (Tensor de orden 2): Cantidad que tiene magnitud y dos direcciones (ejemplo: tensin, deformacin). Ser simbolizado por una letra en negrita. Para los tensores de rdenes superiores tambin usaremos letras en negrita. Este captulo trata del estudio detallado de los tensores (escalar, vector, tensor de segundo orden, y de orden superior), y de algunas herramientas matemticas que darn soporte al desarrollo de las teoras que se exponen en los captulos posteriores. Primeramente, revisaremos algunas operaciones de vectores independientemente del sistema de coordenadas. A continuacin, introduciremos el sistema de coordenadas rectangulares para expresar las componentes de un vector en dicho sistema. Una vez definido el sistema de referencia, podremos expresar las operaciones con vectores tan slo

Tensores

1

MECNICA DEL MEDIO CONTINUO: CONCEPTOS BSICOS

Mecnica del Medio Continuo: Conceptos Bsicos (3 Edicin) Por: Eduardo W.V. Chaves

12

en funcin de sus componentes. Por ltimo, expondremos la notacin indicial por su simplicidad y fcil manipulacin matemtica. Posteriormente estudiaremos los tensores de orden superior, poniendo especial nfasis en los tensores de segundo orden. Para finalizar, plantearemos los campos de tensiones y los sistemas de coordenadas cilndricas y esfricas.

1.2 Vectores

A continuacin presentamos algunas operaciones entre vectores en el espacio vectorial tridimensional Euclidiano ( )E . Suma: Sean los vectores a

r y b

r pertenecientes al espacio de vectores. La suma de los

mismos, ver Figura 1.1(a), ser otro vector (cr

) dado por:

abbacrrrrr +=+= (1.1)

Figura 1.1: Suma y resta de vectores.

Resta: La resta de dos vectores (ar , br

), ver Figura 1.1(b), ser otro vector (dr

) dado por:

badrrr = (1.2)

Para los vectores ar

, br

y cr

, pertenecientes al espacio de vectores, se cumplen las siguientes relaciones:

cbacbacbarrrrrrrrr ++=++=++ )()( (1.3)

Producto por un escalar : Sea el vector ar , el producto ar ser un vector con la misma direccin de a

r, mientras que su mdulo y sentido dependern del valor del escalar , tal y

como se indica en la Figura 1.2.

Producto Escalar

Sean los vectores ar

y br

, se define el Producto Escalar de ambos vectores como un escalar de valor:

== cos baba rrrr (1.4)

cr

ar

br

cr

ar

br

br

dr

a) b)

1 TENSORES

Mecnica del Medio Continuo: Conceptos Bsicos (3Edicin) Por: Eduardo W.V. Chaves

13

siendo el ngulo formado por los dos vectores, y es el mdulo (o magnitud) de , ver Figura 1.3(a). Podemos concluir tambin que abba

rrrr = . Para el caso en que ba

rr = obtenemos que: aaaaaaaaaaarrrrrrrrrrr == = = cos 0 (1.5)

Figura 1.2: Producto de un vector por un escalar.

Vector Unitario (versor)

Dado un vector ar

, el versor (vector unitario) asociado a esta direccin ser un vector a con la misma direccin y sentido de a

r, definido por:

aaa rr

= (1.6)

donde ar

es el mdulo del vector ar

. Si a es un vector unitario, entonces debe cumplir que:

1 =a (1.7)

Vector Nulo

El vector nulo viene representado por: r0 (1.8)

Vector Proyeccin

El vector proyeccin del vector ar

sobre el vector br

(Figura 1.3(b)) ser un vector con la direccin de b

r y con mdulo de valor a

b

rrproj dado por:

= r r rba a bproj (1.9)

donde b es el versor segn la direccin de br

, luego se cumple que:

= rrrr rb

a bab

proj (1.10)

ar

1> 0



14

Figura 1.3: Producto escalar.

Podemos obtener el vector ab

rrproj como su mdulo a

b

rrproj multiplicado por el versor

segn la direccin de br

:

escalar

= = rr r rr r rr r r r r

14243b

a b b a ba bb b b b

proj (1.11)

Ortogonalidad de dos vectores:

Dos vectores son ortogonales entre s cuando se cumple la siguiente condicin:

0=ba rr (1.12) Producto Vectorial

El producto vectorial de dos vectores ar

y br

da como resultado un tercer vector cr

que se caracteriza por ser perpendicular a estos dos vectores (Figura 1.4), y que posee las siguientes caractersticas: Representacin:

abbacrrrrr == (1.13)

Dado que cr es perpendicular a ar y a br , se cumple entonces que: 0== cbca rrrr (1.14)

El mdulo de cr es por definicin: = sinbac rrr (1.15)

siendo el menor ngulo formado entre los vectores ar y br , ver Figura 1.4. El mdulo del producto vectorial es el rea (A ) del paralelogramo formado por estos dos vectores, ver Figura 1.4(a):

barr =A (1.16)

y como consecuencia el rea del triangulo formado por los puntos OCD (Figura 1.4(b)) ser:

barr =

21

TA (1.17)

ar

br

ar

br

.

ab

rrproj

a) b)

0

1 TENSORES


15

Si ar

y br

son colineales (linealmente dependiente, i.e. barr = , donde es un escalar), el

producto vectorial entre ellos resultar el vector nulo, 0r

.

Figura 1.4: Producto vectorial.

Triple Producto Escalar

Dados tres vectores ( cbarrr

,, ) se denomina el triple producto escalar a:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )abccabbca bacacbcba rrrrrrrrrrrrrrrrrr

======

V

V (1.18)

El resultado de esta operacin es el volumen del paraleleppedo (V ) formado por estos tres vectores, tal y como se muestra en la Figura 1.5.

Luego, para vectores cualesquiera ar

, br

se cumple que:

( ) 0aba rrrr = (1.19)Dados los vectores a

r, br

, cr

, dr

, y , escalares, la siguiente propiedad es vlida: )()()()( dcbdcadcbarrrrrrrrrr +=+ (1.20)

NOTA: Algunos autores representan el triple producto escalar por la siguiente nomenclatura, ( )cbacba rrrrrr ],,[ , ( )acbacb rrrrrr ],,[ , ( )bacbac rrrrrr ],,[ , y as sucesivamente.

Figura 1.5: Triple producto escalar.

ar

br

ar br

. .

V cr

V Triple producto escalar

bacrrr =

ar

br

abc rrr =

. . ar

br

. . A

TA

O C

D

a) b)

cr

O C

D



16

Triple Producto Vectorial

Dados tres vectores ar

, br

y cr

, el triple producto vectorial resulta un vector wr

dado por ( )cbaw rrrr = , siendo vlidas las siguientes relaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cbabcaabcbaccbaw rrrrrrrrrrrrrrrr ==== (1.21)

Observemos que el vector wr

es un vector contenido en el plano 1 , formado por los vectores br

y cr

, segn se muestra en la Figura 1.6.

Figura 1.6: Triple producto vectorial.

Ejemplo 1.1: Probar que si ar

y br

son vectores se cumple que: ( ) ( ) ( )( ) ( )2babbaababa rrrrrrrrrr = Solucin: ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )2

222222

222222

22

22222

cos

cos cos1

sin sin

babbaa

babababa

bababa

bababababa

rrrrrr

rrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrrr

===

=====

donde hemos considerado que 2aaarrr = y 2bbb rrr = .

Transformacin Lineal

Decimos que una transformacin F es una transformacin lineal cuando dados dos vectores u

r y vr

y un escalar se cumplen que: )()()( vuvu rrrr FFF +=+ )()( uu rr FF =

1 2

ar

br

cr

cbrr

1 - plano formado por br

y cr

2 - plano formado por ar

y cbrr

wr

wr

contenido en el plano 1

1 TENSORES


17

Ejemplo 1.2: Verificar si para las siguientes transformaciones = E)( y 221)( = E

son transformaciones lineales. Solucin: [ ] )()()( 21212121 +=+=+=+ EEE (transformacin lineal)

La transformacin 221)( = E se demuestra fcilmente que no es una transformacin

lineal ya que: [ ] [ ])()()()(

221

21

212

21

21)(

212121

2122

21

2221

21

22121

+++=++=++=+=+

E

EEEEE

)(

21 + 2 1

)( 2

)( 1

)()()( 2121 +=+

21 + 1 2

)(

)( 21 +

)( 2

)( 1

)()( 21 +



18

1.3 Sistema de Coordenadas

Un tensor es una interpretacin matemtica de un concepto fsico. Sus componentes adoptan valores que dependen del sistema de coordenadas elegido para representarlo, ver Figura 1.7.

Figura 1.7: Esquema tensor-componentes.

Consideremos un tensor de orden uno (ar

) como el representado en la Figura 1.8(a), la representacin de este tensor en un sistema de coordenadas genrico ( 321 ,, ) se hace a travs de sus componentes ( 321 aaa ,, ), ver Figura 1.8(b).

Figura 1.8: Representacin de un vector.

Los sistemas de coordenadas pueden ser de varios tipos: coordenadas curvilneas, coordenadas cartesianas rectangulares, coordenadas cilndricas y coordenadas esfricas, entre otros.

1.3.1 Sistema de Coordenadas Rectangulares

El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares viene definido por tres vectores: i , j , k , los cuales constituyen una base ortonormal. Se entiende por base ortonormal, aquella que satisface las siguientes propiedades:

1. Los vectores que forman esta base son unitarios (versores):

1 === kji (1.22) o lo que es igual:

ar

a)

ar

1

2 3

b)

ar

( 321 aaa ,, )

TENSORES Interpretacin matemtica de conceptos fsicos

(Independiente del sistema de coordenadas)

COMPONENTES Representacin del Tensor en un Sistema de Coordenadas

1 TENSORES


19

1 === kkjjii (1.23)2. Los vectores de esta base son ortogonales entre s, es decir:

0 === ikkjji (1.24)3. El producto vectorial entre los versores que forman esta base cumple lo siguiente:

jikikjkji ;; === (1.25)Para conocer el sentido del vector resultante del producto vectorial utilizamos la regla de la mano derecha, tal y como se indica en la Figura 1.9.

kji = ikj = jik = (1.26)

Figura 1.9: Regla de la mano derecha.

