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geometria analitica
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1
Distancia Entre dos puntos
Sea:
Observando el triángulo por te0rema de
Pitágoras tenemos:
División de un segmento en una razón dada
Sean:
Sea:
Tengo que hallar las coordenadas del punto C.
Armo las razones de proporcionalidad entre los triángulos
:
En donde:
Reemplazando en tenemos:
De
De
2
La Recta en el plano
La ecuación de una cónica es:
Si valen “cero” me queda:
“Ecuación General de la Recta”
Partiendo de la ecuación general de la recta podemos llegar a la ecuación explicita de la recta:
Si
“Ecuación explicita de la recta”
En donde
Deducción:
Sea
“Ecuación de la pendiente”
Reemplazando tenemos:
“Ecuación de la recta que pasa por dos puntos”
Desarrollando :
“Ecuación explicita de la recta”
Partiendo de la ecuación general de la recta también podemos llegar a la ecuación segmentaria de la
recta:
“Ecuación Segmentaria de la recta”
Si
e son los puntos en donde la recta corta al eje “x” e “y” respectivamente.
3
Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad:
Sea
Sea
“Ángulo entre dos rectas”
Si es paralela a entonces y , por lo que debe ocurrir que:
, “Condición de paralelismo”
Si es perpendicular a entonces y no existe, por lo que debe ocurrir que:
“Condición de perpendicularidad”
En función de los coeficientes:
Tenemos que:
, Si lo reemplazamos en la ecuación:
Tenemos:
“Ángulo en función de los coeficientes”
Si es paralela a entonces y , por lo que debe ocurrir que:
, “Condición de paralelismo”
Si es perpendicular a entonces y no existe, por lo que debe ocurrir que:
, “Condición de perpendicularidad”
4
Distancia de un punto a una recta
Sea
Sea no perteneciente a
Sea el segmento perpendicular desde el punto a
.
Sea la recta que contiene a cuya pendiente es
La pendiente de es:
Como entonces:
Por lo que:
Sea . Ahora determinaremos las coordenadas de :
De :
Luego:
5
Ecuación normal de la recta
Sea
Sea
Sea ľ la recta que contiene a con pendiente .
Como :
En el triángulo tenemos:
Reemplazando tenemos:
“Ecuación normal de la recta”
Distancia entre un punto y una recta, utilizando la ecuación normal de la recta
Cuando el punto está por arriba de la recta
Sea
Sea y que pasa por el punto Q.
Cuando el punto está por debajo de la recta
Sea
Sea y que pasa por el punto Q.
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Ecuación de la familia de rectas que pasa por el punto de intersección de las rectas
Familia de rectas paralelas
Para que las rectas sean paralelas las pendientes deben ser las mismas, es decir, “m” se mantiene. Aquí lo
que varia es la ordenada al origen, entonces podemos plantearla como parámetro, es decir, “b=K”.
Familia de rectas que pasan por un punto
Sabemos que por un punto pasan infinitas rectas, y como estás rectas no son paralelas, las pendientes son
distintas, es decir, la pendiente varia, por lo que podemos tomarla como parámetro, es decir, “m=k”.
Distancia dirigida de un punto a una recta
Tomando la ecuación
podemos determinar lo siguiente:
Si el punto está en el semiplano inferior (abajo o a la izquierda) con respecto a la recta
utilizaremos:
Si el punto está en el semiplano superior (arriba o a la derecha) con respecto a la recta utilizaremos:
Condición fundamental:
¿Cómo encontrar las bisectrices de dos rectas secantes?
Sea
Sea
En la bisectriz 1 tomo un punto genérico y
marcó las distancias dirigidas respecto de :
está por debajo de entonces es
negativo.
está por arriba de entonces es
positivo.
Por propiedad de bisectriz:
7
Análogamente para la bisectriz 2
está por arriba de entonces es positivo.
está por arriba de entonces es positivo.
