TEORÍA Diseños 2^3

7/25/2019 TEORA Diseos 2^3

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Diseo y anlisis de

experimentos

Estadstica para la Calidad y

Productividad


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Experimentos diseados

Un experimento diseado es unaprueba o serie de pruebas en las

cuales se inducen cambiosdeliberados en algunas variables deentrada del sistema mientras otras

se mantienen fjas, de manera deidentifcar las uentes de los cambiosen las variables de salida.


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Definiciones bsicas

Unidad experimental es el sujeto uobjeto sobre el cual se toma unamedicin de la variable de respuesta.

Un punto del diseo es unacombinacin de valores de las variablesexplicativas para las cuales se toma una

medicin de la variable de respuesta.En otras palabras, estamos hablando deuna condicin experimental


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Definiciones bsicas (cont)

Ejemplo: "e est# interesado enestudiar la inuencia de la presin yla temperatura de moldeo de unnuevo tipo de pl#stico sobre sudure$a, para lo cual se decide tomarmuestras de % m% &cada una de las

cuales representa una unidadexperimental' producidas a %((,)(( y *(( psi de presin y %(( y )((

+ de temperatura.


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Definiciones bsicas (cont)

En este caso la temperatura y lapresin representan los tratamientosdel experimento y los mismos son

factores

El diseo comprende seis puntos-(200psi,200F), (300psi,200F), (400psi,200F),

(200psi,300F), (300psi,300F) y (400psi,300F). o hemos identifcado ninguna

variable de ruidopara este problema.


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Ventajas de los

experimentos diseados

Elegir los puntos del diseo tienem/ltiples ventajas- "e pueden controlar variables de ruido-

Las variables de ruido 0ue se conocen puedenincluirse en el estudio en orma de blo0ues ycovariables, o manteniendo su valor durante alo largo de las distintas corridas.

1ara reducir la inuencia de las variables deruido cuya presencia se desconoce, laasignacin de los tratamientos a las unidadesexperimentales se debe hacer en ormaaleatoria.


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200 220 240 260 280

300

350

400

450

500

550

Temperatura

Dens

idad

Ventajas de los


!on datos histricos el rango de lostratamientos puede ser muy reducido,con lo 0ue el ruido puede enmascarar

los cambios en la respuesta.


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Ventajas de los


"e puede reducir el tamao muestral,simplifcar el an#lisis y obtener mejorinormacin- "e puede lograr 0ue los estimadores del modelo

tengan propiedades atractivas &como por ejemplola ortogonalidad'. Esto hace 0ue se logrenestimaciones m#s efcientes con menos datos.

"e pueden elegir 0ue actores o interacciones hande despreciarse, en caso 0ue esto sea necesario.

En los datos histricos es posible 0ue el eecto dealgunas variables sea indistinguible &conusin deeectos'.


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Etapas de un experimento

El diseo del experimento est# inuenciadopor el modelo para anali$ar los datos.

2dentifcacin del problema3 4bjetivo &5iptesis61regunta'.3 Escoger variables de respuesta.

3 2dentifcar variables explicativas.3 78nculo entre 7E y 79 &modelo'

:iseo delexperimento

&;dnde medir


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odelaje de sistemas

En los cursos b#sicos de estad8stica seestudiaron los modelos lineales &loscuales incluyen a los modelos de

regresin y de an#lisis de varian$a comocasos particulares' y se disearonherramientas para estimarlos y probar

hiptesis sobre ellos. 7amos ahora autili$ar este mismo tipo de modelos paraanali$ar los datos provenientes deexperimentos diseados.


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odelos asociados

1or ser un conjunto de datos contratamientos categricos, el modelolgico a utili$ar es un modelo dean#lisis de varian$a con k vias 0ueincluya todas las interacciones entreactores.

>ambi?n puede utili$arse un modelode regresin lineal con variablescodifcadas, el cual resulta

e0uivalente al modelo =47=.


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Definici!n de efecto

En el #mbito de los diseos %@ sedenomina efectode una variable &o

de una interaccin' a la dierenciaentre la respuesta esperada 0ue seobtiene en el nivel alto de la variable

y la respuesta esperada 0ue seobtiene en el nivel bajo de la misma.


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Diseos ""

Llamaremos = y A a lasvariables explicativas,as8 como a sus eectos.

La interaccin entreambos actores y eleecto correspondientela denotaremos =A.

Las condicionesexperimentales puedenubicarse en un cuadro.

A

B

-1 1

-1

1

(1)

b ab

a


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#omenclatura de diseos ""

1ara denotar los puntosexperimentales se utili$a una

palabra compuesta por las letrasmin/sculas correspondientes a losactores 0ue deban colocarse a nivel

alto. El punto 0ue corresponde atodas las variables en nivel bajo sedenota &B'.


