TEOREMA DE NYQUISTTEOREMA DE NYQUIST

Si se toman muestras de una señal limitada en banda a intervalos Si se toman muestras de una señal limitada en banda a intervalos regulares de tiempo y a una velocidad igual o mayor al doble de regulares de tiempo y a una velocidad igual o mayor al doble de la más elevada frecuencia significativa de la señal, entonces las la más elevada frecuencia significativa de la señal, entonces las

muestras contienen toda la información necesaria para recostruir muestras contienen toda la información necesaria para recostruir la señal original mediante el uso de un filtro pasa bajo adecuado. la señal original mediante el uso de un filtro pasa bajo adecuado.

G(f)

f

H(f)

f

fmáx

fmáx t

ffPAMPAM(t)(t)f(t) f(t)

t

f(t)f(t)ffPAMPAM(t) (t)

1/2f1/2fmáxmáx

MODULACIÓN PAMMODULACIÓN PAM

DEMODULACIÓN PAMDEMODULACIÓN PAM

MULTICANALIZACIÓNMULTICANALIZACIÓN

t

1/2f1/2fmáxmáx

CH1CH1 CH2CH2 CH3CH3 CH4CH4 CH24 CH1

“Time Slots”

Tslot1

24

1

2 fmáx

TTslotslot

Ejemplo: Sistema AT&T D1D de 24 canales telefónicos Ejemplo: Sistema AT&T D1D de 24 canales telefónicos

1 Canal telefónico: Ancho de banda W=4 kHzVelocidad de muestreo de un canal: 8000 muestras al segundoSeparación entre muestras de un mismo canal: Fr=125 s (duración de un Frame)Duración de un “time slot”: Ts=5.21 sVelocidad de muestreo de 24 canales: 192.000 muestras al segundo

Autopista PAMAutopista PAM

Gate1

Gate2

Gate3

Gate4

Gate24

f1(t)

f2(t) f3(t

) f4(t)

f24(t)

Clock 48 fmáx

ContadorRegresivo Decodificador

SH1

SH2

SH3

SH4

SH24

MODULADOR PAMMODULADOR PAM

=2 x 2fmáx

MODPAM1

MODPAM2

MODPAM24

Sincronizador

1 V

-1 V0

255 CUANTIFICACIÓNCUANTIFICACIÓN

Se subdivide el rango de variación de las muestra PAM en 256 (28) intervalos (caso D1D), los cuales se pueden representar mediante un código binario de 8 bit. El valor medio del intervalo es el valor estándar o nivel de codificación.

Error de Cuantificación

Es la diferencia entre el valor de la muestra PAM y el valor discreto que se le asigna. Su valor máximo es V/2, siendo V la amplitud del intervalo

16

4

1

65

16

6

1

67

16

8

1

69

17

0

1

64

16

5

1

66

16

7

1

68

16

9

1

70

17

1

1

71

010100111

VPAM x e xV

2

e2

T

1

T

tN t( )2

dlim

e2

0

V

xxV

2

21

V

d

S n2 V

2

12

SS

NNccnn

22

Cálculo del S/NCálculo del S/Ncc

Suposiciones:El error de cuantificación e está uniformemente distribuido dentro del intervalo V.La señal S también está uniformemente distribuida dentro del rango de variación prefijado nV, siendo n el número de intervalos en que se ha subdividido el rango.

V0 V/2

eVPAM

1/ Vfdp

e2

V

2

12Nc

V2

12

e2

x

V

2

2

De igual manera se calcula la potencia de la señal

Cálculo de la potencia de ruido:

COMPANDINGCOMPANDING

1. COMPRESIÓN DE LA SEÑAL ANTES DE ENTRAR AL DECODIFICADOR2. CUANTIFICACIÓN NO LINEAL EN EL PROCESO DE CODIFICACIÓN

Entrada

Salida

10.50.250.125-1 -0.5 -0.25 -0.125

16

32

4

8 6

4

80

96 1

12 1

28

-16 - 32 -48 -64 -80 -96 -112 -128

8 segmentos8 segmentos16 intervalos cada 16 intervalos cada unouno

CODIFICACIÓNCODIFICACIÓN

t

CH1CH1 CH2CH2 CH3CH3

Características del sistema AT&T D1D:Características del sistema AT&T D1D:

Número bits de codificación: 8Duración del bit 0.65 sNúmero bits del Frame: 8 x 24 + 1 de sincronización del Frame =193Número de Frames por segundo: 8000Velocidad de transmisión: B = 193 x 8000 = 1544 Mb/sB = 193 x 8000 = 1544 Mb/s

