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Cátedra:
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 1
Teoría Electromagnética
Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb
Ley de Gauss
Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga
Conductores en el Campo Electrostático
Dieléctricos en el Campo Electrostático
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 2
Teoría Electromagnética
Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb
Ley de Gauss
Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga
Conductores en el Campo Electrostático
Dieléctricos en el Campo Electrostático
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 3
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 4
Ley de Coulomb
Charles Augustin de Colulomb (1736-1806), en 1875 midió por primera vez
cuantitativamente las atracciones y repulsiones eléctricas y dedujo la ley que las rige.
Balanza de Torsión
𝐹 ∝𝑞1𝑞2𝑟2
𝐹 =1
4𝜋𝜀
𝑞1𝑞2𝑟2
Existe una fuerza entre dos cargas, directamente
proporcional a las magnitudes de las cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa.
𝐅, Fuerza Newtons (N)
𝑞1, 𝑞2 Carga eléctrica Coulomb (C)
𝜀, Permitividad del medio
𝑟, Distancia metros (m)
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 5
Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática
El estudio de la interacción entre cargas en reposo se llama electrostática, y se
fundamenta en la Ley de Coulomb.
Para ello, considérese dos cargas puntuales, 𝑞1 y 𝑞2, separadas por una distancia 𝑟12 y
situadas en el vacío. Ambas cargas están en posiciones fijas 𝑟1 y 𝑟2 con respecto a una
referencia de un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas.
La fuerza electrostática 𝐹𝑒,12 se refiere a la
fuerza que ejerce la carga 𝑞1 sobre la carga
𝑞2. Esta fuerza viene dada en términos del
vector de posición relativo de 𝑞2 respecto de
𝑞1.
𝐫12=𝐫2 − 𝐫1
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 6
Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática
El vector 𝐫12 tiene por módulo la distancia 𝑟12
entre las dos cargas (𝑟12 = 𝐫12 ), su dirección
es a lo largo de la recta que une las dos cargas y
su sentido va desde la carga 𝑞1 a la carga que
experimenta la fuerza 𝑞2. El vector unitario 𝐮12
determina la dirección y sentido de 𝐫12.
𝐮12 =𝐫12𝑟12
=𝐫2 − 𝐫1𝐫2 − 𝐫1
La Ley de Coulomb se escribe entonces:
𝐅𝑒,12 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟12
2 𝐮12
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 7
Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática
𝐮12 =𝐫12𝑟12
=𝐫2 − 𝐫1𝐫2 − 𝐫1
𝐅𝑒,12 = 𝑘𝑞1𝑞2𝑟12
2 𝐮12
Siendo 𝑘 la constante de Coulomb. Su valor en el
vacío es 𝑘 = 9 × 109 N.m2. C−2, aunque es más
común escribir
𝑘 =1
4𝜋𝜀0
Donde 𝜀0 = 8,85 × 10−12 C2. N−1. m−2 es la permitividad del vacío.
El sentido de la fuerza electrostática depende del valor del producto de las cargas 𝑞1𝑞2,
de manera si 𝑞1𝑞2 > 0 (las cargas tienen el mismo signo), la fuerza es repulsiva, y si
𝑞1𝑞2 < 0 (las cargas tienen signos opuestos), la fuerza es atractiva.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 8
Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática
La ley de Coulomb se generaliza para el caso de una distribución discreta de cargas
puntuales (es decir, número entero de cargas puntuales individuales separadas una de
otra) según el llamado principio de superposición: las fuerzas aplicadas sobre la misma
partícula se suman como vectores. Por tanto la fuerza que ejerce una distribución
discreta de cargas puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 con vectores de posición 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 ,
sobre una carga puntual 𝑞0 con vector de posición 𝐫0, es:
𝐅𝑒, 1,2,…,𝑁 0 = 𝐅𝑒,10 + 𝐅𝑒,20 +⋯+ 𝐅𝑒,𝑁0
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 9
Ley de Coulomb – Fuerza Electrostática
Ejemplo 1.- Consideremos que las cargas totales positiva y negativa en una moneda
de cobre se pueden separar una distancia tal que su fuerza de atracción sea de 4,5 N.
