TEORÍA DE CONJUNTOS · tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó también conocimiento del "conjunto". La Teoría de Conjuntos es un sistema

UNIDAD N° 2

TEORÍA DE CONJUNTOS

ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO _____________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________ INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACIÓN DOCENTE “JOAQUÍN V. GONZÁLEZ” 54

TEORÍA DE CONJUNTOS

El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemática

pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las

matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología

de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y

precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

El concepto de conjunto está presente, aunque de manera informal, desde los

primeros años de formación del hombre, desde el momento en que el ser humano

tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó

también conocimiento del "conjunto".

La Teoría de Conjuntos es un sistema matemático que relaciona conceptos

básicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas.

¿POR QUÉ ESTUDIAR TEORÍA DE CONJUNTOS?

Estudiaremos Teoría de Conjuntos porque el razonamiento deductivo es su

base metodológica, lo que permite sistematizar el razonamiento y contribuye al

desarrollo de la capacidad de análisis.

Además su aprendizaje facilita notablemente el estudio de temas matemáticos

más avanzados, tales como funciones, probabilidad, muestreo y optimización, entre

otros.

Por ello, es que estudiaremos los principales conceptos de la Teoría de

Conjuntos, de las relaciones y operaciones entre ellos y su representación gráfica

para, finalmente, abordar el producto cartesiano y las técnicas de conteo.

Al estudiar las relaciones y operaciones entre conjuntos utilizaremos la

terminología y simbología aprendidas en la unidad de Lógica Simbólica.

CONJUNTOS: DEFINICIÓN Y NOTACIÓN

Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos

que se caracterizan por algo común.



En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama

elementos o miembros del conjunto.

La colección de elementos debe estar bien definida: esto es, la pertenencia al

conjunto de un elemento no debe ofrecer dudas.

Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, es decir, los

elementos deben ser distintos.

El orden en que se enumeren esos elementos, carece de importancia.

Los conjuntos se simbolizan por medio de una letra mayúscula y los elementos

que forman el conjunto se encierran entre llaves. Por ejemplo, la letra A puede

representar al conjunto formado por las tres primeras letras del alfabeto.

La notación que se adoptaría sería entonces:

{ }A x / x es una de las tres primeras letras del alfabeto=

A cada elemento que forma parte de un conjunto se lo simboliza con letra

minúscula y se separan esos elementos utilizando punto y coma (;), entonces,

siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que { }A a;b;c= .

Si queremos simbolizar que un elemento es integrante de un conjunto,

usaremos el símbolo de pertenencia, ∈, y diremos, por ejemplo, b A∈ .

Si no pertenece a él, utilizamos el símbolo ∉ para indicarlo. Así, por ejemplo,

m A∉ .

a) { }6 2; 4; 5; 6; 9∈ ( )

b) { }y o; p; q; x∈ ( )

c) { }x o; p; q; y∉ ( )

Para verificar si se comprendió lo referente a la

relación de pertenencia, completa con V o F según lo

afirmado sea verdadero o falso.



d) { }Perú x / x es un país de Europa∈ ( )

e) { }11 x / x es un número primo menor que 15∈ ( )

RTA: a) V b) F c) V d) F e) V

DEFINICIÓN DE CONJUNTOS

Hay dos formas de definir conjuntos: por comprensión y por extensión (o

enumeración).

DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN

DEFINICIÓN Nº 1:

{ }A x / x es una vocal=

{ }B x / x es un número natural par menor que 10=

{ }C x / x es una letra de la palabra conjuntos=

{ }D x / x x 8= ∈ ∧ <ℕ

Se dice que un conjunto está definido por comprensión , cuando se da una

propiedad inherente a todos los elementos del conjunto, de forma tal que todo

objeto que cumpla dicha propiedad pertenece al conjunto y recíprocamente.

Los siguientes conjuntos están definidos por

comprensión:



DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN

DEFINICIÓN Nº 2:

{ }A a; e; i; o; u=

{ }B 2; 4; 6; 8=

{ }C c; o; n; j; u; t; s=

{ }D 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7=

Simbolizamos mediante # A el número de elementos del conjunto A.

Para los ejemplos analizados:

# A 5= # B 4=

# C 7= # D 7=

Obviamente, cuando el conjunto tiene infinitos elementos, es imposible definirlo

por extensión; de todos modos es usual simbolizar algunos de estos conjuntos, los

naturales por ejemplo, de la siguiente forma:

{ }1;2;3;4;...=ℕ

donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente” y con ellos

representamos todos los números naturales omitidos:.

Se dice que un conjunto está definido por extensión (o enumeración),

cuando se mencionan a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos, sin repetir

ningún elemento.

Definiremos por extensión los conjuntos

especificados anteriormente por comprensión:



1) Define por extensión los siguientes conjuntos:

a) { }A x / x es un mes del primer cuatrimestre del año=

b) { }B x / x 11= ∈ <ℕ

c) { }C x / x es par y 15 x 25= < <

d) { }D x / x 5= ∈ <ℕ

e) { }E x / x es impar y 5 x 3= ∈ − ≤ <ℤ

f) { }F x / x 8 y x es el doble de un número natural primo= ∈ <ℕ

g) { }G 2x / 2 x 10 x= < < ∧ ∈ℕ

h) { }H 3x / x 2 x 4= ∈ ∧ − ≤ <ℤ

i) { }I 2x 3 / x x 5= − ∈ ∧ <ℕ

j) { }2J x x / x 3 x 0= − ∈ ∧ − ≤ <ℤ

RTA : a) { }A enero, febrero, marzo, abril= b) { }B 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10=

c) { }C 16; 18; 20; 22; 24= d) { }D 1; 2; 3; 4=

e) { }E 5; 3; 1; 1= − − − f) { }F 4; 6=

g) { }G 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18= h) { }H 6; 3; 0; 3; 6; 9= − −

i) { }I 1; 1; 3; 5= − j) { }J 2; 6; 12=

2) Definir por comprensión los siguientes conjuntos:

a) { }A 4; 8; 12; 16; 20; 24= b) { }B 8; 10; 12; 14;16; 18; 20=

c) { }C 5; 7; 11; 13= d) { }D 8; 7; 6; 5; 4= − − − − −

e) { }E 2; 5; 8; 11= f) { }F 8; 1; 0; 1; 8; 27= − −

RTA: a) { }A x / x es múltiplo de 4 y 4 x 24= ∈ ≤ ≤ℕ b) { }B 2x / x 4 x 10= ∈ ∧ ≤ ≤ℕ

c) { }C x / x es un número primo y 5 x 13= ∈ ≤ ≤ℕ d) { }D x / 8 x 4= ∈ − ≤ ≤ −Z

e) { }E 3x 1/ x x 4= − ∈ ∧ ≤ℕ f) { }3F x / x 2 x 3= ∈ ∧ − ≤ ≤ℤ

Teniendo en cuenta las dos formas de definir un conjunto,

resuelve los siguientes ejercicios



CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO

Cuando definimos un conjunto, en el sentido de precisar a cuál aludimos,

tenemos un marco referencial o conjunto universal de donde elegimos los elementos

que conformarán el conjunto definido.

Así por ejemplo, si definimos el conjunto de alumnos que cursan Álgebra I, en

él se incluirán sólo algunos alumnos del Instituto: los que se han inscripto para

cursar esta materia y lo están haciendo.

El Universal o referencial será todos los alumnos del I.S.F.D Joaquín V.

González, aunque podríamos restringir el conjunto universal a los alumnos del

Profesorado en Matemática del Instituto ya que es materia de su plan de estudios y

no del plan de otras carreras.

DEFINICIÓN Nº 3:

DEFINICIONES Nº 4:

Definimos el CONJUNTO UNIVERSAL , como aquel conjunto constituido

por todos los elementos dentro de una aplicación particular. Lo simbolizamos

con la letra U.

Un CONJUNTO es FINITO si consta de un cierto número de elementos

distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso

de contar puede acabar. En caso contrario, el CONJUNTO es INFINITO.

Entre los conjuntos finitos, destacamos aquellos conjuntos que están

formados por un único elemento. Estos reciben el nombre de CONJUNTOS

UNITARIOS.

Existen también conjuntos que no tienen elemento alguno. Estos conjuntos

se denominan CONJUNTOS VACÍOS y se simbolizan ∅∅∅∅ o { } .



1) Sean los conjuntos:

• { }A x / x es un ave=

• { }B x / x es un pez=

• { }C x / x es un conejo=

• { }D x / x es un mono=

Existe otro conjunto que incluye o contiene a los conjuntos A, B, C y D. Este es

el conjunto { }U x / x es un animal=

2) Sean los conjuntos:

• { }E x / x es director del ISFD "Joaquín V. González"=

• { }F x / x es docente del ISFD "Joaquín V. González"=

Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Este es

{ }U x / x es personal del ISFD "Joaquín V. González"= .

Además, podemos afirmar que el conjunto E es un conjunto unitario, puesto

que una sola persona ejerce el cargo de Directora del Instituto.

3) { }G x / x x 2= ∈ ∧ < −ℕ es un conjunto vacío pues no hay ningún número

natural negativo.

Podemos indicar entonces que G = ∅ o que { }G = .

a) A = {Las rectas paralelas a una dada}

Veremos algunos ejemplos que nos permitirán clarificar los

conceptos anteriores.

Establece si los siguientes conjuntos son finitos o

infinitos.



b) { }B x / x es una letra del alfabeto=

c) { }C x / x es un país del Mercosur=

d) { }D x / x es una materia que integra el plan de estudios del Profesorado en Matemática=

e) { }E x / x es múltiplo de 10= ∈ℕ

f) { }F x / x es múltiplo de 10 y x 50= ∈ <ℕ

g) { }G x / 1 x 2= ∈ < <R

h) { }H x / x es un día de la semana=

i) { }J x / x es un número impar= ∈ℤ

j) { }L x / x 15= ∈ >ℕ

RTA: Finitos: b, c, d, f, h, i Infinitos: a, e, g, j

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Cuando dos conjuntos se comparan entre sí, pueden definirse distintas

relaciones, entre las cuales consideraremos las relaciones de igualdad y de

inclusión, en sentido amplio y estricto.

IGUALDAD DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN Nº 5:

Dos CONJUNTOS son IGUALES si y sólo si todos los elementos de A son

elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A (no importa el

orden de aparición de los elementos).

Simbólicamente, A B a A a B b B b A= ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∧ ∀ ∈ ⇒ ∈ .



INCLUSIÓN DE CONJUNTOS – SUBCONJUNTOS

DEFINICIÓN Nº 6:

A partir de esta definición, podemos señalar que todo conjunto es subconjunto

de sí mismo: A está incluido en A.