CÓDIGOS DE BANDA BASECÓDIGOS DE BANDA BASE

10 1 1 10 0 0

UP-NRZ

TTbb

UP-RZ

TTbb

TTbb = duración del bit o período del bit = duración del bit o período del bit

= duración del símbolo o del pulso= duración del símbolo o del pulso

NRZ: NRZ: = T= Tbb

RZ: RZ: = T= Tbb/2/2

ANCHO DE BANDA Y VELOCIDAD DE TRANSMISIÓNANCHO DE BANDA Y VELOCIDAD DE TRANSMISIÓN

00 tt

AA

TTbb

Caso NRZ

Tb f Tb 1

f1

Tb

ff BB

P 0( ) 1 Tb

P f ( )

f

1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

P f ( )

f

A =1

Se puede afirmar con buena aproximación que

la mayor parte de la potencia de la señal está comprendida entre 0 y 1

P f A2

sin f 2

f 2

x TbTb 1

Caso RZ

Tb

2f

Tb

2 1

f2

Tbf 2 B

P 0( ) 0.5 Tb

D1D:f = 3.088 MHz

D1D:f = 1.544 MHz

CODECCODEC

REPETIDORESREPETIDORES

Nivel de decisión

Vd

AmplificadorEcualizador

Sincronismo

Sample & Hold Comparador

Instantes de decisión

Error de decisión Jitter

Sistema DS1 DS1C DS2 DS3 DS4 Nivel 1 1.5 2 3 4

Nº de canales de voz 24 48 96 672 4032 Nº de niveles inferiores

agrupados 0 2 DS1 4 DS1 28 DS1 6 DS3

Velocidad de transmisión 1.544 Mb/s 3.152 Mb/s 6.312 Mb/s 44.736 Mb/s 274.176 Mb/s

DS1T1 1.544 Mb/s

DS1CT1C 3.152 Mb/s

DS2T2 6.312 Mb/s

DS3T3 44.736 Mb/s

DS4T4 274.176 Mb/s

M 1C

M 1-2

M 1-3

M 3-4

1 28

Gerarquía PCM (Estándar Norteamericano)Gerarquía PCM (Estándar Norteamericano)

DS1 MUX 1

DS1 MUX 2

DS1 MUX 3

DS1 MUX 4

DS1 DEMUX 1

DS1 DEMUX 2

DS1 DEMUX 3

DS1 DEMUX 4

M 1-2

MUX

M 1-2

DEMUX

T1

T1

T1

T1

1.544 Mb/s

T2

T1

T1

T1

T1

6.312 Mb/s

1.544 Mbs

Sistema AT&T DS2Sistema AT&T DS2

96 canales 96 canales telefónicostelefónicos

DS1 MUX 1DS1 MUX 1

DS1 MUX 2DS1 MUX 2

DS1 MUX 3DS1 MUX 3

Term. DatosTerm. Datos

M 1-2M 1-2

MUXMUX

M 1-3M 1-3

MUXMUX

T1T1

T1T1

T1T1

T1T1

1.544 Mb/s1.544 Mb/s

T2T2

6.312 Mb/s6.312 Mb/s

Video Tel.Video Tel.

FDM MGFDM MG

1

26

27

28

DatosDatos

T3T3

44.736 Mb/s44.736 Mb/s

Sistema AT&T DS3Sistema AT&T DS3

Probabilidad de error en Banda Probabilidad de error en Banda BaseBase

La probabilidad de error, Per o BER, es función de la excursión pico Vep de la señal por encima del umbral de decisión Vum y de la tensión de

ruido Vn

Codigo polar:Codigo polar:

erf x( )2

0

x

ye y2

d erfc x( ) 1 erf x( )

para x>3erfc x( )e x

2

x

Vp A Vum 0 Vep Vp Vum Vep A

Codigo unipolar:Codigo unipolar:

Vp A VumA

2Vep Vp Vum Vep

A

2

PPerer11

22erfcerfc

VVepep

22 VVnn

Probabilidad de error en Banda Probabilidad de error en Banda BaseBase

S Vrms2 N Vn

2Recordando que:Recordando que: y

Codigo polar (NRZ):Codigo polar (NRZ):

Codigo unipolar (NRZ):Codigo unipolar (NRZ):

S Vrms2 A2

22 Vep

2 Vn N VepS

2PPerer

11

22erfcerfc

11

22

SS

NN

S Vrms2 A2 Vep

2 Vn N Vep S PPerer11

22erfcerfc

11

22

SS

NN

A igualdad de relación S/N, la probabilidad de error del código polar es menor.

Con filtro ecualizador (Con filtro ecualizador (matched filtermatched filter):):

Con filtro ecualizador (Con filtro ecualizador (matched filtermatched filter):):

PPerer11

22erfcerfc

SS

NN

PPerer11

22erfcerfc

SS

22··NN

Si definimos E b la energía del pulso y su duración, entonces: SEb

La potencia de ruido es:N k Teq B

y la potencia de ruido por Hz (Joules):No k Teq

SSNN

EEbbNNoo

RELACIÓN S/N PARA SEÑALES DIGITALES BINARIASRELACIÓN S/N PARA SEÑALES DIGITALES BINARIAS

Para señales binarias el ancho de banda B es igual a 1

. Así que:

FACTORES DE MÉRITOFACTORES DE MÉRITO

Tasa de error: BERBER (Bit Error Rate)

