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Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 1
TEORÍA DE MECANISMOS
4.- DINÁMICA DE MECANISMOS
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 2
Principio de superposición de fuerzas sobre mecanismos
� En un eslabón de un mecanismo, en un instante t, hay equilibrio dinámico
� Principio de superposición de fuerzas.
i
sol. total sol. parciales=∑
siendo i el número de fuerzas actuantes
{ }{ }
{ }
1
2
k
1P F en P1
2P F en P2
kP F en Pk
F R , M
F R , M
F R , M
⇒
⇒
⇒
JJG
JJG
JJG
JG JG JJGJJG JG JJG
# #JJG JG JJG
i
k
P iPi 1
k
F en PPi 1
R R
M M
=
=
=
=
∑
∑ JJG
JJJG JJJG
JJJG JJGReducción del
sistema de fuerzas en P
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 3
Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl
� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema
mecánico (1 gdl)+
Sistema de fuerzas
actuantesF∑G
Mecanismo manivela de salida (1 gdl)
+Fuerza reducida
RJG
Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo
producido por la fuerza reducida en el punto de
reducción P es el mismo que el
producido por el sistema de fuerzas
actuantes (externas)
R ≡JG
Fuerza reducida en A
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 4
Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl
� (1) Si un sistema mecánico no está en equilibrio, en un instante t, SI QUEREMOS CALCULAR LA FUERZA E QUE HABRÍA QUE PONER EN EL PUNTO ADE UN ESLABÓN DADO PARA LOGRAR EL EQUILIBRIO, SE DEBE CUMPLIR (2):
Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
EJG
i
3
i P Ai 1
P v E v 0=
⋅ + ⋅ =∑JG JJG JGJJG
i
3
i Pi 1
P v 0=
⋅ ≠∑JG JJG
EJG
(1) (2)
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 5
Equivalente dinámico/energético mecanismo de 1gdl
� E, EQUILIBRA LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN.
� –E , EQUIVALE A LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN, EN EL SENTIDO DE PRODUCIR EL MISMO TRABAJO QUE ELLAS.
� EN LA FIGURA DE LA IZQUIERDA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR TRES FUERZAS SIN EQUILIBRAR
� EN LA FIGURA DE LA DERECHA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR LA FUERZA REDUCIDA, QUE SUSTITUYE A LAS FUERZAS.
Fuerza reducida en AA LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES.
FR A=–E
X XX
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Reducción en un punto A de una manivela (equilibrio)
� Se considera que no hay rozamiento entre eslabones ya que si no habría una indeterminación en y por tanto en , debido a que fluctúa entre:
RJG
EJG
min maxroz rozF , F⎡ ⎤⎣ ⎦G G
R E= −JG JG
Fuerza reducida sobre el punto A del mecanismo
RJG
Fuerza con la que se opone el mecanismo
EJGFuerza reducida Fuerza equilibrante
RJG
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� La dinámica del mecanismo de 1 g.d.l.:
� La dinámica del mecanismo es reproducida por el modelo dinámico reducido en A.
� Estudio energético comparado del mecanismo y su reducción
Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl
i AP , i F , A⎡ ⎤ ⎡ ⎤→⎣ ⎦ ⎣ ⎦JG JJG
cinetica cinetica 1 2Mecanismo eslabonesi
cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielasi k
E E i j k j k k
E E E
= = + = + +
= +
∑
∑ ∑
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1 2
i 1 k k 22 21 2 2
cinetica cinetica cinetica cineticaMecanismo manivelas bielas bielasi k k
traslacion tras rot
2 2 2 2cinetica O i biela k biela G G kMecanismo i k k k
cineticaMecanismoreduc
E E E E
1 1 1 1E I M V M V I2 2 2 2
E
+
= + +
⎛ ⎞= ω + + + ω⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
2
i K21 2 2
cineticaMecanismo2
A A reducida A A 2A
ido A
22 2kG i
reducida A bielas O Gk ,k i kA A A
E1 M V M M 22 V
VM M I IV V V
= = =
ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑
Dado un mecanismo, la masa reducida es independiente de la velocidad adquiridaG
reducida AA
VM fV
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 9
Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1 gdl
Fuerza resistente reducida en A
Masa reducida en A Fuerza
reducida en A
Fuerza motriz reducida en A
Par reducido en A9 Balance de pares reducidos en A:
A AA m rM M M= −JJJG JJJJJG JJJJG
9 Balance de fuerzas reducidas en A:
A AA m rF F F= −JJG JJJG JJG
AA eqF F= −JJG JJJJJG
Fuerza reducida en A
Fuerza equilibrante en A
Reducida de los esfuerzos motrices Reducida de los
esfuerzos resistentes
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Análisis del mecanismo en el punto A de la manivela de salida
AmFJJJG
ArFJJG
AFJJG
Fuerza reducida en A FUERZA MOTRIZFUERZA RESISTENTEFUERZA REDUCIDA
Punto de reducción
m -> motrizr -> resistente
“Cinemática y dinámica de Máquinas” A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992
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Reducción de fuerzas sobre mecanismos
� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes
en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas
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Principio de los trabajos virtuales sólidos rígidos articulados sin rozamiento en equilibrio dinámico
� Un movimiento virtual del mecanismo compatible con los enlaces, el trabajo virtual producido por las fuerzas activas es nulo.