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#omenclatura de diseos ""

(cont)

=s8, los puntos en orden estndarson-

En algunos casos se usa la misma

nomenclatura para el valor de lavariable de respuesta obtenida en esepunto, pero esto puede inducir aerrores.

A B

&B' CB CB

a DB CB

b CB DB

ab DB DB


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Estimaci!n en diseos ""

La orma m#s sencilla de estimar loseectos en este diseo es usar un

modelo de regresin con laestructura-

donde

iiiiii xxxxy ++++= 2121 )(

+=

+=

altoensi1

bajoensi1

altoensi1

bajoensi121

B

Bx

A

Ax ii


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(cont)

=s8 se obtienen como estimadores

donde el punto indica la suma sobre todaslas r?plicas obtenidas en el mismo punto.

R

yyyy

R

yyyy

R

yyyy

baab

aabb

baba

2

...).1(

2

.).1(..

2

.).1(..

2

2

2

+=

+=

+=


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(cont)

Este modelo de regresin ese0uivalente a ajustar un modelo dean#lisis de varian$a de % v8as-

donde se utili$an las restricciones

cumpli?ndose as8 las relaciones

,Rkjiy ijkijjiijk 12,1,)(*** ==++++=

=== *11*

1

*

1

==== jij

iij

jj

ii 0000

****


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(cont)

9ecordemos 0ue en este modelo representa la media general detodas las observaciones y los dem#scoefcientes la dierencia respecto deesta media general 0ue se produceen la respuesta para cada nivel de la

variable correspondiente. =s8-

)(2)()()(

2)()()(

2)()()(

=+==+==+=

ABEfecto

BEfecto

AEfecto


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(cont)

El estimador del eecto de = 0ueobtuvimos anteriormente puedeescribirse

Es decir, el promedio de todas lasobservaciones a nivel alto de = menosel promedio de todas las observacionesa nivel bajo de =. Esto est# en l8nea con

nuestra defnicin de eecto.

+ += R

yyR

yyAEfecto baba22

)( .).1(..


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(cont)

El mismo eecto tambi?n puedeescribirse

El primer par?ntesis representa el cambio

de respuesta 0ue produce la variable =cuando A est# en nivel bajo y la segundael mismo cambio cuando A esta en alto.

2)(

..).1(.

+

= R

yy

R

yy

AEfecto

baba


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Diseos factoriales "$

El m#s importante de los casos especialesde los diseos actoriales es el 0ue tiene kactores cada uno a dos niveles. Estos

niveles pueden ser cuantitativos, valores detemperatura o presin, o pueden sercualitativos, tales como % m#0uinas o dosoperadores, o tal ve$ pueda ser la presencia

o ausencia de un actor. Una r?plica completa de tal diseo re0uiere

% % % F F F % G %k observaciones y seconoce como un diseo factorial 2k.


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Diseos "$

El espacio de condiciones experimentalespuede representarse mediante un cubo&para k= 3' o pares de cubos &para k> 3'.

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Dk= 3 k= 4


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#omenclatura de diseos "$

La orma de denotar los puntos es lamisma 0ue el diseo %%. En cuanto

al orden est#ndar de un diseo %@

,este puede hallarse duplicando elorden est#ndar de un %@CB, uno para

el nivel bajo de la nueva variableseguido del otro para el nivel alto dela nueva variable.


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#omenclatura de diseos "$

1or ejemplo, para k= 3y k= 4.A B C

&B' CB CB CB

a DB CB CB

b CB DB CBab DB DB CB

c CB CB DB

ac DB CB DB

bc CB DB DB

abc DB DB DB

A B C D

&B' CB CB CB CB

a DB CB CB CB

b CB DB CB CBab DB DB CB CB

c CB CB DB CB

ac DB CB DB CB

bc CB DB DB CB

abc DB DB DB CB

d CB CB CB DB

ad DB CB CB DB

bd CB DB CB DB

abd DB DB CB DB

cd CB CB DB DB

acd DB CB DB DB

bcd CB DB DB DB

abcd DB DB DB DB


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Estimaci!n en diseos "$

Un modelo de regresin con kvariables de la orma

puede utili$arse para estimacin eneste problema.

