4 Fundamentos de la [isica cuniica (1.2

1.1 Introduccin

,A fines del siglo XIX y durante el primer cuarto del xx se acumul cierta evi-dencia experimental de que la interaccin de la radiacin electromagntica conla materia no estaba enteramente de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.Estas leyes, que son el resultado de los trabajos de Ampre, Laplace, Faraday,Henry, Maxwell y muchos otros, estn sintetizadas en las ecuaciones de Maxwellpara el campo electromagntico. Al mismo tiempo se estaba desarrollando lateora de la estructura atmica de la materia, principalmente como resultado deldescubrimiento del electrn y de la confirmacin del modelo nuclear para eltomo. Otra serie de experimentos oblig a los fsicos a revisar sus conceptossobre el movimiento de partculas subatmicas, ya que aparentemente no semovan exactamente de acuerdo con las suposiciones de la mecnica newtoniana.Para explicar las nuevas observaciones, varios fsicos incorporaron, ms o menosad hoc, una serie de nuevas ideas. Con el correr del tiempo, y gracias a los esfuerzosde muchos hombres brillantes, estas ideas evolucionaron hasta constituir lo quehoy da se conoce como ieoria cuntica; esta teora es posiblemente la esenciade la fsica contempornea. En este captulo pasaremos revista a las bases expe-rimentales ms importantes de la fsica cuntica.

y.y

--~> III

x zz

Fig. 1-1. Campo elctrico de una cargaen reposo.

Fig. 1-2. Campos elctrico y magnticode una carga en movimiento uniforme.

1.2 Radiacin electromagntica

La mejor forma de describir la interaccin electromagntica entre dos partculascargadas es en funcin del concepto de campos elctrico y magntico producidospor las cargas. Cuando una partcula cargada est en rep~so respecto a un obser-vador inercial, ste mide un campo que se denomina campo elctrico de la carga(fig. 1-1). Sin embargo, si la carga est en movimiento respecto al observador,ste observa un campo diferente, denominado campo electromagntico de lacarga (fig. 1-2). Uno de los componentes del campo se sigue llamando campoelctrico, mientras que el otro se denomina campo magntico. Estos camposdependen de la velocidad y de la aceleracin de la carga respecto al observador.Como la separacin del campo producido por una carga en una parte elctrica

6 Fundamentos de la [isica cuntica (1.2

Graaff o en un ciclotrn, por ejemplo, una fraccin de la energa suninistradaal ion se pierde en forma de radiacin electromagntica. Esta prdida de energaes sin embargo despreciable excepto a energas relativistas. Las partculas car-gadas atrapadas en el campo magntico terrestre, en las manchas solares o encuerpos celestes distantes tal como la nebulosa del Cangrejo, tambin emitenradiacin llamada radiacin sincroirnica. Esta radiacin se extiende desde lasradiofrecuencias hasta el ultravioleta lejano.

Si la partcula se frena en vez de acelerarse, vale an la eco (1.3) y la energaradiada es el exceso que tiene el campo electromagntico como resultado de ladisminucin de la velocidad de la carga. Por ejemplo, cuando una carga rpida,tal como un electrn o un protn, incide en un blanco y se detiene, una partesustancial de su energa se transforma en radiacin (fig. 1-3). Esta radiacin sedenomina radiacin de frenado, o ms comnmente bremsslrahlung [del alemnBremsung (frenado) y Strahlunq (radiacin)]. Este es el principal mecanismo deproduccin de radiacin en los tubos de rayos X que se usan en las aplicacionesfsicas, mdicas e industriales.

Fig. 1-3. Radiacin emitida poruna carga que se frena al incidirsobre el blanco en un tubo derayos X.

+

La energa radiada por una partcula cargada puede ser absorbida por otraspartculas cargadas que estn sujetas a la accin del campo electromagnticoproducido por la primera partcula. Podemos describir entonces la interaccinde dos partculas cargadas como el intercambio de energa por medio de la emi-sin y la absorcin de radiacin. Por ejemplo, los electrones oscilantes de laantena de una radioemisora irradian energa; los electrones de la antena de unradiorreceptor absorben parte de esta energa dando lugar a una seal en laestacin receptora.

El anlisis de los procesos de emisin y de absorcin de la radiacin (es decir,de la interaccin de la radiacin y la materia) es fundamental para comprenderel comportamiento de la materia. Como veremos en las secciones siguientes, lafsica cuntica apareci como resultado del anlisis de tales procesos.

EJEMPLO 1.1; Rapidez con que un dipolo elctrico oscilante irradia energa.

Solucin: Consideremos una carga q movindose a lo largo del eje Z de modo talque en todo instante su posicin est dada por z = Zo cos tot, Esto corresponde a un

Radiacin de cuerpo negro 7

rmento oscilatorio de amplitud Zo y frecuencia angular co. La carga es entoncesivalente a un dipolo elctrico oscilante'. La aceleracin de la partcula es a =

= - cu!z. Sustituyendo este valor de a en la eco (1.3), tenemos

dEdi

a rapidez de radiacin de energa oscila debido a la variacin de z en el tiempo.Para obtener la rapidez promedio de radiacin de energa, recordemos que Z2 = tz'fi.Por lo tanto

(dE) = q2z~cu4 di 1210&

Podemos decir que un dipolo elctrico oscilante irradia energa con una rapidezpromedio dada por la eco (1.5) y que la radiacin corresponde a un campo electro-magntico que oscila con la misma frecuencia que el dipolo.

B(v)

. 1-4. Densidad de energaromtica .de la radiacin

erpo negro en funcin de la~,",........:;uciapara diversas tempe-

2Frecuencia v

Radiacin de cuerpo negro

eremos una cavidad cuyas paredes estn a cierta temperatura. Los tomosmponen las, paredes estn emitiendo radiacin electromagntica y al mismoabsorben la radiacin emitida por otros tomos de las paredes. El campo

. cin electromagntica ocupa toda la cavidad. Cuando la radiacin ence-dentro de la cavidad alcanza el equilibrio con los tomos de las paredes,'dad de energa que emiten los tomos en la unidad de tiempo es iguale absorben. En consecuencia, cuando la radiacin dentro de la cavidadequilibrio con las paredes, la densidad de energa del campo electromag-

;-. constante. Los experimentos han mostrado que en el equilibrio, la radia-romagntica encerrada tiene una distribucin de energa bien definida;

: a cada frecuencia corresponde una densidad de energa que dependej;~:fD:te de la temperatura de las paredes y es independiente de su material.

'dad de energa correspondiente a la radiacin con frecuencia entre v y:e e cribe E(V) d, donde E(V) es la densidad de energa por intervalo

==~:fu e frecuencias, denominado a veces densidad de energa monocromtica.

(1.4)

(1.5)

8 Fundamentos de la fisica cuntica

En la fig. 1-4 se ilustra la variacin observada de E(V) con la frecuencia v pdos temperaturas. Lummer y Pringsheim fueron los primeros en obtener expe-rimentalmente curvas como stas en 1899. Se puede ver en las curvas que pcada temperatura la densidad de energa presenta a cierta frecuencia un mximpronunciado. Obsrvese tambin que la frecuencia para la cual la densidad denerga es mxima aumenta al aumentar la temperatura. Esto explica el cambide color de un cuerpo radiante a medida que su temperatura vara.

Si se abre un pequeo agujero en una de las paredes de la cavidad, parte dla radiacin escapa y se puede analizar. El agujero se ve muy brillante cuandel cuerpo est a temperatura alta y la intensidad de la radiacin de equilbridentro de la cavidad es alta, pero se ve completamente negro a temperatubajas cuando la intensidad de la radiacin de equilibrio es despreciable enregin visible del espectro. Es por esa razn que los que analizaron en el siglo XLla radiacin que sale de la cavidad la llamaron radiacin de cuerpo negro.

El problema de encontrar qu mecanismo hace que los tomos radiantes pro-duzcan la distribucin de energa de la radiacin de cuerpo negro dio lugar a 1fsica cuntica. Hacia fines del siglo pasado todas las tentativas de explicar estadistribucin de energa, usando los conceptos conocidos entonces, haban fraca-sado completamente. El fsico alemn Max Planck (1858-1947) sugiri alrededode 1900 que si la radiacin dentro de la cavidad est en equilibrio con los tomos delas paredes, deba haber una correspondencia entre 'la distribucin de energade la radiacin y las energas de los tomos en la cavidad. Planck supuso, commodelo para los tomos radiantes, que los mismos se comportan como oscila-dores armnicos y que cada uno oscila con una frecuencia dada 'l. Planck sugiricomo segunda hiptesis que

cada oscilador puede absorber o emitir energia de radiacin en unacantidad proporcional a su frecuencia v,

Esta ltima condicin no se exige en la teora clsica del electromagnetismo(expresada por las ecuaciones de Maxwell), la cual permite una emisin o unaabsorcin continua de energa. Si E es la energa absorbida o emitida en un soloproceso de interaccin de un oscilador con la radiacin electromagntica, la hip-tesis de Planck establece que

E = hv, (1.61

donde h es una constante de proporcionalidad que se supone sea' la misma paratodos los oscilado res. Por lo tanto, cuando un oscilador absorbe o emite radiacinelectromagntica, su energa aumenta o disminuye en una cantidad h. La eco(1.6)implica que

la energa de los osciladores almicos est cuantizada.

Esto significa que la energa de un oscilador de frecuencia v slo puede tenerciertos valores que son (suponiendo que la energa mnima del oscilador es cero)O, h, 2hv, 3hv, .... De modo que, en general, los posibles valores de la energa

1.3) Radiacin de cuerpo negro 9

de un oscilador de frecuencia ~ son

En = nh, - (,O (1.7)

donde n es un entero no negativo. Como sabemos, la energa de un osciladores proporcional al cuadrado de su amplitud y, a priori, podemos hacer que unoscilador de frecuencia dada tenga una energa elegida arbitrariamente ajustandola amplitud de las oscilaciones en forma apropiada. Por consiguiente, la idea dePlanck fue una suposicin ad hoc que no se poda explicar usando conceptosclsicos; estaba justificada solamente porque "funcionaba" y porque los fsicosde la poca no tenan explicacin mejor. An no tenemos una explicacin mejor;debemos aceptar la cuantizacin de algunas magnitudes fsicas como un hechofundamental de la naturaleza.

Aplicando algunas consideraciones de naturaleza estadstica juntamente conla eco (1.6), Planck obtuvo para la densidad de energa en la radiacin de cuerponegro, la expresin

E(~) = 8rch\l3 1c3 ehv/kT - 1 '

(1.8)

donde k es la constante de Boltzmann. Esta expreslOn, que concuerda sorpren-dentemente bien con los valores experimentales de E(~) a muy diversas tempera-turas, ha sido aceptada como la expresin correcta para la radiacin de cuerponegro. Se denomina ley de radiacin de Planck ..