Si se contempla esta posibilidad, la inclusión se dice que es amplia y la

denotamos A B⊆ y por el contrario, si B contiene elementos que no pertenecen a A,

se dice que A está INCLUIDO ESTRICTAMENTE en B y se simboliza A B⊂ . En este

caso, decimos que A es un SUBCONJUNTO PROPIO de B.

Por ejemplo { }2x / x 1∈ =ℝ es igual a { }4x / x 1∈ =ℝ , e

igual a { }1;1− aunque aparezcan expresados en diferentes

formas.

Un conjunto A se dice SUBCONJUNTO de otro B, si todo elemento de A

es también elemento de B.

Simbólicamente, A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ .

Por ejemplo…

a) ; ; ; ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℤ ℚ ℚ ℝ ℝ ℂ o lo que es lo mismo

⊂ ⊂ ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ .

b) { } { } { }x / x x 1 x / x x 1 x / x x 0∈ ∧ > ⊂ ∈ ∧ ≥ ⊂ ∈ ∧ >ℝ ℝ ℝ

A través de los siguientes ejercicios, trabajaremos las

relaciones de inclusión e igualdad de conjuntos.



1) Determinar si los siguientes conjuntos son iguales:

a) { }2A x / x x 10= ∈ ∧ <ℕ b) { }A x / x 2x 16= ∈ ∧ <ℕ

{ }B 1;2;3= { }B 1;2;3;4;5;6;7;8=

{ }C x / x x 4= ∈ ∧ <ℕ

RTA: a) A B C= = b) A B≠

2) Dados los conjuntos { }A 1,2,3= , { }B 1,3,5= , { }C 2,4,6= , { }D 1,2,3,4,5= y

{ }E 1,2,3,4,5,6,7= , determinar cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos y

cuáles son falsos. Justificar aquellos que sean falsos.

a) A B⊂ b) A D⊂ c) B B⊂ d) A E⊂ e) B D⊄ f) C∅ ⊄

RTA: VERDADEROS: b, c, d FALSOS: a, e, f

3) Sea el conjunto { }A 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9= ⊂ ℤ . Determinar los siguientes

subconjuntos de A:

a) { }2x : x A∈ b) { }x :1 x A+ ∈

c) { }x : x es cuadrado perfecto en A d) { }x : x es impar

e) { }x : x es primo f) { }x : 3x 1=

g) { }2x : x 16< h) { }x : x es divisible por 4

i) { }x : x es producto de primos distintos j) { }x :1 x es múltiplo de 4−

k) { }x : x es divisible por 2 ó por 3 l) { }x : 3x 3<

m) { }2x :1 x x A+ + ∈ n) ( ){ }2 2x : x 1 x 2x 1+ = + +

o) { }kx : x 2 ,k= ∈ℕ p) { }3x : x 100<

q) ( )1x : x x 1 A

2 ⋅ ⋅ + ∈

r) { }2x : x 0=

s) { }x : x 1 A− ∉ t) { }2x :10 x 20≤ ≤

u) { }xx : 2 x< v) { }2x : x 3x 2 0+ + =



w) { }2x : x 3x 10 0− − = x) { }2x : x 3x 10 0− − <

y) 1

x : x2

⋅ ∈

ℤ z) ( ){ }xx : 1− ∈ℕ

RTA: a) { }0;1;2;3 b) { }0;1;2;3;4;5;6;7;8 c) { }0;1;4;9 d) { }1;3;5;7;9

e) { }2;3;5;7 f) ∅ g) { }0;1;2;3 h) { }0;4;8

i) { }6 j) { }1;5;9 k) { }0;2;3;4;6;8;9 l) { }0

m) { }0;1;2 n) A o) { }1;2;4;8 p) { }0;1;2;3;4

q) { }0;1;2;3 r) { }0 s) { }0 t) { }4

u) ∅ v) ∅ w) { }5 x) { }0;1;2;3;4

y) { }0;2;4;6;8 z) { }0;2;4;6;8

La inclusión amplia nos permite definir la igualdad de conjuntos de una forma

aparentemente distinta a la dada:

ya que si todo elemento de A lo es de B, y todo elemento de B lo es de A,

necesariamente estos conjuntos poseen los mismos elementos.

Esta equivalencia es usada con frecuencia como técnica de demostración para

probar que dos conjuntos son iguales.

DEMOSTRACIÓN:

a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e =

c) Se debe demostrar que A C⊂ , es decir, que x A, x C∀ ∈ ∈ .

Sea x A∈ . Como A B⊂ , entonces x B∈ . Luego, como B C⊂ , entonces

x C∈ . Por lo tanto, A C⊂ .

A B A B B A= ⇔ ⊆ ∧ ⊆

PROPOSICIÓN Nº 1:

Dados los conjuntos A, B y C, se verifica:

a) A A⊂ .

b) Si A B B A A B⊂ ∧ ⊂ ⇒ = .

c) Si A B B C A C⊂ ∧ ⊂ ⇒ ⊂ .



DEMOSTRACIÓN:

a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e =

c) Se debe demostrar que A C= , es decir, que A C C A⊂ ∧ ⊂ (por b de la

proposición nº 1)

Por hipótesis, A B= , entonces, A B⊂ y B A⊂ .

También por hipótesis, B C= , entonces B C⊂ y C B⊂ .

Luego, por c) de la proposición anterior, A B⊂ y B C⊂ implica A C⊂ .

Por su parte, C B⊂ y B A⊂ implica C A⊂ .

Como A C C A⊂ ∧ ⊂ , entonces A C= .

DIAGRAMAS DE VENN

Para visualizar las relaciones entre conjuntos, es útil el uso de los diagramas

de Venn. Los diagramas son empleados para representar tanto a los conjuntos

como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica.

Los conjuntos se representan por medio de recintos planos cerrados, en cuyo

interior se ubican los elementos de cada conjunto simbolizados por puntos.

Si A B⊂ se podría representar así:

o también:

COROLARIO Nº 1 :

Dados los conjuntos A, B y C, se verifica:

a) A A= .

b) Si A B B A= ⇒ = .

c) Si A B B C A C= ∧ = ⇒ = .

B

A



donde B U⊂ y A B⊂ ( A U⊂ ).

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Ya hemos aprendido a definir conjuntos y a compararlos. Trataremos ahora de

operar con ellos, así como operamos con los números reales, mediante la suma y el

producto.

En efecto, las operaciones que definiremos para conjuntos tendrán ciertas

propiedades formales, algunas de las cuales (leyes conmutativa, asociativa y

distributiva) serán las ya conocidas para la suma y el producto de números reales.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Supongamos en todos los casos, fijado un conjunto universal U.

INTERSECCIÓN

DEFINICIÓN Nº 7:

U

B A

Se denomina INTERSECCIÓN de A con B al conjunto A ∩ B formado por

los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B, es decir, que ambos

conjuntos tienen en común.

En símbolos, { }A B x / x A x B∩ = ∈ ∧ ∈

Es decir que x A B x A x B∈ ∩ ⇔ ∈ ∧ ∈ .



En el diagrama de Venn, la intersección queda representada por medio del área

sombreada:

Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica conjunción y

la operación intersección entre conjuntos.

DEFINICIÓN Nº 8:

a) Los conjuntos { }A 2;4;6= y { }B 1;3;5= son disjuntos pues no tienen ningún

elemento en común, es decir, A B∩ = ∅ .

Veamos los siguientes ejemplos a través de los cuales

clarificaremos las dos definiciones anteriores.

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común, es decir, si

A B∩ = ∅ entonces se dice que A y B son CONJUNTOS DISJUNTOS .

U A B

• 2

• 4

• 6

• 1

• 3

• 5



b) Si consideramos los conjuntos { }A x / x es múltiplo de 2 y x 9= ∈ <ℕ y

{ }B x / x es múltiplo de 3 y 2 x 8= ∈ − ≤ <ℤ y buscamos su intersección, para ello

deberemos previamente tener en claro cuáles son sus elementos. Para esto,

definiremos los conjuntos por extensión.

{ } { }A x / x es múltiplo de 2 y x 9 2;4;6;8= ∈ < =ℕ

{ } { }B x / x es múltiplo de 3 y 2 x 8 0;3;6= ∈ − ≤ < =ℤ

UNIÓN

DEFINICIÓN Nº 9:

En el diagrama de Venn, la unión queda representada por medio del área

sombreada:

A B

U

• 6

• 2

• 4

• 8

• 0

• 3

Se denomina UNIÓN de A con B al conjunto A ∪ B formado por los

elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.

En símbolos, { }A B x / x A x B∪ = ∈ ∨ ∈

Es decir que x A B x A x B∈ ∪ ⇔ ∈ ∨ ∈



Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica disyunción y

la operación unión entre conjuntos.

COMPLEMENTACIÓN

DEFINICIÓN Nº 10:

En el diagrama de Venn, el complemento del conjunto A queda representado

por medio del área sombreada:

Por ejemplo, si { }A 2;4;6= y { }B 1;3;5= , entonces

{ }A B 1;2;3;4;5;6∪ = .

En los siguientes ejemplos veremos cómo calcular los

complementos de algunos conjuntos.

Se denomina COMPLEMENTO del conjunto A al conjunto A formado por

todos aquellos elementos de U que no pertenecen a A. Se denota también CA' o A .

En símbolos, { }A x U / x A= ∈ ∉

Es decir que x A x A∈ ⇔ ∉ .



1) Si { }U 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10= y { }A x / 4 x 7= ∈ ≤ <ℕ entonces el complemento de

A, formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A, es el conjunto

{ }A 1,2,3,7,8,9,10= .

2) Si U = ℤ y { }A x / x es par= ∈ℤ , entonces { }A x / x es impar= ∈ℤ

a) U A= ∧ =ℤ ℕ

b) { }U A x / x 2x 16= ∧ = ∈ ∧ <ℕ ℕ

c) { }2U A x / x x 5= ∧ = ∈ ∧ =ℕ ℕ

d) { }U A x / x x es múltiplo de 5= ∧ = ∈ ∧ℕ ℕ

RTA: a) { }A 0−= ∪ℕ b) { }A x / 8 x= ∈ ≤ℕ

c) A = ℕ d) { }A x / x x no es múltiplo de 5= ∈ ∧ℕ

DIFERENCIA

DEFINICIÓN Nº 11:

Determina, en cada caso, el complemento del

conjunto A, respecto del universal U

U A

• 4

• 5

• 6

• 1

• 2

• 3

• 7

• 8

• 9

• 10



En el diagrama de Venn, la diferencia queda representada por medio del área

sombreada:

1) Si { }A x / 4 x 7= ∈ ≤ <ℕ y { }B 2,4,6,8,10= , entonces la diferencia entre A y

B, es decir, el conjunto que resulta de quitarle a A aquellos elementos que tiene y

que también pertenecen a B es { }A B 5− = .

