Teoremas e definic˘oes~ · Para toda fun˘c~ao b, esta inversa b′ e unica, se existir; denot^amo-la por b−1. 1.5. Exemplos. 1. Seja M um conjunto. Ent~ao o conjunto M = {b: M

$Page 1: Teoremas e definic˘oes~ · Para toda fun˘c~ao b, esta inversa b′ e unica, se existir; denot^amo-la por b−1. 1.5. Exemplos. 1. Seja M um conjunto. Ent~ao o conjunto M = {b: M$
ALGEBRA MINIMAL PARA A GRADUACAO

Teoremas e definicoes

1. Grupos e acoes

1.1. Definicao. Um conjunto G munido de uma operacao binaria · : G×G → G, · : (g1, g2) 7→ g1 ·g2,e dito um grupo se sao validos os axiomas seguintes:

GA. (g1 · g2) · g3 = g1 · (g2 · g3) para todos g1, g2, g3 ∈ G (a multiplicacao e associativa).G1. Existe e ∈ G tal que e · g = g · e = g para todo g ∈ G (existe um elemento neutro; tal elemento enecessariamente unico).GI. Para todo g ∈ G, existe g′ ∈ G tal que g · g′ = g′ · g = e (todo elemento g ∈ G possui seu inverso;o inverso de todo elemento de G e necessariamente unico).

Podemos usar outros sinais para a operacao: +, ⊕, ⊙, ∗, ⋆, ◦, . . . Usando a notacao multiplicativa,normalmente denotamos o elemento neutro por 1 e o inverso de g por g−1. (Note que 1−1 = 1 e(g−1)−1 = g.) Na notacao aditiva, envolvendo +, e melhor denotar o elemento neutro por 0 e o inversode g por −g. Assim, os axiomas no caso aditivo tornam-se (g1+g2)+g3 = g1+(g2+g3), 0+g = g+0 = g,g + (−g) = (−g) + g = 0.

O “numero” de elementos do grupo G (finito ou infinito) se chama a ordem de G.

1.2. Observacao. A associatividade da operacao possibilita omitir parenteses em produtos. Porexemplo, no lugar de a ·

(b · (c · d)

)ou de

((a · b) · c

)· d, podemos escrever simplesmente a · b · c · d, pois(

(a · b) · c)· d = [tomando em GA g1 = a · b, g2 = c, g3 = d] = (a · b) · (c · d) =

= [tomando em GA g1 = a, g2 = b, g3 = c · d] = a ·(b · (c · d)

).

1.3. Observacao. (g1 · g2 · . . . · gn)−1 = g−1n · . . . · g−1

2 · g−11 .

1.4. Observacao. Sejam f1 : M1 → M2 e f2 : M2 → M3 funcoes entre conjuntos. A operacao decomposicao ou composta f2 ◦ f1 : M1 → M3, definida por (f2 ◦ f1)m1 := f2(f1m1) para todo m1 ∈ M1

e associativa (quando definida). Isto e: se f1 : M1 → M2, f2 : M2 → M3 e f3 : M3 → M4 sao funcoesentre conjuntos, entao (f3 ◦ f2) ◦ f1 = f3 ◦ (f2 ◦ f1).

Denotemos por 1M a funcao identica 1M : M → M , 1M : m 7→ m. Seja f : M1 → M2 qualquerfuncao. Entao 1M2 ◦ f = f = f ◦ 1M1 .

Uma funcao b : M1 → M2 e bijetora se e so se existe uma funcao b′ : M2 → M1 tal que b ◦ b′ = 1M2 eb′ ◦ b = 1M1 . Para toda funcao b, esta inversa b′ e unica, se existir; denotamo-la por b−1.

1.5. Exemplos. 1. Seja M um conjunto. Entao o conjunto ΣM = {b : M → M | b e uma bijecao}munido da operacao composta ◦ e um grupo chamado grupo simetrico de M ou grupo das permutacoesde M . Por exemplo, se M = {1, 2, 3, 4, 5}, podemos exibir os elementos de Σ5 := ΣM na forma do tipo(1234523145

). Calculando, obtemos

(1234523145

)·(1234554321

)=

(1234554132

)=

(1234543521

)=

(1234554321

)·(1234523145

). Isto significa que o

grupo Σ5 nao e comutativo. E facil verificar que(1234523145

)−1=

(1234531245

).

1.5.2. Seja G = 0 ou G = Z ou G = Q ou G = R ou G = Z[i] := {a+ ib | a, b ∈ Z} ou G = C. Entao(G,+) e um grupo, onde + e a adicao usual de numeros.

2 TEOREMAS E DEFINICOES

1.5.3. Seja p um numero primo e seja G := {q ∈ Q | q admite a forma de fracao de numeros inteiroscom o denominador nao divisıvel por p}. Entao (G,+) e um grupo, onde + e a adicao usual.

1.5.4. Seja G = 1 ou G = {1,−1} ou G = {1,−1, i,−i} ou G = Q∗ := Q \ 0 ou G = R∗ := R \ 0 ouG = R>0 := {r ∈ R | r > 0} ou G = C∗ = C \ 0 ou G = S1 := {z ∈ C | |z| = 1}. Entao (G, ·) e umgrupo, onde · e a multiplicacao usual de numeros.

1.5.5. Sejam G1 e G2 grupos. Definimos em G1 ×G2 a operacao (g1, g2) · (g′1, g′2) := (g1 · g′1, g2 · g′2).Entao (G1 ×G2, ·) e um grupo chamado produto cartesiano ou produto direto de G1 e G2.

1.5.6. Seja A = Z ou A = Z[i] ou A = Q ou A = R ou A = C. O conjunto G = Matrm×n A de todasas m× n-matrizes com coeficientes em A munido da adicao usual de matrizes e um grupo (G,+).

1.5.7. O conjunto GLn A := {M ∈ Matrn×n A | detM = 0}, onde A = Q ou A = R ou A = C,munido da multiplicacao usual de matrizes e um grupo chamado de grupo linear.

1.5.8. O conjunto On A := {M ∈ Matrn×n A | M e ortogonal}, onde A = Q ou A = R ou A = Cmunido da multiplicacao usual de matrizes e um grupo chamado de grupo ortogonal. (Uma matrizquadrada M se chama orthogonal se MM t = M tM = 1.)

1.5.9. Seja M = {v1, v2, . . . , vn} o conjunto de todos os vertices de um polıgono regular Pn no plano.Facamos

Dn :={σ ∈ ΣM | dist(vi, vj) = dist(σvi, σvj) para todos i, j

},

onde “dist” denota distancia entre dois pontos. Em outras palavras, Dn e conjunto de todas as simetriasde Pn. Obtemos o grupo diedral (Dn, ◦), onde ◦ e a composta usual de simetrias.

1.6. Definicao. Seja G um grupo e seja H ⊂ G. Dizemos que H e um subgrupo de G e escrevemosH 6 G se sao validas as seguintes propriedades:

SG1. 1 ∈ H.

SGM. h1, h2 ∈ H ⇒ h1 · h2 ∈ H.

SGI. h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H.

Assim, um subgrupo e um subconjunto fechado relativamente as operacoes do grupo: a escolha daunidade, a multiplicacao e a operacao de tomar inverso. Note que qualquer subgrupo e um grupo:a operacao e a induzida.

Todo grupo G contem subgrupos 1 6 G (trivial) e G 6 G. Um subgrupo diferente destes se chamasubgrupo proprio.

1.7. Criterio. Seja G um grupo e seja ∅ = H ⊂ G. Entao

H 6 G ⇔ SG. h1, h2 ∈ H ⇒ h1 · h−12 ∈ H.

1.8. Observacao. Seja G um grupo. A intersecao H =∩i∈I

Hi de qualquer famılia de subgrupos

Hi 6 G, i ∈ I, e um subgrupo. Em particular, ⟨S⟩ :=∩

S⊂H6G

H e o subgrupo mınimo que contem

um dado subconjuto S ⊂ G. O subgrupo ⟨S⟩ e dito o subgrupo gerado por S e S se chama conjuntode geradores de ⟨S⟩. Quando G = ⟨S⟩ dizemos que G e gerado por S ou que os elementos de S saogeradores de G. Qualquer grupo que admite apenas um gerador se chama grupo cıclico. A ordem deg ∈ G e simplesmente a ordem de ⟨g⟩.

1.9. Lema. Seja G um grupo e seja S ⊂ G. Entao

⟨S⟩ = {sε11 · sε22 · . . . · sεnn | n > 0, εi = ±1, si ∈ S},onde s+1 = s e, para n = 0, o produto apresentado e 1 (por definicao).

ALGEBRA MINIMAL PARA A GRADUACAO 3

Seja G um grupo e seja g ∈ G. Para 0 < n ∈ N, denotemos gn := g · . . . · g︸︷︷︸n vezes

, g−n := (g−1)n e g0 := 1.

Assim, gm e definido para todo m ∈ Z. Sao validas as relacoes gm · gn = gm+n e (gm)n = gmn paratodos m,n ∈ Z. Alem disso, ⟨g⟩ = {gn | n ∈ Z}.

1.20. Definicao. Seja h : G1 → G2 uma funcao entre grupos. Dizemos que h e um homomorfismo se

HG. h(g · g′) = hg · hg′ para todos g, g′ ∈ G1.

E facil provar que h1 = 1 e que hg−1 = (hg)−1.A imagem hG1 :=

{hg | g ∈ G1

}e o nucleo h−11 =

{g ∈ G1 | hg = 1

}de qualquer homomorfismo

sao subgrupos em G2 e G1, respectivamente. A composta de dois homomorfismos e um homomorfismo.A inclusao H ↪→ G de um subgrupo H 6 G e um homomorfismo. Note que as imagem e imagem inversade qualquer subgrupo por qualquer homomorfismo sao subgrupos.

1.21. Lema. Seja h : G1 → G2 um homomorfismo entre grupos. Entao h e injetivo se e so se onucleo de h e trivial, h−11 = 1.

1.22. Exemplos. 10. O grupo (Z,+) e cıclico: (Z,+) = ⟨1⟩ = ⟨−1⟩. A funcao Z → ⟨g⟩, m 7→ gm,e um homomorfismo sobrejetivo entre grupos cıclicos.

1.22.11. | | : C∗ → R>0, | | : z 7→ |z|, e um homomorfismo.

1.22.12. exp : (R,+) → (R>0, ·), exp : r 7→ er, e um homomorfismo.

1.22.13. exp 2πi− : (R,+) → (S1, ·), exp 2πi− : r 7→ e2πir, e um homomorfismo, onde S1 :={z ∈ C |

|z| = 1}.

1.22.14. As raızes n-esimas da unidade (relativamente a multiplicacao usual de numeros complexos)formam um grupo cıclico de ordem n.

1.22.15. Seja A = Q ou A = R ou A = C, entao det : GLn A → A∗, det : M 7→ detM , e umhomomorfismo.

1.22.16. Seja A = Z ou A = Z[i] ou A = Q ou A = R ou A = C, entao tr : (Matrm×n A,+) → (A,+),tr : M 7→ trM , e um homomorfismo.

1.23. Definicao. Seja G um grupo e seja M um conjunto. Dizemos que G age sobre M (a esquerda;de maneira semelhante podemos definir acao a direita) e escrevemos GyM (para a acao a direita,escrevemos M xG) se e definida uma operacao G×M → M , (g,m) 7→ g ·m, que satisfaz os seguintesaxiomas:

AG1. 1 ·m = m para todo m ∈ M .AGA. (g1 · g2) ·m = g1 · (g2 ·m) para todos g1, g2 ∈ G e m ∈ M .

Note que acao de G sobre M nao e nada mais do que um homomorfismo h : G → ΣM , pois, a partirde uma acao GyM , podemos definir (hg)m := g · m e, reciprocamente, qualquer homomorfismoh : G → ΣM define uma acao: g · m := (hg)m (no caso de acao a direita, deve-se considerar umantihomomorfismo h : G → ΣM , isto e, uma funcao que satisfaz a identidade h(g1 · g2) = hg2 · hg1 paratodos g1, g2 ∈ G).

Usando a associatividade AGA, podemos omitir os parentesis nas formulas do tipo (g1 · g2) · (g3 ·m).Alem disso, g ·m1 = m2 implica g−1 ·m2 = m1.

Toda acao GyM define uma relacao de equivalencia em M :

m1 ∼ m2 ⇔ ∃g ∈ G, m2 = g ·m1.

As classes desta equivalencia se chamam orbitas da acao. Toda orbita tem a forma Gm := {g ·m | g ∈ G}para qualquer seu representante m ∈ M . Denotemos por G\M o conjunto de todas as G-orbitas de M(para a acaoM xG, o conjunto de todas as orbitas e denotado porM/G). Temos uma funcao sobrejetivaπ : M → G\M , π : m 7→ [m], que leva todo elemento m ∈ M para a sua orbita [m] := Gm.


Quando existe exatamente uma orbita da acao, a acao e dita transitiva.Seja m ∈ M . O subconjunto StabG m := {g ∈ G | g · m = m} e um subgrupo de G chamado de

estabilizador de m em G.Dados um homomorfismo de grupos h : G1 → G2 e uma acao G2 yM , obtemos uma acao G1 yM

induzida pelo homomorfismo: g1 ·m := (hg1) ·m. Em particular, a acao GyM induz uma acao HyMpara cada subgrupo H 6 G.

1.24. Teorema. Seja GyM uma acao de um grupo sobre um conjunto. Entao, para m1,m2 ∈ Mde uma mesma orbita (digamos g ·m1 = m2), os estabilizadores StabG m1 e StabG m2 sao conjugados,isto e, g · StabG m1 · g−1 = StabG m2. Em particular, as ordens de StabG m1 e de StabG m2 sao iguais.

A cardinalidade de uma orbita Gm se calcula pela formula |Gm| = |G|/| StabG m|.Alem disso, |M | =

∑[m]∈G\M

|G|/|StabG m|, onde [m] percorre todas as orbitas [m] ∈ G\M .

1.25. Exemplos. 17. Todo grupo G age sobre si mesmo pela multiplicacao a esquerda: a acao GyGe definida pela regra g · m para g,m ∈ G. Essa acao e transitiva e StabG m = 1 para todo m ∈ G.Como esta acao define um homomorfismo h : G → ΣG, e facil provar o teorema de Cayley utilizando oLema 1.21: Todo grupo finito e um subgupo de um grupo simetrico.

1.25.18. Seja G um grupo e seja H 6 G um subgrupo de G. A acao do Exemplo 1.25.17 definea acao HyG cujas orbitas Hg sao ditas classes laterais (a direita) de H em G. Pelo Teorema 1.24,o numero das classes laterais, dito o ındice de H em G e denotado por |G : H|, e igual a |G|/|H|, poiso fato que StabG m = 1 para a acao GyG implica o fato que StabH m = 1 para a acao HyG. Estaafirmacao e o teorema de Lagrange: |G| = |G : H| · |H|. Em particular, vemos que ordem de subgrupodivide ordem de grupo.

1.25.19. Podemos identificar o grupo Σn−1 com o subgrupo de Σn formado por todas as permutacoesque preservam n. Mais detalhadamente, considerando a acao natural GyM , onde G := Σn e M :={1, . . . , n}, vemos que o subgrupo StabG n (o estabilizador de n) e, de fato, Σn−1. As classes lateraisa esquerda de Σn−1 em Σn tem a descricao seguinte: A classe “numero i” e formada por todas aspermutacoes que levam n para i.

1.25.20. E facil ver que a ordem de g ∈ G e o menor numero natural 0 < n ∈ N tal que gn = 1(ou ∞ se nao existem tais numeros naturais). Usando o algoritmo Euclidiano, podemos demonstrar quegm = 1 implica que |g| divide m. Pelo teorema de Lagrange, g|G| = 1. Em particular, todo grupo deordem prima e cıclico.

