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RESISTENCIA DE MATERIALESMATERIALES
CLASES TEÓRICAS
INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
• ESTADOS DE TENSION
1.1 CONCEPTOS GENERALESNo existe el sólido indeformable, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor medida bajo el efecto de las cargas exteriores o interiores.
Si los cuerpos fueran indeformables, las ecuaciones de la estática no alcanzarían par resolver, por ejemplo aquellos problemas que fueran hiperestáticos
1.2 DEFINICION DE CUERPOS DEFORMABLES• Definimos al cuerpo deformable, como aquel cuerpo que posee ciertas propiedades y
cumple con una serie de hipótesis respecto de dichas propiedades, todas ellas verificadas experimentalmente.experimentalmente.
• 1.2.1 CONTINUIDAD: La masa del sólido es continua, quiere decir que analizamos un cuerpo en un entorno donde la masa es la misma
• 1.2.2. HOMOGENEIDAD: Las propiedades de un elemento infinitesimal dV son las mismas en todo el sólido.
• 1.2.3. ISOTROPÍA: El sólido presenta las mismas propiedades en todas las direcciones• 1.2.4. ELASTICIDAD: Para ciertos materiales, si las fuerzas que lo deforman no exceden ciertos
limites, la deformación desaparece cuando se suprimen las fuerzas que actúan.
1.3 FUERZAS1.3.1 Fuerzas de Masa: Son aquellas que se encuentran distribuidas a lo largo de todo el volumen del sólido ( por ejemplo: inerciales, gravitatorias, térmicas, magnéticas, etc.)1.3.2. Fuerzas de Superficie: Provienen de interacciones entre sistemas o de acciones exteriores, pueden ser:1.3.2.1 Concentradas: son las fuerzas que actúan en un punto1.3.2.2 Distribuidas: son las fuerzas que actúan a lo largo de una superficie ( por ejemplo: pesos, presiones hidrostáticas, viento, encamisados, etc.)
1.4 ESTUDIO DE TENSIONES EN UNSÓLIDO DEFORMABLE1.4.1 Concepto de tensión en un punto: Se considera un sólido en equilibrio bajo la acción de las fuerzas pi
πp
piπpi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
Ri
Rd
A
S
El sólido, obviamente, es continuo, homogéneo e isótropo.Se corta el sólido con un plano π y nos determina una sección “s” dentro de la cual se encuentra un
punto A.Luego separamos la parte derecha delimitada por el plano π, con lo cual se rompe el equilibrio al cual
estaba sometido el sólido.Para restituir el equilibrio, debemos colocar en el baricentro de la sección del lado izquierdo, una
resultante Rd y un par Md, que reemplacen las acciones ejercidas por las Pi del lado derecho suprimidas.
G
Md Rd
A
pi
pi
pi
Tengamos en cuenta que las acciones no se ejercen de un aparte del sólido a la otra como acciones concentradas, sino que los son punto a punto de la parte derecha hacia la parte izquierda.
Considerando ahora el punto “A”, y un en el, un entorno de superficie ∆F, sobre dicho elemento se transmite de un lado al otro, una fuerza ∆P. Si para el cociente ∆P/ ∆F hacemos tender ∆F→ 0, al
límite de dicho cociente, cuando ∆F→ 0, lo denominaremos TENSION EN EL PUNTO A.
lim (∆P/ ∆F) = dP / dF = ρ
∆F→ 0
y se miden en unidades de fuerza por unidades de longitud kg/cm2, N/m2, MPa, etc.(1 Pa pascal = 1 N/m2).La tensión ρ es una magnitud vectorial, pues tiene dirección, sentido e intensidad, por lo que se la
representa por medio de vectores.1.4.2 Régimen de tensiones en un punto: Si por el punto A pasamos otros planos distintos del π,o sea
con distintas orientaciones, el valor de ρ cambiará, ya sea en intensidad, dirección o sentido.Por lo tanto por un punto interior de un sólido como pasan infinitos planos, y por lo tanto a dicho
punto A, corresponderán infinitas tensiones ρ, según el plano que se considere.A esto se lo conoce como “ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO” o “ REGIMEN DE TENSIONES”
ρ’
ρ’’
A
Existen al menos 3 estados posibles de tensión
1.4.2.1 Estado Espacial o Triple de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad., teniendo el vector tension cualquier orientación en el espacio.
ρ
1.4.2.2 Estado Plano o Doble de Tensiones: Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ, varía en dirección sentido e intensidad, pero el vector tensión se mantiene paralelo a un plano determinado
1.4.2.3 Estado Simple o Uniaxial: Si al considerar los infinitos planos que pasan por un punto, las correspondientes tensiones se mantienen todas paralelas a una dirección.
1.4.3. Tensiones Normales y Tangenciales: Surgen de las descomposición del vector ρ en dos componentes ortogonales, una perpendicular al plano, denominada Tensión Normal σ, y otra contenida en el plano de la sección denominada Tensión Tangencial ζ.
Por lo tanto dichas componentes tendrán como valores analíticos las siguientes expresiones algebraicas:
σ = ρ cos φ ; ζ = ρ sen φ ; ρ = (σ2 + ζ 2 )1/2A
σ
1.4.4. Convención de Signos:
A Ξ 0
z
x
y
e Ξ ρ
γ
α
β
σ
ρ
• Hacemos coincidir una terna de ejes coordenados por el punto A, y consideramos un plano π que pase por dicho punto. A los efectos de facilitar la interpretación del gráfico, el plano se dibuja desplazado. La dirección del plano π, queda definida en el espacio por la ubicación de su normal exterior “e” , que forma con los ejes coordenados los ángulos α β y γ , siendo sus cosenos directores
• l = cos α ; m = cos β y n = cos γ• que por cuestiones de trigonometría cumplen con la relación l 2 + m 2 + n 2 = 1• Consideramos ahora un cubo elemental de aristas unitarias, cuyas caras coinciden con los 3
planos coordenados, y definimos• a) Una cara es positiva cuando lo es su normal exterior. La normal exterior es positiva cuando lo
es su proyección sobre el eje al que le es paralelo.• Las tensiones normales σ se sub. indican con el eje respecto al cual son paralelos.• Las tensiones tangenciales en cambio, se sub. indican con 2 índices, el primero referido al eje
normal a la cara donde actúa la tensión, y el otro referido al eje al cual es paralelo la tensión.normal a la cara donde actúa la tensión, y el otro referido al eje al cual es paralelo la tensión.
• Signo de las tensiones: • las tensiones normales σ son positivas cuando son de tracción, y negativas cuando son de
compresión.• Las tensiones tangenciales ζ en cambio son mas , menos, como se verá más adelante.
• La cara EFGH es positiva por serlo su normal exterior en la dirección x, y las tensiones son positivas por serlo sus proyecciones sobre los ejes a los cuales son paralelos. Para caras negativas ABCD, las tensiones son positivas en este caso por ser negativas sus proyecciones a los ejes a los cuales son paralelos.
z
ζxz
σx
ζ
ζxz
σx
E
F
A
B
x
y
ζxy
ζxy
G
H
C
D
• 1.4.5. REPRESENTACION CARTESIANA DEL ESTADO DE TENSION• Si tenemos un sistema de ejes cartesianos ortogonales y tres tensiones ti , asociadas, actuando
en los planos cartesianos octogonales, cada tensión ti se puede descomponer en una tensión normal σ y dos tensiones tangenciales ζ según la dirección de los ejes.
• ť 1 = σx i + ζ xy j + ζxz k• ť 2 = ζ xy i + σy j + ζyz k• ť 3 = ζ zx i + ζ zy j + σz k• donde i, j y k son versores.• También podemos expresar las ecuaciones anteriores en forma tensorial• ť 1 = t11 i + t 12 j + t13 k• ť 2 = t21 i + t 22 j + t23 k• ť 3 = t31 i + t 32 j + t33 k
z
t1
z
x
y
ζxz
σx
ζxz
t3
ζzxσx
ζxz
t2
σy
ζxy
ζyz
• 1.4.6. EQUILIBRIO DEL CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES• Para analizar el equilibrio del cubo elemental, sujeto a tensiones, hacemos coincidir en el punto A
una terna de ejes coordenados ortogonales y pasamos tres planos ortogonales por dicho punto. Luego a una distancia dx, dy, y dz, colocamos un punto B. Debemos hacer la salvedad que suponemos que las funciones que definen las variaciones de tensiones σ y ζ , son continuas y derivables para poder obtener una solución matemática
• En la cara dy; dz que pasa por A, actúa σx , ζ xy ; ζ xz .• En la cara paralela que pasa por B actuarán • σx + ( ∂σx / ∂ x ) dx ; ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ; ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ; o sea la función incrementada
• Idéntico razonamiento aplicamos en las otras dos caras.
• Pero además supondremos que el cubo elemental se encuentra sometido a Fuerzas de Masa, que se suponen aplicadas en el baricentro. Llamamos X, Y y Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen aplicadas en la dirección de los ejes.
• Para lograr el equilibrio del cubo elemental, plantearemos 3 ecuaciones de proyección sobre los 3 ejes coordenados y 3 ecuaciones de nulidad de momento respecto de dichos ejes.
• CONCEPTO A RECORDAR: TENSION X AREA = FUERZA• Ecuaciones ded proyección sobre los efes coordenados• Sobre el eje “x”• [ σx + ( ∂σx / ∂ x ) ] dy dz - σx dy dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂y ) dy ] dz dx] - ζ xy dz dx +[ ζ xz + • +( ∂ ζ xz /∂z ) dz] dx dy - ζ xz dx dy + X dx dy dz = 0
• Sobre el eje “y”• [ σ + ( ∂σ / ∂ y ) ] dx dz - σ dx dz + [ ζ + ( ∂ ζ /∂x ) dx ] dz dy] - ζ dy dz +[ ζ + • [ σy + ( ∂σy / ∂ y ) ] dx dz - σy dx dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ] dz dy] - ζ xy dy dz +[ ζ zy + • +( ∂ ζ zy /∂z ) dz] dx dy - ζ zy dx dy + Y dx dy dz = 0
• Sobre el eje “z”• [ σz + ( ∂σz / ∂ z ) ] dy dx - σz dy dx + [ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ] dz dy] - ζ xz dz dy +[ ζ xz + • +( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx dz - ζ yz dx dz + Z dx dy dz = 0
• Si simplificamos los términos iguales en cada una de las tres ecuaciones, y dividimos por dx, dy y dz llegamos a las Ecuaciones de Equilibrio, quedándonos un sistema de tres ecuaciones con nueve incógnitas, que en realidad se demuestran que son seis.
• ∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0• ( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) +( ∂ ζ zy /∂z ) + Y = 0• ( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0• Para resolver dichas seis incógnitas, planteamos 3 ecuaciones de momento respecto de tres ejes
ortogonales, paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental.• Por lo tanto de todos los momentos posibles, serán nulos los momentos correspondientes a
aquellas fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado quedándonos por lo tanto para el eje X:
• ζ yz (dy/2) dz dx + [ ζ yz +( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx (dy/2) dz - ζ yz dx (dz/2) dy - [ ζ zy +( ∂ ζ yz /∂z )dz] dx dy (dz/2) = 0
x
• Aplicando desarrollo y sumas llegamos a :• ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ yz /∂y ) dx (dy2/2) dz - ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ zy /∂z ) dx (dz2/2) dy = 0• Despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda • ζ yz dz dy dx - ζ yz dz dy dx = 0• Haciendo las mismas ecuaciones para los otros dos pares de ejes llegamos a:
• ζ yz = ζ zy
• ζ xz = ζ zx
• ζ xy = ζ yx
• Que constituye la expresión matemática del Teorema de Cauchy, que se enuncia de la siguiente manera:Dados dos planos, que definen una arista en su intersección, las componentes normales a dicha arista, de las tensiones tangenciales ζ que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista.concurren o se alejan de la arista.
• El hecho de tener signos contrarios, aparte de una consideración matemática, se da en el hecho de que los momentos respecto de un mismo eje de las tensiones tangenciales de sub índices cambiados deben ser de sentido contrario, a los efectos de mantener el equilibrio del cubo elemental.
• Luego, para conocer el estado tensional de un punto de un sólido sometido a cualquier estado de cargas, debemos conocer el Tensor de Tensiones a partir de sus seis componentes.
• ∂σx / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0• ( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂σy / ∂ y ) +( ∂ ζ yz /∂z ) + Y = 0• ( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂σz / ∂ z ) + Z = 0
• 1.5. ESTADO TRIPLE O ESPACIAL• 1.5.1.Se parte de analizar el equilibrio de tensiones en un punto material A, por el cual se hace
coincidir una terna de ejes coordenados, que delimitan 3 planos ortogonales, más un cuarto plano oblicuo que pasa por A y que en el gráfico se lo dibuja desplazado a los efectos de una mejor interpretación
• Supondremos conocida la dirección del plano inclinado, a partir de conocer la ubicación en el espacio de su normal exterior. Esto es, que el plano queda definido por el conocimiento de los cosenos directores, l , m y n que la normal exterior al plano, forma con cada uno de los ejes coordenados ortogonales.