Por propiedad de bisectriz:
Para comprobar si las ecuaciones de las bisectrices encontradas son correctas tenemos que hacer el
producto de ambas pendientes y nos tiene que dar -1 porque las bisectrices de los ángulos opuestos por el
vértice son perpendiculares.
Circunsferencia
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Su Ecuación
General es:
En donde
Deducción:
Sea centro de la circunsferencia
Sea un punto de la circunsferencia
“Ecuación Canónica de la Circunsferencia”
Desarrollando los cuadrados tenemos:
Comparando tenemos:
Cuando:
Existe Circunsferencia.
Circunsferencia, es sólo un punto.
Lugar geométrico.
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Potencia de un punto respecto de una Circunsferencia
Observando los triángulos
tenemos:
por subtender el mismo
arco.
por ser común a ambos triángulos.
Por criterio - por lo que se
puede establecer una proporción:
Distancia Mínima y Máxima
Es la distancia máxima
Es la distancia mínima
Longitud de la tangente
Por Teorema de Pitágoras:
Eje Radical
Se llama eje radical de dos Circunsferencias al lugar geométrico de los puntos desde los cuales las
tangentes a ellas son de igual longitud.
El eje radical es perpendicular a la recta que une
los centros de 2 Circunsferencia.
Demostración:
Si tenemos dos Circunsferencias:
Para hallar la ecuación del eje radical debo
realizar la diferencia entre ambas
Circunsferencias:
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Entonces la pendiente del eje radical es:
Ahora determinaremos la pendiente que pasa por los centros de las Circunsferencias:
Si el eje radical y la recta que une los centros de las Circunsferencias son perpendiculares, se debe cumplir
que:
Como se cumple:
Parábola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado Foco y de una recta
llamada directriz.
Elementos:
Vértice ( )
Foco ( )
Directriz (
Lado recto =
La directriz y el lado recto son perpendiculares al eje de simetría.
El foco está sobre el eje de simetría y sobre el lado recto.
La distancia de a es .
Un segmento que corta a la parábola en 2 puntos se llama “cuerda”.
Si la cuerda pasa por el foco se llama “cuerda focal” y es perpendicular al eje de simetría.
El vértice es el punto medio del foco y de un punto de la directriz.
Deducciones de las Ecuaciones de las Parábolas con Vértice (0,0)
Parábola horizontal que se abre hacia la derecha
Por definición:
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Parábola horizontal que se abre hacia la izquierda
Por definición:
Parábola vertical que se abre hacia arriba
Por definición:
Parábola vertical que se abre hacia abajo
Por definición:
Deducciones de las Ecuaciones de las Parábolas con Vértice
Parábola Horizontal que se abre hacia la derecha
Por definición:
11
Parábola horizontal que se abre hacia la
izquierda
Por definición:
Parábola vertical que se abre hacia arriba
Por definición:
Parábola vertical que se abre hacia abajo
Por definición:
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Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de la distancia de un punto
del lugar geométrico a dos puntos fijos llamados focos es constante, donde dicha constante
es igual a 2a.
Demostración de la constante 2a:
Por definición tenemos que:
Si en lugar del punto P tomamos los Vértices ocurre:
Para V:
Para :
Decimos que la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es 2a.
Deducciones de las Ecuaciones de las Elipses con centro (0,0)
Elipse horizontal
Por definición:
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Elipse Vertical
Por definición:
Deducciones de las Ecuaciones de las Elipses con centro (h,k)
Elipse horizontal
Por definición:
14
Elipse Vertical
Por definición:
Excentricidad
Es el cociente entre la distancia de un punto genérico a un punto fijo llamado foco y la distancia del punto
genérico a una recta llamada directriz.
Deducción del Valor de la Excentricidad y de las Ecuaciones de las Directrices
Si en lugar de P tomamos los vértices de la elipse tenemos:
Para V:
Para V´:
Si restamos nos queda:
Si sumamos nos queda:
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Si estamos en presencia de una Circunsferencia.