A qué distancia tendrán que estar si la magnitud de la carga q es 1,3 𝑥 10−5 C?
Ejemplo 2.- Hallar la fuerza ejercida sobre la carga Q1, 20 𝜇C, debida a la carga Q2
− 300 𝜇C, sabiendo que Q1 se sitúa en (0, 1, 2) m y Q2 en (2, 0, 0) m.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 10
Ley de Coulomb
Ejemplo 3.- La siguiente figura muestra tres cargas, q1, q2 y q3. ¿Qué fuerza obra
sobre q1?. Supóngase que 𝑞1 = −1,2 𝑥 10−6 C, 𝑞2 = +3,7 𝑥 10−6 C, 𝑞3 =− 2,3 𝑥 10−6 C, 𝑟12 = 15 cm, 𝑟13 = 10 cm, y 𝜃 = 32°.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 11
Ley de Coulomb
Ejemplo 4.- Cuál es la fuerza resultante sobre la carga colocada en el vértice inferior
izquierdo del cuadrado?. Tome como valores 𝑞 = 1,0 × 10−7C y 𝑎 = 5,0 cm.
Ejemplo 5.- Un cubo de arista 𝑎 tiene una carga punto 𝑞 en cada vértice. Demuestre
que la magnitud de la fuerza resultante en cualquiera de esas cargas es:
𝐹 =0,213𝑞2
𝜀0𝑎2
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 12
Ley de Coulomb
Ejemplo 6.- Dos bolas similares de masa 𝑚 se cuelgan de hilos de seda de longitud 𝑙 y llevan cargas similares 𝑞 . Supóngase que 𝜃 es tan pequeña que tan 𝜃 puede
remplazarse por sin 𝜃 por ser aproximadamente igual. Haciendo esta aproximación
demuestre que:
𝑥 =𝑞2𝑙
2𝜋𝜀0𝑚𝑔
13
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 13
Campo Eléctrico creado por cargas puntuales
Al analizar la expresión de la ley de Coulomb para la interacción entre dos cargas
puntuales en reposo, nos encontramos con el problema de la acción de la distancia.
Según la ley de Coulomb, la fuerza electrostática actúa instantáneamente entre cargas
que se encuentran separadas una de la otra, y sin embargo ninguna interacción puede
propagarse a velocidad infinita. La noción de campo eléctrico resuelve este problema.
El campo eléctrico juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las
cargas. Para ello se requiere:
• El cálculo de campos establecidos a partir de distribuciones de cargas dadas.
• El cálculo de las fuerzas que campos dados ejerzan sobre cargas colocadas en
ellos.
Pensamos en función de carga ⇌ campo y no desde el punto de vista de acción a
distancia, en función de carga ⇌ carga.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 14
Definición de Campo Eléctrico
Consideremos una carga puntual 𝑞, con vector de posición 𝐫, que experimenta una
fuerza electrostática 𝐅𝐞 debida a la acción de otra carga puntual 𝑞0 que está en 𝐫0.
Las cargas están arbitrariamente lejos una de la otra. Podemos pensar que la carga
fuente 𝑞0 ha modificado el espacio que la rodea de tal manera que, en cada punto de
este espacio, ha creado un campo eléctrico. Así, la interacción entre la carga fuente
𝑞0 y la carga 𝑞 ya no es una acción a la distancia, sino una interacción de contacto
entre el campo eléctrico que crea 𝑞0 en el punto 𝐫 y la carga 𝑞 que se encuentra
también en ese punto.
1. La carga 𝑞1 produce un campo eléctrico en el
espacio que le rodea.
