Teoría de La Demanda

7/17/2019 Teoría de La Demanda

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Teoría de la Demanda

Curva de Demanda Individual



Curva precio-consumo

Co

njunto de canastas optimas (las mejores), cuandovaria el precio de un bien y se mantiene constantela renta y el precio del otro bien.A partir de esta curva se puede obtener la curva dedemanda individual. Se anotan los cambios en losprecios y en las cantidades del alojamiento, con ello

se puede construir la curva de demanda individual.



Curva de demanda individual

a curva de demanda individual es una relaci!n"ue nos dice cuanto desea consumir y comprar adi#erentes precios el consumidor



Curva de DemandaSustitutos $er#ectos



Curva de DemandaComplementarios $er#ectos



Demanda vs CantidadDemandada

Di#erencia%

• Demanda% #unci!n "ue muestra larelaci!n entre cantidadesdemandadas y precios del bienpara todo $ y &% toda la curva.

• Cantidad Demandada% ' de

unidades "ue se demandan de unbien a precio determinado. *s unpunto sobre la curva de demanda.



Demanda vs CantidadDemandada• Cambios de Demanda% Cambia

toda la #unci!n, se despla+a lacurva, para todo $ y &, debido al

cambio de otro #actor distinto a $.• Cambios en la Cantidad

Demandada% Cambia el nmero de

unidades consumidas a lo laro dela #unci!n ante un cambio en $.



n Cambio en la CantidadDemandada

P

Q

demanda

*sto es un despla+amientoA / A01/ de la curva de

demanda

Ramón Castro

http://ramoncastro.es



Despla+amiento de la Curva deDemandaP

Q

demanda

demanda’

n cambio en la demanda2acia la derec2a (no est3motivado por variaciones enel precio del bien, sino porotras variables (por ejemplo,

un aumento en el inreso delos consumidores)




*#ectos sobre la demanda individual productode cambios en los precios y en el inreso



urva nresoConsumo

A medida "ue sube el inreso las rectas presupuestarias

se despla+an paralelamente 2acia a#uera. Suponiendo"ue se mantienen constantes los precios y laspre#erencias, la CIC muestra como cambia el consumode vivienda debido a un aumento en el inreso. acurva se obtiene uniendo todos los puntos de tanencia,"ue son las mejores canastas, entre el mapa de curvas



Curva de *nel

• 0epresenta la relaci!n entre la cantidadconsumida de un bien y el nivel de inresos



4ienes In#eriores y 'ormales

n bien in#erior es a"uel "ue disminuye su consumosi aumentan los inresos del individuon bien normal es a"uel "ue aumenta su consumocon un aumento de los inresos del consumidor.



*#ecto Inreso y *#ecto

Sustituci!n• 5ariaciones en el precio de un bien a#ecta a lasdecisiones de compra por dos ra+ones.

• $or una parte la subida del precio de un bienaumenta el atractivo de los sustitutos cercanos al

bien (e#ecto sustituci!n).• $or otra parte, la subida del precio reduce el poder

ad"uisitivo de del consumidor. Cuando el bien esnormal este e#ecto 2ace "ue se consuma menos del

bien, pero cuando el bien es in#erior el e#ecto escontrario. *sta variaci!n de llama e#ecto-renta oe#ecto-inreso.

• *l e#ecto total de un cambio en los precios es lasuma de los dos e#ectos anteriores



ec o nreso y ec oSustituci!n

63s #ormalmente se puede decir "ue el e#ecto total sedescompone en%• *#ecto sustituci!n "ue es componente del e#ectototal de la variaci!n de un precio provocado por lavariaci!n del atractivo relativo de otros bienes.• *#ecto inreso es el componente del e#ecto total de

la variaci!n de un precio provocado por la variaci!ndel oder ad uisitivo real



*#ecto Sustituci!n y *#ecto Inreso del cambio en un preciopara un bien normal

a restricci!n 2ipot7tica 48 permitiría"ue consumidor tena su9cienteinreso para volver a alcan+ar elnivel de utilidad "ue tenía antes de lasubida del precio, redujo el consumo

del bien. (*S)*l *#ecto Inreso (*I) se puedeobservar cuando se contrae la rectapresupuestaria producto de lap7rdida de poder ad"uisitivo



*#ecto Sustituci!n y *#ecto Inreso delcambio en un precio para un bien in#erior



4ienes 1i:en• n bien 1i:en es a"uel en el "ue el e#ecto total de una

subida del precio provoca un aumento de la cantidaddemandada.