1.3.2 Representacin de los Vectores en el Sistema de Coordenadas Cartesianas

En el sistema de coordenadas cartesianas, el vector ar

(Figura 1.10) est representado por sus componentes ( xa , ya , za ) como:

kji zyx aaa ++=ar

(1.27)

Figura 1.10: Vector en el sistema cartesiano.

i

j

k

i

j

k k i

j

x

y

z

ar

i

j

k xa

ya

za



20

Las operaciones bsicas particularizadas a este sistema de referencia son:

Producto Escalar de dos vectores ar y br )()()( zzyyxxzyxzyx babababbbaaa ++=++++= kjikjiba rr (1.28)

Luego, se cumple que 2222 aaarrr =++=++= zyxzzyyxx aaaaaaaaa

NOTA: La proyeccin de un vector sobre una direccin determinada obtenemos a travs del producto escalar del vector y del versor que define esa direccin. Como ejemplo, si quisiramos obtener la componente del vector a

r segn la direccin y

(representado por su versor j ) es suficiente con: yzyx aaaa =++= )()( jkjijar . mdulo del vector ar

222zyx aaa ++=a

r (1.29)

vector unitario correspondiente al vector ar

kji 222222222zyx

z

zyx

y

zyx

x

aaa

a

aaa

a

aaa

a

+++

+++

++==

aaa rr

(1.30)

vector nulo 0 0 0 = + +i j kr0 (1.31)

Suma de dos vectores ar y br

( ) ( ) ( )kji kjikji )()(

zzyyxx

zyxzyx

babababbbaaa

+++++=+++++=+ ba rr (1.32)

Resta de dos vectores ar y br

( ) ( ) ( )kji kjikji )()(

zzyyxx

zyxzyx

babababbbaaa

++=++++=ba rr (1.33)

Multiplicacin por un escalar kji zyx aaa ++=a

r (1.34)

Producto Vectorial de dos vectores ar y br

kji

kjikji

)()()(

xyyxxzzxyzzy

yx

yx

zx

zx

zy

zy

zyx

zyx

babababababa

bbaa

bbaa

bbaa

bbbaaa

+=

+=== bac rrr (1.35)

donde el smbolo )( det se emplea para indicar el determinante de una matriz. Triple Producto Escalar de los vectores [ cba rrr ,, ] en trminos de sus

componentes viene definido por:

1 TENSORES


21

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xyyxzxzzxyyzzyxyx

yxz

zx

zxy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

cbcbacbcbacbcba

ccbb

accbb

accbb

a

cccbbbaaa

V

+=

+=

==== bacacbcbacba rrrrrrrrrrrr ),,(

(1.36)

Triple Producto Vectorial de los vectores ( cba rrr ,, ) en funcin de sus componentes es:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kji 212121 zzyyxx cbcbcb ++=

= cbabcacba rrrrrrrrr (1.37)con zzyyxx cacaca ++== ca rr1 , y zzyyxx bababa ++== ba rr2 .

Ejemplo 1.3: Considrense los puntos ( )1,3,1A , ( )1,1,2 B , ( )3,1,0C y ( )4,2,1D . Se pide:

1) Encontrar el rea del paralelogramo definido por

AB y

AC ;

2) Encontrar el volumen del paraleleppedo definido por:

AB ,

AC y

AD ;

3) Encontrar el vector proyeccin del vector

AB sobre el vector

BC . Solucin:

1) Primero se calculan los vectores

AB y

AC :

( ) ( ) kjikjikji 041131112 +=+++=== OAOBABar ( ) ( ) kjikjikji 221131310 +=++++=== OAOCACbr

Utilizando la definicin (1.35) se obtiene el producto vectorial:

kjikji

)6(2)8(221041

+== ba rr

El rea del paralelogramo ser igual al mdulo del vector resultante del producto vectorial:

104)6()2()8( 222 =++== ba rrA (unidades cuadradas) 2) Calculando el vector

AD :

( ) ( ) kjikjikji 310131421 +=++++=== OAODADcr Utilizando la definicin (1.36) obtenemos que: ( ) ( ) ( )

cbicas) (unidades 161820

628310 ),,(

=+=+== kjikjibaccba rrrrrrV

3) A continuacin calculamos el vector

BC :

( ) ( ) kjikjikji 222112310 ++=+++== OBOCBC Utilizando la ecuacin (1.11):



22

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )kji

kjikjikji

kjikji

222444082

222222222

041222

2

+++++=

+++++++++==

BCBCBC

ABBCAB

BC

BC43421

proj

kji 35

35

35 = AB

BCproj

1.3.3 Convenio de Suma de Einstein

Definimos en la expresin (1.27) la representacin de un vector ar

en el sistema de coordenadas rectangular:

kji zyx aaa ++=ar

(1.38)

Podemos reescribir la representacin anterior como:

332211 eeea aaa ++=r

(1.39)

donde hemos considerado que: xaa 1 , yaa 2 , zaa 3 , i 1 e , j 2 e , k 3 e , tal y como se indica en la Figura 1.11.

Figura 1.11: Vector en el sistema cartesiano. De esta forma podemos expresar la representacin simblica del vector (1.39) como una suma:

=

=++=3

1332211

i

iieeeea aaaar

(1.40)

x

y

z

ar

1 ei 2 ej

3 ek

1aa x

2aa y

3aa z

1 TENSORES


23

o simplemente utilizando el convenio de suma o Notacin de Einstein, segn la cual, se utilizan ndices repetidos para indicar suma, as pues la expresin (1.40) queda de la siguiente manera:

)3,2,1( 332211 ==++= iiieeeea aaaar

)3,2,1( == iiiea ar

(1.41)

NOTA: La notacin de suma fue introducida por Albert Einstein en 1916, dando origen as a la notacin indicial.

1.4 Notacin Indicial

Utilizando notacin indicial los ejes del sistema de coordenadas son designados por la letra x con un subndice. Por eso ix no representa un nico valor, sino i valores, es decir 1x ,

2x , 3x ( si 3,2,1=i ) donde estos valores ( 1x , 2x , 3x ) corresponden respectivamente a los ejes ( x , y , z ).

En un sistema de coordenadas cartesianas, un vector ar

ser representado por sus componentes en la base del citado sistema de la siguiente forma:

332211 eeea aaa ++=r (1.42)donde 1e , 2e , 3e son versores (vectores unitarios), tal y como se muestra en la Figura 1.12, y 1a , 2a , 3a son las componentes del vector. En notacin indicial las componentes del vector sern representadas por ia . Si no se indica el rango del subndice, se supondr que adopta los valores 1,2,3. Por tanto, las componentes de vector pueden representarse de la siguiente forma:

==

3

2

1

)(aaa

a iiar

(1.43)

Figura 1.12: Vector en el sistema cartesiano.

1xx

2xy

3xz

ar

1e 2e

3e

1a

2a

3a



24

Componentes del Vector Unitario: Dado un vector ar

, el vector unitario asociado a esta direccin ser un vector a dado por:

1 == aaaa conrr

(1.44)

cuyas componentes sern:

)3,2,1,,(23

22

21

===++

= kjikk

i

jj

iii

aa

a

aa

a

aaa

aa (1.45)

Los subndices se denominan de 2 formas: Subndices libres aquellos que slo aparecen una vez en un trmino de la expresin. En la

ecuacin anterior el subndice libre es el subndice ( i ). El nmero de subndices libres indica el orden del tensor.

Subndices mudos son los subndices que se repiten en una expresin indicando suma. En la ecuacin anterior (1.45) son, o bien el ( j ), o bien el ( k ).

Producto Escalar: Utilizando las definiciones (1.4) y (1.28), podemos expresar el producto escalar en notacin indicial de la siguiente forma:

)3,2,1,(

cos

332211 ===++===

jijjii bababababa baba rrrr

(1.46)

Ejemplo 1.4: Reescribir en notacin indicial las siguientes expresiones: 1) 333322311 xxaxxaxxa ++ Solucin: )3,2,1(3 =ixxa ii 2) 2211 xxxx + Solucin: )2,1( =ixx ii

3)

=++=++=++

z

y

x

bzayaxa

bzayaxabzayaxa

333231

232221

131211

Solucin:

=++=++=++

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxabxaxaxabxaxaxa

jmudondice

===

33

22

11

bxabxabxa

jj

jj

jj

ilibrendice

ijij bxa =

Como podemos apreciar, la utilizacin de la notacin indicial supone que la expresin quede muy concisa. En muchos casos, tratar de realizar manipulaciones algebraicas sin utilizar notacin indicial o tensorial es casi imposible debido a la gran cantidad de trminos que pueden intervenir.

OBS.: Un subndice en un trmino de una expresin slo puede aparecer una o dos veces. En el caso de que aparezca tres o ms veces, entonces la expresin es incorrecta.

1 TENSORES


25

Ejemplo 1.5: Expandir la expresin: )3,2,1,( =jixxA jiij Solucin: Los ndices ji, son ndices mudos (indican suma), no hay ndice libre, y como resultado tenemos un escalar. Expandimos primero el ndice mudo i y a continuacin el ndice j , resultando as:

434214342143421

3333

2332

1331

33

3223

2222

1221

22

3113

2112

1111

11

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxA

xxAxxA jjjjjjioexpandiend

jiij

+

+

+

+

+

+

+

+

Reagrupando los trminos anteriores obtenemos:

3333233213313223

22221221311321121111

xxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxAxxA jiij

++++++++=

1.4.1 Delta de Kronecker

El smbolo delta de Kronecker ij definimos de la manera siguiente:

==

jisi

jisi

ij

0

1 (1.47)

Observemos tambin que el producto escalar de la base ortonormal ji ee es 1 si ji = y 0 si ji . Si lo anterior lo exponemos de forma explcita, obtendremos:

ijji =

=

=

100010001

332313

322212

312111

eeeeeeeeeeeeeeeeee

ee (1.48)

Una propiedad muy interesante de la delta de Kronecker la demostramos a continuacin con el siguiente ejemplo, sea un vector (V

r) de componentes ( iV ) se cumple:

332211 VVVV jjjiij ++= (1.49)luego, como )3,2,1( =j es un ndice libre tenemos:

jiij

iij

iij

iij

VVVVVVVjVVVVVj

VVVVVj=

=++===++===++==

3333223113

2332222112

1331221111

3

2

1

(1.50)

Es decir, en la presencia del smbolo Delta de Kronecker reemplazamos el ndice repetido, tal y como se indica a continuacin:

jiji VV = (1.51)Por esta razn, la delta de Kronecker es frecuentemente llamada operador de sustitucin.

expa

ndie

ndo

j



26

Otros ejemplos relacionados con este operador se presentan a continuacin: jkikij AA = , 3332211 =++=== jjiijiij , 332211 aaaaaa jjiijiji ++=== Tambin podemos verificar que se cumple que:

ijj

i

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx =

=

=

100010001

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

(1.52)

Sea la base ortonormal ie , podemos obtener las componentes del vector ar

en esta base como:

ipipippi aaa === eeea r (1.53) Con eso, tambin podemos representar un vector como:

iiii eeaea )( == rr a (1.54) Ejemplo 1.6: Resolver las siguientes expresiones: 1) jjii Solucin: ( )( ) 933332211332211 ==++++= jjii 2) 11 Solucin: 1111111 === NOTA: Observar que es incorrecto hacer la siguiente operacin 13 1111 == , ya que lo que se reemplaza es el ndice repetido

1.4.2 Smbolo de Permutacin

El smbolo de permutacin ijk viene definido como: { }{ }

===+

=)()()(

)3,1,2(),1,2,3(),2,3,1(),,(1)2,1,3(),1,3,2(),3,2,1(),,(1

0 kiokjojisikjisikjisi

:i.e. casos de resto el paraijk (1.55)

NOTA: ijk son las componentes del pseudo-tensor Levi-Civita, que ser definido mas adelante. Otra forma de expresar este operador es a travs de sus subndices:

))()((21 ikkjjiijk = (1.56)

Los valores de ijk pueden ser fcilmente memorizados si utilizamos la Figura 1.13(a), en el cual si los valores de los ndices estn ordenados en el sentido horario el valor de ijk es igual a 1 y si estn ordenados en el sentido antihorario ijk asumir el valor 1 . Con la definicin (1.67) y utilizando la Figura 1.13(b) podemos comprobar que las siguientes relaciones son vlidas:

1 TENSORES


27

kjijikikjijk

kijjkiijk

=====

(1.57)

Figura 1.13: Smbolo de permutacin.