Un aspecto interesante es que actualmente la deduccin de Planck no se puedeconsiderar fsicamente correcta, razn por la cual la hemos omitido. En otraspalabras, el problema que precipit el nacimiento de la teoria cuntica fue re-suelto originalmente usando un mtodo' no satisfactorio. El problema tuvo queesperar varios aos hasta que la teora cuntica se desarroll segn otros linea-mientos permitiendo encontrar un mtodo adecuado de clculo. En la seccin 13.6se dar la deduccin revisada. Sin embargo, las ideas de Planck, particularmentelas ecs. (1.6) y (1.7) estimularon nuevas lneas de pensamiento en muchos otrosfsicos que trabajaban en la interpretacin de otros fenmenos relacionados;esto dio lugar a un rpido desarrollo de la teora cuntica.

En la eco (1.6) introdujimos una constante arbitraria h, llamada constante dePlanck. Su valor, obtenido ajustand los valores experimentales de E(~) conla eco (1.8), es

.". La constante de Planck es una de las ms importantes de la fsica.

h = 6,6256 X 10-34 J S (1.9)

EJEMPLO 1.2. Expresar la densidad de energa monocromtica de la radiacinde cuerpo negro en funcin de la longitud de onda.

Solucin: En algunas ocasiones es preferible expresar la densidad de energa mono-cromtica en funcin de la longitud de onda en vez de la frecuencia. DefinimosE(A) conforme a la relacin E()..) dA = - E(~) d, El signo menos se debe a que d)..

10 Fundamentos de la fsica cuntica (1.3

y dv tienen signos opuestos mientras que E()..) y E(v) son positivas. Como v = e/).."tenemos

E()") = - E(V) dv/d).. = E(v)e/)..,2.

Reemplazando E(v) por el valor dado en la eco (1.8) y poniendo v = e/).." obtenemosfinalmente

En la fig. 1-5 se muestra el grfico de E()..) para diversas temperaturas. Presenta unpico pronunciado para una longitud de onda que depende de la temperatura.

Fig. 1-5. Densidad de energa monocromtica de la radiacin de cuerpo negro enfuncin de la longitud de onda para diversas temperaturas.

EJEMPLO 1.3. Encontrar la longitud de onda para la cual la densidad de energamonocromtica de la radiacin de cuerpo negro es mxima a una temperaturadada.

Soluci6n: Usemos la eco (1.10) y, para simplificar nuestra exposicin, pongamosx = hcisk'I'; la expresin de E()..,) se convierte entonces en

. Para encontrar el mximo de E()..,) calculamos dtsld y la igualamos a cero. La ecua-cin resultante es

y

E(A)

dv/d).., = - cP!

87thc 1E()..) = -)..,-5- -e7Jc""'/Ak:-:-;T::---1- (LlO)

oLongitud de onda A

1.3) Radiacin de cuerpo negro 11

Esta es una ecuacin trascendente que resolvemos por aproximaciones sucesivasobteniendo x = 4,9651. Por lo tanto: AT = b, donde

b = hcj4,9651k = 2,8978 x 10-3 m Kse denomina constante de desplazamiento de Wien. La expresin

AT = b (1.11)

constituye la ley de desplazamiento de Wien, descubierta en 1896 por Wilhelm Wien.Esta ley establece que los mximos de E(A) a diferentes temperaturas TI' T2, T3, ocurren para las longitudes de onda Al' A2, Aa ... tales que

AlT = ~T2 = A3T3 = ...

Observemos que a medida que la temperatura del cuerpo aumenta, el mximo desu distribucin de energa se desplaza hacia longitudes de onda ms cortas, lo cualorigina un cambio de color en el cuerpo. La ley de desplazamiento de Wien es porlo tanto muy til para determinar la temperatura de cuerpos calientes, como hor-nos o estrellas, hallando la longitud de onda para la cual la intensidad de la radiacines mxima.

La ley de Wien tambin proporciona un mtodo para determinar h en funcindel valor experimental de b y de su definicin en funcin de h, c y k dada anterior-mente. La compatibilidad de los resultados con otras determinaciones de h es otraprueba de la correccin de la ley de distribucin de Planck.

EJEMPLO 1.4. Obtener la densidad total de energa de la radiacin de cuerpo negroen funcin de la temperatura.

Solucin: Como E(V) d es -Ia densidad de energa en el intervalo dv de la radiacinde cuerpo negro, la densidad total de energa es

foo 87th fOO '13 dv

E = E(V) dv = -- h kT .o c3 o e v - 1

Es evidente que E es igual al rea bajo la curva E(V) de la fig. 1-4. Introduciendo lavariable x = hvjkT, tenemos dv = (kTh) dx Y

E = 87th (kT)4 fOO :t03 dx .c3 h o eX-1

El valor de esta integral es 6,4938, por lo que

E = aT4, (1.12)donde

a = 51,95047tk4jc3h3 = 7,5643 X 10-16 J m-3 K-4.

La eco (1.12) se conoce con el nombre de ley de Stefan-Boltzmann y fue descubiertaempricamente en 1879 por Josef Stefan y demostrada tericamente por LudwigBoltzmann algunos aos ms tarde usando mtodos termodinmicos. Un clculoque omitiremos muestra que la energa emitida por un cuerpo negro por unidadde rea y por unidad de tiempo, llamada su emitividad de radiacin, est dadapor F = T, donde cr = tea = 5,6693 X 10-8 W m-2 K-4 se denomina constante deSlefan-Bolizmann.La proporcionalidad de E o F a P ha sido verificada experimentalmente. Usando

os valores medidos de a o de o podemos recalcular h obteniendo nuevamente elmismo valor. Podemos usar la ley de Stefan-Boltzmann para determinar la tem-ratura de un cuerpo negro midiendo su emitividad de radiacin.

Fundamentos de la fsica cuntica (1.4

ebe notar que la mayora de los cuerpos radiantes - como el sol, un filamentoe cente o un gas caliente - no se comportan como cuerpos negros y por lo

o o iguen rigurosamente las relaciones obtenidas en esta seccin.

En in [otoetctrica

- investigando la descarga elctrica entre dos electrodos usada comoe ondas electromagnti:cas, Heinrich Hertz observ que la intensidad de

descarga aumentaba cuando se iluminaba los electrodos con luz ultravioleta.efecto sugiri que las superficies iluminadas emitan ms electrones. Un ao

- - ~ e. \Yilhelm Hallwachs observ emisin electrnica cuando iluminaba lasci de ciertos metales como el zinc, el rubidio, el potasio y el sodio. El

:0 por el cual se liberan electrones de un material por la accin de la radia-- denomina emisin fotoelctrica o efecto fotoelcirico. Los electrones emitidose ominan foloeleclrones debido al mtodo de produccin. La emisin elec-.ea aumenta cuando aumenta la intensidad de la radiacin que incide sobre

- perficie del metal, ya que hay ms energa disponible para liberar electrones;tambin se observa que depende en forma caracterstica de la frecuencia

. o

Fig. 1-6. Corriente fotoelctrica enfuncin de la frecuencia de la radia-cin incldente.

8'--- ~=__ _Frecuencia v -

e la radiacin incidente. Esto significa que para cada sustancia hay una fre-encia mnima o umbral de frecuencia "o de la radiacin electromagntica por

ebajo de la cual no se producen fotoelectrones por ms intensa que sea la radia-:6n. La fig. 1-0 muestra la corriente fotoelctrica en funcin de la frecuenciae la radiacin electromagntica incidente. ("'v= .>;En los metales hay electrones que se mueven ms o menos libremente a travs

e la red cristalina. Estos electrones no escapan del metal a temperaturas nor-ales porque no tienen energa suficiente para sobrepasar la energa potencial

e ombiana en la superficie del metal. Una manera de aumentar la energa deelectrones es calentar el metal. Los electrones "evaporados". se denominan

e tonces termoelecirones. Este es el tipo de emisin electrnica que hay en lasrlvulas electrnicas. Sin embargo, como muestran los experimentos de Hertz_- de Hallwachs, otra manera de liberar electrones de un metal es posibilitarque los mismos absorban energa de la radiacin electromagntica. Llamemos

1.1) Emisin fotoelctrica 13

cintica Ek del electrn que escapa. Podemos escribir entonces

(1.13)

E evidente que si E es menor que cp no habr emisin electrnica.En 1905 Einstein propuso una explicacin para la forma en que la ermsion

fotoelctrica depende de la frecuencia de la radiacin. Einstein sugiri que loselectrones libres, en su interaccin con la radiacin electromagntica, se com-portan en la forma propuesta por Planck para los osciladores atmicos en rela-.n con la radiacin de cuerpo negro. Luego, segn la eco (1.6), la energa E queen un solo proceso un electrn absorbe de una radiacin electromagntica defrecuencia v es E = h. Por lo tanto podemos escribir la eco (1-13) en la forma

Ek = hv- cp. (1.14)

_-o todos los electrones necesitan la misma energa cp para escapar del metal.Llamamos energia de arranque del metal al valor mnimo CPo de la energa. Luego,

mxima energa cintica de los electrones que escapan es

Ek,max = h - CPo. (1.15)

egn esta ecuacin vemos que para una frecuencia "o tal que

Campo elctrico+ ....---

1-i. Arreglo experimental paraar el efecto fotoelctrico.

htg = IX = e

energa cintica mxima de los electrones es cero. Por lo tanto, "o es la fre-encia mnima o umbral de frecuencia para el cual comienza la emisin foto-ctrica.Para frecuencias menores que vQ' de modo que b < cpQ, no hay emisinrque los electrones no pueden absorber en un solo proceso energa suficiente

escapar del metal, independientemente de la intensidad de la radiacin.- ve entonces que la propuesta de Einstein explica elegantemente la dependencia- la frecuencia de la radiacin observada en el efecto fotoelctrico.

o .- vE ///

//

/

~ /e

Fig. 1-8. Relacin entre el potencialde detencin y la frecuencia de radia-cin en el efecto fotoelctrico.

14 Fundamentos de la [isica cuntica (1.5

Podemos medir la energa cintica mxima Ek,max usando el mtodo indicadoen la fig. 1-7. Aplicando una diferencia de potencial V entre las placas"A y C,se retarda el movimiento de los fotoelectrones. Para un voltaje Vo determinado,la corriente indicada por el electrmetro E cae sbitamente a cero, lo cual sig-nifica que ni an los electrones ms rpidos llegan a la placa C. Luego, E~,max=eVoy la eco (1.15) se convierte en

eVo = hv -1>0. (1.16)

Variando la frecuencia v podemos obtener una serie de valores del potencial dedetencin Vo.Si la eco(1.16) es correcta, el grfico de los valores de Vo en funcinde v debe ser una lnea recta. Esto es exactamente lo que se obtiene, como semuestra en la fig. 1-8. La pendient de la recta es tg IX = hle. Midiendo IX yusando el valor conocido de e podemos recalcular la constante h de Planck. Elresultado es igual al hallado para la radiacin de cuerpo negro. Se puede consi-derar este acuerdo como una justificacin ms de la hiptesis de Planck expre-sada por la eco (1.6).Del valor observado de 'lo tambin se puede obtener la energa de arranque

del metal, 1>0= h'lQ Y compararla con los valores obtenidos por otros medios.Los resultados son compatibles.