• Nos queda entonces un tetraedro elemental, cuyo equilibrio es el objeto de nuestro análisis.• Admitiremos que el área inclinada, tiene una superficie unitaria. Área BCD = 1• Por lo tanto, las caras ortogonales ACD, ABD Y ABC, tendrán como áreas, el valor de los
cosenos directores l , m y n .• Nuestro estudio se basa en que conociendo las tensiones normales σx , σy , σz y tangenciales
ζxy , ζxz , ζyz , en cada una de las caras elementales, hallemos el valor de la tensión resultante ρ y sus componentes σ y ζ en la cara inclinada.
• Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas• ρx . 1 = σx l + ζxy m + ζxz n• ρx . 1 = σx l + ζxy m + ζxz n• ρy . 1 = ζxy l + σy m + ζyz n• ρz . 1 = ζxz l + ζyz m + σz n • y teniendo en cuenta que ρ = ( ρx
2 + ρy2 +ρz
2 )½
• Elevamos las ecuaciones A al cuadrado y reemplazamos en B y teniendo en cuenta que φ es el ángulo entre σ y ρ nos queda
• σ = ρ cos φ ; ζ = ρ sen φ donde el valor de ρ ya lo obtuvimos en B.
• Luego al ángulo ente ρ y los eje coordenados, los llamamos αρ , βρ y γρ
• Podemos entonces plantear :• cos αρ = ρx / ρ• cos βρ = ρy / ρ• cos γρ = ρz / ρ
A
B
como sabemos además que è Ξ σ forma con los ejes coordenados los cosenos directores l, m y n, y que por trigonometría se definecos φ = l cos αρ + m cos βρ + n cos βρ = cos φ = l (ρx / ρ) + m (ρy / ρ) + n (ρz / ρ)O sea que hallamos el cos φ y con el, los valores de σ y ζ que era el motivo de nuestro estudio.Supongamos ahora que deseamos expresar σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales. Para ello debemos recordar de Estática, el Teorema de Varignon, que nos decía que la sumatoria de los momentos de las componentes de un sistema, eran equivalentes al momento de la resultante.Entoncesσ = ρ cos φ = l ρx + m ρy + n ρz
Que reemplazando con los valores de la ecuación A nos queda
σ = σx l2 + σx m2 + σx n2 + 2 ( ζxy l m + ζxz l n + ζyz m n )σ = σx l2 + σx m2 + σx n2 + 2 ( ζxy l m + ζxz l n + ζyz m n )ζ = (ρ2 - σ2 )½.
De esta manera, hemos hallado σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales.1.5.2 TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALESAl cambiar la orientación de un plano, varían las tensiones aplicadas al mismo. La tensión σ máxima se alcanzará cuando ρ coincida con σ (y con è), siendo nulas en ese caso, las tensiones tangenciales ζ. El plano que contenga a ese valor de ρ se llama PLANO PRINCIPAL, y por el teorema de Cauchy, no es un solo plano, sino 2, ortogonales entre si, en los cuales las tensiones normales σ adquieren su valor máximo y mínimo respectivamente. Estos valores son importantes porque al ser los máximos, serán los valores que utilizaremos en los cálculos de dimensionamiento y/o verificación.Por lo tanto, en los planos principales, actuarán las tensiones principales, en las direcciones principales
Para el caso de las tensiones principales, las expresiones A, se convierten entonces en: ρx . 1 = σi lρy . 1 = σi m ρz . 1 = σi n Por ser nulas las tensiones tangenciales.Si igualamos este sistema de ecuaciones, con la parte derecha de las ecuaciones A, que eran los datos del problema y que representaban las tensiones en las caras ortogonales, nos quedará:σi l = σx l + ζxy m + ζxz nσi m = ζxy l + σy m + ζyz nσi n = ζxz l + ζyz m + σz n Operando matemáticamente obtendremos (ecuaciones 1)(σx - σi ) l + ζxy m + ζxz n = 0ζ l + (σ -σ ) m + ζ n = 0ζxy l + (σy -σi ) m + ζyz n = 0ζxz l + ζyz m + (σz - σi ) n = 0Un sistema de 3 ecuaciones homogéneas entre las incógnitas l , m y n que definen la dirección del plano principal que corresponde a σi en función de las tensiones normales y tangenciales que ocurren en las tres cara ortogonales.Una solución, es la trivial, o sea l = m = n = 0.Para que ello no ocurra, es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo(σi - σx ) ζxy ζxz
ζxy (σy -σi ) ζyz = 0ζxz ζyz (σz - σi )
Desarrollando el determinante, llegamos a una ecuación cúbica, llamada ECUACIÓN CARACTERISTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES.
σi 3 - σI
2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz
2 - ζyz2 ) - (σX. σy . σz+ 2 ζxy .
ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - - ζxz
2 . σy - ζzy2 . σx ) = 0
Esta ecuación posee 3 raíces que son σ1; σ2; σ3 , que son las tres tensiones principales que actúan en los tres planos principales y que existen si y solo si las 3 σi son reales. Siempre supondremos σ1> σ2 >σ3 ,Que una raíz es siempre real, es obvio por predominar el término cúbico sobre el resto de la ecuación. A ese valor lo llamaremos σ3
Para ver si σ1 y σ2 son reales, tomamos una terna de ejes x’, y’ y z’ , y hacemos coincidir el eje z’ con la Para ver si σ1 y σ2 son reales, tomamos una terna de ejes x’, y’ y z’ , y hacemos coincidir el eje z’ con la dirección de σ3 . O sea que σ3 = σz’ de lo que resulta que ζz’y’ = ζz’x’ = 0Entonces las ecuaciones 1, se transforman en (σx’ - σi ) l + ζy’x’ m = 0Ζx’y’ l + (σy’ -σi ) m = 0(σz’ - σi ) n = 0Para que la solución sea no nula, bastará que el determinante de los coeficientes sea nulo(σx’ - σi ) ζy’x’ 0 ζ x’y’ (σy’ -σi ) 0 = 00 0 (σz’ - σi ) Desarrollando el determinante, llegamos a
σi2 - σi (σx’ +σy’ )+ (σx’ .σy’ - ζy’x’
2) = 0 σ 1;2 = (σx + σy)/2 ±{ [(σx + σy)/2 ]2 + ζxy
2}½
CASOS POSIBLES DE LAS RAICESa) Las tres raíces son diferentes σ1 ≠ σ2 ≠ σ3
Existen 3 raíces principales, ortogonales entre si, existiendo Tensiones tangenciales en los demás planos
b) Hay dos raíces iguales y una es diferente σ1 = σ2 ≠ σ3
Las tensiones correspondientes a planos normales al planodonde actúa σ3 , resultan iguales entre si e igualesa σ1 = σ2 siendo entonces la dirección de σ3
y σ2
σ1
x
σ3
z
Eje del haz de planosz
σ2
y
σ 3
a σ1 = σ2 siendo entonces la dirección de σ3
la dirección del haz de planos
c) Las tres raíces son iguales σ1 = σ2 = σ3
Las tensiones en los infinitos planos que pasan por el punto, son iguales entre si, no existiendo tensiones tangenciales en ningún plano. Se denomina estado hidrostático
1.5.3. DETERMMINACION DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALESDe la ecuación característica, obtuvimos σ1 ; σ2 ; σ3 . Ahora hallaremos las direcciones en las que actúan dichas tensiones principales, o sea, las normales exteriores a los planos principales.Para ello necesitaremos conocer los valores de l, m y n para cada una de las 3 direcciones principales
σ1 x
Partimos de la dirección principal 1, planteando el sistema de ecuaciones(σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0
ζxy l1 + (σy – σ1 )m1 + ζyz n1 = 0ζxz l1 + ζyz m1 +(σz – σ1 ) n1 = 0
El determinante de este sistema de ecuaciones, esta dado por:(σx – σ1 ) ζxy ζxz
ζ xy (σy – σ1 ) ζyz = 0ζ xz ζyz (σz – σ1 )
Si ahora llamamos ∆1 ; ∆ 2 ∆ 3 , a los 3 menores complementarios de la primera fila, tendremosσy – σ1 ζyz
∆1∆1
ζyz σz – σ1
ζyx ζyz
∆2
ζxz σz – σ1
ζxy σy – σ1
∆3
ζxz ζyz
Luego, desarrollamos el determinante por la primera fila
(σx – σ1) ∆ 1 + ζ xy ∆ 2 + + ζ xz ∆ 3 = 0 dividiendo miembro a miembro, y comparando con
(σx – σ1 ) l1 + ζxy m1 + ζxz n1 = 0 que era la primera de las ecuaciones, llegamos a determinar K, una constante no nula cuyo valor vendrá determinado por
l 1 m 1 n1
K = = =∆ 1 ∆ 2 ∆ 3
Entonces l 1= K ∆ 1 ; m 1 = K ∆ 2 ; n1 = K ∆ 31 1 1 2 1 3
y como sabemos que l 1 2 + m 1 2 + n1 2 = 1
Nos quedará entonces(K ∆ 1 ) 2 + (K ∆ 2 ) 2 + ( K ∆ 3 ) 2 = 1Finalmente podremos escribir que
1K =
± [ (∆ 1 ) 2 + ( ∆ 2 ) 2 + ( ∆ 3 ) 2 ]½A partir de ahora, estamos en condiciones de hallar los cosenos directores para la dirección principal 1
∆1
l1 = ± [ (∆ 1 ) 2 + ( ∆ 2 ) 2 + ( ∆ 3 ) 2 ]½
∆2
m1 =± [ (∆ 1 ) 2 + ( ∆ 2 ) 2 + ( ∆ 3 ) 2 ]½1 2 3
∆3
n1 =± [ (∆ 1 ) 2 + ( ∆ 2 ) 2 + ( ∆ 3 ) 2 ]½
Ahora repetimos todo el proceso matemático reemplazando alternativamente σ1 por σ2 y luego por σ3para hallar los cosenos directores de las direcciones principales 2 y 3.1.5.4. DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALESSi los ejes ortogonales coinciden con las tres direcciones principales, tendremos que:
σx = σ1
σy = σ2 ζ xy = ζ xz = ζ zy = 0σz = σ3
La ecuación A, se convierte entonces enρx = σ1 l ρy = σ2 m ρz = σ3 n por lo tanto: ρ = ±(σ1
2 l2 + σ22 m2 + σ3
2 n2 )½
y σ = ρ cos φ = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2 Ecuación de σζ = (ρ2 - σ2 )½. Esta expresión, reemplazando por los valores de σ y ρ hallados anteriormente, y
teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos es igual a la unidad, de puede escribir de la siguiente manera, expresando n en función de l y de m
ζ = (σ12– σ3
2 )l2 + (σ22– σ3
2 )m2 + σ32 - [(σ1– σ3 )l2 + (σ2– σ3 )m2 + σ3 ]½ Ecuación de ζζ = (σ1
2– σ32 )l2 + (σ2
2– σ32 )m2 + σ3
2 - [(σ1– σ3 )l2 + (σ2– σ3 )m2 + σ3 ]½ Ecuación de ζ1.5.5 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMASDerivando la expresión anterior de ζ en función de las variables independientes l y m, obtenemos los
valores máximos y mínimos de ζSe obtiene un sistema de ecuaciones, con tres soluciones posibles
a) Para el caso en que las tres tensiones principales son distintas, σ1 ≠ σ2 ≠ σ3 las soluciones
posibles son l = m = 0 ; n = ± 1Reemplazando estos valores en las ecuaciones de σ y ζ obtenemos que σ = σ3 y ζ = 0
Es decir una cara principal. Si en vez de poner n en función de l y m hubiéramos hecho cualquiera de las otras 2 combinaciones posibles, llegaríamos a idénticos resultados. Finalmente, cuando las tres tensiones principales son diferentes, las tensiones tangenciales máximas actúan en planos a 45º de los planos que contienen las tensiones normales máximas y su valor está dado por ζ1 = ± ((σ2– σ3 )/2)½ ; ζ2 = ± ((σ3– σ1 )/2)½ ζ3 = ± ((σ1– σ2 )/2)½
Ahora bien, en los planos de tensiones normales máximas, no existían tensiones tangenciales. No ocurre lo mismo en los planos donde las tensiones tangenciales son máximas.Para esos planos existe un valor de tensión normal asociada, llamada comúnmente σmy cuyo valor es:Para el plano donde actúa ζ1 ; σm = (σ2+ σ3 )/2; Para el plano donde actúa ζ2 ; σm = (σ1+ σ3 )/2; Para el plano donde actúa ζ3 ; σm = (σ2+ σ1 )/2; b) Para el caso que dos tensiones principales sean iguales y una diferente σ3 = σ2 ≠ σ1
La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones principales y su valor viene dado porζmáx = ± (σ1– σ3 )/2 = (σ1– σ2 )/2c) Para el caso de tres tensiones principales iguales σ3 = σ2 = σ1 ya habíamos dicho que las tensiones tangenciales son nulas1.5.6. INVARIANTES DE TENSIONPartimos de la ecuación característica de tensiones
σi 3 - σI
2 (σX+ σy + σz ) + σi (σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz
2 - ζyz2 ) - (σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz .
ζyz - ζxy2 . σz - ζxz
2 . σy - ζzy2 . σx ) = 0
• El concepto es que no importa la terna de ejes coordenados que se adopte, las tensiones principales deben ser siempre las mismas. Lo que es lo mismo que decir que los coeficientes de la ecuación característica deben ser constantes de allí que
• J1 = σX+ σy + σz
• J2 = σX. σy + σz σX+ σy σz – ζxy2 - ζxz
2 - ζyz2
• J3 = σX. σy . σz+ 2 ζxy . ζxz . ζyz - ζxy2 . σz - ζxz
2 . σy - ζzy2 . σx
• Que son los llamados Invariantes de Tensión.• Si entre todas las posibles ternas de ejes existentes , adoptamos la que corresponde a las
direcciones principales, los invariantes de tensión quedan de la siguiente manera:
• J1 = σ1+ σ2 + σ3
• J2 = σ1. σ2 + σ3 σ1+ σ3 σ2
• J3 = σ1. σ2 . σ3• De ambas ecuaciones llegamos a la importante conclusión siguiente:• De ambas ecuaciones llegamos a la importante conclusión siguiente:• La suma de las tensiones principales es igual a la suma de las tensiones normales
correspondientes a tres caras
• J1 = σX+ σy + σz = σ1+ σ2 + σ3
• 1.6 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO TRIPLE O ESPACIAL• Es una representación gráfica del estado espacial de tensiones. Dicho de otro modo,
representamos un estado espacial en un estado plano en el papel. Para su análisis partiremos de las expresiones obtenidas al inicio del estado triple de tensionesρ2 = σ1
2 l2 + σ22 m2 + σ3
2 n2
• σ = σ1 l2 + σ2 m2 + σ3 n2
• 1 = l2 + m2 + n2
Nuestro objetivo es resolver la orientación del plano que contiene a σ y ζ, partiendo del conocimiento de las tensiones principales. O sea que las incógnitas serán l2 , m2 y n2 .
Si llamamos ∆ al discriminante del sistema anterior tenemosσ1
2 σ22 σ3
2
σ1 σ2 σ3 = σ12 ( σ2 - σ3) – σ2
2 ( σ1 - σ3) – σ32 ( σ1 – σ2)
1 1 1
Resolviendo los determinantes de las direcciones llegamos a obtener una familia de circunferencias en el plano σ ; ζ , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia igual a ½ (σ2 + σ3) y donde l es un parámetro que varia entre los extremos que puede tomar la función coseno, es decir 0 o 1Idéntica situación se produce para los cosenos directores m y n obteniendo en total 6 circunferencias .circunferencias .
CIRCUNFERENCIA CORRESPONDIENTE AL PARAMETRO
Centro circunferencias l : ( σ2 + σ3) /2
l = 0 → radio ( σ2 - σ3) /2
l = 1 → radio σ1 - ( σ2 + σ3) /2
Centro circunferencias m : ( σ1 + σ3) /2
m = 0 → radio ( σ1 - σ3) /2m = 1 → radio σ2 - ( σ1 + σ3) /2
Centro circunferencias n : ( σ1 + σ2) /2n = 0 → radio ( σ1 – σ2) /2n = 1 → radio σ3 - ( σ1 + σ2) /2
• El punto representativo de las tensiones σ ; ζxy debe caer dentro del triángulo curvilíneo sombreado , dado que su contorno representa los valores límites para los distintos estados tensiónales. Sobre dicho punto, deben cortarse las tres circunferencias correspondientes al plano elegido. Las tres circunferencias se denominan CIRCUNFERENCIAS PRINCIPALES
• Con la construcción de Mohr, hallamos la ubicación que tiene un plano en el espacio para un• valor de σ ; ζxy dado, o viceversa, si conocemos la ubicación de dicho plano, por conocer l,m y n,
hallar σ ; ζxy
• Determinación analítica y gráfica del Punto “P”• Conocemos α, β y γ. Y el valor de las tensiones principales• O sea los ángulos que forma la normal exterior con los ejes coordenados ortogonales.• Una forma de hallar analíticamente el punto “P” es a haciendo el cálculo de los radios de las tres
circunferencias principales, a partir de los valores conocidos de l, m y n.• R1;2 = { [(σ1- σ2 )/2 ]2 + n2 (σ3- σ1 ) (σ3- σ2 ) } ½ .• R1;2 = { [(σ1- σ2 )/2 ] + n (σ3- σ1 ) (σ3- σ2 ) } .• R1;3 = { [(σ1- σ3 )/2 ]2 + m2 (σ2- σ3 ) (σ2- σ1 ) } ½ .• R2;3 = { [(σ2- σ3 )/2 ]2 + l2 (σ1- σ2 ) (σ1- σ3 ) } ½ .• Estas tres circunferencias se cortan sobre el punto “P”, quedando determinado un triángulo
rectángulo, de hipotenusa ρ y catetos σ ; ζ .• El procedimiento constructivo es el siguiente:• a) dibujamos las tres circunferencias principales a partir del valor de las tensiones principales• b) Con centro en C1, y radio R2;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las
circunferencias de radio C2, C3, • c) Con centro en C2, y radio R1;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las
circunferencias de radio C1, C3, • d) Con centro en C3, y radio R1;2 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las
circunferencias de radio C1, C2,
• Donde los tres arcos de circunferencia se cortan, queda determinado el punto “P”
Pero para no tener que calcular los radios R1;2 R1;3 R2;3, se realiza un procedimiento gráfico consistente en levantar en vertical los ejes x, y, z a partir de los puntos correspondientes s los valores de las tensiones principales. Como los datos son l, m y n, podemos entonces saber el valor de los ángulos α, β y γ.
Trazamos por el punto C una recta que forme con el eje x un ángulo α, hasta que corte a las circunferencias de centro C2 y C3 y determine los puntos E y E’.
Con centro en la otra circunferencia C1 y radio C1; E trazamos un arco de circunferencia entre E y E’.
• Luego repetimos el procedimiento con el ángulo γ a partir del eje z, hasta determinar los puntos F y F’. Como corta a las circunferencias de centro C1 y C2 con centro en la otra circunferencia C3y radio C3; F trazamos un arco de circunferencia entre F y F’.
• La intersección de estos dos arcos de circunferencia, ya me determina el punto “P”.
Si ahora nos fijamos en las circunferencias fundamentales, vemos que para cada una de ellas existe una tensión tangencial máxima relativa de valores
ζ’ = (σ2- σ3 )/2; ζ’’ = (σ1- σ2 )/2; ζ’’’ = (σ1- σ3 )/2; esta es la mayor y se la llama ζMÁX , y es independiente de σ2 ,y ocurre en planos a
45º de los planos principales
ζz x
p’’’
p’’
p’
γ α
O σ3 σ2 σ1 σ
• 1.6 EL ESTADO DOBLE O PLANO• 1.6.1 Definición: Es el estado para el cual al variar el plano considerado, la tensión resultante se
mantiene paralela a un plano determinado, convirtiéndose la dirección principal perpendicular al plano ortogonal, en el eje del haz de planos.
• Supongamos que ese plano sea el (x; y)
• Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas• ρx . 1 = σx l + ζxy m • ρy . 1 = ζxy l + σy m • y recordando que ρ = ( ρx
2 + ρy2)½
• ζxz = ζzx = ζzy = ζyz = 0 • nos queda• σ = l ρ + m ρ• σ = l ρx + m ρy
• Que reemplazando con los valores de la ecuación superior nos queda• σ = σx l2 + σy m2 + 2 ζxy l m • y ζ = (ρ2 - σ2 )½.
• Para el análisis gráfico del equilibrio, en vez de un tetraedro elemental como habíamos visto para el estado triple, ahora trabajamos con un prisma triangular de espesor unitario.
• Por razones de comodidad, trabajamos con sen α en vez del cos β, ya que matemáticamente es lo mismo.
• Entonces podemos escribir
• σ = σx cos 2 α + σy sen2 α + 2 ζxy sen α cos α
Signo de las tensiones: Las normales si son de tracción son positivas y si son de compresión son negativas. Las tangenciales, consideramos positivas aquellas que produzcan un momento positivo con respecto a un punto ubicado en el interior del prisma, y negativas las contrarias. En nuestra figura, son positivas σ ; σx ; ;σy ; ζxy ; ζ ; en cambio ζyx negativas .
• Si consideramos que ζ es la proyección de ρ sobre el plano de la sección, y como la proyección de ρse puede reemplazar por la proyección de sus componentes, nos quedará que
• ζ = (ρ2 - σ2 )½.; y además sabemos que ρ es la suma de ρ x + ρ y . Entonces nos queda que• ζ = (ρy cos α - ρx sen α ) y como• ρx = σx l + ζxy m • ρy = ζxy l + σy m • ζ = ζxy cos2 α - ζxy sen2 α + σy sen α cos α - σx sen α cos α
• ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α• 2• Obtuvimos así, las expresiones de σ y ζ que ocurren en un plano que forma un ángulo α con el plano
donde actúa σx .
• 1.6.2.Tensiones y planos principales• 1.6.2.Tensiones y planos principales• Se obtienen derivando la expresión de σ especto del ángulo α, e igualando la expresión a 0.• d σ/dα = - 2 σx cos α sen α + 2 σy sen α cos α + 2 ζxy cos 2 α = 0• Con está expresión, hallamos α1 que es el ángulo del plano que cumple con la condición de la
derivada de arriba.• Luego de trabajar algebraicamente, llegamos a la dirección de los planos principales
• tg 2 α 1 = 2 ζxy / σy - σx
• Al igual que en el estado triple, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y que se denominan, planos principales.
• También habríamos llegado al mismo par de valores de α si en la ecuación
ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α la igualáramos a 0 y despejáramos el valor de tg 2α
• 2• Valor de las tensiones principales ( cuando las tangenciales son nulas)• ρx = σi l• ρy = σi m • Reemplazando• σi l = σx l + ζxy m • σi m = ζxy l + σy m
• (σx - σi ) l + ζxy m = 0• ζxy l + (σy - σi ) m = 0 • Si el determinante tiene una solución nula, la solución pueda ser distinta de la trivial, o sea• Si el determinante tiene una solución nula, la solución pueda ser distinta de la trivial, o sea• (σx - σi ) ζxy = 0• ζxy (σy - σi )
• (σx - σi ) (σy - σi ) l - ζxy2 = 0
• Ecuación de 2º grado que nos da los dos valores de las tensiones principales
• σ1; 2 = (σx + σy ) ± [(σx - σy )2 + ζxy2 ]½.
• 2 2
• 1.6.3 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS• Partimos de derivar la expresión de ζ respecto de α .• dζ / d α = - 2 ζxy sen 2 α - (σx - σy ) cos 2 α• Nos da para un valor determinado de α 2 ,• - 2 ζxy sen 2 α 2 = (σx - σy ) cos 2 α 2 .
• tg 2 α 2 = σx – σy / 2 ζxy
• Al igual que en el caso de las tensiones principales, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y en los cuale sse obtendrá el valor del esfuerzo de corte máximo.
• Si en la expresión de • ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α• 2• Reemplazamos α por α , obtenemos el valor de la tensión tangencial máxima.• Reemplazamos α por α 2 , obtenemos el valor de la tensión tangencial máxima.
• ζMÁX = [(σx - σy )2 + ζxy2 ]½.