1.25.21. No conjunto Z/nZ de numeros inteiros modulo n, a mutiplicacao e bem definida pela regraa · b := ab. O conjunto G =

{a | 0 6 a < n, mdc(a, n) = 1

}de φn elementos e um grupo relativamente

a multiplicacao, pois e formado por todos os elementos de Z/nZ que possuem inversos multiplicativos.Pelo Exemplo 1.25.20, aφn ≡n 1 se mdc(a, n) = 1.

1.26. Definicao. Seja G um grupo e seja N 6 G um subgrupo de G. Dizemos que N e um subgruponormal deG seN e estavel relativamente as conjugacoes por todos os elementos deG, isto e, g·n·g−1 ∈ Npara todo n ∈ N e todo g ∈ G, ou seja, NG ⊂ N . Neste caso, usamos a notacao N ▹ G. Um subgrupoN 6 G e normal se e so se gN = Ng para todo g ∈ G. Definindo g1N · g2N := (g1 · g2)N , obtemosa estrutura de grupo em G/N . Assim, multiplicando as classes, usamos quaisquer seus representantes.O conjunto G/N munido desta operacao se chama grupo quociente de G por N . A funcao π : G → G/N ,π : g 7→ gN e um homomorfismo de grupos chamado canonico.

1.27. Teorema (de homomorfismo). Seja h : G1 → G2 um homomorfismo de grupos. Denotemospor N := h−11 o seu nucleo. Entao N ▹ G1 e existe um unico homomorfismo h0 : G1/N → G2 tal queh0 ◦ π = h. Este h0 e injetivo. Alem disso, o homomorfismo h estabelece uma correspondencia bijetoraentre os subgrupos de G1 que contem o nucleo N e os subgrupos da imagem hG1. Esta correspondencia


preserva a inclusao de subgrupos e leva os subgrupos normais de G1 (que contem N) exatamente paraos subgrupos normais de hG1.

Sejam G1 e G2 grupos. Um homomorfismo h : G1 → G2 se chama monomorfismo (epimorfismo,

isomorfismo) se a funcao h e injetora (sobrejetora, bijetora, respectivamente). E facil verificar que abijecao inversa a um isomorfismo tambem e um homomorfismo (e, portanto, um isomorfismo). Gru-pos isomorfos tem as mesmas propriedades algebricas. Todo monomorfismo e, de fato, um subgrupo.(Melhor dizer que todo monomorfismo e um isomorfismo com um subgrupo.) Assim, o Teorema 1.27pode ser lido da maneira seguinte: Todo homomorfismo entre grupos pode ser decomposto em um epi-morfismo e um monomorfismo. Todo epimorfismo e, de fato, o homomorfimo canonico do quociente dogrupo por um subgrupo normal (o nucleo do homomorfismo). O homomorfismo canonico produz umacorrespondencia . . .

Qualquer isomorfismo de um grupo G com si mesmo se chama automorfismo de G. Denotemospor AutG o conjunto de todos os automorfismos de G. Assim, AutG 6 ΣG. Para dois grupos G1

e G2, denotemos por Hom(G1, G2) o conjunto de todos os homomorfismos de G1 para G2. Qualquerhomomorfismo de um grupo G para si mesmo se chama endomorfismo de G. Denotemos por EndG oconjunto de todos os endomorfismos de G. Assim, EndG = Hom(G,G).

1.28. Observacao. Seja G um grupo. A intersecao N =∩i∈I

Ni de qualquer famılia Ni ▹ G, i ∈ I,

de subgrupos normais de G e um subgrupo normal. Em particular, (S) :=∩

S⊂N▹G

N e o subgrupo normal

mınimo que contem S ⊂ G. O subgrupo normal (S) e dito o subgrupo normal de G gerado por S.

1.29. Lema. Seja G um grupo e seja S ⊂ G. Entao

(S) = {sg11 · sg22 · . . . · sgnn | n > 0, gi ∈ G, si ∈ S ∪ S−1},onde sg := g · s · g−1, S−1 := {s−1 | s ∈ S} e, para n = 0, o produto apresentado e 1 (por definicao).

1.30. Exemplos. 22. Qualquer grupo G age sobre si mesmo por conjugacao: a acao e definida pelaregra g ⋆ m := g · m · g−1. Na verdade, esta acao define nao apenas um homomorfismo h : G → ΣG,mas um homomorfismo h : G → AutG, pois, neste caso, G age sobre si mesmo por automorfismos:g ⋆ (m1 ·m2) = (g ⋆m1) · (g ⋆m2), ou seja, (m1 ·m2)

g = mg1 ·m

g2. A imagem de h e o grupo IntG 6 AutG

dos automorfismos chamados internos. Pelo Teorema 1.27, temos IntG ≃ G/CG (o sımbolo ≃ se lecomo “e isomorfo a”), onde CG := {c ∈ G | c · g = g · c para todo g ∈ G} e o centro de G. Alem disso,IntG ▹AutG.

Agindo G sobre o conjunto G, o grupo G age sobre os subconjuntos de G. Em particular, G age pelaconjugacao sobre os subgrupos de G. Os subgrupos da mesma orbita sao ditos conjugados. Um subgrupoe normal se e so se sua orbita consiste em um so elemento.

1.30.23. O grupo Σn e gerado por todas as transposicoes. E possıvel provar que a paridade do numerode transposicoes envolvidas na decomposicao de toda permutacao independe da escolha da decomposicao.Assim, obtemos um homomorfismo “paridade” ou “sinal” (de uma permutacao) p : Σn → {1,−1} quee sobrejetivo para n > 1, cujo nucleo se chama o grupo alternado e e denotado por An.

1.30.24. Consideremos G = (R,+) e N = Z. Entao N ▹G (pois G e comutativo) e G/N ≃ S1, ondeS1 e a circunferencia unitaria de numeros complexos munida da multiplicacao usual. Este fato e umaconsequencia do Teorema 1.27 e do Exemplo 1.22.13.

1.30.25. Consideremos a circunferencia unitaria S1 como um subgrupo de C∗. Entao S1 ▹ C∗ (poisC∗ e comutativo) e C∗/S1 ≃ R>0. Este fato e uma consequencia do Teorema 1.27 e do Exemplo 1.22.11.Na verdade, C∗ ≃ R>0 × S1. (Este fato nao e nada mais do que a forma trigonometrica dos numeroscomplexos.)

1.30.26. Note que um subgrupo de um subgrupo e um subgrupo, mas um subgrupo normal de umsubgrupo normal nao e necessariamente um subgrupo normal. Sejam N =

{(12341234

),(12342143

),(12343412

),(12344321

)}


e N0 ={(

12341234

),(12342143

)}. E facil verificar1 que N ▹ Σ4, que N e N0 sao subgrupos e que N e abeliano.

Portanto, temos N0 ▹ N ▹ S4. Mas(12341324

)·(12342143

)·(12341324

)=

(12343412

)∈ N0. Consequentemente, N0 /▹ Σ4.

1.30.27. Seja G um grupo e sejaH 6 G um subgrupo. Sabemos queH age sobre G pela multiplicacaoa esquerda e que as H-orbitas dessa acao sao as classes laterais a direita de H em G, estas tem aforma Hg, g ∈ G. Alem disso, G age sobre si mesmo a direita pela multiplicacao a direita. Estasacoes comutam. Logo, G age a direita sobre o conjunto H\G := {Hg | g ∈ G} de todas as classeslaterais a direita de H em G

(pela regra (Hg) · g′ = H(gg′)

). Assim, obtemos um antihomomorfismo

h : G → Σ(H\G).

1.30.28. Todo subgrupo e toda imagem por um homomorfismo de um grupo cıclico e um grupocıclico.

1.30.29. Seja σ ∈ Σn. O subgrupo ⟨σ⟩ gerado por σ age sobre M := {1, 2, . . . , n}. Portanto,temos a decomposicao M = O1 ⊔ O2 ⊔ · · · ⊔ Or de M em ⟨σ⟩-orbitas. Toda ⟨σ⟩-orbita Oi tem a formaOi = {m,σm, σ2m, . . . , σki−1m}, onde m ∈ Oi e σkim = m. Assim, podemos decompor qualquerpermutacao σ em produto de ciclos σ = (i11i12 . . . i1k1) · (i21i22 . . . i2k2) · . . . · (ir1ir2 . . . irkr ), onde M ={i11, i12, . . . , i1k1}⊔ {i21, i22, . . . , i2k2}⊔ · · · ⊔ {ir1, ir2, . . . , irkr} e a decomposicao de M em ⟨σ⟩-orbitas e(a1a2 . . . ak) denota a permutacao (ciclo) que leva a1 para a2, a2 para a3, . . . , ak para a1 e faz nada comos outros elementos de M . Na decomposicao apresentada, podemos omitir os ciclos de comprimento 1(pois sao iguais a 1). Obviamente, a decomposicao obtida e unica a menos da ordem de ciclos (elescomutam entre si) e a menos da escolha do primeiro elemento em cada ciclo.

1.30.30. Seja N um grupo e suponhamos que um outro grupo G age sobre N por automorfismos.Isto significa que e dado um homomorfismo h : G → AutN . No conjunto H := N × G, definimos aestrutura de grupo pela regra

(n1, g1) · (n2, g2) =(n1 · (hg1)n2, g1 · g2

).

Definimos tambem homomorfismos j : N → H, j : n 7→ (n, 1), e π : H → G, π : (n, g) 7→ g. E facilver que N ′ =

{(n, 1) | n ∈ N

}e G′ =

{(1, g) | g ∈ G

}sao subgrupos de H isomorfos a N e a G,

respectivamente. Alem disso, N ▹ H (N e o nucleo de π) e, para n′ = (n, 1) ∈ N ′ e g′ = (1, g) ∈ G′,

temos n′g′= (hg)n. (Em outras palavras, dentro de H, a acao de G sobre N por automorfismos

tornou-se a acao por automorfismos internos de H realizados por elementos de G′ que e uma copiade G.)

Apliquemos esta construcao para o caso em que N e o grupo cıclico de ordem n, G e o grupo cıclicode ordem 2, G = ⟨g⟩, e a acao de G sobre N e dada pela formula (hg)n := n−1. Obtemos o grupodiedral Dn do Exemplo 1.5.9.

Se N▹G e H 6 G, entao o conjunto NH := {n ·s | n ∈ N, s ∈ S} e um subgrupo em G que contem N .Temos N ▹ NH 6 G e N ∩H ▹H.

1.31. Teorema (de isomorfismo). Seja G um grupo, seja N ▹ G e seja H 6 G. Entao NH/N ≃H/(N ∩H).

1.32. Teorema. Seja G um grupo e sejam N1, N2 ▹ G subgrupos normais tais que N1 ⊂ N2. Entao(G/N1)/(N2/N1) ≃ G/N2, onde N2/N1 ▹ G/N1 denota a imagem de N2 com relacao ao homomorfismocanonico π : G → G/N1.

Um grupo finito cuja ordem e potencia de um numero primo p se chama p-grupo.Seja G um grupo finito e seja p > 1 um numero primo tal que |G| = pkm, onde k > 0 e mdc(p,m) = 1.

Um subgrupo H 6 G e dito p-subgrupo (de Sylow) se |H| = pi para algum i (para i = k).

1Agindo sobre M = {1, 2, 3, 4}, o grupo Σ4 age sobre o conjunto P de todas as 2 + 2-particoes de M : isto e,P =

{{1, 2} ⊔ {3, 4}, {1, 3} ⊔ {2, 4}, {1, 4} ⊔ {2, 3}

}. Assim, obtemos um homomorfismo h : Σ4 → ΣP ≃ Σ3. Podemos

verificar que N e o nucleo de h (alem disso, h e um epimorfismo).


1.33. Teorema (de Sylow). Seja G um grupo finito e seja p um divisor primo de |G|, isto e,|G| = pkm, k > 0, mdc(p,m) = 1. Entao

• Para todo 0 6 j 6 k, existe um p-sugrupo H 6 G tal que |H| = pj .• Para quaisquer p-subgrupo de Sylow P 6 G e p-subgrupo H 6 G, existe g ∈ G tal que H ⊂ P g.Em particular, qualquer p-subgrupo esta contido em um p-subgrupo de Sylow e todos os p-subgruposde Sylow sao conjugados.• O numero de p-subgrupos de Sylow e igual a 1 modulo p.• O centro de qualquer p-grupo nao-trivial nao e trivial.

Demonstracao. Para 1 6 j 6 k, facamos Mj :={X ⊂ G | |X| = pj

}. O grupo G age sobre Mj pela

multiplicacao a esquerda, GyMj . SejaX ∈ Mj . Entao (StabG X)X = X. Isto significa queX e a uniaode alguma colecao de StabG X-classes laterais a direita. Portanto, | StabG X| divide |X|, implicando que| StabG X| = pi para algum 0 6 i 6 j. A orbita de X tem |G|/| StabG X| = pk−im = pj−il elementos,onde l := pk−jm. Suponhamos que, para todo X ∈ Mj , o i correspondente seja sempre menor do que j.

Isto implica que |Mj | e divisıvel por pl. Por outro lado, |Mj | = n!pj !(n−pj)! = l · (n−1)!

(pj−1)!(n−pj)! , mas p nao

divide (n−1)!(pj−1)!(n−pj)! (mostre isto!2). Uma contradicao. Consequentemente, | StabG X| = pj para algum

X ∈ Mj .Seja P 6 G um p-subgrupo de Sylow e seja H 6 G um p-subgrupo. O grupo H age pela multiplicacao

a esquerda sobre o conjunto G/P de todas as P -classes laterais a esquerda: h · gP = hgP . A orbitade gP para esta acao tem |H|/| StabH gP | elementos. Se nao existe uma orbita de um so elemento,entao |G/P | e divisıvel por p, o que e impossıvel. Portanto, HgP = gP para algum g ∈ G. Isto implicaHg ⊂ gP e, logo, H ⊂ P g.

Seja M o conjunto de todos os p-subgrupos de Sylow e seja P ∈ M . O grupo P age sobre Mpela conjugacao. Para qualquer Q ∈ M , a P -orbita de Q tem |P |/| StabP Q| elementos. E suficientedemonstrar que existe uma unica P -orbita de um so elemento. Para tal orbita {Q}, temos StabP Q = P ,

ou seja, Qp = Q para todo p ∈ P . Consideremos o conjunto F = {g ∈ G | Qg = Q}. E facil ver queQ ⊂ F 6 G. Alem disso, P 6 F . Em outras palavras, P e Q sao p-subgrupos de Sylow do grupo F .Pela afirmacao acima, eles sao conjugados em F , implicando P = Qf para algum f ∈ F . Pela definicaode F , Qf = Q. Portanto, P = Q.

Seja G um p-grupo. Ele age sobre si mesmo pela conjugacao. A classe [g] de conjugacao de g ∈ G

tem |G|/| StabG g| elementos, onde StabG g = {x ∈ G | gx = g} e o centralizador de g. E claro queStabG g = G se e so se g ∈ CG. Se o centro CG e trivial, entao existe somente uma classe de um soelemento. Para qualquer outra classe K, p divide |K|. Isto contradiz o fato de que p divide |G| �

1.34. Observacao. Seja G um grupo finitamente gerado, G = ⟨g1, . . . , gn⟩, e seja h : G → H umhomomorfismo de grupos. Entao a imagem hG 6 H e finitamente gerada, hG = ⟨hg1, . . . , hgn⟩.

2. Grupos abelianos

Um grupo A cuja multiplicacao e comutativa (a1a2 = a2a1 para todos a1, a2 ∈ A) e dito abeliano.Nessa secao, lidamos somente com os grupos abelianos e, principalmente, com finitamente gerados.

