TEOREMA DE BAYES

Si A 1, A 2 ,... , An son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.

Y cuya unión es el espacio muestral (A 1 A 2 ... A n = E).

Y B es otro suceso.

Resulta que:

ulta que:

Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes.

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el

Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A

(probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del

suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)

deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

La fórmula del Teorema de Bayes es:

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar

explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que

este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de

semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente

es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no

sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite

calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se

denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla

con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las

probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se

denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

( )

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente

(probabilidad a posteriori) es del 0.42

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

( )

La probabilidad de que estuviera nevando es del 0.5

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

( )

La probabilidad de que hubiera niebla es del

Ejemplos:

1El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas.

El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas

también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa

un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al

azar sea ingeniero?

2La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1.

La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la

probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no

haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

I = Producirse incidente.

A = Sonar la alarma.

Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue

despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza

el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al

azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro

seleccionado por A sea de poesía?

En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete

y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se

escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

1¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al

primer llavero A?