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TRIGONOMETRÍA 10°- 2011
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ÁREA: Matemáticas
ASIGNATURA: Trigonometría
INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 4 Horas
TEMA: TEOREMA DEL SENO Y COSENO
LOGRO: Soluciona triángulos utilizando los teoremas
trigonométricos.
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
Un triángulo que no es rectángulo se llama triángulo
oblicuángulo o triángulo oblicuo. Para resolver un triángulo
oblicuo es necesario conocer tres elementos, y es necesario que
por lo menos uno de ellos sea un lado. Los casos que pueden
presentarse para la resolución de un triángulo oblicuo son los
mismos de la geometría plana para la construcción de un
triángulo; es decir, son cuatro casos, según si los elementos son
conocidos son:
1. Un lado y los ángulo adyacentes
2. Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
3. Los tres lados.
4. Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
Aún cuando los elementos del triángulo se pueden calcular
construyendo en éste triángulos rectángulos, es posible hallar
estos elementos conocidos directamente con ayuda de los
teoremas del seno y del coseno.
TEOREMA DEL SENO
En cualquier triángulo, la razón entre la longitud de un lado y
el seno del ángulo opuesto es constante, es decir, los lados de
un triángulo son proporcionales a los senos de sus ángulos
opuestos.
En símbolos: sean A, B y C los ángulos de un triángulo y a, b y
c la longitud de los lados opuestos a tales ángulos, entonces se
cumple que a b c
= =sen A sen B sen C
.
NOTA HISTÓRICA
La ley de los senos era conocida vagamente mucho antes de ser
enunciada en forma explícita por Nasîr ed-dîn (cerca de 1250
d. de C.). Ptolomeo (cerca de 150 d. de C.) tenía conocimiento
de ella en una forma que utiliza una función de la cuerda de
una circunferencia en vez de la función seno. Pero fue
enunciada por vez primera con claridad en Europa por
Regiomontano, en 1464.
DEMOSTRACIÓN
En el triángulo ABC, CD es la altura respecto al lado AB ;
por lo tanto, determina dos triángulos rectángulos ADC y
BDC. La altura respecto al lado AC , BE determina dos
triángulos rectángulos: AEB y EBC.
Por definición de seno de un ángulo y despejando h y h’ se
tiene:
sen A = h
b
h = b sen A
sen A = h'
c
h’ = c sen A
sen B = h
a
h = a sen B
sen B = h'
a
h’ = a sen C
Al aplicar la propiedad transitiva de la igualdad:
b sen A = a sen B
y
c sen A = a sen C.
A los dos miembros de una igualdad se les puede dividir por un
mismo número y la igualdad no cambia. Dividimos la igualdad
por sen A sen B y la segunda por sen C sen A.
b a
sen B sen A
c a
sen C sen A
Por transitividad de la igualdad, se obtiene la relación:
a b c
sen A sen B sen C
Este teorema sirve para resolver un triángulo, cuando se
conocen:
Dos ángulos y cualquier lado.
Dos lados y un ángulo (excepto el formado por los lados
conocidos).
Ejemplo: Resolver el triángulo que tiene de dimensiones
a = 11 cm;
c = 8 cm;
A = 58º.
Sol. Al aplicar el teorema del seno:
a c
sen A sen C
11 cm 8 cm
sen 58º sen C
Se despeja: 8 cm sen 58º
sen C11 cm
8 cm (0.8480)sen C
11 cm
Se calcula sen C:
sen C 0.61676 -1C sen (0.61676)
C 38.08 .
C 38º 4' .
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La medida del ángulo C es C 38º 4' aproximadamente.
Para hallar el ángulo B, recordemos que la suma de los ángulos
internos de un triángulo equivale a 180º. Es decir
A B C 180º
58º B 38º 4' 180º
B 96º 4' 180º
B 83º 56' . La medida del ángulo B es B 83º 56' aproximadamente.
Por último, hallemos la longitud del lado b.