Normalmente usaremos a notacao aditiva. Assim, o elemento neutro e 0, o inverso (oposto paraa notacao aditiva) de a e −a. Em vez de potencias inteiras, utilizamos multiplos: na para n ∈ Z ea ∈ A. Nessa notacao, 0a = 0, (m ± n)a = ma ± na, (nm)a = n(ma) para todos m,n ∈ Z e a ∈ A(a formula a− b := a+ (−b) introduz a subtracao). Pela comutatividade, para todo n ∈ Z, n : A → A,n : a 7→ na, e um endomorfismo de A. Assim, e valida a distributividade n(a1 ± a2) = na1 ± na2

2Denotando por Opa o expoente do primo p em a, observe que Op(a!) = [a/p] + Op([a/p]!

). Agora, de

[[a/ps]/p

]=

[a/ps+1], segue que Op(a!) = [a/p] + [a/p2] + [a/p3] + . . . Resta verificar que[(n− 1)/ps

]=

[(pj − 1)/ps

]+

[(n− pj)/ps

]para todo s > 0 se pj divide n e j > 0. Para isto, considere os casos s < j e s > j.


para todos n ∈ Z e a1, a2 ∈ A. Se o grupo A e gerado por g1, . . . gn ∈ A, em vez de A = ⟨g1, . . . , gn⟩,escrevemos A = Zg1 + · · ·+ Zgn.

2.1. Observacao. Podemos caracterizar a soma direta (= produto cartesiano) de dois grupos emtermos internos: A = A1 ⊕ A2 significa que temos dois subgrupos A1, A2 6 A tais que A1 + A2 = A eA1 ∩A2 = 0. Nessa situacao, todo elemento a ∈ A admite uma unica forma a = a1 + a2 com a1 ∈ A1 ea2 ∈ A2.

2.2. Definicao. Seja L um grupo e sejam b1, . . . , bn ∈ L. O grupo L e dito livre finitamente geradocom a base b1, . . . , bn se, para todo l ∈ L, existem unicos c1, . . . , cn ∈ Z tais que l = c1b1+· · ·+cnbn. Nestecaso, claramente, L ≃ Z⊕ · · · ⊕ Z︸︷︷︸

n vezes

e a soma direta, onde o isomorfismo e dado pela regra l 7→ (c1, . . . , cn).

Tambem podemos escrever L = Zb1 ⊕ · · · ⊕ Zbn.

2.3. Observacao. Suponhamos que Z⊕ · · · ⊕ Z︸︷︷︸m vezes

≃ Z⊕ · · · ⊕ Z︸︷︷︸n vezes

. Entao m = n. O fato vale, pois,

para L := Z⊕ · · · ⊕ Z︸︷︷︸m vezes

, o grupo L/2L tem 2m elementos. Portanto o numero de elementos da base,

chamado posto do grupo livre, e uma caracterıstica do grupo independente da escolha da base.

2.4. Definicao. Seja A um grupo. Entao TA := {a ∈ A | ∃n ∈ Z, n = 0, na = 0} 6 A e o subgrupo

de torsao. No caso em que TA = 0, dizemos que A e um grupo sem torsao. E facil verificar que A/TAe um grupo sem torsao.

2.5. Lema. Seja h : A → L um epimorfismo do grupo A para um grupo livre finitamente gerado L.Entao existe um subgrupo L′ 6 A tal que A = h−10⊕ L′ e h estabelece um isomorfismo entre L′ e L.

Demonstracao. Seja b1, . . . , bn ∈ L uma base de L. Para alguns a1, . . . , an ∈ A, temos hai = bi.Facamos L′ = Za1 + · · · + Zan. Se, para alguns c1, . . . , cn ∈ Z, temos c1a1 + · · · + cnan ∈ h−10, entaoc1b1 + · · ·+ cnbn = 0 implicando c1 = · · · = cn = 0. Isto significa que L′ e livre com a base a1, . . . , an eque h−10 ∩ L′ = 0.

Seja a ∈ A. Entao ha = c1b1 + · · · + cnbn para alguns c1, . . . , cn ∈ Z. Daı, h(a −

∑i ciai

)= 0.

Em outras palavras, a ∈ h−10 + L′. Assim, obtemos h−10 + L′ = A �

2.6. Lema. Qualquer subgrupo de um grupo livre finitamente gerado e um grupo livre finitamentegerado.

Demonstracao. Seja H 6 Zb1 ⊕ · · · ⊕ Zbn = L. Usamos inducao sobre n. Consideremos ohomomorfismo de projecao π : L → Zbn. Entao π−10 = Zb1 ⊕ · · · ⊕ Zbn−1 = L′ e livre de posto n− 1.Temos o epimorfismo induzido π|H : H → πH 6 Zbn. Qualquer subgrupo de Z ≃ Zbn e livre (de posto1 ou de posto 0). Pelo Lema 2.5, H ≃ (π|H)−10 ⊕ πH. Resta observar que, pela hipotese de inducao,(π|H)−10 = L′ ∩H 6 L′ e livre finitamente gerado �

2.7. Proposicao. Seja A um grupo finitamente gerado. Entao A = TA ⊕ L, onde L e um grupolivre finitamente gerado e TA e finito.

Demonstracao. Se conseguimos provar que A/TA e um grupo livre (pela Observacao 1.34, ele e fini-tamente gerado), entao, pelo Lema 2.5, obtemos a decomposicao desejada. Agora, pela Observacao 1.34,sendo a imagem de A finitamente gerada, TA e finitamente gerado. Isto implica que TA e finito, poisos geradores de TA sao periodicos. Sabemos que A/TA e um grupo finitamente gerado sem torsao.Portanto, podemos supor que A e sem torsao e precisamos apenas provar que A e livre.

Entre os geradores g1, . . . , gn ∈ A, escolhemos um subconjunto maximal, por exemplo, g1, . . . , gm,

com a propriedade de ser Z-linearmente independentes, isto e,m∑i=1

cigi ⇒ ci = 0 para todo i, onde


c1, . . . , cm ∈ Z. Obviamente, L = Zg1⊕· · ·⊕Zgm e um grupo livre com a base g1, . . . , gm. Para todom <j 6 n, os geradores g1, . . . , gm, gj sao Z-linearmente dependentes. Portanto, c1g1+· · ·+cmgm+kjgj = 0,

onde nem todos os c1, . . . , cm, kj ∈ Z sao nulos. E claro que kj = 0 (caso contrario, encontramosuma dependencia Z-linear entre g1, . . . , gm). Facamos k := km+1km+2 . . . kn = 0. De kjgj ∈ L e deg1, . . . , gm ∈ L, segue que kgi ∈ L para todo gerador gi de A. Daı concluımos que kA ⊂ L. Para ogrupo sem torsao, a multiplicacao por k, um inteiro nao-nulo, k : a 7→ ka, e um monomorfismo. Logo,A ≃ kA e, pelo Lema 2.6, concluımos que A e um grupo livre finitamente gerado assim obtendo adecomposicao desejada �

Agora e claro que, para entender a estrutura de grupos abelianos finitamente gerados, precisamosapenas estudar os grupos finitos. Para isto, vamos precisar do seguinte

2.8. Lema. Sejam m1, . . . ,mk ∈ Z tais que mdc(m1, . . . ,mk) = d. Entao existem t1, . . . , tk ∈ Z taisque t1m1 + · · ·+ tkmk = d.

Demonstracao. O fato que a divide b pode ser escrito como Za ⊃ Zb. Portanto, o fato que d e umdivisor comum dos mi’s e equivalente a Zd ⊃ Zmi para todo i. Daı, Zd ⊃ Zm1 + · · ·+ Zmk. Sabemosque o subgrupo Zm1 + · · ·+ Zmk 6 Z e gerado por um elemento: Zm1 + · · ·+ Zmk = Zg, g ∈ Z. Istoimplica que s1m1 + · · · + skmk = g para alguns s1, . . . , sk ∈ Z. O fato que Zg ⊃ Zmi significa que gdivide mi. Supondo que d e o maior divisor comum, concluımos que g divide d, isto e, Zg ⊃ Zd. Logo,Zg = Zd, ou seja, d = ±g �

2.9. Definicao. Se p e um numero primo e A e um grupo, Tp A := {a ∈ A | ∃n ∈ N, pna = 0} 6 A.Caso Tp A = A, chamamos A de p-grupo.

2.10. Proposicao. Seja A um grupo finito. Entao A = Tp1A ⊕ · · · ⊕ Tpk

A para alguns numerosprimos p1, . . . , pk distintos dois a dois.

Demonstracao. Seja |A| =: n = pr11 . . . prkk , onde N ∋ p1, . . . pk sao numeros primos distintos dois adois. Facamos mi := n/prii . Obviamente, mdc(m1, . . . ,mk) = 1. Pelo Lema 2.8, otemos t1, . . . , tk ∈ Ztais que t1m1+· · ·+tkmk = 1. Seja a ∈ A. Entao a = 1a = (t1m1+· · ·+tkmk)a = t1m1a+· · ·+tkmka =a1 + · · · + ak, onde ai := timia ∈ Tpi A, pois prii ai = prii timia = tina = 0 (pelo teorema de Lagrange,sabemos que |A|a = 0 para todo a ∈ A). Portanto, A = Tp1 A+ · · ·+Tpk

A.Sejam ai ∈ Tpi A tais que a1 + · · · + ak = 0. Precisamos provar que ai = 0. Fixamos um ındice i.

Para todo j = i, pj divide mi. Para um m ∈ N suficientemente grande e para todo j = i, mmi aj = 0,

pois aj ∈ Tpj A. Multiplicando a igualdade a1 + · · ·+ ak = 0 por mmi , concluımos que mm

i ai = 0. Maso perıodo (= ordem para a notacao aditiva) de ai e uma potencia de pi e pi e coprimo com mi. Istoimplica que ai = 0. Portanto, A = Tp1 A⊕ · · · ⊕ Tpk

A �

2.11. Proposicao. Seja A um p-grupo finito. Entao A = C1 ⊕ · · · ⊕Cs, onde Cj e um grupo cıclicode ordem pkj e 1 6 k1 6 · · · 6 ks. Os numeros k1, . . . , ks independem da escolha de uma decomposicaode A na soma direta do tipo indicado.

Demonstracao. Usamos a inducao sobre |A|. Seja a ∈ A o elemento de maior ordem, |a| = pk.Aplicando a hipotese de inducao para o grupo A = A/Za, para alguns b1, . . . bs−1 ∈ A, obtemos umadecomposicao A = Zb1 ⊕ · · · ⊕ Zbs−1, onde |bj | = pkj (no grupo A) e 1 6 k1 6 · · · 6 ks−1.

2.12. Lema. Para todo b ∈ A, existe um b′ ∈ A tal que |b′| = |b| e b′= b.

Demonstracao. Sejam |b| = pu e |b| = pv (e claro que u > v). Logo, pvb ∈ Za. Portanto, pvb = mapara algum m ∈ Z e m = ptn, onde mdc(p, n) = 1. Se t > v, entao pv(b−pt−vna) = 0 e b′ := b−pt−vnae o desejado. Se t < v, entao 0 = pub = pu−vpvb = pu−vptna = pu+t−vna. Sendo mdc(p, n) = 1,os elementos a e na tem o mesmo perıodo, pk. Logo, u+ t− v > k implicando u > k, pois t < v. Umacontradicao com a escolha de a �


Continuacao da demonstracao da Proposicao 2.11. Pelo Lema 2.12, podemos supor que|bj | = |bj | para todo j < s. Facamos bs := a e ks := k. Claramente, 1 6 k1 6 · · · 6 ks−1 6 ks.

Vamos mostrar que A = Zb1 ⊕ · · · ⊕ Zbs−1 ⊕ Zbs. Seja x ∈ A. Entao x = c1b1 + · · · + cs−1bs−1

para alguns c1, . . . , cs−1 ∈ Z. Em outras palavras, x ∈ c1b1 + · · · + cs−1bs−1 + Zbs implicando A =Zb1 + · · · + Zbs−1 + Zbs. Se c1b1 + · · · + cs−1bs−1 + csbs = 0, entao c1b1 + · · · + cs−1bs−1 = 0. Daıconcluımos que cjbj = 0 para todo j < s. De |bj | = |bj | segue que cjbj = 0 para todo j < s. Logo,csbs = 0 tambem.

Para provar a unicidade dos k1, . . . , ks, usamos a inducao sobre |A|. Suponhamos que C1⊕· · ·⊕Cs ≃C ′

1 ⊕ · · · ⊕ C ′s′ , onde os Ci’s e C ′

j ’s sao grupos cıclicos, |Ci| = pki , |C ′j | = pk

′j , 1 6 k1 6 · · · 6 ks e

1 6 k′1 6 · · · 6 k′s′ . Entao p(C1 ⊕ · · · ⊕ Cs) ≃ p(C ′1 ⊕ · · · ⊕ C ′

s′). Observando que p(C1 ⊕ · · · ⊕ Cs) =(pC1) ⊕ · · · ⊕ (pCs) e que pCi e um grupo cıclico de ordem pki−1, o resultado segue pela hipotese deinducao �

2.13. Teorema. Todo grupo finitamente gerado e a soma direta de grupos cıclicos que sao infinitosou p-grupos (em geral, com varios p’s). Nessa decomposicao, o numero de grupos cıclicos de ordemdada independe da escolha da decomposicao na soma direta.

Demonstracao. A primeira afirmacao segue pelas Proposicoes 2.7, 2.10 e 2.11.Para a segunda, observamos que um isomorfismo A ≃ A′ induz isomorfismos TA ≃ TA′ e A/TA ≃

A′/TA′. O numero de grupos cıclicos infinitos na decomposicao e igual ao posto do grupo livre A/TA ≃A′/TA′ que e bem definido pela Observacao 2.1. O isomorfismo TA ≃ TA′ induz isomorfismosTp A ≃ Tp A

′ para todo numero primo p. Resta aplicar a Proposicao 2.11 �

2.14. Criterio. Seja L um grupo e sejam b1, . . . , bn ∈ L. Entao L e um grupo livre com baseb1, . . . , bn se e so se, para todo grupo A e para qualquer funcao f : {b1, . . . , bn} → A, existe um unicohomomorfismo h : L → A tal que hbi = fbi para todo i.

2.15. Observacao. Sejam A1 e A2 grupos. Entao Hom(A1, A2) munido da operacao definidapela regra (h1 + h2) : a1 7→ h1a1 + h2a1, a1 ∈ A1, e um grupo. Sejam A1, A2, A3 grupos. Entaoa composicao ◦ : Hom(A2, A3) × Hom(A1, A2) → Hom(A1, A3) e aditiva em todo argumento, isto e,(h2 + h′

2) ◦ h1 = h2 ◦ h1 + h′2 ◦ h1 e h2 ◦ (h1 + h′

1) = h2 ◦ h1 + h2 ◦ h′1 para todos h1, h

′1 ∈ Hom(A1, A2) e

h2, h′2 ∈ Hom(A2, A3).

2.16. Observacao. Podemos caracterizar a soma direta A := A1⊕· · ·⊕Am atraves de homomorfis-mos. Temos homomorfismos de projecoes πi : A → Ai, πi : a1+· · ·+ai+· · ·+am 7→ ai, e homomorfosmosde injecoes ji : Ai → A. Eles satisfazem as seguintes identidades: πi ◦ ji = 1Ai , πk ◦ ji = 0 para k = i,j1 ◦ π1 + · · ·+ jm ◦ πm = 1A.

2.17. Observacao. Sejam A := A1 ⊕ · · · ⊕ Am e A′ := A′1 ⊕ · · · ⊕ A′

m′ . Denotamos por πi eji projecoes e injecoes para A e por π′

k e j′k projecoes e injecoes para A′. Entao podemos descreverHom(A,A′) na forma matricial

Hom(A,A′) ≃

Hom(A1, A′1) . . . Hom(Am, A′

1)...