1.5 Dispersion. de la radiacin po'" electrones libres

Hasta ahora, slo hemos considerado la energta asociada con la radiacin electro-magntica. Sin embargo, ua onda electromagntica tambin lleva momentumadems de energa. (Esto no es sorprendente, ya que la energa y el momentumestn estrechamente relacionados.) Teniendo en cuenta que la radiacin electro-magntica se propaga con velocidad e, podemos demostrar, usando las ecuacionesde Maxwell, que la relacin entre energa y momentum para una onda electro-magntica plana es

E = cp. (1.17)

Pero segn la teora de la relatividad (ver la ecoA.ll), la energa de una par-tcula de masa en reposo moy momentum p es

(1.18)

Esta expresin coincide con la eco (1.17) cuando mo= O. Podemos entoncesconcluir que la relacin entre energa y momentum es la misma para una ondaelectromagntica plana y para una partcula de masa en reposo nula.Cuando se emite, absorbe o dispersa una onda electromagntica, se intercambia

energa y momentum con las partculas que dan lugar al proceso. En consecuencia,cuando analicemos cualquier proceso en que la radiacin electromagntica inter-acta con partculas cargadas debemos aplicar las leyes' de conservacin de laenerga y del momentum, cuidando de tener en cuenta la eco(1.17) para la partecorrespondiente a la onda electromagntica.

~ - -- -- -- ------- .

1.5) Dispersin" de la radiacin por electrones libres

Este resultado ongma ciertos problemas cuando consideramos la interaccinde una onda electromagntica con una partcula cargada libre, tal como unelectrn libre. Por ejemplo, si un electrn absorbe una energa E de una ondaelectromagntica, tambin debe absorber un momentum p = Elc. Ahora bien,si suponemos que el electrn libre estaba originalmente en reposo en el sistemade referencia del observador, la energa absorbida se transforma en energa cin-tica del electrn. Pero la energa cintica de un electrn est relacionada consu momentum p mediante

_ e ta relacin es incompatible con p = Elc y Ek = E, como exigen los prin-. de conservacin de la energa y del momentum. Podramos concluir en-que un electrn libre no puede interactuar con una onda electromagntica

iolar los principios de conservacin de la energa y del momentum. El estu-te puede preguntarse entonces por qu, al estudiar el efecto fotoelctrico eneccin precedente, no mencionamos este problema. La razn es que, en el

0 de un electrn ligado a un tomo, a una molcula o a un slido, la energa_ el momentum absorbidos estn compartidos por el electrn y el tomo, la mo-

ula o la red del slido a la cual el electrn est acoplado. En esas circunstanciasiempre es posible separar la energa y el momentum en la proporcin correcta

a que ambas cantidades se con- 1s rven. Sin embargo, el tomo, laolcula o el slido - que tienena a mucho mayor que la del elec-

/}=oon - se llevan junto con algo deomentum slo una pequea partee la energa disponible, tan pequeae generalmente no se la considera.

r.n el caso de un electrn libre, comohay otra partcula con la cual pue-compartir la energa y el momen-, no sera posible absorcin o

. persin sin violar la conservacine una de las dos cantidades.

g. 1-9. Distribucin de intensidade la radiacin dispersada por un elec-rn libre para diferentes ngulos deispersn,

0=450

0=900

0= 1350

15

16 Fundamentos de la fisiea cuniica (1.5

Los experimentos nos dicen, sin embargo, otra cosa. Cuando analizamos laradiacin electromagntica que ha pasado por una regin en la que hay electroneslibres, observamos que, adems de la radiacin incidente, hay otra de frecuenciadiferente. Esta nueva radiacin se interpreta como la dispersada por los elec-trones libres. La frecuencia de la radiacin dispersada es menor que la de laincidente y en consecuencia la longitud de onda de la radiacin dispersada esmayor que la de la radiacin incidente. La longitud de onda de la radiacin

dispersada depende de la direccin dedispersin (fig. 1-9). Este fenmeno in-teresante se denomina efecto Compton,en homenaje al fsico norteamericanoA. H. Compton, quien fue el primero enobservarlo y analizarlo en los primerosaos de la dcada del 20.

Sea A la longitud de onda de la radia-cin incidente y A' la de la dispersada;Compton encontr que A' - A est de-

Fig. 1-10. Geometra de la dispersin terminada solamente por la direccin deCompton. dispersin. Es decir, si 6 es el ngulo

entre la direccin de las ondas incidentesy la direccin en que se observa las ondas dispersadas, la longitud de onda A'de la radiacin dispersada queda determinada por la relacin experimental

DetectorRadiacindispersada

Radiacin incidente

Electrn

A' - A = Ac(l - cos 8), (1.19)

donde AC es una constante cuyo valor es

Ac = 2,4262 X 10-12 m.

Se denomina longitud de onda Compton para electrones. Recordando que A = el,donde v es la frecuencia de la onda, podemos escribir la eco (1.19) en la forma

1 1 AC-, - - = - (1 - cos 6).v v e

(1.20)

Ahora bien, la dispersin de una onda electromagntica por un electrn sepuede imaginar como un "choque" entre la onda y el electrn, puesto que implicaun intercambio de energa y de momentum. Adems, como la onda se propagacon velocidad c y la relacin E = ep entre energa y momentum es similar a lacorrespondiente a una partcula de masa en reposo nula, esta dispersin se debeparecer a un choque en el que una de las partculas tiene masa en reposo nulay se mueve con velocidad c.

Esta colisin se puede analizar en forma muy simple. Llamemos E y E' a laenergia de la partcula de masa en reposo nula antes y despus del choque yp = E] y p' = E']c a los valores correspondientes del momentum. Si Pe es elmomentum del electrn despus del choque, los principios de conservacin de la

Dispersin de la radiacin por electrones libres 17

'a y del momentum dan

P =P' +Pe,

E + mec2 = E' + c V m~c2+ p~.De la eco (1.21) obtenemos pe = P - p'. Elevando al cuadrado se tiene

1p~ = p2 + p'2 _ 2p.p' = _ (E2 + E'2 - 2EE' cos 6),

c2

(1.21)

(1.22)

donde e es el ngulo en que se ha desviado o dispersado la partcula de masaen reposo nula. Despejando p~ de la eco (1.22) obtenemos

2 (E + mec2 - E')2 2 2Pe = -mec

c2

= ~ [E2 + E'2 + 2(E - E')mec2 - 2EE'J.C2

Igualando las dos expresiones de p~ y cancelando algunos trminos comunes,obtenemos

. EE'E - E' = -- (1 - cos 6).

mec2

Dividiendo ambos miembros por EE' resulta

111--- = -- (l-cos 6).E' E mec2

La similitud entre las ecs. (1.20) y (1.23) es sorprendente; va ms all de unamera similitud algebraica. Ambas ecuaciones se aplican a un proceso de choqueen-su sentido ms general. Adems, como lo mencionamos anteriormente, larelacin energa-momentum E = cp para una onda electromagntica es similara la correspondiente a una partcula de masa en reposo nula, a la cual se aplicala eco (1.23). La conclusin evidente es ligar la frecuencia v y la energa E es-cribiendo

(1.23)

E = hv, (1.24)y una expresin similar para E', es decir, E' = hv'. En estas expresiones, h esuna constante universal que describe la proporcionalidad entre la frecuencia deuna onda electromagntica y la energa asociada con ella en el proceso de "cho-que". La eco (1.23) se escribe entonces

1 1 1- - - = -- (1 - cos 6)hv' hv mec2

o sea1 1 h-, - - = -- (1 - cos 6),v v mec2

(1.25)

Fundamentos de la fisica cuntica/8 (1.6

'111(' ('S formalmente idntica a la eco (1.20). Para obtener la equivalente de1 ( ('(', (l.J 9), multiplicamos la ec. (1.25) por c y usamos A = c], El resultado es

A' = A = (h/mec)(l - cos e), (1.26)

l'ul lo tnnto, la longitud de onda Compton Ac del electrn est relacionada con11 111111\ del mismo por

(1,27)

111' los valores conocidos de AC, me y c podemos calcular el valor de la cons-//111iI' !I, obteniendo el mismo valor encontrado antes para la constante de Planck1'11111radiacin de cuerpo negro y en el efecto fotoelctrico. Por lo tanto, la eco (1.24)l' (' l'lu'inlmente idntica a la eco (1.6).

1./togllllloS entonces a la conclusin de que podemos "explicar" la dispersinItl\ /'1 rndincin electromagntica por un electrn libre si identificamos el proceso('01111) (111:1 colisin entre un electrn libre y una partcula de masa en reposo1111111qlw tiene una energa E = h antes de la colisin y una energa E' = hv'di' /1" ('H d ti la colisin.

l.tI I,'ol.ones

I 111' 11'11explicacin del efecto Compton requiere un anlisis cuidadoso a causadi 111 ('.OIlIH'C'.Uncias de largo alcance que puede tener, Recapitulemos primera-1111'11/1'nuestras suposiciones:

(11) 1/1 disp'l'sin de la radiacin electromagntica por un electrn libre se puede11'11 Idl'I'III' ('Ol1lO un choque entre el electrn y una partcula de masa en reposo111111,

(l.) 11 nulint-ln electromagntica hace las veces de una partcula de masa en111'11 u u u lu, que para abreviar llamaremos fotn;

(1) 111l'lll'l'gln y el momentum de la partcula de masa en reposo nula (o fotn)1 1111111'!II'IHlllldos con la frecuencia y la longitud de onda de la radiacin elec-1111I11Igl1lIII'1l por

p = hl; (1.28)I~ ltv,

1 I1 1fJ,1111I1/Irolnciu se debe al hecho de que p = Elc y v/c = u. Podemos ima-I 111111,/ 1'1'1'('/0 Cumpton como la colisin ilustrada en la g. 1-11. En ella un111/1111di' rl'l'(',II'(J(~l v choca con un electrn en reposo, transfirindole cierta1111'1HIII ('iI'"l.o 1ll0ltHmII11, Como resultado de la interaccin, la energa del11111111dI PI'I' Ildo 'S menor, teniendo correspondient mente una frecuencia me-11111'1', lit' plI .. d(' la dispersin, el electrn ti ne un momcntum igual a la dife-1111111 1'11/1'1' .,1 1\\II1I1I'lIl11111drl Iotn incident y el del dispersado. Podemos veri-lit 11 " pl'I'IIIIIIIIIIIIIII'III.I l' 1.1' hrcho. 1':111111r-xpcruu-u to dicil, pero hn Hielo Ile-

1111111 (111111Y 111 1'1' nll ruln 1'11111'111'1'11111111111 hil'l1 1'011 1111..o)'la.

Ui) Patanes 19

,Cul es el significado fsico del concepto de fotn y de las relaciones (1.28)q 11(' lo definen? N o es una conclusin necesaria el que la radiacin electromagn -1 cu sea un chorro de fotones, lo cual sera una explicacin pictrica posible.l'llllcmos interpretar la energa del fotn incidente E = h y su momentum1/ h/A como la energa y el momentum absorbidos por el electrn libre de Inundn electromagntica incidente, La energa E' = hv' y el momentum p' = h/).,'ti 1'1 fotn dispersado son entonces la energa y el momentum que el electrn1I1'Iv a emitir como radiacin dispersada. En otras palabras, podemos cons-

tll 1'111'que el efecto Compton ocurre en dos etapas: primero el electrn absorbe1111Iotn de energa hv y luego emite un fotn de energa hv', El electrn adquiere111111energa cintica Ek = E - E' Y un momentum pe = P - p', que estn11 lurlnnados por

E_V 22+ 2 c2k - C mec Pe - me ,1111110(~xi~ la conservacin de la energa y del momentum.