Al aplicar el teorema del seno:
a b
sen A sen B
11 cm b
sen 58º sen 83º 56'
Por la propiedad fundamental de las proporciones:
11 cm sen 83º 56' sen 58º b
Se despeja b: 11 cm sen 83º 56'
bsen 58º
11 cm 0.9944b
0.848
10.9384b
0.848
b 12.899 12.9 cm
Ejemplo 2: dado el triángulo ABC, resuélvelo:
Veamos: a b
sen A sen B
40 cm b
sen 60º sen 45º
Se despeja: 40 cm sen 45º
Sen60ºb 32,65b cm
Para hallar el ángulo C, recordemos que la suma de los ángulos
internos de un triángulo equivale a 180º. Es decir:
A B C 180º
60º 180º45º C 105º C 180º
C 75º
Por último, hallemos la longitud del lado c. Al aplicar el
teorema del seno:
a c
sen A sen C
40 cm c
sen 60º sen 75º
Se despeja: c40 cm sen 75º
Sen60º 44,51c cm
Resolvamos ahora un problema de aplicación de este teorema.
PROBLEMA DE APLICACIÓN Un barco es rastreado por dos estaciones de radar P y Q, que se
encuentran en línea N – S y a 600m una de la otra. La estación
P lo localiza en la dirección 34º NE y la estación Q lo hace en
la dirección 48º NE. ¿A qué distancia está el barco de la
estación P?
Solución:
Hallemos el ángulo Q así: Q 48º 180º , por ser
ángulos adyacentes. Luego
Q 132º
Para hallar el ángulo B, recordemos que la suma de los ángulos
internos de un triángulo equivale a 180º. Es decir
P B Q 180º
34º B 132º 180º
B 166º 180º B 14º
Ahora hallemos el lado pedido que es la distancia desde la
estación P al barco (o sea el lado q) aplicando el teorema del
seno:
q b
sen Q sen B
q 600m
sen 132º sen 14º
Se despeja q: 600m sen 132º
qsen 14º
Luego 1843 1, mq
Por lo tanto el barco se encuentra a 1843,1m de la estación P.
ACTIVIDAD EN CLASE
En los problemas del 1 al 3 soluciona cada triángulo, cuyas
dimensiones son:
1.
A B
C
45º 60º
a = 40cm
c
b
Q
P
48
34º 6000
m
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2.
3.
4.
TEOREMA DEL COSENO
En algunos problemas no es posible aplicar solamente el
teorema del Seno, como es el caso en el que se conocen
solamente dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Si se
tienen estos elementos y se quiere calcular los que hacen falta,
se aplica el teorema del coseno y ya conocido el lado restante
puede utilizarse el teorema del seno.
En todo triángulo el cuadrado de la longitud, es igual a la suma
de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el
doble producto de ellas, por el coseno del ángulo que forman
dichos lados.
Para el triángulo de arriba se cumple entonces que:
a2 = b
2 + c
2 2bc Cos A
b2 = a
2 + c
2 2ac Cos B
c2 = a
2 + b
2 2ab Cos C
En vez de memorizar las formas de la ley de los cosenos,
conviene considerarla como una versión generalizada del
Teorema de Pitágoras:
“El cuadrado de la medida de cualquier lado de un triángulo
es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros
dos lados, menos el doble del producto de la medida de dichos
lados y el coseno del ángulo que forman.”
NOTA HISTÓRICA
La ley de los cosenos aparece por primera vez en los Elementos
de Euclides (Libro II), pero en forma disfrazada, donde los
cuadrados construidos sobre los lados de los triángulos se
suman y luego se resta un rectángulo que representa el coseno.
Era conocida de esta forma por todos los matemáticos debido a
su familiaridad con el trabajo de Euclides. Una de las
presentaciones modernas de la Ley de los cosenos (determinar
el ángulo cuando se conocen los lados) fue enunciada por
François Viéta (en 1953).
DEMOSTRACIÓN
Observa que el triángulo ha quedado dividido en dos triángulos
rectángulos.
Por el teorema de Pitágoras se tiene que
a2 = (c p)
2 + h
2 y h
2 = b
2 p
2.
Luego se obtiene
a2 = (c p)
2 + h
2
= (c p)2 + b
2 p
2
= c2 + p
2 2pc + b
2 p
2
a2 = c
2 + b
2 2pc
y como p = b cos A, a2 = c
2 + b
2 2 bc cos A .