• Como el e#ecto sustituci!n es siempre una reducci!nde la cantidad comprada, el bien 1i:en debe ser un

bien in#erior cuyo e#ecto inreso contrarresta el e#ectosustituci!n. *ntonces es un bien muy in#erior.



*S y *I en 4ienesComplementarios

Cuando los bienes soncomplementariosper#ectos, el *S de unaumento en el precio

de las 9jaciones, semueve de A a C elconsumidor, es cero.

$or lo tanto el *I esiual al *T



*S y *I en 4ienes Sustitutos

*n el caso de bienes sustitutos per#ectos el *S deun aumento del precio del ca#7 puede ser muyrande




Demanda Compensada(;ic<siana)



Curva de DemandaCompensada• a curva de demanda compensada es a"uella "ue indica

cuanto comprarían los consumidores a cada precio si seles compensara totalmente los e#ectos inreso decambios en los precios.

• *n la pr3ctica la distinci!n entre la curva de demandaordinaria (6ars2alliana) y la curva de demanda

compensada es especialmente importante en cuestionesrelacionadas con la política 9scal, cuando el e#ectoinreso es muy rande en relaci!n al e#ecto sustituci!n.

• a curva de demanda compensada si es lineal tendr3menos pendiente "ue la demanda 6ars2alliana siestamos en presencia de un bien in#erior.

• Si estamos en presencia de un bien normal y lasdemandas son lineales la curva de demandacompensada tendr3 mas pendiente.





Demanda compensada de un bienin#erior



Impuestos a un 4ien




Demanda de 6ercado



Se suma 2acia el lado a partir de un preciodeterminado las cantidades individuales y seobtiene la demanda de mercado.

/btenci!n de la demanda de mercado de un bienprivado.



• Ingresos. a cantidad demandada por un bien varía con unaumento (disminuci!n) del inreso. *n el caso de los bienesnormales aumenta (cae) la cantidad demandada, en losbienes in#eriores cae (aumenta) la cantidad demandada.

• Los gustos. Determinan los mapas de curvas de indi#erenciay a#ecta la cantidad demandada de bines.

• Los precios de los sustitutos y los complementarios. naumento de los precios de los bines complementarios a#ectaneativamente la demanda de un bien. n aumento delprecio de un bien sustituto aumenta la demanda por el bien.

• Las expectativas. as e=pectativas sobre niveles de preciose inresos #uturos a#ectan el consumo en el presente.

• La población. *n eneral cuanto mayor es la poblaci!nmayor es la cantidad "ue se compra de un bien o servicio aun precio dado.

Determinantes de laDemanda de 6ercado



Determinantes de la Demanda de6ercado



5amos a ocupar la#ormula >






*lasticidad de la Demanda



*lasticidad $recio de laDemanda• a elasticidad precio de la demanda es la

variaci!n porcentual de la cantidaddemandada de un bien provocada por unavariaci!n de su precio de un ?.

• Si la elasticidad es menor "ue - se dice "ue

la demanda es el3stica, si es mayor a - a lademanda se le denomina inel3stica y si laelasticidad es iual a - se dice "ue lademanda tiene elasticidad unitaria.



*lasticidad $recio de laDemanda• na interpretaci!n alternativa es el m7todo del

punto y la pendiente%



Casos e=tremos de elasticidad de la

Demanda



a pendiente de la curva se ve a#ectada por elcambio de unidades en "ue se mide por ejemplo

asolina, pero no así la elasticidad precio

a elasticidad es independiente de la

unidad en "ue se mida



*lasticidad $recio y 1asto

Total



*lasticidad precioy asto total



Determinantes de la *lasticidad



Determinantes de la *lasticidad$recio• Las posibilidades de Sustitución. *l e#ecto sustituci!n de

la variaci!n de un precio tiende a ser pe"ue@o cuando los

bines no tienen sustitutos cercanos. *l valor absoluto de laelasticidad precio aumenta si e=isten sustitutos cercanos.

