Teoría de Probabilidades

En esta unidad, se manejan los conceptos fundamentales de los fenómenos aleatorios. Así mismo, se calcula la probabilidad en fenómenos afines a su especialidad, interpretando los resultados.

Nociones Básicas

Usaremos la palabra probabilidad cada vez que necesitemos indicar la posibilidad de ocurrencia o no de un evento cualquiera previamente definido.

Recordemos que un objetivo básico de la Estadística es hacer inferencias respecto a la población teniendo como base la información que proporciona la Muestra. Es lógico pensar que la Muestra sólo proporciona una formación parcial de la población pero para poder inferir sobre la naturaleza de un conjunto mayor de datos (la población) recurriremos a un mecanismo que nos permita utilizar esta información parcial:

La probabilidad:

En adelante, probabilidad tratará con problemas referidos ala azar o aleatorios.

De igual manera, se supondrá que conocida la Muestra y con la ayuda de la Probabilidades se tratará de escribir la distribución d frecuencias de la población que supuestamente es desconocido.

Antes de iniciarnos en el cálculo de Probabilidades, estableceremos algunas definiciones de interés en este curso.

Experimento:

A todo proceso por medio del cual una observación (o medición) es registrada le llamaremos EXPERIMENTO.

Se puede observar que cada vez que repitamos un experimento se puede generar toda una población y, si seleccionamos sólo un grupo de estos conformaríamos una muestra e la población estudiada.

Un experimento o fenómeno se dice que es aleatorio cuando genera dos o más resultados posibles, no predecibles.

Ejemplo: Al lanzar un dado “normal” (no cargado) no obtendríamos siempre el mismo resultado pero, luego de repetir muchas veces al experimento existirá cierta regularidad en la presentación de los diferentes resultados donde cada uno de ellos se presentará, caprichosamente, en igual magnitud.

Fenómeno Aleatorio

Características de un Fenómeno Aleatorio

1.- Cada experimento puede repetirse en forma indefinida sin que cambien las condiciones esenciales del mismo.

2.- Siempre se podrá describir el conjunto de todos los resultados posibles del experimento aunque no se pueda hincar cual será el resultado particular de experimento.

3.- Si el experimento se repite un gran número de veces, aparece un modelo de regularidad respecto a los resultados posibles.

Ejemplo:

E1: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

E2: Lanzar una moneda 5 veces y contar el número de caras que aparecen.

E3: Fabricar fusibles y contar el número de fusibles defectuosos en un año.

E4: Probar una bombilla y anotar el tiempo de duración hasta que se quema.

E5: Una urna contiene sólo esferas verdes, tomar una y anotar su color.

E6: Se fabrican artículos hasta producir 8 no defectuosos y contar el número de artículos manufacturados en el año.

E7: Lanzar dos monedas y observar que aparece en la parte superior.

E8: Medir la resistencia de la tensión de una barra de acero.

Espacio Muestral

Un espacio muestral “S”, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.

Ejemplo: El espacio muestral correspondiente al fenómeno aleatorio E1 es:

S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Y el espacio muestral correspondiente al fenómeno E6 está dado por el conjunto:

S2 = {8, 9, 10, 11,…., n} por un año de producción.

Ejercicios:

Determine el espacio muestral de cada uno de los fenómenos aleatorios descritos anteriormente. Clasifique el conjunto solución encontrado en cada caso según los siguientes tipos e conjuntos: Finito, Infinito numerable o Infinito no Numerable.

Evento o Suceso

Llamaremos Sucesos o Evento “A” a un subconjunto del Espacio Muestral “S” previamente definido.

Nótese que un suceso “A” depende d un experimento “E” que genera un conjunto de resultados posibles “S”.

Ejemplo:

El espacio muestral “S” asociado al experimento E: “Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior”, se escribe como:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Un suceso ligado sería, por ejemplo, A: “observar un número impar”, que el conjunto que describe este suceso viene dado por:

A = {1, 3, 5}

Ejercicio: Determine el conjunto que escriben los siguientes eventos (refiérase al ejercicio anterior.

A1: Lanzar un dado y observar un número par (ver E1)

A2: Lanzar una moneda y observar que salen menos de 3 caras (ver E2).

A3: Lanzar una moneda 5 veces y observar que salen a lo más 2 caras (ver E2).

A4: Lanzar una moneda 5 veces y observar que salen como mínimo 2 caras (ver E2).

A5: La bombilla tiene un tiempo de duración mínimo de 15 horas (ver E4).

Probabilidad de un Evento o Suceso

Sea “A” un evento cualquiera donde:

a: número de formas posibles de que A ocurra y

b: número de formas posibles de que A no ocurra

de tal manera que “a” y “b” son igualmente probables y mutuamente excluyentes ( no se interceptan), entonces la Probabilidad de que “A” ocurra está dada por expresión:

P(A) = _a_

a + b

y la Probabilidad de que A no ocurra está dada por:

P(Â) = _b_

a + b

o también: si el suceso “A” puede ocurrir en “h” formas de la “n” formas posibles, a Probabilidad de ocurrencia de “A” está dada por:

P (A) = h_ =   números d casos   favorables

n número de casos posibles

Y P(Â) = n – h   =  P(Â) = 1 –   h__   = P (Â) = 1 - P(A)

n n

luego P (A) + P (Â) = 1 (propiedad).

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