2. El campo obra sobre la carga 𝑞2, esto se pone de
manifiesto por la fuerza F que experimenta 𝑞2.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 15
Definición de Campo Eléctrico
Para obtener el campo eléctrico creado por 𝑞0 en 𝐫, suponemos que 𝑞 es pequeña
en comparación con 𝑞0, de tal manera que no afecta considerablemente al proceso
de medición de campo eléctrico. Se dice entonces que 𝑞 es una carga de prueba.
Se define el campo eléctrico como la fuerza electrostática 𝐅𝒆 que ejerce 𝑞0 sobre 𝑞,
𝐄 =𝐅𝑒𝑞
es decir, es la fuerza electrostática ejercida sobre una carga de prueba 𝑞 dividida por
la propia carga de prueba.
La unidad SI de campo eléctrico es N
C. Se usa a menudo otra unidad, llamada voltio (V),
tal que 1V = 1N.m. C−1. Con ello, la unidad de campo eléctrico resulta V/m.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 16
Intensidad de campo eléctrico
Cuando la fuente del campo eléctrico es una carga puntual 𝑞0 situada en el punto 𝑃0,
con vector de posición 𝐫0, de la ley de Coulomb se obtiene que el campo eléctrico
𝐄(𝐫) creado por 𝑞0 en el punto P, con vector de posición 𝐫, es:
𝐄 =𝐅𝑒𝑞=
𝑞04𝜋𝜀0𝑟
2𝑃0𝑃
𝐮𝑃0𝑃
𝐄 𝐫 = 𝑘𝑞0𝐮𝑃0𝑃
𝐫 − 𝐫02= 𝑘𝑞0
𝐫 − 𝐫0𝐫 − 𝐫0
3
𝐮𝑃0𝑃 =𝐫 − 𝐫0𝐫 − 𝐫0
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 17
Intensidad de campo gravitacional
La definición de campo gravitacional 𝐠 es muy semejante a la de intensidad de campo
eléctrico, salvo que es la masa del cuerpo de prueba y no su carga la propiedad que
interesa. Tanto 𝐠 como 𝐄 se expresan como una fuerza dividida entre una propiedad
(masa o carga) del cuerpo de prueba.
𝐠 =𝐅
𝑚 →
→
m/s2 N/kg ,
N/C
Partícula Símbolo Carga Masa
Protón 𝑝 +𝑒 1,67239 x 10−27 kg
Neutrón 𝑛 0 1,67470 x 10−27 kg
Electrón 𝑒− −𝑒 9,1083 x 10−31 kg
1𝑒 = 1,60206 × 10−19 C 𝐄 =
𝐅𝑒𝑞
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 18
Campo Eléctrico
Ejemplo 7.- (a) Cuál es la magnitud de la intensidad de campo eléctrico 𝐄 tal que un
electrón, colocado en el campo, experimenta una fuerza eléctrica igual a su peso?.
(b) Hacia dónde tendría que apuntar 𝐄 para contrarrestar la fuerza gravitacional?
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 19
Campo Eléctrico – Distribuciones discretas de cargas puntuales
Para una distribución discreta de cargas puntuales, el campo eléctrico satisface
también, como lo hacía la fuerza electrostática, el principio de superposición,
indicando que los campos eléctricos que actúan en el mismo punto se suman como
vectores. El campo eléctrico creado por una distribución discreta de cargas
puntuales 𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑁 , situadas en los puntos 𝐫1, 𝐫2, … , 𝐫𝑁 , sobre un punto 𝐫 es: :
𝐄 1,2,…,𝑁 𝐫 = 𝐄1 𝐫 + 𝐄2 𝐫 + ⋯+ 𝐄𝑁(𝐫)
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 20
Líneas de campo eléctrico
Para representar gráficamente un campo, éste se lo hace a través de las líneas de
campo, que son líneas tangentes al campo en cada punto del espacio. En el caso
eléctrico, estas líneas son también tangentes a la fuerza que experimenta una carga
de prueba en ese punto. Sin embargo, las líneas de campo eléctrico no tiene por qué
coincidir con la trayectoria que seguiría la carga de prueba, ya que la trayectoria no
depende sólo de la aceleración sino también de la velocidad.