Este teorema permite calcular la medida de un lado cualquiera
de un triángulo, conocidas las medidas de los otros dos lados y
el ángulo formado entre ellos. También conocida la longitud
de los lados, se puede calcular la amplitud de cualquier ángulo
interior del triángulo. 2 2 2b c a
Cos A2bc
;
2 2 2a c bCos B
2ac
2 2 2a b cCos C
2ab
Ejemplo: 1. Solucionemos, si es posible, los triángulos de la ilustración.
Sol.
Para hallar la longitud del lado a, utilicemos la expresión:
2 2 2a b c 2bc Cos A . Es decir,
2 2 2a 5 8 2 5 8 Cos 41º
2a 89 80 (0.7547)
2a 28.624, Entonces a 5.35 m .
Ahora nos disponemos a hallar el valor del ángulo B, a través
de la expresión
2 2 2a c bCos B
2ac, entonces
2 2 2(5.35) (8) (5) 67.6225
Cos B2 (5.35) (8) 85.6
Cos B 0.78998 -1 B Cos 0.78998 . Es
decir, B = 37.8º, y C = 180º - 78.8º = 101.2º.
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2.
Sol. Tal triángulo no puede
existir, porque 2 2 2b c a
Cos A2bc
, es
decir 2 2 2(5) (12) (4) 153
Cos A 12 5 12 120
, que es
imposible.
Resolvamos ahora un problema de aplicación de este teorema.
PROBLEMA DE APLICACIÓN
Un topógrafo necesita saber la medida del ancho de un lago.
Parado en un punto C de la orilla, localiza con sus instrumentos
2 puntos A y B en los lados opuestos del mismo como se
muestra en la figura. ¿Cuál es el ancho del lago?
c2 = a
2 + b
2 2ab Cos C
Luego:
2 2 27 5 5 2 7 5 5 30c ( , km) ( km) * , km* km* Cos º2 216 29c , km
216 29c , km Entonces 4 03c , km
Por tanto, el ancho del lago es de 4,03Km.
Ejemplo 2:
Los lados de un triángulo miden 6,8cm; 8,4cm y 4,9cm. ¿Cuál
es la medida del ángulo menor?
Aplicamos las ecuaciones derivadas del teorema del coseno
para calcular el valor de los ángulos y así determinar cuál es el
menor de todos.
Veamos:
2 2 2b c aCos A
2bc
(8,4 ) (4,9 ) (6,8 )0,5870
cm cm cm2 2 2
Cos A2(8,4cm)(4,9cm)
Luego1(0,5870)A Cos 54º 2'54,88''A
Ahora tenemos que: 2 2 2a c b
Cos B2ac
3(6,8 ) (4,9 ) (8,4 )4,65 10
cm cm cmx
2 2 2
Cos A2(6,8cm)(4,9cm)
Luego1 3( 4,65 10 )B Cos x Así:
90º15'59,52''B
Para hallar el ángulo C, recordemos que la suma de los ángulos
internos de un triángulo equivale a 180º. Es decir
A B C 180º
90º15'59,52'' C54º2'54,88'' 180º
C 144º18'54.4'' 180º
C 35º 41'5.6'' .
Así, el ángulo menor será el ángulo C.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN DEL
TEOREMA DEL SENO Y COSENO
1. Dos corredores A y C parten del mismo punto B a las
12:00 del día. Uno de ellos se dirige hacia el norte a 6
millas por hora y el otro se dirige a 68º al este del norte a
8 millas por hora. ¿Cuál es la distancia entre ellos a las
3:00 de la tarde?
2. En una esquina de un campo
triangular, el ángulo mide
52.4º, los lados que se
encuentran en esa esquina
miden 100 metros y 120
metros de largo. ¿Cuánto
mide el tercer lado?
3. Topografía. Para determinar la distancia de la casa en el
punto A a la casa en B, un topógrafo mide un ángulo
BAC de 40º, después camina 100 pies hasta C y mide el
ángulo ACB, que es de 50º. ¿Cuál es la distancia de A a
B?
A B
C
30º
5Km 7,5Km
Aplicamos el
teorema del
coseno para
calcular el
ancho del lago.
Así:
A
B
C
4,9cm 6,8cm
8,4cm
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4. Determinación de la altitud de un avión. Dos personas,
A y B se hallan a una distancia de 750 m una de otra.
Cuando un avión pasa por el plano vertical de las citadas
personas, éstas lo ven simultáneamente con ángulos de
elevación de 45º y 52º, respectivamente. Calcula la altura
del avión en ese instante.