• Proporción del Presupuesto. *l e#ecto renta de la variaci!nde un precio es m3s importante cuanto mayor es laproporci!n "ue representa el producto dentro del asto total.

*n eneral cuanto menos peso tiene un bien en el asto totalmenos el3stica es la demanda.

• Sentido del Efecto Ingreso. 6uy relacionado con el puntoanterior es si el e#ecto inreso es positivo o neativo. aproporci!n nos dice si el *I es rande o pe"ue@o pero susentido nos indica si re#uer+a o combate el *S. *n eneral unbien normal tender3 a tener una mayor elasticidad "ue unbien in#erior.

• El Tiempo. a demanda es m3s el3stica a laro pla+o "ue acorto pla+o.



*lasticidad Inreso de laDemanda• a elasticidad inreso es la variaci!n porcentual de la

cantidad demandada por una cambio en el inreso de un?.

• os bienes, como los alimentos, "ue varían en unaproporci!n menor al inreso, tienen una elasticidad inresomenor "ue y mayor a , se les llama necesarios.

• Si tiene una elasticidad inreso menor a son bienesin#eriores.

• Si tienen una elasticidad inreso mayor a son bienes delujo



Curvas de *nel y *lasticidadInreso



*lasticidad $recio Cru+ada

• a elasticidad precio cru+ada de la demanda esla variaci!n porcentual de la cantidaddemandada de un bien provocada por unavariaci!n del precio del otro bien en un ?.

• Si la elasticidad precio cru+ada es neativa losbines son complementarios .

• Si la elasticidad precio cru+ada es positiva losbienes son sustitutos.




6edidas de 4ienestar



6idiendo en t7rminos monetarios,

los bene9cios del intercambio

• d. $uede comprar tanta asolina como"uiera al precio de peso el al!n una ve+

"ue se encuentra dentro del mercado.

• $reunta% BCu3nto es lo m3=imo "ue est3dispuesto a paar para entrar al mercado

• 0espuesta% *staría dispuesto a paar 2astael valor de las anancias "ue podríadis#rutar por el intercambio sea mayor "ueel precio de mercado.



• BC!mo se pueden medir estasanancias por el intercambio

• *=isten tres #ormas de medir los

bene9cios del intercambio% – *l e=cedente del Consumidor

– a variaci!n e"uivalente, y

– a variaci!n compensada.• S!lo en una circunstancia muy

especial estas medidas coinciden.



• Suponamos "ue la asolina puede sercomprada s!lo en unidades de al!n.

• r nos indica la cantidad m3=ima "ueun consumidor est3 dispuesto a paarpor el primer al!n a esta cantidad lellamamos el precio de reserva por el

primer al!n.• r es el e"uivalente en pesos de la

utilidad marinal del primer al!n para

el consumidor.

*"uivalente en E de la utilidad

resultante del intercambio



• A2ora "ue tiene un al!n de asolina,emplearemos la notaci!n rF para mostrar la

cantidad m3=ima "ue estamos dispuestos apaar por el seundo al!n es decir el preciode reserva del seundo al!n.

• rF es el e"uivalente en pesos de la utilidad

marinal del seundo al!n de asolina parael consumidor.

• Si ya tiene n- alones, entonces rn es la

cantidad m3=ima "ue est3 dispuesto a paar

por el n-7simo al!n de asolina.• rn es el e"uivalente en pesos de la utilidad

marinal del n-7simo al!n.



• r G H G rn es, entonces, el e"uivalente en

d!lares del cambio total en la utilidadresultante de ad"uirir n alones de asolina alprecio de E.