Por su parte, { }B A 2,8,10− =

Veamos los siguientes ejemplos…

Se denomina DIFERENCIA de A con B al conjunto A B− formado por los

elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.

En símbolos, { }A B x / x A x B− = ∈ ∧ ∉

Es decir que x A B x A x B∈ − ⇔ ∈ ∧ ∉ .



2) Si { }A x /x es par= ∈ℕ y { }B 2,4,6,8,10= , entonces la diferencia entre A y B es

el conjunto { }A B x /x es par 12 x− = ∈ ∧ ≤ℕ y B A− = ∅ .

DIFERENCIA SIMÉTRICA

DEFINICIÓN Nº 12:

.

Se denomina DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B al conjunto A ∆ B

formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B o por

los elementos de B que no pertenecen a A.

En símbolos:

( ) ( )( ) ( ){ }

A B A B B A

x / x A x B x B x A

∆ = − ∪ −

= ∈ ∧ ∉ ∨ ∈ ∧ ∉

Es decir que ( ) ( )x A B x A x B x B x A∈ ∆ ⇔ ∈ ∧ ∉ ∨ ∈ ∧ ∉

¿Cómo podríamos completar los siguientes enunciados

de tal manera que resulten verdaderos?

a) La diferencia U A− es igual a ______________________

b) La diferencia A U− es igual a ______________________

c) La diferencia A B− ________igual a la diferencia B A− .



En el diagrama de Venn, la diferencia simétrica queda representada por medio

del área sombreada:

1) Sea { }U a;b;c;d= , { }A a;c;d= y { }B b;c= . Entonces:

{ }

{ }

{ } { }

{ } { }

{ }

A B B A c

A B B A a;b;c;d U

A ' b y B ' a;d

A B a;d y B A b

A B B A a;b;d

∩ = ∩ =

∪ = ∪ = =

= =

− = − =

∆ = ∆ =

i

i

i

i

i

En los siguientes ejemplos analizaremos como aplicar las

operaciones para algunos conjuntos dados.

Si bien para fijar las ideas es útil hacer uso de los

diagramas de Venn, es importante tener en cuenta que

estos diagramas tienen, por única utilidad ayudar a la

intuición y en modo alguno pueden ser empleados como

métodos de demostración de proposiciones matemáticas

concernientes a conjuntos.

A B

U

• c • a

• d • b



2) Sea U como en el ejemplo anterior, { } { }A b;c y B a= = . Entonces:

3) Si U = ℕ , { }A x / x es divisible por 2= ∈ℕ y { }B x / x es divisible por 3= ∈ℕ ,

entonces:

{ }

{ }

{ } { }

{ }

A B B A x / x es divisible por 6

A B B A x / x es divisible por 2 o por 3

A ' x / x es impar y B' x / x no es divisible por 3

A B x / x es un número par no divisible por 3

B A x / x es un núm

∩ = ∩ = ∈

∪ = ∪ = ∈

= ∈ = ∈

− = ∈

− = ∈

i ℕ

i ℕ

i ℕ ℕ

i ℕ

i ℕ{ }ero divisible por 3 impar

4) Si U = R , { } { }A x / x 1 y B x / x 1= ∈ > − = ∈ ≤R R , entonces:

{ } A B B A x / 1 x 1

A B B A

∩ = ∩ = ∈ − < ≤

∪ = ∪ =

i ℝ

i R

{ } { }

{ }

{ }

A ' x / x 1 y B ' x / x 1

A B x / x 1

B A x / x 1

= ∈ ≤ − = ∈ >

− = ∈ >

− = ∈ ≤ −

i ℝ ℝ

i ℝ

i ℝ

{ }

{ } { }

{ } { }

{ }

A B B A

A B B A a;b;c

A ' a;d y B' b;c;d

A B b;c y B A a

A B B A a;b;c

∩ = ∩ = ∅

∪ = ∪ =

= =

− = − =

∆ = ∆ =

i

i

i

i

i

Resuelve los siguientes ejercicios.

A B

U

• d

• b

• c • a



1) Sean A y B dos conjuntos. Responde las siguientes preguntas justificando la

respuesta.

a) si a A∈ , ¿debe ser entonces a elemento de A B∪ ?

b) si a A∈ , ¿debe ser entonces a elemento de A B∩ ?

c) si a A B∈ ∩ , ¿debe ser entonces a elemento de B?

d) si a A B∈ ∩ , ¿debe ser entonces a elemento de A B∪ ?

e) si A B⊄ y a A∈ , ¿debe ser entonces a elemento de B?

RTA: a) Sí b) No c) Sí d) Sí e) No

2) Dados los conjuntos:

• { }A x / x 0 x 6= ∈ ∧ < <ℕ

• { }B z / z z 2x 1 x A= ∈ ∧ = + ∧ ∈ℕ

a) Define por extensión cada uno de ellos.

b) Halla A B∪ .

RTA: a) { }A 1;2;3;4;5= , { }B 3;5;7;9;11= b) { }A B 1;2;3;4;5;7;9;11∪ =

3) Dados los siguientes conjuntos:

{ } A 1;2;3;4;5=i { } B 3;5;7;9;11=i

{ } C 2;5;8;11;12=i { } U x / x 12= ∈ ≤i ℕ

a) Representa los conjuntos mediante un diagrama y ubica en él sus elementos.

b) Efectúa las siguientes operaciones y representa gráficamente el sector

correspondiente a cada una de ellas en diferentes gráficos:

b1) A B C∪ ∪ b2) ( )B A B− ∪

b3) A B C∩ ∩ b4) ( )A B C∩ ∪

b5) ( )A C B A B C ∩ − ∪ ∪ ∪ b6) ( )A∆B C∩

RTA: a) b) b1) { }1;2;3;4;5;7;8;9;11;12 b2) ∅ b3) { }5

b4) { }2;3;5;8;11;12 b5) { }2;6;10 b6) { }2;11



3) Señalar en un diagrama de Venn de tres conjuntos A, B y C los conjuntos

resultantes de aplicar las siguientes operaciones:

a) ( )A B C∩ ∪ b) ( )A B C∩ ∪ c) ( )A B C∩ ∪ d) ( )A B C∩ ∩

4) Indicar qué operación entre los conjuntos A, B y C representan las áreas

sombreadas.

a) b)

c) d)

e) f)

RTA: a) B C∩ b) ( )A B C∪ − c) ( )A B C A B C∪ ∪ ∪ ∩ ∩

d) ( )C A B∪ ∩ e) ( ) ( )A B C B C∪ ∪ − ∩ f) ( ) ( )A B C B C A ∪ ∪ − ∩ −



PROPIEDADES DE LA UNIÓN, LA INTERSECCIÓN

Y

LA COMPLEMENTACIÓN

En el siguiente teorema aparecen enunciadas todas las propiedades relativas a

la unión, la intersección y la complementación entre conjuntos.

TEOREMA Nº 1:

Para todo subconjunto A, B, C y D de U son válidas las

siguientes propiedades:

a) Conmutativa de la intersección: A B B A∩ = ∩

Conmutativa de la unión: A B B A∪ = ∪

b) Asociativa de la intersección: ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

Asociativa de la unión: ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

c) Idempotencia de la intersección: A A A∩ =

Idempotencia de la unión: A A A∪ =

d) Distributiva de la intersección con respecto a l a unión:

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

Distributiva de la unión con respecto a la inters ección:

( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪

e) Leyes cónicas: A A U∪ =

A A∩ = ∅

f) U es el elemento neutro de la ∩ : A U A∩ =

∅ es el elemento neutro de la ∪ : A A∪ ∅ =

g) Involutividad del complemento: A A=



DEMOSTRACIÓN:

En todos los casos en que debamos demostrar igualdades entre conjuntos

utilizaremos lo ya demostrado en la proposición 1, ítem b, es decir que si

A B B A A B⊂ ∧ ⊂ ⇒ = .

Las demostraciones de las propiedades a, b, c, e, f, g y h son triviales, por lo

tanto, quedan como ejercicio para el lector.

A continuación, demostraremos las propiedades d e i.

d) Distributiva de la intersección con respecto a l a unión: debemos

demostrar que ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ . Por lo tanto, probaremos que

( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ ⊂ ∩ ∪ ∩ y que ( ) ( ) ( )A B A C A B C∩ ∪ ∩ ⊂ ∩ ∪ .

Sea ( )x A B C∈ ∩ ∪ , entonces ( )x A x B C∈ ∧ ∈ ∪ , es decir,

x B x C∈ ∨ ∈ .

Si x B∈ , como también x A∈ , entonces ( )x A B∈ ∩ . Luego,

( ) ( )x A B A C∈ ∩ ∪ ∩ .

Si x C∈ , como también x A∈ , entonces ( )x A C∈ ∩ . Luego,

( ) ( )x A B A C∈ ∩ ∪ ∩ .

Como podemos observar, en cualquier caso dado ( )x A B C∈ ∩ ∪ se termina

verificando que ( ) ( )x A B A C∈ ∩ ∪ ∩ .

( ) ( ) ( )A B C A B A C∴ ∩ ∪ ⊂ ∩ ∪ ∩

Sea ( ) ( )x A B A C∈ ∩ ∪ ∩ , entonces ( ) ( )x A B x A C∈ ∩ ∨ ∈ ∩ .

⊂

⊃

h) U = ∅ ; U∅ =

i) Leyes de De Morgan: A B A B∩ = ∪

A B A B∪ = ∩



Si ( )x A B∈ ∩ , entonces x A x B∈ ∧ ∈ , con lo cual ( )x B C∈ ∪ . Luego,

( )x A B C∈ ∩ ∪ .

Si ( )x A C∈ ∩ , entonces x A x C∈ ∧ ∈ , con lo cual ( )x B C∈ ∪ . Luego,

( )x A B C∈ ∩ ∪ .

Como podemos observar, en cualquier caso dado ( ) ( )x A B A C∈ ∩ ∪ ∩ se

termina verificando que ( )x A B C∈ ∩ ∪ .

( ) ( ) ( )A B A C A B C∴ ∩ ∪ ∩ ⊂ ∩ ∪ .

Por lo demostrado anteriormente, ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ .

Distributiva de la unión con respecto a la intersec ción: debemos

demostrar que ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ . Por lo tanto, probaremos que

( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ ⊂ ∪ ∩ ∪ y que ( ) ( ) ( )A B A C A B C∪ ∩ ∪ ⊂ ∪ ∩ .

Sea ( )x A B C∈ ∪ ∩ , entonces ( )x A x B C∈ ∨ ∈ ∩ .

Si x A∈ , se verifica que ( ) ( )x A B x A C∈ ∪ ∧ ∈ ∪ . Luego,

( ) ( )x A B A C∈ ∪ ∩ ∪ .