Si estamos en presencia de una Elipse.
Si estamos en presencia de una Parábola.
Si estamos en presencia de una Hipérbola.
Deducciones de las Ecuaciones de las Elipses con centro (h,k) mediante la definición de
excentricidad
Elipse horizontal
Por definición de excentricidad:
Como:
Elipse Vertical
Por definición de excentricidad:
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Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos llamados focos es igual a una constante 2a. Siendo 2a la distancia de los vértices.
Demostración de la constante 2a:
Por definición tenemos que:
Si en lugar del punto P tomamos el Vértice V ocurre:
Decimos que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos es 2a.
Deducciones de las Ecuaciones de las Hipérbolas con centro (0,0)
Hipérbola Horizontal
Por definición:
Hipérbola Vertical
Por definición:
17
Deducciones de las Ecuaciones de las Hipérbolas con centro (h,k)
Hipérbola Horizontal
Por definición:
Hipérbola Vertical
Por definición:
=
Asíntotas de las Hipérbolas
Hipérbola horizontal
Cuando , entonces:
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Hipérbola Vertical
Cuando , entonces:
Deducción del Valor de la Excentricidad y de las Ecuaciones de las Directrices
Si en lugar de P tomamos los vértices de la elipse tenemos:
Para V:
Para :
Si sumamos nos queda:
Si restamos nos queda:
“Ecuaciones de las Directrices”
Deducciones de las Ecuaciones de las Hipérbolas con centro (h,k) mediante la
definición de excentricidad
Hipérbola horizontal
Por definición de excentricidad:
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Hipérbola Vertical
Por definición de excentricidad:
Deducción del Lado Recto
Parábola
Tomemos el punto y lo reemplacemos en :
Como el lado recto es , tenemos que:
Lado Recto =
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Elipse
Tomemos el punto y lo reemplacemos en
:
Como el lado recto es , tenemos que:
Análogamente para la Hipérbola.
Ecuaciones Paramétricas
Recta que pasa por dos puntos
Sean y dos puntos y sea la ecuación de la recta vectorial.
Sea
“Ecuación Paramétrica de la recta”
De la Ecuación Paramétrica a la Ecuación de la Recta:
Despejó en ambas ecuaciones y luego igualó:
Comparando con la Ecuación General tenemos:
Lado Recto =
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Elipse horizontal
En el triángulo
tenemos:
y como y
En el triángulo tenemos:
y como
De
“Ecuación Paramétrica de la Elipse”
Para llegar de la Ecuación Paramétrica a la Ecuación Canónica tenemos que elevar al cuadrado a ambos
miembros de las dos ecuaciones y luego sumamos ambas ecuaciones.
Circunsferencia
En el triángulo tenemos:
y como
y como
De
“Ecuación Paramétrica de la Circunsferencia”
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Parábola Horizontal
Aplicando derivada implicita tenemos:
Despejando y tenemos:
y como
Ahora despejo x de
Reemplazando :
De tenemos:
“Ecuación paramétrica de la Parábola”
Otra forma de parametrizar la Parábola:
Sea la ecuación ; Para parametrizar tomo un parámetro y lo reemplazo en la
ecuación:
“Ecuación Paramétrica de la Parábola”
Hipérbola Horizontal
En el triángulo tenemos:
y como
Observando el triángulo tenemos:
y como
De :
“Ecuación Paramétrica de la
Hipérbola”
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Rectas Tangentes y Normales
Recta Tangente
La Recta Tangente a una cónica
es aquella que tiene con la misma un punto
en común (Punto de Tangencia) y que cumple
que todos sus puntos con excepción del punto
en común pertenecen a una de las regiones
determinadas por las cónicas.
Recta Normal
La Recta Normal es la recta perpendicular a la
recta tangente de la cónica en el punto de
tangencia.