Si expresamos el smbolo de permutacin en funcin de la delta de Kronecker (operador de sustitucin), obtenemos:

( ) ( ) ( )jijikkikijkjkji kjikjikjikjikjikjinkmjlilmnijk

233212332123321

123132213312231321

+=++=

= (1.58)

lo que es igual al resultado del siguiente determinante:

kkk

jjj

iii

kji

kji

kji

ijk

321

321

321

333

222

111

== (1.59)

Por lo tanto podemos expresar el producto pqrijk como el producto de dos determinantes que definimos a continuacin:

rqp

rqp

rqp

kkk

jjj

iii

pqrijk

333

222

111

321

321

321

= (1.60)

Si tenemos en cuenta que dadas dos matrices cuadradas se cumple que )()()( BAAB detdetdet = , donde )(det es el determinante de la matriz , la relacin

(1.60) resulta ser:

=

333

222

111

321

321

321

rqp

rqp

rqp

kkk

jjj

iii

pqrijk

krkqkp

jrjqjp

iriqip

pqrijk

= (1.61)

Observemos que el trmino ip fue obtenido a travs de la operacin: ipmpmipipipi ==++ 332211 , anlogamente podemos obtener el resto de

trminos. Para el caso particular en el que kr = la relacin (1.61) puede expresarse como: 3,2,1,,,, == qpkjijpiqjqippqkijk (1.62)

1

2 3

1)( =ijk

1)( =ijk

a)

i

j k

b)

kijjkiijk ==

ikjijk =

jik

kji

ikjijk

===



28

Ejemplo 1.7: a) Probar que ippjkijk 2= y que 6=ijkijk . b) Obtener el valor numrico de la siguiente expresin ikjijk 132 . Solucin: a) Utilizando la expresin (1.62), jpiqjqippqkijk = , y haciendo jq = , resulta:

ipipip

jpijjjippjkijk

23 ===

Partiendo del resultado anterior, es trivial la siguiente comprobacin: 62 == iiijkijk

b) 1123132 == ikjijk El Producto Vectorial de dos vectores ar y br resultar un vector cr , definido en

(1.35), y viene dado por:

3

3

12212

2

31131

1

2332

321

321

321

)()()(

eeeeee

bac 43421434214434421rrr

ccc

bababababababbbaaa ++=== (1.63)

Podemos utilizar la definicin del smbolo de permutacin ijk , definido en (1.55), y expresar las componentes de c

r como:

kjijki

kjjk

kjjk

kjjk

bac

bababac

bababac

bababac

=

=+==+==+=

312321213123

231213132312

123132321231

(1.64)

Luego, el producto vectorial, entre dos vectores ar

, br

, podr ser representado a travs del smbolo de permutacin como:

ijkikjiijkkjkjkj

iijkkjkkjj

ikjijk

eeee

eee

eba

)(

bababa

baba

ba

==== rr

(1.65)

Con lo cual concluimos que:

iijkkj eee )( = (1.66) Tambin podemos relacionar el operador de permutacin con la base ortonormal ie a travs del triple producto escalar de dicha base:

( ) ijkmkijmkmijmkjimijmji ==== eeeeeeee (1.67) El Triple Producto Escalar de los vectores ( cba rrr ,, ) viene dado por:

( ) ( ) ( ) kjiijkkjikjikkjjii cbacbacba ==== eeeeeecba rrr (1.68) ( ) )3,2,1,,( === kjikjiijk cbacba rrr (1.69)

1 TENSORES


29

( ) ( ) ( )321

321

321

cccbbbaaa

==== bacacbcba rrrrrrrrr (1.70)

Demostraremos que se cumplen ( ) ( ) ( )bacacbcba rrrrrrrrr == partiendo de la relacin (1.69), y adems teniendo en cuenta las relaciones dadas en (1.57), obtenemos que:

( )( )( )( )

( )( ) ],,[ ],,[],,[

],,[],,[

],,[

abcabc

cabcabbcabca

bacbacacbacb

cbacba

rrrrrrrrrrrrrrrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrrrrr

======

====

=

kjikji

kjijik

kjiikj

kjikij

kjijki

kjiijk

cba

cba

cba

cba

cba

cba

(1.71)

Observemos que:

321

321

321

321

321

321

],,[],,[bbbcccaaa

cccbbbaaa

=== bcacba rrrrrr (1.72)

con lo cual hemos demostrado que si intercambiamos filas (o columnas) el signo del determinante cambia.

Ejemplo 1.8: Escribir la siguiente relacin ( ) ( )dcba rrrr sin emplear el producto vectorial. Solucin: Observemos que el producto vectorial ( )ba rr lo podemos expresar de la siguiente forma: ( ) ikjijkkkjj eeeba baba == rr , cuyo resultado es un vector, donde hemos utilizado la definicin del smbolo de permutacin (1.65). Anlogamente podemos expresar el producto vectorial ( )dc rr como ( ) nmlnlm edc dc= rr , por lo tanto: ( ) ( )

mlkjilmijk

inmlkjnlmijk

nimlkjnlmijk

nmlnlmikjijk

dcbadcbadcba

dcba

====

eeeedcba

)()

rrrr

Teniendo en cuenta que lmijkiilmijk = (relacin (1.57)) y aplicando la relacin (1.62), i.e.: ilmjkikljmkmjllmijki == ) , concluimos que: ( ) mllmmlmlmlkjkljmkmjlmlkjilmijk dcbadcbadcbadcba == Puesto que el subndice mudo indica el producto escalar: ( )ca rr =llca y ( )db rr =mmdb , luego: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )cbdadbcadcba rrrrrrrrrrrr = Adems, la expresin anterior se cumple para el caso cuando ca

rr = y db rr = , luego ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2222 babaabbabbaabababa rrrrrrrrrrrrrrrrrr === que es la misma expresin demostrada en el Ejemplo 1.1.



30

Ejemplo 1.9: Probar que: ( ) ( ) [ ] [ ])( )( bacdbadcdcba rrrrrrrrrrrr = Solucin: Expresaremos en notacin indicial los trminos que estn la derecha de la igualdad:

[ ] [ ] ( )[ ] ( )[ ]kjijkipkjijkipp

bacdbadc )( )( =

bacdbadc rrrrrrrr

( )piipkjijkpikjijkipkjijk dcdcbadcbadcba Si utilizamos la propiedad de la delta de Kronecker: ( ) ( ) ( )npimnipmnmkjijknpnmimninmpmkjijk dcbadcdcba y si consideramos (1.62), resulta: mnlpilnpimnipm = . Reemplazamos en la expresin anterior y obtenemos: ( ) ( ) ( )( )[ ]nmmnlkjijkpilmnlpilnmkjijk dcbadcba Dado que las componentes de ( )ba rr son kjijk ba y las componentes de ( )dc rr son

nmmnl dc , obtenemos que: ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]pnmmnlkjijkpil dcba rrrr =dcba

Ejemplo 1.10: Si ar

, br

, cr

son vectores linealmente independientes y vr

un vector dado por:

0cbavrrrrr ++=

Probar que los escalares , , vienen dados por:

rqppqr

kjiijk

rqppqr

kjiijk

rqppqr

kjiijk

cba

vba

cba

cva

cba

cbv

=== ;;

Solucin: Haciendo el producto escalar del vector vr

por el vector ( cbrr

) obtenemos que: 43421rrr

43421rrrrrrrrr

00

)()()()( ==++= cbccbbcbacbv

Obtenemos entonces el valor de como:

)()(

cba

cbvrrrrrr

=

En componentes:

rqppqr

kjiijk

cba

cbv

cbacbacba

cbvcbvcbv

cccbbbaaa

cccbbbvvv

===

333

222

111

333

222

111

321

321

321

321

321

321

Anlogamente podemos obtener los parmetros , , es decir, hacemos el producto escalar del vector v

r por los vectores ca

rr y ba rr , respectivamente.

