TeorTeoríía de Flujo Subterra de Flujo SubterrááneoneoCapCapíítulo 11tulo 11

La zona no saturada y la ecuaciLa zona no saturada y la ecuacióón de Richardn de Richard

Alberto Rosas MedinaAlberto Rosas MedinaSemestre 2008Semestre 2008--11

Posgrado en Ciencias de la TierraPosgrado en Ciencias de la Tierra

CapCapíítulo del 10.4 al 10.4.2tulo del 10.4 al 10.4.2

IntroducciIntroduccióónn11.3.1 Propiedades de agua y aire en los 11.3.1 Propiedades de agua y aire en los supuestos de Richardsupuestos de Richard

10.3.2 Ecuaci10.3.2 Ecuacióón de Richard para el flujo de aguan de Richard para el flujo de agua

10.3.3 Agua y aire din10.3.3 Agua y aire dináámicos en la zona micos en la zona saturada saturada

IntroducciIntroduccióónn

La zona saturada es un sistema porosoLa zona saturada es un sistema poroso--medio difluido medio difluido con aire y agua como los dos fluidos. con aire y agua como los dos fluidos.

En esta secciEn esta seccióón se considera la zona no saturada, mn se considera la zona no saturada, máás s cerradamente, notando la disparidad en propiedades cerradamente, notando la disparidad en propiedades entre el aire y agua. entre el aire y agua.

Se hacen simplificaciones de sistemas de ecuaciones Se hacen simplificaciones de sistemas de ecuaciones difluidas.difluidas.

Se plantean los mSe plantean los méétodos simplificados para el antodos simplificados para el anáálisis. lisis. cuantitativo de estas zonas importantes del ambiente. cuantitativo de estas zonas importantes del ambiente.

Propiedades de aire y agua y los supuestos Propiedades de aire y agua y los supuestos de Richardsde Richards

El aire en condiciones tEl aire en condiciones tíípicas de la atmpicas de la atmóósfera (1 sfera (1 atmatm, , 202000 ), es un gas que tiene densidad alrededor de 1kg/m), es un gas que tiene densidad alrededor de 1kg/m3,3,

y una viscosidad de aproximadamente 1.8x10y una viscosidad de aproximadamente 1.8x10--5 5 Pa.sPa.s. El . El agua en las mismas condiciones tiene densidad tiene agua en las mismas condiciones tiene densidad tiene densidad cerca de 1000kg/mdensidad cerca de 1000kg/m3 3 y viscosidad cerca de 10 y viscosidad cerca de 10 Pa.sPa.s. Por lo tanto el aire es aproximadamente tres . Por lo tanto el aire es aproximadamente tres ordenes de magnitud menor que la densidad del aguay ordenes de magnitud menor que la densidad del aguay 2 ordenes de magnitud menos viscoso. Con esto en 2 ordenes de magnitud menos viscoso. Con esto en mente consideremos la versimente consideremos la versióón de multifluido de la n de multifluido de la ecuaciecuacióón de n de DarcyDarcy, donde el t, donde el téérmino de flujo es rmino de flujo es inversamente proporcional a la viscosidad del fluidoinversamente proporcional a la viscosidad del fluido

En una zona no saturada donde se contiene agua y aire, En una zona no saturada donde se contiene agua y aire, el gradiente de presiel gradiente de presióón necesario para extraer el flujo n necesario para extraer el flujo volumvoluméétrico de los fluidos, se tiene que para el aire es trico de los fluidos, se tiene que para el aire es 100 veces menor que para el agua.100 veces menor que para el agua.AdemAdemáás, la densidad del aire es muy peques, la densidad del aire es muy pequeñña, la a, la distribucidistribucióón estn estáática de presitica de presióón en una columna de aire n en una columna de aire cambia poco sobre distancias aplicadas a la zona no cambia poco sobre distancias aplicadas a la zona no saturada.saturada.La presiLa presióón de aire en la zona no saturada no difiere n de aire en la zona no saturada no difiere mucho de la atmosfmucho de la atmosféérica.rica.Por lo tanto para muchos problemas es razonable Por lo tanto para muchos problemas es razonable suponer que el aire permanece a presisuponer que el aire permanece a presióón atmosfn atmosféérica. rica. Este es el supuesto de Richards Este es el supuesto de Richards