. . ....

Hom(A1, A′m′) . . . Hom(Am, A′

m′)

,

onde a (i, k)-componente da “matriz” que corresponde ao homomorfismo h ∈ Hom(A,A′) e igual aπ′i ◦ h ◦ jk. Nessa identificacao a soma das matrizes corresponde a soma de homomorfismos. Seja A′′ :=

A′′1 ⊕ · · · ⊕ A′′

m′′ . Identificando como acima os homomorfismos de Hom(A′, A′′) com m′′ ×m′-matrizes,podemos ver que, na forma matricial, a composicao ◦ : Hom(A′, A′′) × Hom(A,A′) → Hom(A,A′) e amultiplicacao “usual” de “matrizes”.


3. Aneis e modulos

3.1. Definicao. Seja (A,+) um grupo abeliano munido de uma operacao binaria · : A × A → A,· : (a1, a2) 7→ a1 · a2, chamada multiplicacao. Entao (A,+, ·) se chama anel (associativo) se sao validosos axiomas seguintes:

AA. (a1 · a2) · a3 = a1 · (a2 · a3) para todos a1, a2, a3 ∈ A.AD. (a1 + a2) · a3 = (a1 · a3) + (a2 · a3) e a1 · (a2 + a3) = (a1 · a2) + (a1 · a3) para todos a1, a2, a3 ∈ A.

Um anel A e com unidade se existe e ∈ A um elemento neutro respectivamente a multiplicacao.

A1. Existe e ∈ A tal que e · a = a · e = a para todo a ∈ A.

Usualmente denotamos a unidade por 1. Um anel A se chama comutativo se

AC. a1 · a2 = a2 · a1 para todos a1, a2 ∈ A.

Nossos aneis serao associativos e com uninade, mas nao necessariamente comutativos.

3.2. Exemplos. 1. Seja (M,+) um grupo abeliano. Entao, pela Observacao 2.15,(End(M,+),+, ◦

)e um anel (normalmente nao-comutativo).

3.2.2. (Z,+, ·) e um anel com unidade, entretanto (2Z,+, ·) e um “anel sem unidade”.

3.2.3. (Z/nZ,+, ·) e um anel finito (o anel de numeros inteiros modulo n).

3.2.4.(Z[i],+, ·

)e um anel (o anel de numeros inteiros de Gauss).

3.2.5. Seja A um anel. Entao o conjunto Matrn×n A de n×n-matrizes com coeficientes em A munidodas operacoes “usuais” e um anel (normalmente nao-comutativo).

3.2.6. Seja C um conjunto e seja A um anel. Entao Func(C,A) = {f : C → A} e um anel.As operacoes sao definidas pelas regras seguintes: (f1 + f2)c := f1c+ f2c, (f1 · f2)c := f1c · f2c.

3.3. Exercıcio. Prove que em qualquer anel 0 · a = a · 0 = 0 e (−a1) · a2 = −(a1 · a2) = a1 · (−a2).

3.4. Definicao. Seja A um anel. Um subgrupo aditivo S 6 A e dito subanel se

SA1. 1 ∈ S.SAM. s1, s2 ∈ S ⇒ s1 · s2 ∈ S.

Obviamente, qualquer subanel sendo munido das operacoes induzidas e um anel.

3.5. Definicao. Sejam A1 e A2 aneis. Um homomorfismo h : (A1,+) → (A2,+) de grupos abelianose dito homomorfismo de aneis se

HA1. h1 = 1.HAM. h(a1 · a′1) = (ha1) · (ha′1) para todos a1, a

′1 ∈ A1.

A inclusao de um subanel em seu anel e um homomorfismo de aneis. Claramente, a composicao dedois homomorfismos de aneis (se e definida) e um homomorfismo de aneis. Note que a imagem e aimagem inversa de qualquer subanel por qualquer homomorfismo sao subaneis.

3.6. Definicao. Seja (M,+) um grupo abeliano e seja A um anel. Seja dada uma operacao binaria(tambem chamada multiplicacao) · : A × M → M , · : (a,m) 7→ a · m, tal que sao validos os axiomasseguintes:

M1. 1 ·m = m para todo m ∈ M .MA. (a1 · a2) ·m = a1 · (a2 ·m) para todos a1, a2 ∈ A e m ∈ M .MDA. (a1 + a2) ·m = (a1 ·m) + (a2 ·m) para todos a1, a2 ∈ A e m ∈ M .MDM. a · (m1 +m2) = (a ·m1) + (a ·m2) para todos a ∈ A e m1,m2 ∈ M .

Entao dizemos que M e um A-modulo (a esquerda) e escrevemos AM . (De modo semelhante podemosdefinir A-modulo a direita, escrevendo MA.)


Note que o conceito de A-modulo pode ser visto em termos de homomorfismo de aneis h : A →End(M,+), onde (ha)m := a · m, e vice versa: qualquer homomorfismo de aneis h : A → End(M,+)define sobre M uma estrutura de A-modulo pela regra a ·m := (ha)m.

3.7. Exemplos. 7. Todo grupo abeliano pode ser considerado como um Z-modulo.

3.7.8. Seja A um anel. Denotando M := (A,+), a multiplicacao em A define uma acao de A sobreM , tornando M um A-modulo. Essa acao induz um homomorfismo de aneis h : A → End(A,+),(ha1)a2 := a1 · a2. De fato, h identifica A com um subanel em End(A,+), pois o nucleo de h e nulo:ha = 0 ⇒ (ha)1 = 0 ⇒ a · 1 = 0 ⇒ a = 0.

3.7.9. Seja AM um A-modulo. Entao todos os endomorfismos do A-modulo AM formam um anelEndA M .

3.8. Definicao. Seja AM um A-modulo. Um subgrupo S 6A M e dito submodulo, se

SM. a ∈ A e s ∈ S ⇒ a · s ∈ S.

Qualquer submodulo, sendo munido da operacao induzida, e um A-modulo. Escrevemos AS 6A M .

3.9. Definicao. Seja A um anel e sejam AM1 e AM2 A-modulos. Um homomorfismo h : M1 → M2

de grupos abelianos e dito homomorfismo de A-modulos, se

HM. h(a ·m1) = a · (hm1) para todos a ∈ A e m1 ∈A M1.

A inclusao de um submodulo no seu modulo e um homomorfismo de modulos. A composicao dedois homomorfismos de A-modulos (se e definida) e um homomorfismo de A-modulos. A imagem ea imagem inversa de qualquer submodulo por qualquer homomorfismo de A-modulos sao submodulos.Em particular, o nucleo de um homomorfismo e um submodulo.

3.10. Definicao. Seja A um anel e seja I 6 (A,+) um subgrupo aditivo. Dizemos que I e um ideal(bilateral) em A, denotando I ▹ A, se

IE. a ∈ A e i ∈ I ⇒ a · i ∈ I (ideal a esquerda, denotado I ▹l A).ID. i ∈ I e a ∈ A ⇒ i · a ∈ I (ideal a direita, denotado I ▹r A).

Seja h : A1 → A2 um homomorfismo de aneis. Entao h−10 ▹ A1.

Considerando A como A-modulo (vide o Exemplo 3.7.8), podemos ver que os submodulos de AA saoexatamente os ideais a esquerda de A.

3.11. Exercıcio. Quando um ideal e um subanel?

Note que a interseccao de qualquer famılia de subaneis (ideais bilaterais, ideais a esquerda, ideais adireita, submodulos) e um subanel (ideal bilateral, ideal a esquerda, ideal a direita, submodulo). Istopermite introduzir o conceito de geradores e provar as afirmacoes analogas aos Lemas 1.9 e 1.29 parasubaneis, ideais bilaterais, ideais a esquerda, ideais a direita, submodulos. Por exemplo, seja AM umA-modulo e sejam g1, . . . , gn ∈ M . Entao Ag1 + · · · + Agn := {a1g1 + · · · + angn | a1, . . . , an ∈ A} e osubmodulo gerado por g1, . . . , gn.

Seja I ▹ A um ideal em um anel. No grupo quociente A/I, a regra (a1 + I) · (a2 + I) := (a1 · a2) + Icorretamente define uma multiplicacao. Assim, A/I e um anel chamado anel quociente de A por I e afuncao π : A → A/I, π : a 7→ a+ I, e um homomorfismo de aneis, chamado canonico. Obviamente, I eo nucleo de π.

Seja AM um A-modulo e seja AS 6A M um submodulo. No grupo quociente M/S, a regraa · (m + S) := (a · m) + S corretamente define uma estrutura de A-modulo. Assim, M/S e um A-modulo chamado modulo quociente de M por S e a funcao π : M → M/S, π : m 7→ m + S, e umhomomorfismo de A-modulos, chamado canonico. Alem disso, AS e o nucleo de π.


3.12. Teoremas de homomorfismo. 1. Seja h : A1 → A2 um homomorfismo de aneis. Denotamospor I = h−10 o seu nucleo. Entao I ▹ A1 e existe um unico homomorfismo h′ : A1/I → A2 tal queh′ ◦ π = h. Este h′ e injetivo. Alem disso, o homomorfismo h estabelece uma correspondencia bijetoraentre os subaneis (ideais, ideais a esquerda, ideais a direita) de A1 que contem o nucleo I e os subaneis(ideais, ideais a esquerda, ideais a direita) da imagem hA1. A correspondencia preserva inclusao.

3.12.2. Seja A um anel e seja h : AM1 → AM2 um homomorfismo de A-modulos. Denotamospor S = h−10 o seu nucleo. Entao AS e um submodulo em AM1 e existe um unico homomorfismoh′ : M1/S → M2 tal que h′ ◦π = h. Este h′ e monomorfismo. Alem disso, o homomorfismo h estabeleceuma correspondencia bijetora entre os submodulos de AM1 que contem o nucleo AS e os submodulosda imagem hM1. A correspondencia preserva inclusao.

3.12.3. Seja A um anel, seja I ▹ A e seja S 6 A um subanel. Entao I + S e um subanel em A,I ▹ I + S, I ∩ S ▹ S e (I + S)/I ≃ S/(I ∩ S).

3.12.4. Seja AM um A-modulo e sejam AS,A N 6 AM submodulos. Entao (S+N)/S ≃ N/(S ∩N).

3.12.5. Seja A um anel e sejam I1, I2 ▹ A tais que I1 ⊂ I2. Entao (A/I1)/(I2/I1) ≃ A/I2, onde(I2/I1) ▹ (A/I1) denota a imagem de I2 com relacao ao homomorfismo canonico π : A → A/I1.

3.12.6. Seja AM um A-modulo e sejam AS1 6 AS2 6 AM submodulos. Entao, denotando por(S2/S1) 6 (M/S1) a imagem de S2 com relacao ao homomorfismo canonico π : M → M/S1, temos(M/S1)/(S2/S1) ≃ M/S2.

4. Aneis comutativos, domınios, corpos

Nessa secao, lidamos somente com aneis comutativos.E facil provar que, neste caso, vale o binomio de Newton:

(a+ b)n =

n∑i=0

n!

i! · (n− i)!aibn−i,

onde, por definicao, ak := a · . . . · a︸︷︷︸k vezes

para k > 0 e a0 := 1.

4.1. Definicao. Um anel D se chama domınio se

D1. 1 = 0 em D.D0. d1 · d2 = 0 ⇒ d1 = 0 ou d2 = 0 para todos d1, d2 ∈ D.

Um anel K se chama corpo se 1 = 0 em K e todo elemento 0 = k ∈ K possui um inverso multiplicativo,isto e, um k′ ∈ K tal que k · k′ = 1. Tal inverso e unico e e denotado por k−1. E facil ver que qualquercorpo e um domınio.

4.2. Exemplos. 1. O anel Z/4Z nao e um domınio, pois possui divisores de zero: 2 · 2 = 0, mas2 = 0.

4.2.2. Q, R, C, Q[i], Q[√2] sao corpos.

4.2.3. Seja D um domınio. Entao D[x], o anel de polinomios numa variavel x com coeficientes em D,tambem e um domınio. Qualquer d ∈ D define um homomorfismo “de substituicao” de d no lugar davariavel, isto e, |x=d : D[x] → D, f 7→ f(d).

4.3. Lema. Seja K um anel com 1 = 0. Entao K e um corpo se e so se K nao possui ideais proprios.

Demonstracao. Seja K um corpo e seja 0 = I ▹ K. Entao existe 0 = i ∈ I. Sendo K um corpo,existe i−1 ∈ K tal que i−1 · i = 1. Para todo k ∈ K, temos k = (k · i−1) · i ∈ I. Portanto, I = K.

Seja K um anel sem ideais proprios. Se 0 = k ∈ K, entao 0 = k ∈ Kk ▹ K. Portanto, Kk = K ∋ 1 ek′ · k = 1 para algum k′ ∈ K.

4.4. Exercıcio. Prove que qualquer domınio finito e um corpo.


4.5. Definicao-Lema. Seja A um anel e seja I ▹ A.Dizemos que I e um ideal primo de A (notacao I ▹p A) se e satisfeita uma das seguintes equivalentes

condicoes:

• A/I e um domınio.• I = A e a1 · a2 ∈ I ⇒ a1 ∈ I ou a2 ∈ I.Dizemos que I e um ideal maximal de A (notacao I ▹mA) se e valida uma das seguintes equivalentes

propriedades:

• A/I e um corpo.• I = A e nao existe ideais de A entre I e A, isto e, J ▹ A com I ⊂ J ⊂ A implica I = J ou J = A.

4.6. Exemplos. 4. Seja p ∈ Z um numero primo. Entao Zp ▹m Z pois a inclusao Za ⊃ Zb significaque a divide b. Portanto, Z/pZ e um corpo finito. O denotamos por Fp.

4.6.5. Seja D um domınio. No conjunto de “fracoes formais” F ={(a, d) | a ∈ D, 0 = d ∈ D

},

definimos uma relacao de equivalencia (a, d) ∼ (a′, d′) ⇔ a · d′ = a′ · d. No conjunto das classes deequivalencia, as quais denotamos por [a/d], definimos operacoes pelas regras seguintes: [a/d]+ [a′/d′] :=[(a · d′ + a′ · d)/d · d′

]e [a/d] · [a′/d′] := [a · a′/d · d′]. Entao obtemos um corpo K := F/ ∼ e um

homomorfismo injetor entre aneis D → K, h : a 7→ [a/1]. Vamos pensar que este e uma inclusaoD 6 K. O corpo construıdo KD := K se chama o corpo de fracoes de D. Ele satisfaz a seguintepropriedade:

• para qualquer corpo C que contem D, D 6 C, existe um unico homomorfismo h : K → C tal quehd = d para todo d ∈ D.

Assim, num certo sentido, K e unico.

4.6.6. Voltando ao Exemplo 3.2.6, podemos provar que Ir :={f : [0, 1] → R | fr = 0

}▹m

Func([0, 1],R

)para todo r ∈ [0, 1]. Realmente, a funcao |r : Func

([0, 1],R

)→ R, |r : f 7→ fr, e

um homomorfismo entre aneis e Ir e o nucleo de |r.

4.7. Definicao. Seja K um corpo e seja V um K-modulo. Entao V e dito K-espaco linear. Se V efinitamente gerado, V = Kg1+ · · ·+Kgn, entao, escolhendo entre os g1, . . . , gn um subconjunto minimalde geradores, podemos ver que g1, . . . , gn saoK-linearmente independentes, isto e, k1 ·g1+· · ·+kn ·gn = 0para k1, . . . , kn ∈ K implica k1 = · · · = kn = 0. Com efeito, se, por exemplo, kn = 0, entao gn =−k−1

n ·(k1 ·g1+· · ·+kn−1 ·gn−1) e, portanto, gn ∈ Kg1+· · ·+Kgn−1. Isto implica V = Kg1+· · ·+Kgn−1.Uma contradicao.