• Así r G H G rn - p1n ser3 el e"uivalente en

d!lares del cambio total en la utilidadresultante de ad"uirir n allones de asolina alprecio Ep1 por cada al!n.

• *l r39co de r, rF, H , rn, H en t7rminos de

alones de asolina, se conoce como la curvade precios de reserva. *sta curva no es iual ala curva de demanda del consumidor.



F J K L

r

rF

r

rJ

rK

rL

1alones de 1asolina

Curva de $recios de 0eserva



• BCu3l es el valor monetario de nuestraanancia por intercambio en el mercadode asolina al precio Ep1

• a utilidad neta e"uivalente en pesos porel intercambio del primer al!n es E(r - p1)

• M es E(rF - p1) por el seundo al!n,

• M así sucesivamente% E(r - p

1) G E(r

F - p

1)

G H2asta rn - p1 N .



F J K L

r

rF

r

rJ

rK

rL

p1

1alones de 1asolina

Curva de $recios de 0eservaReservation Price Curve for Gasoline

0

2

4

6

8

10

Gasoline (gallons)

($) Res.

Values



F J K L

r

rF

r

rJ

rK

rL

p1


1alones de 1asolina

Reservation Price Curve for Gasoline

0

2

4

6

8

10

Gasoline (gallons)

($) Res.

Values



F J K L

r

rF

r

rJ

rK

rL

p1

E valor de la utilidad neta por las anancias del intercambi


1alones de 1asolina

Reservation Price Curve for Gasoline

0

2

4

6

8

10

Gasoline (gallons)

($) Res.

Values



1asolina

(E)

Curva de precios de reserva

A2ora suponamos "ue la

asolina se puede comprar enunidades de cual"uier manitud,entonces ...



p1

1asolina

(E) Curva de precios de reserva



p1

1asolina

(E)Curva precios de reserva

E valor de la utilidad neta por las anancias delintercambio



• Desa#ortunadamente, la estimaci!nde la curva de precios de reserva delconsumidor es di#ícil.

• *n consecuencia, y como unaapro=imaci!n, la curva de precios dereserva es reempla+ada con la curva

de demanda ordinaria delconsumidor.

*=cedente del Consumidor



• a curva de precios de reserva del consumidorno es la curva de demanda ordinaria. B$or "u7

• a curva de precios de reserva describesecuencialmente los valores de unidadesadicionales sucesivas de un bien.

• a curva de demanda ordinaria describe lo

m3=imo "ue estamos dispuestos a paar por "unidades de un bien compradossimult3neamente.

• *l 3rea bajo la curva de precios de reserva es,apro=imadamente, el 3rea bajo la curva dedemanda ordinaria y nos permite obtener ele=cedente del consumidor como la medida dela utilidad neta en d!lares resultante delintercambio.



p1

(E)

1asolina


Curva de demanda ordinaria



p1

(E)

1asolina



E valor de la utilidad neta por lasanancias del intercambio



p1


(E)

1asolina






p1

(E)


1asolina






• a di#erencia entre la curva deprecios de reserva del consumidory la curva de demanda ordinaria sedebe al e#ecto inreso.

• $ero si la #unci!n de utilidad delconsumidor es cuasilineal en elinreso entonces no 2ay e#ecto

inreso y el e=cedente delconsumidor es una medida e=actade las anancias del intercambio.



a #unci!n de utilidad del

consumidores cuasilineal en =F.

Tomemos pF O . *ntonces elproblema de optimi+aci!n parael consumidor es ma=imi+ar

Sujeta a

2121 )(),( x xv x xU +=

2121 )(),( x xv x xU +=

.211 m x x p =+



Sujeta a

2121 )(),( x xv x xU +=

.211 m x x p =+



ntonces podemos despejar = para ma=imi+

a condici!n de pimer orden es

*s decir,

*sta es la ecuaci!n de demanda ordinariadel consumidor para el bien .

.)( 111 x pm xv −+

0)(' 11 =− p xv

).(' 11 xv p =



• *l e=cedente del consumidor es lamedida e=acta de la utilidad obtenidapor el consumidor al consumir

unidades del bien cuando la #unci!nde utilidad es cuasilineal en el bien F.