Ejemplo 1.11: Probar la relacin (1.37): ( ) ( ) ( )cbabcacba rrrrrrrrr =

1 TENSORES


31

Solucin: Teniendo en cuenta que ( ) kjijkii cb== cbd rrr )( y ( ) kjqjkq cb= da rr , podemos obtener que: ( )[ ] ( )

( ) ( )bacacba

rrrr

rrr

====

== =

qqqjjkqk

kjssjqkkjsskqjkjssjqkskqj

kjsjkiqsikjsijkqsikjijksqsiq

cbcbacba

cbacbacbacbacbacba

)(

( )[ ] ( ) ( )[ ]qq baccabcba rrrrrrrrr =

1.5 Operaciones Algebraicas con Tensores

1.5.1 Didicas

El producto didico de dos vectores (producto tensorial) resultar en un tensor de segundo orden. Si consideramos los vectores v

r y ur

, el producto didico vendr representado por:

Avuvu = rrrr (1.73)donde el operador denota el producto tensorial. Como veremos ms adelante, cualquier tensor puede ser representado a travs de combinacin lineal de productos didicos (didicas). Verificaremos tambin que una didica es un caso particular de un tensor de segundo orden, Holzapfel(2000). El producto didico obedece a las siguientes leyes:

1. )()()( xvuxvuxvurrrrrrrrr = (1.74)

2. wuvuwvurrrrrrr +=+ )( (1.75)

3. [ ] [ ])()()()()(xrwxuvxrwxuvxrwuvrrrrrrrrrrrrrrrrr

+=+=+

(1.76)

donde y son escalares. Por definicin, el producto didico no posee la propiedad conmutativa, es decir, uvvu

rrrr . La expresin (1.73) tambin la podemos expresar en el sistema cartesiano como:

)()(

)()(

jiij

jiji

jjii

eeeeeevuA

==

==

Avu

vurr

)3,2,1,( =ji (1.77)

{ { 43421base

ji

scomponente

ijTensor

eeA = A )3,2,1,( =ji (1.78)

Las componentes de un tensor de segundo orden sern representadas de diferentes formas en el desarrollo de este libro:



32

ijjiijij

scomponente

Avu ===

=

)()( vuA

vuA

rr

43421rr

(1.79)

Dichas componentes pueden estar explcitamente expresadas de forma matricial:

===

333231

232221

131211

)(AAAAAAAAA

A AijijA (1.80)

Observemos que un tensor de segundo orden tiene 9 componentes independientes. A continuacin exponemos la representacin de tensores de diferentes rdenes, dos, tres y cuatro, en el sistema cartesiano:

lkjiijkl

kjiijk

jiij

eeee

eeeT

eeU

==

=

II

T

U

)3,2,1,,,( =lkji (1.81)

Ejemplo 1.12: Cul es el orden de los tensores representados por sus componentes: iv , ijk , ijjF , ij , ijklC , ij ? Determinar cuantas componentes independientes tiene el tensor

C . Solucin: El orden del tensor viene dado por el nmero de subndices libres, luego: Tensores de orden uno: vr , F

r; Tensores de segundo orden: , ; Tensor de tercer orden:

; Tensor de cuarto orden: C . El nmero de componentes de un tensor viene dado por el mximo valor del rango del subndice, 3 si ( 3,2,1=i ), elevado al nmero de subndices libres. Es decir, para el tensor de cuarto orden, el nmero de ndices libres es 4, luego:

( ) ( ) ( ) ( ) 81333334 ====== lkji El tensor de cuarto orden ijklC tiene 81 componentes independientes.

Dados dos tensores de segundo orden A y B , a continuacin definimos algunas operaciones entre ellos: Suma La suma de dos tensores del mismo orden resulta ser un tercer tensor de igual orden:

ABBAC +=+= (1.82) Las componentes del tensor resultante (C ) viene representadas por:

OBS.: El orden de un tensor viene dado por el nmero de subndices libres en sus componentes.

OBS.: El nmero de componentes de un tensor viene dado por el mximo valor del rango del subndice, elevado al nmero de subndices libres.

1 TENSORES


33

ijij )()( BAC += ijijij BAC += (1.83)que de forma matricial expresamos como:

BAC += (1.84) Multiplicacin de un tensor por un escalar La multiplicacin de un tensor de segundo orden (A ) por un escalar ( ) viene definido por un tensor D , tal que:

ijijscomponenteen )()( ADAD = = (1.85)

en forma matricial:

=

=

333231

232221

131211

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AA (1.86)

Tambin se cumple que:

)()( vAvArr = (1.87)

para cualquier vector vr

. Producto Escalar El producto escalar de un tensor de segundo orden A por un vector x

r (tensor de orden

uno) resulta ser otro vector yr

(tensor de orden uno):

jj

j

j

kjk

jklljk

llkjjk

e

ee

eee

xAy

)()(

y

xAxA

xA

y

=

==

==

321

rr

(1.88)

El producto escalar de dos tensores de segundo orden A y B es otro tensor de segundo orden, verificndose que ABBA :

liil

liklik

lijkklij

lkkljiij

ee

eeee

eeeeBAC

)()(

===

==

C

BABA

BA

321AB

liil

liklik

lijkklij

lkkljiij

ee

eeee

eeeeABD

)()(

===

==

D

ABAB

AB

321BA

(1.89)

Tambin se cumplen las siguientes propiedades:

CBACBACABACBA

=+=+)()(

)( (1.90)

Potencia de Tensores

kl

jk jk



34

El producto escalar (contraccin simple) nos permite definir la potencia de tensores de segundo orden, luego:

AAAAA1A === 210 ;; (1.91) donde 1 es el tensor identidad de segundo orden, ver subapartado 1.5.2.5. Doble Producto Escalar Consideremos dos didicas, dcA

rr = y vuB rr = , el doble producto escalar (doble contraccin) podr ser definido de distintas formas BA : y BA tal como se indica a continuacin. Doble contraccin :) (

( ) ( ) ( )( )udvcvudc rrrrrrrr = (1.92)

)(

)()(

escalarjiij

iljkklij

lkkljiij

===

= BABA

BA eeeeBA

(1.93)

Doble contraccin ( :):

( ) ( ) ( )( )vducvudcBA rrrrrrrr == :: (1.94) Segn la definicin del doble producto escalar, podemos demostrar que es conmutativo:

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) BAvducdvcudcvuAB ::: ==== rrrrrrrrrrrr (1.95) En componentes:

)(

)()(

escalarijij

jlikklij

lkkljiij

===

=

BABA

BA

eeeeBA ::

(1.96)

Observemos que BABA : , excepto cuando al menos uno de los dos tensores sea simtrico, i.e. BABA = symsym : , symsym BABA =: , symsymsymsym BABA =: El doble producto escalar de un tensor de tercer orden (S ) y uno de segundo (B ), resulta:

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )advcuadcvuSB cudvavuadcBS rrrrrrrrrr

rrrrrrrrrr

====

::::

(1.97)

ik

jl

il jk

1 TENSORES


35

Teniendo en cuenta la definicin anterior, BS : en la base Cartesiana viene representada por:

ijkijkikqjppqijkqppqkjiijk eeeeeee BSBSBS == : (1.98)

La doble contraccin de un tensor de cuarto orden C con uno de segundo orden queda definido por:

jiij

jiklijkljilqkppqijklqppqlkjiijkl

eeeeeeeeeeee

=== CCC : (1.99)

donde ij son la componentes resultante de la operacin :C= . A continuacin expresamos algunas propiedades del doble producto escalar (:):

( )( ) ( ) ( )BABABA

CABACBAABBA

==+=+

=

::::::

::

) ) )

cba

(1.100)

donde CBA , , son tensores de segundo orden y escalar. A travs del doble producto escalar, podemos obtener las componentes del tensor de segundo orden A , segn el sistema cartesiano, como:

ijljkikljlkklijilkklij AAAA ==== eeeeeeeeA )()()()( : (1.101)Consideremos dos vectores cualesquiera a

r, br

y A un tensor de segundo orden, demostramos que:

)(

)(

baA

eeeebAa

rr

rr

===

==

:

jiijjiji

jrpirijprrjiijpp

baAbAa

bAabAa (1.102)

Producto Vectorial El producto vectorial de un tensor de segundo orden A por un vector x

r (tensor de orden

uno) resulta ser un tensor de segundo orden dado por:

likijljk

kkjiij

eeeeexA

)()(

==

xAxA

r

(1.103)

donde empleamos la definicin (1.67), es decir, lljkkj eee = . Hemos demostrado en el Ejemplo 1.11 la siguiente relacin ( ) ( ) ( )cbabcacba rrrrrrrrr = , que tambin la podemos representar a travs de didicas como:

( )[ ] ( )[ ]j kkjkjjkkjkkj abccbcba

rrrrrrrr

=== abccbcbabca )()()(

(1.104)

En el caso particular cuando carr = podemos decir que:



36

( )[ ] [ ] [ ][ ]{ }j

pjpjpkkpjkpkjpkk

jkppkjppkkjkkjkkj

baa1aa

aba

rrrrr

rrr

===

==

)(

)( )()(

)()()()(

baaaabaaaa

ababaaababaa

(1.105)

Con lo cual podemos decir que las siguientes relaciones son vlidas:

( ) ( ) ( )[ ] baa1aaaba

abccbcbabcacbarrrrrrrr

rrrrrrrrrrrrrr

===

)()(

)( (1.106)

1.5.1.1 Representacin de las Componentes de un Tensor de Segundo Orden en la Base Cartesiana

Como hemos visto, un vector que tiene 3 componentes independientes lo hemos representado en el espacio cartesiano tal y como se indica en la Figura 1.12. Un tensor de segundo orden arbitrario tiene 9 componentes independientes, luego necesitaramos de un hiperespacio para su presentacin. A continuacin presentamos un artilugio para hacer la representacin de las componentes del tensor de segundo orden en el espacio cartesiano. Dado un tensor de segundo orden T , y su representacin en la base cartesiana:

333323321331

322322221221

311321121111

eeeeee

eeeeee

eeeeee

eeT

+++++++

+++==

TTT

TTT

TTT

T jiij

(1.107)

Podemos obtener la proyeccin de T segn la base ke como:

332211 eeeeeeeeeT kkkiikjkiijkjiijk TTTTTT ++==== (1.108)

Observemos que como resultado tenemos tres vectores ( 3,2,1=k ):

=++===++===++==

=)(

3332231133

)(3322221122

)(3312211111

3

2

1

3

2

1

e

e

e

teeee

teeee

teeee

eeTrrr

TTTT

TTTT

TTTT

T

ii

ii

ii

iikk

k

k

k

(1.109)

La representacin de estos vectores )( 1etr

, )( 2etr

, )( 3etr

, en la base cartesiana se muestra en la Figura 1.14.

Figura 1.14: Vectores tensores en la base cartesiana. 1x

2x

3x

2)( 2 eTt e =r

3)( 3 eTt e =r

1)( 1 eTt e =r 2e

3e

1e

1 TENSORES


37

Observemos tambin que )( 1etr

es el tensor proyectado segn la direccin 1e cuyo versor representamos por [ ]0,0,1 )1( =in , es decir:

)(

31

21

11

333231

232221

3112111

001

)( enT ii tTTT

TTTTTTTTT

=

=

= (1.110)

El mismo resultado (1.110) poda haber sido obtenido simplemente haciendo el producto escalar de T dado por (1.107) por la base 1e , es decir:

[]

)(331221111

1333323321331

322322221221

3113211211111

1

eteee

eeeeeee

eeeeee

eeeeeeeT

r=++=+++

+++++++=

TTT

TTT

TTT

TTT

(1.111)

Luego, podemos representar las componentes de un tensor de segundo orden en la base cartesiana tal y como se indica en la Figura 1.15. Las componentes de la diagonal principal, 11T , 22T , 33T , estn normales a los planos definidos por los versores 1e , 2e , 3e , respectivamente. Por ello denominamos de componentes normales. Las componentes que estn tangentes al plano denominamos de componentes tangenciales, que corresponden a las componentes que estn fuera de la diagonal principal.

