TEOREMA DE CASTIGLIANO

Sea una estructura la cual está sometida a un sistema de cargas cualesquiera, las cuales generan una deformación a la estructura misma, el valor de la carga puntual aplicada a un punto dado estará definido por la derivada parcial de la energía con respecto a la deformación en el mismo punto dado de la estructura.

∂U∂ d i

=P1Primer teorema de Castigliano

La deformación en el punto i de la estructura citada arriba es igual a la derivada parcial de la energía con respecto a la carga puntual P aplicada en el mismo punto i.

∂U∂Pi

=d1Segundo teorema de Castigliano

Ejemplo:

Calcular la deformación en el punto B de la siguiente barra.

Aplicando el segundo Teorema ∂U∂P

=di

U=12∫0

L Px2dxEA

+K 12∫0

L V 2

GLdx+ 1

2∫0L M 2

EIdx

ΣFx = 0 ∴ V = 0 ∂U∂P

=∂( 12 P2 LEA )

∂P= PLEA

ΣFy = -N + P = 0

Mflex = 0

U=12∫0

L P2

EAdx=1

2PEAL=0

Calcular el desplazamiento en el punto B de la siguiente viga.

ΣFy = N-P = 0; N = P

ΣFx = 0; Axial = 0

ΣMA = P ∙ X = P ∙L

U=0+K2 ∫0

L P2

GAdx+1

2 ∫0L (P⋅X )2EI

dx

U=K2PLGA

+16P2 L3

EI∂U∂P

=KPLGA

+13PL3

EI= deformación

Calcular la deflexión en el punto B.

E = 200 GPa

I = 0.945 x10-3m4

ΣMA = P(3) + 30(B) + 30(9) (4.5) – Cg(9) = 0

Cg= P3

+135

TRAMO AB

2P3

+135−30 xCortante

M=∫V dx=2Px3 +135 x−15 x2=0

V= 12 EI∫0

3 ( 4 P2 x29+(135)2 x2+(15)2 x4+90 Px2−10 Px3−2025 x3)dx

V=4 P2+607 .5P+133953 .75

TRAMO BC

−P3

−135+30 xCortante

M=∫Vdx=− Px3

−135 x+15x2

U= 12 EI∫0

L P2 x2

9+1352 x2+152 x4+45 Px2−5 Px2−2025x3

U=8P2+1620 P+1006020

∂U∂P

= IEI

(8P+607.5+16 P+1620 )= 12 EI

(24 P+2227 .5 )

Δ=1000 [24(135+6(30) ]+2227 .52(200 x109N /m2 )(0 .945 x 103m4 )

=0.0200m