Deducciones de las Rectas Tangentes y Normales de las Cónicas por Definición
Circunsferencia
La Recta que pasa por C y P es la Recta Normal a la
Recta Tangente de la Circunsferencia que pasa por
P (Punto de Tangencia).
Pendiente de la Recta Normal:
Como la Recta Tangente es perpendicular a la Recta
Normal, su pendiente es:
Para determinar la Ecuación de la recta Tangente y
de la Recta Normal usamos la Ecuación “Punto
Pendiente”:
“Ecuación de la Recta Tangente”:
“Ecuación de la Recta Normal”:
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Parábola
Tenemos que probar que es la bisectriz del
ángulo y que es la recta tangente a la
Parábola. Para ello probaremos que no
pertenece a la Parábola.
Por definición de Parábola tenemos que:
Supongamos que pertenece a la parábola entonces:
Observando el triángulo tenemos:
no pertenece a la parábola y es la bisectriz del ángulo y es la recta tangente a la Parábola.
Como el triángulo es isósceles entonces .
Ahora determinó la pendiente de :
Como P pertenece a la parábola:
Reemplazando en tenemos:
Como
Por lo tanto:
“Ecuación de la Recta Tangente”:
“Ecuación de la Recta Normal”:
Generalizando para
“Ecuación de la Recta Tangente”:
“Ecuación de la Recta Normal”:
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Elipse
Por definición de elipse tenemos:
Sea tal que sea simétrico
a .
Sea .
Tenemos que probar que es la
bisectriz del ángulo y que
es la recta tangente a la Elipse.
Para ello probaremos que no pertenece a la Elipse.
Supongamos que pertenece a la Elipse entonces:
Observando el triángulo , por propiedad de triángulo tenemos:
Como R es simétrico a F entonces:
no pertenece a la elipse y es la recta tangente a la Elipse.
Para hallar la ecuación de la recta tangente tengo que encontrar la ecuación de .
Ecuación de
Ecuación de
Ahora tomo un punto S de y realizo distancia dirigida:
Como pertenece a la elipse tenemos:
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Reemplazando tenemos:
Reemplazando tenemos:
Luego tenemos:
“Ecuación de la recta tangente de la Elipse”
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Hipérbola
Por definición de hipérbola
tenemos:
Sea tal que sea simétrico a .
Sea (recta tg).
Tenemos que probar que es la bisectriz
del ángulo y que es la recta
tangente a la Hipérbola. Para ello
probaremos que no pertenece a la
hipérbola.
Supongamos que pertenece a la
Hipérbola entonces:
Observando el triángulo , por propiedad de triángulo tenemos:
Como R es simétrico a F entonces:
no pertenece a la hipérbola y es la recta tangente a la Hipérbola.
La ecuación de la recta tangente se la halla de manera similar a la de la Elipse.
“Ecuación de la Recta Tangente de la hipérbola”
Transformación de Coordenadas
Traslación de ejes
y
y
“Ecuación de la
Traslación”
x
x´
Y´ Y
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Rotación de ejes
En el triángulo tenemos:
En el triángulo tenemos:
“Ecuación de la Rotación”
La ecuación de una cónica es: ; reemplazando en ella tenemos:
Luego nos queda:
De esta manera llegamos a una ecuación de la forma:
El término es el que nos indica la rotación de ejes:
X´
m
Y´
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Para que el ángulo rotado coincida con los ejes de la cónica entonces:
“Ángulo de Rotación”
Criterio para Identificar las Cónicas:
Partimos de la Ecuación Gral: Si a ésta ecuación le aplicamos una
rotación de eje obtenemos una nueva ecuación de la forma: .
Si
entonces , la ecuación nos queda:
Puede demostrarse entonces que el discriminante de la Ecuación Gral es igual al discriminante de la
Ecuación rotada, es decir que:
Como nos queda:
Criterios:
Si signo de signo es Elipse
Si signo de signo es Hipérbola
Si o es Parábola
JOEX”G