Figura 1.15: Representacin de las componentes de un tensor de segundo en la base cartesiana.

1x

2x

3x

111eT

221eT 331eT

112eT

332eT

222eT

333eT

113eT 223eT

)( 1etr

)( 2etr

)( 3etr

=

333231

232221

131211

TTTTTTTTT

Tij



38

NOTA: A lo largo del libro utilizaremos las siguientes notaciones:

)(

)(

)()(

lijlij

lijkklij

lkkljiij

ee

ee

eeeeBA

=

=

=

BA

BA

BA

(1.112)

Observemos que no se repite ndices ms que 2 veces ni en la notacin simblica ni en la notacin indicial. Observemos tambin que la notacin indicial ser equivalente a la notacin tensorial slo cuando se trata de un escalar, e.g. == ijijBA BA : , iiba=ba .

1.5.2 Propiedades de los Tensores

1.5.2.1 Transpuesta

Sea un tensor de segundo orden A representado por:

)( jiij eeA = A (1.113) La transpuesta del tensor A definimos como:

)()( ijijjijiT eeeeA == AA (1.114)

Si ijA son las componentes de A , las componentes de la transpuesta de A sern:

jiijT A=)(A (1.115)

Si vuArr = , la transpuesta de A vendr dada por uvA rr =T :

( )( )( )( ) jijiijijTjiij

jiijijjiT

jiji

jjiiiijjT

jjii

TT

eeeeee

eeeeee

eeeeeeuvvuA

======

=====

AAA

vuvuvu

uvuvvu

rrrr

(1.116)

Sean A , B dos tensores y , escalares, las siguientes relaciones son vlidas: AA =TT )(

TTT ABAB +=+ )( TTT BAAB =)(

(1.117)

( ) ( )( ) ( ) BAeeeeBA

BAeeeeBA

========

jiijiljkklijlkklijijT

jiijjkilklijklkljiijT

BABABA

BABABA

::

:: (1.118)

La transpuesta de la matriz que contienen las componentes del tensor, se forma al cambiar filas por columna y viceversa, es decir:

Notacin tensorial Notacin simblica

base cartesiana Notacin indicial

1 TENSORES


39

=

=

=

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA

AAAAAAAAA T

Tatranspuest AA (1.119)

Ejemplo 1.13: Demostrar que las siguientes relaciones son vlidas: ( ) ( ) ( ) BCACABCBA ::: TT ==

donde A , B , C son tensores de segundo orden cualesquiera. Solucin: Demostraremos esta identidad a travs de sus componentes:

( ) ( )( )kjikijjqilkppqlkij

qlkpjipqlkij

qppqkllkjiij

CBACBACBA

CBA

===

=

eeeeeeeeeeCBA

:::

Observemos que cuando trabajamos en notacin indicial la posicin de las componentes no importa, es decir:

ikkjijkjijikkjikij BCACABCBA == Podemos ahora observar que la operacin ijikAB resultar un tensor de segundo orden

cuyas componentes son kjT )( AB luego, ( ) CAB := Tkjijik CAB . Anlogamente podemos decir que ( ) BCA :Tikkjij =BCA . Ejemplo 1.14: Demostrar que, si ur , vr son vectores y A un tensor de segundo orden, la siguiente relacin es vlida:

uAvvAurrrr =T

Solucin:

ljljjjll

ilijlkjkjkkiljli

iiljjlkkkkjljlii

T

uAvvAuuAvvAu

uAvvAu

==

==

eeeeeeee

uAvvAu

rrrr

1.5.2.2 Simetra y Antisimetra

1.5.2.2.1 Tensor Simtrico

Un tensor de segundo orden A es simtrico, i.e.: symAA , si el tensor es igual a su transpuesta:

jiijscomponenteenT AA = = AA (1.120)

En forma de matriz:

==

332313

232212

131211

AAAAAAAAA

symT AAA (1.121)

Podemos notar claramente que un tensor simtrico de segundo orden tiene 6 componentes independientes: 11A , 22A , 33A , 12A , 23A , 13A .

Segn ecuacin (1.120) un tensor simtrico se puede representar por:



40

)(21)(

21

2

Tjiijij

jiijij

jiijijij

jiij

AAA +=+=+=

+=+=

AAA

AAA

AAAA

AA

(1.122)

Un tensor de cuarto orden C , cuyas componentes son ijklC , puede presentar:

Simetra menor:

jilkijlkjiklijkl CCCC === (1.123) Simetra mayor:

klijijkl CC = (1.124) Luego, un tensor de cuarto orden es simtrico si presenta simetra menor y mayor. Un tensor de cuarto orden no simtrico tiene 81 componentes independientes. Si presenta slo simetra menor, es decir, simetra en )6(jiij = y simetra en )6(lkkl = , quedando el tensor con 36 componentes independientes. Si adems de simetra menor el tensor presenta tambin simetra mayor, el tensor presenta 21 componentes independientes.

1.5.2.2.2 Tensor Antisimtrico

Un tensor A ser antisimtrico, i.e.: antiAA , si: jiij

scomponente enT AA = = AA (1.125) o an:

==

00

0

2313

2312

1312

AAAAAA

antiT AAA (1.126)

Observemos que un tensor antisimtrico de segundo orden tiene 3 componentes independientes: 12A , 23A , 13A .

Segn la condicin (1.125) un tensor antisimtrico viene dado por:

)(21)(

21

2

Tjiijij

jiijij

jiijijij

AAA ===

=+

AAA

AAA

AAAA

(1.127)

Sea W un tensor antisimtrico, luego debe cumplir la relacin (1.127):

)(21)(

21)(

21

iljkjlikkliljkkljlikkljiijij === WWWWWW (1.128) Utilizando la relacin entre la delta de Kronecker y el operador de permutacin dada por (1.62) obtenemos que lkrijriljkjlik = y reemplazando en la expresin (1.128) resulta:

lkrijrklij WW 21= (1.129)

1 TENSORES


41

Desarrollando el trmino lkrklW para los ndices mudos k , l slo quedamos con los siguientes trminos distintos de cero:

rrrrrrlkrkl 233213313223122131132112 WWWWWWW +++++= (1.130)con lo que concluimos que:

rlkrkl

lkrkl

lkrkl

lkrkl

w

wr

wr

wr

2

223

222

221

3122112

2133113

1233223

=

==+======

==+==

W

WWWW

WWWW

WWWW

(1.131)

donde hemos hecho los siguientes cambios de variables:

=

=

=

00

0

00

0

00

0

12

13

23

2313

2312

1312

3231

2321

1312

wwww

ww

ij

WWWWWW

WWWWWW

W (1.132)

Definimos as el vector axil wr correspondiente al tensor antisimtrico W . El mdulo de wr viene dado por:

212

213

223

23

22

21

22 WWW ++=++=== wwwwww rrr (1.133)Reemplazando (1.131) en (1.129) y considerando que rijijr = obtenemos que:

rijrij w =W (1.134)Partiendo de la expresin (1.134) y multiplicando los dos miembros por kij obtenemos que:

krkrkijrijrijkij www 22 === W (1.135)donde aplicamos la relacin rkkijrij 2= obtenida en el Ejemplo 1.7, con lo que concluimos que:

ijkijkw W21= (1.136)

La representacin de las componentes del tensor antisimtrico y de su vector axil correspondiente, en el sistema cartesiano, se puede apreciar en la Figura 1.16.

Sean ar

y br

vectores arbitrarios y W un tensor antisimtrico, entonces se cumple que:

bWabWaaWbrrrrrr == T (1.137)

luego si barr = resulta que:

0)( === aaWaWaaWa rrrrrr : (1.138)NOTA: Observar que )( aa

rr resulta un tensor de segundo orden simtrico. Ms adelante, demostraremos que el doble producto escalar entre un tensor simtrico y un tensor antisimtrico resulta ser cero.



42

Figura 1.16: Componentes de un tensor antisimtrico.

Sean W un tensor antisimtrico y ar

un vector arbitrario, las componentes del producto escalar aW

r vienen dadas por:

333232131

323222121

313212111

332211

321

aWaWaWaWaWaWaWaWaW

aWaWaWaW

++=++=++=

++=

iii

iiijij

(1.139)

Considerando la propiedad del tensor antisimtrico, i.e., 011 =W , 022 =W , 033 =W , el producto escalar (1.139) resulta:

( )

+=+=+=

232131

323121

313212

321

aWaWaWaWaWaW

iii

iaWr

(1.140)

Fijemos que las componentes anteriores son las mismas que resultan de la operacin:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 323213123231211313212

321122311313223

321

321

321

eee

eee

eeea

aWaWaWaWaWaW

aaaaaa

aaa

+++++=++++=

=

wwwwww

wwwrr

w

(1.141)

donde se cumple que 32231 WW ==w , 31132 WW ==w , 21123 WW ==w . Luego, dado un tensor antisimtrico W , y el vector axil wr correspondiente a W se cumple que:

aaWrrr = w (1.142)

para todo vector ar

. La relacin anterior podra haber sido obtenida a travs de la definicin de las componentes de W dada por (1.134), i.e.:

231 W=w

1x

2x

3x

12W 12W

23W 13W

13W 132 W=w

123 W=w 332211 eee www ++=wr

23W

=

00

0

2313

2312

1312

WWWWWW

Wij

1 TENSORES


43

ikjijkkjikjkiki ww )()( aaWrrr ==== waaaW (1.143)

Podemos representar el vector axil wr por su mdulo, =wr , y por un versor segn la direccin de wr como *1e=wr , luego la expresin (1.142) puede aun ser expresada por:

aeaaWrrrr == *1w (1.144)

Adems si escogemos dos versores *2e , *3e que constituyan una base ortonormal con *1e , ver Figura 1.17, tal que:

*2

*1

*3

*1

*3

*2

*3

*2

*1 ;; eeeeeeeee === (1.145)

Podemos entonces representar el vector ar

en esta nueva base como *3

*3

*2

*2

*1

*1 eeea aaa ++=r , luego:

[ ] aeeeeeeeeeeee

eeeeaeaW

ee0r

434214342143421

rr

=

=++=++==

===)(

)()(

)(

*3

*2

*2

*3

*2

*3

*3

*2

*2

*3

*1

*3

*3

*2

*1

*2

*1

*1

*1

*3

*3

*2

*2

*1

*1

*1

*1

aaaaa

aaa

(1.146)

Con lo cual podemos representar un tensor antisimtrico como:

)( *3*2

*2

*3 eeeeW = (1.147)

Figura 1.17: bases ortonormales.