,,11111'(\la base de esta interpretacin del efecto Compton, junto con nu stro, 111I1i1lanterior de la radiacin de cuerpo negro y del efecto fotoelctrico, pode11111 runeluir que el fotn es el "cuanto" de energa y momentum electromng-111111'11qu una partcula cargada emite o absorbe en un solo proceso, Est dcter111IIlItlo completamente por la frecuencia de la radiacin. Por consiguiente JIOdi 11111 .' tnblecer el siguiente principio:

Cuando una onda electromagntica interacta con una patiiculucargada, las cantidades de energia y de momentum que se intercambian en el proceso son las correspondientes a un foln.

El =hvlh

1)1 = Xi Fotndispersado

I1 ,1,"111' 1 / "

EI\'('ll'n dcspu&sdI' 111 (llsl)('I'SllI

1"1'1'. 1-12. Ln 11111'1'(\('('161111111('/111III111-(11('11.'/1 \'OIlHI!lI'I'11I111 ('011111 111111I[\I'('/llIlhlo ([\1 fll101l1' . Lo fllllllll11'1111f11\I'111I1'11(11'1-(111111111111\11111111tll111111.'111'1-(1111 1111'11,

I 11 111111 ,,111.' 111111di 111 ". l' rll mluuu-u 11111' .ll 111 ft 1"11, ,'.' 1Itlil-lI 11 11111111.. /'11111 11 111111111'11 1\111' 111 1111111'11111'111'111'111111'11I'1(11ti 11 Y "111111"1 "le 111111111 1111111 11 l' tllIIlIl1 111' 11111111111ell' 111 11 l' '1"1 !t1'11I0 1 IlIbll'IIIIII'1 l' 1111 111 1111 /1111111111, 11111'1111 1 1111111111 tlll 1111111'11\111111111.11111 o 11 t 1111 "11111

, I 1 11, 1t1\llIl'llIllIIS dll .m 1'.(ln y de11111111111111111111111

Futulumenlos de la fsica cuntica (1.6

11 pll' dt igllnldad con otras leyes universales como la conservacin de la energalit I 11101111 11tum. El descubrimiento de esta ley en el primer cuarto de este siglo

1111 1111 11110 en el desarrollo de la fsica.1 1 101l1I'JlI.O el fotn sugiere una representacin grfica de la interaccin elec-

111111111 111'1. ru entre dos partculas cargadas, como se muestra en la fig. 1-12.1 1 1I111"11C'C'iIl orresponde a un intercambio de momentum y de energa; los11111111111111 iuicinl 's Pl y P2 de las partculas se convierten en P~ y P~ despusdi 11 iul rrnncin. Aunque la interaccin no est localizada en un instante par-1111111. 111 lumos indicado por simplicidad a un tiempo particular y en las posi-

1'1 ""\lI'I\I'iIl,II~

Nombre de laradiacin

Energa del Longitud de onda,fotn, eV m

111

IO~~

Rayos gamma 107 10-13_1 Unidad X, XU10~1106 10-1210~1I105 10-1110111

10lH 104 10-10-1 Angstrom,

103 10-9-1 Nanmetro, nm1017102 10-8101'1 Ultravioleta

10ln 10 10-7

1 10-6-1 Micrn, fL

1011

101:1 10-1 10-5

11ti ' 10-2 10-4

11111 10-3 10-3

10-4 10-2 -1 Centmetro, cm10111

10-5 10-11011

10-6 100-1 Metro, m10~10-7 10l

11)'10-8 1021011

IOn 10-9103-1 Kilmetro, km

11)1 10-10 104

10.1 10-11 105

1"11\'. 1-lIt El espectro electromagntico.

I 1 11

1 11111 \ Y 11 1,11 11111'111'11111 1 IlllprlH:l.lI con la pnrtculn 2 por medio de su campo1 It 1 1111111111'"1'111 o 1'011 1,1 n- 1I1111c1o (ti' IIIH' In pnrtlculn 2 I.OI1lIl del cumpo ei rta11111 111 Y c 11'110 111111111'111.11111,1 q ulvnloul 11 1111 fol,o, C:OII 111:01'1'(\ pondionto cmn-h IJ 111 11 11111 1111111110 1'.1 11111 '1111 1'1110 tll' I1 11111'111'11111 I ti 1'1 11' 1'0LOIIC'('" nju la1'lIl\p 1111 rru rr 1'11 11tll 1 ,,1 11111 'o 111111110, 11'1t' 1 I 1III1IJlIl 01'1 111It! 1111'110 1111 rllUIII.1'111 111'111 1 u '1111 ti 1'11111 11 11 '1'1 '1 1111111111 11 l' JlII Ibll Y 111 JlIIII ru] t plll'llt,11 utllll 1111 rullJlI dtl 1111'1111 di ti!, IIIIt 1111 ", 1'1111111111 dll 1 1111111111' qUI 111

1.6) Fotones 21

que ha ocurrido es que ha habido un intercambio de fotones entre las partcu-las 1 y 2; en otras palabras,

se puede imaginar las interacciones electromagnticas como el resultadode un intercambio de fotones entre las particulas cargadas inierac-tuantes.

En cualquier instante el momentum total de un sistema de dos partculas car-gadas es

donde pcampo es el momentum asociado con el campo electromagntico de laspurtculas cargadas, siendo El + E2 + Ecampo la energa total.

La fig. 1-13 muestra las diversas regiones del espectro electromagntico, con1'1 nombre que comnmente se da a cada regin. Tambin se da la longitud de11I11la, la frecuencia y la energa de los fotones asociados con ellas.

1,,,mMPLO 1.5. Expresar la energa de un fotn en electronvolts en funcin de suItllIMII ud de onda dada en metros, Usar el resultado para obtener la longitud de"lleln de los rayos X en funcin del voltaje de aceleracin aplicado a un tubo deIIIyllH X.

6.-----~----._----,_-----r----~----~Radiacin

-;;;- caracterstica'"'~5 x, -+----+----+----+------1~~~'tl

'"'tl'Se

4~--~-.--~~~_+---~---~--~Radiacincontinua o

3~---+~I--+-...",._::-+-"

En un tubo de televisin, por ejemplo, los electrones se aceleran en una diferenciade potencial.del orden de 18000 V; .c~ando los electrones llegan a la pantalla del\ubo, se detienen abruptamente emtendo rayos X por la misma razn que enun tubo de rayos X (la intensidad es, sin embargo, muy baja). La mnima longitudde onda de los rayos X que se producen cuando los electrones se detienen en lapantalla es entonces A = 6,9 X 10-11 m. La relacin anterior ha sido confirmada\'xperimentalmente: La fig. 1-14. muestra la intensidad de los rayos X de un tubode rayos X en funcin de la longitud de onda de los fotones emitidos, para diferentesvalores de V. E'-E = h, (1 '~II)

"I uut

hv .Y AV " \('1\( IIW qU( /\' 11, / A 1'1 111 ti 111111 di ,"111 111111111111,'I,'J/lI111111~,",.IIIII, 1'/111 11 1111111 Ilill\ di 1111'11,/1111111111111111111""'/.t'rI/lIII//'II/" 1'11" 1/111 di 1111dlJllrllI t'I'''II'1I1\ 11111111,1111'11,1111l' I Ie/II " (11 Idll 11111'1'/1'11111\'111 11 111111.IIII!lllllId 1II,I't'1l di' 111111111111,':\illt-III\'III\'III\', 1111 1 11'111/1di I'IIIWI \1111111\' IlIdll 1',1'1111111111I1I'd\' 111111'11111

l' ('PHIl di' 1'111'"0111\'11 1'11I111/1d\' l'IIill/I\'11I111'1\'('11'11111I~I\I'II\'II, 1,11 11'1'1111'111'111'111Il' O\)H"I'vall vu 1111'1I(1i1lt:i1l1l(,lldlulu runxl rl u ('11,'II'S/II'('1r1l di' ,'/11/\/111/ d,'1 1111111

,1,' Clil'.(ns, Lus (' 1lI'l'illl(IJIIUHhnu IIIU,I1'1I do

1,'IIlItI,1/1It 1/1" ti, 1" 1/ ,,, , ''''111 1" (11 1 1"tlII , 1", unuu 11

.1111 1I1I11I11I1I/,I"ldll 1'lIcI.111I11I 1'11111111111111'1 '111I .11'1,,1'1111' 1,1.1I1,"tllllllcllII'III"''II 1'11111111111'11111111',1','1111111'111"111'11,111"111'1'11 .1111'1,111'1111,'1111111 dlll,1'11'1111111'1111111111111111'111,'Y 11 111'1111111'" 1111'11 1'111'11u-urlu. ., 111IIIIIIIJ 1111111111'I1 hl" I 1I'1Il'i1l di' ,'I,lIdo l' 1.111'11111111'111, ,'111 1'111hl II'HII, 1111 l' 1111011 1'1vru ln 111 l' 111l'Ollll'(lI'l'ill Ill' 1111IIIII('I'ill 111111'lldilldll I'olllitlllll di' I'III'I'~III 1'0111'111111tIf' IlrllI1'01' lo Innt o, ('01110 110 HI' HIglIl'lI III~pl'l'dil'I'iOIlI'' di' 1111'It'I'll'odiJl'111I11'II 1'It'11111,pOllm\los noncluir que 1111elertru (o 11111\11nr 1.1('11111 1'111').(11dn) (jlll' ,1' 111111'1 .111111estado cstucionario ('st:'\ gOhl'J'II!lIlo por principio ndiriolllllt'H '111" 11111111111I1'\Il1J~consid rado. En el cupltulo 2 ('Xp10rnrl'1110S I'slns 1I111'VOSI'l'ilH'lplll

" 1

11 1111'1Idi' 1111101' 1'111'1gi:t, 1111'1111.1011 d.' 1'111ti 1111111.1,. t 1111111.111'11dn IlIgII! 1111'1111'1'o 111"('1"0. 1.11 fl'I'I'IU'III'1I1 di' In rtuluu-iun 11 1I1,1.llIdll I'JI !'I PI'()(',I\HO1', tdudll 1'01' In I'C:. (1.' O). La lig. 1-15 muestra I'HI(IH'III ti kllllll'lIl.l' alguuas trnnsl-l'iolll'H. Un [U'OCI'SO en el qu un tomo en Sil l\HI,lIdo f'uudamcntal, d 'signadopOI' /l. absorbe un foLn y pasa a un estado excitado. designado por A s re-presenta por

A + hv-+ A*.\'.1 proceso inverso, emisin de un fotn, se puede expresar por

A* -+ A + hv.La idea de sistemas de cargas que tienen slo un conjunto discreto de estados

estacionarios es completamente extraa a la mecnica newtoniana. De acuerdocon las leyes de la mecnica newtoniana, el movimiento de una partcula est

Espectroconlinuode energa

1I I~

Espectrodiscreto

de energa

Fig. 1-11). Transiciones entre es-tados estacionarios. El espaciamien-to de los niveles de energa y lastransiciones posibles dependen dela naturaleza del sistema.

