Teoría de Marco de Referencia

7/18/2019 Teoría de Marco de Referencia

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SEP DGEST CENIDET

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACIÓN YDESARROLLO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

2do. Reporte de Tesis:

ALUMNO: ALFREDO GIL VELASCO

DIRECTOR: DR. GERARDO VICENTEGUERRERO RAMIREZ

CUERNAVACA, MORELOS 11 DE OCTUBRE DEL 2011

“ C O N T R O L D E L A O P E R A C I Ó N D E S I S T E M A S D E G E N E R A C I Ó N E O L O E L É C T R I C A

BASADOS EN GENERADORES DE INDUCCIÓN CONECTADOS A LA RED ”



i

CONTENIDO

1. Teoría de Marco de Referencia 11.1. Ecuaciones de Transformación: Cambios de Variables 12. Representación de los Elementos de Circuitos Estacionarios en un

Marco de Referencia Arbitrario

4

2.1. Resistencias 42.2. Elementos Inductivos 42.3. Elementos Capacitivos 72.4. Modelado en un Marco de Referencia Arbitrario 83. Modelos en Distintos Marcos de Referencia 113.1. Modelo en Marco de Referencia Fijado en el Estator 113.2. Modelo en Marco de Referencia Fijado en el Rotor 113.3. Modelo en Marco de Referencia Fijado en la Velocidad de Sincronismo 123.4. Variables Observadas Bajo Distintos Marcos de Referencia 12



1

1. TEORÍA DE MARCO DE REFERENCIA

Usualmente se utiliza un cambio de referencia para reducir la complejidad de las

ecuaciones diferenciales que describen el voltaje, la corriente y flujo magnético en unamáquina eléctrica. Esta transformación permite reducir la cantidad de variables con las quese trabaja en el modelado del sistema y además elimina la dependencia del tiempo en lasinductancias en las ecuaciones del modelo.

A finales de la década de 1920, R. H. Park introdujo una nueva aproximación para elanálisis de la máquina eléctrica. El formuló una transformación en la cual existía un cambiode variable (voltaje, corriente y enlaces de flujo), en esta transformación se relacionan losdevanados del estator de una máquina síncrona con variables asociadas a devanadosficticios girando con el rotor. En otras palabras, el transformó o referenció las variables delestator a un marco de referencia fijado en el rotor. La transformación de Park, tiene la propiedad de eliminar todas las inductancias variantes en el tiempo de las ecuacionesdiferenciales de la máquina síncrona, lo cual ocurre debido al movimiento relativo en loscircuitos eléctricos y a la variación de la reluctancia magnética. No es hasta el final de ladécada de 1930 que, H. C. Stanley empleó un cambio de variables en el análisis demáquinas de inducción [Krause, 2002].

1.1 Ecuaciones de Transformación: Cambios de Variables

A pesar de que los cambios de variables son utilizados en el análisis de máquinas decorriente alterna para la eliminación de inductancias variantes en el tiempo. Éstos tambiénse emplean en análisis estáticos, estudio de componentes en sistemas de potencia con parámetros constantes y sistemas de control asociados con accionamientos eléctricos. Porejemplo, muchos programas de computadora utilizados para el análisis transitorio y deestabilidad dinámica en sistemas eléctricos de potencia utilizan este tipo de transformación.

En este tipo de sistema, las variables son representadas en un marco de referencia rotativo avelocidad síncrona [Krause, 2002].

Un cambio de variable que formula una transformación de variables trifásicas de circuitosen estado estacionario a un marco de referencia arbitrario puede ser expresada como:



2

Ec. 1

donde

( )

Ec. 2

Ec. 3

[

]

Ec. 4

Ec. 5

Además, la inversa de K s es la siguiente matriz.

[

]

Ec. 6

En las ecuaciones anteriores, f puede representar tanto voltaje, corriente, enlaces de flujo o

carga eléctrica. El subíndice s indica que las variables, los parámetros y la transformaciónse encuentran asociadas al estado estacionario. El desplazamiento angular θ debe de sercontinuo; sin embargo, la velocidad angular asociada con el cambio de variables no esespecificada. El marco de referencia rota a cualquier velocidad constante o cambiante y latransformación puede ser aplicada a variables de cualquier forma de onda y secuencia. Perose verá que la transformación es especialmente apropiada para una secuencia positiva abc [Krause, 2002].