i iP , PδJG JJJG
i iP P 0⋅ δ=∑JG JJJG
ii PP v 0⋅ =∑JG JJG
i
i
P ,
Pδ
JGJJJG
Fuerzas actuantes sobre los eslabones del mecanismoDesplazamiento virtual en el punto de aplicación de cada fuerza
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PTV (aplicación a los n eslabones de un mecanismo, a las m fuerzas en cada eslabón)
ddtα
ω =
iP iv CIR P= ω⋅ ⋅ τJJG G
i iP d CIR Pδ = α ⋅ ⋅ τJJJG G
ii PP v dtδ = ⋅JJJG JJG
Luego,
i iP P 0⋅δ =∑JG JJJG
ii PP v 0⋅ =∑JG JJG
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Método de las velocidades virtuales
� Aplicando el principio de los trabajos virtuales.Mecanismo en
equilibrioCada miembro
extF
R (reacciones apoyos)
+∑
JJJG
JG
'extF (elemento)
R ' (apoyos)
+∑
JJJG
JJG
En equilibrio
Consideramos un desplazamiento virtual
El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre elmecanismo en un instante dado t será nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son
reacciones entre eslabones)NOTA: el trabajo virtual de las reactivas es nulo. En las articulaciones se anulan 2 a 2. En los apoyos fijos el trabajo realizado es nulo
PTV
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Aplicación del PTV al cálculo de la fuerza reducida en A, ante las fuerzas motrices Pi
Datos:1 1
2 2
3 3
P , v
P , v
P , v
JG JJGJJG JJGJJG JJG
Reducción en A
i
3
i Pi 1
P v 0=
⋅ ≠∑JG JJG
(1) Puesto que el sistema mecánico no está en
equilibrio
1 2 3 A1 1 P 2 2 P 3 3 P R AP v cos P v cos P v cos ( F v ) 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α + − ⋅ =
Proyección sobre de iPv
JJGiP
JG
(2) Si reduzco el sistema de fuerzas en A:1 2 3P , P , P
JG JJG JJGARF
JJJG
(3) El sistema de fuerzas:
Si está en equilibrio{ }A1 2 3 RP , P , P , F−JG JJG JJGJJJG
i j
3
i P j Ri 1 j
P v R v 0=
⋅ + ⋅ =∑ ∑JG JJG JJG JJJG
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Caso particular
1 fuerza activa: 1PJG
1 1 2 2P v P v 0⋅ + ⋅ =JG JJG JJGJJG
1 21 1 P 2 2 PP v cos P v cos 0⋅ ⋅ α + ⋅ ⋅ α =
1
2
1 P 2
2 P 1
P cos vP cos v⋅ α
= −⋅ α
( )( )
11 P 2
2 P2 1
proy P , v vproy P , v v
= −
( )2P E Fuerza _equilibrante=JJG JG
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Análisis gráfico. Fuerza reducida
� Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdlSistema
mecánico (1 gdl)+
Sistema de fuerzas
actuantesF∑G
Mecanismo manivela de salida (1 gdl)
+Fuerza reducida
RJG
Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo
producido por la fuerza reducida en el punto de
reducción P es el mismo que el
producido por el sistema de fuerzas
actuantes (externas)
R ≡JG
Fuerza reducida en A
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Reducción de fuerzas sobre mecanismos
� Técnicas de obtención de las � Fuerzas reducidas� Fuerzas equilibrantes
en un mecanismo� Método de las velocidades virtuales� Método de reducción de fuerzas
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Método de reducción en P (gráficamente)
� NOTA: descomposición vectorial. Llevando una fuerza a P y las restantes componentes aplicarlas en:� Apoyos fijos
ó� Las direcciones que puedan ser
absorbidas
las fuerzas que pasan por los puntos fijos no crean trabajo externo
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Reducción de una fuerza aplicada sobre A en el punto de reducción P
F1 Absorbida por el apoyo fijo O1
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Técnicas gráficas de reducción de fuerzas exteriores a un punto cualquiera
� En una pieza donde actúan fuerzas exteriores aplicar la teoría de los vectores deslizantes
FG
� Para pasar los vectores fuerza de una pieza a otra hay que utilizar los puntos comunes de las articulaciones.
