Upload
others
View
9
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Teoría de Sistemas y SeñalesTeoría de Sistemas y Señales
Transparencias:Análisis de Sistemas LE en TDAnálisis de Sistemas LE en TDen el Dominio Transformado Zen el Dominio Transformado Z
Autor: Dr. Juan Carlos Gómez
TeSyS 2
Análisis de Sistemas LE en TD en el Análisis de Sistemas LE en TD en el Dominio Transformado ZDominio Transformado Z
1. Transformada Z Bilateral
z: variable complejax(n): señal en tiempo discreto
( ) ( )[ ]nxZznx)z(X n
n== −
∞
∞−=∑
• La transformada Z (serie infinita) existe para los valores de la variable z donde la serie converge. La región se denomina Región de Convergencia (RDC).• Las señales de duración finita tienen como RDC a todo el plano complejo (exceptuando posiblemente z=0 y/o z→∞)
TeSyS 3
Ejemplo:( )nµ
21)n(x
n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Vemos que x(n) posee duración infinitaLa transformada Z resulta:
21z1z
21 1 >⇔<−
( )[ ]n
1
0n
n
n
0n
z21z
21nxZ)z(X ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛== −
∞
=
−∞
=∑∑
que es una serie geométrica. La serie converge para:
La serie converge al valor:1z
211
1−−
TeSyS 4
Es decir, que la Transformada Z de x(n) es:
X(z) es una representación alternativa, compacta, de la señal x(n)
Gráficamente, la RDC es:
( )21z:RDC
z211
1zX1
>−
=−
Im(z)
Re(z)0 1/2
TeSyS 5
• Región de Convergencia
Expresando la variable z en forma polar, tenemos:
donde:
entonces:
En la región de convergencia de X(z) es:
( ) n
nznx)z(X −
∞
∞−=∑=
φje.rz =
zφzr∠=
=
( ) nφjn
ne.rnx)z(X −−
∞
∞−=∑=
z-n
∞<)z(X
TeSyS 6
Es decir:
( ) ( )
( ) n
n
nφjn
n
nφjn
n
rnx
e.rnxe.rnx)z(X
−∞
∞−=
−−∞
∞−=
−−∞
∞−=
∑
∑∑
=
≤=
< ∞
Hallar la RDC es hallar el rango de valores de r para el cuál la secuencia x(n) r-n es absolutamente sumable
La RDC es usualmente una región anular( ) 1c2 rzrr <<
Si la señal es causal → RDC: Exterior de un círculoSi la señal es anticausal → RDC: Interior de un círculo
TeSyS 7
2. Transformada Z inversa
( )
( ) knn
k
zkxzzX
zkxzX
k
k
−−−
−
∑
∑∞
∞−=
∞
∞−=
=
=
11
)(
)(
Im(z)C
Re(z)RDC
Considerando la siguiente RDC:
TeSyS 8
Integrando ambos miembros de la expresión anterior sobre el contorno C
( ) ( ) dzzkxdzzkxdzz)z(XC
k1n
kC
k1n
kC
1n ∫∑∫ ∑∫ −−∞
∞−=
−−∞
∞−=
− ==
Como la serie converge en el contorno C(C está dentro de la RDC)
Recordando el Teorema de Cauchy resulta:
y por lo tanto:⎩⎨⎧
≠=
=∫ −−
nk0nk1
dzzjπ2
1
C
k1n
( ) ( ) dzzzXjπ2
1nxC
1n∫ −= TransformadaZ Inversa
TeSyS 9
3. Propiedades de la Transformada Z
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxZbnxZanxbnxaZ 2121 +=+
• Linealidad
• Corrimiento en tiempo
• Escalado en el Dominio Z
( )[ ] ( )[ ]nxZzknxZ k−=−
( )[ ] ( )( ) ( )[ ]nxZzXdonde
zaXnxaZ 1n
=
= −
TeSyS 10
• Reversión de Tiempo
• Derivada en el Dominio Z
• Convolución de 2 secuencias
•Teorema del Valor InicialSi x(n) es causal (es decir x(n)=0 ∀ n<0)
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]nxZzXconzXnxZ 1 ==− −
( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]nxZzXcondz
zXdznxnZ =−=
( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nxZ.nxZnxnxZ 2121 =∗