Si ( )x B C∈ ∩ , entonces x B x C∈ ∧ ∈ , con lo cual

( ) ( )x A B x A C∈ ∪ ∧ ∈ ∪ . Luego, ( ) ( )x A B A C∈ ∪ ∩ ∪ .

Como podemos observar, en cualquier caso dado ( )x A B C∈ ∪ ∩ se termina

verificando que ( ) ( )x A B A C∈ ∪ ∩ ∪ .

( ) ( ) ( )A B C A B A C∴ ∪ ∩ ⊂ ∪ ∩ ∪

Sea ( ) ( )x A B A C∈ ∪ ∩ ∪ , entonces ( ) ( )x A B x A C∈ ∪ ∧ ∈ ∪ .

Como ( )x A B∈ ∪ , entonces x A x B∈ ∨ ∈ . ( )∗

Como ( )x A C∈ ∪ , entonces x A x C∈ ∨ ∈ . ( )∗

⊂

⊃



Hay dos posibilidades: que x pertenezca a A o que no pertenezca a A.

Si x A∈ , entonces ( )x A B C∈ ∪ ∩ y si x A∉ , por ( )∗ se tiene que

x B x C∈ ∧ ∈ . Luego, ( )x B C∈ ∩ , lo cual implica que ( )x A B C∈ ∪ ∩ .

Como podemos observar, en cualquier caso dado ( ) ( )x A B A C∈ ∪ ∩ ∪ se

termina verificando que ( )x A B C∈ ∪ ∩ .

( ) ( ) ( )A B A C A B C∴ ∪ ∩ ∪ ⊂ ∪ ∩ .

Por lo demostrado anteriormente, ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ .

i) Leyes de De Morgan.

Demostraremos primero que A B A B∩ = ∪ .

Para ello deberemos probar que A B A B∩ ⊂ ∪ y que A B A B∪ ⊂ ∩ .

Sea x A B∈ ∩ , entonces por definición de complemento de un conjunto

se tiene que x A B∉ ∩ . Esto nos indica que x A x B∉ ∨ ∉

Consideramos las dos posibilidades:

• Si x A, entonces x A∉ ∈ . Esto implica que x A B∈ ∪ .

• Si x B, entonces x B∉ ∈ . Esto implica que x A B∈ ∪ .

Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x A B∈ ∩ , puede

verificarse finalmente que x A B∈ ∪ .

A B A B∴ ∩ ⊂ ∪

Sea x A B∈ ∪ , entonces x A x B∈ ∨ ∈ .

Si x A entonces x A∈ ∉ . Por lo tanto x A B∉ ∩ , lo cual implica que x A B∈ ∩ .

Si x B, entonces x B∈ ∉ . Por lo tanto x A B, lo que implica que x A B∉ ∩ ∈ ∩ .

Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x A B∈ ∪ , puede

verificarse finalmente que x A B∈ ∩ .

A B A B∴ ∪ ⊂ ∩ .

Queda entonces demostrado que A B A B∩ = ∪ .

⊂

⊃



Demostraremos ahora que A B A B∪ = ∩ .

Para ello deberemos probar que A B A B∪ ⊂ ∩ y que A B A B∩ ⊂ ∪ .

Sea x A B∈ ∪ . Por definición de complemento de un conjunto

x A B∉ ∪ . Esto implica que x A x B∉ ∧ ∉ (pues si perteneciera a alguno de los

dos conjuntos estaría en la unión de ambos).

Como x A x B∉ ∧ ∉ , x A x B∈ ∧ ∈ . Por lo tanto x A B∈ ∩ .

Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x A B∈ ∪ , puede

verificarse finalmente que x A B∈ ∩ .

A B A B∴ ∪ ⊂ ∩

Sea x A B∈ ∩ . Entonces x A x B∈ ∧ ∈ .

Por definición de complemento de un conjunto, esto último indica que

x A x B∉ ∧ ∉ . Por lo tanto x A B∉ ∪ , entonces x A B∈ ∪ .

Podemos observar que dado x A B∈ ∩ , hemos logrado probar finalmente que

x A B∈ ∪ .

A B A B∴ ∩ ⊂ ∪

Queda entonces demostrado que A B A B∪ = ∩ .

a) A B A

A B B

∩ ⊂ ∩ ⊂

b) Si C A C B C A B⊂ ∧ ⊂ ⇒ ⊂ ∩

c) A A B

B A B

⊂ ∪ ⊂ ∪

⊂

⊃

No olvides probar los ítems que faltaron del teorema 1.

Además, demuestra las siguientes proposiciones:



d) Si A C B C A B C⊂ ∧ ⊂ ⇒ ∪ ⊂

e) ( )A B A A B− = − ∩

f) ( ) ( )A A B A B= ∩ ∪ −

APLICACIÓN: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Una cátedra universitaria realiza anualmente una encuesta a los alumnos, al

comienzo de las clases.

Desean comparar los resultados recogidos en la actualidad con aquellos

obtenidos en el año 1992.

De la encuesta correspondiente a 1992, realizada a 744 alumnos, se extrajeron

los siguientes datos referidos a sexo, título secundario y áreas de interés:

• 334 alumnos son mujeres (M)

• 269 alumnos son Peritos Mercantiles (P)

• 320 alumnos se interesan por el área de Economía (E)

• 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles (M y P)

• 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía (M y E)

• 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía (P y E)

• 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el área de

Economía (M, P y E)

En primer lugar disponen organizar la información en un diagrama de Venn,

colocando en cada sector del gráfico los valores correspondientes a la cantidad de

personas que integran ese sector.

A continuación trabajaremos con una situación

problemática para cuya resolución nos será muy útil

trabajar con diagramas de Venn.



Iremos mostrando paso por paso la manera en la que efectúan esta

construcción.

• Como 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el

área de Economía, entonces ( )# M P E 13∩ ∩ =

• Como 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles, si restamos a esa

cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de Economía

que ya habíamos colocado, resulta que # ( )M P E 123 13 110 ∩ − = − = .

• Como 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía, si

restamos a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área

de Economía que ya habíamos colocado, resulta que # ( )M E P 44 13 31 ∩ − = − = .



• Como 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía, si restamos

a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de

Economía que ya habíamos colocado, resulta que ( )# P E M 98 13 85 ∩ − = − = .

• Como 334 alumnos son mujeres, si restamos a esa cantidad los valores ya

colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que tiene M con P

y con E, obtenemos que # ( )M P E 334 110 13 31 180 − ∪ = − − − = .

• Como 269 alumnos son Peritos Mercantiles, si restamos a esa cantidad los

valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que

tiene P con M y con E, obtenemos que # ( )P M E 269 110 13 85 61 − ∪ = − − − = .



• Como 320 alumnos se interesan por el área de Economía, si restamos a esa

cantidad los valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en

común que tiene E con M y con P, obtenemos que ( )# E M P 320 31 13 85 191 − ∪ = − − − =

• Teniendo en cuenta que la cantidad total de alumnos de la cátedra es 744,

entonces ( ) ( )# U M P E 744 180 110 61 31 13 85 191 73 − ∪ ∪ = − + + + + + + = , resultando

el gráfico final de la siguiente manera:

A partir de este último gráfico es más sencillo poder responder algunas

preguntas referentes a los datos que nos brinda la encuesta. Veamos algunas de

ellas…

1) ¿A cuántas mujeres no les interesa Economía?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M E− .

No les interesa Economía a 290 180 110= + mujeres.



2) ¿Cuántos alumnos son Peritos Mercantiles o les i nteresa Economía?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto P E∪ .

Son Perito Mercantiles o les interesa Economía a 491 110 61 31 13 85 191= + + + + +

personas.

3) ¿Cuántos alumnos son varones?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M .

Son varones 410 61 85 191 73= + + + de los 744 estudiantes de la cátedra.



4) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles y les interesa

Economía?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto ( )P E M∩ − .

Son varones Perito Mercantiles e interesados por Economía 85 alumnos.

5) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles o les interesa

Economía?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto ( )P E M∪ − .

Son varones Perito Mercantiles o interesados por Economía 337 61 85 191= + +

alumnos.

6) ¿Cuántos alumnos varones no son Perito Mercantil es ni les interesa

Economía?

La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M P E∪ ∪ .

No son Perito Mercantiles ni les interesa la Economía a 73 alumnos varones.



1) En una escuela con 100 alumnos, el número total de ellos estudiando varios

idiomas es el siguiente:

• Español: 28

• Alemán: 30

• Francés: 42

• Alemán y español: 8

• Español y francés: 10

• Alemán y francés: 5

• Los tres idiomas: 3

Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el

sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad:

a) ¿Cuántos alumnos de la escuela no estudian ningún idioma?

b) ¿Cuántos estudian solamente francés?

c) ¿Cuántos estudian español y alemán?

d) ¿Cuántos no estudian español?

e) ¿Cuántos no estudian alemán y francés?

f) ¿Cuántos estudian español o francés?

g) ¿Cuántos estudian sólo dos idiomas?

RTA: a) # A E F 20∪ ∪ = b) ( )#F A E 30− ∪ = c) # A E 8∩ = d) #E 72=

e) # A F 95∩ = f) #E F 60∪ = g) ( ) ( ) ( )# F A E A F E E A F 14 − ∪ ∪ − ∪ ∪ − ∪ =

Pondremos en práctica lo aprendido resolviendo los

siguientes problemas…



2) En un reconocimiento de bases matemáticas de 50 alumnos inscriptos en

Estadística, se encontró que el número de estudiantes que habían hecho distintas

materias del área era como sigue:

• Álgebra: 23

• Análisis Matemático: 13

• Geometría: 18

• Álgebra y Análisis Matemático: 6

• Álgebra y Geometría: 3

• Geometría y Análisis Matemático: 3

• Las tres materias: 1

Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el

sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad:

a) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra?

b) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Análisis Matemático?

c) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría?

d) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo una de las tres materias?

e) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Análisis Matemático?

f) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Geometría?

g) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría y Análisis Matemático?

h) ¿Cuántos alumnos cursaron Álgebra, Análisis Matemático o ambas?

i) ¿Cuántos alumnos no cursaron Análisis Matemático?

j) ¿Cuántos alumnos no cursaron ninguna materia?

RTA: a) ( )# A G M 15− ∪ = b) ( )#M G A 5− ∪ =

c) ( )# G A M 13− ∪ = d) ( ) ( ) ( )# A G M G A M M G A 33 − ∪ ∪ − ∪ ∪ − ∪ =

e) ( )# A M G 5∩ − = f) ( )# A G M 2∩ − = 2

g) ( )# G M A 2∩ − = 2 h) # A M 30∪ =

i) #M 37= j) # A M G 7∪ ∪ =

3) Una encuesta realizada a 200 personas acerca del consumo de 3 productos

A, B y C reveló los siguientes datos:

• 76 personas consumían A.

• 144 personas consumían B.

• 126 personas consumían C.