A pesar de que la transformación en un marco de referencia es un cambio de variable y nonecesariamente tiene una connotación física, siempre es conveniente visualizar lasecuaciones de transformación como relaciones trigonométricas entre las variables como semuestra en la Figura 1. En particular, las ecuaciones de transformación pueden serconsideradas como proyecciones de los componentes del sistema original en loscomponentes q y d del marco de referencia utilizado. Donde además se sabe que loselementos de la nueva proyección se encuentran separadas noventa grados. De igual



3

manerea, es importante notar que las variables f 0s no se encuentran asociadas al marco dereferencia. De hecho, las variables de secuencia cero están relacionadas con los elementos

abc de manera aritmética y no trigonométrica como ocurre con f ds y f qs. Finalmente, se puede notar que las direcciones en los devanados ficticios ( f ds , f qs) de la transformación pueden ser considerados como las direcciones de sus ejes magnéticos debido a los nuevos

devanados obtenidos a partir de la transformación.

Figura 1. Relación geométrica del marco de referencia.

La potencia total se expresa con la Ecuación 7 para circuito trifásico y con la Ecuación 8 para el sistema en transformado al marco de referencia.

Ec. 7

( ) Ec. 8



4

2. REPRESENTACIÓN DE LOS ELEMENTOS DE CIRCUITOSESTACIONARIOS EN UN MARCO DE REFERENCIA ARBITRARIO

2.1. Resistencias

El voltaje en un circuito resistivo trifásico se obtiene con la Ecuación 9.

Ec. 9

Aplicando la Ecuación 1 se obtiene la expresión que aparece en la Ecuación 10.

Ec. 10

Conviene mencionar que casi todos los devanados de estator y rotor, los transformadores, bancos de capacitores, líneas de transmisión y sus componentes son diseñados para contarcon la misma resistencia. Si los elementos distintos de cero en la diagonal de la matriz deresistencia rs son iguales, entonces se obtiene la siguiente igualdad (Ecuación 11).

Ec. 11

Por lo que, la matriz de resistencias asociada al marco de referencia es la misma que setiene con la del sistema original.

2.2. Elementos Inductivos

El voltaje en un circuito inductivo trifásico se obtiene a partir de la Ecuación 12.

Ec. 12

Donde p es el operador d/dt . En sistemas magnéticos lineales, se acostumbra representar losenlaces de flujo como el producto de la inductancia por la corriente. Aplicando la Ecuación1 nuevamente, la Ecuación 12 se transforma en la siguiente expresión.



5

Ec. 13

La cual puede ser reescrita de la siguiente manera

Ec. 14

Además, se sabe que

Ec. 15

Por lo que,

Ec. 16

La Ecuación 14 puede ser expresada de la siguiente manera

Ec. 17

Donde

()

Ec. 18

Quedando finalmente las siguientes expresiones para caracterizar el voltaje en inductorutilizando el marco de referencia arbitrario.

Ec. 19

Ec. 20

Ec. 21

Donde para circuitos magnéticos lineales, el flujo magnético puede se expresa con lasiguiente relación:



6

Ec. 22

Llevando la expresión anterior al marco de referencia se tiene que

Ec. 23

Por lo que, una vez que la matriz de inductancias es especificada, el procedimiento paratransformarla al marco de referencia se reduce a evaluar la Ecuación 23 y sustituir elresultado (λ qs, λ ds, λ 0s) en la Ecuación 19 a la Ecuación 21.

Si Ls es una matriz diagonal con sus elementos distintos de cero iguales, entonces

Ec. 24

Para el caso de máquinas de inducción y síncronas, la matriz de inducción L s posee lasiguiente forma.

Ec. 25

En este caso, Lls es la inductancia de fuga y Lms es la inductancia de magnetización.Conviene mencionar que sistemas trifásicos lineales acoplados son simétricamentemagnéticos si los elementos de la diagonal son iguales entre sí, de igual manera loselementos que se encuentran fuera de ésta. Para este tipo de sistemas se cumple loexpresado en la siguiente ecuación.

Ec. 26



7

2.3. Elementos Capacitivos

En el caso de circuitos trifásicos capacitivos, la ecuación de corriente es la siguiente

Ec. 27

Sustituyendo la ecuación (Ecuación 1) de transformación se obtine

Ec. 28

Lo cual se puede escribir como

Ec. 29

Utilizando la Ecuación 16, se obtiene lo siguiente

Ec. 30

donde

()

Ec. 31

Expandiendo la Ecuación 29 se genera el siguiente sistema

Ec. 32

Ec. 33

Ec. 34

En el caso de circuitos eléctricos capacitivos se tiene que

Ec. 35



8

Expresándolo en el marco de referencia se obtiene la siguiente expresión

Ec. 36

En este caso, para realizar la transformación es necesario sustituir los valores de la matrizde capacitancia Cs en las Ecuaciones 32 a la Ecuación 34.

