Teorías de fallas estáticas - Universidad de los Andes (ULA)€¦ · · 2016-07-26Teorías de fallas estáticas. 1) ... para materiales dúctiles de Von Mises y Henky. ... En

Tema III

Teorías de fallas estáticas

1) Teoría del “Esfuerzo normal” paramateriales frágiles y la teoría del “EsfuerzoNormal Máximo” para materiales dúctilespropuestas por Rankine.

2) Teoría de la “Deformación UnitariaMáxima” para materiales dúctiles propuestapor Saint-Venant.

3) Teoría del “Esfuerzo Cortante Máximo”para materiales dúctiles propuesta porcoulomb en 1773 y por Tresca en 1868.

Teorías fundamentales de falla

Mecánica de materiales – Falla estática

4) Teoría de la “Fricción Interna” paramateriales frágiles establecida por Mohr yCoulomb.

5) Teoría de la “Energía Máxima deDeformación” para materiales dúctilespropuesta por Beltrami.

6) Teoría de la “Energía Máxima deDistorsión” para materiales dúctiles,establecida por Huber, Von mises y Hencky.

7) Teoría del “Esfuerzo Cortante Octaédrico”para materiales dúctiles de Von Mises yHenky.

teorías fundamentales de falla


Teoría del Esfuerzo Normal (materiales frágiles) y Normal Máximo

(materiales dúctiles)

“La falla en una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial), esalcanzada cuando el Esfuerzo Normal o NormalMáximo en un punto cualquiera de la muestra sehace mayor o igual al esfuerzo de falla axial,determinado por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.


Esta teoría afirma que la falla paramateriales dúctiles ocurre siempre que:

ffcfft

ffcfft

ffcfft

33

22

11

Y para materiales frágiles:

ucut

ucut

ucut

33

22

11

teoría del esfuerzo normalMecánica de materiales – Falla estática

Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos triaxiales (frágil)

ut

uc

uc

ucut

ut


Superficie deFalla FS=1

Región de nofalla FS>1

Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)

f

f

f

f

f

f

Región de falla(exterior) FS<1

Superficie defalla FS=1

Región de no falla(interior) FS>1


Teoría del Esfuerzo Normal para falla por esfuerzos biaxiales (frágil)

ut

utuc

uc

Diagonalde corte

Región de falla FS<1


Región de falla FS=1


Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)Diagonalde corte



f

f

f

f


11

fcft FSFS

Si el criterio de falla es la fluencia se tiene:

Si el criterio de falla es la ruptura

11

ucut FSFS


teoría del esfuerzo normal

Teoría de la Deformación Unitaria Máxima (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial esalcanzada cuando la deformación unitaria máximaen un punto cualquiera de la muestra se hacemayor o igual a la deformación unitaria de falla(σf/E), determinada por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.


Deformación unitaria en el punto de falla

Haciendo una prueba de esfuerzo axial, ladeformación unitaria en el punto de fallasería

Ef

f


Según esta teoría la falla se produce cuando:

ff

ff

ff

33

22

11

Expresando estas ecuaciones en función de los esfuerzos principales

ff

ff

ff

213323

312312

321321


teoría deformación unitaria

Deformación limitadora en la dirección de los ejes (1) y (2)

menterespectiva

dondede

EEEE

ff

ff

1313

132311

1

11


Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por esfuerzos

triaxiales (dúctil)





Teoría de la Deformación Unitaria Máxima para falla por Esfuerzos

biaxiales (dúctil)f / (1+v) f / (1-v)

f / (1-v)

f / (1+v)

Región defalla FS<1



ff

f

f

Diagonal de corte


turnoporkjidonde

FSkji

f

3,2,1:

Según esta teoría existe seguridad siempre que:

El esfuerzo de corte límite viene dado por:

1

ff


Factor de seguridad según la teoría de la deformación unitaria máxima

Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial) esalcanzada cuando el esfuerzo cortante máximo enun punto cualquiera de la muestra se hace mayoro igual al esfuerzo de corte máximo de falla (f),determinado por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”


Para que la falla por fluencia ocurra según laTeoría del Esfuerzo de Corte Máxima debeocurrir que:

222 321fff

De la misma forma, en función de los esfuerzosprincipales se tiene que:

fff 213132


teoría del esfuerzo de corte máximo

Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)

Superficie de falla FS=1

Región de falla(externa) FS<1

Región de no falla(interna) FS>1


Teoría del Esfuerzo de Corte Máximo para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)

F

F

F

F F

F

Diagonal de corteRegión de no falla FS>1

Región defalla FS=1



σ3-σ1= σf

σ1=-σf

σ3=-σf

σ1=- σ3

σ1-σ3= σf

σ1= σf

σ3=σf

f

ff

f

ff

IVCuadrante

yIIICuadrante

IICuadrante

yICuadrante

31

31

13

31



Combinación de las teorías del esfuerzo normal máximo y la del

esfuerzo de corte máximo

σf

σf

σf

σf σ1

σ3

σ1

σ3


31

31

13

31

f

ff

f

ff

FSIVCuadrante

FSyFSIIICuadrante

FSIICuadrante

FSyFSICuadrante

Combinación de teorías normal máximo y corte máximo


En el caso de corte puro σ1= -σ3, todas lascombinaciones caen sobre la línea diagonala 45º que pasa por el origen. El esfuerzode corte límite ocurre en un punto sobre lasuperficie en el cuadrante II y IV

2f

f



Teoría de Falla de la Fricción Interna (Mohr-Coulomb) (materiales frágiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (biaxial o triaxial), esalcanzada cuando el mayor círculo de Mohrasociado con el estado de esfuerzos en un puntocualquiera de la muestra, se hace tangente omayor al contorno de la envolvente de los círculosde prueba, determinado en un ensayo de tensiónaxial, compresión axial y torsión del mismomaterial”.