• nadie consumía sólo el producto A.

• 100 consumían B y C.

• 56 consumían A y B.

• 40 consumían los tres productos simultáneamente.

Responde indicando la cantidad de elementos de qué conjunto hay que tener

en cuenta para dar la respuesta:

a) ¿Cuántas personas no consumen ninguno de los tres productos?

b) ¿Cuántas personas consumen A y C, pero no B?

c) ¿Cuántas personas consumen A o C?

d) ¿Cuántas personas consumen sólo B?

e) ¿Cuántas personas no consumen B?

RTA: a) # A B C 30∪ ∪ = b) ( )# A C B 20∩ − = c) # A C 142∪ = d) ( )#B A C 28− ∪ = e) #B 56=

PRODUCTO CARTESIANO

DEFINICIONES Nº 13:

.

Si en los pares se cambia el orden de las componentes, se obtienen pares

ordenados diferentes, salvo que los dos elementos del par sean iguales. Con esto

queremos decir que ( ) ( )x;y y;x x y≠ ⇔ ≠ .

Un PAR ORDENADO consiste en dos elementos que se denominan

PRIMERA COMPONENTE o primer elemento y SEGUNDA COMPONENTE o

segundo elemento. Los elementos del par ordenado se colocan entre

paréntesis, separados por punto y coma.

Para que dos PARES ORDENADOS sean IGUALES es condición

necesaria y suficiente que los componentes homólogos sean iguales entre sí.

( ) ( )a;b c;d a c b d= ⇔ = ∧ =



DEFINICIÓN Nº 14:

.

Como resultado de la definición de producto cartesiano, podemos decir que si

el conjunto A tiene “m” elementos y el conjunto B tiene “n” elementos, el producto

cartesiano entre ellos tendrá mxn elementos.

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )AxB 1;a ; 1;b ; 2;a ; 2;b ; 3;a ; 3;b # AxB 6 3 2= ⇒ = = ⋅

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )BxA a;1 ; a;2 ; a;3 ; b;1 ; b;2 ; b;3 # BxA 6 2 3= ⇒ = = ⋅

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )AxA 1;1 ; 1;2 ; 1;3 ; 2;1 ; 2;2 ; 2;3 ; 3;1 ; 3;2 ; 3;3 # AxA 9 3 3= ⇒ = = ⋅

• ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )BxB a;a ; a;b ; b;a ; b;b # BxB 4 2 2= ⇒ = = ⋅

RTA: ( ) ( ) ( ) ( ){ }A B 1;5 ; 1;7 ; 2;5 ; 2;7× = ( ) ( ) ( ) ( ){ }A A 1;1 ; 1;2 ; 2;1 ; 2;2× =

( ) ( ) ( ) ( ){ }B A 5;1 ; 5;2 ; 7;1 ; 7;2× = ( ) ( ) ( ) ( ){ }B B 5;5 ; 5;7 ; 7;5 ; 7;7× =

De acuerdo a la definición, si { }A 1;2;3= y { }B a;b= ,

entonces:

Halla el producto cartesiano A B× , A A× , B A× y B B×

siendo:

• { }A x / x x 3= ∈ ∧ <ℕ

• { }B x / x x es un número impar 3 x 7= ∈ ∧ ∧ < ≤ℕ

El PRODUCTO CARTESIANO es una operación entre conjuntos que

arroja un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados.

El producto cartesiano entre los conjuntos A y B se simboliza A B× y es el

conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente

pertenece al conjunto A y cuya segunda componente pertenece al conjunto B.

En símbolos: ( ){ }A B x;y / x A e y B× = ∈ ∈



ANÁLISIS COMBINATORIO

El hecho de incluir la Combinatoria en esta unidad se debe principalmente a

dos razones.

En primer lugar, es un tema que casi no requiere de conocimientos

matemáticos previos. El bagaje técnico exigido no va mucho más allá de saber

sumar y multiplicar. En ese sentido es un tema elemental, aunque no por ello menos

rico y estimulante.

Por otro lado, en el análisis de los problemas combinatorios está presente la

esencia misma de la Matemática: su función ordenadora del pensamiento, su misión

de enseñar a abstraer y generalizar, de encontrar lo común en lo aparentemente

distinto, su finalidad primordial de desarrollar métodos y estrategias para resolver

problemas. El objetivo será entonces, no tanto presentar una lista de fórmulas y

teoremas, sino más bien tratar de lograr una familiaridad con algunas ideas y formas

de razonar.

Nos preguntamos entonces… ¿qué es la Combinatoria? Sin entrar en

encuadrarla en una definición rígida, podríamos describirla brevemente como una

técnica, habilidad o arte de contar sin enumerar. Esto implica el desarrollo de

aptitudes que nos permitan conocer, por ejemplo, el número de elementos de un

conjunto, el número de casos posibles de una situación, el número total de

resultados que puede arrojar una experiencia, etc., sin la exposición detallada de los

mismos

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una

operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer la cantidad

de formas o maneras en que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos

es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el

cálculo señalado.

En primer lugar veremos una técnica de carácter general: es sencilla y se la

conoce como el principio multiplicativo. Derivadas de este principio luego

consideraremos las permutaciones, que son ordenaciones de todos los elementos

de un conjunto y son un caso particular de las variaciones, que también

estudiaremos. Por último analizaremos las combinaciones.



PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Después de que hayas hecho tus propios intentos por resolver el problema,

ahora sí… lo pensemos juntos!

Por cada posible elección del medio de transporte, las opciones del turista son

siempre dos: primera clase o clase turista.

Puesto que son tres los medios de transporte disponibles, la cantidad de formas

en que puede viajar de una ciudad a otra será igual a 3 2 6⋅ = .

Situaciones como las planteadas en el problema anterior pueden representarse

mediante “árboles ” o “diagramas de árbol ”, que facilitan el análisis brindando una

visualización del problema que apoya nuestros razonamientos.

Por ejemplo, en este caso, el diagrama de árbol sería el siguiente:

Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra.

Para hacerlo puede optar por viajar en avión,

ómnibus o tren, y en cada uno de estos medios puede

elegir viajar en primera o en clase turista.

¿De cuántas maneras distintas

puede realizar el viaje?

¿Cómo haces para contarlas?

OPCIONES DE VIAJE

Avión

Ómnibus

Tren

Primera

Clase turista

Primera

Clase turista

Primera

Clase turista



Sigamos resolviendo problemas…

Una solución rudimentaria sería escribirlos todos, es decir, enumerarlos y luego

contarlos. Para hacerlo, es necesario tener algún método, una forma sistemática de

enumeración, pues de otra manera nos quedaría al final la incertidumbre de haber

olvidado alguno.

Aún si lográramos escribir todos los números esta forma de trabajo no sería útil

para otros problemas en los que la cantidad de elementos a contar sea demasiado

grande como para poder efectuar una enumeración en un tiempo razonable.

¿Cómo podemos hacer entonces?

Sabemos que el número que buscamos tiene tres cifras, es decir, es de la

forma “abc” en donde a representa la cifra de las centenas, b la de las decenas y c la

de las unidades.

Cada uno de estos dígitos debe ser impar, o sea, tomará los valores 1, 3, 5, 7 o

9.

Además no puede haber dígitos repetidos, es decir, no se permite que a sea

igual a b o que b sea igual a c o que a sea igual a c.

Hechas estas aclaraciones pensemos cómo hallar la cantidad solicitada.

Para elegir la cifra a tenemos las cinco posibilidades mencionadas (1, 3, 5, 7 o

9). Para cualquier elección de ésta, tenemos ahora cuatro formas de elegir b, puesto

que los dígitos no pueden repetirse y entonces b no podría tomar el mismo valor que

a.

Por lo tanto, habrá 5 4 20⋅ = maneras de ubicar las dos primeras cifras.

Para determinar la última, disponemos aún de tres dígitos. Razonando en forma

idéntica a la anterior, concluimos que hay 20 3 60⋅ = números de tres cifras distintas

que emplean los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9.

¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden

formarse con los dígitos impares?

¿Cómo haces para contarlos? Registra

el procedimiento.



Si para hallar la cantidad solicitada hiciste un listado de los números, es posible

que los hayas encontrado a todos o que no hayas logrado tu cometido. Esto

dependerá, seguramente, de la utilización de alguna forma sistemática para

generarlos.

Podemos observar que hay 12 números que comienzan con 1 y tienen todos

sus dígitos impares y diferentes. Estos son: 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175,

179,193, 195 y 197.

Razonando de la misma manera, podemos decir que habrá otros 12 que

comiencen con 3, 12 más que empiecen con 5, 12 que tengan a 7 como cifra de las

centenas y 12 que se inicien en 9.

Podríamos escribirlos o no, pero de cualquier manera, esto nos llevaría a

contabilizar un total de 12 5 60⋅ = números en total, cifra que habíamos obtenido

inicialmente sin necesidad de enumerarlos.

Está claro, que la operación utilizada es la multiplicación.

La clave consiste en observar que, en todos los casos, cada vez que se elige

una opción se abre el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente.

Nos detenemos un instante a reflexionar…

Si resolvemos los problemas sin enumerar, ¿cuál es la

operación que usamos en ambos?

5 3 7

1

9

5 3 7

9

7 3 5

9

9 3 5

7

Una buena manera sería, por

ejemplo, pensar en que la cifra de las

centenas sea 1. En ese caso, la cifra de

las decenas podría ser 3, 5, 7 o 9.

Una vez seleccionada la decena, en

cada caso quedarían 3 opciones para las

unidades.

Esto podría organizarse mediante un

árbol como el que se muestra a la

derecha.



Resulta claro entonces que el número de elecciones conjuntas es el producto de los

números de opciones disponibles en cada etapa.

En el primer problema…

MEDIO DE

TRANSPORTE CLASE

↓ ↓

3

posibilidades

⋅ 2

posibilidades

6=

posibilidades

En el segundo…

CENTENA DECENA UNIDAD

↓ ↓ ↓

5

posibilidades

⋅ 4

posibilidades

⋅ 3

posibilidades

60=

posibilidades

A partir de lo anterior podemos llegar a la siguiente definición:

DEFINICIÓN Nº 15:

.

Supongamos que una experiencia 1E puede arrojar m resultados y, por

cada uno de estos, una experiencia 2E puede arrojar n resultados. Entonces la

realización conjunta de 1E y 2E puede arrojar m n⋅ resultados.

El principio anterior puede extenderse, por aplicación reiterada, al caso de

tres o más experiencias, siempre que el número de resultados que puede arrojar

cada experiencia sea el mismo para cada realización conjunta de las anteriores.

Este principio se conoce con el nombre de PRINCIPIO MULTIPLICATIVO .

Es importante tener en cuenta que, para poder aplicar

el principio, cada vez que se elija una opción, se debe abrir

el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente.