."IJ{. 1-16. Origen del espectroc1lsTclo y continuo de energac11'1ido a estados estacionariosdiscretos.

(a) Absorcin (b) Emisin

determinado por las condiciones iniciales de la partcula. que se consideran arbi-trarias. De este modo, una partcula puede tener cualquier energa, determinadapor las condiciones iniciales (posicin y velocidad) arbitrariamente elegidas. Estose aplica, por ejemplo. cuando se coloca un satlite artificial en una rbita es-table. Un astronauta puede cambiar arbitrariamente la rbita. y por lo tantola energa, de su nave espacial cambiando simplemente la velocidad en un ins-tante determinado. Del mismo modo, la mecnica newtoniana permite que elelectrn de un tomo de hidrgeno tenga cualquier energa, dependiendo estode las condiciones cinemticas existentes cuando el protn captura el electrnpara formar el tomo, y el electrn podra cambiar su rbita absorbiendo unacantidad arbitraria de energa. Sin embargo, la naturaleza parece trabajar enforma diferente: slo ciertos movimientos estn permitidos. o son posibles. Enotras palabras: se debe aceptar la existencia de estados estacionarios como unhecho fundamental de la naturaleza.

La aceptacin de esta idea de estados estacionarios presenta otra dificultaddentro del marco de la fsica clsica. Cuando un electrn gira. alrededor del ncleode un tomo, su movimiento tiene aceleracin tangencial y centrpeta, es un

r .a hiptesis de Bohr sobre los estados estacionarios fue una hiptesis tu! IUII,in justificacin terica slida. Sin embargo, su xito estimul a otros Ilsico 11

realizar experimentos para poner a prueba la idea. Rpidamente se acumul 111111gran cantidad de informacin que dio lugar al descubrimiento de nuevas c iusopechadas propiedades atmicas. Es sta una situacin que se ha pr scntruloarias veces en la fsica contempornea. Un fsico de gran intuicin y osnrlfu

propone un concepto nuevo y atrevido; la idea provoca nuevas especulacouey xperimentos y pronto se abren horizontes nuevos e insospechados.

Los estados estacionarios no constituyen necesariamente un espectro dlscr!ude energa. En muchos casos estn permitidos todos los valores de energln 1')1un cierto intervalo (o banda) resultando un espectro continuo. Considercmopor ejemplo, el caso de un electrn y un protn y tomemos el cero de la cnerglucuando ambos estn en reposo a una distancia muy grande uno de otro. Tollolos estados estacionarios de energa negativa. que corresponden a estados ligadoen los que el electrn se mueve alrededor del protn formando un tomo de \11drgeno, estn cuantizados y la energa de estos estados slo puede tener certnvalores EK EL, EM, ' .. (fig. 1-16). Por el contrario, los estados de energa po 1

f !gd

be

11 ()

a e

1':, I h IJ~ tllUln:.! 1 ( 1,,11)

(1, 1, ) / "'11/' 111 " , '1'" '"1111,,1 ti, 1/1 , /"rI" / /,'/ ""tll "11,," 110 l' 1;111"11/11/111:/1110.Y 1I I'IIII'/{III plll'dl' 11'111'111111111111" 111111',1':lo l' IlItIo1111 011 Ilglldll. Y 1'0'1'1' IHllld\'1I /1 111 illI/lI'iOIl \'11 q 111'\,1 11,1'1"1111 l' IlIm:a SO!>I'I' \,1pI'O!.II cll'. dI' uua gl'llll distnncin y coa cicrtn 1'III'l'glll I'IlIl'Iim iniciul ; al pasarl'l'ren dt-l prnl. n, el electrn se desva de la direcciu origiual d 'u movimiento

s aleja hacia 1 infinito sin formar un sistema ligado, En este caso, la energadel sist ma st determinada por la energa cintica inicial del electrn, que sepuede elegir en forma arbitraria,

Puede haber transiciones entre dos estados del espectro discreto de energa,tales como la ab y la cd (fig. 1-16), o entre un estado del espectro discreto y unodel espectro continuo, tal como e[, o entre dos estados del espectro continuo,como gh.

dlt""'111111 111" 111 el" ItI 1'11' di' "lIllftlll dll 1'111111111111111111,111111",Id 1 11 1111,1,11)1.11tllr"II'IIIIII, IIII'"I',~III d. ",'1'111" 11 d,I,"1I11II

1'1111111'11111I111,(l11I'1(,,11"'11,'" 11di' 11ft 111'1'11'11111,'111'1110"',HIIII.'III') 11"', (1,:11), 1,1101,'1Iti11

\,.1 1\1'" 111101'111111,1111roln 1'11el cxl ndu 11111'111Y 1I11Ij.(IIIW1'11!'i 1111111.1.111'11111'1'\'11111111tI,,1 111111111'1111111I"I'\fllft'", \flll' /"ltllllll, /'1",,'," que I'S 11I1I1hl('1I1'llItI 1111'1111'1111 1'\ (1 :11I)1'111'lo 1111110,usando Ins IlIisIIIHS npru: lnuu-lo m-s \f111' 1111(('s, In ('(', (1,:11) l' 1111111111111111'1\

hv (H.r (H l~',)(1 1 IIv )2/111'"

fiJEMPLO 1.6. Conservacin de la energa y del momentum en transiciones radia-Uvas.

Solucin: A primera vista, la ec, (1.29) es correcta en lo que respecta a la conserva-cin de la energa. Sin embargo, un examen ms detallado indica que necesita unaligera modificacin. En la seccin 1.6 hicimos notar que un fotn tiene un momen-tum h/t.. = hvc adems de la energa h y que tanto la energa como el momentumse deben conservar en transiciones radiativas de un estado a otro. Consideremosprimero la emisin por un tomo en reposo, Inicialmente, antes de la transicin,su momentum es nulo. Despus de la transicin un tomo debe retroceder con unmomentum igual y opuesto al del fotn, es decir O = Ptomo + Pfotn; en mdulo

11 1'11

(I,a )

ptomo = pfotn = hv]c. (1.30)

hu cousecuoncia, para que la absorcin tenga lugar, la energa d I fot u 1111(11bldodl'lll' S('I' ligeramente mayor que la diferencia de energa entre los dos IIlvlIll' ti, 11111nrhcnt e para compensar la energa cintica de retroceso del mismo.

l Iun consecuencia de este anlisis es que un fotn emitido por un 'isl('111f1 (1111111111,mulculu o ncleo) en la transicin a -+ b no puede ser absorbido pOI' 011'0 /011""'11Idl"lIt leo para efectuar la transicin inversa b -+ a, por 10 que el espectro d(' 1,,,tI 111111111I'S idntico al espectro de absorcin. Volveremos nuevamente so h1'(' ('sil' 1111111111'1/ ('1 e] mplo 1.10. Para las transiciones atmicas y las moleculares, 1'11111. 1'111111-11', U es del orden de unos pocos electronvolts y Mc2 es del orden do 10" I'V, I1lt'l'llIino correctivo de las ecs. (1.33) y (1.35) es del orden de 10-10 eV sieurln, IlIlI 111111111o, despreciable. Por otra parte, para las transiciones nucleares E, l\' 1"II'tI,1'1'

.,'/ Fiuulun uta ti, /,' (1 ",,,,,, ," I.,~) I /"d" ,

Fig.I-17. Arreglo experimental de Francky Hertz para analizar colisiones inelsti-cas de segunda especie,

Fig. 1-18. La corriente electrnicaen funcin del potencial acelerador enel experimento de Franck-Hertz.

U 1'11, poniendo 6.E = E2 - El>

_1_ p2 = _1_ p'2 + _1_ p2 + 6.E,2m 2m 2M

( I,.IH)

C'IIlJl(lo esto o 'UI'I'I' 1/1 , ,,11 111/1.' 1//.,1/1,11'1','(Y .1 1 1POu('IIIO!j repreaen .1Il'11 (lOI'

1

l'; 11 (1/111. o lell' .11,1/ IIdll (111'1"'111111 11.111',11111Ilg, 1 1 .' nulu-n "'1/11'1111111/111111'111"/1 11111111111111l'Il~It'III.,' ,,' 1'11111,1'1'1,;"11'"11' 1(111' 1111IUI,I"llId" 11111'1111111"11111 (; (11111111'11111d, 1111poll'll

,11I "'l/l/ti, u111'11/" tl /" I 11/ l nl ,,,,, /tI" ", 1" uu! ,It ,'/ '011 /" 11/"11,,1,, "1,11 11I111111111l'II\'I'f{11I 1'111111111dll 1"11\,11'1111II'I'I'N/lI'III pnru d prOI'(\NU ('ti uqu \1111(\111(111'1/11110('1 prOyll'l1l 1'1111111rI 11111111'11,'HII 11 '11 J' 'POSO n ,) Si8l('1I11l do 1'l'fI'l'I'lIdndi) ('('litro d musa, 11111.11111111(:, d(', pU'/j ti la colisin de modo que toda Jn '11'1'1.(101'11ti slsl cma e se u llJlzu CJl lu e citacin del blanco. En este caso, despus de Inl'ullslll, 1 blanco y el proyectil se mueven en el sistema L con la misma velocidad"'M del centro de masa del sistema. Por lo tanto p' = mVCM y P = MVCM. PeroI I es la velocidad del proyectil antes de la colisin, tenemos que

mvVCM = m+M

1'01' consiguiente

p' m2v mp mMv Mp

p=m+M m+M m+M m+M

I'III'I'KII) JlIIIII lIt 1I11I'ylldll dt' lo 111 111111111111'0111In 1'llIlIllIlId dt' ti IKt"o t 11\' "IIY ru 1/11'111 011'11 1'"1'11', 1\ t'tllllllllll(' 1,,'lplllllllll'/lI(' ('11'1\11' 11I'111'1'('111'11 11111111'1'11,

1,11 101.11111111.('111l' (,1111111l'jl'I''IlIo di' 111\1('111111n'III'I'loIII' IIlil'llldll pOI' 11111111111 1111cI(' rnrllnriu. 1':1 l' 1.11([10cll\ 1', liS l'I'I\I:!'iOIl(', IH' Ill'llIllIlillll ((//(/1///(/11,,.,,, 1:11".111'11/'1'1('111'01.1Itu(,l1il'.1I l'('\lI!iI'J'\' 1" illl.l'l'VI'lIclII lo I'OI.OIlI'HdI' 1111111'11'1'1111'111'1'1-(111111/1'0l'jl'lIlplll dI 1)J'O(:l'IiOIi(kl>itl01i Il In nbsor 'ill (' rudiuciu 1'/1 111di 111'111'1111ell 111111molculn por nbsorcln