• *l cambio en la utilidad total del

consumidor resultante de un cambioen p es, apro=imadamente, el cambioen el e=cedente del consumidor.



p

p(=), es la curva inversa de

demanda del bien

x1*

x1'

1'



p

*C antes

p(=)

x1*

x1'

1'



p

*C despu7s

p(=)

x1*

x1'

1"

x1"

1'



p

$erdida de *C

p(=), es la curva inversa de

demanda del bien

x1*

x1'

x1"

1"

1'

*



p

$erdida*C

=P(p), es la curva de demanda

ordinaria del bien .

6ide la perdida dee=cedente del consumidor.

x1*

x1'

x1"

∫ =∆"1

'1

11

*

1 )( p

pdp p x EC

1"

1'



• p se incrementa.

• $reunta% BCu3l es el menor inreso

adicional "ue, a los nuevos precios,restablece e=actamente los nivelesoriinales de utilidad al consumidor

• 0espuesta % a 5ariaci!nCompensada

5ariaci!n Compensada



=F

=

u

p

Op

8 pF

es 9jo.

x1'

x2'

'

22

'

1

'

11 x p x pm +=



=F

=

u

uF

p

Op

8

pOpQ

pF

es 9jo.

x1'

x2'

x1"

x2"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +="22

"1

"1 x p x p +=



=F

=

u

uF

p

Op

8

pOpQ

pF

es 9jo.

x1'

x1"

x2"

x2'

x2'"

x1'"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +=

"

22

"

1

"

1 x p x p +='"

22

'"

1

"

12 x p x pm +=



=F

=

u

uF

p

Op

8

pOpQ

pF

es 9jo.

x1'

x1"

x2"

x2'

x2'"

x1'"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +=

"

22

"

1

"

1 x p x p +='"

22

'"

1

"

12 x p x pm +=

( )''2'''

22

''

1

'''

1

''

112 )( x x p x x pmmVC −+−=−=



• p se incrementa.

• preunta% Bcu3l es el menor inresoadicional "ue, a los precios iniciales,restablece e=actamente el nivel deutilidad del consumidor

• 0espuesta% la 5ariaci!n *"uivalente.

5ariaci!n *"uivalente



=F

=

u

p

Op

8 pF

es 9jo.

x1'

x2'

'

22

'

1

'

11 x p x pm +=



=F

=

u

uF

pOp8

pOpQ

pF es 9jo.

x1'

x2'

x1"

x2"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +=

"

22

"

1

"

1 x p x p +=



=F

=

u

uF

pOp8

pOpQ

pF es 9jo.

x1'

x1"

x2"

x2'

x2'"

x1'"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +="

22

"

1

"

1 x p x p +=

'"

22

'"

1

'

12 x p x pm +=



=F

=

u

uF

pOp8

pOpQ

pF es 9jo

x1'

x1"

x2"

x2'

x2'"

x1'"

'

22

'

1

'

11 x p x pm +="

22

"

1

"

1 x p x p +=

'"

22

'"

1

'

12 x p x pm +=

( ) ( )''2'''

22

''

1

'''

1

'

121 x x p x x pmmVE −+−=−=



. Cuando las pre#erencias del consumidorson cuasilineales las tres medidas son la

misma.F. Consideremos el cambio en el e=cedente

del consumidor en una demanda de otrotipo cuando p

se incrementa de p

8 a p

Q y

el bien es normal entonces 5* R ∆*C R 5C.

. Si a2ora baja p entonces 5CR∆*CR5*

*=cedente del Consumidor, 5ariaci!nCompensada y 5ariaci!n *"uivalente

T í d l D d




6a=imi+aci!n% *n#o"ues $rimal yDual

T í d l D d




$roblema $rimal e Identidad de0oy

P i l



PrimalComo ya 2abíamos visto al ma=imi+ar la tilidad delconsumidor sujeto a la restricci!n presupuestaria

"ue tiene el consumidor se tiene "ue%

[ ]

y p x p I p

Umg

p

Umg

d

dL

dy

dL

dx

dL

y p x p I y xU L

y p x p I

a s

y xU Max

y x

y

y

x

x

y x

y x

+=∧==

===

−−++=

λ

λ

λ

0

),(:

..