La figura muestra varias líneas de campo, donde se
muestran las componentes 𝐸𝑥 y 𝐸𝑦 (esto para el caso de un
campo de dos dimensiones, donde 𝐸𝑧 = 0). Con base a la
geometría, es evidente que:
𝐸𝑦
𝐸𝑥=𝑑𝑦
𝑑𝑥
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 21
Líneas de campo eléctrico
La relación entre las líneas de fuerza (imaginarias) y el vector intensidad de campo es
el siguiente:
1. La tangente a una línea de fuerza en un punto cualquiera da la dirección de 𝐄 en
ese punto.
2. Las líneas de fuerza se dibujan de modo que el número de líneas por unidad de
área de sección transversal sea proporcional a la magnitud 𝐄 . Líneas muy
cercanas, 𝐄 es grande, y líneas muy alejadas, 𝐄 es pequeña.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 22
Campo eléctrico – Distribuciones continuas de carga
En situaciones macroscópicas, la distribución de carga de un cuerpo no se puede
describir adecuadamente como un conjunto discreto de cargas puntuales en su
interior. En lugar de esto, se considera la carga en un cuerpo macroscópico como
una distribución continua en su interior.
Cuando se tiene un conjunto de cargas puntuales, el campo eléctrico tiene la
expresión:
𝐄 = 𝑘𝑞𝑛𝐫 − 𝐫𝑛𝐫 − 𝐫𝑛
3
𝑁
𝑛=1
Por extensión, cuando se tiene una distribución continua de carga tenemos →
y 𝑞 → 𝑑𝑞 (𝑑𝑞 ubicada en 𝐫′). Con ello la expresión para el campo queda:
𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′
𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝐫′𝑑𝑞
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 23
Distribuciones de Carga – Carga Lineal
En este caso se tiene una densidad lineal 𝜆(𝐫′) [C/m] de modo que el elemento
diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜆 𝐫′ 𝑑𝑙.
𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ 𝜆(𝐫′)
𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝑑𝑙′
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 24
Distribuciones de Carga – Carga Superficial
En este caso se tiene una densidad superficial de carga 𝜎(𝐫′) [C/m2] de modo que el
elemento diferencial de carga es 𝑑𝑞 = 𝜎 𝐫′ 𝑑𝑠.
𝐄 = 𝑘 𝐫 − 𝐫′ σ(𝐫′)
𝐫 − 𝐫′ 𝟑𝑑𝑠
𝑆
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 25
Distribuciones de Carga – Carga Volumétrica
Consideremos una distribución de carga en volumen representada por el campo
escalar 𝜌(𝐫′) [ C/m3 ] de modo que el elemento diferencial de carga es
𝑑𝑞 = 𝜌 𝐫′ 𝑑𝑣′.
𝐄 𝐫 = 𝑘 𝐫− 𝐫′ 𝜌
𝐫 − 𝐫′ 3𝑑𝑣′
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 26
Cálculo de Campo Eléctrico
Ejemplo 8.- Dipolo Eléctrico.- La siguiente figura muestra una carga positiva y una
carga negativa de igual magnitud 𝑞, separados una distancia 2𝑎, el grupo así formado
se llama dipolo eléctrico. Cuál es el campo E debido a esas cargas en el punto P, a
una distancia 𝑟 según la perpendicular bisectriz de la línea que une las cargas?.
Supóngase que 𝑟 ≫ 𝑎.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 27
Cálculo de Campo Eléctrico
Ejemplo 9.- La siguiente figura muestra una carga 𝑞1 = +1,0 × 10−6C a 10 cm de
una carga 𝑞2 = +2,0 × 10−6C. En qué punto de la línea que une las dos cargas es
nula la intensidad de campo eléctrico?