Mais ainda, todo elemento de V tem uma unica forma v = k1 · g1 + · · ·+ kn · gn com k1, . . . , kn ∈ K.Em outras palavras, g1, . . . , gn formam uma base linear de V .

4.8. Definicao. Seja D um domınio D munido de uma funcao φ : D \ 0 → N que satisfaz aspropriedades seguintes:

• Para todos a, b ∈ D com b = 0, existem q, r ∈ D tais que a = qb+r, onde r = 0 ou r = 0 e φr < φb.• Para todos 0 = a, b ∈ D, temos φa 6 φ(ab).

Neste caso, dizemos que (D,φ) e um domınio euclidiano. Em palavras: um domınio euclidiano e umdomınio que tem “divisao com resto”.

4.9. Exemplos. 7. Os numeros inteiros(Z, | · |

)munidos da funcao valor absoluto e um domınio

euclidiano.

4.9.8. Seja K um corpo. Entao o anel dos polinomios K[x] munido da funcao “grau” e um domınioeuclidiano.

4.9.9. Os numeros inteiros de Gauss Z[i] = {m+ni | m,n ∈ Z} 6 C munidos da funcao N : x 7→ |x|2e um domınio euclidiano. (Para todo c ∈ C, existe um q ∈ Z[i] tal que |c− q|2 6 ( 12 )

2 +( 12 )2 < 1. Resta

aplicar isto para c = a/b, onde a, b ∈ Z[i] com b = 0, e utilizar o fato que N e multiplicativa.)


4.10. Definicao. Um domınio D se chama principal se todo ideal de D e principal, isto e, geradopor um elemento.

4.11. Lema. Todo domınio euclidiano e principal.

Demonstracao. Seja 0 = I ▹ D um ideal nao-nulo no domınio euclidiano (D,φ) e seja 0 = g ∈ Icom o valor φg mınimo. Claro que I ⊃ Dg. Seja a ∈ I. Entao existem q, r ∈ D tais que a = qg + r,onde r = 0 ou r = 0 e φr < φg. E facil ver que r ∈ I. Pela escolha de g, temos r = 0 �

4.12. Definicao. Seja A um anel e seja s ∈ A. Entao s e dito inversıvel em A se existe s′ ∈ A talque ss′ = 1. E facil ver que tal s′ e unico. Ele se chama inverso a s e e denotado por s−1 caso exista.

Seja D um domınio. Dizemos que os elementos 0 = a, b ∈ D sao associados se existe um elementoinversıvel s ∈ D tal que b = sa. E facil verificar que a relacao “ser associado” e uma relacao deequivalencia.

4.13. Definicao. Seja D um domınio e sejam 0 = a, b ∈ D. Dizemos que a divide b ou que a eum divisor de b, denotando a|b, se existe q ∈ D tal que b = qa. E imediato que, para 0 = a, b ∈ D,o fato que a|b e equivalente a Da ⊃ Db. Um elemento 0 = p ∈ D se chama irredutıvel se ele nao einversıvel e possui somente divisores triviais. Isto significa que todos os divisores de p sao ou associadosa p ou inversıveis. Em outras palavras, p e irredutıvel se p = ab implica que exatamanete um dos a e be inversıvel.

4.14. Definicao. Um domınio D e de fatoracao unica ou fatorial se

EF. Para todo elemento nao-inversıvel 0 = a ∈ D, existemm > 1 e elementos irredutıveis p1, . . . , pm ∈ Dtais que a = p1 . . . pm (“fatoracao existe”).UF. Se p1 . . . pm = q1 . . . qn com p1, . . . , pm, q1, . . . , qn ∈ D irredutıveis e m,n > 1, entao m = n e, amenos da ordenacao, pi e associado a qi (“fatoracao e unica”).

Na pratica, e mais confortavel utilizar a seguinte condicao equivalente a da unicidade:

UF′. p|ab ⇒ p|a ou p|b para todo elemento irredutıvel p ∈ D.

Em outras palavras:

UF′′. Dp ▹p D para todo elemento irredutıvel p ∈ D.

4.15. Proposicao. Todo domınio principal e fatorial.

Demonstracao. Seja D um domınio principal e suponhamos que um elemento nao-inversıvel 0 =d0 ∈ D nao admita fatoracao. Entao d0 nao e irredutıvel e, portanto, pode ser decomposto, d0 = q1d1,onde nenhum dos q1 e d1 e inversıvel. Se ambos q1 e d1 admitem uma fatoracao no produto de elementosirredutıveis, juntando essas fatoracoes, poderıamos obter uma fatoracao de d0. Portanto, podemos suporque d1 nao admite fatoracao. Agindo deste modo, obtemos di−1 = qidi para todo i > 0, onde qi, di ∈ D

sao nao-inversıveis. Isto implica que Ddi−1 ⊂ Ddi. E facil ver que a uniao I =∞∪i=0

Ddi da cadeia de

ideais e um ideal. Logo, existe um d ∈ D tal que I = Dd. Sendo d ∈ Dd, temos d ∈ Ddi para algum i,implicando Dd = Ddi e, portanto, Ddi = Ddi+1. Resta observar que a igualdade Da = Db para0 = a, b ∈ D e equivalente ao fato que a e associado a b (assim, podemos concluir que qi+1 e inversıvel).

Seja p ∈ D um elemento irredutıvel. Vamos provar que Dp e um ideal maximal de D. Seja J ▹D talque Dp & J . Entao, para algum g ∈ D, temos J = Dg e g divide p, mas g nao e associado a p. PelaDefinicao 4.13 g e inversıvel. Logo, J = D. Sendo Dp maximal, ele e primo pelo Definicao-Lema 4.5pois todo corpo e um domınio. Assim verificamos a condicao UF′′ �

O leitor curioso pode reler a Secao 2 considerando modulos finitamente gerados sobre um domınioprincipal no lugar de grupos abelianos finitamente gerados.


Seja D um domınio e sejam 0 = a1, a2, . . . , an ∈ D. Dizemos que 0 = d ∈ D e um divisor comum dea1, a2, . . . , an se d divide todo ai. Um divisor comum d de a1, a2, . . . , an se chama maior divisor comumde a1, a2, . . . , an se qualquer divisor comum de a1, a2, . . . , an divide d. Por esta definicao, todos osmaiores divisores comuns de a1, a2, . . . , an sao associados se existirem. Escrevendo d = mdc(a1, . . . , an)para o maior divisor comum d de a1, . . . , an, deve-se levar em conta que a igualdade vale somente nosentido de “a menos de ser associado”. E facil ver que, em todo domınio fatorial, existem divisorescomuns de qualquer colecao finita de elementos nao-nulos. Por uma demonstracao semelhante a doLema 2.8, em todo domınio principalD, para quaisquer 0 = a1, a2, . . . , an ∈ D, existem t1, t2, . . . , tn ∈ Dtais que mdc(a1, a2, . . . , an) = t1a1 + t2a2 + · · ·+ tnan.

4.16. Definicao. Seja D um domınio fatorial e seja 0 = f = cnxn+ cn−1x

n−1+ · · ·+ c1x+ c0 ∈ D[x]um polinomio nao-nulo. O maior divisor comum dos coeficientes de f e dito o conteudo de f e se denotapor cf := mdc(c0, c1, . . . , cn−1, cn). Claramente, f = cf · f0, onde cf0 = 1.

4.17. Lema (Gauss). Seja D um domınio fatorial e sejam 0 = f, g ∈ D[x] polinomios nao-nulos.Entao c(fg) = cf · cg.

Demonstracao. Temos f = cf · f0 e g = cg · g0 com cf0 = cg0 = 1. Basta provar que c(f0g0) = 1.Suponhamos que p|c(f0g0) para algum elemento irredutıvel p ∈ D. Temos f0 = cmxm + cm−1x

m−1 +· · ·+ c1x+ c0 e g0 = dnx

n + dn−1xn−1 + · · ·+ d1x+ d0, onde m,n > 0 e cm, dn = 0. De cf0 = cg0 = 1

segue que existem coeficientes ci e dj nao-divisiveis por p, em particular, nao-nulos. Tomemos i ej mınimos possıveis e consideremos o coeficiente de grau i + j do polinomio f0g0. Este e bi+j :=c0di+j + c1di+j−1 + · · · + ci−1dj+1 + cidj + ci+1dj−1 + · · · + ci+jd0. Pela escolha de i, os coeficientesc0, c1, . . . , ci−1 sao divisıveis por p. Pela escolha de j, os coeficientes dj−1, . . . , d0 sao divisıveis por p.Portanto, p|bi+j implica p|cidj . Uma contradicao com UF′ �

4.18. Teorema. Seja D um domınio fatorial. Entao D[x] e um domınio fatorial.

Demonstracao. Denotamos por K o corpo de fracoes de D. Considerando D como um subanelem K, podemos interpretar os polinomios de D[x] como os polinomios de K[x], isto e, temos D ⊂ K eD ⊂ D[x] ⊂ K[x].

Primeiramente, vamos mostrar que os elementos irredutıveis em D[x] sao exatamente: elementosirredutıveis em D (aqueles que tem grau 0) ou polinomios p ∈ D[x] de grau > 0 com cp = 1 quesao irredutıveis em K[x]. Levando em conta que o grau do produto de dois polinomios nao-nulos ea soma dos graus dos polinomios envolvidos, podemos ver que os elementos inversıveis em D[x] saoexatamente os inversıveis em D ⊂ D[x]. Pela mesma razao, os elementos irredutıveis de grau 0 em D[x]sao exatamente os irredutıveis em D ⊂ D[x].

Seja p ∈ D[x] um polinomio de grau > 0. Entao p = cp · p0, onde p0 ∈ D[x] e cp0 = 1. Logo, para pser irredutıvel em D[x], e necessario que cp = 1.

Se p e redutıvel em K[x], entao p e redutıvel em D[x]. Realmente, para uma decomposicao nao-trivialp = p1p2 em K[x], ambos p1 e p2 tem grau > 0, pois os elementos inversıveis em K[x] sao exatamenteos polinomios nao-nulos de grau 0. Multiplicando por denominador comum dos coeficientes de umpolinomio de K[x], conseguimos um polinomio de D[x]. Deste modo, obtemos polinomios f1 := d1p1e f2 := d2p2 pertencendo a D[x], onde d1, d2 ∈ D. Agora obtemos d1d2p = c1c2g1g2, onde fi = cigi,gi ∈ D[x], ci := cfi e cgi = 1 para todo i = 1, 2. Pelo Lema 4.17, d1d2 e c1c2 sao associados em D, poiscp = 1. Em outras palavras, podemos supor que p = g1g2 e uma decomposicao nao-trivial em D[x].

Reciprocamente, suponhamos que p seja redutıvel em D[x]. Entao p = p1p2, com p1, p2 ∈ D[x]nao-inversıveis em D[x]. De cp = 1 segue que ambos p1 e p2 tem grau > 0. Assim obtemos umadecomposicao nao-trivial de p em K[x].

Provaremos EF para D[x]. Seja f ∈ D[x]. Considerando f em K[x], podemos decompor f emproduto de polinomios irredutıveis em K[x], f = p1p2 . . . pn. Como acima, podemos achar os elementos


0 = di ∈ D tais que qi := dipi ∈ D[x]. Fazendo ci := cqi, obtemos qi = cigi com gi ∈ D[x] e cgi = 1.Assim, d1d2 . . . dnf = c1c2 . . . cng1g2 . . . gn. Pelo Lema 4.17, d1d2 . . . dn · cf = c1c2 . . . cn. Cancelandod1d2 . . . dn, obtemos f = cf · g1g2 . . . gn. Pelas consideracoes acima, gi e irredutıvel em D[x], poiscgi = 1 e o polinomio gi e associado em K[x] ao polinomio pi, irredutıvel em K[x]. Resta decompor cfem produto de elementos irredutıveis em D e lembrar que estes sao irredutıveis em D[x].

Provaremos UF′ para D[x]. Seja p irredutıvel em D[x] e suponhamos que p divide fg em D[x], onde0 = f, g ∈ D[x]. Assim, pq = fg para algum q ∈ D[x]. Caso p tenha grau 0, sabemos que p ∈ D eirredutıvel em D. Pelo Lema 4.17, p divide cf · cg. Pela UF′ valida em D, p|cf ou p|cg em D. Daıconcluımos que p|f ou p|g em D[x]. Caso p seja de grau > 0, sabemos que p e irredutıvel em K[x] e quecp = 1. Pelos Exemplo 4.9.8, Lema 4.11 e Proposicao 4.15, K[x] e um domınio fatorial. Logo, p|f ou p|gem K[x]. Digamos, pg = f para algum g ∈ K[x]. Como acima, para um 0 = d ∈ D apropriado, temosb := dg ∈ D[x], b = cb · b0 e f = cf · f0, onde b0, f0 ∈ D[x] e cb0 = cf0 = 1. Logo, cb · pb0 = cf · df0. PeloLema 4.17, cb = cf · d. Assim, pb0 = f0, isto e, p divide f0 em D[x]. Portanto, p divide f em D[x] �

4.19. Criterio (Eisenstein). Seja D um domınio fatorial, seja p ∈ D irredutıvel e seja f = cnxn +

cn−1xn−1 · · ·+ c0 ∈ D[x] com n > 0. Suponhamos que p nao divida cn, que p divida cn−1, . . . , c0 e que

p2 nao divida c0. Entao f e irredutıvel em K[x], onde K e o corpo de fracoes de D.

Demonstracao. Suponhamos que f = f1f2, onde f1, f2 ∈ D[x] sao de graus k > 0 e n − k > 0,respectivamente. O homomorfismo canonico : D → D, onde D := D/Dp, induz um homomorfismo

: D[x] → D[x]. Pela UF′′ valida para D e pela Definicao-Lema 4.5, D e um domınio. Temosf = cnx

n = 0. Sendo D um domınio, obtemos f1 = akxk e f2 = bn−kx

n−k, onde cn = ak · bn−k.De k > 0 e n − k > 0 segue que os termos constantes de f1 e de f2 sao divisıveis por p implicandoque c0 e divisıvel por p2. Uma contradicao. Portanto, na decomposicao de f em produto de polinomiosirredutıveis em D[x] somente um polinomio irredutıvel pode ter grau > 0. Pela descricao de polinomiosirredutıveis em D[x] presente na demonstracao do Teorema 4.18, concluımos o desejado �

4.20. Decomposicao em fracoes parciais. Seja K um corpo, sejam 0 = f, g ∈ K[x] polinomios

nao-nulos e seja g =n∏

i=1

prii uma decomposicao de g em produto de polinomios irredutıveis, onde ri > 0

e os pi’s nao sao associados por pares. Entao fg = a+

∑ni=1

∑rij=1

bij

pji

, onde a, bij ∈ K[x] e, para todos

i e j, o grau de bij e estritamente menor do que o de pi caso bij nao seja nulo.

Demonstracao. Consideramos os polinomios gi := gprii

∈ K[x], i = 1, 2, . . . , n. Claramente,

mdc(g1, g2, . . . , gn

)= 1. Sendo K[x] um domınio principal, podemos encontrar t1, t2, . . . , tn ∈ K[x]

tais que∑n

i=1 tigi = 1. Logo, fg =

f∑n

i=1 tigig =

∑ni=1

ai

prii

para alguns ai ∈ K[x]. Resta repetidamente

aplicar o algoritmo euclidiano, dividindo com resto ai por pi �

Um polinomio nao-nulo se chama monico se o seu coeficiente de grau maior e igual a 1. Seja A umanel e sejam a, b ∈ A[x] com b monico. E facil ver que existem q, r ∈ A[x] tais que o grau de r e menordo que o de b (ou r = 0) e a = qb+ r. Em outras palavras, a divisao com resto funciona em polinomiossobre qualquer anel se dividimos por um polinomio monico.