2.4. Modelado en un Marco de Referencia Arbitrario [Ahmad, 2010]

El modelo de una máquina de inducción en un marco de referencia arbitrario es el másgeneral de los modelos. Los modelos en otros marcos de referencias se pueden obtener por

medio de una particularización de este modelo generalizado. Para obtener estarepresentación, las relaciones entre los ejes d s y q

s en el estator y los ejes del marco dereferencia general denotados por d

g y d g

se obtienen de la siguiente manera. La Figura 2muestra la posición relativa de los ejes antes mencionados. En ésta, los ejes dg y qg seasumen que se encuentran rotando a una velocidad arbitraria ωg.

Figura 2. Posición de los marcos de referencia estacionario y general.

Se asume que los devanados de ambos marcos de referencia tienen el mismo número devueltas. La relación entre las corrientes en el marco de referencia estacionario y el marco dereferencia general es la que se presenta en la Ecuación 37.

Ec. 37

ds

dg

qs

qg

wg

vds ids



9

El sistema se considera como balanceado, y por lo tanto solo posee los componentes d y q.

Ec. 38

El marco de referencia se encuentra rotando a una velocidad dada por

̇

Ec. 39

De igual manera, los voltajes del estator se transforman de la siguiente manera

Ec. 40

Las mismas suposiciones son hechas para las cantidades del rotor. El ángulo entre el eje q

del marco de referencia y el eje q del rotor es θg. Como la velocidad del r otor es ωr , lavelocidad relativa entre los ejes d-q del rotor y el marco de referencia es (ωg-ωr ).

Las relación entre las corrientes del rotor transformadas al marco de referencia arbitraria es

Ec. 37

y los voltajes se obtienen con

Ec. 40

Ecuaciones similares pueden ser escritas si se utilizan los enlaces de flujo como variables.Para esto, el siguiente conjunto de ecuaciones definen los enlaces de flujo del rotor y estatoren el marco de referencia arbitrario.

Ec. 41

Ec. 42

Ec. 43

Ec. 44

La ecuación del voltaje del eje q en el estator puede ser escrita como a continuación se presenta.



10

( )

Ec. 46

Simplificando la ecuación anterior se obtiene la siguiente expresión.

Ec. 47

De igual manera, los voltajes en el eje directo (vds) se pueden escribir como:

Ec. 49

En el caso del rotor, las ecuaciones de los ejes d y q pueden ser escritas de la siguientemanera:

( )

Ec. 50

( )

Ec. 51

Sustituyendo la Ecuación 41 a 44 en la Ecuación 48 a la 51 se obtiene el modelo del motorde inducción en el marco de referencia. Este modelo es muy útil para control vectorial.

[ ]

[ ]

Ec. 52

donde

R s=Resistencia en el estator. ωr =Velocidad en el rotor.R r =Resistencia en el rotor. ωg=Velocidad marco de referencia general.

Ls=Inductancia en el estator. p=d/dtLr =Inductancia en el rotor. Lm=Inductancia mutua.



11

3. MODELOS EN DISTINTOS MARCOS DE REFERENCIA

Los marcos de referencia más comunes son el marco de referencia fijo en el estator, el

marco de referencia fijo en el rotor y el marco de referencia fijado en la velocidad síncrona.

3.1. Modelo en Marco de Referencia Fijado en el Estator [Ahmad, 2010]

El modelo dinámico de una máquina de inducción con marco de referencia fijo en el estatores conocido como el modelo de Stanley. Este modelo es útil para encontrar el desempeñode los controladores del estator. Como el modelo está fijado en el estator, la velocidad del

marco de referencia es cero (ωg=0). Sustituyendo este valor de velocidad en la Ecuación 52se obtiene el modelo en el marco de referencia fijo en el estator.

Ec. 53

3.2. Modelo en Marco de Referencia Fijado en el Rotor [Ahmad, 2010]

El modelo dinámico en el marco de referencia fijo en el rotor se obtiene sustituyendo elvalor de ωr =ωg en la Ecuación 52. Este tipo de modelo se utiliza cuando se controla lamáquina de inducción desde el lado del rotor. En éste, la velocidad del marco de referenciaes ωr . Las ecuaciones que describen al sistema en este marco de referencia son:

[ ]

Ec. 54



12

3.3. Modelo en Marco de Referencia Fijado en la Velocidad de Sincronismo

Si considera que el marco de referencia se encuentra girando a la velocidad de sincronismo,la forma para obtener el modelo en este marco de referencia se consigue sustituyendoωg=ωs en la Ecuación 52.

[ ] [

]

Ec. 52

Estos modelos son muy útiles para esquemas de control vectorial en una máquina deinducción.