¿Qué queremos decir con esto?

Por ejemplo, en el segundo problema, para cada cifra que yo elija para las

centenas, habrá 4 posibilidades para las decenas y 3 para las unidades,

independientemente de que la cifra de las centenas haya sido 1, 3, 5, 7 o 9.

Distinta sería la situación si en el ejercicio se impusiera la condición de que la

segunda cifra sea mayor que la primera. En este caso, si la primera cifra fuese 1,

para la segunda habría 4 posibilidades (3, 5, 7 o 9); si fuese 3, habría 3 posibilidades

(5, 7 o 9); si fuese 5 habría 2 opciones (7 o 9), si fuese 7 habría una (9) y, por otro

lado, ningún número podría comenzar con 9, puesto que todos los dígitos impares

son menores que él y, entonces, no habría ninguna cifra para ocupar el lugar de las

decenas. Esto nos muestra que la elección de una cifra hace que varíen las

posibilidades para las restantes.

1) Un menú turístico permite seleccionar una entrada entre cuatro, una comida

caliente entre tres, y un postre entre cinco.

a) ¿De cuántas formas puede elegir su menú un turista?

b) ¿De cuántas formas podrá hacerlo si desea que el salpicón de ave y la

suprema de pollo no aparezcan en el mismo menú?

RTA: a) 60 b) 55

2) Responde:

a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de 0, 1, 2, 3?

b) ¿Cuántos números menores que 100 pueden formarse a partir de los dígitos 1, 3,

9?

c) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de 1, 2, 3, 4, todos

terminados en 3?

d) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay (no pueden comenzar con cero)?

RTA: a) 48 b) 12 c) 16 d) 900

Practicamos lo aprendido respecto del principio

multiplicativo.

Resuelve los siguientes problemas.



3) ¿Cuántas parejas de baile pueden formarse a partir de un conjunto de 10

hombres y un conjunto de 8 mujeres?

RTA: 1.814.400

4) ¿Cuántos pares (presidente; vicepresidente) pueden formarse en un club

con 70 socios si ninguna persona puede desempeñar ambos cargos?

RTA: 4.830

5) Justifica la respuesta:

a) ¿Cuántos números de cinco dígitos pares hay?

b) ¿Cuántos números impares de cinco dígitos hay?

c) ¿Cuántos números terminados en 8 de cinco dígitos hay?

RTA: a) 2.500 b) 45.000 c) 9.000

6) Se envían señales mediante banderas izadas en un mástil en un

determinado orden.

a) Si se dispone de 5 banderas de colores diferentes, ¿cuántas señales pueden

emitirse izando 4 de ellas?

b) ¿En cuántas de ellas la bandera azul estará por encima de la roja?

RTA: a) 120 b) 36

7) El Dr. Arístides Pistado olvidó, como de costumbre, el número de código de

la tarjeta magnética que utiliza en el cajero automático. Sabe que se trata de un

número de cinco cifras formado por 2, 3, 4, 5 y 6, pero no recuerda el orden en que

figuran esos dígitos.

a) ¿Con cuántos números debe a lo sumo probar para dar con el correcto?

b) Más tarde recuerda que el número es impar, ¿con cuántos números debe probar

ahora?

c) Su esposa le avisa que el código comienza con un número primo impar. ¿Cuántos

intentos debe hacer con esta nueva información?

d) Encuentra en el cajón un papel en el que alguna vez quiso dejar pistas para

recordar el número: “El número de código de la tarjeta magnética es múltiplo de 5 y



la cifra que ocupa el lugar de las centenas es primo”. ¿Cuántas pruebas debe

realizar?

e) ¿Cuál es el número de código si finalmente recuerda que la cifra que ocupa el

lugar de las decenas es mayor que la que ocupa el de las unidades?

RTA: a) 120 b) 48 c) 12 d) 2 e) 34265

8) Un mensaje telegráfico consiste en una sucesión de puntos y rayas.

¿Cuántos mensajes de longitud a lo sumo 10 pueden enviarse?

RTA: 2.046

PERMUTACIONES

Si tenemos en cuenta la forma en que veníamos resolviendo los problemas

anteriores, habremos podido argumentar que para seleccionar el primer libro que

leerá, Camila tiene 5 opciones. Cualquiera haya sido su elección, tiene 4

posibilidades para seleccionar el segundo libro, y así sucesivamente.

Por lo tanto, y nuevamente de acuerdo con el principio multiplicativo, la

cantidad de formas en que puede organizar su lectura es igual a 5 4 3 2 1 120⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Camila compró 5 libros para leer

durante las vacaciones y quiere establecer

un orden de lectura.

¿De cuántas maneras puede hacerlo?

Un grupo musical grabó 11 canciones con las que

editará un nuevo disco.

¿De cuántas maneras pueden elegir

la secuencia de temas?



En este caso, debemos hallar la cantidad de formas en que pueden ser

ordenadas las 11 canciones.

Siguiendo el mismo razonamiento anterior, obtenemos que el número de

maneras es igual a 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 39.916.800⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Si observamos los problemas anteriores, en el primer caso, n 5= y en el

segundo, n 11= . Esto nos induce a tratar de resolver esta situación general

mediante un razonamiento análogo al utilizado en los casos particulares.

Si tenemos n objetos, para seleccionar el primero de ellos hay, evidentemente,

n opciones, y cualquiera sea nuestra elección tendremos n 1− formas de elegir el

segundo. Luego, hay ( )n n 1⋅ − maneras de elegir primero un objeto y luego otro.

Por cada elección de los dos primeros tendremos n 2− posibilidades para el

próximo y así sucesivamente.

Entonces, por aplicación reiterada del principio multiplicativo, concluimos en

que la cantidad de maneras de ordenar n objetos es ( ) ( )n n 1 n 2 3 2 1⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… , es

decir que la cantidad buscada es el producto de los n primeros números naturales.

Este último número recibe el nombre de factorial de n y, para abreviar la

escritura, se lo indica con el símbolo n! .

Así, al resolver los problemas anteriores, hemos calculado 5! 120= y

11! 39.916.800= .

También utilizamos un término especial para designar a las formas de ordenar

una colección de n objetos distintos. Cada una de ellas se llamará una permutación

de los mismos.

Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición:

¿Cómo podemos generalizar lo anterior?

¿De cuántas formas podrá ordenarse un conjunto de n

elementos u objetos distintos?



DEFINICIÓN Nº 16:

.

¿Qué significa esto último?

Significa que, por ejemplo, si se me pide que indique cuántos números de tres

cifras diferentes pueden formarse con 4, 6 y 8, deberé utilizar todos estos dígitos y

los números que armaré, que serán 468, 486, 648, 684, 846 y 864, si bien todos

están compuestos por los mismos dígitos son diferentes entre sí por el orden en el

que éstos se encuentran.

Para confeccionar un examen se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de

Estadística y 2 de Álgebra.

¿De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que

corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva?

A la cantidad de maneras distintas de ordenar un conjunto de n elementos

se las llama PERMUTACIONES de orden n y se las indica por Pn donde

( ) ( )nP n n 1 n 2 2 1 n!= ⋅ − ⋅ − ⋅ =⋯

que se lee factorial de n.

Se define 0! = 1

Es importante tener en cuenta que en una permutación:

Se ordena la totalidad de los elementos.

Interesa el orden en que se ubican los elementos,

es decir que una permutación difiere de otra únicamente en

el orden de sus elementos.

A continuación veremos un ejemplo en el que se aplican

las permutaciones combinadas con el principio

multiplicativo.



En este caso, debemos tener en cuenta dos cosas: cómo ordenar los bloques

de problemas según el área de la Matemática a la que pertenezcan y cómo

ordenarlos dentro de cada uno de esos bloques de acuerdo a su cantidad.

Si denominamos con la letra G a Geometría, con la E a Estadística y con la A a

Álgebra, para determinar el orden de los bloques, debemos calcular la cantidad de

permutaciones de estas tres letras. Estas son 3! 6= formas de disponer los temas

(AEG, AGE, EAG, EGA, GAE, GEA).

Debemos ahora elegir, dentro de cada tema, la secuencia de problemas.

Lo podemos hacer de 3! maneras para los de Geometría, de 4! maneras para

los de Estadística y de 2! formas para los de Álgebra.

Aplicando el principio multiplicativo tenemos que, para cada ordenamiento de

temas, habrá 3! 4! 2! 288⋅ ⋅ = secuencias distintas de problemas.

En definitiva, se cuenta con un total de 6 288 1728⋅ = maneras de armar el

examen.

TEMA SECUENCIA

POR TEMA

↓ ↓

3! 6=

posibilidades

3! 4! 2! 288⋅ ⋅ =

posibilidades

TOTAL 1728=

posibilidades

1) Se desea organizar una gira presidencial a Chile, Perú, Bolivia, Paraguay y

Brasil. ¿Cuántos itinerarios posibles hay sin repetir países?

RTA: 120

2) ¿De cuántas maneras se pueden colorear con 9 colores los casilleros de la

grilla si todos deben quedar pintados de diferente color?




RTA: a) 362.880

3) Durante un día de visita a una ciudad, un turista decide recorrer tres museos,

dos parques y un teatro.

a) ¿De cuántas maneras puede organizar su itinerario?

b) ¿De cuántas maneras puede hacerlo, pero debiendo comenzar por un museo y

seguir por un parque?

c) ¿De cuántas formas si el día debe concluir en el teatro?

RTA: a) 720 b) 144 c) 120

4) ¿Cuántos números impares de cinco cifras se obtienen permutando los

dígitos de 17.283?

RTA: a) 72

5) Seis excursionistas deben atravesar, en fila india, un puente angosto.

a) ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?

b) ¿En cuántas de ellas Daniel cruzará inmediatamente después de Juan?

RTA: a) 720 b) 120

6) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 chicas y 4 chicos en el cine, en 10

asientos consecutivos, si:

a) Todas las chicas desean sentarse juntas y lo mismo sucede con los varones.

b) Las chicas quieren estar juntas y a los varones les da igual.

c) Micaela y Joaquín no quieren estar juntos.

RTA: a) 34.560 b) 86.400 c) 2.903.040



PERMUTACIÓN CIRCULAR

¿Por qué este problema es de naturaleza diferente a los anteriores?

¿No se trata acaso de contar todas las formas posibles de ordenar a las 3

personas, en cuyo caso, el número de tales formas sería igual a 3!?

Examinemos un poco mejor el problema…

Supongamos que hemos enumerado las sillas y que los comensales se han

sentado aleatoriamente en ellas como se muestra en la figura.

Les pedimos ahora a todos que se corran hacia la derecha un lugar.

Esta nueva disposición, ¿es distinta de la anterior?

El sentido común nos dice que no, pues cada uno de los tres integrantes de la

mesa tiene a su derecha y a su izquierda a las mismas personas que antes.