( ) ( )zXlim0xz ∞→
=
TeSyS 11
4. Transformadas Z Racionales
( )∑
∑
=
−
=
−
−−
−−
=++++++
= N
0k
kk
M
0k
kk
NN
110
MM
110
za
zb
zazaazbzbbzX
K
K
ceros de X(z): valores de z tal que X(z)=0polos de X(z): valores de z tal que X(z)→∞
( ) ( )( )zDzNzX = polinomios en z (o z)
-1
( )N
1N1
N0
M1M
1M
0MN
a...zazab...zbzbzzX
++++++
=−
−−
TeSyS 12
M ceros finitos z1 , z2 , ... , zMN polos finitos p1 , p2 , ... , pN
N-M ceros en el origen si N>MM-N polos en el origen si M>N
( )( )
( ) 0
0N
1jj
M
1ii
MN
abKcon
pz
zzzKzX =
−
−=
∏
∏
=
=−
TeSyS 13
5. Ubicación de polos y Comportamiento Temporal
( ) ( ) ( ) az:RDCza1
1zXnµanxcausalSeñal1
n >−
=↔=−
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
...n
...n
...n
...n
...n
...n
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
TeSyS 14
( ) ( ) ( )( )
az:RDCza1
zazXnµannxcausalSeñal 21
1n >
−=↔=
−
−
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
x(n)
0
...n
...n
...n
...n
...n
...n
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
Plano z
TeSyS 15
6. Función Transferencia Z
( ) ( ) ( )nunhny ∗=
Función Transferencia Z
h(n)u(n) y(n)
( ) ( ) ( )zU.zHzY =
( ) ( )[ ]nhZzH =
( ) ( )( ) nulas.I.C
n
n zUzYznh)z(H == −
∞
∞−=∑
Z
TeSyS 16
Para un sistema descripto por una ecuación en diferencias:
Z (C.I. nulas)
( ) ( )knubknya)n(y k
M
0kk
N
1k−+−−= ∑∑
==
( ) ( ) kk
M
0k
kk
N
1kzzUbzzYa)z(Y −
=
−
=∑∑ +−=
[ ] ( ) [ ]kk
M
0k
kk
N
1kzbzUza1)z(Y −
=
−
=∑∑ =+
( ) ( ) kk
N
1k
kk
M
0k
za1
zb
zU)z(YzH
−
=
−
=
∑
∑
+== Transferencia
Z Racional
TeSyS 17
Casos especiales
kMk
M
0kM
kk
M
0kzb
z1zb)z(H −
=
−
=∑∑ ==
• ak = 0 , ∀k
M ceros → determinados por los coeficientes bk1 polo de orden M en z= 0El sistema es FIR(Finite Impulse Response)
• bk = 0 , para 1 ≤ k ≤ M
( ) 1aconza
zb
za1
bzH 0kN
k
N
0k
N0
kk
N
1k
0 ==+
=−
=
−
=∑∑
N polos → determinados por los coeficientes ak1 cero de orden N en z= 0
TeSyS 18
Casos especiales (continuación)El sistema anterior es IIR. Para ver esto calculemos h(n)
Luego:
Está definida para infinitos valores de n ⇒ IIR
( )
( ) ( )k
kN
1kk
N
1k
1N0
kNk
N
0k
1N0
pzα
pz
zb
za
zbzzH
−=
−== ∑∏∑ =
=
−
−
=
−
Expansión en fracciones simples
( ) ( ) ( ) ( )npnhzp
zH nkk
N
kk
kN
kµαα ∑∑
==
=⎯→⎯−
= −
111
1Z-1
TeSyS 19
7. Cálculo de la Transformada Z inversa
( ) ( ) dzzzXjπ2
1nxC
1n∫ −=
C: contorno cerrado que encierra al origen y está dentrode la RDC de X(z)
• Evaluación directa de la integral de contorno
• Expansión en serie de potencias en z y z -1
• Expansión en Fracciones Simples+ Tabla de pares Transf. - Transf. Inversa
Métodos de Resolución
TeSyS 20
Evaluación directa de la integral de ContornoPor el Teorema de los Residuos de Cauchy
f(z) derivable sobre y en el interior del contorno C y sin polos en z = z0En su forma más general:
f(z) no tiene polos en el interior de Cg(z) es un polinomio con raíces distintas z1, z2 , .... , zNdentro de C
( ) ( )⎩⎨⎧
=−∫ Cazsi
Cazsizfdz
zzzf
j C exterior 0interior
21
0
00
0π
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )zgzfzzzAconzAdz
zgzf
j ii
N
iii
C
−==∑∫=12
1π
TeSyS 21
{Ai(zi)} Residuos correspondientes a los polosz1, z2 , .... , zN