3.4. Variables Observadas Bajo Distintos Marcos de Referencia [Krause, 2002]

Es útil analizar las formas de onda de un circuito RL trifásico cuando éstos están siendoestudiados bajo un marco de referencia arbitrario. Para este propósito, en este apartado se presenta un ejemplo donde se consideran que rs y Ls son matrices cuadradas con todos loselementos fuera de la diagonal iguales a cero, además de que los elementos de la diagonal

tienen el mismo valor. El voltaje aplicado es el siguiente:

√ Ec. 3.10-1

√ Ec. 3.10-2

√ Ec. 3.10-3

Donde ωe es una constante no especificada. Las corrientes, las cuales se asumen cero para

t=0, se expresan de la siguiente manera:

√ || ⁄ Ec. 3.10-4



13

√ || ⁄ Ec. 3.10-5

√ || ⁄

Ec. 3.10-6

Dónde

Ec. 3.10-7

Ec. 3.10-8

Ec. 3.10-9

Para propósito ilustrativo, se considera ω indefinida con θ(0)=0; entonces θ=ωt y las

corrientes transformadas en el marco de referencia son:

√ || { ⁄ } Ec. 3.10-7

√ || { ⁄ } Ec. 3.10-8

En este caso, se considera que Vs=10/√ V, r s=0.216 Ω y ωeLs=1.09 Ω con ωe=377 rad/s.Las respuestas del sistema son presentadas en la Figura 1, Figura 2 y Figura 3 para distintasvelocidades de marco de referencias. En la Figura 1, aparece el voltaje transformado a unmarco de referencia con una velocidad ω=0 rad/s.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Velocidad marco de referencia

time(s)

H z

W

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Comparación voltajes trifásicos

time(s)

V o l t a j e

( V )



14

Figura 3. Variables trifásicas en un marco de referencia a velocidad ω=0 rad/s.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Voltaje eje de c uadratura q

time(s)

V

o l t a j e ( V )

Vq

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Voltaje eje directo

time(s)

V

o l t a j e

( V )

Vd

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-14 Voltaje secuencia 0

time(s)

V o l t a j e

( V )

V0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10

-5

0

5

10

15Corrientes de marco de referencia

time(s)

c

o r r i e n t e ( A )

Id

Iq

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04376

376.2

376.4

376.6

376.8

377

377.2

377.4

377.6

377.8


time(s)

H z

W

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


time(s)

V o l t a j e

( V )

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.049.93

9.94

9.95

9.96

9.97

9.98

9.99

10

10.01

10.02Voltaje eje de cuadratura q

time(s)

V o l t a j e

( V )

Vq

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2Voltaje eje directo

time(s)

V o l t a j e

( V )

Vd



15

Figura 4. Variables trifásicas en un marco de referencia a velocidad ω=377 rad/s.

Figura 5. Variables trifásicas en un marco de referencia a distintas velocidades

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10


time(s)

V

o l t a j e

( V )

V0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4


time(s)

c o

r r i e n t e

( A )

Id

Iq

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-400

-300

-200

-100

0

100

200

300


time(s)

H z

W

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8


time(s)

V o l t a j e ( V )

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10

-5

0

5

10

15Voltaje eje de cuadratura q

time(s)

V o l t a j e ( V

)

Vq

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10Voltaje eje directo

time(s)

V o l t a j e ( V

)

Vd

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-6

-4

-2

0

2

4

6x 10


time(s)

V o l t

a j e

( V )

V0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-15

-10

-5

0

5

10


time(s)

c o r r i e

n t e ( A )

Id

Iq



16

Como se ha seleccionado una separación θ(0)=0 entre el eje de cuadratura (q) y el voltajeva, se puede observar que cuando la velocidad del marco de referencia es cero (ωe=0) seobtiene que f as= (Figura 3). En el caso de utilizar un marco de referencia a la misma

velocidad del sistema original, esto produce que las transformaciones tengan valoresconstantes lo cual se observa en la Figura 4. Finalmente, es importante notar el cambio enla dinámica del resultado de la transformación cuando se colocan distintos valores develocidad del marco de referencia. El principal efecto a resaltar es la frecuencia deoperación de las variables transformadas a un marco de referencia cualquiera operando auna velocidad dada.



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BIBLIOGRAFÍA

[Krause, 2002] Krause, P., Analysis of Electric Machinery and Drive Systems. Wiley-Interscience, 2da. Edición, EUA, 2002.

[Ahmad, 2010] Ahmad, M., High Performance AC Drives: Modelling, Analysis andControl. Springer, 1era Edición, EUA, 2010.

Documents

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