Hijo 2

Padre

Hijo 1

Hijo 1

Hijo 2

Padre

¿De cuántas formas diferentes

pueden sentarse alrededor de una

mesa circular un padre y sus dos

hijos?



Sin embargo, como permutaciones son distintas, si pensamos a éstas como

todas las formas posibles de hacer corresponder a cada persona un número entre 1

y 3.

Ahora, si en vez de hacerlos correr un lugar, los hubiéramos desplazado

cualquier número de lugares entre 1 y 3, la conclusión hubiera sido exactamente la

misma.

Esto significa que si contamos las permutaciones de 3 elementos, estamos

contando 3 veces cada una de las disposiciones que nos interesan.

Debemos entonces dividir el resultado por 3, y, por lo tanto, el número de

formas de sentarse será igual a 3! 33

= 2 1

3

⋅ ⋅2! 2= = .

Estas dos únicas formas serán las siguientes:

DEFINICIÓN Nº 17:

.

Hijo 1

Hijo 2

Padre Hijo 2

Hijo 1

Padre

Dados n objetos distintos, cada ordenamiento de los mismos alrededor de

un círculo se denomina PERMUTACIÓN CIRCULAR .

El número de permutaciones circulares que se pueden formar con n

elementos diferentes de un conjunto es ( )nPC n 1 != −

¿De cuántas maneras pueden 10

chicas formar una ronda, si 3 de ellas

deben estar juntas y 2 de las 7 restantes

no quieren ocupar posiciones contiguas?



En este caso tenemos dos requerimientos:

• 3 de las 10 chicas deben estar juntas sí o sí

• 2 de las 7 restantes no quieren ocupar posiciones contiguas.

Si pensáramos en conjuntos, como lo hemos venido haciendo en esta unidad,

podríamos definir:

{ }U x / x es una ronda conformada por 10 chicas=

{ }A x / x es una ronda en donde 3 de las 10 chicas están juntas=

{ }B x / x es una ronda en donde 2 de las 7 restantes chicas no están juntas=

Comenzaremos calculando la cantidad de rondas que satisfacen el primer

requerimiento, es decir la cantidad de elementos del conjunto A.

Para ello podemos pensar a las 3 chicas que no se separarán como un bloque

y contar la cantidad de rondas que pueden formarse con él y las 7 chicas restantes.

Por lo tanto, debemos considerar permutaciones circulares de 8 objetos distintos,

cuyo número total es 7! 5040= .

Ahora bien, en cada una de esas rondas, las 3 niñas que fueron consideradas

como un solo bloque pueden también intercambiar sus posiciones de 3! maneras

distintas, de donde se concluye que el número de rondas que satisfacen la primera

condición es igual a 7! 3! 30.240⋅ = , es decir # A 30.240= .

Para completar la resolución del problema, debemos dilucidar en cuántas de

estas rondas las otras dos chicas no ocupan posiciones contiguas, es decir la

cantidad de elementos de A B∩ .

Ahora, si nosotros logramos contar la cantidad de elementos de A B− , es

decir, la cantidad de rondas en las que estas dos chicas están juntas, por descarte,

sabremos restando del total, en cuántas están separadas.

A B

U



Para ello, contamos las permutaciones circulares de 7 personas, puesto que

consideramos un bloque de 3, otro de 2 y las 5 chicas restantes. La cantidad de ellas

es 6! . Luego multiplicamos sucesivamente por el número de permutaciones internas

de cada bloque. Obtenemos entonces el resultado 6! 3! 2! 8.640⋅ ⋅ = . Esta sería la

cantidad de elementos de A B− .

Por lo tanto, el número buscado ( # A B∩ ) es 30.240 8.640 21.600− = .

1) Ocho amigos se reúnen periódicamente a cenar. Lo hacen siempre en el

mismo restaurante, en la misma mesa redonda. En una oportunidad, Gabriel, gran

memorioso, advierte sorprendido que es anoche cada comensal tiene a su derecha

la misma persona que la vez anterior. Comenta que es una gran casualidad, pues

siempre se sientan al azar y son muchas las formas que tienen de ubicarse.

¿Cuántas son?

RTA: 5.040

2) Cuatro bailarines y cuatro bailarinas interpretan una danza que consiste en

formar una ronda tomados de la mano.

¿De cuántas formas pueden ubicarse si en la figura deben aparecer

alternativamente hombres y mujeres?

RTA: 144

3) En un coloquio sobre enseñanza de la ciencia, se sientan alrededor de una

mesa circular 3 matemáticos, 3 físicos, 3 químicos y 2 biólogos.

¿De cuántas maneras pueden hacerlo si los miembros de una misma disciplina

deben estar juntos?

RTA: 2.592




PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Si se nos hubiese planteado un problema similar, pero con cinco cifras distintas,

entonces la cantidad de números que podríamos formar sería 5! 120= , pues, en ese

caso, permutaciones distintas determinarían números distintos.

La diferencia entre las dos situaciones radica, obviamente, en que en nuestro

problema tres de las cifras son iguales entre sí.

A efectos de estudiar convenientemente la cuestión, por un momento las

supondremos diferentes y les asignaremos símbolos distintos, por ejemplo a b3 , 3 y

c3 .

Si consideramos ahora los cinco símbolos 7, a b3 , 3 , 1 y c3 sabemos que hay

120 formas de permutarlos. Sin embargo, habrá ordenaciones diferentes que

estaremos considerando que determinan el mismo número, por ejemplo a b c13 73 3 y

c b a13 73 3 corresponden ambas al número 13.733.

Luego, lo que debemos averiguar es cuántas veces repetimos un mismo

número en las 120 permutaciones. Para ello, observemos que cada número lo

contamos tantas veces como formas tenemos de permutar los símbolos a b3 , 3 y c3 ,

es decir, 3! 6= veces.

En consecuencia, la cantidad de números que podemos formar es 5!

203!

= .

Si quieres convencerte de este resultado, escribe los 20 números diferentes

que puedes formar:

¿Cuántos números de cinco

dígitos podemos formar reordenando

las cifras del número 73.313?



Si, como antes lo hicimos con los números, distinguimos ahora las letras

repetidas llamando 1 2 3A , A y A a las tres letras A, y 1 2R y R a las dos letras R,

tendremos 9 símbolos distintos ( 1 2 3A , A , A , L, O, P, 1 2R , R y V) que podremos

permutar de 9! maneras.

Nuevamente, lo que debemos determinar es cuántas veces contamos así una

misma palabra. Para ello, observemos que, fijada una ordenación de los nueve

símbolos, si permutamos arbitrariamente entre sí los símbolos 1 2 3A , A y A , lo

mismo hacemos con 1 2R y R , y no movemos los cuatro símbolos restantes,

obtenemos una ordenación que determina la misma palabra que la anterior. Por lo

tanto, cada palabra es contada es contada 3! 2! 12⋅ = veces.

En consecuencia, para saber cuántas palabras diferentes podemos formar, es

preciso dividir el total, 9!, por 12.

De esta manera, la cantidad de palabras diferentes, aunque sin sentido, que

pueden formarse con las letras de la palabra LAVARROPA, es 9!

30.2403! 2!

=⋅

.

A ordenaciones como las descriptas en los dos problemas anteriores se las

llama PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. La generalización de esta situación

puede enunciarse de la siguiente manera:

DEFINICIÓN Nº 18:

¿Cuántas palabras diferentes,

aunque sin sentido, pueden formarse

con las letras de la palabra

LAVARROPA?

Se denomina PERMUTACIONES CON REPETICIÓN DE n

ELEMENTOS, no todos distintos, a todas las agrupaciones de n elementos,

formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin que ninguno falte.



.

1) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras de la

palabra CASUALIDADES?

RTA: 19.958.400

2) Dada la palabra REPETIDAMENTE…

a) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras que la

componen?

b) ¿En cuántas de ellas no aparecen consecutivamente las dos letras T?

RTA: a) 129.729.600 b) 109.771.200

3) Dado el número 23.814.425…

a) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse con sus dígitos?

b) ¿En cuántos de ellos los dos números 4 van uno junto a otro?

RTA: a) 10.080 b) 2.520

Practicamos lo aprendido…


Dados n objetos, de los cuales 1n son idénticos entre sí, otros 2n son

idénticos entre sí, …, y finalmente kn son idénticos entre sí, la cantidad de

ordenaciones de ellos es n1 2 k

n!PR

n ! n ! n !=

⋅ ⋅ ⋅…



VARIACIÓN SIN REPETICIÓN

Para la medalla de oro hay 12 posibilidades. Una vez entregada ésta, hay 11

atletas que podrían recibir la de plata. Por último, la medalla de bronce puede ser

obtenida por 10 atletas.

Aplicando el principio multiplicativo podemos observar que hay

12 11 10 1.320⋅ ⋅ = formas de premiar a los participantes de la carrera.

MEDALLAS

Oro Plata Bronce

↓ ↓ ↓

12

posibilidades

⋅ 11

posibilidades

⋅ 10

posibilidades

1.320=

posibilidades

En este caso se han seleccionado todos los subconjuntos posibles de 3

elementos del conjunto de 12 elementos disponibles y se han formado todas las

permutaciones posibles de ellos.

En una carrera de 400 metros participan 12 atletas.

¿De cuántas formas distintas

podrán ser premiados los tres

primeros lugares con medalla de

oro, plata y bronce?

Para intervenir en un torneo de tenis de dobles

mixtos, es necesario formar un equipo de tres parejas,

debiéndose elegir los jugadores entre los integrantes de

un grupo constituido por 6 hombres y 3 mujeres.

¿De cuántas maneras puede

seleccionarse el equipo?



Designaremos a las tres mujeres con las letras A, B y C. Puesto que ellas

deben formar parte del equipo, lo que hay que determinar es quiénes serán sus

respectivos compañeros de juego.

Para elegir quién jugará con A se tienen 6 opciones. Una vez hecha esta

elección, hay 5 posibilidades para el compañero de B y, finalmente, 4 para elegir

quién jugará con C.

Por lo tanto, puede armarse el equipo de 6 5 4 120⋅ ⋅ = maneras posibles.

En ambos problemas tenemos situaciones similares: debemos elegir

subconjuntos de un conjunto dado.

Vayamos ahora al planteo y resolución del caso más general posible…

Para elegir el primer objeto tenemos n opciones; una vez elegido éste,

tenemos n 1− opciones para el segundo, luego n 2− para el tercero, y así

sucesivamente.

Al disponernos a elegir el último, observamos que ya fueron seleccionados

m 1− objetos y, por lo tanto, el número de elecciones posibles para el mismo es

igual a ( )n m 1 n m 1− − = − + .