,/' 1,'///11/,01/1'111,1, ti" /11 1/ /", ,1/. 1/' I fI (1, J I.!I) 1/11",,,, "n tll 1" ",tI/,II/,'/I ",,, /" ,1/"1",, I I

Lit ('11('1'1.( H ('lu("1 [(',/1 dt-l ('\('('I.'ou , r I d Id ( 1'ltI 11111" pClI' /11'

qu es una ecuacin anloga a la ec. (1.14), (En esta ecuacin hemos despreciadola nergia de retroceso del ion), La eco (1.40) muestra que para que se produzcafoLoionizacin, la energa del fotn debe ser igualo mayor que l. El valor de 1depende del estado estacionario inicialmente ocupado por los electrones desaloja-dos. Por ejemplo, si se quiere desalojar un electrn del estado fundamental de untomo de hidrgeno, la energa mnima del fotn debe ser 13,6 eVo Pero si elelectrn est en el primer estado excitado se necesita slo 3,4 eVoPara los tomosde helio la energa de ionizacin necesaria para sacar un electrn del estado fun-damental es 24,6 eVo

En la regin de la alta atmsfera llamada ionosfera, la gran concentracin deiones y de electrones libres (alrededor de 1011 por m3) se debe principalmente alefecto fotoelctrico sobre tomos y molculas producido por la radiacin ultra-violeta y X proveniente del sol. Algunas de las reacciones que ocurren ms fre-cuentemente son

10

~\\

1 (1'1J)\,\

---- ,---1 [(Pb) \-_ ,Pb\ -'

hA=-,

P

Ev=-

h '(1.44) 11/ V 2meeV = 1,23 x 10-9/V" m, (1.111)

,u " I/lItI/"II I / I (1./0 I /ti) i'u /1, ,,1,/ 1/' "'"1'"tmml ,','tI"",/,,, //""',,'r l! //1, 1. rllll,'I(11l 11,,11\ "II('I'gla ,1\1 lo JIlI,IlIl(H IVIII'vl ('j,'llIplo H,H p 1111 111 11111.11.11111 .1.,111 1'(\. (1.'13)1.

EIl ('a

,/(1 .'III/I/'I/I/'

,/, /,'/llIrlrllll"1I11J ti" Ir, [! 1", , """,1,11 (1.10 1,1/) /',1/ 11, "1,, 11 1""/'" I ,, ",,,/,,

'I'llllll>l(IJI en (' perhucutua OJl)l"uI.OIlI y 11'111a,1I1I , 1111oh orvallo el rulsmor"IIIIIIIlIO(h, dlfrnccin d Bragg. La tl f"IIC'I'11I1IIII 1I11I1.1OJlI\II's particularmente(tll, !l0)'(1uc '/1 uno de los medios ms porl ''()!lO!! pU1'I\ .studar la estructura cris-tulina. Los xpcrimentadores usan haces menoenergtcos de neutrones y analizansu p saje a travs del cristal. Los neutrones que emergen de un reactor nuclearpor una ventana (ver fig. 1-24) tienen un espectro de energa muy ancho (enotras palabras: tienen unos valores muy variados del momentum) o, lo que esequivalente, el haz de neutrones no es mono cromtico ; contiene ms bien unpectro compuesto de muchas longitudes de onda de de Broglie. Cuando el haz

de neutrones proveniente del reactor incide sobre un cristal, LiF por ejemplo,los neutrones que se observan en la direccin simtrica corresponden slo a lalongitud de onda A dada por la condicin de Bragg (1.47). En consecuencia,tienen una energa y un momentum bien definidos. El cristal acta entoncescomo filtro de enerqia o monocromador. A su vez, el haz mono energtico de neu-trones se usa para estudiar otros materiales por difraccin o para analizar reac-ciones nucleares que involucran neutrones de energa determinada.

1"114'.I-~. TI' 'Il d(\ ollcluHcout nuo correspondlou! n \11111plll'lklllll 110IIH'lIlll1ldll,

Ir. 111longltud de Olida es el l orden II!'iu

1 .,. 1(111el campo de materia de una partcula libre no da informacin ne"I'c'"111lurullznein en el espacio de una partcula libre de momentum bien delluido,

11ulru pnlabras: el campo de materia es independiente de la posicin (lo 11111. ulu y una observacin del campo por medio de algn mtodo no rcvelnrln\10 .' II (le la partcula.o utulcin fsica y por el conocimiento de campos y ondas, sabemos 1(111'\"" linda localizada dentro de una cierta regin x del espacio debe corro,l! 11 1111campo de materia cuya amplitud o intensidad es grande en 1 11111V muy pequea fuera de ella. Se puede aumentar un campo en ci rtn n'I ,11"1111111'10fuera de ella mediante el proceso de interferencia, superpouk-nd

.11 Irecucncas y longitudes de onda diferentes. El resultado es un paquri.

/"/11/1/11111"1110\ d,' /11 1/ (", '" 1//, 11 (1, I ' 1, I /', /1, 1'(11 ti, //lit In/ll(,,'" 11/1 ti,. /111 11"'" I 11

Ilg- 1'111 111 dI' 1110111111""",111' l' l' '1' 1', dCllldl' l' 1 111 1I11I11d" 11111 11'''1' 11 11'111111111(1,IH). 1)1'1/11111 11'11' 1/'" 111 IIlrll'I"/'IIIIIIIII'111I1 "11 1,1 111111/11'11111111,11 1" 1'11111,"1.1 1.11 11,111,'/1111(I.IH) 1111(1111'/1'1"" ('1111111.11IIIIIy'"' " 1 1111'111111 l', IIVI'I'IIII1I'III,', 1',11 1111'11 pllllllll'll: 11111I1'01'l1l1ll'i1l1l",'1""'" rllI 1/1 IO"I(i,1I1'1111Id,11111111111'1.11'111111'11 1'1 l' (l1I1'i0 l' 111"'n 11 l' '1)\'1\ 11 tll'l ('Ol\lIcillll'II\.O 111'1'1"'(1di 11111111111'111.111/1.

I ' l' "'11/,"/1' ,,/11 ,/, /,' 1/ /"1' fl/,ll/llr " (/.1 ' I I ') 1'1 ''''/' 1I ti, //Ir/d, 111111I'" "11 tl 1/, / ,,/1'11' "1'; 1l' )1"1111)111/ pn'HIt uno d los hechos fundamentales de la naturaleza y en('1/'1'1,11III1'elltllI /')111 de considerar ms fundamental que las relaciones (1.45),aunque uq u 1111HIIIOSprocedido en forma inversa. Para mejor comprender elprincipio (k illdl terminacin consideremos algunas situaciones fsicas posibles.

Decir \11' unn partcula est en el punto x y tiene momentum p significa quedebemos medir simultneamente la coordenada x y el momentum p, ya que sinesa medida JlO L snemos informacin. Pero si analizamos el proceso de medidanotamos que a scala atmica no podemos medir ni la posicin ni el momentumsin perturbar apreciablemente el movimiento de la partcula. Para ilustrar esto,consideremos algunos experimentos simples. Supongamos por ejemplo que que-remos d t rminar la coordenada x de una partcula observando sla misma pasa() no por un agujero (de ancho b) en una pantalla (fig. 1-27). La precisin con queconocemos la posicin de la partcula est limitada por el tamao del agujero,es decir que t::.x ,...., b, Pero el agujero perturba el campo asociado con la partculadando lugar a un cambio en el movimiento de la partcula, como se deduce deldiagrama de difraccin que se produce. La indeterminacin en el momentum dela partcula paralelo al eje X est determinada por el ngulo 6 correspondiente

le 111111" 1111 '11Id, '" /1111111111I1I1/11I1I1'l\lod., 111'"/1\1111111'1111' .1,111111/11111111111el, 11 )111111111111111,11 1111\,"1,', )1111'"Il'dll"lI 111IlId,I"1I1I111I( 11111"11 ,1 111111'1/111111lo dI' 1., ('1111/)10111'1111'(111 111111111'11111111,1'111111111/1111'1111:11dl,1 111.1'1,111111dI' 11111111('(1111111'1)/' 1'( muy /' 11'1'('1111,1':/1111,"1 '1' 111111l'I'lIdl]1I IIll1y "111'111I,111'1'11' ,)1111111111111111illdl')ol'lllllllll'ioll gl'lllld(' 1'11111l'OOI't!t'lIl1dll,1 (1,' 111PIII'IJrllhl,

OlIO 1', IH'rillll'ulo I)IH' IlIdil~1I111lllpO, illilidud dI' uh I'i'VIII 111111)1111111111 111)I"l'llIl'hllrlll, l' 1,1,'11,111'111)111'11'Il1:1I1I0I1Il,' (ll'LI"'llIilllli' In p,l.'i('101I dI' 111111,, 111111)101' 11I1'dio,ll' un uricrnsrupi (lig. I-:H), Para O))sl'l'\nr ('1 1'1('('11'/111(11'11,1111' 111uuunrIn (:011 luz de dl'!'!.a IOllgilud dI' onda A. La luz I)U(' )lasa pOI I'i llti( 1111111111111 In que ha sido dispersada por el cle .trn en OhSI'l'\m-ion. 1';1 /\10/111'11111111tlllo Inl.oues dispersados es protn hlA y para pcnctrnr 1'11el ohjl'll\lI 111 11111111'l'

u. !t. (1 11)

11 Fusulumrutn rI,' 111 [lsirn 1'I/11/1C'ct (1./;1 1,1 1) 1" ,d"dll/l tI, Il/tI"""/I/I,,, 111"1'lIlrl et 1111/11'" 1 /,r tll II,f"

IU'('('siLa por consigui nte una descripcin del movimiento que sea diferente a la deIn Ilsica clsica. Por la misma razn, conceptos tales como velocidad, aceleraciny fuerza son de uso limitado en la mecnica cuntica. En cambio, el concepto deen rgia si es de importancia primordial, ya que est ms relacionado con el "es-tado" del sistema que con su "trayectoria", como veremos en el prximo captulo.