),(.



De () y (F) obtenemos las *cuaciones deDemanda 6ars2aliana.

Si lueo reempla+amos = e y en la#unci!n objetivo((=,y)) obtenemos la

#unci!n de utilidad indirecta%

),,(

),,(

),,(

I p p

I p p y y

I p p x x

y xmm

y xmm

y xmm

λ λ =

=

=

)),,(),,,((),,( I p p y I p p xU I p pV y xm y xm y x =

a Identidad de 0oy nos sirve para encontrar las ecuaciones de!



Demanda 6ars2alliana, si conocemos la #unci!n de tilidad Indirecta

( ) ( )

( ) ( )

I V

pV

x Entonces

I

V

I y p x p I

I

y pUmg

I

x pUmg

I

V

Además

x p

V

x p

y p x p I p

y pUmg

p

x pUmg

p

V

y p x p I y xU I p pV

xm

m

mm

m ym xm

ym ym

xm x

mm x

mm

x

mm ym x

y

m ym y

x

m xm x

x

m ym xmmm y x

∂∂

∂∂

−=

=∂∂

+∂∂

−−+∂∂

−+∂∂

−=∂∂

−=∂

∂

−∂∂

−−+∂∂

−+∂∂

−=∂∂

−−+=

:

)(

)(

)(),(),,(

λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ

λ λ

λ





$roblema Dual y ema de S2epard



* DA del problema de ma=imi+aci!ndel bienestar del consumidor consiste en

alcan+ar un determinado nivel de utilidad(u) con el menor asto posible

a canasta Aconsi-ue el nivel deutilidad al menor

-asto, la 4 tambi7nconsi-ue ese nivel de utilidad pero con unnivel de -asto mayor.

a canasta C tiene un-asto menor pero noconsi-ue el nivel de utilidad deseado.

*l C id i i i t ( )



*l Consumidor minimi+a asto s.a. (=,y)[ ]

y

x

y

x

y

y

x

x

y y

x x

y x

Umg

Umg

p

p

Umg

p

Umg

p

y xU U L

Umg p y

L

Umg p x

L

CPO

y xU U y p x p L

=⇒==

=−∂

∂

=−∂∂

=−∂∂

−++

λ

λ

λ

λ

λ

0),(:

0*:

0*:

:

),(:

0

0

Al reempla+ar en la restricci!n de utilidad se



ueo e M se reempla+a en la #unci!n

objetivo%

LEMA E S!EPA"$ermite recuperar la demandacompensada a partir del astomínimo.

#unción de $asto % del consumidor muestra el astomínimos necesario para alcan+ar un determinadonivel de utilidad con un determinado conjunto deprecios

Al reempla+ar en la restricci!n de utilidad seobtienen las demandas 2ic<sianas de losbienes

h

i

i

x p

e=

∂

∂

( )

( )U p p y y

U p p x x

y xhh

y xhh

,,

,,

=

=

( ) ( )

( )U p pe E

U p p y pU p p x peGasto

y x

y xh y y xh x

,,

,,,,

=

+==



%onclusiones

• a teoría de la dualidad en el consumoes clara al permitir obtener en #ormasimple la #unciones de demanda tanto

6ars2allianas como compensadas• Se demuestra la semejan+a entre el

planteamiento del problema de ma=.

y de min. 1, al permitir de #ormainmediata conocer el e#ecto sustituci!n.



L. S!EPA"

$. $rimal% $. Dual%

I. "&'

E. SL(TS)'

I*+E"SA

%.P.&., P.".

#..(.

%.P.&., #..(.

".P.

. dedemandaordinaria

. dedemanda

compensada

. indirecta deutilidad . de asto



e(p, v(p, m)) O I

*l asto mínimo necesario para alcan+ar lautilidad v( p, m) es I.