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 28
Cálculo de Campo Eléctrico
Ejemplo 10.- La siguiente figura muestra un anillo de carga 𝑞 y de radio 𝑎. Calcúlese
E para puntos situados en el eje del anillo a una distancia 𝑥 de su cetro. Considérese
un elemento diferencial del anillo de longitud 𝑑𝑠, localizado en la parte superior del
anillo. Contiene un elemento cuya carga se expresa así:
𝑑𝑞 = 𝑞𝑑𝑠
2𝜋𝑎
Siendo 2𝜋𝑎 la circunferencia del anillo. Este elemento produce un
campo eléctrico diferencial 𝑑𝑬 en el punto P.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 29
Cálculo de Campo Eléctrico
Ejemplo 11.- Línea de carga.- La siguiente figura muestra una porción de una línea
infinita de carga cuya densidad lineal de carga (esto es, la carga por unidad de
longitud, medida en C/m) tiene el valor constante 𝜆. Calcúlese el campo E a una
distancia 𝑦 de la línea.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 30
Campo eléctrico - Movimiento de una carga prueba
Conocido el 𝐄 creado por cierta distribución de carga estática, consideraremos el
comportamiento de una carga prueba 𝑞 inmersa en un campo eléctrico.
La segunda ley de Newton establece que una partícula de masa 𝑚 sometida a una
fuerza externa 𝐅 sufre una aceleración 𝐚 = 𝐅/𝑚 . De la definición de campo
eléctrico, la carga de prueba está sometida a una fuerza electrostática 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄. Por
tanto, la aceleración que adquiere debida al campo eléctrico externo es:
𝐚 =𝑞
𝑚𝐄
Siendo 𝑚 la masa de la partícula cargada. Si se conoce el 𝐄 externo y se mide la
aceleración de una carga prueba inmersa en él, la ecuación anterior nos informaría
la relación carga-masa de la partícula.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 31
Movimiento de una carga prueba
Ejemplo 12.- Una partícula de masa 𝑚 y carga 𝑞 se coloca en reposo en un campo
eléctrico uniforme y se suelta. Describa su movimiento.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 32
Energía potencial electrostática
El trabajo que realiza una fuerza en el desplazamiento de una partícula sobre la que
actúa es una medida de lo eficaz que es esa fuerza para que la partícula realice ese
desplazamiento. Cuando la fuerza es conservativa, el trabajo que realiza se relaciona
con la variación de una energía potencia.
Consideremos una carga de prueba 𝑞 que se mueve bajo la influencia del campo
eléctrico 𝐄 creado por cierta distribución de carga. El trabajo que realiza la fuerza
eléctrica 𝐅𝑒 = 𝑞𝐄 en una trayectoria de la carga de prueba 𝑞 desde el punto A al
punto B es:
𝑊 = 𝐅𝑒 . 𝑑𝐫𝐵
𝐴
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 33
Energía potencial electrostática
La fuerza electrostática es conservativa, debido a que el campo electrostático no
depende explícitamente ni de la velocidad de la carga de prueba ni del tiempo. El
trabajo realizado por la fuerza electrostática sobre una carga prueba se escribe
entonces:
𝑊 = − 𝑈𝑒 𝐵 − 𝑈𝑒 𝐴 = −∆𝑈𝑒
Donde 𝑈𝑒 es la energía potencial electrostática. Dado que el campo eléctrico es la
fuerza por unidad de carga, podemos definir la energía potencial por unidad de carga
como:
𝑊 = −𝑞 𝑉 𝐵 − 𝑉(𝐴)
𝑉 =𝑈𝑒𝑞
∆𝑉 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 =−𝑊
𝑞
Potencial electrostático →
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 34
Dipolo en un campo eléctrico
El momento de un dipolo eléctrico se puede considerar como un vector 𝐩 cuya
magnitud 𝑝 es el producto 𝑑𝑞 de la magnitud de cualquiera de las cargas 𝑞 por la
distancia 𝑑 entre las cargas. La dirección de 𝐩 para el dipolo es de la carga negativa a
la positiva.
