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Área bajo una curva
Suponiendo f(x) acotada y positiva, la región limitada por la gráfica de f y el eje OX en el intervalo [a, b] se denota por R(f; [a, b]).
Sumas de Riemann
Las sumas inferiores(suma de los rectángulos)s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
Las sumas superiores (suma de los rectángulos superiores) se expresan asíS(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Cualquiera de los valores s(f; Pn) o S(f; Pn) es una aproximación al área R(f; [a, b] )
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Como la función es contínua en cada intervalo existen un mínimo y un máximo (Tª de Weiersstra)
Cálculo de áreas
• En multitud de problemas que se presentan en Ciencia y Tecnología es preciso calcular el área encerrada por varias curvas.
• Este problema pasa por encontrar el área limitada por una curva y = f(x), el eje OX y las abscisas entre los valores x = a, x = b. Inicialmente calcularemos el área mediante aproximaciones
Área (Trapecio rectilíneo) =
= f(a) + f(b)
. (b – a)
Área (Trapecio curvilíneo)
f(a) + f(b)
. (b – a) Error que se comete al
tomar una por otra
Integral definida
Cuando se aplica el proceso anterior a cualquier función (no necesariamente positiva) en el intervalo [a, b] obtenemos las sumas superiores e inferiores de Riemann sobre la partición Pn.
s(f; Pn) = m1 . x1 + m2 . x2 + ... + mn . xn
S(f; Pn) = M1 . x1 + M2 . x2 + ... + Mn . xn
Sea mi el mínimo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Sea Mi el máximo de f(x) en Ii = [xi-1, xi]
Integral definida y área bajo una curva I
f(x) 0 x[a, b] f(x)
A(R) =
a
b
f(x) dx
f(x)
R
f(x) 0 x[a, b]A(R) =
a
b
– f(x) dx =
–
a
b
f(x) dx =
= |
a
b
f(x) dx |
A(R) =
a
c
f(x) dx –
c
d
f(x) dx +
d
e
f(x) dx –
e
b
f(x) dx
Integral definida y área bajo una curva II
Si f(x) toma valores positivos y negativos en el intervalo [a, b], se calculan cada una por separado y se suman los resultados teniendo en cuenta los signos.
Propiedades de la integral definida
2. ( ) 0.a
a
f x dx
3. ( ) siendo un número real.b
a
kdx k b a k
4. ( ) ( ) ( ) ( ) .b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5. ( ) ( ) siendo un número real.b b
a a
kf x dx k f x dx k
1. ( ) ( ) .a b
b a
f x dx f x dx
Propiedades de la integral definida
8. Si ( ) ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) .b b
a a
f x g x x a b
f x dx g x dx
9. Si ( ) para todo [ , ],
( ) ( ) ( ).b
a
n f x m x a b
n b a f x dx m b a
.)()( .10 b
a
b
a dxxfdxxf
7. Si ( ) 0 para todo [ , ], ( ) 0.b
a
f x x a b f x dx
6. ( ) ( ) ( ) para cualquier [ , ].b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b
Función área o función integral
Dada una función f(x) continua y positiva en [a, b], se define la función integral F(x) como la función que mide el área sombreada bajo f. Se representa por:
x
a
xFdttf )()(
Interpretación geométrica (para funciones positivas) Entre los rectángulos abB'A (rojo) y abBA‘(azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene la misma área que el área del recinto R(f; [a, b]). La altura de este rectángulo es precisamente f(c).
Por tanto R1 = R2
Teorema del valor medio: interpretación geométrica
Enunciado: Si f es continua existe c[a,b] en el que b
a
)c(f)·ab(dx)x(f
Puesto que f es continua en [a, b] toma todos los valores entre m y M. Por tanto existe un c [a, b] tal que:
1
b – a
ab f(x) dx = f(c)
Si multiplicamos por (b – a) se obtiene la función integral
Enunciado:
Si f es continua en el intervalo [a, b], existe c [a, b] en el que
ab f(x) dx = (b – a) f(c).
m (b – a)
a
b f(x) dx M (b – a)
m 1
b – a ab f(x) dx M
a b
m
M
1b – a
a
b f(x) dx
c¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.
Teorema del valor medio para integrales
Demostración: área pequeña < A.curva < área grande
x x+h
Teorema fundamental del cálculo. Interpretación geométrica
Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b).
Sea F la función que mide el área sombreada hasta x. En el límite cuando h tiende a cero, F’(x) coincide con f(x)
( ) ( )( ) ( )
F x h F xf x f x h
h
Sea ( , ) y 0.x a b h
( )f x
( )f x h( ) ( )F x h F x
( ) ( ) ( )h f x F x h F x ( )h f x h
X
Y
área pequeña < A.curva < área grande
Teorema fundamental del cálculo
Enunciado: Sea f una función continua, positiva y creciente en el intervalo (a,b). La función F que mide el área sombreada hasta x, es la primitiva de f, es decir F’(x) = f(x).
h
dt)t(fdt)t(flim
h
dt)t(fdt)t(flim
h
)x(F)hx(Flim)x('F
hx
a
a
x
0h
hx
a
x
a
0h0h
Dem.:
)x(f)c(flimh
h)c(flim
h
)xhx)·(c(flim medio valor del teoremaelpor y
h
dt)t(flim
0h0h
0h
hx
x
0h
a c b
Si h tiende a 0 c tiende a x por lo que f(x)=F’(x)
Regla de Barrow
Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva de f(x)
en [a, b], entonces
a
b f(x) dx = G(b) – G(a).
• Como F(x) (función de áreas) es también una primitiva de f(x) en [a, b], F(x) y G(x) se diferencian en una constante: por tanto F(x) = G(x) + C.
• Como F(a) = 0 C = – G(a). Por tanto F(x) = G(x) – G(a).
• Para x = b, F(b) = G(b) – G(a).
Que también se puede poner así: b
adxxf )( = G(b) – G(a) =
F(x) ba
Demostración:
Por tanto F(b) = = G(b) - G(a)b
adxxf )(
El método de «cambio de variable» para integrales definidas
Cambio u = 5 + x2 = g(x) du = 2xdx
g(–5) = 30; g(8) = 69
–1
2u 30
6912
30
69
duu2 dx = =
–1138 +
160 =
131380Ejemplo:
–5
8
x(5 + x2)2
dx =
Área del recinto limitada por una función
Área (R) =
a
c
f(x) dx -
c
d
f(x) dx +
d
e
f(x) dx -
e
b
f(x) dx
–
+
–
+
X
Y f(x)
c d ea
b
R
Área del recinto limitado por dos funciones
Área (R) =
a
c
[g(x) – f(x)] dx +
c
b
[f(x) – g(x)] dx
Área del recinto limitado por dos curvas: ejemplo
Calcula el área de la región limitada por las curvas y = x3 – 6x2 + 9x e y = x.
Área (R) =
0
32
26 9x x x xx d
2
0
234
424
xx
x4
2
234
424
xx
x
R
0 2 4
y = x3 – 6x2 + 9x y = x
24 4 8u
4
2
x3 +6x2-9x dxx