• 2
• Consideraciones• Comparando las expresiones de α 1 y α 2 vemos que tg α 1 .tg α 2 = -1• Lo que nos dice que los planos que contienen a las tensiones tangenciales máximas, están a 45º
de los planos que contienen a las tensiones principales
σXσ1
σm
σm
σ2
σy
ζ1
ζ2
α2
α1 π/2
6.1.4 EXPRESION DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALESEs para el caso en que el par de planos cualquiera, los hacemos coincidir con los planos principales,
con lo que se anulan las tensiones tangenciales, y las ecuaciones iniciales nos quedan de la siguiente forma
• σ = σ1 cos 2 α + σ2 sen2 α
• ζ = σ2 - σ1 sen 2 α2
y la expresión de las tensiones tangenciales máximas ζMÁX = ± (σ1 - σ2 )/2
• 6.1.5 CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO.• Representamos los valores principales y el plano rotado 2 α
ζ
ζ MÁX ≡ R
Q (σX; ζ )
R
0 σ2 C σ1
2 θC
2 θp
2α
ζ α
σ α
T
DIRECCIÓN PPAL 1
• OT’ = σα ; TT’ = ζα ; ON = σ2 ; OM = σ1 ;
σy
σx
ζxy
P = POLO DE MOHR
2 θp
σm = ( σx +σy ) / 2
T’N M
TRAZA DEL PLANO QUE FORMA UN ANGULO αCON EL ESTADO INICIAL
α
θp
• Correlato de las ecuaciones de ejes girados para el estado plano• σ = σx cos2 α + σy sen2 α + 2 ζxy sen 2 α
ζ = ζxy cos 2 α - σx - σy sen 2 α• 2
• Pero cos2 α = (1 + cos 2 α )/2 y sen2 α = (1 - cos 2 α )/2 entonces podemos escribir las ecuaciones de arriba, como
• σ = (σx + σy ) / 2 + [ (σx - σy ) / 2 ]cos 2 α + ζxy sen 2 α = OT’• ζ = [ (σx - σy ) / 2 ] sen 2 α + ζxy cos 2 α = TT’
• Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones, y elevándolas al cuadrado, obtenemos
• [ σ - (σx + σy ) / 2 ] 2+ ζ 2 = [ (σx - σy ) / 2 ] 2 + ζ2xy
• que es la ecuación de una circunferencia en función de los valores σx ; σy y ζxy , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia (σx + σy ) / 2 = σm y cuyo radio vale
• [ [ (σx - σy ) / 2 ] 2 + ζ2xy ]½ = R = CQ
• 7.ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTINUO• 7.1 CONCEPTOS GENERALES: Como no existen los sólidos indeformables, la distancia entre 2
puntos o la orientación de dos planos varían. • El cuerpo se deforma, a través de tres procesos:• A) corrimiento• B) rotación• C) deformación propiamente dicha• Las 2 primeras no nos interesan por ser de incumbencia de la física, así que solamente nos
ocuparemos de la deformación.
• 7.2 DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTO• Se considera un punto arbitrario A, de coordenadas, XA ,YA ,ZA, que luego de la deformación,
ocupa el lugar A’ cuyas coordenadas son • X’A = XA + u• X’A = XA + u• Y’A = YA ,+ v• Z’A = ZA, + w donde u, v y w son funciones corrimiento en función de los 3 ejes x, y , z
• u = u (x, y, z)• v = v (x, y, z)• w = w (x, y, z)• Para hallar relaciones matemáticas que nos vinculen las deformaciones, se considera un segundo
punto B, infinitamente próximo a A, y a una distancia ds, cuyos componentes serán dx, dy, dz• XB = XA + dx• YB = YA ,+ dy• ZB = ZA, + dz
• A su vez el punto B tendrá su corrimiento a partir de las funciones• u* = u + du = u (x + dx; y + dy; z +dz)• v* = v + dv = v (x + dx; y + dy; z +dz)• w* = w + dw = w (x + dx; y + dy; z +dz)• Si suponemos que estas funciones son continuas y derivables, podemos desarrollarlas en serie
de Taylor, limitando el desarrollo a los términos de primer orden.• luego del desarrollo matemático, llegamos a las siguientes conclusiones para todo entorno
infinitésimo al punto A• a) un plano se transforma en otro plano• b) la intersección de 2 planos forma una recta, por lo que toda recta se transformará en otra recta.• c) dos planos paralelos, o dos rectas paralelas, lo seguirán siendo despues de la deformación
• 7.3. DEFOMRACIONES LINEALES ESPECIFICAS Y DISTORSIONES• Como consecuencia de las tensiones que lo solicitan, un cubo de lados dx, dy , dz , se desplaza y
se deforma, es decir varían las longitudes de sus aristas y el ángulo relativo entre ellas• ε = Deformación específica unitaria ( cambios de longitud)• γ = Distorsión angular ( variación de ángulos)• Se parte del análisis de las variaciones de una cara del cubo, y se extrapolan los resultados a
todo el cubo.
•
•
• Partimos de la proyección del cubo sobre el plano xy, haciendo coincidir el vértice A con el origen de coordenadas.
• Debido a que el cubo se encuentra sometido a tensiones normales y tangenciales, las aristas varían de longitud y se modifican los valores entre los ángulos originalmente rectos
• .
• VECTORES CORRIMIENTO• AA’, BB’, CC’ Y DD’• Proyectamos esos vectores sobre los ejes coordenados, recordando que las funciones que
definen los corrimientos son continuas y derivables.• AA’ → ( u ; v)• BB’ → u* = u + (∂u / ∂x) dx• v* = v + (∂v / ∂x) dx• DD’ → u** = u + (∂u / ∂y) dy• v** = v + (∂v / ∂y) dy• Por definición, las deformaciones específicas son iguales a la relación entre el incremento de la
longitud y la longitud inicial• Para la dirección x:
• εX = u + (∂u / ∂x) dx - u = ∂u / ∂x entonces εy = ∂v / ∂y y εZ = ∂w / ∂z • dx
• Respecto de las distorsiones, se sub indican por dos índices, respecto del plano en el cual actúan.
• γXY = B’Ô B’’ +D’ Ô D’’ y como son ángulos infinitesimales
• tg B’Ô B’’ = v + (∂v / ∂x) dx - v = ∂v / ∂x• dx• tg D’Ô D’’ = u + (∂u / ∂y) dy - u = ∂u / ∂y• dy•
• luego tg B’Ô B’’ ≈ B’Ô B’’ = α1 = ∂v / ∂x• tg D’Ô D’’ ≈ D’Ô D’’ = α2 = ∂u / ∂y• Entonces la distorsión total será
• γXY = α1 + α2 = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y y por anlogía• γXZ = = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z• γZY = = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y• DEFINICIÓN: las distorsiones se definen como la sum a de las derivadas
parciales cruzadas del corrimiento correspondiente a un eje con respecto al otro.
• Otra forma de analizar este punto, es considerar que:
• α1 = γXY / 2 + θZ y α2 = γXY / 2 - θZ
••• Esto es que los lados del cuadrado elemental giran en sentidos opuestos γXY /2 , o que todo el
cuadrado gira en un sentido θZ
= +
α2 γXY / 2 θZ
α1 γXY/2 θZ
Luego• α1- θZ = α2 + θZ• θZ = (α1 - α2 )/2 pero ya habíamos visto que• α1 = ∂v / ∂x• α2 = ∂u / ∂y• Entonces • θZ = ½ (∂v / ∂x - ∂u / ∂y) y por extrapolación• θy = ½ (∂u / ∂z - ∂w / ∂x)
θx = ½ (∂w / ∂y - ∂v / ∂z)Si ahora remplazamos los valores de εX ; εy ; εz y de θZ ; θY ; θx en la ecuación del
desarrollo en serie de Taylor enunciada precedentemente, llegamos a
du = (∂u / ∂x) dx + ( ∂u / ∂y) dy + ( ∂u / ∂z) dzdv = (∂v / ∂x) dx + ( ∂v / ∂y) dy + ( ∂v / ∂z) dzdv = (∂v / ∂x) dx + ( ∂v / ∂y) dy + ( ∂v / ∂z) dzdw = (∂w / ∂x) dx + ( ∂w / ∂y) dy + ( ∂w / ∂z) dz
Que nos da la expresión del corrimiento en función de los ejes coordenadosy expresado como tensor nos da el TENSOR DEFORMACIÒN.
(∂u / ∂x) ( ∂u / ∂y) ( ∂u / ∂z)
T = (∂v / ∂x) ( ∂v / ∂y) ( ∂v / ∂z)
(∂w / ∂x) ( ∂w / ∂y) ( ∂w / ∂z)
• Este Tensor deformación, se descompone en un tensor deformación propiamente dicho y en un tensor rotación, el cual no es de interés para nuestro curso
• εX γXY/2 γXz/2 0 - θZ θy
• Tdef γXY/2 εy γzY/2 + T rot θz 0 - θx
• γXY/2 γXY/2 εz - θY θx 0
• Existirán al menos 3 direcciones en las cuales las distorsiones angulares son nulas, • γXY; γZY; γXZ= 0 y que nos definen las direcciones principales, donde actúan ε1 ≥ ε2 ≥ ε3 .• en forma perpendicular a los planos principales. Se las denomina deformaciones principales• y el tensor queda de la siguiente manera
• ε 0 0• ε1 0 0• Tdef 0 ε2 0• 0 0 ε3
• ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO• Partimos del análisis de un estado plano, lo cual implica que una deformación principal es nula, o sea
un prisma elemental de espesor unitario y lados dx, dy y diagonal ds que forma un ángulo α
y
N’
εy dy
N’’ P’
γ ds’
αx
N
O
dy
(1+ εy)dy
γXY
ds
γXY
P
M M’ M’’
dx εx dx (1+ εy ) γxy dy
( 1 + εx ) dx
ds’
• Los datos conocidos, son las deformaciones εx ; ε y y las distorsiones γxy ,y nos interesa hallar εα, en la dirección de α.
• (OP’)2 = ( P’M’’) 2 + (OM’’) 2
• (OP’)2 =
• FLEXION PURA OBLICUA
• Definición : Cuando la línea de fuerzas del momento flector actuante, no coincide con uno de los ejes principales de inercia.
• Hipótesis : Ley de Hooke y Bernouilli – Navier
• Equilibrio del Sólido elemental :
• ∫F y dF = 0
• ∫F z y dF = 0
• σ ∫ y2 dF = M sen β• σ ∫F y2 dF = M sen β
• Recordando que σ = σ / y• Las dos primeras ecuaciones implican• a) Eje neutro baricéntrico• b) El eje neutro es conjugado de inercia de la línea de fuerzas
MLÍNEA DE FUERZA
EJE NEUTRO
β
1
1
2
2
dFy
z
• z e y son las distancias del elemento dF a los ejes línea de fuerza y eje neutro
•• Fórmula general de la Flexión Oblicua:Fórmula general de la Flexión Oblicua:
• σ = ± M sen β y• Jn
• Esta fórmula nos obliga a conocer la ubicación del eje neutro, para poder calcular Jn
• Determinación del eje neutro• a) Forma gráfica• a11 ) Conociendo los ejes principales de inercia cuando la sección no tiene elementos de simetría• a12 ) cuando la sección tiene elementos de simetría al menos respecto de un eje
LF
1 1
2n
β
G1 1
A B
n
Tangente en B
Jn / sen β
JnB’
β
J1
J2
G
C
P
• a2 ) No conociendo los ejes principales de inercia: Se parte de Jz, Jy y Jzy
Gz
L de F
β
Jz > Jy
Jzy > 0
P
y
EJE NEUTRO
A
B
J z
Jy
Jzy tg en B
B’PB = Jn / sen β
PB’ = Jn
• Los valores de Jn , se obtienen del gráfico, midiendo en la escala de la circunferencia.• O sino se puede hacer
• σ = ± M sen β y = ± M y• Jn Jn / sen β
• Este término Jn / sen β se lee directamente del gráfico a partir del segmento PB
• Ángulo AGB = Ángulo ABB’
PB’ = PB sen βPB = PB’ / sen βPB’ = JnPB’ = JnPB = Jn / sen β
b ) Forma analítica : Se basa en la determinación del ángulo γ .Conocemos como dato, el ángulo α que forma la línea de fuerzas con uno de los ejes de la figura
L de F
Eje neutro
z
y
G
α
γtg γ = Jz - tg α Jzy
Jzy - tg α Jy
ECUACION DE LOS EJES CONJUGADOS
• Si conocemos los ejes principales de Inercia• J z = J1 ; J y = J2 ; J zy = 0
• tg γ = - J1 = ( - J1 / J2) cotg α• J2 tg α
• FLEXIÓN OBLICUA EN FUNCIÓN DE 2 FLEXIONES NORMALES• Las expresiones anteriores son útiles para verificación, pero incomodas para diseño, ya que Jn, • sen β e y dependen de sus dimensiones.• Por lo tanto para dimensionar se trabaja con 2 flexiones normales superpuestas.