4.21 Observacao. Seja A um anel, seja f ∈ A[x] e seja a ∈ A. Se f(a) = 0, entao f = (x − a)qpara algum q ∈ A[x].

Demonstracao. Dividindo com resto f por x−a, obtemos f = (x−a)q+r, onde r ∈ A. Substituındox := a, vemos que r = 0 �

Na situacao descrita na Observacao 4.21, dizemos que a ∈ A e uma raiz de f ∈ A[x]. Dizemos queuma raiz a ∈ A de f ∈ A[x] tem multiplicidade m se f = (x− a)mh, onde h ∈ A[x] e h(a) = 0.


4.22. Lema. Seja D um domınio e seja f ∈ D[x] um polinomio que possui n raızes distintasr1, . . . , rn ∈ D. Entao f = (x− r1) · . . . · (x− rn)g para algum g ∈ D[x].

Demonstracao. Por inducao sobre n, podemos supor que f = (x− r1) · . . . · (x− rn−1)h para algumh ∈ D[x]. De f(rn) = 0, de rn = ri para todo i = n e de D ser um domınio, segue que h(rn) = 0. PelaObservacao 4.21, h = (x− rn)g �

4.23. Formula de interpolacao de Lagrange. Seja K um corpo, sejam a1, . . . , an+1 ∈ K distintospor pares e sejam v1, . . . , vn+1 ∈ K arbitrarios. Entao existe um polinomio unico f ∈ K[x] de grau 6 n(ou nulo) tal que f(ai) = vi para todo 1 6 i 6 n+ 1.

Demonstracao. Facamos fi := (x − a1) . . . (x − ai−1)(x − ai+1) . . . (x − an). Entao fi(ai) = 0.

O desejado polinomio e dado por f :=∑n

i=1vififi(ai)

. A unicidade segue do Lema 4.22 �

Seja A um anel e seja f := a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx

n ∈ A[x]. Definimos a derivada f ′ de f

pela regra: f ′ := a1 + 2a2x + · · · + nanxn−1. E facil ver que a funcao f 7→ f ′ e um endomorfismo do

A-modulo A[x]. Por inducao definimos as derivadas sucessivas f ′′ := (f ′)′, . . . , f (n+1) := (f (n))′.

4.24. Regra de Leibniz. Seja A um anel e sejam f, g ∈ A[x]. Entao (fg)′ = f ′g + fg′.

Demonstracao. Sendo derivada um endomorfismo do A-modulo A[x], basta verificar a identidadepara f := xm e g := xn �

Seja A um anel. A regra h : n 7→ n · 1 define um homomorfismo de aneis h : Z → A. Claramente, aimagem S := hZ de h e o subanel mınimo de A. Pelo Teorema 3.12.1, S ≃ Z/Zn para algum n > 0.Caso n > 0, chamamos n a caracterıstica de A e denotamos χA := n. Neste caso, a caracterıstica esimplesmente o perıodo aditivo do anel.

Caso seja valida a condicao

ma = 0 ⇒ m = 0 ou a = 0

para todos m ∈ Z e a ∈ A, dizemos que A tem caracterıstica zero, escrevendo χA = 0. Neste caso,S ≃ Z.

Para todo domınio D, χD = 0 ou χD e um numero primo. Com efeito, se md = 0 e 0 = d ∈ D,entao (m · 1)d = 0 e m · 1 = 0. Portanto, χD = 0 ou m · 1 = 0 para algum m > 0. No ultimo caso,p := χD > 0 tem que ser um numero primo, pois S ≃ Z/Zp e um domınio e sabemos que Zp ▹p Z se eso se p e primo (vide os Definicao-Lema 4.5, UF′′ e Exemplo 4.6.4).

Seja A um anel de caracterıstica prima p := χA. Sendo Z ·1 ≃ Fp um corpo, A e um Fp-espaco linear.Segue do binomio de Newton que Φ : A → A, Φ : a 7→ ap, e um endomorfismo chamado endomorfismode Frobenius.

Seja K um corpo de caracterıstica χK = 0. Entao K contem um subcorpo isomorfo a Q pois Z e umsubanel de K e Q e o corpo de fracoes de Z. Logo, K e um Q-espaco linear.

4.25. Criterio. Seja A um anel de caracterıstica 0, χA = 0, seja r ∈ A e seja f ∈ A[x]. Entao r euma raiz de f de multiplicidade m se e so se 0 = f(r) = f ′(r) = · · · = f (m−1)(r) = f (m)(r).

Demonstracao. Pela Observacao 4.21, sempre podemos escrever f = (x−r)mh comm > 0, h ∈ A[x]e h(r) = 0. Pela regra de Leibniz 4.24, temos f (k)(r) = 0 para 0 6 k < m e f (m)(r) = m!h(r) = 0 �

4.26. Teorema. Seja K um corpo finito e seja p = χK. Entao |K| = pn para algum n > 0.A identidade xpn

= x vale para todos os elementos x ∈ K. O grupo multiplicativo K∗ := K \ 0 de K ecıclico.

Demonstracao. K e um Fp-espaco linear. Portanto, possui uma base linear sobre Fp, digamos,de n elementos. Logo, |K| = pn. O grupo K∗ tem pn− 1 elementos. Denotamos por q o perıodo de K∗.Claramente, q divide pn − 1. Todo x ∈ K∗ satisfaz a identidade xq = 1. Consequentemente, todo


elemento de K e uma raiz do polinomio xq+1 − x. Pelo Lema 4.22, q+1 > pn pois o corpo K possui pn

elementos distintos. Daı, q = pn − 1. Resta, utilizando o Teorema 2.13, resolver o seguinte

4.27. Exercıcio. Seja A um grupo abeliano finito. Se a ordem de A e igual ao perıodo de A, entaoA e cıclico �

Seja C um anel fixo. Um anel A munido de um homomorfismo C → A de aneis se chama C-algebra.Um outro jeito de definir C-algebra: uma C-algebra A e um anel A que e simultaneamente um C-modulo tal que as igualdades c · (a1 · a2) = (c · a1) · a2 = a1 · (c · a2) sao validas para todos a1, a2 ∈ A ec ∈ C. Uma subalgebra e um subanel que e simultaneamente um submodulo. Claramente, a interseccaode qualquer famılia de subalgebras e uma subalgebra. Daı obtemos o conceito de C-subalgebra geradapor um subconjunto G ⊂ A, denotada por C[G]. Um homomorfismo de C-algebras e simplesmente umhomomorfismo de aneis e, simultaneamente, de C-modulos. Um outro jeito de definir um homomorfismoentre C-algebras A1 e A2 : temos homomorfismos hi : C → Ai, i = 1, 2; um homomorfismo de aneish : A1 → A2 e dito homomorfismo de C-algebras se h ◦ h1 = h2.

4.28. Definicao. Seja A = C[G] uma C-algebra gerada por G. Dizemos que A e uma C-algebralivre com geradores livres G se, para qualquer funcao f : G → A′, onde A′ e uma C-agebra, existe umunico homomorfismo de C-algebras h : A → A′ que estende f , isto e, h|G = f .

Vamos observar que existem C-algebras livres finitamente geradas. Sao C-algebras de polinomios devarias variaveis sobre C. Realmente, seja A := C[x1, . . . , xn], seja A′ uma C-algebra e seja f : xi 7→ai ∈ A′. Para construir um homomorfismo de C-algebras h : A → A′ que estende f , precisamos levaro monomio xi1

1 . . . xinn , i1, . . . , in > 0 (se i1 = · · · = in = 0, este monomio e 1 por definicao), para

ai11 . . . ainn . Daı obtemos a definicao de h (a unica possıvel) :

h :∑

i1,...,in>0

ci1,...,inxi11 . . . xin

n 7→∑

i1,...,in>0

ci1,...,inai11 . . . ainn .

E facil verificar que essa regra realmente define um C-homomorfismo h : A → A′. Este homomorfismopode ser descrito como hf := f(a1, . . . , an), ou seja, como hf := f |x1=a1,...,xn=an . O caso particulare importante de A′ = C ja foi utilizado nos Exemplo 4.2.3, Observacao 4.21 e Lema 4.22. Nestecaso, escolhendo “valores” x1 = c1, . . . , xn = cn, obtemos o “valor” f(c1, . . . , cn) do polinomio f ∈C[x1, . . . , xn]. Assim, definimos uma funcao

C[x1, . . . , xn] → Func(C × · · · × C︸︷︷︸n vezes

, C) f 7→((c1, . . . , cn) 7→ f(c1, . . . , cn)

)que e um homomorfismo de C-algebras (vide o Exemplo 3.2.6). Este homomorfismo de substituicao“considera” as expressoes formais chamadas polinomios como “funcoes de n variaveis”. Sera que sao asmesmas coisas? Sim, em algumas circunstancias:

4.29. Lema. Seja D um domınio infinito. Entao o homomorfismo D[x1, . . . , xn] → Func(Dn, D) einjetivo.

Demonstracao. Inducao sobre n. Para n = 0, ambas algebras sao iguais a D e o homomorfismo eidentico. Seja f ∈ D[x1, . . . , xn] um polinomio que e nulo como funcao, isto e, f(d1, . . . , dn) = 0 paratodos d1, . . . , dn ∈ D. Precisamos provar que f = 0 (como expressao formal). Sendo D[x1, . . . , xn] =D[x1, . . . , xn−1][xn], podemos escrever f = fmxm

n +· · ·+f0, onde f0, . . . , fm ∈ D[x1, . . . , xn−1]. Supondoque f = 0, podemos supor que fm = 0. Pela hipotese de inducao, existem d1, . . . , dn−1 ∈ D, tais quefm(d1, . . . , dn−1) = 0. Sendo f nulo como funcao, fm(d1, . . . , dn−1)d

m + · · ·+ f0(d1, . . . , dn−1) = 0 paratodo d ∈ D. Isto significa que todo d ∈ D e uma raiz do polinomio nao-nulo g := fm(d1, . . . , dn−1)x

m +· · ·+ f0(d1, . . . , dn−1) ∈ D[x]. Pelos Lema 4.22 e infinitude de D, chegamos a uma contradicao �


4.30. Exercıcio. Podemos omitir a condicao de que D e um domınio no Lema 4.29 ou que D einfinito?

Seja C um anel. O grupo de permutacoes Σn age sobre a C-algebra de polinomios P := C[t1, . . . , tn],Σn yP , pela regra σf := f(tσ−11, . . . , tσ−1n). Os polinomios de

S := C[t1, . . . , tn]Σn :=

{f ∈ C[t1, . . . , tn] | σf = f para todo σ ∈ Σn

}sao ditos simetricos. E facil verificar que S e uma C-subalgebra de P . Facamos pi,n := ti1 + · · · + tinpara i > 1 e

C[x, t1, . . . , tn] ∋ Fn := (x− t1) · . . . · (x− tn) :=

(4.31) = xn − s1,n(t1, . . . , tn)xn−1 + s2,n(t1, . . . , tn)x

n−2 − · · ·+ (−1)nsn,n(t1, . . . , tn).

E facil ver que pi,n, si,n ∈ C[t1, . . . , tn]Σn .

4.32. Teorema. A C-algebra C[t1, . . . , tn]Σn e gerada por s1,n, . . . , sn,n. Caso Q ⊂ C, a C-agebra

C[t1, . . . , tn]Σn admite os geradores p1,n, . . . , pn,n.

Demonstracao. Definimos em C[x1, . . . , xn] um grau “novo” gr de um polinomio fazendo grxi = i.(Assim o grau “novo” de um monomio e a soma dos graus “novos” das variaveis nele envolvidos, contandocom multiplicidades.) Por inducao sobre n provemos que, para todo polinomio f ∈ C[t1, . . . , tn]

Σn , existeum polinomio g ∈ C[x1, . . . , xn] tal que gr g 6 deg f e f = g(s1,n, . . . , sn,n). O caso n = 1 e obvio.

Substituindo em (4.31) tn = 0, obtemos s1,n|tn=0 = s1,n−1, . . . , sn−1,n|tn=0 = sn−1,n−1. Pela hipotesede inducao, f |tn=0 = g1

(s1,n|tn=0, . . . , sn−1,n|tn=0

), onde g1 ∈ C[x1, . . . , xn−1] e gr g1 6 deg f |tn=0 6

deg f . Observamos que deg g1(s1,n, . . . , sn−1,n) 6 gr g1 6 deg f , pois deg si,n 6 i.Agora facamos a inducao sobre d := deg f . O caso deg f = 0 e trivial. Claramente, o polinomio

f1 := f−g1(s1,n, . . . , sn,n−1) e simetrico e deg f1 6 deg f . De f1|tn=0 = 0 segue que f1 e divisıvel por tn.Sendo f1 simetrico, ele e divisıvel por t1 · . . . · tn = ±sn,n. Portanto f1 = sn,nf2, onde f2 e simetrico edeg f2 6 deg f −n. Pela hipotese de inducao sobre d, existe g2 ∈ C[x1, . . . , xn] tal que gr g2 6 deg f −ne f2 = g2(s1,n, . . . , sn,n). Consequentemente, f = g1(s1,n, . . . , sn−1,n) + sn,ng2(s1,n, . . . , sn,n).

Suponhamos que Q ⊂ C. Obviamente, ∂Fn/∂xFn

=∑n

i=11

x−tie 1

x−ti=

∑j>0

tjixj+1 . Portanto,

(4.33)∂Fn/∂x

Fn· x = n+

p1,nx

+ · · ·+ pi,nxi

+ . . .

Multiplicando (4.33) porFn

xn, obtemos

n− (n− 1)s1,nx

+ (n− 2)s2,nx2

− · · ·+ (−1)n−1 sn−1,n

xn−1=

=(1− s1,n

x+

s2,nx2

− · · ·+ (−1)nsn,nxn

)(n+

p1,nx

+ · · ·+ pi,nxi

+ . . .).

Comparando os coeficientes de 1xk , chegamos as formulas de Newton: Para 1 6 k 6 (n− 1) temos

pk,n − pk−1,ns1,n + pk−2,ns2,n − · · ·+ (−1)k−1p1,nsk−1,n + (−1)knsk,n = (−1)k(n− k)sk,n,

isto e,

(4.34) pk,n − pk−1,ns1,n + pk−2,ns2,n − · · ·+ (−1)k−1p1,nsk−1,n + (−1)kksk,n = 0.


Para k = n, temos

pk,n − pk−1,ns1,n + pk−2,ns2,n − · · ·+ (−1)n−1p1,nsn−1,n + (−1)nnsn,n = 0.

Assim, a formula (4.34) e valida tambem para k = n. Para k > n, temos

pk,n − pk−1,ns1,n + pk−2,ns2,n − · · ·+ (−1)npk−n,nsn,n = 0.

Suponhamos que Q ⊂ A. Por inducao sobre k, a formula (4.34) valida para 1 6 k 6 n permite obteruma expessao polinomial de sk,n em pi,n’s, 1 6 i 6 n �

Um exemplo importante de um polinomio simetrico e o discriminante: Seja f = xn+c1xn−1+· · ·+cn

um polinomio monico sobre um corpo K. Em uma extensao algebrica F ⊃ K, temos uma decomposicaof = (x − r1) . . . (x − rn), onde r1, . . . , rn ∈ F . Facamos discr f(r1, . . . , rn) :=

∏i<j

(ri − rj)2. Sendo

simetrico em ri’s, discr f e um polinomio em ck’s. Por outro lado, discr f “sabe” se f tem todas asraızes distintas: isto e equivalente a desigualdade discr f = 0.