5(p, e(p, u))O

a utilidad m3=ima enerada por el inresoe(p, u) es

(p, m)O2(p, v(p, I))a demanda mars2alliana correspondiente alnivel de inreso m es id7ntica a la demanda2ic<isana correspondiente al nivel de

utilidad 5( p, I)



2( p, u) O (p, e( p, u))

a demanda 2ic<sianacorrespondiente al nivel de utilidad es id7ntica a la demanda

mars2alliana correspondiente al nivelde inreso e( p, u)

*jemplo



*jemplo

Con la siuiente #unci!n de utilidad%

;allar%a)unci!n demanda ordinaria, la #unci!n

de utilidad indirecta y la #unci!n de astomínimo

b);alle la #unci!n de Demandacompensada 1 ;. ..I

c);alle el valor de la tilidad directa eindirecta para un inreso de IO J yprecios% $=O U $yO K

d) 5eri9"ue la valide+ de la identidad de

0oy.

2

1

2

1

4 y xU =

$rimal% Consumidor ma=imi+autilidad sujeto a la recta de



presupuesto.[ ]

[ ]

2

*2

224

:esindirectautilidaddefuncionLa

22/

0:

02:

02:

4:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

y x

y x y x

y

m

x

m y x y x

y x

y

x

y

x

y x

p pV e

p p

I

p

I

p

I V

p

I Y

p

I X p x p p x p I

y p x p I L

p

p

x

y

p y x

y

L

p y x x

L

y p x p I y x L

=⇒=

=

=∧=⇒+=⇒

=−−∂∂

=

=−

∂

∂

=−∂∂

−−+

−

−

λ

λ

λ

λ

$roblema Dual



$roblema Dual Tomando en cuenta la siuiente #unci!n deutilidad

amos a resolver el problema dual en la teoría del consumid

"eempla-ando /0 en 10tenemos2

21

21

4 y xU =

21

21

0 4. Y X U a sY P X P Min

Y X =+

−++= 21

21

4 Y X U Y P X P Z Y X λ

)2(04

02

02

21

21

21

21

21

21

=−=∂

∂

=−=∂

∂

=−=∂

∂

−

−

Y X U Z

Y X P Y

Z

Y X P X

Z

Y

X

λ

λ

λ

)1(Y

X

Y

X

P

X P Y

X

Y

P

P =→=

21

21

4

=

Y

X

P

X P X U

D j bt l # i! d D d



Despejamos y obtenemos la #unci!n de DemandaCompensada para el bien %

manera an3loa la #unci!n de demanda compensadara el bien M es%

0eempla+ando las #unciones de demanda compensada

en la #unci!n objetivo obtenemos la unci!n de 1astomínimo%

#unción de $asto m3nimo

4

21

21 U P P y X Y h

−

=

42

12

1 U P P y Y X h

−

=

21

21

21

21

21

21

2

44

Y X

Y X Y X Y X

P P V

e

V U haciendo

U P P P

U P P P e

=

=

+

=

−−

Con la #unci!n inversa del asto mínimo y



tomando en cuenta "ue eOI obtenemos launci!n de tilidad Indirecta

5eri9cando la valide+ del lema de S2epard

Teniendo en cuenta "ue%

Aplicando el lema de S2epard obtenemos%

2121

2

Y X P P

I

V =

X

P

e X

∂

∂=

21

21

2 Y X P P

V e =

21

21

4 Y X P P

V X

−=

c) O 5O



c) O 5O

Si I4 5667 Px4 /67 Py4 8

28025

800

50

400*22

2801280040*20*4

4010

400

2

2020

400

2

0

0

0

====

===

===

===

y x

y

x

p p

I V

U

p

I

y

p

I x

01.4005102

14.113 21

21

==e



d) Identidad de 0oy

2

204

14.113

105 2

12

1

==

−

h x

40

4

14.113510 2

12

1

== −

h y

x

y x

yx

y x x

p

I p p

p p

I p p

I

IV

pV

22*

2

21

21

21

23

21

2

3

===∂

∂∂∂

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Teoría de La Demanda