Teoría Cinética - fiumsa.edu.bo · 5 Modelo molecular del gas ideal Para proponer este modelo haremos las siguientes suposiciones: El número de moléculas es grande, así como

Teoría Cinética

FIS 120 Luis A. Blacutt B PhD

2

Menú para hoy

● Modelo molecular del gas ideal● Leyes de los gases● Ley de distribución de

Boltzmann

3

Modelo moleculardel gas ideal

4

Modelo molecular del gas ideal

Para proponer este modelo haremos las siguientes suposiciones:● El número de moléculas es grande, así como la separación promedio

entre ellas comparada con sus dimensiones.

Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton, pero como un todo se mueven aleatoriamente.

Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas.

Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una colisión.

El gas bajo consideración es una sustancia pura.

5



entre ellas comparada con sus dimensiones.● Las moléculas obedecen las leyes del movimiento de Newton, pero

como un todo se mueven aleatoriamente.

Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las paredes del recipiente que en promedio son elásticas.



6




como un todo se mueven aleatoriamente.● Las moléculas están sujetas a colisiones elásticas entre ellas y con las

paredes del recipiente que en promedio son elásticas.



7





paredes del recipiente que en promedio son elásticas.● Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una

colisión.


8





paredes del recipiente que en promedio son elásticas.● Las fuerzas entre moléculas son despreciables excepto durante una

colisión.● El gas bajo consideración es una sustancia pura.

9


Consideremos una caja cúbica con lados de longitud d que contiene un gas ideal. ● El número de moléculas es

grande, así como la separación promedio entre ellas comparada con sus dimensiones.

● El cambio de momento lineal en “x” para una molécula es:

● ∆px = –mvx – mvx = –2 mvx

● Así, F∙∆t =∆p = 2 mvx

10


Entonces, la fuerza debida a una molécula que choca elásticamente con la pared del recipiente será

Δ pΔ t

=2mv xΔ t

=2mv x2 d /v x

=mv x

2

d

11


Considerando las N moléculas del gas:

Y el valor promedio de la velocidad en la dirección x es para N moléculas es:

F x=Δ pΔ t

=Nmd

(v x 12

+v x 22

+⋯)

v̄ x2=

(v x 12

+v x 22

+⋯)N

12


Así pues, la fuerza total sobre la pared puede escribirse

Y considerando las tres componentes de la velocidad total

v̄ 2=( v̄ x

2+ v̄ y

2+v̄ z

2 )

F x=Nmdv̄ x

2

13


En virtud a que el movimiento es aleatorio, los valores promedio de las componentes de velocidad son iguales entre sí

vx=vy=vz

Entonces, podemos escribir

v̄ 2=3 v̄ x

2

F=N3mv̄ 2

d

14


Recordando la relación entre presión y fuerza

Este resultado muestra que la presión es proporcional al número de moléculas por unidad de volumen y a la energía cinética traslacional promedio de la molécula

F= p S=N3m v̄ 2

d

p=N3m v̄2

d S

p=N3m v̄2

V

pV=N3m v̄2

15

Modelo molecular del gas idealAhora bien, echamos mano de dos consideraciones:● N será un mol de sustancia y

será igual al número de Avogadro (NA), y

● El principio de equipartición de la energía que nos dice que la energía se relaciona con la temperatura K = ½ nl kB T, donde nl representa el número de grados de libertad.

pV=N3mv̄ 2

×22

pV=N3 (m v̄

2

2 )×2

pV=2N A

3 ( 32k BT )

pV=N A k BTpV=RT

16




pV=N3mv̄ 2

×22

pV=N3 (m v̄

2

2 )×2

pV=2N A

3 ( 32k BT )

pV=N A k BTpV=RT

17




pV=N3mv̄ 2

×22

pV=N3 (m v̄

2

2 )×2

pV=2N A

3 ( 32k BT )

pV=N A k BTpV=RT

18




pV=N3mv̄ 2

×22

pV=N3 (m v̄

2

2 )×2

pV=2N A

3 ( 32k BT )