Región de falla para la teoría de Mohr-Coulomb (frágil)

Envolvente superior de los círculos

Envolvente inferior de los círculos

uc

u


El círculo O – σut, se obtiene a partir del ensayode tensión uniaxial; el círculo O – σuc, seobtiene del ensayo de compresión uniaxial y elcírculo O – u se obtiene del ensayo de cortepuro. Con estos círculos se origina unaenvolvente a partir de los tres círculos deprueba, una en la parte superior y otra en laparte inferior. De esta forma la región de fallaesta ubicada en la parte exterior de laenvolvente de los círculos sobre el plano σ - como se muestra en la figura siguiente


teoría de la fricción interna

Región de falla

Región de no falla

ab



Para el caso de un estado de esfuerzo biaxial,cuando σ1 es de tensión y σ3 es acompresión, el máximo esfuerzo de corte y elesfuerzo normal están dados por:

2

2

31

31max1

teoría de la fricción internaMecánica de materiales – Falla estática

Si sustituimos la ecuación de la recta = aσ+b con las ecuaciones anteriores obtendríamos:

baa 211 31

00

13

31

cuandocuando

uc

ut

Para evaluar las constantes a y b se deben tomar las siguientes condiciones de borde

teoría de la fricción internaMecánica de materiales – Falla estática

Valores de las constantes a y b

Si resolvemos teniendo en cuenta las condiciones de borde anteriores obtendríamos:

ucut

ucut

ucut

ucut bya


Si estas constantes son sustituidas se puede determinar completamente la ecuación de la envolvente de falla por fractura

1

1

13

31

utut

utut

IICuadrante

IVCuadrante



Para los cuadrantes I y III, estas relaciones se hallan directamente de la figura siguiente

Teoría de falla de Mohr-Coulomb con teoría de falla del Esfuerzo Normal

superpuesta

Diagonal de corte

uc

Región de no falla FS>1


uc


f

f

ut

ut


σ1 = σuc

σ3 = σuc

σ1 = -σ3

No se puede mostrar la imagen en este momento.

uc

ut

ut

ucuc

uc

ut

ut

utut

FSIVCuadrante

FSyFSIIICuadrante

FSIICuadrante

FSyFSICuadrante

31

31

13

31

Mecánica de materiales – Falla estáticateoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal

La resistencia última al corte se obtiene como sigue:

uc

ut

utu

1

teoría de la fricción interna con teoría del esfuerzo normal


Teoría de falla de la Energía Máxima de Deformación (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalacanzada cuando la energía de deformación porunidad de volumen en un punto cualquiera de lamuestra, se hace mayor o igual a la energía dedeformación por unidad de volumen de falla,determinada por una prueba de tensión ocompresión del mismo material”.


Energía de deformación

Para expresar matemáticamente la teoría, esnecesario desarrollar una expresión para la energíaelástica total de deformación por unidad de volumenen un estado general de esfuerzos. Esta energía esigual al área situada debajo de la curva esfuerzo-deformación.

FU21


Energía de deformación en el cubo elemental

En un cubo elemental que esté sometido sóloa esfuerzo de tracción a lo largo del eje X, laenergía de deformación viene dada por:

dAdxU xx21


La ecuación anterior describe la energía elásticatotal absorbida por el elemento. Puesto que elvolumen del elemento es (dAdx), la energía dedeformación por unidad de volumen está dadapor:

EdAdxUU x

xxT

2

21

21


teoría de la energía de deformación

Energía de deformación para un elemento sometido a corte

De igual manera, la energía de deformaciónpor unidad de volumen de un elementosometido a corte puro está dada por:

GU xy

xyxyT

2

21

21


Energía de deformación para un estado general de esfuerzos

Las relaciones de la deformación uniaxial pura yde corte puro se pueden combinar por el principiode superposición para dar la energía dedeformación elástica en una distribución generalde un estado de esfuerzo en tres dimensiones.

yzyzxzxzxyxyzzyyxxTU 21


Energía de deformación en función de los esfuerzos principales

13322123

22

21 2

21 E

UT

En función de los esfuerzos y deformaciones principales tendríamos:

33221121 TU


Para una prueba de tensión uniaxial, el únicoesfuerzo principal que no es cero, es aquel quese hace igual a la resistencia a la fluencia σf enel punto de fluencia, y la energía total dedeformación por unidad de volumen que lecorresponde es:

ff TTfT UUE

U 2

21


energía de deformación

Teoría de la Energía Máxima de Deformación para falla por esfuerzos

triaxiales (dúctil)