Aprovechando la representacin del tensor antisimtrico (1.147), podemos obtener la proyeccin del tensor W segn las direcciones *1e , *2e , *3e :

*2

*3

*3

*2

*1 ;; eeWeeW0eW === r (1.148)

Tambin podemos verificar que se cumple lo siguiente:

[ ][ ]

==

==

*3

*3

*2

*2

*3

*2

*3

*2

*2

*3

*2

*2

*3

*3

*2

*3

)(

)(

eeeeeeeWe

eeeeeeeWe (1.149)

Luego, en este nuevo espacio podemos representar las componentes del tensor W como:

=00

00000

*

ijW (1.150)

*3e

*1e 3e 2e

1e

*2e

*1e=wr



44

En la Figura 1.18 podemos apreciar dichas componentes y la representacin del vector axil. Observemos tambin que, si tomamos otros dos versores cualesquiera (normales entre s) definidos en el plano *3*2 ee nos proporcionarn las mismas componentes que (1.150). Es interesante observar que las componentes de W en las bases ( ji ee ) y ( ** ji ee ) son distintas, ver Figura 1.18 y Figura 1.16. Ms adelante obtendremos la ley que gobierna dicha transformacin, i.e. conocidas las componentes en un sistema, a travs de ley de transformacin podemos obtener las componentes en otra base.

Figura 1.18: Componentes del tensor antisimtrico en el espacio definido por el vector axil.

1.5.2.2.3 Descomposicin Aditiva de Tensores en una Parte Simtrica y Antisimtrica

Cualquier tensor puede ser descompuesto (de forma adicional) en una parte simtrica symA y en otra antisimtrica antiA :

antisymTT

antisym

AAAAAAA

AA

+=++=4342143421

)(21)(

21 (1.151)

en componentes:

)(21)(

21

jiijantiijjiij

symij y AAAAAA =+= (1.152)

Observemos que, si A y B son tensores de segundo orden cualesquiera, se cumple que:

( ) ( ) ( ) [ ][ ]ABA

ABBA

ABAABAABAABAABA

=+=

+=

+=

symT

TT

TTTTTTsymT

21

21

21

(1.153)

Ejemplo 1.15: Si es un tensor de segundo orden simtrico y W es un tensor de segundo orden antisimtrico. Demostrar que 0=W : . Solucin:

(escalar) )()( ijijjkillkijkllkjiij WWW === eeeeW ::

=00

00000

*

ijW

*3e

*1e

*2e

1x

2x 3x

*1e=wr

212213223 WWW ++== wr

1 TENSORES


45

Desarrollando

4342143421321

3333

3232

3131

33

2323

2222

2121

22

1313

1212

1111

11

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

W

WW

+

+

+

+

+

+

+

+

= jjjjjjijij

Considerando la propiedad de un tensor simtrico 2112 = , 1331 = , 2332 = y antisimtrico 0332211 === WWW , 1221 WW = , 1331 WW = , 2332 WW = , resultando:

0=W :

Ejemplo 1.16: Demostrar que: a) MQMMQM

rrrr = sym b) antiantisymsym BABABA ::: +=

donde , Mr

es un vector y Q , A , y B son tensores de segundo orden. Solucin: a) ( )

MQMMQM

MQQMMQMrrrr

rrrr

+=+=

antisym

antisym

Ya que el producto: ( ) 0 == MMQMQM rrrr :antianti , resulta que: MQMMQMrrrr = sym

b)

antiantisymsym

antiantisymantiantisymsymsym

antisymantisym

BABA

BABABABABBAABA

::

::::::

+=+++=

++=

==4342143421

00

)()(

Luego como consecuencia tenemos que: antiantiantisymsymsym BABABABA :::: == ;

Ejemplo 1.17: La relacin nTTn rr = es vlida siempre? Siendo T un tensor de segundo orden y n

r un vector. En el supuesto de que la relacin no sea vlida, para qu caso

particular lo sera? Solucin:

lklk

likkli

lkklii

e

e

eeeTn

)(

Tn

Tn

Tn

==

=

r

y

llkk

lkilki

iikllk

e

e

eeenT

)(

Tn

Tn

nT

==

=

r

Con lo que comprobamos que lkkklk TnTn , luego nTTnrr . La relacin nTTn rr =

slo ser vlida cuando el tensor T sea simtrico.

Ejemplo 1.18: Obtener el vector axil wr asociado al tensor antisimtrico anti)( ax rr . Expresar wr en funcin de xr y ar . Solucin: Sea zr un vector arbitrario, se cumple que:

c.q.d.

c.q.d.

c.q.d.



46

zwzax rrrrr = anti)( donde wr es el vector axil asociado a anti)( ax rr . Teniendo en cuenta que:

[ ] [ ]xaaxaxaxax rrrrrrrrrr ==21)()(

21)( Tanti

podemos an decir que:

[ ] [ ] zwzxaaxzwzxaax rrrrrrrrrrrrrr == 221

Utilizando la identidad (1.104) se cumple que [ ] )( axzzxaax rrrrrrrr = , luego: [ ] zwzxaaxzzxaax rrrrrrrrrrrrr === 2)()(

con lo cual, concluimos que: antitensor al asociado axil vector el es )( )(

21

axxaw rrrrr =

1.5.2.3 Cofactor de un Tensor. Adjunta de un Tensor

Dado un tensor A , representamos el cofactor de A como )cof(A . Dados dos vectores ar

y br

existe un nico tensor )cof(A asociado al tensor A tal que:

)()()( bAaAbaArrrr =)cof( (1.154)

Definimos la adjunta de un tensor A como:

[ ]T)(AA cof)adj( = (1.155) donde se cumple que:

[ ] )adj()adj( TT AA = (1.156) Las componentes de )cof(A podemos obtener de la siguiente manera:

[ ][ ] krjpijktprit

rkrpjpijkrptprit

AA)cof(

bAaAba)cof(

==

A

A (1.157)

Multiplicando ambos lados de la igualdad por qpr y adems considerando que tqqprtpr 2= , concluimos que:

[ ] [ ]

[ ] krjpqprijkiq

krjpqprijk

tq

qprtpritkrjpijktprit

AA)cof(

AA)cof(AA)cof(

21

2

=

===

A

AA 43421 (1.158)

1.5.2.4 Traza de un Tensor

Antes de definir la traza de un tensor de segundo orden definimos la traza de su base:

ijjiji == eeee )(Tr (1.159) Luego la traza de un tensor A es la suma de las componentes de su diagonal principal:

1 TENSORES


47

332211

)()()()(

AAA

AAATrAATrTr

++====== iiijijjiijjiijjiij eeeeeeA (1.160)

Anlogamente podemos decir que:

vu

eeeevuvurr

rrrr

=++======

332211

)()()()(

vuvuvu

vuvuvuTrvuTrTr iiijjijijijiji (1.161)

NOTA: Podemos adelantar que la traza de un tensor es un invariante, es decir, es independiente del sistema de referencia. Dados dos tensores A y B : La traza de la transpuesta de un tensor es igual a la traza del tensor:

( ) ( )AA TrTr =T (1.162) La traza de la suma de estos dos tensores ser la suma de la traza de los tensores:

( ) ( ) ( )BABA TrTrTr +=+ (1.163)La demostracin es muy sencilla bastando expresar en trminos de componentes la expresin anterior:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )332211332211333322221111 BBBAAABABABA

TrTrTr+++++=+++++

+=+ BABA (1.164)

La traza del producto escalar ser: ( ) [ ][ ]

( )ABBAee

eeeeBA

===

==

)()()(

TrBA

TrBABATrTr

liil

im

mijllmij

mllmjiij

44 344 21

(1.165)

Anlogamente podemos obtener: ( ) ( ) ( ) kijkij CBATrTrTr === BACACBCBA (1.166)

Luego, es fcil demostrar que las siguientes relaciones son vlidas:

iiATr =)(A , [ ] jjiiAATrTrTr == )()()( 2 AAA , ( ) ( ) liilAATrTr == 2AAA ( ) ( ) kijkij AAATrTr == 3AAAA (1.167)

Podemos escribir el doble producto escalar ( : ) en funcin de la traza como:

( ) ( ))()(

)()(

BABA

BABA

BA

BABA

====

====

=

TT

kkT

kkT

kl

klT

ilikkl

klT

ljkj

jljkilikilikljkj

ijij

TrTr

BABABABA

BA

321321

:

(1.168)



48

Ejemplo 1.19: Demostrar las siguientes identidades: ( ) ( ) ( ) ( )mmTmTTm TTTT TrTr == ; . Solucin:

( ) ( ) ( )mTTTTTTm TTTTTTTT === LL

Para la segunda demostracin utilizaremos la propiedad de la traza ( ) ( )TT TrTr =T ( ) ( ) ( )mTmmT TTT TrTrTr ==

1.5.2.5 Tensores Particulares

1.5.2.5.1 Tensores Identidad

Tensor identidad de segundo orden: jiiijiij eeeeee1 === 1 (1.169)

donde 1 es la matriz con las componentes del tensor 1 . ij es conocido como el smbolo delta de Kronecker, definido en (1.47):

==

jisi

jisi

ij

0

1 (1.170)

Tensores identidades de cuarto orden: llll eeeeeeee11 === kjiijkkjijik II (1.171) llll eeeeeeee11 === kjiijkkjijki II (1.172) llll eeeeeeee11 === kjiijkkjikij II (1.173)

Con lo cual, dado un tensor de segundo orden arbitrario, A , se cumplen que:

( ) ( )( )( )( )A

eeee

eeeeeeeeA

==

==

=

jiij

jikjik

jiqkppqjik

qppqkjijik

AAA

A

ll

ll

ll

::I

(1.174)

y

( ) ( )( )( )( )T

jiji

jikjki

jiqkppqjki

qppqkjijki

Aee

eeee

eeeeeeA

==

==

=

AAA

A

ll

ll

ll

::I

(1.175)

y

c.q.d.

c.q.d.