LFy Ξ 2
EN
z Ξ 1 γ
α
Mz
M
My
G
dFy
z
σ = ± Mz y ± My z
J1 J2
Mz = M sen α
My = M cos α
• Los signos dependen del punto donde estemos considerando el valor de las tensiones.• Como el valor de las tensiones σ para los puntos coincidentes con el eje neutro son nulas
hacemos
• 0 = - Mz y + My z• J1 J2
• 0 = M ( - cos α y + sen α z ) • J2 J1
• cos α y = sen α z • J2 J1
• tg α = (J2 / J1) . (z / y)
• y = z ( J 1 / J2 ) cotg α ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR EL OIRGEN
• O también
• tg γ = -- ( J1 / J2 ) cotg α• El signo menos aparece por estar ubicados en el 2º o 4º cuadrante, respecto del análisis anterior
• TEORÍA GENERAL PARA LA FLEXIÓN OBLICUA• Cálculo de la flexión oblicua referida a cualquier par de ejes y no necesariamente de los principales
de inercia.
1
2 LFEN
z
dF
α
y
“z” e “y” ejes cualquiera
El Mz produce flexion en el plano “xy” y también en el “xz”. Lo mismo para el My.
Se parte de la ecauci8ón del radio de curvatura de la viga deformada.
χ = 1/ ρ = ε / y = σ / E y
La tensión en el dF será
σx = - χy E y - χz E z (1)
Mz
1
2y
dFy
zγ
σx = - χy E y - χz E z (1)
La fuerza normal que actúa en toda la sección
∫ σx dF = - χy E ∫ y dF - χz E ∫ z dF
Ecuación que se satisface por ser los ejes baricéntricos o sea que la suma de los momentos estáticos es nula
My
• Para el equilibrio, la suma de todas las fuerzas en la dirección “x” se deben equilibrar con el My ( lo mismo para Mz).
• My = ∫ σx z dF = - χy E ∫ y z dF - χz E ∫ z2 dF
• My = - χy E Jzy - χz E J y
• Por analogía
• Mz = - χy E Jz - χz E J zy
• Entonces
• χy = Mz Jy + My Jzy ; χz = My Jz + Mz Jzy • E ( Jz Jy – J2zy) E ( Jz Jy – J2zy)
• Reemplazando en (1)
• σx = ( My Jz + Mz Jyz) z - ( Mz Jy + My Jzy ) y• Jz Jy - J 2zy
• FÓRMULA GENERAL DE LA FLEXIÓN
• Para hallar el eje neutro hacemos σx = 0• γ = ángulo entre n-n y la L de F
• tg γ = y / z = My Jz + Mz Jzy• Mz Jy + My Jzy
• Si ahora hacmes coincidir “z” e “y” con los principales nos quedaría
• σx = ( My Jz) z - ( Mz Jy) y = My z - Mz y• Jz Jy Jy Jz
• Verificación y dimensionamiento de secciones solicitadas a flexión oblicua• Verificación y dimensionamiento de secciones solicitadas a flexión oblicua• Se parte de la utilización de las fórmulas deducidas en función de los datos
conocidos. Para el diseño, el problema se simplifica si la sección es al menossimétrica respecto de un eje.
• FLEXIÓN Y CORTE
• Definición: Cuando al reducir al baricentro de la sección dada, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma, se obtienen 2 pares opuestos normales a la sección y 2 fuerzas opuestas contenidas en el plano de ella.
• Equilibrio
• ∫F σx dF = 0
• ∫F ζxy dF = Qy
• ∫F ζxz dF = Qz
• ∫F (ζxy z + ζxz y )dF = 0
• ∫ σ y dF = Mz• ∫F σx y dF = Mz
• ∫F σy z dF = My
• Hipótesis: Teoría de Jouravski: Se refiere a las tensiones de resbalamiento longitudinales, complementada por Collignon en cuanto a las tensiones normales.
• Corte puro: es aquel en el que en el plano de la sección solo existen dos fuerzas opuestas• ζ = Q / A
Teoría de Jouravski generalizada : • Se consideran 2 secciones sometidas a flexión y corte separadas dx
• σ 1-1 = M y / Jn• σ 2-2 = (M + dM )y / Jn
dx
M Q Q M + dM1 2
1 2
1 2
1 2
- -
+ +
y
dx
N + dNN
• En la sección 1-1• dN = σ dF
• N = ∫F σ dF = ∫F (M Y / Jn) dF
ζ
N
x
y
ζ
• En la sección 2-2
• dN = = ∫F [(M + dM) / Jn] y dF
• Como son colineales, la resultante valdrá
• dN = = ∫F (dM / Jn) y dF
• Suponemos que las tensiones longitudinales de resbalamiento, que se oponen a la fuerza anterior• a) Dirección paralela al eje de la pieza• b) Variación continua a lo largo de la superficie curva• Si “s” es la longitud de la curva que intercepta la sección, la resultante de los esfuerzos tangenciales
• dT = dx ∫s ζ ds
• Por equilibrio• dN = dT• dN = dT
• ∫F (dM / Jn) y dF = dx ∫s ζ ds
• (dM / Jn) ∫F y dF = dx ∫s ζ ds
• ∫F y dF = (Jn / dM) dx ∫s ζ ds pero dM / dx = Q
• ∫s ζ ds = Q Ssn / Jn
• Pero ∫s ζ ds = ζm s donde ζm = valor medio de la tensión de resbalamiento longitudinal
• ζm = Q Ssn / s Jn
• Por Cauchy, las tensiones longitudinales de resbalamiento, dan rigen en el plano de la sección a tensiones tangenciales, normales en cada punto a la curva s, a su correspondiente tangente
• Aplicación a la sección cuadrada:
• ζxy = Q Ssn / s Jn
• Jn = b x h3 /12• s = b• Sn= b [(h/2) – y] (1/2) [(h/2) + y]
• ζxy = Q b [(h/2) – y] (1/2) [(h/2) + y] • [ b x h3 /12] b
• ζ = 3 Q [ 1 – (2y / h )2]• ζxy = 3 Q [ 1 – (2y / h )2]• 2 b h
• Para los extremos de la sección: y = h / 2 o sea ζxy = 0 (lógico por Cauchy, no puede haber tensiones en la otra cara)
• Para y = 0 Ξ EJE NEUTRO
• ζxy = 3 Q• 2 F
• 50 % más grande que si suponemos corte puro•
• El Momento estático es nulo por encima o por debajo del eje neutro• Sn + S’n = 0• Esto ocurre por el sentido contrario de las tensiones rasantes que tienen distinto sentido
ζ yx
ζ xy
ζ yx
• Tensiones tangenciales en sección circular llena• Se aprte se una sección de radio R
ζ yx
ζ xy
• .
Q
ζ A ζ B
by
R
y
z
y
A Bby = 2 ( R2 – y2 )1/2 .
Jn = π R4 / 4
Sn = (2/3) ( R2 – y2 )3/2 .
ζ xy = 4 Q ( R2 – y2 )
π R4
y = R, ζ xy = 0
y = 0 ζ xy = 4 Qxy
3 F
• SOLICITACION POR FLEXIÓN COMPUESTA
• DEFINICIÓN: Aquella solicitación para la cual, actúa sobre la sección, una fuerza normal excéntrica .
• También se la puede definir como la solicitación producida por un par flector y una fuerza normal.• Se la puede resolver por superposición de efectos, o por equilibrio entre fuerzas exteriores e
interiores• El caso más general, es que la flexión sea oblicua• Estamos siempre en régimen elástico
• FLEXIÓN COMPUESTA EN RÉGIMEN ELÁSTICO
Esta fuerza excéntrica, origina en su reducción al baricentro, un par flector y una fuerza normalEsta fuerza excéntrica, origina en su reducción al baricentro, un par flector y una fuerza normal
+
-
2
2
1
1
Gn n
g g
LF
C ( N < 0)
e
σ0
dF
u
v
v’βA
e’
s’
v’1
v’2
σ
σ1
σ2
v1
v2
• C = centro de Presión• CG = excentricidad e• Recta CG = Línea de fuerza• Hipótesis: Bernouilli – Navier y Ley de Hooke • Distribución lineal de tensiones normales, nulas en el eje neutro, y máximas en las fibras más
alejadas.• Por ser flexión oblicua, el centro de presión no coincide con ningún eje principal de inercia
• Desarrollo:• El punto A perteneciente a un dF, sobre el que actúa σ• El equilibrio exige que las fuerzas exteriores producidas por N se igualen con las interiores
producidas por la integral de σ dF.• Se plantea :• Se plantea :• a) Una ecuación de igualdad de proyecciones sobre un eje normal a la sección • b) Dos condiciones de igualdad de momentos respecto del eje neutro y la línea de fuerza• De las 6 ecuaciones de equilibrio, las 3 que contienen ζ son nulas por hipótesis.
• a) ∫F σ dF = N•• b) ∫F σ v dF = N ( e’ + s’)
• ∫F σ u dF = 0
•
• El eje baricentrico g-g paralelo al eje neutro , tiene tensiones σ0 de valor
• σ0 = σ lo que implica que σ = σ0 v Ec. 1
• s’ v s’
• Por ser σ0 y s’ valores constantes, la reemplazamos en la tercera ecuación y obtenemos
• ∫F σ u dF = 0 → σ0 ∫F v u dF = 0 → ∫F v u dF = 0
• s’• Mº centrífugo de la sección, respecto del eje neutro y la línea de fuerza, lo que implica que ambas
direcciones son conjugadas de inercia.• O sea que encontramos cual es la dirección del eje neutro (no conocemos todavía la dirección de
g-g)
• Reemplazando ahora en la primera de las ecuaciones, por la Ec. 1 tenemos
• ∫F σ dF = N → σ0 ∫F v dF = N la integral es el Mº estático de la sección respecto del n-n
• s’
• ∫F v dF = F. s’
• σ0 F = N → σ0 = N / F
• Esta expresión nos dice que la tensión en las fibras ubicadas sobre el eje baricéntrico, paralelo al eje neutro son constantes e independientes de la excentricidad .
• Por último, reemplazando la Ec 1 en la segunda ecuación
• ∫F σ v dF = N ( e’ + s’) → σ0 / s’ ∫F v2 dF = N ( e’ + s’) → (σ0 / s’ ) Jn = N ( e’ + s’)
Por SteinerJn = Jg + F s’2 .
(σ0 / s’ ) Jg + F s’ σ0 = N e’ + N s’ pero σ0 = N / F
(σ0 / s’ ) Jg + N s’ = N e’ + N s’ simplificamos y como (σ0 / s’ ) = (σ / v )
(σ / v ) Jg = N e’ Ec. 2 pero v = v’ + s’(σ / v ) Jg = N e’ Ec. 2 pero v = v’ + s’
σ Jg = N e’ v’ + N e’ s’
σ = N e’ v’ + N e’ s’• Jg Jg
• Reemplazando en Ec. 2 y teniendo en cuenta que el radio de giro, F ig2 = Jg• (N / F s’) F ig2 = N e’• Simplificando
• ig2 = s’ e’
• Esa expresión nos dice que el radio de giro de la sección respecto de la paralela baricéntrica al eje neutro, es media proporcional entre las distancias del centro de presión al baricentro y de este al eje neutro.
• Esta ecuación, nos permite hallar el eje neutro en forma gráfica o analítica.
σ = N e’ v’ + N e’ s’ = • Jg Jg
σ = N e’ v’ + N e’ s’• Jg F ig2
• Pero s’ e’ / ig2 = 1
σ = N e’ v’ + N y como e’ = e sen βJg F
σ = N ± N e sen β v’F Jg
σ = N ± M sen β v’F Jg
Las tensiones máximas y mínimas se producen en las fibras mas alejadas
σ1 = - N - M sen β v’1F Jg
σ2 = - N + M sen β v’2F Jg
• Expresiones que nos dan los valores de las dos tensiones que actúan debidas al esfuerzo normal y al Momento flector.
• DETERMINACIÓN GRÁFICA DEL DIAGRAMA DE TENSIONES NORMALES
2
1
CL
e’
σ1
-
C < 0
J1 > J2
2
1
1
g g
O P
A
B
B’
JgJ1
J2
nn
E
L’
F
H
G
σ2
-
+
σo = N / Fig
s’
• Se determina el punto A, luego el B y uniendo B con el G tenemos la línea baricéntrica.• Luego del gráfico obtenemos Jg, y calculamos ig.• s’ es extrema proporcional entre ig y e’.
• Así obtenemos la dirección de n-n. Luego graficamos σ0 sobre la línea g –g y obtenemos el
diagrama de tensiones.