El dipolo se coloca en un campo eléctrico uniforme externo E, su momento de
dipolo 𝐩 forma un ángulo 𝜃 con 𝐄.
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 35
Dipolo en un campo eléctrico
Un dipolo eléctrico colocado en un campo eléctrico externo 𝐄 experimenta un
momento que tiende a alinearlo con el campo.
Existe un trabajo (positivo o negativo) mediante un agente externo para cambiar la
orientación de un dipolo eléctrico en un campo externo. Este trabajo queda
almacenado como energía potencial 𝐔 en el sistema formado por el dipolo y el
dispositivo usado para establecer el campo externo.
𝑝 = 𝑑𝑞
𝛕 = 𝐩 × 𝐄
𝑈 = 𝑝𝐸 sin 𝜃 𝑑𝜃𝜃
𝜃0
Electrostática y Ley de Coulomb
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 36
Dipolo en un campo eléctrico
Ejemplo 13.- Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas opuestas de magnitud
𝑞 = 1,0 × 10−6 C separadas una distancia 𝑑 = 2,0 cm. El dipolo está colocado en un
campo externo de 1,0 × 105 N/C.
a) Cuál es el máximo momento que ejerce el campo en el dipolo?
b) Cuánto trabajo debe hacer un agente exterior para dar al dipolo media vuelta, a
partir de una posición colineal al campo (𝜃 = 0°)?
Teoría Electromagnética
Contenido: Electrostática y Ley de Coulomb
Ley de Gauss
Energía y Potencial Eléctrico de los Sistemas de Carga
Conductores en el Campo Electrostático
Dieléctricos en el Campo Electrostático
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 37
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 38
Concepto general de flujo
Flujo de Fluido.- Volumen que cruza una superficie en unidad de tiempo. El
elemento de tiempo no es fundamental al concepto de flujo mientras que la
superficie sí. El concepto general de flujo es algo que cruza una superficie.
Consideremos un campo vectorial 𝐴 definido en todo el espacio y una superficie
cualquiera 𝑆. Se define el flujo Ψ de 𝐴 a través de la superficie 𝑆 como la Integral de
superficie del producto de dos vectores.
Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑠 𝑆
El flujo Ψ es un campo escalar que depende del sentido en
que se escoja el vector unitario 𝑎 𝑛.
𝑑𝑠 = 𝑑𝑠. 𝑎 𝑛
𝑎 𝑛 vector unitario normal a S.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 39
Concepto general de flujo
Para superficies cerradas, se define el flujo Ψ de 𝐴 , como:
Ψ = 𝐴 . 𝑑𝑆
El símbolo (.) se usará para designar el
producto punto de dos vectores.
Definición producto punto.- Dado dos vectores A y B, el producto punto o
producto escalar se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de
B y el coseno del ángulo menor entre ellos, 𝐀. 𝐁 = 𝐀 𝐁 cos 𝜃𝐴𝐵
Flujo en esfera cerrada
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 40
Flujo eléctrico y densidad de flujo
Por definición, el flujo eléctrico Ψ se origina en cargas positivas y termina en cargas
negativas. En ausencia de cargas negativas, el flujo Ψ termina en el infinito. También
por definición, un coulomb de carga eléctrica da lugar a un coulomb de flujo
eléctrico.
Ψ=Q
Mientras el flujo eléctrico Ψ es una cantidad escalar, la densidad de flujo eléctrico D
es un campo vectorial que toma la dirección de las líneas de flujo.