Factor de seguridad para estado de esfuerzo triaxial según teoría de la


13322123

22

21 2

fFS


Teoría de la Energía Máxima de Deformación para esfuerzos biaxiales

(dúctil)



F Diagonal de co

F

F


F


Factor de seguridad para estado de esfuerzo biaxial según teoría de


2331

21 2

fFS

La resistencia límite al corte sería:

12

ff


Teoría de falla de la Energía de distorsión (materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalcanzada cuando la energía de distorsión por unidadde volumeb en un punto cualquiera de la muestra, sehace igual o mayor a la energía de distorsión porunidad de volumen de falla, determinada por unaprueba de tensión o compresión axial del mismomaterial”.


La teoría de la energía de distorsión se originó apartir de observación de que los materialespueden soportar presiones hidrostáticas muyelevadas sin producir ningún efecto sobre lafluencia. Así se postuló que la fluencia no era deninguna manera, un fenómeno de tensión o decompresión simple, sino, mas bien que estabarelacionada de algún modo con la distorsión delelemento esforzado. Debido a esto, en eldesarrollo de esta teoría, la energía total dedeformación elástica puede ser dividida en doscomponentes:


teoría de la energía de distorsión

La energía de distorsión o de cambio de forma.

La energía de variación de volumen.

UT=U’T+U’’T

teoría de la energía de deformación


Energía asociada con la variación de volumen

2161''

21''

2321

EU

VU

T

mT


Energía de distorsión

2132

322

21'

61

E

UT

21612

21''

'''

2321313221

23

22

21

.

EEU

UUU

T

TTT


Energía de distorsión para un estado de esfuerzo uniaxial

''

31' 2

f

f

TT

fT

UU

EU


Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos triaxiales

(dúctil)





Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría de

energía de distorsión

2132

322

2121

fFS


Teoría de la Energía de Distorsión para falla por esfuerzos biaxiales

(dúctil)

F

Diagonal de co

F

F



F F

F



σ1 = -σ3

Factor de seguridad para un estado de esfuerzo biaxial según teoría de

energía de distorsión

2331

21

fFS

El límite a la fluencia por corte puro viene dada por:

ff

f

577,03


Teoría de falla del Esfuerzo Cortante Octaédrico de Von Mises y Hencky

(materiales dúctiles)

“La falla de una muestra, sometida a cualquiercombinación de cargas (triaxial o biaxial), esalcanzada cuando el esfuerzo de corte octaédricoen un punto cualquiera de la mustra, se hace igualo mayor al esfuerzo octaédrico de falla,determinada por un prueba de tensión ocompresión axial del mismo material”.


foct

oct

oct

32

31

3

213

232

221

321


Esfuerzos octaédricos

Planos de corte octaédricos guiados a la teoría de falla de Mises-Hencky


Factor de seguridad para un estado de esfuerzo triaxial según teoría del

esfuerzo octaédrico

2132

322

2121

fFS


Comparación de las teorías de falla para un estado de esfuerzo biaxial

Dos planteamientos pueden ser empleados para comparar las teorías de falla, uno de ellos es el siguiente:

Teoría de esfuerzo de corte máximo. f=1,00 σf

Teoría de la deformación unitaria máxima f=0,74 σf

Teoría de la energía de deformación. f=0,608 σf

Teoría de la energía de distorsión f=0,577 σf

Teoría del esfuerzo cortante máximo f=0,50 σf


Comparación de las teorías de falla gráficamente sobre un sistema

coordenado normalizado:


La evaluación de las teorías de falla, con claraevidencia experimental llevan a las observacionessiguientes:

Para materiales isotrópicos que fallan por fracturafrágil, la mejor teoría a usar es la teoría delEsfuerzo Normal.

Para materiales que fallan por fractura frágil peroque presentan una resistencia última encompresión, la mejor teoría a usar es la de Mohr-Coulomb.


Observaciones acerca de las teorías de falla

Para materiales isotrópicos que fallen por fluenciao ruptura dúctil, la mejor teoría a usar es la teoríade la Energía de Distorsión.

Para materiales isotrópicos que fallen por fluenciao ruptura dúctil, la teoría del esfuerzo de cortemáximo es tan valida como la teoría de la energíade distorsión.

observaciones acerca de las teorías de falla


Como un método práctico, puede ser usada lateoría de Mohr-Coulomb en aquellos materialesisotrópicos que presenten una ductilidad menoral 5% de elongación sobre una longitudcalibrada de 2 pulgadas.

Como un método práctico, puede ser usada lateoría de la energía de distorsión o la delesfuerzo de corte máximo en aquellosmateriales isotrópicos que presenten unductilidad de 5% o mas en 2 pulgadas de sulongitud calibrada.

Donde sea posible debe ser llevado a cabo unanálisis de mecánica de la fractura.

Mecánica de materiales – Falla estáticaobservaciones acerca de las teorías de falla

Comparación de las teorías para una variedad de materiales dúctiles


Comparación de las teorías para una variedad de materiales frágiles


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