• FLEXIÓN COMPUESTA OBLICUA COMO SUMA DE DOS FLEXIONES NORMALES
•L de Fg
n αez
eyGΞ 01 Ξ z 1
y
C
e
1
Mz
z G Ξ 0
C
e
gn
1 Ξ z 1
2 Ξy
β
s’
e’
1
M Ξ N.eMy
α
y
z G Ξ 0
• Los ejes z e y coinciden con los principales de inercia y α es el ángulo entre la Lde F y el eje 1-1• Coordenadas del Centro de Presión• ey = e sen α• ez = e cos α multiplicando por N ambas expresiones
• N ey = N e sen α = M sen α = Mz• N ey = N e cos α = M cos α = My
• Como σ = N ± Mz y ± My z
F Jz JyReemplazando
σ = N ± N e y ± N e z σ = N ± N ey y ± N ez z F Jz Jy
• Pero Jz = F iz2 .• Jy = F iy2 .
σ = N ( 1 + ey y + ez z )F iz2 iy2
• Esta expresión nos da la ecuación del eje neutro
Para un punto cualquiera N perteneciente al eje neutro, tendremos
0 = N ( 1 + ey yn + ez zn )F iz2 iy2
0 = ( 1 + ey yn + ez zn )iz2 iy2
Para yn = 0 → zn = - ( iz2 ) / ez
• Para zn = 0 → yn = - ( iy2 ) / ey
• Con lo que obtenemos dos puntos para graficar el eje n-n• Los signos negativos nos indican que zn y yn se miden en sentido contrario a ez
n
z
y
G
Cez
ey
zn
yn
n
M
N
n n z
• y ey .• Graficá mente, por la media proporcional, una vez calculados iz ; iy.
Cez
eyG iz
iy
n
n
M
N
• RECIPROCIDAD ENTRE EL CENTRO DE PRESIÓN Y EL EJE NEUTRO• Arrancamos de σ = N e’ v’ + N = N ( 1 + e’ v’ )
Jg F F ig2
Para el eje neutro σ = 0v’ = s’
N ( 1 + e’ s’ ) = 0 → ( 1 + e’ s’ ) = 0F ig2 ig2
ig2 = - e’ s’ El signo menos nos indica que e’ y s’ son de distinto signo
El centro de presión está ubicado del lado contrario al eje neutro con respecto al baricentro y sus distancias se encuentran a una relación constante.Conclusión: Si para una línea de fuerzas dada, desplazamos sobre esta el centro de presión C. el eje neutro también se desplaza paralelamente a si mismo de manera tal de mantener los valores de la ecuación constantes.
C1
C2
C3C → ∞g
• Posiciones límites
• e = ∞ implica s = 0 o sea que el eje neutro es baricéntrico, la recta de acción de la fuerza N es la impropia del plano y estamos en flexión oblicua simple
• e = 0 implica s = ∞ Solicitación axil pura por ser la recta de acción de N baricéntrica
g
n1 n2n3
• NÚCLEO CENTRAL• Definición: Se denomina núcleo central, al área encerrada por los infinitos centros de presión que
generan ejes neutros tangentes al contorno de la sección• Importancia: tenemos tensiones de un solo signo
n4
n3
n1
n2
• De gran utilidad en mampostería y hormigón simple.
L de F
G
C
Co
C’
gg
n n
no n o
n’ n’
- - -
+
σo σ o σ o
• De gran utilidad en mampostería y hormigón simple.
• DETERMINACION DEL NÚCLEO CENTRAL• Se hace en forma gráfica y para las secciones más comunes• Utilizamos las expresiones de los radios nucleares• ig2 = - e’ s’ llamamos ko’ = e’ y so‘ = s’
• ko’ = - ig2 / so’
• Radio nuclear GM = ko = ko’ / sen β = - ig2 / so’ .sen β
• y como so’ = so’ .sen β
• ko = - ig2 / so .sen β
• Gráficamente:
G
g
n
β
g
Perpendicular a g-g
1
M
L de F
g
n
ig
A’’
A
A’M’
1 so’
ko’
• NÚCLEO CENTRAL DE LAS SECCIONES MAS COMUNES
• A) Cuadrada y rectangular. Rectangular de base b y altura h
n n
b
h h/6
b/6
1 1
2i1 2 = h 2 / 12
β = π /2
s = so’ = h /2
ko = - 2 h2 / 12 h = h /6
b
2
• TEORIAS DE ROTURA
• CONSIDERACIONES GENERALES• ¿Cuáles son las causas que condicionan el comienzo de la fluencia y por ende la rotura de un
material?• A) teorías basadas en tensiones• a1) Máxima tensión Positiva ( Galileo y Leibnitz)• a2) Máxima tensión principal (positiva o negativa) (Rankine y Lamé)
a3) Máxima tensión normal (Marin)a4)Máxima tensión principal combinada con la máxima tensión normal (Marin)
• B) teorías basadas en deformaciones• b1) Máxima deformación específica principal positiva (Poncelet y Saint Venant)• b2) Máxima deformación específica positiva y negaitva ( Grashof, Rèsal y Bach)• b3) Máxima distorsión (Marin)• b4) Máxima distorsión combinada con la máxima deformación específica (Marin)• b4) Máxima distorsión combinada con la máxima deformación específica (Marin)
• C) teorías basada en tensiones tangenciales• c1 )Máxima tensión tangencial (Saint Venant – Güest)• c2 ) Teoría Generalizada de Coulomb ( frotamiento interno proporcional)• c3 ) Teoría de Mohr ( curva intrínseca)FRAGILES
• D) teorías basadas en la energía de deformación• d1) Máxima energía total de deformación ( Beltrami – Haigh)• d2) Máxima energía de distorsión ( Huber – Hencky – Von Mises) DUCTILES• d3) Teorías que combinan las energías de distorsión y deformación total• d4) Máxima energía de deformación cúbica• d5) Teoría de la energía de distorsión como función de la tensión normal media
• E) teorías empíricas• e1) Teoría de Saudel• e2) Teoría de Wehage• e3) Teoría de la máxima deformación volumétrica ( Marin)• e4) Teoría de Becker• e5) Teoría de Noms para la madera de pino• e6) Teoría del comportamiento plástico de materiales no isotrópos (Brandtzaeg)• e7) Teoría de Griffith de las fisuras diminutas
• F) teorías basadas en la estructura de la materia• f1 ) Grupo de teorías que parten de las consideraciones técnicas sobre las fuerzas atómicas o de
energía superficial
• Concepto de rotura: Un material alcanza la rotura cuando llega a un límite de solicitación tal que las tensiones que se producen alcanzan un valor para el cual el material ya nos es más utilizable para el fin al cual se lo destina.
• Principales teorías de roturasEstán desarrolladas para estados múltiples de tensión.
• Se parte de un ensayo de tracción simple y se compara los valores obtenidos con los valores supuestos para estados espaciales
• La energía interna de deformación• O también llamada energía potencial elástica por unidad de volumen en un punto, de un sólido
sujeto a un estado cualquiera de tensión, es una función
• VALORES DE LA ENRGÍA DE DEFORMACIÓN• Para un estado de tensión simple • µ = ( σ1
2) / 2E• Para Corte puro• µ = ( ζ2) / 2G• Para casos de σ y ζ combinados• µ = [( σ1
2) / 2E] + [( ζ2) / 2G]
• TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN PRINCIPAL• Formulada por Rankine: • La deformación plástica de un punto de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión,
comienza sólo cuando la máxima tensión principal en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión en el límite de fluencia en tracción o compresión simples, con total prescindencia de las de la tensión en el límite de fluencia en tracción o compresión simples, con total prescindencia de las tensiones normales o tangenciales que puedan existir en otros planos.
• Válida para materiales frágiles no para dúctiles
• Dúctiles:
• Según la teoría, la rotura ocurre para σ = σ1 = σfl
• Esto se verifica si el estado solicitante es de tracción simple.• Pero para un estado plano, el de resbalamiento puro, donde
• - σ 2 = σ1 = ζ = σfl
• Entonces debería cumplirse que ζ fl = σfl lo que no se verifica en la práctica experimental, donde ζ fl <<<<<< σfl .
ζ
σ 2 σ1
• Frágiles
• Partimos de un estado doble, con σ1 ; σ2 .
• Para σ1 > σ2 → σ1 = ±σfl
• Para σ1 < σ2 → σ2 = ± σfl
• Gráficamente:• los resultados deberían caer sobre las rectas en forma ideal
• TEORÍA DE LA MÁXIMA TENSIÓN DE CORTE• Formulada por GUEST:
+1
-1
-1 +1
σ2 / ±σfl
σ1 / ±σfl
• La rotura de un punto de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión, comienza sólo cuando la máxima tensión de corte en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la tensión de corte que ocurre en un ensayo de tracción simples,
• Para un estado triple• ζmáx = ± ½ (σ1 - σ2 )• ζmáx = ± ½ (σ2 – σ3 )• ζmáx = ± ½ (σ1 - σ3 )
• y se compara con la tensión tangencial máxima de un ensayo de tracción simple• ζmáx = ± ½ ( σfl )
• Por lo tanto la rotura se alcanza cuando• (σ1 - σ2 ) = ± ( σfl )• (σ2 – σ3 ) = ± ( σfl )• (σ1 – σ3 ) = ± ( σfl )
• Para un estado plano, con σ3 = 0• (σ1 - σ2 ) = ± ( σfl )• (σ1) = ± ( σfl )• (σ2) = ± ( σfl )• La rotura queda definida en función de los signos de (σ1 ; σ2 ) • Si son de signos contrarios, la primera ecuación es la que rige la rotura.• Si son de signos contrarios, rige la de mayor valor de tensión principal• Para graficar igualamos las expresiones a ±1• Para graficar igualamos las expresiones a ±1• (σ1 - σ2 )/ ( σfl ) = ± 1• (σ1)/ ( σfl ) = ± 1• (σ2) /( σfl ) = ± 1
-1 +1
+1
- 1
(σ1)/ ( σfl )
(σ2) /( σfl )
• Para ciertos materiales dúctiles, sobre todo aquello donde predominan las tensioens tangenciales, esta teoría es bastante acertada
• TEORÍA DE LA MÁXIMA ENERGÍA DE DISTORSIÓN• Formulada por HUBER – HENCKY Y von MISSES: • La rotura de un punto de un sólido solicitado por un estado cualquiera de tensión, comienza sólo
cuando la máxima energía de distorsión por unidad de volumen en el punto considerado, alcanza un valor igual al de la energía de distorsión en un ensayo de tracción simple, cuando se alcanza el límite de fluencia.
• Es la que mejor se adapta a los materiales dúctiles• Para un estado triple cualquiera, la energía de distorsión vale:• µd = 1 + µ [(σ1 - σ2 )2 + (σ2 – σ3 ) 2 + (σ1 – σ3 ) 2 ]• 6 E
• Para el ensayo de tracción simple• µd = 1 + µ σfl
2
• 3 E• Igualando• [(σ1 - σ2 )2 + (σ2 – σ3 ) 2 + (σ1 – σ3 ) 2 ] = 2σfl
2
• Para el estado plano• [(σ1 - σ2 )2 + (σ2) 2 + (σ1) 2 ] = 2σfl
2
• Desarrollando y simplificando• [(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl
2
• Para graficar• (σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) = 1• σfl
2 σfl2 σfl
2
√2
√6 / 3
+1
-1 +1
(σ2) /( σfl )
(σ1) /( σfl )
-1
• EJEMPLOS DE TEORÍAS DE ROTURA• a) máxima tensión principal σ1 = σfl
• Hallar R para un eje sometido a un Mt = 400 KN m• Sabiendo que σfl =200 MPa
• Solución• ζ MÁX = (Mt . R) / Jp = 2 Mt / π R3
• σ1 = - σ2 = ζ MÁX = 2 Mt / π R3
• 200 MPa = 2 Mt / π R3
• R = 10.83 cm
σ2 σ1
ζ MÁX
• b) máxima tensión de corte• Calcular el valor de σMÁX , utilizando la teoría de rotura, y sabiendo que σ1 > σ2 > 0• Del ensayo de tracción σfl = 16 Mpa;
• Solución
•σ3 σ2 σ1
ζ MÁX
σ1
σ2
σ3 = 0
ζMÁX
ESP
• ζ MÁX a 45º de σ1 y σ 3 .
• ζ MÁX PLANO = ( σ1 - σ 2 ) / 2
• ζ MÁX ESPACIO= ( σ1 - σ 3 ) / 2 = σ1 / 2 • Para nuestro ejemplo
• ζ MÁX PLANO = R = ± √ (σx - σy / 2)2+ ζxy2
45º
σ3
σ1 VISTO DE ARRIBA
5 MPa
2 MPa
? 2 5
ζ plano
• ζ MÁX PLANO = R = ± √ (σx - σy / 2)2+ ζxy2
• ζ MÁX PLANO = R = ± √ (σx - 2 / 2)2+ 25
• ζ MÁX ESPACIO= σ1 / 2 = 16 / 2 = 8 MPa
• R = ± √ (σx - 2 / 2)2+ 25 = 8 Mpa → σx = 14.49 MPa ; σx = - 10.49 MPa ; • Para nuestro caso , como supusimos tensiones de igual signo, adoptamos σx = 14.49 MPa • Verificación de la teoría de Rotura: se calcula σ1;2
• σ1;2 = 14,49 + 2 ± √(12,49)2 + 25 = σ1;2 = 16.245• 2 0.245
• σ1 = 16.245• σ1 = 0.245• Dividimos por σfl = 16• Y nos queda • σ1 / σfl = 1.01• σ2 / σfl = 0.015• Por lo tanto verifica. Si estos puntos cayeran fuera del gráfico, la pieza rompería según esta teoría de
rotura.
