Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen. Específicamente el teorema de la divergencia dice que:

Donde:

S: es una superficie cerrada cuyo interior contiene al volumen V

F: es un campo vectorial arbitrario

n: el vector unitario normal a la superficie

Por lo tanto la divergencia, viene dada por las derivadas parciales del campo vectorial, sea

• F⃗=(P ,Q , R ) entonces la

•

•

•

Obtenemos las derivadas parciales

Ejemplo:

Sea la esfera x2+ y2+z2=a2 y el campo vectorial F=x3 i⃗+ y3 j⃗+z3 k⃗

La divergencia de F=x3 i⃗+ y3 j⃗+z3 k⃗ es

F=3 x2 i⃗+3 y2 j⃗+3 z2 k⃗

De modo que debemos calcular la

∭v

❑

3 (x2+ y2+ z2 )dxdydz

∯s

❑

F .ndS=∭v

❑

divFdV=∭v

❑

∇ .FdV

∭v

❑

¿ F⃗ dxdydz=∭v

❑ ∂P∂xdxdydz+¿∭

v

❑ ∂Q∂ ydxdydz+¿∭

v

❑ ∂ R∂zdxdydz ¿¿

∬s

❑

F⃗ . ndS=∬s

❑

(P i⃗+Q j⃗+R k⃗ ) . n dS

∬s

❑

F⃗ . ndS=∬s

❑

(P i⃗ . n⃗+Q j⃗. n⃗+R k⃗ . n⃗ )dS

∬s

❑

Pi⃗ . n⃗=∭v

❑ ∂P∂ xdxdydz

∬s

❑

R k⃗ . n⃗=∭v

❑ ∂R∂ zdxdydz

∬s

❑

Q j⃗. n⃗=∭v

❑ ∂Q∂ ydxdydz

Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en el origen, de radio a parece natural hacer cambio de variable y utilizar las coordenadas esféricas, esto es

x=psin∅ sinθ y=psin∅ cosθz=pcos∅

donde el dominio de las variables ( p ,∅ , θ) es

0≤ p≤a0≤∅ ≤π0≤θ≤2π

Y además

dxdydz=p2sin∅ dpd∅ dθ

De modo que obtenemos la siguiente integral

puesto que x2+ y2+z2=p2. Efectuando los cálculos, nos queda