Teorema de Schwarz

Si 2:f U tiene derivadas parciales 2

, ,f f f

x y y x

continuas en un entorno del

punto 0 0,x y U , entonces existe 2 f

x y

en dicho punto y es igual a

2 f

y x

.

Demostración

Consideremos un punto 0 0,x x y y interior al entorno del punto 0 0,x y y

definamos una función auxiliar ( )x en el intervalo 0 0,x x x :

0 0( ) ( , ) ( , )x f x y y f x y

Esta función es derivable y se le puede aplicar el teorema de Lagrange en el intervalo

0 0,x x x :

0 0 0( ) ( ) ( ) , 0,1x x x x x x

Reemplazando:

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

f x x y y f x x y f x y y f x y

x x y y x x y xx x

Dividendo por 0y y calculando el límite para 0y :

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim lim

( , ) ( , )

lim

y y

y

f x x y y f x x y f x y y f x y

y y

x x y y x x yx x x

y

El primer límite del lado izquierdo es la derivada parcial de la función f con respecto a y en

el punto 0 0,x x y , el segundo, es la derivada parcial de f con respecto a y en el punto

0 0,x y .

En el segundo miembro, el límite calculado es la derivada xyf calculada en el punto

0 0,x x y .

Por lo tanto la expresión anterior puede escribirse como:

2

0 0 0 0 0 0, , ,x x y x y x x y xy y y x

Dividiendo ambos miembros por 0x y pasando al límite para 0x :

2

0 0 0 0 0 0

0 0

( , ) ( , ) ( , )

lim limx x

x x y x y x x yy y y x

x x

x

Como la hipótesis asegura la continuidad de xyf , el límite del segundo miembro existe y es

igual a 2

0 0,f

x yx y

. El límite del primer miembro es

2

0 0,f

x yy x

.

Por lo tanto:

2 2

0 0 0 0, ,f f

x y x yx y y x

con lo que queda demostrado el teorema.

Muchas de las funciones que aparecen naturalmente en la práctica cumplen con la hipótesis

del teorema de Schwarz, de modo que solamente tendrán tres derivadas parciales de

segundo orden distintas. Más aún, en muchas funciones sus derivadas parciales también

cumplen con la hipótesis del teorema de Schwarz, por lo que las derivadas cruzadas de

tercer orden también serna iguales, por ejemplo:

3 3 3

2 2

f f f

x y y x x y x

De este modo, las ocho derivadas parciales de tercer orden se reducen a solamente cuatro

distintas, y en general, una función f tendrá 1n derivadas parciales de orden n distintas.

La demostración de este teorema se extiende para un número cualquiera de variables, pues

en la derivación respecto de una de ellas se mantienen constantes todas las demás. Por lo

tanto, una función : nf U , que admite kn derivadas de orden k, solamente tiene

;n kV derivadas distintas de ese orden.