• c) teoría de la máxima energía de distorsión• Un eje hueco, sometido a flexo torsión con los siguientes datos• Mf = 3, 5 KN m• Mt = 8 KN m
A ζ σ
-Mf
• Mt = 8 KN m• d = 60 mm• D = 80 mm• σfl = 250 MPa• Verificar si rompe o no por Huber - von Misses• ζ A = Mt . R / Jp = 116.4 MPa• σA = Mf y / Jx = 101.9 MPa• σ1 = 76.2 MPa ; σ2 = - 178 MPa ; • Luego [(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl
2
• Reemplazando• 76,22 + 1782 – [ (76,2) . ( -178) ] < 2502 verifica• 51100 < 62500
+
Mf
σ2 σA σ1 ζ
• Otro ejemplo: σfl = 16 MPa; σx = 10 MPa; σy = - 2 MPa; ζxy = 8 Mpa• Solución:
• σ1;2 = 10 - 2 ± √ 36 + 64 = σ1;2 = (14 ; - 6 ) MPa• 2
• [(σ1) 2 + (σ2) 2 - (σ1 . σ2 ) ] = σfl2
• 196 + 36 +84 < 256• 316 < 256 no verifica
• Vemos en el gráfico
• 316/ 256 = 1.23 > 1 sale del gráfico
• SOLICITACIÓN POR FLEXO TORSIÓN
• Generalidades: Cuando al reducir al baricentro de la sección de las fuerzas que actúan, se producen dos pares opuestos cuyos vectores momento tienen una dirección oblicua respecto de la sección.
Mt M
Mf
• Como este tipo de solicitación aparece en ejes y árboles de transmisión, nos limitaremos al estudio de la sección circular maciza o hueca
• Partimos de una barra empotrada• Las tensiones tangenciales valdrán • ζ = 16 Mt / π d3
dx, dy, dz
Mf
Mt
x
ζxz
z
y
x
σ
• Las tensiones normales originadas por el Mf valdrán
• σ = Mf . y / Jn = 32 Mf / π d3
σx
z
y
x
ζxz
dx
dy
dz
• Para el punto ubicado en la generatriz superior, las tensiones principales valdrán
• σ1,2 = σx /2 ± √ (σx / 2)2+ ζxz2
• Entonces reemplazando por los valores correspondientes
• σ1,2 = 16 Mf / π d3 ± √ (16 Mf / π d3 )2 + (16 Mt / π d3)2
• σ1,2 = 16 / π d3 [ Mf ± √ (Mf )2 + ( Mt )2]
• recordando que ζ = (σ1 - σ2) /2 =
• ζ MAX = 16 / π d3 [√ (Mf )2 + ( Mt )2]
• Para sección Circular Hueca: D= diámetro exterior, d = diámetro interior• n = d / D
• σ1,2 = 16 [ Mf ± √ (Mf )2 + ( Mt )2] • π D3 [ 1 – n 4]
• ζ MAX = 16 [√ (Mf )2 + ( Mt )2] • π D3 [ 1 – n 4]
• FLEXIÓN LATERAL O PANDEO
• Se aplica al estudio de columnas cargadas axialmente a la compresión, que pueden fallar ya sea por compresión simple o por pandeo.
• Cuando actúa P1, las dos barras, perfectamente alineadas soportan compresión simple.• Al aplicar P2, mayor a P1 , el punto B, se desplazara lateralmente un determinado valor.• Si suprimimos P2, la columna volverá elásticamente a su posición original.• Si volvemos a aplicar una fuerza P3 de valor mayor que P2, llegará esta a un valor, para el cual la
columna colapsa.• Al primer estado de cargas, por encima de P1 , y por debajo de P3 , se lo llama equilibrio estable.• Al estado, que produce la salida del estado de equilibrio se lo llama equilibrio inestable.
0 Valores crecientes de P →
• Carga crítica: la que ocurre cuando se pasa del equilibrio estable, al inestable. Pcr.
Valores crecientes de P →
Compresión pura – equilibrio estable – equilibrio ine stable
• Planteo del Equilibrio
L / 2
C
B
P P
C
B
Θ
MB
P < Pcr = equilibrio estable
Pcr = valor único de posición perturbada
P > Pcr = equilibrio instable
L / 2
A A
P
• Columnas con extremos Articulados• Se coloca una carga P en el baricentro de la sección.• La columna es perfectamente recta, y el material responde a la ley de Hooke• El plano de flexión es el “xy”• Para valores pequeños de P, la columna permanece recta y soporta tensiones de compresión de
valor σ = P / A• Cuando P = Pcr, la columna sufre pequeñas deformaciones laterales sin variar el valor de P, por lo
que la columna queda estática en la posición deformada y no vuelve a su estado inicial.• Si P > Pcr se produce la falla por pandeo.
P
P
y
z
x
L
A
v
P
M
x
• Ecuación Diferencial: Se parte de la ecuación de la deflexión en Mº flector
• E I v’’ = M para v’’ = d² v / d² x EI = Rigidez
• A una distancia “x” del punto A, actúan la fuerza P y el momento M y se plantea el equilibrio de momentos respecto de A.
• M + P v = 0 → M = - P v
• E I v’’ = - P v → E I v’’ + P v = 0
• Ec. diferencial de 2º grado, homogénea, lineal y de coeficientes constantes que nos darán el valor de Pcr y la forma de la columna pandeada
• Solución de la Ec. Diferencial
• Si k² = P / EI ; k = √ P / EI
• k se toma siempre como una cantidad positiva y sus unidades son de longitud.
• v’’ + k² v = 0 cuya solución es
• v = C1 sen kx + C2 cos kx ( v es el desplazamiento lateral)
• C1 ;C2 constantes de integración que se evaluan por las condiciones de borde
• Para x = 0 (empotramiento) → v (0) = 0• Para x = L → v (L) = 0• O sea que la deflexión lateral en los extremos es nula
• De la primera condición obtenemos C2 = 0 pues es la única opción ya que cos 0 = 1• Entonces
• v = C1 sen kx (ec 1)
• De la segunda condición obtenemos• C1 = 0 (caso 1) • C1 sen kl = 0 • sen kl = 0 (caso 2)• sen kl = 0 (caso 2)
• Caso 1: si C1 = 0 implica que v = 0 o sea, no hay deflexión lateral y la columna permanece recta.• Además si C1 = 0 la cantidad kl puede tomar cualquier valor porque P podría tomar cualquier valor
sin que haya deflexión. O sea sería la solución trivial, no importa, la carga, la columna no se pandea
• Caso 2: Nos da la ecuación de pandeo• sen kl = 0 que se satisface para valores de kl = 0, π, 2π, 3π, 4π, …………..• De todos estos valores no nos interesa kl = 0 pues implicaría P = 0• Por lo tanto se analizan los demás valores• kl = π, 2π, 3π, 4π, …………..• kl = n π para n = 1, 2, 3, 4 ………..• k = n π / l
• Como k2 = P / EI
• P = k2 E I = n2 π2 E I / L2 para n = 1, 2, 3, …….. (ec 2)
• y de la (ec 1) • v = C1 sen kx = C1 sen ( n π / l) x n = 1, 2, 3,
• Cuando P toma valores de la ecuación (ec 2), que son los valores de P que satisfacen la ecuación de pandeo, la columna puede tener una forma flexionada.
• Para todos los demás valores de P, la columna solo esta en equilibrio si permanece recta. • Como la menor carga crítica que va aparecer, es aquella para la cual n = 1, tenemos
• P = π2 E I• P cr = π2 E I• L2
• Y la correspondiente forma deformada es v = C1 sen (π x / L)• Donde • C1 = representa la deflexión en el punto medio de la comuna y puede ser positivo o negativo
• Este caso, es el del Pandeo Fundamental, desarrollado por Euler.• Si n = 2, tendríamos P cr = 4 π2 E I• L2
• Pero no reviste interés práctico, salvo restricciones laterales
C1
• Si la columna esta soportada en sus extremos por vínculos indiferentes, el plano de pandeo se produce respecto del eje baricéntrico de menor inercia.
• Esfuerzo crítico• De: P cr = π2 E I entonces σ cr = π2 E I = π2 E • L2 L2 A (L/r)2
• Para λ RELACIÓN DE ESBELTEZ = (L/r)2
• que vincula la geometría de la columna con los momentos de inercia
• CURVA DE EULER
σcr
• El valor límite de esta curva es σpro pues admitimos la validez de la ley de Hooke
L /r
σpro
λ
• Columnas con otra clase de soportes• a) Empotrado en la base y el extremo libre
L
P
B
A
v
δ
x
El Mf a una distancia x de la base, vale
M = P ( δ – v)
La ecuación diferencial será
E I v’’ = M = P ( δ – v)
y como k2 = P / EI
v’’ = k2 ( δ – v)
v’’ + k2 v = k2 δ
• La diferencia con la ec. diferencial anterior, es que el lado derecho, no es nulo• Se resuelve mediante• a) una solución homogénea que consiste en reemplazar el lado derecho por 0 • b) una solución particular que es la solución de toda la ecuación que produce el término de la
derecha
• a) vH = C1 sen kx + C2 cos kx
• b) vP = δ
v’’ + k2 v = k2 δ
Ec. Diferencial de 2º grado con coeficientes constantes respecto de la columna .
• La solución total, es la suma de las dos soluciones• v = C1 sen kx + C2 cos kx + δ• Que tiene 3 incógnitas, C1 ;C2 ; δ• Por lo que planteamos 3 condiciones de frontera • En la base, la deflexión y la pendiente son 0 por ello • v = 0 y v’= 0• Que para nuestra ecuación• C2 = - δ
• Y derivando v
• v’ = C1 k cos kx - C2 k sen kx → C1 = 0
• Reemplazando C1 y C2 ; • v = δ ( 1 – cos kx)• Expresión de la forma de columna que no nos define la amplitud, por lo que esta expresión puede • Expresión de la forma de columna que no nos define la amplitud, por lo que esta expresión puede
tomar cualquier valor, mientras sea pequeño.• La 3º condición de frontera se halla del extremo superior donde la deflexión v vale• v (L) = δ• Que aplicada arriba, nos da• δ cos kL = 0• Como δ no puede ser 0 ( no habría deflexión)• cos kL = 0 que se satisface para kL = nπ /2 con n = 1, 3, 5, 7• Entonces• P cr = n2 π2 E I con n = 1, 3, 5, 7• 4 L2
• La menor carga crítica, será para n = 1• P cr = π2 E I que tendrá una forma pandeada de acuerdo con v = δ [ 1 – cos (π x/2L)]
4 L2
LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNASe denomina así al valor de Le = k L dependiente de las condiciones de apoyoa) ARTICULADA ARTICULADAP cr = π2 E I Le = L k = 1
L2
b) EMPOTRADA LIBREP cr = π2 E I Le = 2L k = 2
4 L24 L2
c) EMPOTRADA EMPOTRADAP cr = 4 π2 E I Le = 0,5 L k = 0,5
L2
d) EMPOTRADA ARTICULADAP cr = π2 E I Le = 0.7L k = 0,7
0,72 L2
• COMPORTAMIENTO ELASTICO E INELASTICO DE LAS COLUMNAS• ¿ Que pasa cuando σ > σpr y no se cumple la ley de Hooke?
σROT
σPR
A B LÍMITE DE RESISTENCIA
LÍMITE DE ESTABILIDAD ELÁSTICA
σ
C
E
Columnas cortas
Columnas Intermedias Columnas largas
λ LÍM0 λ
D
• ECD CURVA DE EULER VÁLIDA SOLO EN EL TRAMO CD• Para hallar el valor límite de λ a partir del cual es válida la ec. de Euler, se iguala el esfuerzo crítico
con el σpr.
• Pcrít / A = σpr = π2 E A• (kL)2 A
• σpr = σpr = √ ( π2 E / σpr ) = λlím
• σrot = vlor último para el cual las columnas rompen por compresión, ese valor viene dado por la recta AB
• En el sector de columnas intermedias, la falla se produce por pandeo inelástico, con tensiones por encima de σ = encima de σpr =
• Del diagrama de tensión - deformación para el acero, vemos que cuando las tensiones superan el valor de σpr , implica que la pendiente de la curva ( σ;ε) Et es menor que el valor de E, por lo tanto, l
• a carga crítica para pandeo inelástico es menor que la de Euler.
