TEORA DE ERRORES MONCADA OLIVER ARNOLDLABORATORIO I, 5FV2,
ESCUELA SUPERIOR DE FSICO
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RESUMENEn general en esta prctica nicamente se dividi al azar el
tema de teora de errores para su exposicin entre los compaeros de
grupo.En particular se definieron conceptos tales como: como se
define la medicin, que es un mensurado, cuntos y cules son los
tipos de tendencia central (moda, mediana, media aritmtica, media
geomtrica, media armnica, etc.), que es el error experimental y
cuantos tipos hay, cmo se evala el error y cuantos tipos de medidas
de dispersin hay (desviacin media, varianza, desviacin estndar,
etc.), que es un histograma, que es una ojiva, cmo se evala la
propagacin de errores, que es un ajuste por mnimos cuadrados, en
particular como se obtiene el sistema de ecuaciones para el ajuste
de un polinomio de grado n.INTRODUCCINEn esta seccin se procede a
definir los conceptos planteados en el resumen.Cuando se mide una
cantidad, ya directa, ya indirectamente, la medida que se obtiene
no es necesariamente el valor exacto de tal medida, ya que el
resultado obtenido estar afectado por errores debidos a multitud de
factores.
En estos casos es necesario estimar el error cometido al
efectuar una medida o serie de medidas. El conjunto de reglas
matemticas dedicado a su estudio se conoce como teora de errores, y
resulta imprescindible tanto para sacar todo el partido posible a
un conjunto de datos experimentales como para evaluar la fiabilidad
de stos.
Una medicin accin o efecto de medir.
Medir consiste en obtener la magnitud (valor numrico) de algn
objeto fsico, mediante su comparacin con otro de la misma
naturaleza que tomamos como patrn.
El mensurando es el objeto, sustancia o fenmeno sobre el que se
determina una caracterstica especfica.
Existe una variedad de tipos de media de tendencia central,
estos son:Media aritmtica. Lamedia aritmticaes un promedio estndar
que a menudo se denomina "promedio".
Media geomtrica de una cantidad arbitraria de nmeros (por
decirnnmeros) es laraz n-simadel producto de todos los nmeros
Media ponderada. Consiste en otorgar a cada observacin del
conjunto de datos (X1,X2,,XN) unospesos(p1,p2,,pN) segn la
importancia de cada elemento.Para una serie de datos no vaca:
a la que corresponden los pesos:
Lamedia ponderadase calcula de la siguiente manera:
Media armnica de una cantidad finita de nmeros es igual
alrecproco, o inverso, de lamedia aritmticade los recprocos de
dichos valores
Medianaa) Sin es impar, la mediana es el valor que ocupa la
posicinuna vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente
o decreciente), porque ste es el valor central. Es decir:.b) Sin es
par, la mediana es la media aritmtica de los dos valores centrales.
Cuandoes par, los dos datos que estn en el centro de la muestra
ocupan las posicionesy. Es decir:.
Moda. Es el valor con una mayor frecuencia en una distribucin de
datos.
TIPOS DE ERRORES Unerror experimentales una desviacin del valor
medido de unamagnitud fsicarespecto al valor real de dicha
magnitud.
La incertidumbre de las medidas proviene de distintas causas que
permiten clasificar a los errores en: a) Errores sistemticos. Son
debidos a la presencia de algn factor que no ha sido tenido en
cuenta y que altera de un modo significativo el resultado de la
misma.b) Errores de observacin. Debido a defectos en la actuacin
del experimentador; observar una escala desde un ngulo no adecuado,
no equilibrar una balanza, demorarse en activar un reloj, utilizar
un ampermetro o un voltmetro en una escala que no es adecuada,
etc.c) Errores de precisin del aparato de medida (incertidumbre
experimental). Todo aparato de medida presenta una limitacin en
cuanto a la precisin, P, con la que se puede dar una determinada
magnitud. La propia escala del aparato hace que no sea posible
apreciar variaciones en la medida por debajo de un determinado
valor.d) Errores estadsticos o aleatorios. Son el resultado de la
contribucin de numerosas fuentes no controladas que se desplazan
aleatoriamente (en un sentido u otro) el valor de la medida
respecto a su valor real; esto puede ser debido a: fluctuaciones en
la corriente, variaciones de la luminosidad, variaciones de la
presin, de la temperatura, etc.Los errores aleatorios tienen signo
positivo o negativo, indiferentemente, y la influencia sobre los
resultados no sigue ninguna ley constante.No se pueden evitar y
para disminuir su influencia se tiene que recurrir a la repeticin
de las medidas en una gran variedad de ocasiones.