pV=N A k BTpV=RT

19




pV=N3mv̄ 2

×22

pV=N3 (m v̄

2

2 )×2

pV=2N A

3 ( 32k BT )

pV=N A k BTpV=RT

20


Hemos llegado a la ecuación de estado, en este caso válida para un mol de sustancia, esta ecuación puede ser escrita para n moles

pV=n RT

21


Asumiendo como conocida la ecuación de estado, podemos más bien encontrar el principio de equipartición de la energía, retornamos a la siguiente ecuación

pV=23Nm v̄2

2Comparando con pV=N A k BT

Entonces k BT=m v̄2

332k BT=

m v̄ 2

2=K

22


Y como la velocidad total v se relaciona con las componentes de velocidad (vx, vy, vz), a cada una le corresponde ½ kB T

32k BT=

mv̄ 2

2

12k BT=

m v̄ x2

2

La energía de un sistema en equilibrio térmico se divide por igual entre todos los grados de libertad.

23


Pasemos a analizar las distintas formas de presentarse la velocidad.

La raíz cuadrada de <v2> se conoce como velocidad cuadrática media de las moléculas (vcm o vrms, por sus siglas en inglés). Despejando de la ecuación del principio de equipartición de la energía

32k BT=

12mv̄ 2

v cm=vrms= v̄2=

3k BTm

v cm=vrms=√ v̄2=√

3k BT

m

v cm=v rms=√ 3 RTM

Donde M representa la masa molecular (el mal llamado “peso molecular”)

24


Gas Masa molecular

vcm 20 °C (m/s)

H2 2.02 1902

He 4 1352

H2O 18 637

Ne 20 603

N2 ó CO 28 511

NO 30 494

CO2 44 408

SO2 64 338

25

Leyes de los gases

26

Leyes de los gases

Cualquier muestra dada de un gas puede describirse en función de cuatro propiedades fundamentales:● Volumen● Presión ● Temperatura● Masa (aparece con el número de moles)

27

Leyes de los gases

Estudiamos las leyes de los gases desde el punto de vista histórico, es decir, de sus descubridores:● Ley de Boyle-Mariotte● Ley de Charles● Ley de Gay-Lussac● Ley de Avogadro

28

Ley de Boyle–Mariotte R

OB

ERT B

OYLE

ED

ME

MA

RIO

TTE

Para una determinada masa de gas el volumen es inversamente proporcional a la presión ejercida, si la temperatura se mantiene constante:● pV = constante. (T y m constantes)● Se puede enunciar también:● "Para una misma masa de un gas a temperatura constante el producto del volumen del gas por la presión que ejerce es constante“

pV = cte p0 V0 = p1 V1

29

Ley de Boyle–Mariotte Para una determinada masa de gas el volumen es inversamente proporcional a la presión ejercida, si la temperatura se mantiene constante:● pV = constante. (T y m constantes)● Se puede enunciar también:● "Para una misma masa de un gas a temperatura constante el producto del volumen del gas por la presión que ejerce es constante“

pV = cte p0 V0 = p1 V1

30

Ley de CharlesJA

QU

ES C

HA

RLE

S

Para una determinada cantidad (masa) de un gas que se mantiene a presión constante, el volumen es proporcional a su temperatura en la escala Kelvin

V 1

T 1

=V 2

T 2

VT

=cte

31

Ley de Charles

Al estudiar el comportamiento de los gases nos damos cuenta que sin importar la sustancia, todas las líneas convergen a la temperatura -273,145 °C

32

Ley de Charles

Este valor de temperatura se constituye en la base de la escala absoluta o kelvin de temperaturas que fue sugerida por primera vez por el científico británico Lord Kelvin (1824-1907).