1 TENSORES


49

( ) ( )( )( )( )1A

eeee

eeeeeeeeA

)(

TrA

AA

A

==

==

=

jiijkk

jikkij

jiqkppqkij

qppqkjikij

ll

ll

ll ::I

(1.176)

La parte simtrica del tensor de identidad de cuarto orden viene definido como:

( ) ( )jkijikijkscomponente ensym lll += += 2121 I1111II (1.177)La propiedad que presenta el producto tensorial se presenta a continuacin. Consideremos el tensor identidad de segundo orden un tensor de segundo orden

jiij ee1 = , luego definimos el producto tensorial como:

( ) ( ) ( )llll eeeeeeee11 == jkikijkkjiij (1.178)que es lo mismo que:

( )ll eeee11 == kjijikI (1.179)Y el producto tensorial como:

( ) ( ) ( )jkikijkkjiij eeeeeeee11 == llll (1.180)

( )ll eeee11 == kjijki I (1.181)La parte antisimtrica de I ser:

( ) ( )jkijikantiijkscomponente enanti lll = = 2121 I1111I (1.182)Se puede demostrar que, dado un tensor de segundo orden A y un vector b

r las siguientes

relaciones son vlidas:

b1brr =

symsym AAAA == :: II ; iiATr == )(A1A : ( ) ( ) liilAATrTr === AAA1A 22 : ( ) ( ) kijkij AAATrTr === AAAA1A 33 :

(1.183)

1.5.2.5.2 Pseudo-Tensor Levi-Civita

El Pseudo-Tensor Levi-Civita, tambin conocido como Tensor de Permutacin, es un pseudo-tensor de tercer orden definido como:

kjiijk eee = (1.184)donde ijk son las componentes del operador de permutacin definido en (1.55).



50

Ejemplo 1.20: Demostrar que: )(T1T Tr=: . Solucin:

)(

T

eeee1T

TrTTT

TT

====

==

jjiiijij

jlikklij

lkkljiij

::

Ejemplo 1.21: Probar que si y D son tensores de segundo orden la siguiente relacin es vlida:

)( DD = Tr Solucin: Basndonos en lo que fue demostrado en (1.93), podemos decir que:

)()()()(

)(

DDDD

D

D

====

===

=

Tr

DDD

D

llkklkkl

lk

kl

jlkj

lkjlkjilikjlkj

jiij

321

Una segunda alternativa para la demostracin sera:

( ))( D1D

D

==

==

Tr

DD:

ikjkijjiij

1.5.2.6 Determinante de un Tensor

El determinante de un tensor es un escalar y tambin es un invariante:

44 344 21T

kjiijkkjiijk

A

AA

321321

)(AAAAAA

det ==

(1.185)

El determinante de un tensor es igual al determinante de la matriz que contiene las componentes del tensor. La demostracin de (1.185) puede hacerse partiendo directamente del determinante:

321

323133221232111

323313222132111

221323123132133312213223332211

333231

232221

131211

)()()()()()(

)(

kjiijk

kjjkkjjkkjjk

kjjkkjjkkjjk

AAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAA

det

=++=

+=+=

== AA

(1.186)

Algunas consideraciones sobre el determinante de tensores: 1)( =1det (1.187)

c.q.d.

c.q.d.

c.q.d.

1 TENSORES


51

Podemos concluir de (1.185) que: )()( AA detdet =T (1.188)

Tambin podemos demostrar que las siguientes relaciones son vlidas: )()()( BABA detdetdet =

)()( 3 AA detdet = siendo un escalar (1.189)

Un tensor )(A se dice que es singular si 0)( =Adet . Intercambiando dos lneas o columnas el signo del determinante cambia. Si todos elementos de una fila o columna son cero, el determinante es cero. Multiplicando todos los elementos de una fila o columna por una constante c

(escalar), el determinante queda: Ac .

Ejemplo 1.22: Demostrar que: kqjprtrjktpq AAA =A Solucin: Sabemos que:

321

321

kjrtpqrjktpq

kjrrjk

AAA

AAA

=

=A

A (1.190)

Como lo visto anteriormente, ecuacin (1.61), la expresin tpqrjk podr ser expresada en funcin de la delta de Kronecker como:

rpjtkqrtkpjqktjprqkpjtrqktjqrpkqjprt

kqkpkt

jqjpjt

rqrprt

tpqrjk

++=

= (1.191)

Reemplazando la expresin anterior (1.191) en la expresin (1.190), y utilizando la propiedad del operador de sustitucin obtenemos que:

( ) ( ) ( )qkpjtrrjkkqjprtrjk

qkpjjktqkpjjktqkpjjkt

qtppqttpqptqtqpqpttpq

AAAAAAAAAAAAAAA

AAAAAAAAAAAAAAAAAA

==++=

++=332211

321321321321321321A

Ejemplo 1.23: Demostrar que: kqjprttpqrjk AAA61=A

Solucin: Partiendo del problema anterior: kqjprtrjktpq AAA =A y multiplicando ambos lados por

tpq , resulta: kqjprttpqrjktpqtpq AAA =A (1.192)

Utilizando la propiedad definida anteriormente en la ecuacin (1.62), obtenemos que 6=== ttpptttptppptttpqtpq . Luego, la relacin (1.192) resulta:

kqjprttpqrjk AAA61=A

Ejemplo 1.24: Demostrar que: ( ) baba1 rrrr +=+ 23 det (1.193) c.q.d.

c.q.d.



52

Solucin: Si denotamos por jiijij baA + , el determinante de A viene dado por 321 kjiijk AAA=A , donde 111 baA iii += , 222 baA jjj += y 333 baA kkk += ,

luego podemos decir que: ( ) ( )( )( )332211 bababadet kkjjiiijk +++=+ ba1 rr (1.194) Desarrollando la expresin (1.194) obtenemos que: ( ) [

]3213321223121322321

2312

2213

2321

3

bbbaaabbaabbaababa

bababadet

kjikjijkiikj

kjikijjikkjiijk

++++++++=+ ba1 rr

Observemos que:

0

0

0

)()()(

)(

321

21122132121123213321

31133131312231

2112233

2123231312

2

3213122132

3123

3321

3

====

====++=++

=++==

bbbaaa

bbaabbaabbaabbaa

bbaabbaabbaabbaa

babababababa

bababa

kjiijk

jiijkjiijk

kikijkiijk

iijjkk

kjiijkkijijkjikijk

kjiijk

barr

Fijemos que no haca falta expandir los trminos 231 jkiijk bbaa , 321 kjiijk bbaa , 321 bbbaaa kjiijk , para saber que son iguales a cero, ya que

0)( 231231 == jjjkiijk bbbbaa aa rr y anlogamente para los otros trminos. Con lo que hemos demostrado que: ( ) baba1 rrrr +=+ 23 det Para 1= tenemos que: ( ) baba1 rrrr +=+ 1 det Anlogamente, se puede demostrar que: ( ) 03213 == bbbaaadet kjiijk ba rr Tambin podemos demostrar que se cumple la siguiente relacin:

[ ] [ ]))(()()()(1)()( 2 bbaabababaabba1 rrrrrrrrrrrrrr +++=++ det (1.195) donde , son escalares. Si 0= recaemos en la expresin ( ) baba1 rrrr +=+ 1det . Si = , obtenemos que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) +=

+++=++

2

22

21

1

baba

bbaabababaabba1

rrrr

rrrrrrrrrrrrrr

det (1.196)

donde hemos utilizado la propiedad ( ) ( )( ) ( )22 babbaaba rrrrrrrr = , ver Ejemplo 1.1. Tambin podemos demostrar que la siguiente relacin es vlida:

( ) ( ) [ ] [ ] ( )BBAABABA detadjTradjTrdetdet 3223 )()( +++=+ (1.197) Para el caso particular cuando 1= , 1A = , baB rr = , y adems teniendo en cuenta que ( ) 0=ba rrdet , y ( ) 0ba = rrcof , concluimos que:

c.q.d.

1 TENSORES


53

( ) ( ) [ ] [ ] baba1ba1ba1 rrrrrrrr +=+=+=+ 11 TrTrdetdet (1.198)cuya relacin ya fue demostrada anteriormente. Podemos demostrar que la siguiente propiedad es vlida:

[ ] [ ])()()()()( cbaAcAbAaA rrrrrr = det (1.199)Para la demostracin partiremos de la definicin del triple producto escalar dada por (1.69), ( ) kjiijk cba= cba rrr , y multiplicamos por ambos lados de la igualdad por el determinante del tensor A , resultando:

( ) AAcba kjiijk cba= rrr (1.200)Fue demostrado en el Ejemplo 1.22 que se cumple que rkqjpipqrijk AAA =A , con lo cual:

( )

[ ])()()())()((

cAbAaA

AAcba

rrr

rrr

====

krkjqjipipqr

kjirkqjpipqr

kjiijk

cAbAaA

cbaAAA

cba

(1.201)

1.5.2.7 Inversa de un Tensor

La inversa de un tensor A es un tensor 1A , definido como:

si 1AAAAAA == 111 0 (1.202)En notacin indicial:

si ijkjikkjikij == AAAAA 111 0A (1.203)La expresin de la inversa podemos obtener partiendo de la definicin de la adjunta de un tensor dada por (1.154), )()()( bAaAbaA

rrrr =)adj( T , y multiplicamos escalarmente por el vector d

r, resultando:

[ ]{ } [ ][ ][ ] 321 rrr

rrr

rrrrrr

rcdAAbAaA

d1bAaA

dbAaAdbaA

=

=

=

=

1)()(

)()(

)()()(T)adj(

(1.204)

Utilizando la definicin (1.201), podemos decir que tambin se cumple que:

( ) [ ]( ) [ ] )()()( )()()( cAbAaAAcba bAaAcAAbac rrrrrrrrrrrr

==

(1.205)

Luego:



54

[ ]{ } [ ]( ) dAbaA dAAbAaAdbaA rrrrrrrrr

==

1

1

)()()(T)adj( (1.206)

El vector resultante de la operacin )( barr representamos por el vector )( bap rrr = , con

lo cual la expresin anterior en notacin indicial queda:

[ ]{ }[ ][ ] [ ] [ ]dbaAAdbaA AA

AA

rrrrrr ===

)()(

1

1

1

::)adj(

dpAdp)adj(

dApdp)adj(

ikkiikki

ikikikki

(1.207)

Con lo cual concluimos que:

[ ] = 1AAA)adj( [ ] [ ]T)cof()adj( AA

AA

A 111 == (1.208)

Algunas consideraciones sobre la inversa de tensores: Si los tensores A y B son invertibles entonces las siguientes propiedades son

vlidas:

( )( )

[ ] 1111

11

111

)()(

1

)(

====

AA

AA

AA

ABBA

detdet

(1.209)

La siguiente nomenclatura ser utilizada para representar la transpuesta de la inversa:

11 )()( TTT AAA (1.210) Podemos demostrar que tambin es vlida la relacin )adj()adj()adj( ABBA = , partiendo de la propia definicin de la inversa (1.208):

[ ] [ ][ ] [ ]

( ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ])adj()adj()adj()adj()adj(

)adj(

)adj()adj(

)adj()adj(

)adj()adj(

ABBA

ABBABABA

ABBABA

ABABBA

AA

BBAB

==

==

=

1

11

11

(1.211)

donde hemos utilizado la propiedad que BABA = . Anlogamente podemos demostrar que [ ] [ ])cof()cof()cof( BABA = . Inversa de una matriz Pasos para obtener la inversa de una matriz A : 1) Obtener la matriz cofactor: )(Acof . Sea la matriz A :

1 TENSORES


55

=

333231

232221

131211

AAAAAAAAA

A (1.212)

Definiremos la matriz M donde las componentes ijM sern obtenidas a partir del determinante resultante de la matriz A al eliminar la lnea i y la columna j , es decir:

=

2221

1211

2321

1311

2322

1312

3231

1211

3331

1311

3332

1312

3231

2221

3331

2321

3332

2322

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

AAAA

M (1.213)

con esto podemos definir la matriz cofactor de A : ij

ji MA += )1()(cof (1.214)2) Obtener la adjunta de la matriz A : La adjunta de la matriz A es la transpuesta de la matriz cofactor:

[ ]T)(AA cof)adj( = (1.215)3) La inversa ser:

AAA )adj(=1 (1.216)

luego se cumple que:

[ ] 1AAA =)adj( (1.217)donde 1 es la matriz identidad. Teniendo en cuenta (1.64), podemos expresar las componentes de la primera, segunda, tercera fila de la matriz cofactor, (1.214), respectivamente como: kjijki 321 AAM = ,

kjijki 312 AAM = , kjijki 213 AAM = .