+

=altoenfactoresimosi1

bajoenfactoresimosi1

j

jxj


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%l&oritmo de los si&nos

1odemos usar la ortogonalidad deldiseo para simplifcar la rmula de

los estimadores m8nimo cuadr#ticos.:e hecho es #cil probar 0ue estosse pueden escribir como un m/ltiplo

del producto escalar de dos vectores-

12

=

k

nesobservaciodevectorfactordelcolumnaEfecto


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%l&oritmo de los si&nos

(cont)

1or ejemplo, en un diseo %), elestimador del eecto de la interaccin

=A! viene dado por-

La columna =A! se obtienemultiplicando las columnas de =, A y

!.

4

2

)()11111111()(

)1(

2

)1(

abcbcaccabba

abcbcaccabba

yyyyyyyy

,y,y,y,y,y,y,yy,,,,,,,ABCEfecto

++++=

++++=


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%nlisis de diseos "$(cont)


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[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1(1)

4

1(1)

41

(1)4

1(1)

4

A A

B B

C C

A y y

B y y

C y y

AB ab abc c b a bc acn

AC ac abc b a c ab bc

nBC bc abc a b c ab ac

n

ABC abc bc a c ab b a

n

+

+

+

=

=

=

= + + +

= + + +

= + + +

= + + +



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%nlisis de diseos "$

"i se toma m#s de una r?plicaentonces se utili$a una tabla de

an#lisis de varian$a de k v8as paradeterminar cuales eectos sonsignifcativos. La suma de cuadradosde cada variable tiene B grado de

libertad y puede obtenerse a partirdel eecto mediante la rmula-2( )

2KEfecto

SSn

=


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Ejemplo diseo factorial 23

Una empresa embotelladora de refrescos est

interesada en obtener alturas de llenado msuniformes en las botellas ue se fabrican ensu proceso de manufactura! "e#ricamente$ lamuina de llenado llena cada botella a la

altura objetivo correcta$ pero en la prctica$existe variaci#n en torno a este objetivo$ % ala embotelladora le &ustar'a entender mejorlas fuentes de variabilidad %$ en (ltimainstancia$ reducirla!


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El in&eniero del proceso puede controlar tresvariables durante el proceso de llenado: elporcentaje de carbonataci#n )A*$ la presi#n deoperaci#n en el llenador )B* % las botellasproducidas por minuto o rapide+ de l'nea )C*!,ara los -nes del experimento$ el in&enieropuede controlar la carbonataci#n en dosniveles: ./ %.2 por ciento! Eli&e dos niveles

para la presi#n )20 % 3/ psi* % dos niveles parala rapide+ de l'nea )2// % 20/ bpm*! Elin&eniero decide correr dos r1plicas de undiseo factorial con 23$ aciendo 2 corridas demanera aleatoria!


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4a variable de respuesta observada es la desviaci#npromedio de la altura del llenado objetivo ue seobserva en una corrida de producci#n de botellas concada conjunto de condiciones


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36

5actor B

20 psi )6* 3/ psi )7*

5actor A 5actor C 5actor C

%(( &C' %H( &D' %(( &C' %H( &D' yi..

B( &C' C)

CB C *

CB

( CB

CB

( CB

BB % C*

B% &D' (

B B

%

B )

%

) H

IH BB %(

Totales C) % * B)y.j.. CB BJ

yK C) D % D * D B) G BI



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El estimador y la suma decuadrados para cada eectopueden calcularse con elalgoritmo de signos.

El eecto de la interaccin noparece tener un impacto tangrande sobre la desviacin dela altura de llenado como loseectos principales.

Los eectos principalesdominan en realidad esteproceso explicando m#s delJM de la variabilidad total,mientras 0ue la interaccin =Aexplica menos de )M

5actor Efecto 88 9

= ) )I *I,BH

A %,%H %(,%H %H,NI

! B,JH B%,%H BH,J(

=A (,JH %,%H %,

=! (,%H (,%H (,)%

A! (,H( B B,%

=A! (,H( B B,%Error H I,*B

Total J


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!nal"sis of #ariance $able

%esponse& 'esiacion

f +m -ean F al+e r(>F)

! 1 3/.000 3/.000 ./ /.3/e0 ***

1 20.20 20.20 32.4 0.0004 ***

1 12.20 12.20 15./ 0.002203 **

!& 1 2.20 2.20 3./ 0.054345 .

!& 1 0.20 0.20 0.4 0.4433

& 1 1.000 1.000 1./ 0.241040

!&& 1 1.000 1.000 1./ 0.241040

%esi'+als .000 0./2

i6nif. co'es& 0 7***7 0.001 7**7 0.01 7*7 0.0 7.7 0.1 7 7 1

e p+e'e confirmar la

ma6nit+' 'e los

efectos principales,

son altamente

si6nificatios (to'oscon alores p m+"

pe+e8os).

