TEOREMAS DEL VALOR INICIAL Y DEL VALOR FINAL
Los dos ltimos teoremas fundamentales que se explicarn se
conocen como teoremas del valor inicial y del valor final, los
cuales permiten evaluar y examinando los valores limites de Dicha
caracterstica puede ser de un valor incalculable; si solamente se
necesitaran los valores inicial y final para una funcin de inters
en particular, no habra necesidad de dedicar tiempo para llevar a
cabo una operacin de transformada inversa.
Teorema del valor inicial
Para deducir el teorema del valor inicial, se considera de nuevo
la transformada de Laplace de la derivada Se permite ahora que s
tienda a infinito. Descomponiendo la integral en dos partes, se
tiene
Se observa que la segunda integral debe aproximarse a cero en el
lmite, puesto que el integrando mismo tiende a cero. Adems, no es
una funcin de s, as que podra eliminarse del lmite de la
izquierda:
Y por ultimo
Este enunciado matemtico del teorema del valor inicial establece
que el valor inicial de la funcin de tiempo se obtiene
multiplicando primero su transformada de Laplace por s y luego
dejando que s tienda a infinito. Observar que el valor inicial de
que se obtiene es el lmite de la derecha. El teorema del valor
inicial, junto con el teorema del valor final es til para verificar
los resultados de una transformacin o de una transformacin inversa.
Por ejemplo, cuando se calcula la transformada de se obtuvo .
Despus de observar que, se tiene la posibilidad de efectuar una
revisin parcial de la validez de este resultado aplicando el
teorema del valor inicial:
Y se completa la verificacinTEOREMA DEL VALOR FINAL
Este teorema no es tan til como el del valor inicial, pues solo
se usa con cierta clase de transformadas. Para determinar si una
transformada entra en esta clase, se requiere evaluar el
denominador de a fin de determinar todos los valores de s para los
cuales ste es cero; dichos valores son muy importantes y se conocen
como polos de . Slo aquellas transformadas cuyos polos se
encuentran por completo dentro de la mitad izquierda del plano s
salvo para el polo simple en , son adecuadas para utilizarse con el
teorema del valor final. Se considera de nuevo la transformada de
Laplace para
Esta vez en el lmite cuando tiende a cero
Se supone que tanto como su primera derivada son transformables.
Ahora bien, el ltimo trmino de esta ecuacin se expresa sin
dificultad como el lmite
Al reconocer que es una constante, una comparacin de las ltimas
dos ecuaciones nos muestra que
que es el teorema del valor final. Al aplicar este ltimo, se
requiere saber que , el lmite de cuando t se vuelve infinito,
existe o, l0 que equivale a la misma cosa, que todos los polos de
se encuentran dentro de la mitad izquierda del plano s, con
excepcin (posiblemente) de un polo simple en el origen. El producto
tiene todos sus polos dentro del semiplano izquierdo.
Los teoremas del valor inicial y del valor final son tiles
cuando solo se desea los valores especficos de o
TEOREMA DE VALOR FINAL(Nos indica el valor en el cual se
estabilizar la respuesta) TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las
condiciones iniciales)