A. Teoria de Galois (definicoes e exercıcios)

Sejam k ⊂ K corpos (= uma extensao de corpos). Podemos tratar K como um k-espaco linear. Umaextensao k ⊂ K e dita finita se dimk K < ∞. Um a ∈ K e dito algebrico sobre k se existe um polinomiomonico p ∈ k[x] tal que p(a) = 0. Tal polinomio (monico) p(x) de grau mınimo se chama polinomiominimal de α sobre k. Claramente, o polinomio minimal e irredutıvel em k[x]. A extensao k ⊂ K e ditaalgebrica se todo a ∈ K e algebrico.

Seja k ⊂ K uma extensao de corpos e seja G ⊂ K. Denotamos por k[G] e por k(G), respectivamente,a k-subalgebra de K gerada por G e o k-subcorpo (isto e, um subcorpo que contem k) de K geradopor G.

Exercıcios. Mostre as seguintes afirmacoes.

1. As extensoes de corpos k ⊂ F e F ⊂ K sao finitas se e so se a extensao k ⊂ K e finita. Nestecaso, dimk K = dimk F · dimF K. (Dica: se ai’s formam uma base k-linear de F e bj ’s formam umabase F -linear de K, entao os elementos aibj ’s formam uma base k-linear de K.)

2. Qualquer extensao finita k ⊂ K e algebrica. (Dica: para a ∈ K, considere uma dependenciak-linear entre os elementos 1, a, a2, . . . )

3. Seja a ∈ K um elemento algebrico sobre k ⊂ K. Entao k[a] = k(a). (Dica: note que qualquerdomınio de dimensao finita sobre k e um corpo e aplique este fato para k[a].)

4. Um elemento a ∈ K e algebrico sobre k ⊂ K se e so se a extensao k ⊂ k(α) e finita.

5. Seja k ⊂ K uma extensao gerada por um conjunto finito de elementos algebricos sobre k. Entaoa extensao k ⊂ K e finita.

6. As extensoes de corpos k ⊂ F e F ⊂ K sao algebricas se e so se a extensao k ⊂ K e algebrica.(Dica: Seja a ∈ K um elemento algebrico sobre F e seja F ′ o k-subcorpo de F gerado pelos coeficientesdo polinomio minimal de a sobre F . Entao a extensao F ′ ⊂ F ′(a) e finita e a extensao k ⊂ F ′ e finitase a extensao k ⊂ F e algebrica.)

7. Seja p ∈ k[x] um polinomio irredutıvel. Entao k[x]/ Ideal p e um corpo, onde Ideal p denota o idealde k[x] gerado por p. (Dica: o mesmo fato vale para qualquer domınio principal.)

8. Seja a ∈ K um elemento algebrico sobre k ⊂ K e seja p o polinomio minimal de a sobre k. Entao,para qualquer f ∈ k[x], f(a) = 0 implica que f e divisıvel por p. Alem disso, k(a) ≃ k[x]/ Ideal p edimk k(a) = deg p.


9. Sejam k ⊂ k(a) e k′ ⊂ k′(a′) extensoes algebricas e seja σ : k → k′ um isomorfismo de corpos.Denotamos pela mesma letra o homomorfismo induzido entre os aneis de polinomios σ : k[x] → k′[x].Seja p ∈ k[x] o polinomio minimal de a sobre k. Suponhamos que σp e o polinomio minimal de a′

sobre k′. Entao existe um unico isomorfismo σ : k(a) → k′(a′) que estende σ tal que σa = a′.

Seja k um corpo e seja M ⊂ k[x] um conjunto de polinomios. Uma extensao k ⊂ K de corpose dita corpo de decomposicao de M se todo polinomio f ∈ M se decompoe sobre K na forma f =a(x− r1) · . . . · (x− rn), onde a ∈ k, e K e gerado sobre k por todas as raızes de polinomios de M .

Seja k ⊂ K uma extensao de corpos. Denotamos por subfieldsk K o conjunto de todos os subcorposde K que contem k.

Seja G um grupo. Denotamos por subgroupsG o conjunto de todos os subgrupos de G.

Exercıcios. Mostre as seguintes afirmacoes.

10. Seja f ∈ k[x], deg f = n. Entao existe K, um corpo de decomposicao de f e dimk K 6 n!. (Dica:Use a inducao sobre n. Seja p um divisor irredutıvel de f . Entao, sobre o corpo K ′ = k[x]/ Ideal p,o polinomio f possui uma raiz r, K ′ e gerado sobre k por r e dimk K

′ 6 n. Portanto, f = (x − r)f ′,onde f ′ ∈ K ′[x] e deg f ′ < n. Resta utilizar a hipotese de inducao para K ′ e f ′.)

11. Seja σ : k → k′ um isomorfismo de corpos e seja f ∈ k[x]. Seja k ⊂ K um corpo de decomposicaode f e seja k′ ⊂ K ′ um corpo de decomposicao de σf . Entao existe um isomorfismo de corpos σ : K → K ′

que estende σ. (Dica: Use a inducao sobre deg f . Seja p um divisor irredutıvel de f . Seja r ∈ K umaraiz de p e seja r′ ∈ K ′ uma raiz de σp. Denotamos K0 := k(r) e K ′

0 := k′(r′). Pelo Exercıcio 9, obtemosum isomorfismo σ0 : K0 → K ′

0 que estende σ tal que σ0r = r′. Sobre K0, o polinomio f tem a formaf = (x− r)f0. Obviamente, σf = (x− r′)σ0f0. Resta utilizar a hipotese de inducao para σ0 : K0 → K ′

0

e f0 ∈ K0[x].)

12. Seja σ : k → k′ um isomorfismo de corpos e seja M ⊂ k[x] um conjunto de polinomios. Sejak ⊂ K um corpo de decomposicao de M e seja k′ ⊂ K ′ um corpo de decomposicao de σM . Entao existeum isomorfismo de corpos σ : K → K ′ que estende σ. (Dica: aplique o lema de Zorn para as triplas(Mi,Ki, σi) apropriadamente ordenadas, onde Mi ⊂ M , k ⊂ Ki ⊂ K e um corpo de decomposicaode Mi, σi : Ki → K ′

i e um isomorfismo de corpos que estende σ e k′ ⊂ K ′i ⊂ K e um corpo de

decomposicao de σMi.)

13. Seja k um corpo e seja G ⊂ k∗ um subgrupo finito. Entao G e cıclico. (Dica: seja p o perıodode G, considere o numero de raızes do polinomio xp − 1.)

14. Seja p > 0 um numero primo e seja n > 0. Entao existe um unico (a menos de isomorfismo)corpo K tal que |K| = pn. (Tal corpo se denota por Fpn .)

15. Seja p > 0 um numero primo e seja n > 0. Para todo m que divide n, existe um unico subcorpoK ⊂ Fpn tal que |K| = pm. (Dica: Seja a ∈ Fpn um gerador do grupo cıclico F∗

pn . Entao |a| = pn − 1.Para qualquer divisor m de n, o numero pm − 1 divide o numero pn − 1, isto e, pn − 1 = d(pm − 1).Portanto, para b := ad, temos |b| = pm − 1. Isto implica que o polinomio xpm−1 − 1 possui pm − 1 raızesdistintas: b0, b, b2, . . . Logo, o polinomio xpm − x possui pm raızes distintas que formam o subcorpodesejado.)

16. Seja k ⊂ k(a) =: K uma extensao algebrica de corpos. Entao, para GK k := {g ∈ AutK |g|k = 1k}, temos |GKk| 6 dimk K. (Dica: Seja p ∈ k[x] o polinomio minimal de a sobre k. Qualquerg ∈ GKk leva a para uma raiz de p que pertence a K e tal g e determinado pela imagem indicada (video Exercıcio 9).)

17. Teorema fundamental da teoria de Galois para corpos finitos. Seja q := pn, ondep > 0 e um numero primo e n > 0. Entao o grupo AutFq = GFq Fp e cıclico de ordem n gerado peloautomorfismo de Frobenius. Existe uma bijecao (a correspondencia de Galois) entre subfieldsFp Fq


e subgroupsGFq Fp dada por FFq S := {a ∈ Fq | Sa = a} e GFq F := {g ∈ AutFq | g|F = 1F } paraF ∈ subfieldsFp Fq e S ∈ subgroupsGFq Fp.

Um corpo K e dito algebricamente fechado se todo polinomio de grau > 0 sobre K possui uma raiz.E facil ver que um corpo K e algebricamente fechado se e so se qualquer extensao algebrica de K coincidecom K.

18. Proposicao. Seja k um corpo. Entao existe uma extensao algebrica k ⊂ K com K algebrica-mente fechado, chamada fecho algebrico de k e denotada por K = k.

Seja σ : k → K um homomorfismo de corpos com K algebricamente fechado e seja k ⊂ F qualquerextensao algebrica. Entao existe um homomorfismo σ : F → K que estende σ. Em particular, o fechoalgebrico de k e unico a menos de um isomorfismo sobre k.

Demonstracao. Enumeramos todos os polinomios de k[x] de grau > 0 por numeros transfinitosordinais: fi, i < τ . Facamos K0 := k. Seja ε 6 τ um ordinal. Por inducao transfinita, para todo i 6 ε,construımos uma extensao algebrica k ⊂ Ki de modo que fi se decompoe sobre Ki em fatores de grau1 e que Ki ⊂ Kj para i 6 j 6 ε. Se, para todo i < ε, os Ki’s ja sao construıdos e ε e um ordinallimite, facamos Kε :=

∪i<ε Ki. Se existe um ordinal α tal que ε = α + 1, entao definimos Kε como o

corpo de decomposicao do polinomio fα sobre Kα, Kα ⊂ Kε. Claramente, k ⊂ K = Kτ e uma extensaoalgebrica. Seja K ⊂ E uma extensao algebrica e seja a ∈ E. Sendo a extensao k ⊂ E algebrica, temoso polinomio minimal fi de a sobre k. Pela construcao, a ∈ K.

Para o resto, basta aplicar o lema de Zorn para as duplas (F ′, σ′) apropriadamente ordenadas, ondek ⊂ F ′ ⊂ F e σ′ : F ′ → K e um homomorfismo que estende σ �

Uma extensao algebrica de corpos k ⊂ K e dita normal se todo polinomio p irredutıvel em k[x] quepossui uma raiz em K se decompoe sobre K nos fatores de grau 1.

19. Proposicao. Seja k ⊂ K uma extensao algebrica. Entao as seguintes condicoes sao equivalentes.1. A extensao k ⊂ K e normal.2. K e um corpo de decomposicao de algum conjunto de polinomios M ⊂ k[x].3. Para todo corpo F ⊃ K e para qualquer homomorfismo σ : K → F identico sobre k, temos σK = K.

Demonstracao. 1 ⇒ 2. Basta tomar como M o conjunto de todos os polinomios minimais sobre kde todos os elementos de K.

2 ⇒ 3. Seja f ∈ M ⊂ k[x]. Entao σf = f e f = a(x− r1) · . . . · (x− rn), onde a ∈ k e r1, . . . , rn ∈ K.Daı, σr1, . . . , σrn e uma permutacao de r1, . . . , rn. Sendo K gerado sobre k por todos tais ri’s, obtemosσK = K.

3 ⇒ 1. Tomemos F := K = k. Seja a ∈ K e seja p ∈ k[x] o polinomio minimal de a sobre k. Entaop = (x− a)(x− r1) · . . . · (x− rn), onde ri ∈ F . Para todo i, existe um homomorfismo σi : k(a) → k(ri)sobre k tal que σia = ri. Pela Proposicao 18, podemos estender σi para um homomorfismo σi : K → F .Agora, ri = σia ∈ σiK = K �

Seja k ⊂ K uma extensao algebrica. Entao (em k = K) existe uma extensao normal mınima quecontem K chamada fecho normal de K. Essa e o corpo de decomposicao dos polinomios minimais sobrek para todos os elementos de K. Se a extensao k ⊂ K e finita, entao o fecho normal e uma extensaofinita, pois, pela Proposicao 19, o fecho normal e o corpo de decomposicao dos polinomios minimaispara os geradores de K sobre k.

Seja k ⊂ K uma extensao de corpos. Um elemento a ∈ K algebrico sobre k e dito separavel sobre k setodas as raızes (no fecho algebrico k de k) do seu polinomio minimal sobre k sao distintas. Seja f ∈ k[x]o polinomio minimal para a ∈ K. Suponhamos que f tenha uma raiz r ∈ k de multiplicidade > 1.Entao a derivada f ′ tambem tem a raiz r. Se f ′ = 0, entao, sendo f e irredutıvel e sendo deg f > deg f ′,o maior divisor comum de f e f ′ e 1. Daı, obtemos fg + f ′h = 1 para alguns polinomios g, h ∈ k[x].


Substituindo x = r, obtemos 0 = 1. Uma contradicao. Portanto, f ′ = 0. Isto pode ocorrer apenasquando f = q(xp) para algum polinomio q ∈ k[x], onde p = 0 e a caracterıstica de k. Em particular,caso p = 0, os polinomios irredutıveis nao tem raızes multiplas.

Dizemos que uma extensao algebrica de corpos k ⊂ K e separavel se todo elemento a ∈ K e separavelsobre k. Para um corpo K de caracterıstica p = 0, facamos Kp := {ap | a ∈ K}.

20. Proposicao. Seja k um corpo de caracterıstica p = 0. Entao sao validas as seguintes afirmacoes.1. Sejam k ⊂ F ⊂ K extensoes de corpos. Se a ∈ K e separavel sobre k, entao a e separavel sobre F .2. Sejam k ⊂ F ⊂ K extensoes de corpos. Se a extensao k ⊂ K e separavel, entao a extensao F ⊂ K eseparavel.3. Seja k ⊂ K uma extensao finita de corpos. Entao a extensao k ⊂ K e separavel se e so se kKp = K.4. Seja k ⊂ K uma extensao de corpos e seja a ∈ K um elemento algebrico sobre k. Entao a e separavelsobre k se e so se a extensao k ⊂ k(a) e separavel.5. Sejam k ⊂ F e F ⊂ K extensoes separaveis de corpos. Entao a extensao k ⊂ K e separavel.

Demonstracao. 1. O polinomio minimal de a sobre F divide em F [x] o polinomio minimal de asobre k.

2 segue de 1.3. Suponhamos que a extensao k ⊂ K e separavel. Por 2, a extensao kKp ⊂ K e separavel. Qualquer

a ∈ K e uma raiz do polinomio g := xp − ap sobre kKp. Portanto, o polinomio minimal f de a sobrekKp divide g. Por outro lado, g = (x − a)p que implica deg f = 1, pois f nao tem raızes multiplas.Em outras palavras, a ∈ kKp.

Suponhamos que kKp = K e seja a ∈ K nao-separavel sobre k, isto e, o polinomio minimal f dea sobre k tem a forma f = q(xp) para algum q ∈ k[x]. Seja m + 1 := deg f . Entao 1, a, . . . , am saolinearmente independentes sobre k. Seja e0, e1, . . . , en uma base k-linear de K que contem 1, a, . . . , am,n > m. Entao K = ke0+ke1+ · · ·+ken. De K = kKp concluımos que K = kKp = kep0+kep1+ · · ·+kepn.Em outras palavras, ep0, e

p1, . . . , e

pn e uma base K-linear de F . Em particular, 1p, ap, a2p . . . , amp sao k-

linearmente independentes. De q(ap) = 0, concluımos que 1p, ap, (ap)2, . . . , (ap)l sao k-linearmentedependentes, onde l := deg q < deg f = m+ 1. Uma contradicao.

4. Podemos supor que K = k(a) com a separavel sobre k. Por 3, e suficiente mostrar que kKp = K.Por 1, a e separavel sobre kKp. Por outro lado, a e uma raiz do polinomio g := xp − ap ∈ kKp[x] eg = (x− a)p. Assim, o polinomio minimal de a sobre kKp e x− a. Logo, a ∈ kKp.