33

Ley de CharlesDe acuerdo con medidas precisas, el cero absoluto de temperaturas es -273,15 ºC. Así, 0 K = - 273,15 ºC , y la escala Kelvin (K) se relaciona con la Celsius mediante las expresiones:T (ºC) = T (K) – 273 T (K) = T (ºC) + 273Debe observarse que, por convenio, el signo de grado (º) no se utiliza cuando se expresan las temperaturas en la escala Kelvin

34

Ley de Gay-LussacJo

seph L

ouis

Gay-

Luss

ac

Para una determinada cantidad (masa) de un gas que se mantiene a volumen constante, la presión es proporcional a su temperatura en la escala Kelvin

p1

T 1

=p2

T 2

pT

=cte

35

Ley de Gay-LussacPara una determinada cantidad (masa) de un gas que se mantiene a volumen constante, la presión es proporcional a su temperatura en la escala Kelvin

p1

T 1

=p2

T 2

pT

=cte

36

Ley de AvogadroLo

renzo

Rom

ano

Am

edeo C

arl

o A

vogadro

Para cualquier gas en el que se mantiene constante la temperatura y la presión, el volumen es directamente proporcional al número de moles

V 1

n1

=V 2

n2

Vn

=cte

37

Ley de los gases

Combinando las tres leyes anteriores, junto con la de Avogadro:

p V = cte Ley de Boyle

V / T = cte Ley de Charles

p / T = cte Ley de Gay-Lussac

V / n = cte Ley de Avogadro

Se pueden resumir en la Ley general de los gases ideales

p V = n R T

38

Ley de los gases – gases reales

Las curvas representan el comportamiento de un gas a diferentes temperaturas. Mientras más se enfría, más se aleja del gas ideal.

En la curva D, el gas se torna líquido; comienza a condensar en (b) y es completamente líquido en (a).

El punto (c) es denominado punto crítico.

39


Por debajo de una temperatura crítica, el gas puede licuefarse si la presión alcanza un valor adecuado.

40


Un diagrama p-T se denomina diagrama de fase; muestra las tres fases de la materia. La transición sólido-líquido está dada por procesos de fusión o congelamiento; la transición líquido-vapor se da por ebullición o condensación; y la transición sólido-vapor se da por sublimación o deposición

Diagrama de fases del agua

41


El punto triple es el único punto donde las tres fases pueden coexistir en equilibrio.

Diagrama de fase del

dióxido de carbono

Diagrama de fases del agua

42

Ley de distribuciónde Boltzmann

43

Ley de distribución de Boltzmann

A medida que examinemos la distribución de partículas en el espacio encontraremos que las partículas se distribuyen por sí solas entre estados de energía diferente de un modo específico el cual depende exponencialmente de la energía, como fue observado por primera vez por Maxwell y profundizado por Boltzmann.

44


Antes de estudiar la distribución de Boltzmann, es conveniente estudiar el comportamiento de la presión con la altura

La presión en la atmósfera disminuye a medida que aumenta la altitud debido a que una capa de aire dada tiene que soportar el peso de toda la atmósfera sobre ella; cuanto mayor sea la altitud, tanto menor será el peso del aire sobre esa capa, y por tanto menor la presión.

45


Un gas ideal obedece la relación pV = nkBT. Es conveniente rescribir la ecuación en función del número de partículas por unidad de volumen del gas, nV = N/V. Nuestra meta es determinar cómo cambia nV en nuestra atmósfera.

Podemos expresar la ley del gas ideal como

p = nVkBT.

46


Si la masa de una molécula de gas en la capa es m y hay un total de N moléculas en la capa, entonces el peso de la capa esw = Nmg = mgnVV = mgnVAdz

De este modo, vemos que pA – (p + dp) A = mgnVAdz

ó dp = mgnVdy

47


Debido a que p = nVkBT y ya que T es constante, vemos que dp = kB T dnV.

Al sustituir

dp = kB T dnV en

dp = mgnVdy,

obtenemosd nVnV

=mg dzk BT

48


Que, integrando se obtiene

Recordando la ecuación de estado, podemos escribir

nV ( z )=n0 emgzk BT

p( z)= p0 emgzk BT

49


Nuestra atmósfera contiene diferentes gases, cada uno con diferentes masas moleculares, de acuerdo a las ecuaciones deducidas:● La concentración más alta de moléculas

más pesadas a alturas menores● Las moléculas más ligeras se encuentran a

alturas mayores.