5. Navegación. Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad B,
una distancia de 150 millas, y después gira 40º para
dirigirse a la ciudad C, como muestra la figura.
a) Si entre las ciudades A y C hay 300 millas, ¿a qué distancia
se encuentra la ciudad B de la ciudad C?
b) ¿Con qué ángulo debe girar el piloto en la ciudad C para
regresar a la ciudad A?
6. Un barco es divisado por dos estaciones de radar, A y B,
que están en la línea Norte – Sur y distantes una de otra
6.5 Km. La estación A, lo localiza en la dirección N 34º E
y la B en la dirección N 48º E. ¿A qué distancia está el
barco de la estación B?
7. Calcula la medida de la diagonal del paralelogramo.
8. La distancia de un puesto de observación A a un cañón C
es de 250 m. Encuentra la distancia entre el cañón y el
punto B si el ángulo ABC mide 60º y el ángulo CAB mide
80º.
9. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?
10. Los lados
de un triángulo miden 6,8 cm, 8,4 cm y 4,9 cm. ¿Cuál es la
medida del ángulo menor?
11. Los lados de un paralelogramo miden 2,5 cm y 5,8 cm. El
ángulo adyacente a esos dos lados mide 65º. Halla la
medida de la diagonal más larga del paralelogramo.
12. Los lados de un paralelogramo miden 76 cm y 178 cm.
Halla las longitudes de sus diagonales si uno de los
ángulos mide 65º.
13. Dos carros parten del mismo punto y viajan sobre dos
carreteras que forman un ángulo de 84º. ¿Cuál es la
distancia comprendida entre los dos automóviles después
de 20 minutos si sus velocidades son de 90 y 75 Km/h,
respectivamente?
14. Dos calles se cruzan formando un ángulo de 105º. Una
tercera calle interseca a las dos calles formando un terreno
triangular.
Los lados del terreno formados por las por las dos primeras
calles miden 26 m y 19 m, respectivamente.
a) ¿Cuál es el área del terreno?
b) ¿Cuál es la longitud del tercer lado?
15. Corrección de un error de navegación. Un bote de
motor sale de Naples, Florida, hacia Key West, a 150
millas de distancia. Lleva una velocidad constante de 15
millas por hora pero navegaron fuertes corrientes y vientos
cruzados, la tripulación descubre, después de 4 horas, que
el bote está fuera de curso por 20º.
a) ¿A qué distancia de Key West está el bote en el momento?
b) ¿Con qué ángulo debe girar para corregir su curso?
16. Dos puntos A y B están en lados opuestos de una torre;
para determinar la distancia entre estos dos puntos se elige
un tercer punto C de manera que la distancia desde A hasta
C es 50 metros y la distancia entre B y C es de 60 metros
(ambas fácilmente calculables). El ángulo que forman los
segmentos rectilíneos de A a C y de B a C mide 60º. Halla,
aproximadamente, la distancia de A a B.
17. Dos rutas de vuelo recto, para avionetas, se cortan entre sí
en un ángulo de 75º. En un momento dado una avioneta
está a 85 Km del punto de intersección y otra avioneta se
encuentra a 102 Km de dicho punto. ¿Cuál es la distancia
entre las avionetas en ese momento?
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18. Dos jugadores de golf situados, en un terreno plano, en los
puntos P y Q, golpean sus bolas de golf hacia un hoyo
ubicado en la posición R de coordenadas (a, b), y dan
ambas en el blanco. ¿Cuáles serán las coordenadas del
hoyo?
55 + ,0
3
19. Una persona se encuentra en el punto A como se muestra
en la figura y desea dirigirse a su trabajo (Punto C) que se
encuentra a 3.8 Km. en línea recta. Debido a que la vía
está siendo reparada debe seguir la trayectoria de A hacia
B para luego dirigirse hacia su sitio de trabajo. ¿Cuál es la
distancia que debe recorrer?
20. Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de
elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la
longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.
21. Si medimos los ángulos de elevación de una montaña
desde lo más alto y desde la base de una torre de 20
metros de alto y éstos son 38.5° y 40.2° respectivamente
¿Cuál es la altura de la montaña?
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http://www.keypress.com/documents/dg3/CondensedLessonPlansSpanish/DG_CLPS_12.pdf