• Pandeo Inelástico: Si una columna es de longitud intermedia, la misma alcanzará el σpr . antes que el pandeo. Se resuelve por formulas empíricas.
• Teoría el Módulo Tangente:• Se considera una columna ideal, biarticulada, sometida a una cara P y con un λ < λLÍM .• Por lo tanto, σ llega al valor σ pr antes que se produzca el pandeo
• σ = P / A
PENDIENTE EtA
PENDIENTE E
B
σPR
σA
• σA = P / A• Si aumento P, aumenta σ. • La relación entre el incremento del esfuerzo y el incremento de la deformación es unitaria y vale ε.
Esta dada por la pendiente en A del diagrama (σ – ε) que es tangente en A y se denomina • Módulo Tangente εt = d σ / d ε.• εt = Por debajo de A es igual a E, por encima εt disminuye de valor al aumentar el esfuerzo• Al alcanzar una columna el valor de la carga crítica inelástica, la columna puede experimentar una
pequeña deflexión lateral. Los esfuerzos que aparecen de flexión se superponen a los de compresión
• La relación entre los esfuerzos de flexión y las deformaciones unitarias resultantes vienen dadas por εt . Y por analogía con el pandeo elástico obtenemos
• Pt = π2 Et J• L2
• El esfuerzo, será • σt = π2 Et
• λ2
• Que es el esfuerzo crítico para la teoría del módulo tangente.• Como Et varía de valor según sea el cociente P / A, se lo halla en forma iterativa, comenzando
con un valor de P1 = σpr A .• Con P1 calculamos σ1 = P1 / A y determinamos Et del diagrama.
• FATIGA
• Se produce solicitación por fatiga, debido a la acción dinámica de las fuerzas, variables en el tiempo• Como ejemplo, el eje de un vehículo que transmite el peso a 2 ruedas
Para t = 0 , la solicitación del punto A es σMÁX , luego decrece hasta 0, pasa por σMÍN , y reinicia el ciclo
P d n P
n
( - ) Mf
z
y
A
A’ y
Mf
ωωωωttttt
σ
σMÁX
Para t = 0 , la solicitación del punto A es σMÁX , luego decrece hasta 0, pasa por σMÍN , y reinicia el cicloω = velocidad angular de giro del ejeLa forma de onda es senoidal, y responde a la ecuación:
σA’ = M [ (d/2) sen ( 90 – ωt)]Jz
La rotura por fatiga, aún en materiales dúctiles, es una rotura frágil. Violenta, sin indicios previos y se debe al desplazamiento de planos y la progresión de fisuras.Estas fisuras se deben a la concentración de tensiones, impurezas del material, irregularidades superficiales, etc.
• TIPOS DE TENSIONES:• 1) PULSATORIAS → 3) PULATORIA INTERMITENTE• SOLICITACIONES• 2) OSCILANTES → 4) OSCILANTE ALTERNADA
• PULATORIAS = producen tensiones de un solo signo• PULSATORIAS INTERMITENTES: uno de los valores extremos es nulo
• OSCILANTES = tensiones de signos contrarios• OSCILANTES ALTERNADA = las tensiones extremas son opuestas
• Definiciones• σMÁX = Máxima tensión superior con independencia del signo y en valores absolutos
• σMÍN = Máxima tensión inferior con independencia del signo y en valores absolutos
• σm = Tensión media = ½ (σMÁX + σMÍN )
• σa = Tensión variable = ½ (σMÁX - σMÍN )
• Si sumamos m.a m. σm + σa obtenemos
• σMÁX = σm + σa y σMÏN = σm - σa
• PULSATORIA
• PULSATORIA INTERMITENTE; σMÍN = 0; σm =• σa = σMáx /2
• OSCILANTE
• OSCILANTEA ALTERNADA: σMáx = - σMÍN ; σm = 0• - σMÍN = σMAX = σa
• La solicitación por fatiga, depende solo de la amplitud de la tensión dinámica y de la tensión media, y no de la ley de variación y muy poco de la frecuencia
• Cualquier tipo de ciclo de tensión, se puede suponer, como una σm superpuesta a una σa
TODOS CON IGUAL RESISTENCIA A LA FATIGA
σm
σa
• Resistencia a la fatiga: Curva de Wöhler
• Se define como resistencia a la fatiga, a la máxima amplitud de la tensión dinámica (variable) que superpuesta en ambos sentidos a la tensión med ia ( estática) puede actuar un número ilimitado de veces, sin provocar la rotura de la pr obeta, ni una deformación plástica superior a la admisible.
• Para el caso 4, oscilante alternada, la resistencia a la fatiga la denominaremos σF = resistencia de oscilación
• Para el caso 2, pulsatoria intermitente, la resistencia a la fatiga la denominaremos σU = resistencia de pulsación.
• Estos valores se determinan por ensayo a la fatiga, de una probeta normalizada• Se conocen de entrada los valores de σa y σm• Se conocen de entrada los valores de σa y σm
• y se le aplica una carga tipo 2 o 4, a un material dado• Se ensaya la probeta y se obtiene N = numero de ciclos para el cual se produce la rotura por fatiga .• Se repite el ensayo para distintos valores de σa y σm y se grafican en una escala logaritimica
σ MÁX
N0
σF
• Para N = 0 el valor de la resistencia a la fatiga, coincide con el valor de la resistencia estática• Según norma DIN 50.100, para aceros se fija N con un valor de 107 ciclos, como valor límite.
• DIAGRAMA DE SMITH
• Es el más usado, y resume en un solo gráfico los valores de resistencia de fatiga obtenidas por la curva de Wöhler.
• Construcción:• Sobre un par de ejes coordenados ortogonales, ubicamos en ordenadas los valores de las tensiones
superior σMÁX e inferior σ M´N. correspondientes a las respectivas tensiones medias En abscisas, los valores de la tensión media σ m.Los valores en ordenadas, respecto de una recta a 45 º, que pasa por el origen, nos indican el valor de σ m. ( al igual que en abscisas).Dicha recta divide en partes iguales a la doble amplitud σa.O sea que el valor entre las curvas límites y la recta a 45º es el valor de σa para las distintas resistencias a la fatiga.resistencias a la fatiga.
Representación Gráfica del Diagrama de Smith ,
Para un acero común de construcción St 37, con 3700 kg/cm2 de límite de rotura estática, 2600 kg/cm2 de límite de fluencia y de una resistencia a la fatiga del tipo 4 del orden de los 1200 kg/cm2
Solo se representa el 1º cuadrante , pues es simétrico en el 3º
CARGA OSCILANTE ALTERNADA A A 1 CON σm = 0 y σF = σMÁX = σMÍN
CARGA PULSATORIA INTERMITENTE B B1CON σU = σMÁX y
σMín = 0 ; σm = σMÁX / 2
CARGA OSCILANTE OB ZONA MÁS OB1 ZONA MÁS DESFAVORABLE POR EL CAMBIO DE SIGNO
CARGA PULSATORIA
B1 M1
• Para un punto como el Do, tenemos• D D’ = σMÁX
• D’ D1 = σMÍN
• Do D’ = OD’ = σm
• DDo = σMÁX – σm = σa
• D’ Do - D1D’ = Do D1 = σm - σMÍN = σa
Esto demuestra que las curvas límites, superior e inferior, resultan simétricas respecto de la recta a 45º.En la práctica, la experiencia indica que no es convenienteEn la práctica, la experiencia indica que no es convenienteque el valor de σMÁX supere el valor de σfl por lo que en el diagrama, se recorta el mismo de la siguiente manera, Se traza la horizontal correspondiente a σfl y corta a La curva superior en M y a la recta de 45º en N.Se traza una vertical por M hasta la curva inferior y sedetermina M’ que unida con N nos completa el diagrama, siendo la zona útil la parte rayada
Como las curvas son de poca pendiente, y para trazarlas hay que hacer un montón de ensayos de σm y σase opta por realizar un diagrama simplificado, reemplazando las curvas por rectas.
Se parte del concepto de que σUa = 0,8 σF
para carga pulsatoria intermitente.Entonces conociendo σfl y σF que son elLímite de fluencia y la resistencia de fatigapara el caso 4 Carga oscilante alternada,se puede trazar el diagrama.Se traza la recta a 45º, y en ordenadas segráfica σF en tracción y compresión y ellímite de fluencia.Luego trazamos OB1 = σm = 0,8 σF
Por B levantamos una perpendicular sobrePor B1 levantamos una perpendicular sobrela que llevamos el segmento BB1 = 2 OB1 = 1,6 σF
Así hallamos B y la recta AB nos define C.Su simétrico C1 respecto de la recta de 45ºUnido con D y con A1 nos completa elDiagrama.
• DIMENSIONAMIENTO EN FATIGA• Se parte del criterio de Soderberg cuya expresión es:
• σ MÁX = σF + ( 1 – q ) σm
• ν
• Expresión que relaciona la tensión superior con la resistencia a la fatiga para cargas oscilantes alternadas y la constante “q” del material
• Para• q = σF / σfl relación conocida para cualquier tipo de material • ν = coeficiente de seguridad
• Dividiendo la expresión inicial por σadm y recordando que ν σadm = σfl
• Entonces• Entonces
• σ MÁX = q + ( 1 – q ) σm
• σadm σadm
•
• Aplicación en solicitación axil
• Una pieza solicitada axialmente con una carga P variable entre P máx y P mín
FORMULA DE DIMENSIONAMIENTO SEGÚN EL CRITERIO DE SODERBERG
• Pm = ½ ( Pmáx + P mín)• Para F el área de la sección• σMÁX = Pmáx / F• σMÍN = PmÍn / F• Reemplazando en la formula de dimensionamiento• P MÁX = q + ( 1 – q ) σm
• σadm F σadm
• Despejando el area• F = P MÁX [ 1 - Pm ( 1 - 1 )]• σadm q Pmáx q
• Analizamos 5 casos para acero St 37• Analizamos 5 casos para acero St 37• q = σF = 1200 = 0,5• σfl 2400
• F = P MÁX [ 2 - Pm ]• σadm Pmáx
• PARA CARGA OSCILANTE ALTERNADA• Pmáx = - P mín• Pm = 0• Luego reemplazando en la ecuación básica• F1 = 2 Pmáx / σ adm
Ecuación básica
• Por otra parte, para rotura estática• Pmáx = Pm = Pmín
• F2 = Pmáx / σ adm (fuerza sobre área)
• O sea que para carga oscilante alternada, debemos duplicar el área
• Si la carga fuera pulsatoria intermitente
• P mín = 0• Pm = Pmáx / 2
• F3 = 1,5 Pmáx / σ adm
• Para una carga oscilante de Pmáx = - 2 Pmín• Para una carga oscilante de Pmáx = - 2 Pmín• Resulta Pm = 0.25 Pmáx
• y F4 = 1.75 Pmáx / σ adm
• Para una carga pulsatoria P máx = 2 P mín• Tenemos Pm = 0.75 Pmáx
• F5 = 1.25 Pmáx / σ adm
• O sea que la carga oscilante alternada es la más crítica
• FÁTIGA POR FLEXIÓN• Suponemos una pieza de momento de inercia constante, solicitada por un par flector variable entre
Mmáx y Mmín.• El momento promedio, será (Mmáx + Mmín) /2• Como w = módulo de la sección• σmáx = Mmáx / w• σmín = Mmín / w• σm = Mm / w• Introduciendo en la ecuación de Söderberg• Llegamos a la ecuación básica para flexión
• W = Mmáx [ 1 - Mm ( 1 - 1)]• σadm q Mmáx q
• Aplicando a un eje de sección circular, con q = 0.63• Tenemos entonces que
• W = Mmáx [ 1,6 - 0.6 Mm ]• σadm Mmáx
• Para carga oscilante alternada • Mmáx = - Mmín• Mm = 0
• W = 1.6 Mmáx• σadm
• O sea d1 = 2.52 ( Mmáx / σadm )1/3
• Carga pulsatoria intermitente• Mmín = 0• Mm = 0,5 Mmáx
• W = 1.3 Mmáx• σadm
• O sea d2 = 2.46 ( Mmáx / σadm )1/3
• Carga estática• Carga estática• Mmáx = - Mmín = Mm
• W = Mmáx• σadm
• O sea d3 = 2.16 ( Mmáx / σadm )1/3
• Relacionando las tres áreas• F3 : F2 : F1 = 1 : 1,3 : 1,39
• De modo que entre la solicitación más desfavorable y la solicitación estática, tenemos un incremento de la sección del 39%