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Hallar la fuerza reducida en A debido a F1
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Hallar la fuerza reducida en A debido a F1
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Ejemplo de reducción de la fuerza P en D al punto A
Secuencia:D D D1) P Q R , Q= +
JJG JJJG JJJG JG
D C2) R R ,=JJJG JJJG
C N3) R R ,=JJJG JJJG
N N N4) R S T ,= +JJJG JJG JJG
N A5) T T ,=JJG JJG
A A A6) T F V ,= +JJG JJG JJG
pasa por el punto fijo O6transfiero R del eslabón 5 al e
N ∈ al eslabón 3. Punto de encuentro de RC con la dirección del eslabón 4
SN pasa por el punto fijo O4
A ∈ al eslabón 3. V pasa por el
punto fijo O2
6 4 2D O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJG
Luego:El trabajo mecánico de PD= El trabajomecánico de FA
Trabajo mecánico = 0
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 25
Ejemplo de reducción de la fuerza P en E al punto A
Secuencia: E M1) P P ,=JJG JJG
6M M M M O2) P R Q , Q Q= + =JJG JJJG JJJG JJJG JJJJG
4C M N C N N N N O3) R R , R R , R S T , S S= = = + =JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJG JJG JJG JJJG
2A N A A A A O4) T T , T V F , V V= = + =JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJJG
M punto de intersección de P con la dirección del eslabón 6
Pasa por el punto fijo O6
O4 punto fijo
O2 punto fijo
6 4 2E O O O AP Q S V F= + + +JJG JJJJG JJJG JJJG JJGLuego:
El trabajo mecánico de PE
El trabajomecánico de
FA
Trabajo mecánico = 0
=
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CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN MECANISMO:Sistema de masas puntuales mi
equivalentes dinámicamente al eslabón (sólido rígido)
Dinámica eslabón: T GM , ISólido rígido
G
Sistema de i masas puntuales localizadas sobre
el eslabón sin masaG’
m1
m2 mi
(1)T T iM M m⎯⎯→ =∑
( 2) 2G G i iGI I m r⎯⎯→ = ⋅∑
( )(3)i iGG G ' G m r 0⎯⎯→ = ⋅ =∑
JJG G
Condiciones de equivalenciaCaso (0): 1 T 1 1
2G 1 1G 1G
1 1G
i 1, m (1) M m m 0
(2) I m r r 0
(3) m r 0
= → = ⇒ ≠
= ⋅ ⇒ ≠
⋅ =JJG G No se cumple
Luego, no podemos reducir un sólido rígido a una única masa.
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Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (1): en el plano1 2 T 1 2
2 2G 1 1G 2 2G
1 1G 2 2G
i 2, m , m (1) M m m
(2) I m r m r
(3) m r m r 0
= → = + ∗
= ⋅ + ⋅ ∗
⋅ + ⋅ =JJG JJG G
Los dos puntos deben alinearse con el centro de masas
1 1G 2 2G(3) m r m r 0⋅ + ⋅ = ∗
Gm2
m2
m1
m1
G
MTIGG
Tres ecuaciones con 4 incógnitas: m1, m2, r1G, r2G, luego deberemos seleccionar un dato, para obtener los demás.