Recomendación UIT G.821:Recomendación UIT G.821:

1. BER < 1 x 10-6 para un periodo de 1 min

2. BER < 1 x 10-3 para un periodo de 1 s

1. La tasa de error debe ser inferior a un 1bir errado en un millón para un período de 1 min2. La tasa de error debe ser inferior a 1 bit errado en mil para un período de 1 s

BASK (Binary Amplitude Shift Keying)

Información binaria(NRZ unipolarunipolar)

Señal modulada ASK,tambíen llamada OOK (On Off Key)

ToTo/2

Tb

11

00

Técnicas de modulación ASK

OSC.fo

Señal ASKSeñal binariaNRZ unipolarunipolar

Espectro de potencia de la señal NRZ unipolar

=Tb=To/2=1/vt

Banda Base=vt (en Hz)

/vt

3 2 1 0 1 2 3

f ffo

fo+vt fo+2vtfo+3vtfo-vtfo-2vtfo-3vt

Espectro de potencia (sólo frecuencias

positivas) de la señal ASK

Ancho de Banda=2vt (en Hz)

sask t( ) nrz t( ) cos 2 fo t

Técnicas de demodulación ASK

1. Detector de envolvente1. Detector de envolvente

2. Detector síncrono2. Detector síncrono

sx t( ) nrz t( ) cos 2 fo t cos 2 fo t

sx t( ) nrz t( ) cos 2 fo t 2

sx t( )1

2nrz t( ) 1 cos 4 fo t

s t( )1

2nrz t( )

Señal ASK Al regenerador

Comp. de fase

VCOfo

PLL

FPBd

FPBj

sx(t)

BFSK (Binary Frequency Shift Keying)

Información binaria(NRZ unipolarunipolar)

Señal modulada FSK

ToTo/2

Tb

11

00

+

-

ssNRZNRZ(t)(t)

ssFSKFSK(t)(t)

L

Cv

C1

C2

C3

ARs

RFC

1

L Ceq

1Ceq 1

Cv

1

C3 1

C2 1

C1

Oscilador controlado en voltaje (VCO) con diodo varactor

Modulador de frecuencia

snrz(t) sFSK(t)

Técnicas de modulación FSK

Espectro de la señal FSK

Si las dos frecuencias están suficientemente separadas entre si, se puede considerar la señal FSK como la suma de dos señales ASK, tal como se muestra a continuación:

ToTo/2

Tb

f f1 f2

Espectro de potencia (sólo frecuencias

positivas) de la señal FSK

Ancho de Banda: f2-f1+2vt

Técnicas de demodulación FSK

Señal FSK Al regeneradorComp. de fase

VCOf1

PLL

FPBd1

FPBj

Comp. de fase

VCOf2

PLL

FPBd2

FPBj

1. Detector síncrono1. Detector síncrono

BPSK (Binary Phase Shift Keying)

Información binaria(NRZ polarpolar)

Señal modulada PSK

ToTo/2

Tb

11

-1-1

Técnicas de modulación PSK

OSC.fo

Señal PSKSeñal binaria

NRZ polarpolarspsk t( ) A cos 2 fo t

Espectro de potencia de la señal NRZ polar

=Tb=To/2=1/vt

Banda Base=vt (en Hz)

Espectro de potencia (sólo frecuencias

positivas) de la señal ASK

Ancho de Banda=2vt (en Hz)

/vt

3 2 1 0 1 2 3

f f

fo+vt fo+2vtfo+3vtfofo-vtfo-2vtfo-3vt

Técnicas de demodulación PSK

La dificultad de la demodulación PSK deriva del hecho que su espectro no La dificultad de la demodulación PSK deriva del hecho que su espectro no contiene la portadora y por lo tanto no se puede recuperar, sino hay que contiene la portadora y por lo tanto no se puede recuperar, sino hay que reconstruirla. Una técnica consiste en elevar al cuadrado la señal para reconstruirla. Una técnica consiste en elevar al cuadrado la señal para eliminar el signo negativo, es decir la inversión de fase.eliminar el signo negativo, es decir la inversión de fase.

Señal PSK Al regenerador

Comp. de fase

VCOfo

PLL

FPBj

sx(t)

x2 FPBd

Duplicador de frecuencia

fox2

sspskpsktt(( ))22

AA22

coscos22 ffoo tt 22

sspskpsktt(( ))22 AA

22

2211 coscos44 ffoo tt

pp2f2f tt(( ))AA

22

22coscos44 ffoo tt

La potencia promedio de una señal binaria unipolar, con duración del pulso 0.02 s, es de 6 pW. La temperatura de ruido equivalente a la entrada del receptor es de 550 K. Determine la probabilidad de error después del filtro ecualizador.

Solución

La energía del bit es:

Eb S Eb 120 10 21 J

La potencia de ruido por Hz es:

No k Teq No 7.59 10 21 J

Así que la probabilidad de error para el código unipolar:

Per1

2erfc

Eb

2 No

Per 3.501 10 5

Problema 1Problema 1