50


La función exponencial puede interpretarse como una distribución de probabilidad que de acuerdo a ésta, podemos determinar la probabilidad relativa de encontrar una molécula de gas a cierta altura z.

De este modo, la distribución de probabilidad p(z) es proporcional a la distribución de densidad n(z).

Este concepto nos permite determinar muchas propiedades del gas, como la fracción de moléculas debajo cierta altura o la energía potencial promedio de una molécula.

51


Lo siguiente que haremos es determinar la altura promedio a la temperatura T por medio de una herramienta estadística sencilla.

z̄=∫ z n (z )dz

∫ n (z )dz=∫ z e

mgzkBT dz

∫emgzkBT dz

52


Entonces podemos calcular la altura promedio

z̄=(k BT

mg )2

(k BT

mg )=k BTmg

53


Análogamente podemos determinar la energía potencial gravitacional promedio de una molécula de un gas.

Debido a que la energía potencial gravitacional de una molécula a una altura y es U = mgz, vemos que U = mg(kBT /mg) = kBT.

Esto muestra que la energía potencial gravitacional promedio de una molécula depende solo de la altura y no de m o g.

54


Ahora podemos abordar el análisis de la distribución de Boltzmann

Como la energía potencial gravitacional de una molécula de altura z es U = mgz, podemos expresar la ley de distribución como

n=n0 e−Uk BT

55


Esto significa que las moléculas en equilibrio térmico se distribuyen en el espacio con una probabilidad que depende de la energía potencial gravitacional de acuerdo con un factor

e−Uk BT

56


Esto puede expresarse en tres dimensiones, pero observando que la energía potencial gravitacional de una partícula depende en general de tres coordenadas. Es decir, U(x,y,z), por lo que la distribución de las partículas en el espacio es:

n (x , y , z )=n0 e−U (x , y , z)kBT

57


Este tipo de distribución se aplica a cualquier energía que las partículas tengan, como la energía cinética. En general, el número de relativo de partículas que tienen energía E es

n (E )=n0 e−Ek BT

58


Ésta se conoce como ley de distribución de Boltzmann y es importante al describir la mecánica estadística de un gran número de partículas.

n (E )=n0 e−Ek BT

59

Distribución de velocidades moleculares

Si N es el número total de moléculas, entonces el número de moléculas con velocidades entre v y v + dv es dN = Nvdv. Este número también es igual al área del rectángulo sombreado en la figura

60


La expresión fundamental que describe la distribución más probable de velocidades de N moléculas de gas es:

N (v )=4π N (m

2 π k BT )v 2e−mv2

2k BT

61


Como se indica en la figura, la velocidad promedio v, es un poco menor que la velocidad vrms. La velocidad más probable, vmp, es la velocidad a la cual la curva de distribución alcanza un máximo.

v rms=√ v̄ 2=√

3k BTm

=√ 3 RTM

v̄=√8k BTπm

vmp=√2 k BT

m

62


La ley de distribución de Maxwell-Boltzmann muestra que la distribución de velocidades moleculares de un gas depende de la masa así como de la temperatura.

N (v )=4π N (m

2 π k BT )v 2e−mv 2

2k BT

63


A una temperatura dada, la fracción de partículas con velocidades que exceden un valor fijo aumenta a medida que la masa disminuye. Esto explica que las moléculas más ligeras, como el hidrógeno y el helio, escapan con más facilidad de la atmósfera de la tierra que las moléculas más pesadas, como el nitrógeno y el oxígeno.

N (v )=4π N (m

2 π k BT )v 2e−mv 2

2k BT

64

Ley de distribución de BoltzmannN (v )=4π N (

m2 π k BT )v 2e

−mv 2

2k BT

Documents

Teoría Cinética - fiumsa.edu.bo · 5 Modelo molecular del gas ideal Para proponer este modelo haremos las siguientes suposiciones: El número de moléculas es grande, así como