Si se elimina la presiSi se elimina la presióón del aire de la variables primarias y n del aire de la variables primarias y se trabaja con las tres incse trabaja con las tres incóógnitas, presignitas, presióón de agua, n de agua, saturacisaturacióón de agua, y saturacin de agua, y saturacióón de aire. Las restricciones n de aire. Las restricciones de volumen permiten que la saturacide volumen permiten que la saturacióón del aire sea n del aire sea eliminada, obtenieliminada, obteniééndose asndose asíí dos ecuaciones y dos dos ecuaciones y dos incincóógnitas. gnitas. Las ecuaciones que permanecen son la ecuaciLas ecuaciones que permanecen son la ecuacióón de n de balance de masa (combinada con la ley de balance de masa (combinada con la ley de DarcyDarcy) y la ) y la ecuaciecuacióón de relacin de relacióón entre saturacin entre saturacióónn--presipresióón capilar. Y n capilar. Y las dos inclas dos incóógnitas presignitas presióón de agua y saturacin de agua y saturacióón del agua.n del agua.Se supone que la presiSe supone que la presióón es igual a la presin es igual a la presióón atmosfn atmosféérica rica asasíí que, que, PPatmatm =0. esto implica que la presi=0. esto implica que la presióón capilar es n capilar es igual Pigual PCC = = PPatmatm ––PPw0w0 ==-- PPw0w0. Por lo tanto P. Por lo tanto PCC--S implica que S implica que la saturacila saturacióón del agua es una funcin del agua es una funcióón de la presin de la presióón del n del agua.agua.

EcuaciEcuacióón de balance del aguan de balance del agua

Asumimos que la porosidad y la densidad del agua son Asumimos que la porosidad y la densidad del agua son constantes y que no hay tconstantes y que no hay téérminos fuentes o sumideros rminos fuentes o sumideros entonces la ecuacientonces la ecuacióón se reescribe como n se reescribe como

Definimos la carga de presiDefinimos la carga de presióón como la presin como la presióón escalada n escalada en unidades de longitud por la gravedad especen unidades de longitud por la gravedad especíífica del fica del agua. agua. ΨΨww==PPww//ρρwwgg, ,

Entonces la ecuaciEntonces la ecuacióón 11.34 se convierte en n 11.34 se convierte en

Reconociendo que Reconociendo que k k ρρwwgg//μμww como la definicicomo la definicióón usual de n usual de conductividad hidrconductividad hidrááulica entonces se tiene ulica entonces se tiene

Finalmente, notamos que la medida mFinalmente, notamos que la medida máás coms comúún de la n de la saturacisaturacióón del fluido en el campo de ciencias de la tierra n del fluido en el campo de ciencias de la tierra es el fluido contenido, el cual es el volumen de fluido por es el fluido contenido, el cual es el volumen de fluido por el total del volumen del medio poroso. Para el agua a el total del volumen del medio poroso. Para el agua a veces es referido como contenido de humedad.veces es referido como contenido de humedad.θθww ==εεSwSw. . Reemplazando en la ecuaciReemplazando en la ecuacióón 11.36 se tienen 11.36 se tiene

La cual es referida como la ecuaciLa cual es referida como la ecuacióón tridimensional de n tridimensional de Richards, escrita en forma mixta. El termino mixto Richards, escrita en forma mixta. El termino mixto significa que la saturacisignifica que la saturacióón (contenido de humedad) y la n (contenido de humedad) y la presipresióón aparecen como variables primarias. n aparecen como variables primarias.

Si se considera que el volumen de poros es una funciSi se considera que el volumen de poros es una funcióón n dependiente de la presidependiente de la presióón, entonces la derivada n, entonces la derivada temporal del volumen de poros esttemporal del volumen de poros estáá dada por dada por

Tal que el termino Tal que el termino C(C(ΨΨww) es llamado la capacidad ) es llamado la capacidad especespecíífica de humedad. Esto es igual a la pendiente de fica de humedad. Esto es igual a la pendiente de la curva de la curva de θθww vsvs ΨΨww y corresponde al cambio del y corresponde al cambio del contenido de la humedad por unidad de cambio de la contenido de la humedad por unidad de cambio de la carga de presicarga de presióónn

Sustituyendo en la Sustituyendo en la ecec. 11.37 se tiene. 11.37 se tiene

De manera similar se puede expandir a derivada De manera similar se puede expandir a derivada espacial de la carga de presiespacial de la carga de presióón y convertir dentro de las n y convertir dentro de las derivadas del contenido de humedad se tiene derivadas del contenido de humedad se tiene

Sustituyendo en la ecuaciSustituyendo en la ecuacióón 11.37 se tiene n 11.37 se tiene

SustituciSustitucióónn

. .