5. Seja a ∈ K. Denotamos por F ′ o subcorpo de F gerado sobre k pelos coeficientes do polinomiominimal f de a sobre F . E claro que f e o polinomio minimal de a sobre F ′. Portanto, a e separavelsobre F ′. Seja K ′ := F ′(a). Por 4, a extensao F ′ ⊂ K ′ e separavel. A extensao k ⊂ F ′ e separaveltambem. Temos dimk F

′ < ∞ e dimF ′ K ′ < ∞. Por 3, obtemos K ′ = F ′K ′p = kF ′pK ′p = k(F ′K ′)p =kK ′p �

21. Teorema (sobre um elemento primitivo). Seja k ⊂ k(a, b1, . . . , bn) =: K uma extensao algebricatal que todos os bi’s sao separaveis sobre k. Entao K = k(d) para algum d ∈ K.

Demonstracao. Podemos supor que |k| = ∞. Por inducao sobre n, podemos supor que n = 1.Sejam f, g ∈ k[x] respectivamente os polinomios minimais para a, b := b1 sobre k. Seja c ∈ k e sejamb, r1, . . . , rm ∈ k todas as raızes de g (distintas por pares, pois b e separavel sobre k). Consideremos opolinomio hc := f

(c(x− b) + a

)que tem raiz b. Note que ri e uma raiz de hc se e so se c(ri − b) + a e

uma raiz de f . Ja que k e infinito, podemos escolher c ∈ k de modo que os polinomios g e hc tenhamapenas uma raiz comum b. Facamos d =: a− cb e F := k(d) ⊂ K. Obviamente, g, hc ∈ F [x]. O maiordivisor comum de g e hc em F [x] tem a forma ug+ vhc para alguns u, v ∈ F [x]. Este pode ser somentex− b, impicando que b ∈ F e, portanto, a ∈ F �

Uma extensao algebrica de corpos e dita extensao de Galois se ela e normal e separavel. Lidaremossomente com as extensoes finitas de Galois.


22. Teorema (fundamental da teoria de Galois). Seja k ⊂ K uma extensao finita de Galois. Entao,para todo F ∈ subfieldsk K, a extensao F ⊂ K e de Galois. As formulas FK S := {a ∈ K | Sa = a}e GK F := {g ∈ AutK | g|F = 1F } para F ∈ subfieldsk K e S ∈ subgroupsGK k definem umabijecao (a correspondencia de Galois) entre subfieldsk K e subgroupsGK k tal que |GK F | = dimF K.Um subgrupo S 6 GK k e normal se e so se a extensao k ⊂ FK S e normal. Neste caso, GFK S k ≃GK k/S.

Demonstracao. Seja F ∈ subfieldsk K. Pela Proposicao 19.2, K e um corpo de decomposicaode M ⊂ k[x], implicando que K e um corpo de decomposicao de M ⊂ F [x]. Pelas Proposicoes 19.2e 20.2, a extensao F ⊂ K e de Galois. Pelo Teorema 21, K = k(d). Seja r ∈ k uma raiz do polinomiominimal p de d sobre k. Pelo Exercıcio 9, existe um isomorfismo σ : k(d) → k(r) ⊂ k identico sobrek tal que σd = r. Pela Proposicao 19.3, σ ∈ GK k. As raızes de p sao distintas por pares. Portanto,|GK k| > deg p = dimk K. Pelo Exercıcio 16, |GK k| 6 dimk K. Logo, |GK F | = dimF K para todoF ∈ subfieldsk K.

Note que F ⊂ F ′ implica GK F ⊃ GK F ′, que S ⊂ S′ implica FK S ⊃ FK S′, que F ⊂ FK GK Fe que S ⊂ GK FK S para quaisquer F, F ′ ∈ subfieldsk K e S, S′ ∈ subgroupsGK k. Daı, GK F ⊃GK F ′, onde F ⊂ F ′ := FK GK F , e GK F ⊂ GK FK(GK F ), isto e, GK F = GK F ′. Por outro lado,de |GK F | = dimF K, |GK F ′| = dimF ′ K e F ⊂ F ′, concluımos que F = F ′, ou seja, que FK GK F = Fpara todo F ∈ subfieldsk K.

Seja S ∈ subgroupsGK k. Pelo Teorema 21, K = FK S(d) para algum d ∈ K. Seja {d1, . . . , dm}a S-orbita de d. Obviamente, m 6 |S|. Facamos f := (x − d1) · . . . · (x − dm). E facil ver quef ∈ FK S[x]. Logo, dimFK S K = dimFK S FK S(d) 6 m 6 |S|. Por outro lado, S ⊂ GK FK S implica|S| 6 |GK FK S| = dimFK S K. Portanto, S = GK FK S.

E facil verificar que GK(σF ) = σ(GK F )σ−1 para todos σ ∈ GK k e F ∈ subfieldsk K. Se a extensaok ⊂ F e normal, entao σF = F pela Proposicao 19.3, implicando GK F ▹GK k.

Se S ▹ GK k, entao σ FK S = FK S para todo σ ∈ GK k, pois GK(σ FK S) = σ(GK FK S)σ−1 =σSσ−1 = S. Pela Proposicao 19.3, levando em conta que a extensao k ⊂ K e normal, concluımos quea extensao k ⊂ FK S e normal. Finalmente, a funcao dada pela regra h : σ 7→ σ|F , onde a extensao

k ⊂ F e normal, define um homomorfismo h : GK k → GK F . E claro que S := GK F e o nucleo de h.A imagem G := hGK k, isomorfa a GK k/S, satisfaz FG := {f ∈ F | Gf = f} = k, pois FK GK k = k.Resta aplicar o seguinte

22. Lema. Seja F um corpo, seja AutF > G um grupo finito de automorfismos de F e sejak := {f ∈ F | Gf = f}. Entao k ⊂ F e uma extensao de Galois e dimk F = |G|.

Demonstracao. Denotamos n := |G|. Seja a ∈ F e seja {a1, . . . , am}, m 6 n, a G-orbita de a.O polinomio f := (x−a1) · . . . · (x−am) ∈ k[x] nao tem raızes multiplas e f(a) = 0. Logo, a e separavelsobre k e todas as raızes do polinomio minimal de a sobre k pertencem a F . Pelas Proposicoes 19 e 20,a extensao k ⊂ F e de Galois. Claramente, G 6 GF k. Alem disso, dimk k(a) 6 n para todo a ∈ K.Resta aplicar a igualdade |GF k| = dimk F e o seguinte

Exercıcio. Mostre a seguinte afirmacao.

23. Seja k ⊂ F uma extensao separavel de corpos tal que dimk k(a) 6 n para todo a ∈ F . EntaoF = k(a) para algum a ∈ F . (Dica: considere a ∈ F com a dimensao dimk k(a) maxima e aplique oTeorema 21.)

24. Lema. Sejam k ⊂ F uma extensao finita de Galois e E ⊂ K uma extensao algebrica de corpos.Suponhamos que o corpo K e gerado por F,E e que F ∩ E = k. Entao E ⊂ K e uma extensao finitade Galois e a regra h : σ 7→ σ|F identifica os grupos GK E e GF k.

Demonstracao. Se um subconjunto A ⊂ F gera o corpo F sobre k, entao A gera o corpo K sobre E.O polinomio minimal de a ∈ A sobre k e divisıvel em E[x] pelo polinomio minimal de a sobre E. Logo,


a extensao E ⊂ K e normal e separavel. Pela Proposicao 19, h e um homomorfismo. Ja que K e geradopor A sobre E, este h e injetivo. Para a imagem S := hGK E 6 GF k, temos k ⊂ FF S ⊂ F ∩E = k �

Seja G um grupo e seja K um corpo. Um caracter de G em K e simplesmente um homomorfismo degrupos χ : G → K∗. Podemos interpretar caracteres como funcoes de G para K.

25. Lema. Seja G um grupo, seja K um corpo e sejam χ1, . . . , χn caracteres distintos por pares.Entao χ1, . . . , χn sao K-linearmente independentes.

Demonstracao. Suponhamos que c1χ1 + · · · + cnχn = 0 para c1, . . . , cn ∈ K nem todos nulos etomemos n o mınimo possıvel. Entao todos os ci’s sao nao-nulos, n > 2 e a indicada dependencia lineare essencialmente unica. Sendo os χi’s caracteres, temos c1(χ1g0)χ1+ · · ·+cn(χng0)χn = 0 para qualquerg0 ∈ G. Portanto, χkg0/χ1g0 = 1 para todos k > 1 e g0 ∈ G. Uma contradicao �

Seja k ⊂ K uma extensao finita de Galois. Definimos a norma NKk : K → k pela formula NK

k a :=∏σ∈GK k

σa (e facil ver que o produto esta em k). Obviamente, temos NKk (a1 · a2) = NK

k a1 ·NKk a2 para

todos a1, a2 ∈ K.

26. Lema (teorema 90 de Hilbert). Seja k ⊂ K uma extensao finita de Galois tal que o grupo GK ke cıclico gerado por σ. Seja b ∈ K. Entao NK

k b = 1 se e so se existe um a ∈ K∗ tal que b = a/σa.

Demonstracao. Denotamos n := |σ| = n. Seja NKk b = 1. Considerando 1, σ, . . . , σn−1 como

caracteres de K∗ em K, obtemos a :=(1+ bσ+ b(σb)σ2 + · · ·+ b(σb) . . . (σn−2b)σn−1

)c = 0 para algum

c ∈ K∗ pelo Lema 25. Uma verificacao imediata mostra que b(σa) = a, pois b(σb) . . . (σn−1b) = 1 �

27. Lema. Seja k um corpo de caracterıstica 0 que contem todas as raızes n-esimas da unidade.Se k ⊂ K e uma extensao de Galois cujo grupo GK k e cıclico e dimk K = n, entao K = k(a), onde0 = an ∈ k. Reciprocamente, se 0 = an ∈ k, entao a extensao k ⊂ k(a) e de Galois, o grupo Gk(a) k ecıclico e dimk k(a) divide n.

Demonstracao. Denotamos por σ um gerador do grupo GK k. Pela hipotese, existe uma raiz n-esima da unidade b−1 ∈ k, |b| = n. Logo, NK

k b−1 = (b−1)n = 1. Pelo Lema 26, existe a ∈ K∗ talque σa = ab. Daı, σia = abi. Portanto, a extensao k ⊂ k(a) possui pelo menos n automorfismos. Istoimplica K = k(a). De σan = (ab)n = an segue an ∈ k.

Reciprocamente, toda raiz do polonomio xn − an ∈ k[x] tem a forma abi. Portanto, k ⊂ k(a) e umaextensao de Galois. Seja σ ∈ Gk(a) k. Entao σa = abmσ . Agora, e facil ver que a funcao h : σ 7→ βmσ eum homomorfismo injetivo para o grupo de raızes n-esimas da unidade �

Um grupo finito G e dito soluvel se existem subgrupos G = N0 ◃ N1 ◃ N2 ◃ · · · ◃ Nm = 1 tais que osgrupos Ni/Ni+1 sao cıclicos. Uma extensao finita de corpos k ⊂ F e dita soluvel se existe uma extensaofinita F ⊂ K tal que k ⊂ K e uma extensao de Galois e cujo grupo GK k e soluvel. Uma extensaofinita de corpos k ⊂ F e dita radical se existe uma extensao finita F ⊂ K tal que K = k(a1, . . . , am) eanii ∈ k(a1, . . . , ai−1) para todo i = 1, 2 . . . ,m.

28. Teorema. Seja k um corpo de caracterıstica 0. Entao uma extensao finita de corpos k ⊂ K esoluvel se e so se e radical.

Demonstracao. Seja k ⊂ K uma extensao soluvel. Podemos supor que ela e de Galois. PeloTeorema 22, temos uma cadeia k = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Km = K tal que as extensoes Ki ⊂ Ki+1

sao cıclicas (isto e, de Galois com os grupos GKi+1 Ki cıclicos). Denotamos ni := dimKi Ki+1 e n :=mmc(n0, n1, . . . , nm−1). Seja a uma raiz n-esima primitiva da unidade, |a| = n, e seja F := k(a).O corpo F contem todas as raızes n-esimas da unidade.

Denotamos por Fi o corpo gerado por Ki e F . Pelo Teorema 22, a extensao Fi ∩Ki+1 ⊂ Ki+1 e deGalois e o grupo GKi+1(Fi ∩Ki+1) 6 GKi+1 Ki e um grupo cıclico cuja ordem divide n. Pelo Lema 24,


Fi ⊂ Fi+1 e uma extensao de Galois cujo grupo GFi+1 Fi e isomorfo a GKi+1 Ki. Portanto, a extensaoFi ⊂ Fi+1 e cıclica e dimKi Ki+1 divide n para todo i. Pelo Lema 27, Fi+1 = Fi(ai), onde ami

i ∈ Fi.Alem disso, F = F0 = k(a) e an ∈ k.

Seja k ⊂ K uma extensao radical. Podemos supor que K = k(a1, . . . , am) e anii ∈ k(a1, . . . , ai−1)

para todo i = 1, 2 . . . ,m. Facamos n := mmc(n0, n1, . . . , nm−1) e Ki = k(a, a1, . . . , ai), onde a e umaraiz n-esima primitiva da unidade, |a| = n. (Assim, K0 contem todas as raızes n-esimas da unidade.)Entao Ki = Ki−1(ai) e ani ∈ Ki−1 para todo i = 1, 2, . . . ,m. Pelo Lema 27, a extensao Ki−1 ⊂ Ki ecıclica. Por outro lado, a extensao k ⊂ K0 = k(a) e de Galois e o grupo GK0 k e abeliano, pois qualquerhomomorfismo σ : K0 → k, identico sobre k, e dado pela imagem de a e esta imagem e necessariamenteda forma aj com mdc(j, n) = 1 . . . �

Exercıcios. Mostre as seguintes afirmacoes assumindo que todos os corpos tem caracterıstica 0.

29. Seja G um grupo soluvel. Entao qualquer subgrupo de G e qualquer quociente de G sao soluveis.

30. O grupo A5 nao possui subgrupos normais proprios.

31. Seja k ⊂ K uma extensao finita de Galois. A extensao k ⊂ K e soluvel se e so se o grupo GK ke soluvel.

32. Seja K := k(t1, . . . , tn) o corpo de fracoes da k-algebra dos polinomios k[t1, . . . , tn] em n variaveist1, . . . , tn sobre k, onde k e um corpo. Facamos F := k(s1, . . . , sn), onde si := si,n(t1, . . . , tn) saopolinomios simetricos tais que f := (x − t1) · . . . · (x − tn) = xn − s1,nx

n−1 + · · · + (−1)nsn,n. EntaoF ⊂ K e uma extensao de Galois e GK F ≃ Σn. (Dica: Note que K e um corpo de decomposicao dopolinomio f ∈ F [x]. Pelos Exercıcios 10 e 11, dimF K 6 n!. Por outro lado, o grupo Σn age sobreK e FK Σn = {a ∈ K | Σna = a} ⊃ F . Pelo Lema 22, FK Σn ⊂ K e uma extensao de Galois edimFK Σn K = |Σn| = n!.)

33. Existem a1, a2, a3, a4, a5 ∈ C tais que as raızes do polinomio x5 + a1x4 + a2x

3 + a3x2 + a4x+ a5

nao podem ser expressas em a1, a2, a3, a4, a5 utilizando as operacoes +, −, ·, / e n√

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Teoremas e definic˘oes~ · Para toda fun˘c~ao b, esta inversa b′ e unica, se existir; denot^amo-la por b−1. 1.5. Exemplos. 1. Seja M um conjunto. Ent~ao o conjunto M = {b: M