(C)
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 41
Flujo eléctrico y densidad de flujo
La densidad de flujo eléctrico 𝐃 es un campo vectorial que pertenece a la clase de
los campos vectoriales de “densidades de flujo” y distinta del tipo de “campos de
fuerza”, en la que se incluye la intensidad de campo eléctrico 𝐄. La dirección de 𝐃 en
un punto es la dirección de las líneas de flujo en ese punto y su magnitud es igual al
número de líneas de flujo que atraviesan una superficie normal a las líneas, dividida
entre el área de la superficie.
𝐃 =𝑑Ψ
𝑑𝑆𝒂 𝑛
A la densidad de flujo se la mide en
C/m2 (unidad algunas veces descrita
como “líneas por metro cuadrado”,
porque cada línea se debe a un
coulomb).
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 42
Flujo eléctrico y densidad de flujo
Dado que cada coulomb de carga Q tiene por definición un coulomb de flujo Ψ, el
flujo neto que cruza una superficie cerrada 𝑆 (de una distribución de carga
volumétrica de carga de densidad 𝜌) representa una medida exacta de la carga neta
encerrada.
Sin embargo, la densidad de flujo eléctrico 𝐃 puede variar en magnitud y dirección en
cada punto de 𝑆. En general 𝐃 no estará a lo largo de la normal a 𝑆.
Si en el elemento de superficie 𝑑𝑆, 𝐃 hace un
ángulo 𝜃 con la normal 𝑎 𝑛, entonces el flujo
diferencial que cruza 𝑑𝑆 está dado por:
𝑑Ψ = 𝐷𝑑𝑆 cos 𝜃
= 𝑫. 𝑑𝑆𝑎 𝑛
= 𝑫. 𝑑𝑺
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 43
Ley de Gauss
La integración de la expresión 𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒 sobre la superficie cerrada 𝑆 (puesto que
Ψ = 𝑄) da la ley de Gauss, que establece que el flujo total que sale de una superficie
cerrada es igual a la carga neta contenida dentro de la superficie.
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄𝑒𝑛𝑐
𝑑Ψ = 𝐃. 𝑑𝐒
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 44
Flujo de campo eléctrico Para un campo de flujo, el flujo (Ψ) se
mide por el número de líneas de
corriente que atraviesan la superficie.
Para un campo eléctrico, el flujo (Ψ𝐸) se
mide por el número de líneas de fuerza
que atraviesan la superficie.
Para superficies cerradas, el Ψ𝐸 es
positivo si las líneas de fuerza apuntan
hacia afuera en todos lados y negativo si
apuntan hacia dentro.
Ψ𝐸 es positiva para la superficie 𝑆1.
Ψ𝐸 es negativa para la superficie 𝑆2.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 45
Flujo de campo eléctrico
Para entender el significado de flujo, consideremos una superficie hipotética donde se
han dibujado algunas líneas eléctricas correspondientes a un campo uniforme y que
atraviesan una superficie plana de área S.
1. El número N de líneas de campo que atraviesan una superficie es proporcional al
campo, pues la intensidad de campo viene determinada por la densidad numérica
de las líneas.
2. El número de líneas ha de ser proporcional al área S de la superficie, pues a
mayor área, más líneas atraviesan la superficie.
3. El número de líneas depende de la orientación de la superficie, para ello se
considera un vector unitario normal 𝐚 𝑛 perpendicular a la superficie y hacia
afuera en cada punto.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 46
Flujo de campo eléctrico
Se considera una superficie dividida en
cuadrados infinitesimales, siendo 𝐄 constante
en todos los puntos de un cuadrado dado.
Los vectores 𝐄 y Δ𝐒 que caracterizan a cada
cuadrado forman un ángulo 𝜃 entre sí.