Para describir grficamente el estado dinmico de una partcula, es decir, suposicin y su momentum en cada instante, usamos un espacio representativodenominado espacio de {ase. Para el caso de un movimiento unidimensional, elispacc de fase tiene dos dimensiones, correspondiendo la abscisa a la coordenadade posicin x y la ordenada al momentum p (fig. 1-29). En la mecnica clsica,el estado de una partcula se representa en el espacio de fase con un punto de

lhul 1 111'111,. 11"111'11-:111,,1 I y /. 1111111 IlIdl'l 111111111111111di 1"l' 1,11"111111""11. , 1 "111111'11\11111,111111111Mil1'1111':

1'0,lt'ItION1'IlIlIp"")Hll')' 1','1,111'I'lmi(1I cid 11111110'1"1' j III' .1 11111'1111111tI,1I1I11,1in I:lIlIt('en 11"1'uua pnrl.lruln 1>11,11P"I' (111puulu III'IU'IIIII 1'1'1'11'"1111111111'111111(1111Itl('(lilll\l.(~1111pulso () Pllqudu (' Olltlllfl dI' durruiu 1 uru ,'orlll, t'llIl 1'11111runstruir este pulso I'S neccsuric SII1H'1'!l0IlI'!'('lIltlflllS '1111'1i!'II"u 1'11'1'111'11111 tlll.u-ntes, con una amplitud aprt-rinhk- slo 011un iut.er nlo di' 1'1'I'I'UI'1I1111 ,,' " 11l.rntln ('11 la Ir cucncia (,)y tal que, conforme a In tcortu rh-l 1111I1111 (I! 1'1111,,'1,

------~Od----------------x

(z, p)

p .-/'

,./ l'

~

L.--~fJ.p /'

.....Vt/

...-V

O

Multiplicando por ti y recordando que scgn la cc. (1.15) I~ lt y (jlll' "J lt !tuhtcncmos la relacin (1.49). Esta da la r lacin ptima I'IIIJ'(' Ins IlIdl'I"1I111111cioncs /::,.1y /::"E. En la mayoria de los casos, se conocen I y H ('0111111'111111''''in, por lo que en vez de la relacin (1.49) debemos escribir In 1'1'\111111111111.tll11eral

p

La relacin de indeterminacin (1.49) requiere que revisemos nuestr ,'11111'tlllcll' estados estacionarios, Consideremos un electrn en un estado " 111111111,11111

x

(b):~: !: t.E~O1

Estado excitado

(a)

Fig. 1-29. Trayectorias clsica y cuntica de una partcula en el espacio de fase,

,~ EI-------E-st-a-d~o-f-uLn-d~am~e-nt-a-I------1 t.E~O

l'ig. 1-30. Ancho

coordenadas (x, p), puesto que en la mecnica clsica podemos determinar simul-tneamente con precisin la posicin y el momentum. Cuando la partcula semueve, el punto representativo describe una lnea en el espacio de fase (fig. 1-29a),En la mecnica cuntica la situacin es diferente. Dividamos el espacio de faseen celdas, cada una de lados /::"x y /::"p de modo que /::"X /::"p = h. Luego, lo msque podemos decir es que en cada instante el punto representativo de la par-ticula est dentro de una de esas celdas. A medida que el tiempo transcurre, latrayectoria del punto representativo cae dentro de un camino en forma de cintaformado uniendo una serie de celdas (ver fg. 1-29b). de los niveles de energa.

1.13 La relacioi de isuietermmaein para el tiempo y la enerqia excitado de un tomo, Despus de cierto tiempo el electrn experimcn t.1I1'1'111111transicin radiativa a otro estado estacionario de energa menor. Sin ,'lIlh,1I 1',no tenemos medios para predecir con certeza cunto tiempo permnnvu-ru , 1electrn en el estado estacionario antes de hacer la transicin, Como s,' VI'I'II 11el prximo captulo, a lo sumo podemos hablar de la probabilidad por uuitltul d.tiempo de que el electrn salte a un estado estacionario ms bajo. Por 11111111111.

Adems de la relacin de indeterminacin /::"X /::"p ......,h entre una coordenadade una partcula en movimiento y .el correspondiente momentum, hay una rela-cin de indeterminacin entre el tiempo y la energa, Supongamos que queremosmedir no slo la energa de una partcula sino tambin el instante en que la par-

l' /11/"'"'' ,,111 d, lst 1/ /", , 1/, ,,1 (1,1,1 " 1.1) 1" /,1",("1/ d, ,I/IIt1, "//,,,,11 /11/ /",/" ti 1 ""/1/1 11 1" f ",,'/(// " 1 illll'l '11111PI'Ollll')ill dI! 111'111)111dllllllll .1 "id .1,),,11011 (',1.1\ 1'11l'1 1~lIll\(lol' 111t'IOll/ldo, Hnmrulo 101111111'11/I,rI" ,/IIr!1I/ dl'l l' Indll, 1)11111" iuvursruuen luprnpurcioual 11 la mcnciouadn )l1'ohnhIlIlIJld di' IJlII lciu , se COIlO e con unailldl'll'l'I11inadn l. D' aqu

48 Fundamentos de la fisica cuntica

En este caso la masa es tan grande que la energa de retroceso es muy pequearespecto a E2 - El. Entonces puede haber absorcin resonante dndose lo quese llama electo Mtissbouer, que fue observado por primera vez en 1958 por el fsicoalemn R. L. Mosshauer.El efecto Mossbauer ha sido utilizado para investigar varias propiedades scas

importantes. Por ejemplo, por medio del arreglo mostrado en la fig. 1-31, se puededeterminar el ancho natural /1E de un estado nuclear. Se monta una fuente de rayos yen el borde de un disco giratorio de velocidad ajustable. Cuando la fuente est en Ala radiacin pasa a travs del agujero en el blindaje e incide sobre un absorbentecompuesto de tomos del mismo material que la fuente. Tanto el emisor como elabsorbente estn alojados en cristales, esencialmente para eliminar los efectos deretroceso. Cuando el emisor est en reposo respecto al observador se observa absor-cin resonante; pero cuando se pone en movimiento el disco es imposible la ab-sorcin resonante. Esto se debe al corrimiento Doppler de la frecuencia de los ra-yos y emitidos, a consecuencia del movimiento de la fuente respecto al absorbente.La fig. 1-32 muestra la intensidad de la radiacin transmitida. Obsrvese que hay

absorcin mxima para velocidad relativa nula y que la absorcin disminuye cuandola velocidad relativa aumenta en cualquiera de las dos direcciones. Para una velo-cidad relativa de alrededor de 4 cm s-1, correspondiente a una variacin Dopplerde la frecuencia del orden de /1v ,...., v(v/c) = 1,33 x 10-10v , o sea un cambio /1E ,....,,....,1,33 X 10-10E en la energa, la absorcin es prcticamente despreciable, lo cualindica que el ancho del estado es aproximadamente la mitad.

Bibliografa

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10. Foundations 01 Modern Physical Scietice, G. Holton y D. H. D. Roller. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1958, caps. 31 y 32

Problemas

.1 Cuando se acelera un. electrn a+ avs de una diferencia de potencialde 1 volt su ganancia de energa seenomina 1 electronvolt (eV). (a) Mos-

trar que 1 eV = 1,602 x 10-19 J. (b). En cunto aumenta la energa de une ectrn cuando se le acelera a travse 10 V, 50 kV Y 1 MV? (e) Supo-.endo que el electrn parte del reposo,

calcular la velocidad final..2 Una fuente gaseosa emite luz dengtud de onda 5 x 10-7 m. Suponer

que cada molcula es un oscilador decarga e y amplitud 10-10 m. (a) Calcularla rapidez media de radiacin de energia

r molcula. (b) Si la rapidez total deradiacin de energa de la fuente es 1 W,.cuntas molculas est emitiendo simul-tneamente?.3 Estimar el valor de (dE/dt) dado

por la eco (1.5) para un protn de unncleo. Suponer que z es del orden de0-15 m y co de alrededor de 5 x 1020 S-lara rayos gamma de baja energa.

1.4 Se puede deducir de las ecuacionese Maxwell que los campos elctrico y

magntico de una onda electromagnticalana estn relacionados por c = c'1J.

_lostrar que la densidad de energa de landa se puede escribir en la forma

E = e:oc2 La intensidad 1 de la onda eszual a la energa que fluye en la uni-dad de tiempo a travs de la unidad derea perpendicular a la direccin de pro-pagacin. Mostrar que 1 = ce:oC2.1.5 La densidad de momentum de unaonda electromagntica se puede escribirp = e:o x '1J. Mostrar que esta expre-sin tiene unidades de momentum porunidad de volumen. Demostrar tambinque para una onda plana E = pc. [Suge-rencia: Recordar la relacin entre c y '1Jen una onda plana y la expresin de Edada en el problema 1.4.]1.6 La radiacin electromagntica pro-veniente del sol incide sobre la super-ficie terrestre a razn de 1,4 x 103 W m-2(a) Suponiendo que esta radiacin sepuede considerar como una onda plana,estimar el mdulo de las amplitudes delos campos elctrico y magntico de laon4.a y la densidad del momentum de

Problemas 49

la misma. (b) Si la superficie de la tierraabsorbe este momentum, calcular la pre-sin de radiacin sobre la tierra.1.7 Las ondas de radio recibidas por unaparato de radio tienen un campo elc-trico de amplitud 10-1V m-l. Suponiendoque se puede considerar que la onda esplana, calcular: (a) la amplitud del campomagntico, (b) la intensidad media de laonda, (e) la densidad media de energa,(d) la densidad media de momentum .(e) Suponiendo que el aparato de radioest a 1 km de la estacin radio difusoray que la misma irradia energa en formaistropa, determinar la potencia de laestacin. [Sugerencia: Recordar que si elcampo elctrico varia armnicamente conamplitud co, el promedio temporal delcuadrado del campo es 1-c~.]1.8 Demostrar que la intensidad de laradiacin proveniente de un pequeoagujero en las paredes de una cavidadque est en equilibrio trmico con laradiacin (es decir, un cuerpo negro)est dada por 1 = tCE, donde E es ladensidad de la energa de radiacin. De-mostrar tambin que la constante deStefan-Boltzmann es cr = tca, dondea = 7,56 x 10-16 J m-3 K-4 (ver elejemplo 1.4).1.9 Escribir la forma asinttica de laley de radiacin de Planck (ec. 1.8) paralos casos de frecuencia muy alta y defrecuencia muy baja. La primera rela-cin se denomina ley de radiacin deWien y la segunda, ley de radiacinde Rayleigh-Jeans.1.10 Cul es la longitud de onda co-rrespondiente al pico del espectro de laradiacin del cuerpo negro a 300.K (tem-peratura ambiente)? Determinar la den-sidad de energa monocromtica a estalongitud de onda.1.11 Suponiendo que el sol es un cuerponegro esfrico de radio 7 X 108 m, calcu-lar la temperatura del sol y la densidadde energa de radiacin dentro de l. Laintensidad de la radiacin del sol en lasuperficie terrestre (que est a 1,5 x 1011mdel sol) es 1,4 x 103 W m-2 Son realis-tas los nmeros obtenidos? Explicar.1.12 La energa de arranque fotoelc-trico del potasio es 2,0 eVo Suponiendo

que sobre l incide luz de 3,6 x 10-7 m carbono. Se observa la-radiacin dsper-de longitud de onda, hallar: (a) el po- sada en direccin perpendicular a la detencial que detiene a los fotoelectrones, incidencia. Hallar: (a) la longitud de(b) la energa cintica y la 'velocidad de onda de la radiacin dispers.ada, (b) lalos ms rpidos electrones liberados. energa cntca y la direccin del mov-

'/.. 1.13 Un haz luminoso monocromtico miento de los electrones de retroceso.uniforme de 4,0 x 10-7 m de longitud de 1.18 Con referencia al problema prece-onda incide sobre un material cuya ener- dente, si los electrones retroceden segnga de arranque es 2,0 eVoEl haz tiene un ngulo de 60 respecto a la radiacinuna intensidad de 3,0 x 10-9 W m-2 incidente, hallar (a) la longitud de ondaHallar: (a) el nmero de electrones em- Y la direccin de la radiacin dispersada,tidos por m" y por s, (b) la energa (b) la energa cntca del electrn.absorbida por m" y por s, (e) la ener- 1.19 Hallar la energa y la longitud dega cintica de los fotoelectrones. onda de un fotn que puede impartir un1.14 La energa de ligadura de un elec- mximo de energa de 60 keV a untrn interno del plomo es 9 x 10~ eVo electrn libre. '-1;.. ~Cuando se irradia plomo con una cierta )(1.20 Un haz monocromtico de rayos Xradiacin electromagntica y los foto- de una longitud de onda de 10-11 m in-electrones entran en un campo magn-, cide sobre una lmina delgada de metal.tico de 10-2 T, describen una circunfe- Se observa la radiacin dispersada arencia de 0,25 m de radio. Calcular: ngulos de (a) 90 y (b) 60. Qu dos(a) el momentum y la energa de los frecuencias predominantes se detectanelectrones, (b) la energa de los fotones en cada caso '1absorbidos.