En la ecuaciEn la ecuacióón 11.40 la D() es llamada n 11.40 la D() es llamada difusividad difusividad humedad del suelo. humedad del suelo. Se refiere a la Se refiere a la ecec. 11.40 como . 11.40 como θθ--basada de la ecuacibasada de la ecuacióón de Richards. Y la n de Richards. Y la ecec,.11.39 es ,.11.39 es ΨΨ––basadabasada de la ecuacide la ecuacióón de Richard.n de Richard.

La ecuaciLa ecuacióón n θθ--basada es apropiada para basada es apropiada para sistamassistamas no no saturados pero no es apropiada para sistemas que saturados pero no es apropiada para sistemas que incluyen zonas saturadas. En la zona saturada el incluyen zonas saturadas. En la zona saturada el contenido de humedad es igual a los poros.contenido de humedad es igual a los poros.Por lo tanto para zonas saturadas se debe usar la forma Por lo tanto para zonas saturadas se debe usar la forma presipresióónn--saturada. Es decir si el sistema es saturado se saturada. Es decir si el sistema es saturado se estestáá en condiciones de usar la ecuacien condiciones de usar la ecuacióón de n de richardsrichardsmixta o la forma presimixta o la forma presióónn--basada.basada.Podemos pensar en el suelo y la comprensibilidad, ya Podemos pensar en el suelo y la comprensibilidad, ya que cambios en el contenido de humedad tienden a ser que cambios en el contenido de humedad tienden a ser mucho mmucho máás grandes que cualquier cambio en el s grandes que cualquier cambio en el volumen de almacenamiento debido a la volumen de almacenamiento debido a la compresibilidad. Esto es importante por que la zona compresibilidad. Esto es importante por que la zona saturada implica que la saturacisaturada implica que la saturacióón del agua es la n del agua es la constante uno. constante uno.

EcuaciEcuacióón general de balance del aguan general de balance del agua

Si se considera que densidad del agua no cambia Si se considera que densidad del agua no cambia mucho entonces se tienemucho entonces se tiene

Entonces el tEntonces el téérmino densidad puede ser removido de la rmino densidad puede ser removido de la ecuaciecuacióón de balance del agua. n de balance del agua.

Entonces se tiene la ecuaciEntonces se tiene la ecuacióón de balance de volumenn de balance de volumen

Por lo tanto se pueden escribir tres ecuaciones de Por lo tanto se pueden escribir tres ecuaciones de Richard (mixta, Richard (mixta, θ θ--basada, basada, ΨΨ--basada incluyendo basada incluyendo compresibilidad y suponiendo no fuentes ni sumideros) compresibilidad y suponiendo no fuentes ni sumideros)

Finalmente, nFinalmente, nóótese que la ecuacitese que la ecuacióón de Richard es a n de Richard es a veces aplicada veces aplicada úúnicamente en la direccinicamente en la direccióón vertical n vertical

11.3.3 Din11.3.3 Dináámica de Agua y aire en la mica de Agua y aire en la zona no saturadazona no saturada

Decimos que las bases de la ecuaciDecimos que las bases de la ecuacióón de Richard es n de Richard es suponer que el aire es mucho msuponer que el aire es mucho máás movible que el agua , s movible que el agua , y por lo tanto este puede moverse fy por lo tanto este puede moverse fáácilmente con muy cilmente con muy pequepequeñño aumento de la presio aumento de la presióón. n. Considere un simple problema unidimensional de Considere un simple problema unidimensional de infiltraciinfiltracióón en el cual una tasa de precipitacin en el cual una tasa de precipitacióón es n es aplicada en la aplicada en la toptop frontera y la frontera y la bottombottom frontera se frontera se mantiene la presimantiene la presióón del fluido fija, asn del fluido fija, asíí que ambos aire y que ambos aire y agua escapan a travagua escapan a travéés de esta. s de esta.

Los parLos paráámetros funcionales, determinados metros funcionales, determinados experimentalmente por experimentalmente por ToumaTouma y y VauclinVauclin fueron fueron definidos como definidos como

GrGrááficosficos

GrGrááfica 1fica 1

GrGrááfica 2fica 2

GrGrááfica 3fica 3

GrGrááfica 4. Modelo multidimensional, se calcula presifica 4. Modelo multidimensional, se calcula presióón n de aire y agua.de aire y agua.