Aplicado al cálculo de la transformada Z inversa se tiene:
Ejemplo:
(Hacerlo)
( ) ( ) ( )[ ]∑∫ === −−i
1n1n
C
zzenzzXderesiduodzzzXjπ2
1nxtodos los polos
zi interiores a C
( ) az:RDCza1
1zX1
>−
=−
TeSyS 22
Expansión en Serie de PotenciasExpandimos X(z) como:
que converge en la RDC de X(z). Por la unicidad de la Transformada Z
nn
nzc)z(X −
∞
∞−=∑=
nc)n(x n ∀=
TeSyS 23
Expansión en Fracciones SimplesExpresamos X(z) como la combinación lineal
donde los Xi(z) tienen transformada inversa conocida xi(n)Entonces por linealidad:
( )nxα)n(x ii
K
1i∑=
=
( )zXα)z(X ii
K
1i∑=
=
TeSyS 24
8. Transformada Z Unilateral
X+(z) : No contiene información de x(n) para n < 0X+(z) : Es única sólo para señales causalesEjemplo:
Como x(n)µ(n) es causal, la RDC de X+(z) es el exterior de un círculo
( ) n
0nznx)z(X −
∞
=
+ ∑=
( ) { } ( )( ) { } ( ) 31
22
3111
zz75zX1,0,7,5,4,2nx
zz75zX1,0,7,5,2,1nx−−+
↑
−−+
↑
++=↔=
++=↔=Z
Z
( )[ ] ( ) ( )[ ]nµnxZnxZ =+
TeSyS 25
Propiedades de la X (z)Posee las mismas propiedades de la X(z), exceptuando la propiedad de corrimiento en el tiempoCaso 1: Retardo de Tiempo
En el caso en que x(n) sea causal, entonces
Caso 2: Avance de Tiempo
+
( ) [ ( ) ( ) ] 0,1
>−+←→− ∑=
+−
kznxzXzknxnk
k
n
( ) ( )zXzknx k +−←→−
( ) [ ( ) ( ) ] 0,1
0>−←→+
−+
∑−
=
kznxzXzknxnk
k
n
( ) ( )zXnx +←→
( ) ( )zXnx +←→
TeSyS 26
Teorema del Valor Final
El límite existe si la RDC de (z - 1) X+(z) incluye al circulo unitario
Ejemplo:La respuesta al impulso de un SLE relajado es:
Determine el valor de la respuesta al escalón cuando n→∞
( ) ( )
( ) ( ) ( )zX1zlimnxlim:entonces
zXnxSi
1zn
+
→∞→
+
−=
←→
( )nµα)n(h n=
TeSyS 27
Tenemos:
donde:
Por la propiedad de la convolución
(como las señales h(n), y(n) y u(n) son señales causales, la transformada Z unilateral y bilateral son idénticas)
Luego:
( ) ( )nu)n(hny ∗=
( )nµ)n(u =
( ) ( )zU)z(HzY =
( ) ( )( ) αz:RDCαz1z
zz1
1zα1
1zY2
11>
−−=
−−=
−−
( ) ( ) ( ) αz:RDCαz
zzY1z2
>−
=−
TeSyS 28
Como ⏐α⏐< 1, la RDC (z - 1) Y(z) incluye a la circunferencia unitaria. Luego:
Uso de la Transformada Z unilateral para la solución de las Ecuaciones en Diferencias con condiciones iniciales no nulasEjemplo:
Calcular la respuesta del sistema a un escalón unitario, con condición inicial y(-1)=1
( ) ( ) ( )α1
1αz
zlimzY1zlimnylim2
1z1zn −=
−=−=
→→∞→
( ) ( ) ( ) ( ) 1α,nu1nyαny1 <+−=
TeSyS 29
Solución:Tomando la Transformada Z+ en ambos miembros de la ecuación (1) , tenemos:
Para:
( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )zU
zα11
zα11yαzY
zU1yαzα1zYzU1yzYzαzY
11
1
1
+−−
+
+−+
++−+
−+
−−
=
+−=−
+−+=
( ) ( ) ( ) ( )1z11zUnµnu
−+
−=⇒=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1zαzz
αzzα
z11
zα11
zα1αzY
2
111 −−+
−=
−−+
−=
−−−+
TeSyS 30
Solución (continuación):Expandiendo en fracciones simples:
donde:
⇓
( ) ( ) ( )1zzB
αzzA
αzzαzY
−+
−+
−=+
( ) ( )222
2
zzαBzBzAzAzαzzB1zzA=−+−
=−+−
α1α1
α11A
α11B
1BαB0αBA1BA1BA
−−=+
−−=
−=⇒
⎩⎨⎧
=+−∴=−−+−=⇒=+
TeSyS 31
Solución (continuación):Luego reemplazando los valores de las constantes:
↓ Z-1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 111 z11
α11
zα11
α1α
zα1αzY
1zz
α11