Ejemplo 1.25: Dado un tensor A , demostrar que existe un vector no nulo 0nrr tal que

0nArr = si y solo si 0)( =Adet , Chadwick (1976).

Solucin: Primero partimos del hecho que 0)( = AAdet y tambin escogemos una base arbitrario },,{ hgf

rrr, linealmente independiente luego ( ) 0 hgf rrr , y aplicando la definicin

obtenida en (1.201): ( ) [ ])()()( hAgAfAAhgf rrrrrr = Por el hecho que 0)( = AAdet , eso implica que: [ ] 0)()()( = hAgAfA rrr Con lo cual concluimos que los vectores )( fA

r , )( gA r , )( hA r son linealmente dependientes. Esto implica que existen escalares no nulos 0 , 0 , 0 tal que: ( ) 0nA0hgfA0hAgAfA rrrrrrrrrr ==++=++ )()()(



56

donde 0hgfnrrrrr ++= , ya que },,{ hgf rrr son linealmente independiente, ver Ejemplo

1.10. Ahora escogemos dos vectores k

r, mr

que son linealmente independientes con nr

y reemplazamos esta base },,{ nmk

rrr en lugar de los vectores },,{ cba

rrr de la definicin en

(1.201): ( ) [ ])()()( nAmAkAAnmk rrrrrr =

Considerando que 0nArr = y que ( ) 0 nmk rrr , ya que la base },,{ nmk rrr est constituida

por vectores linealmente independientes, obtenemos que: ( ) 00

0

==

AAnmk 43421 rrr

1.5.2.8 Tensores Ortogonales (Transformacin Ortogonal)

Tensores ortogonales juega un papel muy importante en la mecnica del continuo. Un tensor de segundo orden (Q ) se dice que es ortogonal cuando su transpuesta ( TQ ) es igual a su inversa ( 1Q ):

1=QQT (1.218) Luego, se cumple que:

1QQQQ == TT ijkjkijkik == QQQQ (1.219) En notacin indicial:

)()(

)()()(

jiij

jijkik

jikljlik

jljlkiikT

eeeeee

eeeeQQ

===

=

QQQQ

QQ

(1.220)

Una transformacin ortogonal propia tiene las siguientes caractersticas: La inversa de Q es igual a la transpuesta (ortogonalidad):

TQQ =1 (1.221) El tensor Q ser propio (tensores de rotacin) si:

1)( += QQdet (1.222) Un tensor ortogonal es impropio cuando 1=Q , tensores de rotacin-reflexin. Podemos demostrar que si A y B son tensores ortogonales, un tercer tensor resultante del producto

CBA = tambin es un tensor ortogonal, ver Ejemplo 1.26. Consideremos dos vectores arbitrarios a

r y b

r y que a travs de una transformacin

ortogonal obtenemos:

bQbaQarrrr == ~;~ (1.223)

El producto escalar de los vectores resultantes de esta operacin (ar~ ) y (b

r~) viene dado por:

c.q.d.

1 TENSORES


57

kkj

kj

ijikkjijkikii

T

babQQabQaQba ===

=== =

321

rrr321

rrrrr

))((

~~

)()(~~ babQQabQaQba

1 (1.224)

Lo que tambin es vlido cuando barr ~~ = , luego 22~~~ aaaaaa rrr

rrr=== . Con lo que

concluimos que una transformacin ortogonal aplicada a vectores, preservan los mdulos de los vectores y preservan los ngulos entre los vectores, Figura 1.19. Es decir, una transformacin ortogonal est caracterizada slo por rotaciones de los vectores.

Figura 1.19: Transformacin ortogonal.

Ejemplo 1.26: Demostrar que si A y B son tensores ortogonales, el tensor resultante de la operacin BAC = resulta ser otro tensor ortogonal. Solucin: TTTT CBAABABBAC ===== )()( 1111

1.5.2.9 Tensor Definido Positivo, Definido Negativo y Tensor Semi-Definido

Decimos que un tensor es definido positivo cuando se cumple que:

Notacin Tensorial Notacin Indicial Notacin Matricial 0> xTx rr 0>jiji xTx 0 >xx TT (1.225)

para todo vector xr

no nulo. Decimos que un tensor es definido negativo cuando se cumple que:

Notacin Tensorial Notacin Indicial Notacin Matricial 0



58

Recordar que tambin se cumple que xTxxTxrrrr = sym , ver Ejemplo 1.16, luego si la

parte simtrica del tensor es definido positivo, el tensor tambin lo ser.

Si jiij xxT=== )( xxTxTx rrrr : , luego la derivada de con respecto a xr viene dada por:

( ) iikkiiikjkjjkiijjikijk

jiijj

k

iij

kxTTxTxTxTxT

x

xxTx

xx

Tx

+=+=+=+

= (1.227)

Con lo que concluimos que:

xTx

rr = sym2 (1.228)

y que:

symTxx

22

= rr (1.229)

NOTA: Como veremos ms adelante, una condicin necesaria y suficiente para que un tensor sea definido positivo es que sus autovalores ( 01 > , 02 > , 03 > ) sean positivos. La demostracin se encuentra en el subapartado Representacin Espectral de un Tensor.

Ejemplo 1.27: Sea un tensor de segundo orden arbitrario F . Demostrar que los tensores resultantes FFC = T y TFFb = son tensores simtricos y semi-definidos positivos. Verificar tambin en que condiciones C y b son tensores definidos positivos. Solucin:

bFFFFFFbCFFFFFFC

========

TTTTTTT

TTTTTTT

)()(

)()( (simetra)

Con lo cual hemos demostrado que los tensores FFC = T y TFFb = son simtricos. Para demostrar que los tensores FFC = T y TFFb = son semi-definidos positivos, partimos de la definicin de un tensor semi-definido positivo, es decir, un tensor A es semi-definido positivo si se cumple que 0 xAx rr , para todo 0x rr . Luego:

00

)()()()()()(

22 ======

xx

xxxxxxxxxxxx

rrrrrr

rrrrrrrr

T

TT

TT

FFFFFF

FFbFFC

En notacin indicial:

00))(())((

)()(

22 ======

iikiki

jjkiikjkjiki

jjkikijijijkjkiijiji

FFFFFF

FFbFFC

xx

xxxxxxxxxxxx

Con lo cual demostramos que FFC = T y TFFb = son semi-definidos positivos. Observemos que 2xxx

rrr = FC slo ser igual a cero, con 0x rr , si 0x rr =F , y por definicin 0x

rr =F con 0x rr , si y solo si 0)( =Fdet , ver Ejemplo 1.25. Luego, los tensores FFC = T y TFFb = sern tensores definidos positivos si y solo si 0)( Fdet .

1 TENSORES


59

1.5.2.10 Descomposicin Aditiva de Tensores

Dados dos tensores arbitrarios S , 0T , y un escalar , podemos hacer la representacin del tensor S a travs de la siguiente descomposicin aditiva de tensores:

TSUUTS =+= donde (1.230)Observemos que dependiendo del valor de tendremos infinitas posibilidades para la representacin del tensor S de forma aditiva de tensores. Pero, si

0)()( == TT TUUT TrTr la descomposicin aditiva es nica. Partiendo de (1.230) podemos obtener el valor de :

)()()()(0

TTTTTTT TTTUTTTSTUTTTS =+=+==

TrTrTrTr 43421

(1.231)

con lo cual obtenemos que:

)()(

T

T

TTTS=

TrTr (1.232)

Como ejemplo, supongamos que 1T = , obtenemos como:

3)(

)()(

)()(

)()( S

1S

111S

TTTS Tr

TrTr

TrTr

TrTr ====

T

T

(1.233)

Con eso podemos definir el tensor U como:

devS1SSTSU ==3

)(Tr (1.234)Luego:

devesfdev SSS1SS +=+=3

)(Tr (1.235)

NOTA: Al tensor 1SS3

)(Tr=esf denominamos de tensor esfrico y al tensor

1SSS3

)(Tr=dev de tensor desviador de S .

Supongamos ahora que el tensor )(21 TSST += luego, podemos definir como:

[ ][ ] 1)()(

41

)(21

)()( =

+++

==

TTT

TT

T

T

SSSS

SSS

TTTS

Tr

Tr

TrTr (1.236)

donde hemos tenido en cuenta la propiedad de traza ][][ TT SSSS = TrTr , ][][ TT SSSS = TrTr . Con eso podemos definir el tensor U como:

)(21)(

21 TT SSSSSTSU =+== (1.237)

Representando as el tensor S a travs de la siguiente descomposicin aditiva nica como:

antisymTT SSSSSSS +=++= )(21)(

21 (1.238)



60

que es la misma obtenida en la descomposicin aditiva de un tensor en una parte simtrica y otra antisimtrica, ver expresin (1.151).

Ejemplo 1.28: Encontrar un tensor de cuarto orden P tal que se cumpla que: devAA =:P

Solucin: Teniendo en cuenta la descomposicin aditiva de un tensor en una parte esfrica y otra desviadora, podemos obtener que:

1AAAA1AAAA3

)(3

)( TrTr =+=+= devdevdevesf Recurriendo a la definicin de los tensores identidades de cuarto orden

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