Medidas de dispersin:1. Rango. Mide la amplitud de los valores
de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor ms elevado
y el valor ms bajo.2. Elmedio rangoorango mediode un conjunto de
valores numricos es la mitad de la suma del mayor y menor
valor.
3. Varianza. Lavarianzaes una medida estadstica que mide la
dispersin de los valores respecto a un valor central (media), es
decir, es el cuadrado de las desviaciones:
4. Desviacin tpica: Se calcula como raz cuadrada de la
varianza.
5. Ladesviacin media(Dx)es lamedia aritmticade losvalores
absolutos de las desviaciones respecto a la media.
6. Coeficiente de varizacin de Pearson: se calcula como cociente
entre la desviacin tpica y la media.
Consideremos una poblacin de personas de una ciudad y que
queremos analizar cmo se distribuyen las estaturas de la poblacin.
Para llevar adelante este estudio podemos medir la altura de todos
los individuos de la poblacin, o bien tomar una muestra
representativa de la misma, a partir de la cual inferiramos las
caractersticas de la poblacin. Esta clase de estudio es un tpico
problema de estadstica. Si tomamos una muestra de tamao N y para la
misma medimos las alturas de cada individuo, este experimento dar N
resultados: x1,x2,x3,..., xN. Todos estos datos estarn comprendidos
en un intervalo de alturas (xmin, xmax) entre la menor y mayor
altura medidas. Una manera til de visualizar las caractersticas de
este conjunto de datos consiste en dividir el intervalo (xmin,
xmax) en m subintervalos iguales, delimitados por los puntos (y1,
y2, y3,..., ym) que determinan lo que llamaremos el rango de
clases. Seguidamente, contamos el nmero n1 de individuos de la
muestra cuyas alturas estn en el primer intervalo [y1, y2), el
nmero nj de los individuos de la muestra que estn en el jsimo
intervalo [yj-1, yj), etc., hasta el subintervalo m. Aqu hemos
usado la notacin usual de usar corchetes, [], para indicar un
intervalo cerrado (incluye al extremo) y parntesis comunes, (),
para denotar un intervalo abierto (excluye el extremo). Con estos
valores definimos la funcin de distribucin fj que se define para
cada subintervalos j como:
.(*)
Esta funcin de distribucin est normalizada, es decir:
.(**)El grfico de fj versus xj [xj = 0.5 ( yj-1 + yj)] nos da
una clara idea de cmo se distribuyen las altura de los individuos
de la muestra en estudio. Este tipo de grfico (solo se describe no
se presenta) se llama un histograma.
Ajuste por mnimos cuadrados. Este mtodo consta en trazar la
recta que mejor se ajuste al conjunto de datos dado, a dicha recta
se le denomina lnea recta de regresin; y se expresa matemticamente
como
Y=C1x+C2+Error
Donde:
El error se da en trminos de la suma de los cuadrados de la
diferencia entre el valor muestral y el valor calculado con la
recta de regresin.Polinomio aproximadorQueremos aproximar un
polinomio de gradon, a un conjunto dem+1 pares de datos (xi, yi) de
modo quenm.Sea el polinomioP(x)=a0+a1x+a2x2+...anxnSe calcula la
cantidadS=i=0m(P(xi)yi)2=i=0m(a0+a1xi+a2x2i+....+anxniyi)2Para
obtener los valores de los coeficientes del polinomio aproximador
se tienen que determinar los valores de los coeficientesa0, a1, a2,
...ande forma que la cantidadStome un valor mnimo.Hagamos las
derivadas parciales deSrespecto dea0, a1, a2, ...aniguales a
cero
Obtenemos un sistema den+1 ecuaciones conn+1 incgnitas,a0, a1,
a2, ...an
Bibliografa:http://www.ugr.es/~aquiran/docencia/apuntes/errores.pdfwww.fisicarecreativa.com/guias/capitulo1.pdfwww.ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fisica.../Teoria%20de%20errores.pdf