αzz
α1α
αzzαzY
−−−+
+
−−+
−−−
−=
−−+
−−−
−=
( ) ( ) ( ) ( )nµα1
1nµα1
αnµαny1n
1n
−+
−−=
++
TeSyS 32
Respuesta de Sistemas con funciones Transferencia Z Racionales
Asumimos u(n) con transformada Z+ racional
Asumimos además H(z) con polos simples p1 , p2 , ... , pNy U(z) con polos simples q1 , q2 , ... , qL ; con:
pk ≠ qm ∀ k = 1, ..., N ∧ m = 1, ..., L
( ) ( )( )zDzNzH = polinomios en z (o z)-1
( ) ( )( )zQzPzU =
H(z)U(z) Y(z)
TeSyS 33
Asumiendo además que no hay cancelación de polo-ceroSuponiendo condiciones iniciales nulas, la respuesta del sistema a la entrada resulta:
Expandiendo en fracciones simples obtenemos
↓ Z-1
( ) ( ) ( )( ) ( )zQzD
zPzNzY =
( ) ( )nµqBnµpA)z(Y
zq1B
zp1A)z(Y
nkk
L
1k
nkk
N
1k
1k
kL
1k1
k
kN
1k
∑∑
∑∑
==
−=
−=
+=
−+
−=
Respuesta RespuestaNatural Forzada
TeSyS 34
9. Causalidad y Estabilidad de Sistemas en TD
• Causalidad:Vimos que la condición necesaria y suficiente para que
un SLE sea causal es que:
Vimos también que la RDC de la Transformada Z de una secuencia causal es el exterior de un círculo.Podemos concluir que:
Un sistema LE es causal si y solo si la RDC de la función transferencia Z del sistema es el exterior de un circulo de radio r < ∞, incluyendo el punto z = ∞
0n0)n(h <∀=
TeSyS 35
• Estabilidad:La estabilidad de un sistema LE puede expresarse en
término de las características de la función transferencia Z del sistema.
Vimos que la condición necesaria y suficiente para la BIBO estabilidad de un sistema lineal estacionario es:
Veremos que esta condición implica que H(z) debe contener a la circunferencia unitaria en su RDC.En efecto, considerando que:
( ) ∞<∑∞
∞−=
nhn
( ) ( ) n
nznhzH −
∞
∞−=∑=
TeSyS 36
Luego:
Si se evalua en la circunferencia unitaria ( | z |=1 ) por lo que resulta:
De donde podemos concluir que si el sistema es BIBO estable, entonces la RDC de H(z) contiene a la circunferencia unitaria.Lo converso también es válido. Concluyendo así que:
( ) ( ) ( ) ( ) n
n
n
n
n
nznhznhznhzH −
∞
∞−=
−∞
∞−=
−∞
∞−=∑∑∑ =≤=
( ) ( )nhzHn∑∞
∞−=
≤
Un sistema LE es BIBO estable si y solo si la RDC de la función transferencia Z del sistema incluye a la circunferencia unitaria
TeSyS 37
• Las condiciones para causalidad y estabilidad son diferentes y una no implica la otra. De hecho podemos tener sistemas:
- Estab. / Causal - Inestab. / Causal- Estab. / No Causal - Inestab. / No Causal
• Para un sistema causal, la condición necesaria y suficiente se puede restringir un poco, como:
Sistema causal ←→ RDC de H(z) es el exterior de un circulo de radio r
Sistema estable ←→ RDC de H(z) contiene a la circunferencia unitaria
⇓Sistema causal y estable ←→ RDC de H(z) es | z | > r < 1
TeSyS 38
Como la RDC no puede contener polos de H(z) podemos concluir que:
Ejemplo:Sea el sistema LE con transferencia Z:
Especifique la RDC de H(z) y determine h(n) para las siguiente condiciones:
a. El sistema es estableb. El sistema es causalc. El sistema es anticausal
Un sistema LE causal, es BIBO estable si y solo todos los polos de H(z) están en el interior del circulo unitario
( ) 1121
1
z312
z5.011
z5.1z5.31z43zH
−−−−
−
−+
−=
+−−
=