En forma semicuantitativa se define el flujo:
Ψ𝐸 ≅ 𝐄. ∆𝐒
Ψ𝐸 = 𝐄. 𝑑𝐒
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 47
Flujo de campo eléctrico
Ejemplo 14.- La siguiente figura muestra un cilindro hipotético de radio R colocado
dentro de un campo eléctrico uniforme E, estando el eje del cilindro paralelo al
campo. ¿Cuál es el Ψ𝐸 para esta superficie cerrada?
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 48
Relación entre la densidad de flujo y la intensidad de campo eléctrico
Considérese una carga puntual 𝑄 (positiva para simplificar) localizada en el origen. Si
está encerrada por una superficie esférica de radio 𝑟, entonces por simetría, 𝐃
debida a 𝑄 es de magnitud constante sobre la superficie y es en todo punto normal a
ella. La ley de Gauss establece:
𝐃. 𝑑𝐒 = 𝑄 𝑄 = 𝐷 𝑑𝑆 = 𝐷(4𝜋𝑟2)
𝐷 =𝑄
4𝜋𝑟2
Se conoce que la intensidad de campo eléctrico
debido a Q es:
→
𝐄 =𝑄
4𝜋𝜀0𝑟2 𝐚𝑟
Se concluye: 𝐃 = 𝜀0𝐄
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 49
Ley de Gauss
La Ley de Gauss resume todo esto: el flujo eléctrico a través de una superficie
cerrada cualquiera es igual a la carga total encerrada por ella (𝑄𝑖𝑛𝑡) dividida por 𝜖0.
𝐄. 𝑑𝐒 =𝑄𝑖𝑛𝑡𝜀0𝑆
Ψ𝐸 a través de la superficie S es 𝑄1
𝜀0 ,
siendo 𝑄1 la carga encerrada por la
superficie.
El resto de la carga, que es 𝑄 − 𝑄1, es
una fuente de líneas de campo que no
atraviesan la superficie, o que la
atraviesan un número par de veces, de
modo que esta carga no contribuye al
flujo.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 50
Aplicaciones de la ley de Gauss
Ejemplo 15.- Tres cargas puntuales, 𝑄1 = 30nC, 𝑄2 = 150nC y 𝑄3 = −70nC, están
encerradas por una superficie S, ¿Qué flujo neto cruza por S?.
Ejemplo 16.- Hallar la carga en el volumen definido por 0 ≤ 𝑥 ≤ 1m, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1m y
0 ≤ 𝑧 ≤ 1m, si 𝜌 = 30𝑥2𝑦 (μC/m3). ¿Qué ocurre para los límites −1 ≤ 𝑦 ≤ 0m?
Ejemplo 17.- Una carga puntual 𝑄 = 30nC está localizada en el origen de las
coordenadas cartesianas. Hallar la densidad de flujo eléctrico 𝐃 en (1, 3, -4) m.
Ejemplo 18.- Dos cargas lineales uniformes idénticas yacen a lo largo de los ejes 𝑥 y
𝑦 con densidades de carga 𝜌𝑙 = 20μC/m. Obtenga 𝐃 en (3, 3, 3) m.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 51
Aplicaciones de la ley de Gauss
Ejemplo 19.- Campo creado por una esfera homogénea.- La siguiente figura muestra
una distribución de carga esférica de radio R. La densidad de carga 𝑝 (carga por
unidad de volumen, C/m3) en cualquier punto depende sólo de la distancia del punto
al centro y no de la dirección, condición que se llama simetría esférica. Encuéntrese
una expresión para 𝐄 para puntos (a) fuera y (b) dentro de la distribución de carga.
Flujo Eléctrico y Ley de Gauss
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 52
Ley de Gauss
Ejemplo 20.- Una lámina de carga.- La siguiente figura muestra una porción una
lámina no conductora delgada infinita de carga; la densidad superficial de carga 𝜎
(carga por unidad de área, C m2 ) es constante. Cuál es E a una distancia 𝑟 enfrente
del plano?
Cátedra:
TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CUENCA
FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
Profesor: Carlos Morocho Cabrera 53