9a interacci:n ! es

si6nificatia con +n

niel 'el 10;, e


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Los responsables del procesodecidieron correrlo con presin baja

y velocidad de l8nea alta, y reducir lavariabilidad de la carbonatacincontrolando con mayor precisin latemperatura. "e consigui as8 una

reduccin sustancial en la desviacinde la altura de llenado del valorobjetivo.


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"i se dispone de solo una r?plica delexperimento entonces la suma de

cuadrados del error es nula y no esposible utili$ar una tabla de an#lisisde varian$a para determinar cualeseectos son signifcativos.


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"i se supone 0ue no hay nin&(neecto signifcativo y 0ue los errores

cometidos en cada medicin siguenuna distribucin normal con media (y varian$a %, entonces para todoslos eectos-

2

2

2,0=

kNEfecto


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Esto sugiere dos posibilidades parareali$ar el an#lisis- Utili$ar un gr#fco cuantil O cuantil de eectos

contra la districin normal y considerarsignifcativos los 0ue no esten sobre la l8nea.

Utili$ar un estimador de %&o bien externo, obien obtenido a partir de los datos en orma

robusta' para calcular intervalos deconfan$a.

=mbas t?cnicas suponen pocos eectossignifcativos.


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odelo de re&resi!n


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odelo de re&resi!n

P Q Q Q Q Q0 1 2 3 41 2 3 1 2

1 2 3 1 2

3 2.2 1. 0.1.0

2 2 2 2

y x x x x x

x x x x x

= + + + +

= + + + +

:onde las variables codifcadas xB, x% y x)representan a =, A y !, respectivamente. Elt?rmino x

Bx

%es la interaccin =A.

Los residuos pueden obtenerse como ladierencia entre las desviaciones de la alturade llenado observada y predicha.

'ntroducci!n a la metodolo&a


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'ntroducci!n a la metodolo&a

de superficie de respuesta

!ada contorno corresponde a unaaltura particular de la superfcie derespuesta. Es /til para estudiar los

niveles xB, x% 0ue producen cambiosen la orma de la altura de lasuperfcie de respuesta. El objetivo en

este caso es llevar al experimentadorde manera r#pida y efciente a lavecindad general del ptimo.


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uperficie de respuesta y

rfica de contorno

Superficie de respuesta

Carbonataion

!resi"n

-1#0 -0#5 0#0 0#5 1#0

-1#0

-0#5

0#0

0

#5

1#0

Grfica de contorno


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"e muestran la superfcie derespuesta y la gr#fca de contornopara la desviacin de la altura de

llenado obtenida en el modelo deregresin, suponiendo 0ue lavelocidad de l8nea est# en el nivel alto

&x)G B'. 4bserve 0ue como el modelocontiene la interaccin, las l8neas decontorno de la desviacin de las

alturas constantes son curvas &o laR S


rfica de contorno


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rfica de contorno

En la superfcie de respuesta segrafca el valor predicho de ladesviacin del llenado en t?rminos de

las dos variables del proceso &


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La gr#fca de contorno indica 0ue si lavelocidad de l8nea est# en el nivel alto,entonces hay varias combinaciones de

los niveles de carbonatacin y la presin0ue satisar#n 0ue la desviacin delllenado est? tan cerca de cero como sea

posible. 1or ejemplo si se 0uiere minimi$ar la

desviacin del llenado, se necesita correrxB y x% en sus niveles bajos &o cerca de

ellos


rfica de contorno

f "


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'ntervalos de confian*a y +"


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Proyecci!n de diseos "$

Tracias a su ortogonalidad, undiseo %@en el cu#l nactores &n k'

son no signifcativos corresponde a 2nr?plicas de un diseo en el cu#l

participan solo k nactores.

=A

!

=A

! no signifcativo

a

b

&B'

ab

abc

acc

bc

&B'c

aac

ababc

bbc

P i! d di "$


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(cont)

Ejemplo 3 )continuaci#n *- usandoel gr#fco cuantil O cuantil vimos 0uela concentracin &A' parece no tener

eecto sobre el rendimiento.1odr8amos pensar entonces 0uenuestros resultados provienen de un

diseo %)con dos r?plicas en losactores =, ! y :, tal y como semuestra en la siguiente tabla.

P i! d di "$


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(cont)

,unto rden

;eal

;endimient

o

&B' H B%

a N B

b B)

ab B% BI

c ) BJ

ac J BH

bc B* %(

abc B BH

d I B(

ad BB %Hbd % B)

abd BH %*

cd * BN

acd BI %B

bcd B( BJ

abcd B% %)

;endimiento

,unto ;eplica

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