Por simple aplicación reiterada del ya conocido principio multiplicativo

concluimos que el número total de elecciones ordenadas es:

( ) ( ) ( )n n 1 n 2 n m 1⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − +…

Al sólo efecto de tener una notación más cómoda, expresaremos este último

número en forma más compacta. Para ello, observemos que podemos obtenerlo a

partir del factorial de n, suprimiendo una parte del producto.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )es lo que deberíamos suprimir

n! n n 1 n 2 n m 1 n m n m 1 2 1= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅… …��

Dado un conjunto de n objetos y un número m, menor o

igual que n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse

ordenadamente m objetos entre los n del conjunto dado?



Observamos que lo que debemos suprimir no es ni más ni menos que ( )n m !−

Tenemos entonces:

( ) ( ) ( ) ( )n!

n n 1 n 2 n m 1n m !

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − + =−

…

Podemos llegar entonces a la siguiente definición:

DEFINICIÓN Nº 19:

.

Cada una de las formas distintas en que se pueden seleccionar m

elementos (sin repetirlos) de una colección que tiene n elementos es

denominada VARIACIÓN SIN REPETICIÓN de n elementos, tomados de a m

de ellos y se denota por n,mV o por nmV en donde:

( ) ( ) ( )n,m

n!V n n 1 n m 1

n m != = ⋅ − − +

−⋯

Es importante tener en cuenta que en una variación sin

repetición:

No se utilizan necesariamente todos los elementos.

Interesa el orden en que se ubican los elementos,

es decir que una variación difiere de otra aún cuando

teniendo los mismos elementos, éstos se encuentren en

distinto orden.

¿Qué ocurre en la situación estudiada cuando

m es igual a n?



En tal caso, las variaciones de n tomadas de a n no son otra cosa que las

permutaciones de n elementos, y ya sabemos que el número de las mismas es n! .

Esto también encaja en la fórmula general de acuerdo a lo convenido en definir

0! 1= . En este caso particular, en vez de la notación n nV emplearemos el símbolo

nP .

( )n n n

n! n! n!V n! P

n n ! 0! 1= = = = =

−

1) Tres personas suben a un colectivo en el cual hay seis asientos libres. ¿De

cuántas maneras pueden ocuparlos?

RTA: 120

2) Mauro, Santiago, Pedro, Joaquín y Andrés fueron preseleccionadas para

cubrir un puesto de vendedor y otro de cadete, y se presentan a una entrevista, en la

cual sólo se elegirá a dos de ellos.

¿De cuántas maneras se puede hacer la elección y cuáles son esas

maneras?

RTA: 20

Es importante tener en cuenta que conocer una

fórmula y una determinada terminología puede ser útil,

pero no es imprescindible.

Un error frecuente es, frente a un problema, buscar la

fórmula que se le acomode, sin efectuar previamente un

análisis que nos permita entender perfectamente sus

características particulares.

Sigamos practicando…




3) Para representar una tragedia griega, se requiere un actor principal, un

segundo actor masculino, y 30 integrantes del coro, cuyos roles, distinguibles,

pueden ser desempeñados por hombres o mujeres.

Para una prueba de selección, se presentan 12 hombres para los roles

protagónicos, y 50 hombres y 45 mujeres para el coro.

a) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco?

b) ¿De cuántas, si el papel masculino principal está reservado al postulante X?

c) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco con la condición de que todos

los miembros del coro sean del mismo sexo?

RTA: a) 12! 95!10! 65!

⋅⋅

b) 95!

1165!

⋅ c) 12! 50! 45!10! 20! 15!

+

4) Con los dígitos 1, 2, …, 9, ¿cuántos números de tres cifras distintas

podemos formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?

RTA: 264

VARIACIÓN CON REPETICIÓN

En este caso, se nos pide armar números de dos cifras utilizando los dígitos 2,

3, 7 y 9. No se menciona que el número a construir tenga sus dígitos diferentes. Por

lo tanto, pueden contarse aquellos casos de números con dígitos repetidos.

Para la cifra de las decenas se tienen 4 posibilidades. Igual cantidad de

opciones hay para las unidades.

Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que hay 4 4 16⋅ = números

posibles.

¿Cuántos números de dos dígitos

podemos formar reordenando las

cifras del número 2.379?



NÚMERO

Decenas Unidades

↓ ↓

4

posibilidades

⋅ 4

posibilidades

24 16= =

posibilidades

DEFINICIÓN Nº 20:

.

En el ejemplo, la cantidad total de números de dos cifras que se pueden formar

con los dígitos 2, 3, 7 y 9 se obtiene calculando:

4 22VR 4 16= =

Al número de selecciones ordenadas de un conjunto de n elementos

tomados de a m de ellos, pudiendo repetirlos, se lo denomina VARIACIÓN CON

REPETICIÓN y se denota por n,mVR o por nmVR donde

mn,mVR n=

Es importante tener en cuenta que en una variación con

repetición:

No necesariamente se efectúan ordenaciones de la

totalidad de los elementos disponibles.

Interesa el orden en que se ubican los elementos.

Los elementos pueden repetirse dentro de una

misma ordenación.



COMBINACIONES

En este caso estamos interesados en el número de subconjuntos de 2

elementos que podemos formar con los 4 elementos de los que disponemos.

Sabemos que la cantidad de elecciones ordenadas de los mismos que

podemos realizar es 4,2V .

Sin embargo, obtendremos el mismo jugo colocando las frutas en un orden o en

otro. Por ejemplo, el jugo de naranja – durazno, es exactamente igual al de durazno

– naranja.

Por lo tanto, si consideramos 4,2V jugos, estamos contando 2! 2= veces cada

uno.

Luego, la cantidad total de jugos que pueden elaborarse con las cuatro frutas

es 4,2V 4!6

2! 2! 2!= =

⋅.

¿Podrías enumerar los 6 posibles jugos que preparará la señora?

Observemos que lo que realmente se ha hecho en este problema es contar la

cantidad de formas posibles de elegir 2 elementos entre un conjunto de 4 elementos,

sin que nos importe el orden de la elección.

Una señora tiene 4 frutas:

manzana, banana, durazno y naranja.

¿Cuántos sabores diferentes de

jugo podrá preparar con dos de estas

frutas?



La respuesta la obtendremos argumentando como en la resolución del

problema anterior. La totalidad de formas de elegir ordenadamente m elementos,

tomados entre los n del conjunto dado es n,mV .

Ahora bien, fijados m elementos, la cantidad de elecciones ordenadas distintas

que podemos hacer de los mismos es m! . Luego, al considerar variaciones, estamos

contando m! veces cada selección de m elementos. Debemos entonces dividir por

este último número, y obtenemos que la cantidad buscada es;

( )n,mV n!

m! n m ! m!=

− ⋅

Esto nos permite llegar a la siguiente definición:

DEFINICIÓN Nº 21:

.

Pensemos en la situación general…

Dado un conjunto de n objetos, y siendo m un número menor o

igual a n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse m objetos

entre los n del conjunto dado?

Al número de selecciones no ordenadas de un conjunto de n elementos

tomados de a m de ellos se las denomina COMBINACIONES de n elementos

tomados de a m y se indican por n,mC , por nmC o por

n

m

donde

( )n,m

n!C

n m ! m!=

− ⋅

En una combinación no nos interesa el orden de los

elementos, es decir que dos combinaciones que tengan los

mismos elementos pero en distinto orden, son iguales.



Es fundamental entender perfectamente la diferencia entre variaciones y

combinaciones.

Una variación es una elección ORDENADA de m elementos entre n, mientras

que en una combinación sólo elegimos m elementos, sin que nos interese el orden

de dicha elección.

Dicho de otro modo, nmC es exactamente la cantidad de subconjuntos de m

elementos que hay en un conjunto de n elementos.

a) Puesto que no se especifica nada sobre los cargos a ocupar, es decir, no se

establece un orden en los mismos, se trata evidentemente de un problema de

combinaciones.

Se deben elegir 4 personas entre 13 y esto podrá hacerse de 13,4C 715=

maneras.

b) En este caso se impone la condición de que la comisión esté conformada por

lo menos por 2 mujeres. Esto significa que tenemos tres diferentes tipos de

composiciones para las comisiones. Estos son:

dos mujeres – dos hombres

tres mujeres – 1 hombre

cuatro mujeres

Analizamos cada uno de los casos:

dos mujeres – dos hombres

Para integrar una comisión se deben elegir 4 personas

entre un grupo formado por 8 hombres y 5 mujeres.

a) ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección?

b) Y si imponemos la condición de que por lo menos dos

de los miembros deben ser mujeres, ¿de cuántas maneras

puede elegirse la comisión?



Las dos mujeres pueden ser elegidas entre 5, es decir, de 5,2C 10= maneras.

Los dos hombres pueden ser elegidos entre 8 y, por tanto, habrá 8,2C 28= formas

de seleccionarlos.

Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones

posibles compuestas por dos hombres y dos mujeres será 10 28 280⋅ = .

tres mujeres – 1 hombre

Argumentando como en la situación anterior, las tres mujeres pueden ser

elegidas de 5,3C 10= maneras. El único hombre que participará puede ser

seleccionado de 8,1C 8= formas.

Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones

posibles compuestas por un hombre y tres mujeres será 10 8 80⋅ = .

cuatro mujeres

Aquí, sencillamente debemos elegir 4 mujeres entre 5. Lo podemos hacer de

5,4C 5= maneras.

Puesto que los tres casos anteriores se excluyen mutuamente, el número total

de formas de armar la comisión será la suma de las cantidades halladas, es decir,

280 80 5 365+ + = .

1) Un estudiante quiere rendir tres de las seis materias que tiene pendientes.

¿De cuántas formas puede elegir el grupo de materias a rendir?

RTA: 20

Vamos llegando a las últimas actividades…

Resuelve los siguientes problemas...



2) Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿De

cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película?

RTA: 35

3) Dados 10 puntos en una circunferencia:

a) ¿cuántas rectas se pueden formar con ellos?

b) ¿cuántos triángulos con vértices en esos puntos se pueden formar?

RTA: a) 45 b) 120

4) Un estudiante tiene que contestar ocho de diez preguntas en un examen.

a) ¿Cuántas maneras tiene de elegir las preguntas a contestar?

b) ¿Cuántas si tiene que contestar sí o sí las tres primeras preguntas?

c) Si no sabe responder a la pregunta número 10, ¿cuántas maneras tiene de elegir

para contestar las ocho preguntas que se le solicita?

RTA: a) 45 b) 21 c) 9

5) ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5

biólogos, de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos?

RTA: 150

6) Un equipo científico consta de 25 miembros, de los cuales 4 son doctores.

Hallar el número de grupos de 3 miembros que se puede formar, de manera

que en cada grupo haya por lo menos un doctor.

RTA: 970

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TEORÍA DE CONJUNTOS · tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó también conocimiento del "conjunto". La Teoría de Conjuntos es un sistema