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Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (2): en el plano1 2 3 T 1 2 3
2 2 2G 1 1G 2 2G 3 3G
1 1G 2 2G 3 3G
i 3, m , m , m (1) M m m m
(2) I m r m r m r
(3) m r m r m r 0
= → = + +
= ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ =JJG JJG JJG G
G
m2m1
m3r1
r2
r3
G1
1
Imr
=
3 ecuaciones con 9 incógnitas
1 2 3
1x 1y
2x 2 y
3x 3y
m , m , mr , r
r , r
r , r
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Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (3): en el plano3 masas alineadas en el punto G3 ecuaciones con 6 incógnitas
G
m1
m2
m3
Caso (4): en el plano3 masas alineadas con el punto G. Y en el punto G disponemos de una de ellas3 ecuaciones con 5 incógnitas
3 Gm m=
1 2 3
1G 2G 3G
m , m , mr , r , r
1 2 G
1G 2G
m , m , mr , r
1G 2Gr , r9 Si suponemos elegidos (datos), podemos obtener:
1 2 Gm , m , m
( )
( )
G1
1G 1G 2G
G2
2G 1G 2G
GG T
1G 2G
Imr r r
Imr r r
Im Mr r
=⋅ +
=⋅ +
= −⋅
GT G
1G 2G
Isi M m 0r r
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA
b) alineadas T 1 2 3
i 1 1 2 2 3 3
2 2 21 1 2 2 3 3 G
1) M m m m
2) r (G); m r m r m r 0
3) m r m r m r I
= + +
⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ + ⋅ =
G JG JG JG G
1 1m r⋅JG
2 2m r⋅JG
3 3m r⋅JG
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Sistema de masas puntuales mi equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido
Caso (5): en el plano3 masas alineadas con el punto G, y en G disponemos la terceraSi imponemos la condición:
3 Gm m=
T1 2G
1G 2GGT G
T1G 2G2 1G
1G 2G
Mm rr rIsi M m 0
Mr r m rr r
⎧ = ⋅⎪ +⎪= ⇒ = ⎨⋅ ⎪ = ⋅⎪ +⎩
G
m1
m2
mG=0
2G T G
T T1G 2G 1G 2G
I M rM Mr r r r
⋅= ≡ =
⋅ ⋅
Radio de giro
2G 1G 2Gr r r= ⋅
El sistema se ha simplificado y queda reducido a 2 masas posicionadas en
Que son conjugados respecto al punto G
1G 2Gr , r
1 2m , m dato⇒
NOTA: recordando el concepto de punto de percusión en un eslabón al articularse sobre un punto fijo, 2 será el centro de percusión, del eslabón considerado, suponiendo al eslabón girado alrededor de 1.
Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniería Mecánica 32
Cálculo gráfico del punto E conjugado del A sobre el G
NOTA 1: hay ∞parejas E, A puntos conjugados sobre GNOTA 2: Normalmente A es una articulación
MTIG
TA
Mm GEAE
= ⋅
Gm 0=
iG radio de giro del eslabón
TE
Mm GAAE
= ⋅
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Sistema dinámico equivalente.Casos prácticos:
Sistema dinámico equivalente para:9 Manivela, balancín:
9 Biela:
Centro de percusión
Em
Gm 0=
om No tiene efecto dinámico
Am
Gm 0=
Em
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Sistema dinámico equivalente.Caso del cuadrilátero articulado
(a) Localización de los puntos dinámicamente interesantes.
G, E
(b) Localización de los sistemas de masas equivalentes en cada eslabón
{ARTICULACIÓNi,Ei}Centros de masa
Centros de percusión
4O 44
2O 22
m |O
m |O
I 0
I 0
=
=2
4
O
O
a 0
a 0
=
=
JJJG GJJJG G4O4inercia (m )Par 0=
JJJG G
4O4inercia (m )F 0=G G
*
*
**
**
***
***
Al estar posicionadas en puntos fijos, no tiene efectos dinámicos
2 42O 4Om y m
22Om 44Om