X 1.15 Cuando se ilumina cierta super-ficie metlica con luz de diferentes lon-gitudes de onda, se miden los poten-ciales de detencin de los fotoelectronesque se muestran en la tabla.

donde IX = hvf1Tlec".1.22 Demostrar que en la dispersin deCompton la relacin entre los ngulosque definen las direcciones del fotn dis-persado y del retroceso es cotg 4>=(1+

que absorbe 103 eV de energa, (b) untomo que absorbe 1 eV, (c) una mo-lcula que absorbe 10-2 ev .1.26 Los tomos de sodio absorben oemiten radiacin electromagntica de5,9 x 10-7 m, correspondiente a la zonaamarilla del espectro visible. Determinarla energa de los fotones que se absorbeno emiten.1.27 (a) La longitud de onda ms largaque puede producir radiacin resonanteen el mercurio es 2,536 x 10-7 m. Cules la primera energa de excitacin delmercurio? (b) El espectro de emisin delmercurio presenta lneas intensas en laslongitudes de onda: 1850 , 2536 ,3132 , 5460 Y 5780 . Hay tambinlneas dbiles en 1402 Y 12 072 .Calcular la energa de estas transicionesy construir un grfico de niveles similaral de la fig. 1-15b, sabiendo que la I1neade 2536 est asociada con la excitacindesde el estado fundamental al primerestado excitado.

1.28 Las I1neas D del sodio (ver pro-blema 1.26) aparecen cuando se bom-bardea sodio con electrones aceleradosen una diferencia de potencial de2,11 volts. Calcular el valor de hje.

1.29 Para separar los tomos de car-bono y oxgeno que forman la molculade monxido de carbono, se necesita unaenerga mnima de 11 eVo Hallar la fre-cuencia mnima y la longitud de ondamxima de la radiacin electromagnticanecesaria para disociar la molcula.

1.30 Un tomo de hidrgeno en reposoabsorbe un fotn de 104 eV de energa.Como consecuencia, el electrn sale des-pedido en la misma direccin que laradiacin incidente. Despreciando laenerga necesaria para separar el elec-trn (13,6 eV), hallar el momentum yla energa del mismo y del protn.

1.~1 Cul es la longitud de onda mscorta del bremsstrahlung .que se observacuando un electrn acelerado en unadiferencia de potencial de 40 kV se de-tiene repentinamente en el antictodode un tubo de rayos X? Refirindose ala g, 1-13, determinar la regin delespectro electromagntico en que estesta longitud de onda.

Problemas 51

1.32 En la alta atmsfera, el oxgenomolecular est disociado en dos tomosde oxgeno por accin de los fotones pro-venientes del sol. La longitud de ondamxima de los fotones para originar esteproceso es 1,75 x 10-7 m. Cul es laenerga de ligadura del 02?1.33 Corregir las ecs. (1.40) y (1.41)para tener en cuenta el efecto de retro-ceso del ion. Empleando las ecuacionescorregidas, calcular la energa mnimaque debe tener un fotn para ionizarun tomo de hidrgeno.1.34 Demostrar que el proceso de re-combinacin A+ + e -+ A es imposiblesin violar la conservacin de la energao la del momentum, a no ser que hayauna tercera partcula.1.35 Probar que en la eco (1.42) la con-servacin del momentum y de la energasera imposible si no hubiera materiapresente (por lo menos un ncleo).1.36 Al atravesar plomo, un fotn de2,9 MeV crea un par electrn-positrn.Las partculas tienen la misma energacintica. Hallar: (a) el momentum, (b) laenerga y (e) la velocidad de cada una.Despreciar la energa de retroceso deltomo de plomo.1.37 Cul es el mayor nmero posiblede positrones que puede crear un fotnde 130 MeV al atravesar un material?1.38 Sobre un absorbente de plomo in-ciden rayos gamma con energas de 0,05,1,36 Y 1 MeV, pero de igual intensidad.Los coeficientes de absorcin lineal paraestas energas son 8 x 103 m-l, 5 X 102m-ly 78 m-l, respectivamente. (a) Calcularel espesor de plomo necesario para redu-cir la intensidad de cada haz a la dcimaparte de la intensidad original. (b) Cules el cociente entre la intensidad total(de las tres energas fotnicas) a unaprofundidad de 5 mm, y la intensidadtotal incidente?1.39 Se define el espesor hemirreduciorXl/2 como el espesor que debe tener unabsorbente para reducir la intensidad deun haz incidente de rayos X a la mitadde su intensidad original. Demostrarque Xl/2 = In 2j"i:,. Hallar los espesoreshemirreductores del plomo para rayos Xde 0,1, 0,5 Y 1 MeV. [Sugerencia, Usar

B LO

52 Fundamentos de la fsica cuntica

la fig. 1-19 para determinar los coefi-cientes de absorcin lineal.]1.40 Rayos X pasan a travs de ho-juelas de aluminio de 4 x 10-3 m deespesor. La rapidez de contaje de uncontador Geiger en funcin del nmerode lminas es 8 x 103, 4,7 X 103, 2,8 X 103,1,65 X 103, 9,7 X 102 cuentas/mn paraO, 1, 2, 3 Y 4 lminas respectivamente.Calcular el coeficiente de absorcin linealdel aluminio. Utilizando la fig. 1-19,estimar la energa de los rayos X.1.41 Cuntas capas de espesor hemi-rreductor de un material se necesitanpara reducir la intensidad de un haz derayos X a (a) 116'(b) ;0 y (c) 2~0 de suvalor incidente?1.42 Calcular la longitud de onda de deBroglie de un electrn cuando su energaes 1 eV, 100 eV, 1000 ev . Qu longitu-des de onda se dfractaran notablementeen un cristal de nquel, donde la separa-cin atmica es aproximadamente 2,15?Calcular la energa de los electrones queexperimentan difraccin de Bragg a unngulo de 30.1.43 Rayos X mono.cromticos (A=t )inciden sobre una muestra de KCl pul-verizado. Se coloca una placa fotogrficaplana perpendicularmente al haz inci-dente y a una distancia de 1,0 m delpolvo. Determinar los radios de Braggde primero y segundo orden si la sepa-racin de los planos de Bragg es 3,14 .1.44 Un haz estrecho de neutrones tr-micos producidos en un reactor nuclearincide sobre un cristal cuya red tiene unespaciamiento de 1,6 . Determinar elngulo de Bragg para el cual se difractanfuertemente neutrones de 2 eVo1.45 Demostrar que el cociente entrela longitud de onda de de Broglie yla de Compton para una misma par-tcula es igual a

V (C/V)2-1.1.46 Verificar que la velocidad de grupode un paquete de ondas es igual a lavelocidad de la partcula, an en condi-ciones relativistas. Demostrar tambinque la velocidad de fase de un campo demateria a velocidades relatvstas esigual a c2fv.

1.47 Suponiendo que un haz de elec-trones con longitud de onda de de Bro-glie igual a 10-5 m pasa a travs de unarendija de 10-4 de espesor, qu disper-sin angular se introduce a causa de ladifraccin en la rendija?1.48 Una sonda siempre debe ser menor(por lo menos en un factor 10) que elobjeto que se estudia: de lo contrariohabr una perturbacin notable de laposicin y de la velocidad del objeto.Calcular la energa mnima de las par-tculas si se usa (a) fotones, (b) electro-nes, (e) neutrones para sondear un n-cleo de 10-14m de dimetro.

1.49 Se mide la velocidad de un protnen la direccin X con una precisin de10-7 m S-l. Calcular el limite de precisincon que se puede localizar simultnea-mente el protn (a) segn el eje X,(b) segn el eje Y. Repetir para el casoen que la partcula es un electrn.1.50 Se determina la posicin de unelectrn con una indeterminacin de0,1 . Hallar la indeterminacin en sumomentum. Si la energa del electrn esdel orden de 1 keV, estimar la indeter-minacin en la energa. Repetir para unprotn confinado a un dimetro nuclear( ~ 10-14m) con una energa del ordende 2 MeV.1.51 Demostrar que la trayectoria defase del punto representativo de un osc-lador armnico de frecuencia angular coes una elipse de semiejes A y m(,)A,donde m es la masa del osclador y A laamplitud de su movimiento. Hallar elrea de la elipse y demostrar que es iguala 27tE/(,), donde E es la energa total deloscilador. Comparando este valor .conla eco (1.7), verificar que el rea de unaelipse permitida es nh y que, por lo tanto,las reas de dos elipses sucesivas difierenen la cantidad constante h. Relacionaresto con la explicacin asociada conla fig. 1-29.1.52 Hailar el ancho de lnea y la dis-persin de frecuencias para un pulso de1 nano segundo (10-9 s) proveniente deun lser de rub (?- = 6,3 x 10-7 m).1.53 Si una fuente se mueve con velo-cidad u respecto a un observador, la fre-cuencia de la radiacin que mide el

observador experimenta un corrimiento11'J = u]c, donde u es positiva (nega-tiva) cuando el movimiento es hacia(alejndose de) el observador y donde ves la frecuencia para cuando la fuentees esttica. Esto se denomina corrimientoDoppler electromagntico. Como las mo-lculas de un gas estn en movimientoal azar, el corrimiento Doppler es dife-rente para cada molcula. Esto introduceun ensanchamiento de linea dado pora = 2('Jjc) V 2kT In 2jm, donde m es lamasa de la molcula y T es la tempera-tura absoluta del gas. Calcular el ensan-chamiento Doppler a temperatura am-biente (300 K) para la transicin at-mica de 4,86 eV en el mercurio y parala transicin nuclear de 1,33 MeV en el6Ni. Discutir en cada caso el efectosobre la absorcin resonante.

Problemas 53

1.54 La linea gamma emitida por el191Irtiene una energa media de 129 keVy el ancho de la misma medido a la mitadde la intensidad mxima es 4,6 x 10-6 ev .Estimar (a) la vida promedio del estadoexcitado que emite esta lnea, (b) la ve-locidad relativa fuente-observador ne-cesaria para dar un corrimiento Dopplerde- primer orden igual al ancho de lineamedido.1.55 Demostrar que la variacin m-xima de energa cintica de una par-tcula de masa m y con energa cinticainicial El