Facilitador: Ing. Karina Sastre Antonio

Nombre:

Candelaria Gamboa Mayra Karyna Guerrero Cervantes Jennifer Ledesma García Catalina Pérez Ramón Emanuel Sulvaran Rojas Cesar

Asignatura: Mecánica de Fluidos

GRUPO: “A”

SEMESTRE: 4

TEMA: Unidad 3 “3.3Teoría de Buckingham”

CARRERA: Ingeniería Petrolera

Abril del 2013

| Teorema de Buckingham o teorema π/ Mecánica de los Fluidos 1

El teorema π de Buckingham

-Introducción

Evidentemente, cualquier ecuación que relacione los productos adimensionales es dimensionalmente homogénea; esto es, la forma de la ecuación no depende de las unidades de medición fundamentales .Esta observación puede ser formalmente expresada como sigue:

Una condición suficiente para que una ecuación sea dimensionalmente homogénea, es que ésta sea reducible a una ecuación entre productos adimensionales.

E. Buckingham dedujo el principio fundamental de que las condiciones de este teorema son también necesarias. El teorema de Buckingham se enuncia como sigue:

Si una ecuación es dimensionalmente homogénea, ésta puede reducirse a una relación entre un conjunto completo de productos adimensionales.

El teorema de Buckingham resume la teoría entera del análisis dimensional.

-Desarrollo

El teorema π de Buckingham expresa que un problema físico en que intervengan n magnitudes en las que hay m dimensiones fundamentales, las n magnitudes pueden agruparse en n-m parámetros adimensionales. Sean A1, A2, A3,…, An las magnitudes que intervienen tales como la presión, viscosidad, velocidad, etc. Si se sabe que todas las magnitudes son esenciales a la solución, entre ellas debe de existir una relación funcional.

F ( A1 , A2 , A3 ,… , An)=0

Si π1 , π2 ,etc, representan los grupos adimensionales de las magnitudes A1, A2, A3,…, An, entonces so son m las dimensiones independientes que intervienen, se puede formar una ecuación de la forma

F (π1 , π 2 , π 3 ,…, πn−m )=0

La demostración del teorema de π se encuentra en los escritos de Buckinham. El método de determinación del os parámetros π consiste en elegir m de las A magnitudes, son diferencia dimensionales, que contenga entre ellas las m dimensiones, y usarlas como variables repetidas todas ellas junto con otra de las A magnitudes para cada π. Por ejemplo, sea A1, A2, A3, que contienen M, L y T, no necesariamente en cada una, sino colectivamente. Entonces, el primer parámetro π se forma así:

π1=A1x1 A2

y1 A3z1 A4

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El segundo

π2=A1x2 A2

y2 A3z 2 A5

Y así sucesivamente, hasta

πn−m=A1xn−mA2

yn−m A3zn−mAn

En estas ecuaciones los exponentes tiene que determinarse de tal manera que cada π sea adimensional. Para esto, se sustituyen las dimensiones de las A magnitudes y los exponentes M,L y T se igualan a cero respectivamente. Esto origina tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro π ,de tal forma que los exponentes x,y,z se pueden determinar y por consiguiente, el parámetro π .

Si solo intervienen dos dimensiones, entonces dos de las magnitudes A se eligen como variables que se repiten y se obtienen dos ecuaciones con dos incógnitas para cada parámetro π .

En muchos casos las magnitudes A son tales que los grupos adimensionales son evidentes y se forman sin necesidad de cálculos. El caso más simple es aquel en que dos de las magnitudes tienen la misma dimensión, por ejemplo longitudes, entonces el cociente de estos dos términos es un parámetro π .

El procedimiento se ilustra con algunos ejemplos.

Ejemplo: El caudal a través de un tubo capilar horizontal se cree que depende de la caída de presión por unidad de longitud, del diámetro y de la viscosidad. Encontrar la forma de la ecuación.

Se tabulan las magnitudes y sus dimensiones.

Magnitud Símbolo Dimensiones

Caudal Q L3T−1

Caída de presión/longitud∆ pl

M L−2T−2

Diámetro DL

Viscosidad μ M L−1T−1

Entonces

F (Q , ∆ pl, D , μ )=0

Las magnitudes fundamentales que intervienen son tres, por lo que con las cuatro magnitudes del problema podrá formarse un único monomio π .

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π=Q x 1( ∆ pl )y1

Dz1 μ

Sustituyendo las dimensiones:

π=(L3T−1 )x 1(M L−2T−2) y1 Lz1M L−1T−1=M 0L0T 0

Los exponentes de cada dimensión deben ser los mismos en los mismos en los dos miembros de esta ecuación. Para L, primeramente

3 x1−2 y1+z1−1=0

Y de forma semejante para M y T

y1+1=0

−x1−2 y1−1=0

Entonces expresamos la matriz

[ 3 −2 10 1 0

−1 −2 0|1

−11 ] (2 )

⤶≈ [ 3 −2 10 1 0

−1 0 0|1

−1−1] ⋮

(−1 )≈[ 3 −2 10 1 01 0 0|

1−11 ] ↰∣(−3 )

≈ [0 −2 10 1 01 0 0|

−2−11 ] ↰(2)≈ [0 0 1

0 1 01 0 0|

−4−11 ]

De las que se deducen x1=1,y1=−1 z1=−4 comparando con

π=Q x 1( ∆ pl )y1

Dz1 μentoncesπ=Q1( ∆ pl )−1

D−4 μ

Acomodando respecto a sus exponentes quedaría:

π= Qμ∆ plD4

=0

Despejando Q:

Q=C ∆ plD 4

μ

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El análisis adimensional no nos proporciona información sobre el valor numérico adimensional C.

Experimentalmente se demuestra que la contante C vale π128

.

-Conclusión:

Se puede concluir que este teorema es servible en la aplicación de dimensiones, y establecer fórmulas o llegar a un punto en general. Es decir aplicando reglas matemáticas simples como son las del algebra lineal y algebra general podremos encontrar el valor de la de la fórmula que se debe aplicar en dicho caso, usando las dimensiones y parámetros que ahí nos mencionen.

-Bibliografía:

. Yunus, Cengel. Mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones, Editorial McGrawHill, 2006.

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